1

LOS NGULOS DE PROTECCIN DE UN TERMINAL CAPTOR DE RAYOS EN FUNCIN DE LA ALTURA h A UN PLANO DE REFERENCIA Y DEL

RADIO R DE LA ESFERA RODANTE La funcin continua analtica = f(h, R)

Por el Ing. electricista Angel A. Reyna (*) Al genial inventor de la eterna y enigmtica punta Franklin (**)

I - INTRODUCCION Un grupo de ingenieros y tcnicos argentinos est participando en el Comit Tcnico CT 81 CEA (Comit Electrotcnico Argentino), Proteccin Contra lasDescargas Atmosfricas, en la elaboracin de normas IEC (Comisin Electrotcnica Internacional) que tiene a cargo el Technical Committee TC 81 Lightning Protection , con sede en Ginebra (Suiza). El Prof. Ing. Juan Carlos Arcioni ocupa la Presidencia del CT 81 del CEA y el autor de este trabajo preside la Secretara. La IEC pone en circulacin entre determinadas fechas esquemas (drafts) de normas, para ser considerados por los Comits de los distintos pases asociados (ms de 50). Este Comit CT 81 cuenta con 12 ponencias presentadas sobre un total de 14, aprobadas por la IEC. Dentro de este modo de trabajo se est analizando el documento especificado en [2]. Se decidi publicar el anlisis que dio origen a la bsqueda de la relacin entre zonas de proteccin determinadas por el mtodo de la esfera rodante y entre zonas de proteccin dadas por los ngulos de proteccin para un mismo elemento captor. El objetivo fundamental, se puede resumir en los siguientes puntos:

Incorporar a las normas la ecuacin (17) para facilitar el clculo automtico en los programas (software) y en las planillas de clculos en computadoras; Aplicar la ecuacin (14) para determinar si la esfera rodante tiene un punto de tangencia sobre el

plano fsico de referencia en consideracin. En caso afirmativo, se pueden aplicar las curvas o la ecuacin (17). De lo contrario, se debera establecer que el mtodo que se aplicar es el de la esfera rodante.

El desarrollo del trabajo se ha ampliado a otros temas relacionados, solamente con fines didcticos, sin ningn propsito de propuesta de normalizacin.

Adems, se ha agregado un ANEXO sobre el mtodo de la esfera rodante y algunos datos histricos II ANLISIS PREVIO Comparando la tabla 2 del documento IEC indicado en [2] con la tabla 1 de las normas IEC 61 024-1- Ed. 1 e IRAM 2 184 -1 [3], se observa que existen algunas diferencias en los valores de los ngulos de proteccin de las puntas captoras verticales.

En [1], [2] y [7] hay grficos que contienen curvas continuas de los ngulos de proteccin en funcin de la altura h, que completan los valores discretos dados en la tabla 1 de las normas IEC 61024 - 1. Ed.1 e IRAM 2184 -1, antes citadas.La primera pregunta que surge es: A qu puede atribuirse este cambio? Para conocer la posible causa hay que buscar algn criterio que relacione las zonas de proteccin que dan los mtodos de la esfera rodante y de los ngulos de proteccin de la punta captora.

La segunda pregunta que se puede plantear es: Por qu no encontrar esa funcin tambin en forma de ecuacin matemtica, como complemento de las curvas grficas dadas para la futura norma 62305 1 Ed. 1 [2]? Desde hace algunos aos ha sido preocupacin del autor el anlisis de la aplicacin de los mtodos de la esfera rodante y de los ngulos de proteccin en los bordes de terrazas o techos planos. III - DESARROLLO MATEMTICO - ANALTICO

La hiptesis probada para resolver la primera pregunta no dio los resultados esperados. Se trata del mtodo de la tangente, empleado para resolver un ejemplo en la obra [20]. Ello se debe a que, tomando como valores verdaderos los correspondientes a los ngulos obtenidos de las curvas de la IEC, tabla 2, [2], con respecto a los que se obtienen con el mtodo de la tangente (ecuacin: = arcosen (1 h/R), pgina 110 de la obra [20] ), se producen en promedio errores relativos del 47%, con un punto extremo, y error del 100% (si bien del lado de la seguridad). El mtodo de la tangente, por lo tanto, no cumple con

2

los objetivos trazados en este trabajo). Adems, es incompatible con la equivalencia a un volumen de proteccin nulo de la esfera rodante para h/R = 1. En realidad, el mtodo de la esfera rodante da un volumen de proteccin en todos los puntos de la esfera rodante que cumplen esa condicin. Recurdese que en la norma IEC 61 024 -1 1 Edicin, la tabla 1 indica para todos los niveles de proteccin correspondientes a la relacin R/h = 1, un ngulo de proteccin de 25.

Result finalmente satisfactorio el criterio de la igualdad de las reas de las dos zonas de proteccin, dadas por la esfera y la punta captora, de acuerdo con el significado y desarrollo siguientes: Considerando la Fig.1, se debe hallar la superficie debajo del arco P(xh, yh) y P(0,0) y se debe igualar a la superficie del tringulo P(xh, yh), P(xh - x1, 0) y P(xh, 0), cuyo valor es igual a (x1 h / 2). Se deber encontrar la ecuacin del ngulo de proteccin , en funcin de la igualdad de reas planteada. Esto conduce a realizar una integracin matemtica.. Para realizar dicho proceso de integracin matemtica de forma ms simple, se parte de la Fig.2, con el captor invertido y con el eje de abscisas pasando por O. La ecuacin del arco de 90 superior derecho de la circunferencia es y = +(R 2 - x2)

En la Fig.2 observse que la zona de proteccin que da la punta Franklin, aplicando el mtodo de la esfera rodante, est limitado por el arco de circunferencia entre los puntos P(0,R) y P(xh, yh), por el segmento entre los puntos P (0,R) y P(xh, R) y por el segmento entre los puntos P(x, R-h) y P(xh, R) Se aprecia, tambin, que la superficie de la zona de proteccin descripta estar dada por la resta de las superficies siguientes: (Superficie del rectngulo 0, P(xh, 0), P(xh, R), P(0,R)) - (Superficie del arco de circunferencia entre rectas x = 0 y x = xh.) Por lo tanto, la superficie que tiene la zona de proteccin que da la esfera de radio R es xh Sp = xh R - ( R2 x2 ) dx (1) 0

Para calcular la integral se supone que es: x = R sen u (2) El significado dado a esta variable auxiliar ha sido muy claramente explicado por la egregia Profesora Emrita de la Universidad de Buenos Aires, Doctora Celina Hayde Repetto, en [5] Por lo tanto: x2 = R2 sen2 u; dx = R cos u du Reemplazando en (1) xh xh S p = xh R - ( R

2 x2) dx = xh R - ( R2 R2 sen2 u ) (R.cos u) du 0 0

xh S p = xh R - [ R

2 (1 sen2 u )] ( R cos u) du 0

xh Sp = xhR - (R cos u) ( R cos u ) du

0 xh S p = xh R - R

2 (cos 2 u) du (3) 0 Recuerdo a mi ex Profesor de Anlisis Matemtico I, Dr. Csar Trejo, cuando en el pizarrn del aula Numa Tapia de la Facultad de Ciencias Fsicomatemticas de la Universidad de La Plata, para resolver la integral del coseno cuadrado y del

3

seno cuadrado, escriba las dos ecuaciones siguientes: Cos 2 u + sen 2 u = 1 (4) Cos 2 u sen 2 u = cos 2 u (5) Sumando miembro a miembro, resulta: 2 cos 2 u + 0 = 1+ cos 2u Resulta finalmente: cos 2 u = 0,5 (1+ cos 2 u) (6) Reemplazando (6) en (2) xh S p = xh R - 0,5 R

2 (1+ cos 2 u) du 0 xh S p = xh R - { 0,5 R

2 u + 0,25 R2 cos (2 u) d (2u ) 0

xh Sp = xh R - {0,5 R2 u + 0,25 R2 [ sen (2u )] } ( 7) 0

Recordando de la ec. (2) que es: x = R sen u por lo tanto sen u = x / R (8) y entonces debe ser: u = arc sen (x/R) (9) Por otra parte: sen (2u ) = 2 sen u cos u = 2 sen u (1- sen2u)1/2 = 2( x / R)[1- (x / R)2 ]1/2 Por lo tanto sen (2 u) = (2 x / R2 ) [ ( R2 - x2 ) ] (10)

Reemplazando (9) y (10) en (7) y simplificando, resulta que:

xh Sp = xh R - { 0,5 R

2 arcsen (x / R) + 0,5 x (R2 - x2 )1/2 ] } ( 11) 0

Siendo: x = (R2 - y2 )1/2 (12)

y de la Fig.2 R = h + y, resulta y2 = (R - h)2 = R2 2hR + h2 (13) Reemplazando 13) en (12) xh = (2hR - h

2 ) (14) Reemplazando (14) en (11)

Sp = R (2hR - h2 )1/ 2 - 0,5 R2 arcsen { (2hR - h2)1/ 2 ) / R } - 0,5 (2hR - h2)1/2 (R2 - [ (2hR -h2)1/2

]2 )1/2 (15) Por la igualdad de reas planteada Sp = h x1 / 2; x1 = Sp / 2h y tg = x1 / h = Sp / 2h2

( ) = ( 180/ ) arctg[ [ (1/(2 h2) ] { R (2hR-h2)1/ 2 - 0,5 R2 arcsen { (2hR - h2)1/ 2 ]/R } - 0,5 (2hR - h2)1/2 (R2 - [ (2hR - h2)1/2}] (16) Simplificando, resulta la funcin analtica continua buscada = f(h; R), cuya forma explcita es la siguiente ecuacin de dos variables (h y R):

4

(R + h) ((2R h h2) ) - R2 arcsen ( (2Rh h2) )

()