Angulos Asociados a La Circunferencia
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ANGULOS ASOCIADOS A LA CIRCUNFERENCIA
ANGULO CENTRAL
Es aquel ángulo cuyo vértice es el centro de una circunferencia
Figura 8-1
En la fig. 8-1 ángulo central.
Figura 8-2
ángulo central.
Por definición ángulo
Nota:
A veces es conveniente considerar a la circunferencia como un arco, aunque
no tenga extremos. En este caso se considera su medida 360º.
ANGULO INSCRITO
Es aquel ángulo en el que su vértice se ubica en la circunferencia y sus lados
contienen dos cuerdas. El arco cuyos puntos son interiores al ángulo inscrito,
es el arco correspondiente.
Figura 8-3
En la figura 8-3
ángulo inscrito.
: arco correspondiente al
Teorema
La medida del ángulo inscrito es igual a la mitad de la medida del arco
correspondiente.
En la figura
Demostración
Consideremos los tres casos siguientes:
diámetro;
isósceles
Por central:
y isósceles;
Por
y isósceles
ARCO CAPAZ
El conjunto de todos los puntos de un plano, que son vértices de ángulos que
tienen igual medida y sus lados contienen a dos puntos fijos (En la figura 8-5, A
y B por ejemplo), es un arco de circunferencia llamado arco capaz.
Por ángulo inscrito.
Arco capaz del ángulo de medida .
Figura 8-5
Observación:
Para cada semiplano limitado por se puede construir un arco capaz en la
figura 8-6 se muestran arcos capaces del ángulo de medida .
Figura 8-6
Arco capaz del ángulo de medida
Arco capaz del ángulo de medida
y son suplementarios.
Es decir + = 180º
ANGULO SEMIINSCRITO
Es aquel ángulo cuyo vértice se ubica en la circunferencia y sus lados están
determinados por una tangente y una secante. El arco, cuyos puntos son
interiores al ángulo semiinscrito, es correspondiente al ángulo.
En la figura 8-7 (a), A es punto de tangencia
Angulo semiinscrito
: Arco correspondiente al
Teorema
La medida del ángulo semiinscrito es igual a la mitad de la medida del arco
correspondiente.
En la figura 8-7 (b):
Demostración
Figura 8-7
Por teorema por central:
es isósceles:
En A:
ANGULO EXINSCRITO
Es aquel ángulo adyacente y suplementario a un ángulo inscrito.
En la figura 8-8 (a) Para el ángulo inscrito ABD: es ángulo exinscrito.
Teorema
La medida del ángulo exinscrito es igual a la semisuma de las medidas de los
arcos correspondientes por dicho ángulo.
En la figura 8-8 (a):
Demostración:
En la figura 8.8 (b): (I)
Por ángulo inscrito
(II)
Reemplazando (II) en (I)
Otra forma de demostrar
Figura 8-8
Se traza por B la recta tangente .
Por ángulo semiinscrito
y (I)
En B: (II)
(I) en (II):
ANGULO INTERIOR
Es aquel ángulo cuyo vértice es un punto interior a una circunferencia. (El
ángulo central es un caso particular).
En la figura 8-8 (a), P : Punto interior
ángulo interior.
Teorema
La medida del ángulo interior es igual la semisuma de las medidas de los arcos
correspondientes por dicho ángulo y el ángulo opuesto por el vértice. En la
figura 8-8 (b)
Demostración
Por ángulo inscrito:
ANGULO EXTERIOR
Es aquel ángulo cuyo vértice es un punto exterior a una circunferencia y sus
lados pueden ser: dos secantes, una secante y tangente, o dos tangentes a
dicha circunferencia
En la figura 8-9 (a), P: punto exterior
y : secantes a la circunferencia
ángulo exterior
T : Punto de tangencia
P : Punto exterior
: secante
: tangente en T
ángulo exterior
M y N : Puntos de tangencia
ángulo exterior
Teorema
La medida del ángulo exterior es igual a la semidiferencia de las medidas de
los arcos correspondientes por dicho ángulo.
Demostración
y son medidas de los arcos correspondientes al ángulo APB.
Por ángulo inscrito
Por medidas de ángulo exterior al
TEOREMAS
1. En todo cuadrilátero inscrito, la suma de las medidas de los pares
angulares opuestos es 180º
Sean: y
Demostración:
Por ángulo inscrito en una circunferencia.
Figura 9-1
Si
y
en C :
2. En todo cuadrilátero inscrito, las diagonales con los lados opuestos
determinan ángulos de igual medida.
Figura 9-2
y : son lados opuestos del
y : son diagonales del
Demostración:
En la figura 9-2, los ángulos ABD y ACD están inscritos en C y por
teorema de los ángulos inscritos, y .
Por lo tanto, .
Para su demostración bastará utilizar convenientemente el primer teorema del
cuadrilátero inscrito, a los cuadriláteros que se formaran al trazar diagonales
desde el vértice A1.
POLIGONO INSCRIPTIBLE EN UNA CIRCUNFERENCIA
TRIANGULO INSCRIPTIBLE EN UNA CIRCUNFERENCIA:
Teorema:
Todo triángulo es inscriptible en una circunferencia. Sea el triángulo ABC, por
A, B y C se puede trazar una circunferencia.
Demostración:
En el triángulo ABC, trazamos las mediatrices de y , las cuales se
intersecan en O.
Del teorema de la mediatriz, , aunque también OA = OC = d.
Por lo tanto, OA = OB = OC = d; y así con centro en O y radio de longitud d se
puede trazar una circunferencia C, la cual va a contener a los puntos A, B y C.
Figura 9-3
Figura 9-4
En el triángulo ABC, las mediatrices de , y concurren en O.
CUADRILATERO INSCRIPTIBLE A UNA CIRCUNFERENCIA
Sea ABCD un cuadrilátero convexo.
Si por A, B, C y D se pudiera trazar una circunferencia, el cuadrilátero ABCD es
un cuadrilátero inscriptible.
Figura 9-5
TEOREMA
Si en un cuadrilátero convexo, los pares angulares opuestos son
suplementarios, entonces el cuadrilátero es inscriptible.
ABCD: cuadrilátero convexo.
Si , el cuadrilátero ABCD resulta inscriptible.
Demostración:
Como todo triángulo es inscriptible por A, B y C, trazamos la circunferencia C.
RAZON DE DOS SEGMENTOS
Se denomina razón de dos segmentos al cociente de valores numéricos
expresados en la misma unidad.
Ejemplo 1:
Figura 11.1
En la figura 11.1, tiene como longitud 6m y tiene como longitud 2m, por
lo que la razón de dichos segmentos será
Nota:
En los enunciados de los problemas de este capítulo, la razón de dos
segmentos se pueden indicar de las siguientes formas:
; ; MN: PQ = 5: 3
y se lee MN y PQ se encuentran en la razón de 5 a 3.
TEOREMA
Existe un punto y solo un punto que pertenece a un segmento de recta, que
divide a dicho segmento en una razón dada (razón geométrica).
Demostración:
Figura 11.2
Sea P un punto que pertenece al segmento AB, tal que (razón dada).
Entonces , de donde , es decir, donde
es menor que la unidad, es decir, al moverse el punto P desde A hasta B la
razón varía desde cero hasta uno, entonces solo habrá una posición de P
de tal manera que la razón .
Nota:
Debido a que el punto P pertenece a la prolongación AB se dice que dicho
punto divide internamente a dicho segmento en la razón .
TEOREMA:
Existe un punto y solo un punto que pertenece a la prolongación de un
segmento, tal que dicho punto divide a dicho segmento en una razón dada
(razón geométrica), de tal forma que esta razón sea mayor que la unidad.
Demostración:
Figura 11.3
Sea Q un punto que pertenece a la prolongación de , tal que (razón
dada), entonces de donde , es decir, donde
es mayor que la unidad.
DIVISIÓN O PROPORCIÓN ARMONICA
Si dos puntos dividen a un segmento, uno internamente y el otro externamente
en una misma razón, entonces dichos puntos se denominarán conjugados
armónicos con relación a dicho segmento.
Figura 11.5
La figura 11.5 muestra al segmento AB que es dividido internamente por el
punto C, en la razón , y externamente por el punto D en la razón .
Los puntos C y D se llaman conjugados armónicos, respecto de A y B y
recíprocamente; a los cuatro puntos A, B, C y D se les llaman armónicos.
TEOREMA
Si dos puntos C y D son conjugados armónicos, con respecto de los puntos A y
B, recíprocamente; también A y B serán conjugados armónicos de C y D.
Por hipótesis tenemos que , de donde:
Se plantea así que A y B son conjugados armónicos de C y D.
TEOREMA
Si dos puntos C y D dividen armónicamente a un segmento AB, (O es el punto
medio de este segmento) entonces se tiene que (Relación
de Newton).
Demostración:
Figura 11.6
Si O: punto medio de ; entonces AO = OB.
Como C y D son conjugados armónicos de A y B, obtenemos que
TEOREMA
Si dos puntos C y D dividen armónicamente a un segmento dado AB, se
produce que (Relación de Descartes)
Demostración:
Figura 11.7
Sean C y D conjugados armónicos de A y B, entonces
Dividiendo entre .
Esta relación se aplica especialmente en óptima geométrica.
TEOREMA DE TALES
Si dos rectas cualesquiera son intersecadas por una serie de rectas paralelas,
entonces dichas rectas paralelas determinan, sobre las dos rectas dadas,
segmentos proporcionales respectivamente.
Demostración:
Para realizar la demostración basta probar:
1. Si para dos segmentos cualesquiera de la primera recta, estas son
congruentes (de igual longitud), entonces los segmentos correspondientes
en la segunda recta también son congruentes.
2. Si en la primera recta, uno de los segmentos determinados es igual a la
suma de otros dos determinados es la misma recta, entonces el
correspondiente de dicho segmento en la segunda recta es también igual
a la suma de los correspondientes de los otros dos determinados en la
segunda recta.
Sean 1 y 2 las rectas dadas y 3, 4, 5, 6, 7 y 8, las rectas
paralelas, si AB = EF = a, debemos probar que y son congruentes.
Trazamos y paralelos a 1.
Podemos notar que AA’PB y EE’QF son paralelogramos.
(A.L.A)
Sean 1 y 2 las rectas dadas y 3, 4, 5, 6, 7 y 8, las rectas
paralelas,
Si AB = DE = a A’B’ = D’E’ = m
Si BC = EF = b B’C’ = E’F’ = n
Se observa que
De lo anterior, trazamos dos rectas 9 y 10 paralelas a 3, tal que los
segmentos determinados sean a y b, como se muestra en la figura 11.8(c).
Por lo cual, y
(I)
,
(II)
Igualando se tiene
Permutando DH y A’C’ se tiene
Nota:
Lo que se ha concluido es cuando la razón es ½ , pero podría ser para
cualquier razón n/m {n, m} .
Este teorema no tiene recíproco.
¿Ahora nos preguntamos si cumple el teorema de Tales cuando la razón es de
la forma , donde ?
Sean 1 // 2 // 3 supongamos que los segmentos AB y BC tienen una
medida común , la cual está contenida n veces en AB y m en BC; la razón de
los segmentos será
(III)
Figura 11.8
Si por cada uno de los segmentos de división de AB y BC trazamos paralelas a
1, se sabe que los segmentos A’B’ y B’C’ también quedan divididos en n
segmentos congruentes en A’B’ y m segmentos congruentes en B’C’, por lo
que la razón de los dos segmentos es
(IV)
(Siendo ’ la longitud de los segmentos determinados en ).
Como consecuencia de igualar (III) y (IV)
(V)
La igualdad anterior se cumple para cualquiera que sea la medida común
entre los segmentos AB y BC.
Los segmentos AB y BC carecen de unidad común, por ser inconmensurables
el uno con el otro.
Sea AB = n l (VI)
Supongamos que l (unidad n-ésima parte de AB) esté contenida más m veces,
pero menos (m + 1) veces en BC, es decir,
(VII)
Por consiguiente, si a la relación (VII) la dividimos entre AB se tiene
(VIII)
Si por los puntos de división de los segmentos AB y BC se trazan paralelas a
1, se tendrá
A’B’ = n ’ (IX)
m ’ < B’C’ < (m+1) ’ (X)
Ahora si la relación (X) la dividimos entre A’B’, se tiene
(XI)
A la igualdad (XI) multiplicamos por (-1)
(XII)
Sumando (VIII) y (XII)
Recordemos que n es un número natural (n>0) y tiende a cero (0) cuando
crece indefinidamente. Por ende
También
Comparando la igualdad anterior con (V) podemos concluir que el teorema de
Tales es general.
Corolario 1
Toda recta paralela a uno de los lados de un triángulo determina; en los otros
dos lados, segmentos directamente proporcionales.
Si //
Se cumple
Demostración:
Figura 11.9
Se traza 1 // // , al aplicar el teorema de Tales se tendrá
Recíproco del corolario 1
Si en un triángulo, una recta secante a dos lados determina segmentos
directamente proporcionales, entonces dicha recta es paralela al tercer lado.
Demostración:
Sea (I)
Por P se traza 1 paralela a .
Aplicando el corolario 1
(II)
Igualando (I), (II)
De lo anterior podemos afirmar que Q es Q’ debido a que ya demostró que
para un punto de un segmento tiene una razón dada.
//
Corolario 2
Toda recta paralela a uno de los lados de un triángulo que interseca a las
prolongaciones de los otros dos lados, determina segmentos directamente
proporcionales.
Si //
Se cumple