Trigonometría y ángulos. Razones Trigonométricas de ángulos arbitrarios Para calcular el seno (o...

Trigonometría y ángulos

Razones Trigonométricasde ángulos arbitrarios

Para calcular el seno (o el coseno) de un ángulo central agudo α en un círculo unitario , colocamos un triángulo recto como en la Figura 1. El seno del ángulo α [sin(α)] es igual a la coordenada de y de , el punto de intersección de la hipotenusa con el círculo. El coseno del ángulo α [cos(α)] es igual a la coordenada de x del punto de intersección.

P

),(P yx

Figura 1

)cos(

sin(

α)

Este es un círculo unitario.


En la Figura 2, el lado terminal del ángulo α está en el cuadrante II. El ángulo α NO es agudo. Si construimos un triángulo recto, el segmento que va desde el centro hasta el punto es la hipotenusa. Notamos que la coordenada de x del punto es negativa y la coordenada en y es positiva. El ángulo de la base del triángulo recto, ya no es α, ahora es (180 - α).

l

l

),(P yx

y

P

Figura 2P



El ángulo (180 - α) se conoce como un ángulo de referencia, por que el cos(α) es igual en magnitud al cos(180 - α), pero hay que adjudicarle el signo apropiado. Es decir, para un ángulo en el cuadrante II, como la coordenada de x del punto es negativa, el cos(α) es negativo. Similarmente, sin(α) es positivo.

l

l

),(P yx

y

Figura 3 P

cos(α)

sin(

α)


Funciones Trigonométricasde ángulos arbitrarios

Para cada uno de los ángulos mencionados, encontrar el ángulo de referencia.

l

l

),(P yx

1) 1200 2) 1350 3) 1500

ángulo de referencia


En la Figura 4, el lado terminal del ángulo α está en el cuadrante III. El ángulo α NO es agudo. Si construimos un triángulo recto, el segmento que va desde el centro hasta el punto es la hipotenusa. Notamos que ambas coordenadas del punto son negativas. El ángulo de la base del triángulo recto, ya no es α, ahora es (α-180).

l

l

P

P

),(P yx

y

Figura 4Este es un círculo unitario.


),(P yx

y

Figura 5

El cos(α) es igual en magnitud al cos(α - 180), pero hay que adjudicarle el signo apropiado. Es decir, para un ángulo en el cuadrante III, como la coordenada de x del punto es negativa, el cos(α) es negativo. Similarmente, sin(α) es negativo.

P


cos α

sin α


Para cada uno de los ángulos mencionados, encontrar el ángulo de referencia.l

l),(P yx

1) 2100 2) 2250 3) 2400



),(P yx

y

Figura 6

En la Figura 6, el lado terminal del ángulo α está en el cuadrante IV. El ángulo α NO es agudo. Si construimos un triángulo recto, el segmento que va desde el centro hasta el punto es la hipotenusa. Notamos que la coordenada de x del punto es positiva y la coordenada de y es negativa. El ángulo de la base del triángulo recto, ya no es α, ahora es (360-α).

P

P



El cos(α) es igual en magnitud al cos(360 - α), pero hay que adjudicarle el signo apropiado. Es decir, para un ángulo en el cuadrante IV, como la coordenada de x del punto es positiva, el cos(α) es positivo. Similarmente, sin(α) es negativo.

),(P yx

y

Figura 7

P


cos α sin x


Para cada uno de los ángulos mencionados, encontrar el ángulo de referencia.

l

l

),(P yx

1) 3050 2) 3150 3) 3300



Para un ángulo arbitrario α (no necesariamente agudo, no necesariamente en el cuadrante I, no necesariamente en un círculo unitario), medido a partir del eje de x , en contra de las manecillas del reloj en un círculo unitario:

l


Para un ángulo arbitrario α (no necesariamente agudo, no necesariamente en el cuadrante I, no necesariamente en un círculo unitario), medido a partir del eje de x en contra de las manecillas del reloj en un círculo unitario:

l


I II III IVsen + + - -cos + - - +tan + - + -

¿Cómo obtuvimos la última hilera de la tabla?

l

III

III VI

1P 2

P

3P 4

P

nP

¿Cómo completarías la tabla para las razones de csc, sec, y cot?


I II III IVsen + + - -cos + - - +tan + - + -

l

III

III VI

1P 2

P

3P 4

P

nP

csc

sec

cot

+ + - -+ - + -+ - - +

Para cada ángulo mostrado, calcule las 6 razones trigonométricas.



Si un ángulo arbitrario α, se forma rotando un radio del círculo unitario (en contra de las manecillas del reloj) más de una rotación completa, entonces el ángulo medirá más de 3600. Encontrar el ángulo de referencia en estos casos requiere dos pasos:

l



Pasos:1) eliminar las vueltas adicionales: medida del ángulo – donde n es el número de vueltas al círculo. [La nueva medida es la medida de un ángulo coterminal con el ángulo original. Angulos coterminales tienen el mismo lado terminal.)

l


n360


Pasos:2) determinar el ángulo de referencia dependiendo el cuadrante en el cual cae la nueva medida según mostramos anteriormente.

l



Para cada uno de los ángulos mencionados:

1)dibuje el ángulo2)encuentre el ángulo

coterminal3)encuentre el ángulo de

referencia.

l

1) 6150 2) 7200 3) 11000


Para cada uno de los ángulos mencionados:

1)encuentre dos ángulos positivos que son co-terminales con el ángulo dado.

2)dibuje los tres ángulos

l

1) 300 2) 450 3) 600


l

l

P

P

El ángulo α se consigue rotando un radio en contra de las manecillas del reloj.El ángulo β se consigue rotando un radio a favor de las manecillas del reloj.


l

l

yP

P-y

El punto y tienen la misma coordenada de x. Las coordenadas en y de ambos puntos tienen signos opuestos.

P P


l

l

yP

P-y

El ángulo α tiene la misma magnitud o tamaño que el ángulo β, pero la medida del ángulo β tiene signo opuesto a la medida del ángulo α. Generalizando, si un ángulo arbitrario, α, se forma rotando un radio a favor de las manecillas del reloj, su medida es negativa.


Para cada uno de los ángulos dibujados, dé la medida del ángulo faltante.

l


Soluciones:l

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