Angulos Asociados a La Circunferencia

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ANGULOS ASOCIADOS A LA CIRCUNFERENCIA ANGULO CENTRAL Es aquel ángulo cuyo vértice es el centro de una circunferencia Figura 8-1 En la fig. 8-1 ángulo central. Figura 8-2 ángulo central. Por definición ángulo

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ANGULOS ASOCIADOS A LA CIRCUNFERENCIA

ANGULO CENTRAL

Es aquel ángulo cuyo vértice es el centro de una circunferencia

Figura 8-1

En la fig. 8-1 ángulo central.

Figura 8-2

ángulo central.

Por definición ángulo

Nota:

A veces es conveniente considerar a la circunferencia como un arco, aunque

no tenga extremos. En este caso se considera su medida 360º.

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ANGULO INSCRITO

Es aquel ángulo en el que su vértice se ubica en la circunferencia y sus lados

contienen dos cuerdas. El arco cuyos puntos son interiores al ángulo inscrito,

es el arco correspondiente.

Figura 8-3

En la figura 8-3

ángulo inscrito.

: arco correspondiente al

Teorema

La medida del ángulo inscrito es igual a la mitad de la medida del arco

correspondiente.

En la figura

Demostración

Consideremos los tres casos siguientes:

diámetro;

isósceles

Por central:

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y isósceles;

Por

y isósceles

ARCO CAPAZ

El conjunto de todos los puntos de un plano, que son vértices de ángulos que

tienen igual medida y sus lados contienen a dos puntos fijos (En la figura 8-5, A

y B por ejemplo), es un arco de circunferencia llamado arco capaz.

Por ángulo inscrito.

Arco capaz del ángulo de medida .

Figura 8-5

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Observación:

Para cada semiplano limitado por se puede construir un arco capaz en la

figura 8-6 se muestran arcos capaces del ángulo de medida .

Figura 8-6

Arco capaz del ángulo de medida

Arco capaz del ángulo de medida

y son suplementarios.

Es decir + = 180º

ANGULO SEMIINSCRITO

Es aquel ángulo cuyo vértice se ubica en la circunferencia y sus lados están

determinados por una tangente y una secante. El arco, cuyos puntos son

interiores al ángulo semiinscrito, es correspondiente al ángulo.

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En la figura 8-7 (a), A es punto de tangencia

Angulo semiinscrito

: Arco correspondiente al

Teorema

La medida del ángulo semiinscrito es igual a la mitad de la medida del arco

correspondiente.

En la figura 8-7 (b):

Demostración

Figura 8-7

Por teorema por central:

es isósceles:

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En A:

ANGULO EXINSCRITO

Es aquel ángulo adyacente y suplementario a un ángulo inscrito.

En la figura 8-8 (a) Para el ángulo inscrito ABD: es ángulo exinscrito.

Teorema

La medida del ángulo exinscrito es igual a la semisuma de las medidas de los

arcos correspondientes por dicho ángulo.

En la figura 8-8 (a):

Demostración:

En la figura 8.8 (b): (I)

Por ángulo inscrito

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(II)

Reemplazando (II) en (I)

Otra forma de demostrar

Figura 8-8

Se traza por B la recta tangente .

Por ángulo semiinscrito

y (I)

En B: (II)

(I) en (II):

ANGULO INTERIOR

Es aquel ángulo cuyo vértice es un punto interior a una circunferencia. (El

ángulo central es un caso particular).

Page 8: Angulos Asociados a La Circunferencia

En la figura 8-8 (a), P : Punto interior

ángulo interior.

Teorema

La medida del ángulo interior es igual la semisuma de las medidas de los arcos

correspondientes por dicho ángulo y el ángulo opuesto por el vértice. En la

figura 8-8 (b)

Demostración

Por ángulo inscrito:

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ANGULO EXTERIOR

Es aquel ángulo cuyo vértice es un punto exterior a una circunferencia y sus

lados pueden ser: dos secantes, una secante y tangente, o dos tangentes a

dicha circunferencia

En la figura 8-9 (a), P: punto exterior

y : secantes a la circunferencia

ángulo exterior

T : Punto de tangencia

P : Punto exterior

: secante

: tangente en T

ángulo exterior

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M y N : Puntos de tangencia

ángulo exterior

Teorema

La medida del ángulo exterior es igual a la semidiferencia de las medidas de

los arcos correspondientes por dicho ángulo.

Demostración

y son medidas de los arcos correspondientes al ángulo APB.

Por ángulo inscrito

Por medidas de ángulo exterior al

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TEOREMAS

1. En todo cuadrilátero inscrito, la suma de las medidas de los pares

angulares opuestos es 180º

Sean: y

Demostración:

Por ángulo inscrito en una circunferencia.

Figura 9-1

Si

y

en C :

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2. En todo cuadrilátero inscrito, las diagonales con los lados opuestos

determinan ángulos de igual medida.

Figura 9-2

y : son lados opuestos del

y : son diagonales del

Demostración:

En la figura 9-2, los ángulos ABD y ACD están inscritos en C y por

teorema de los ángulos inscritos, y .

Por lo tanto, .

Para su demostración bastará utilizar convenientemente el primer teorema del

cuadrilátero inscrito, a los cuadriláteros que se formaran al trazar diagonales

desde el vértice A1.

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POLIGONO INSCRIPTIBLE EN UNA CIRCUNFERENCIA

TRIANGULO INSCRIPTIBLE EN UNA CIRCUNFERENCIA:

Teorema:

Todo triángulo es inscriptible en una circunferencia. Sea el triángulo ABC, por

A, B y C se puede trazar una circunferencia.

Demostración:

En el triángulo ABC, trazamos las mediatrices de y , las cuales se

intersecan en O.

Del teorema de la mediatriz, , aunque también OA = OC = d.

Por lo tanto, OA = OB = OC = d; y así con centro en O y radio de longitud d se

puede trazar una circunferencia C, la cual va a contener a los puntos A, B y C.

Figura 9-3

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Figura 9-4

En el triángulo ABC, las mediatrices de , y concurren en O.

CUADRILATERO INSCRIPTIBLE A UNA CIRCUNFERENCIA

Sea ABCD un cuadrilátero convexo.

Si por A, B, C y D se pudiera trazar una circunferencia, el cuadrilátero ABCD es

un cuadrilátero inscriptible.

Figura 9-5

TEOREMA

Si en un cuadrilátero convexo, los pares angulares opuestos son

suplementarios, entonces el cuadrilátero es inscriptible.

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ABCD: cuadrilátero convexo.

Si , el cuadrilátero ABCD resulta inscriptible.

Demostración:

Como todo triángulo es inscriptible por A, B y C, trazamos la circunferencia C.

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RAZON DE DOS SEGMENTOS

Se denomina razón de dos segmentos al cociente de valores numéricos

expresados en la misma unidad.

Ejemplo 1:

Figura 11.1

En la figura 11.1, tiene como longitud 6m y tiene como longitud 2m, por

lo que la razón de dichos segmentos será

Nota:

En los enunciados de los problemas de este capítulo, la razón de dos

segmentos se pueden indicar de las siguientes formas:

; ; MN: PQ = 5: 3

y se lee MN y PQ se encuentran en la razón de 5 a 3.

TEOREMA

Existe un punto y solo un punto que pertenece a un segmento de recta, que

divide a dicho segmento en una razón dada (razón geométrica).

Demostración:

Figura 11.2

Sea P un punto que pertenece al segmento AB, tal que (razón dada).

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Entonces , de donde , es decir, donde

es menor que la unidad, es decir, al moverse el punto P desde A hasta B la

razón varía desde cero hasta uno, entonces solo habrá una posición de P

de tal manera que la razón .

Nota:

Debido a que el punto P pertenece a la prolongación AB se dice que dicho

punto divide internamente a dicho segmento en la razón .

TEOREMA:

Existe un punto y solo un punto que pertenece a la prolongación de un

segmento, tal que dicho punto divide a dicho segmento en una razón dada

(razón geométrica), de tal forma que esta razón sea mayor que la unidad.

Demostración:

Figura 11.3

Sea Q un punto que pertenece a la prolongación de , tal que (razón

dada), entonces de donde , es decir, donde

es mayor que la unidad.

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DIVISIÓN O PROPORCIÓN ARMONICA

Si dos puntos dividen a un segmento, uno internamente y el otro externamente

en una misma razón, entonces dichos puntos se denominarán conjugados

armónicos con relación a dicho segmento.

Figura 11.5

La figura 11.5 muestra al segmento AB que es dividido internamente por el

punto C, en la razón , y externamente por el punto D en la razón .

Los puntos C y D se llaman conjugados armónicos, respecto de A y B y

recíprocamente; a los cuatro puntos A, B, C y D se les llaman armónicos.

TEOREMA

Si dos puntos C y D son conjugados armónicos, con respecto de los puntos A y

B, recíprocamente; también A y B serán conjugados armónicos de C y D.

Por hipótesis tenemos que , de donde:

Se plantea así que A y B son conjugados armónicos de C y D.

TEOREMA

Si dos puntos C y D dividen armónicamente a un segmento AB, (O es el punto

medio de este segmento) entonces se tiene que (Relación

de Newton).

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Demostración:

Figura 11.6

Si O: punto medio de ; entonces AO = OB.

Como C y D son conjugados armónicos de A y B, obtenemos que

TEOREMA

Si dos puntos C y D dividen armónicamente a un segmento dado AB, se

produce que (Relación de Descartes)

Demostración:

Figura 11.7

Sean C y D conjugados armónicos de A y B, entonces

Page 20: Angulos Asociados a La Circunferencia

Dividiendo entre .

Esta relación se aplica especialmente en óptima geométrica.

TEOREMA DE TALES

Si dos rectas cualesquiera son intersecadas por una serie de rectas paralelas,

entonces dichas rectas paralelas determinan, sobre las dos rectas dadas,

segmentos proporcionales respectivamente.

Demostración:

Para realizar la demostración basta probar:

1. Si para dos segmentos cualesquiera de la primera recta, estas son

congruentes (de igual longitud), entonces los segmentos correspondientes

en la segunda recta también son congruentes.

2. Si en la primera recta, uno de los segmentos determinados es igual a la

suma de otros dos determinados es la misma recta, entonces el

correspondiente de dicho segmento en la segunda recta es también igual

a la suma de los correspondientes de los otros dos determinados en la

segunda recta.

Sean 1 y 2 las rectas dadas y 3, 4, 5, 6, 7 y 8, las rectas

paralelas, si AB = EF = a, debemos probar que y son congruentes.

Trazamos y paralelos a 1.

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Podemos notar que AA’PB y EE’QF son paralelogramos.

(A.L.A)

Sean 1 y 2 las rectas dadas y 3, 4, 5, 6, 7 y 8, las rectas

paralelas,

Si AB = DE = a A’B’ = D’E’ = m

Si BC = EF = b B’C’ = E’F’ = n

Se observa que

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De lo anterior, trazamos dos rectas 9 y 10 paralelas a 3, tal que los

segmentos determinados sean a y b, como se muestra en la figura 11.8(c).

Por lo cual, y

(I)

Page 23: Angulos Asociados a La Circunferencia

,

(II)

Igualando se tiene

Permutando DH y A’C’ se tiene

Nota:

Lo que se ha concluido es cuando la razón es ½ , pero podría ser para

cualquier razón n/m {n, m} .

Este teorema no tiene recíproco.

¿Ahora nos preguntamos si cumple el teorema de Tales cuando la razón es de

la forma , donde ?

Sean 1 // 2 // 3 supongamos que los segmentos AB y BC tienen una

medida común , la cual está contenida n veces en AB y m en BC; la razón de

los segmentos será

(III)

Page 24: Angulos Asociados a La Circunferencia

Figura 11.8

Si por cada uno de los segmentos de división de AB y BC trazamos paralelas a

1, se sabe que los segmentos A’B’ y B’C’ también quedan divididos en n

segmentos congruentes en A’B’ y m segmentos congruentes en B’C’, por lo

que la razón de los dos segmentos es

(IV)

(Siendo ’ la longitud de los segmentos determinados en ).

Como consecuencia de igualar (III) y (IV)

(V)

La igualdad anterior se cumple para cualquiera que sea la medida común

entre los segmentos AB y BC.

Los segmentos AB y BC carecen de unidad común, por ser inconmensurables

el uno con el otro.

Sea AB = n l (VI)

Page 25: Angulos Asociados a La Circunferencia

Supongamos que l (unidad n-ésima parte de AB) esté contenida más m veces,

pero menos (m + 1) veces en BC, es decir,

(VII)

Por consiguiente, si a la relación (VII) la dividimos entre AB se tiene

(VIII)

Si por los puntos de división de los segmentos AB y BC se trazan paralelas a

1, se tendrá

A’B’ = n ’ (IX)

m ’ < B’C’ < (m+1) ’ (X)

Ahora si la relación (X) la dividimos entre A’B’, se tiene

(XI)

A la igualdad (XI) multiplicamos por (-1)

(XII)

Sumando (VIII) y (XII)

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Recordemos que n es un número natural (n>0) y tiende a cero (0) cuando

crece indefinidamente. Por ende

También

Comparando la igualdad anterior con (V) podemos concluir que el teorema de

Tales es general.

Corolario 1

Toda recta paralela a uno de los lados de un triángulo determina; en los otros

dos lados, segmentos directamente proporcionales.

Page 27: Angulos Asociados a La Circunferencia

Si //

Se cumple

Demostración:

Figura 11.9

Se traza 1 // // , al aplicar el teorema de Tales se tendrá

Recíproco del corolario 1

Si en un triángulo, una recta secante a dos lados determina segmentos

directamente proporcionales, entonces dicha recta es paralela al tercer lado.

Demostración:

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Sea (I)

Por P se traza 1 paralela a .

Aplicando el corolario 1

(II)

Igualando (I), (II)

De lo anterior podemos afirmar que Q es Q’ debido a que ya demostró que

para un punto de un segmento tiene una razón dada.

//

Corolario 2

Toda recta paralela a uno de los lados de un triángulo que interseca a las

prolongaciones de los otros dos lados, determina segmentos directamente

proporcionales.

Si //

Se cumple