Ángulos II 3 - IEP MARISCAL...

Geometría - 2do Sec.

Capítulo

3Ángulos II

1. ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

Nota

α

θ

complemento de x = 90º - x

cuando observamos en los problemas la nota-ción: “complemento de x”, la vamos a interpre-tar como la diferencia entre 90º y el ángulo x.

α + θ = 90º

2. ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

α

Suplemento de x = 180º - x

θ

α + θ = 180º

Nota

cuando observamos en los problemas la nota-ción: “suplemento de x”, la vamos a interpretar como la diferencia entre 180º y el ángulo x.

3. ÁNGULOS CONSECUTIVOS O ADYACENTES

{α, θ}: ángulos consecutivos

Ladocomún

αθ

4. ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE

θ α

β

ω

α = θ β = ω


Veamos algunas aplicaciones acerca del tema de hoy:

complemento de 70º = =Suplemento de 120º = =complemento de 42º = =Suplemento de 135º = =Suplemento del complemento de 40º

Sc(40º) =

complemento del complemento de 60º

cc(60º) =

Ejemplos:

Calcula:

cccc…c(10º) =

SSSS …S(30º) =

128 veces

77 veces

Rpta.: a

1) Si la diferencia de dos ángulos complementarios es 30º, calcula el menor de los ángulos.

a) 30º b) 35º c) 45ºd) 60º e) 75º

Resolución:

a - b = 30ºa + b = 90º

2b = 90º - 30º

b = = 30º

-

Rpta.: e

2) calcula: SSSScccc(45º)

a) 120º b) 180º c) 135ºd) 90º e) 45º

Resolución:

Por propiedad se cancela:

SSSSCCCC (45º) = 45º

60º2

Importante

¿Cómo se originó la Geometría?Herodoto vs. Aristóteles

Herodoto y Aristóteles no querían arriesgarse a situar los orígenes de la Geometría en una época anterior a la de la civilización egipcia, pero está claro que la Geometría en la que ellos pensaban tenía sus raíces en una antigüedad mucho mayor. Herodoto sostenía que la Geometría se había originado en Egipto, porque creía que dicha materia había surgido allí a partir de la necesidad práctica de volver a trazar las lindes de las tierras después de la inundación anual del valle del río Nilo. Aristóteles sostenía en cambio que el cultivo y desarrollo de la Geometría en Egipto se había visto impulsado por la existencia allí de una amplia clase sacerdotal ociosa.

Herodoto(484 - 425 a.C.)

Aristóteles (384 - 322 a.C.)


Resolviendo en claseResolviendo en clase

Para ReforzarPara Reforzar

1) Del gráfico, calcula x.

x

4x

θ=40ºα

2) Del gráfico, calcula α si α y θ son complementarios.

βω

3) Del gráfico, calcula β si β y ω son suplementarios (ω = 50º).

4) Si la diferencia de dos ángulos suplementarios es 100º, calcula el mayor de los ángulos.

80º5x

5) calcula x.

6) calcula: ccccccc(35º)

2x

20º

1) Del gráfico, calcula x.

2) Si dos ángulos son complementarios y uno es el doble del otro, calcula el menor de los ángulos.

3) Si la diferencia de dos ángulos suplementarios es 20º, calcula el menor de los ángulos.

4) Si la diferencia de dos ángulos complementarios es 10º, calcula el mayor de los ángulos.

5) calcula x.

3x - 42º

x

6) calcula: cccc(48º)

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

PROBLEMAS PARA CLASE N° 3


Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2

Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:

Si m AOc = 80º y OP es bisectriz del AOc, calcula x.

a) 15º b) 30º c) 40º d) 65º e) 70º

αθ90º − α

θ

α180º − θ90º − α90º − θ

90º − α180º − θ

calcula E =

a) d)

b) e)

c)

cccc(α)

SS(θ)

αθ

90º − α180º − θ

180º − αθα

90º − θ180º − α90º − θ

calcula: E =

a) d)

b) e)

c)

SSS(α)

cccc(θ)

60ºx20º

calcula x.

a) 20º b) 30º c) 40º d) 50º e) 60º

x10º

OP

c

A

Resolución: Resolución:



Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4 Halla la diferencia entre el suplemento de 60º y el complemento de 70º.

a) 80º b) 90º c) 110º d) 100º e) 120º

calcula la diferencia entre el complemento de 20º y el suplemento de 150º.

a) 10º b) 20º c) 30º d) 50º e) 40º

Del gráfico, calcula x.

a) 60º b) 70º c) 80º d) 90º e) 100º

x

4ω

3ω+25º

Del gráfico, calcula x.

a) 33º b) 66º c) 114º d) 147º e) 150º

2βx

99º - β




5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Dos ángulos complementarios se diferencian en 10º. calcula el mayor de los ángulos.

a) 40º b) 50º c) 60º d) 30º e) 80º

Dos ángulos complementarios se diferencian en 50º. calcula el menor de los ángulos.

a) 20º b) 50º c) 70º d) 40º e) 60º

Dos ángulos suplementarios se diferencian en 20º. calcula el mayor de los ángulos.

a) 80º b) 100º c) 60º d) 120º e) 150º

Dos ángulos suplementarios se diferencian en 40º. Halla el menor de dichos ángulos.

a) 60º b) 65º c) 70º d) 75º e) 80º




Clave:Clave:

Clave:Clave:

7

Sello y Firma del Profesor

7

8 8

NOTA

Dos ángulos son complementarios y uno de ellos es el doble de otro. calcula el menor de ellos.

a) 20º b) 40º c) 50º d) 30º e) 60º

Dos ángulos son complementarios y están en la relación de 4 a 5. calcula el menor de ellos.

a) 30º b) 60º c) 40º d) 50º e) 70º

Dos ángulos son suplementarios y uno de ellos es el triple del otro. Halla el mayor de ellos.

a) 120º b) 150º c) 160º d) 135º e) 110º

Dos ángulos son suplementarios y están en la rela-ción de 2 a 3. calcula el mayor de los ángulos.

a) 72º b) 36º c) 144º d) 136º e) 108º



Raz. Matemático - 2do Sec.

Capítulo

2Distribuciones y Analogías Numéricas

El tercer milenio En el siglo VII el Papa encargó al monje benedictino Dionís que fijase la fecha de nacimiento de Cristo. Este fraile calculó que Jesucristo había nacido el año 754 después de la fundación de Roma. Tomó como fecha de inicio el día que fue circuncidado y lo llamó 1 de enero del año 1. No dijo del año 0, porque esta cifra no se utilizaba en Occidente en aquella época. ¿El tercer milenio comienza el 1 de enero de 2000?

Reto

Debes escribir del 1 al 25 en la cuadrícula adjunta, pero con la condición de que vayas como el salto del caballo en el ajedrez. Utiliza lápiz, no vayas a equivocarte.

1

En el presente capítulo, veremos ordenamientos generalmente con números.

Trataremos de relacionar entre sí los valores, mediante una regla de formación o ley.

En el caso de las analogías veremos que el valor central de cada fila está encerrado entre paréntesis. Con los valores extremos de cada fila se tratará de conseguir el valor central, mediante alguna ley de formación, la cual deberá ser confirmada en la primera y segunda fila para luego averiguar el valor pedido.

Generalmente se trabajan con los valores extremos para conseguir el valor central.

En una distribución numérica propiamente dicha, la regla a buscar es indiferente, tanto en forma vertical (columna) o en la horizontal (fila).

En la distribución gráfica, el mismo gráfico dará una idea para averiguar la regla de formación.

1) 2 (13) 3 1 (37) 6 3 ( ) 5

Fila 1 22 + 32 = 13

Fila 2 12 + 62 = 37

Fila 3 32 + 52 = 34

Número buscado


2) 80 (30) 20 34 (14) 6 23 ( ) 5

Fila 1 (80 - 20) ÷ 2 = 30

Fila 2 (34 - 6) ÷ 2 = 14

Fila 3 (23 - 5) ÷ 2 = 9

Número buscado

3) 2 3 2 8 1 5 4 9 4 3 1 x

Fila 1 2 x 3 + 2 = 8

Fila 2 1 x 5 + 4 = 9

Fila 3 4 x 3 + 1 = 13

Número buscado

4) 2 5 2 5 3 1 4 2 8 5 x 25

Columna 1 23 = 8

Columna 2 51 = 5

Columna 3 24 = 16

Columna 4 52 = 25

Número buscado

5) 12 6

3 2

3 x 2 + 6 = 12

17 5

4 3

4 x 3 + 5 = 17

x 3

1 7

1 x 7 + 3 = 10

Número buscado

Este truco, es bastante sencillo, pero no es un truco que se pueda improvisar en un momento, a no ser que tengas una gran capacidad de cálculo o una memoria prodigiosa. El truco es el siguiente: deberás enseñar las siguientes columnas.

Pide a alguien que piense en un número del 1 al 15. Pide que te señale en cuáles de las cuatro columnas aparece ese número. Para adivinar el número solo tienes que sumar los números marcados en rojo de las columnas que te señalen.Ejemplo: Si han pensado en el número 7, te señalarán las tres primeras columnas, sumando los tres números rojos, obtendrás 1+2+4=7.Explicación: En la primera carta están todos los números cuyo último dígito en el sistema binario es 1; la segunda contiene todos los números cuyo segundo dígito por la derecha es 1 (en el sistema binario), la tercera y la cuarta lo mismo. Los números marcados en rojo son las potencias de 2. Por lo tanto, cuando te señalen las columnas, te estarán indicando el desarrollo en binario del número elegido (aunque ellos no lo sepan).

Truco de Adivinación

1 9 2 10 4 12 8 12

3 11 3 11 5 13 9 13

5 13 6 14 6 14 10 14

7 15 7 15 7 15 11 15

1) 1022 (7) 101 2031 (10) 11101 10113 ( ) 22013

3) 4 (24) 2 5 (15) 1 2 ( ) 3

82

3

93

2

x5

2

6)

3) 12 ( 8 ) 4 20 (11) 2 13 ( ) 3

1) 1203 (18) 12 2101 ( 8 ) 101 1023 ( ) 2021

2) 2 (24) 3 5 (50) 2 4 ( ) 3

2) 12 ( 81 ) 3 15 (169) 2 24 ( ) 18

4) 2 2 5 9 3 2 1 10 5 3 1 x

4) 2 13 20 6 7 8 50 6 14 3 x 6

5) 2 4 x 3 2 7 5 10 10 11 18 24

18

1 3

2

24

1 2

1 2

x1

1 1

3

2

6)

5) 7 3 2 5 3 4 20 x 1

En cada caso calcula el valor que falta o el valor de x.

En cada caso calcula el valor que falta o el valor de x.


Resolviendo en claseResolviendo en clase

Para ReforzarPara Reforzar

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________


Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2

Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:

a) 15 b) 16 c) 17d) 20 e)25

PROBLEMAS PARA CLASE N° 2

a) 16 b) 17 c) 20d) 22 e) 21

14 1 5

20

20 3 1

24

12 2 3

x

26

2 5

4 3

13

7 3

2 1

)

a) 27 b) 35 c) 38d) 37 e) 33

5 9 227

7 7 328

17 3 6x

a) 20 b) 25 c) 28d) 35 e) 40

21

8

3

5

4

36

7

5

4

4x

5

3

1

7

Halle "x" Halle "x"

Halle "x" Halle "x"

8 3

4 1

x

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:


Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

a) 93 b) 15 c) 25d) 39 e) 126

2 5 3

25

4 2 6

20

6 3 7

x

a) 43 b) 56 c) 72d) 76 e) 42

3

2

4 5

40

1

2

6 3

36

4

1

7 1

X

a) 30 b) 35 c) 42d) 60 e) 64

2330

42 7172

45

41X

34

a) 42 b) 48 c) 57d) 52 e) 64

2

20

4

6

5 7

26

7

5

2

8

x

9

7

4

Halle "x" Halle "x"

Halle "x" Halle "x"

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:


5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

a) 19 b) 17 c) 20d) 23 e) 27

82 1

3 2

133 5

1 2

5 (32) 7 7 (52) 3 4 ( x ) 5

a) 17 b) 21 c) 23d) 25 e) 32

6 (30) 9 5 (26) 8 4 ( x ) 11

a) 32 b) 30 c) 28d) 24 e) 25

a) 27 - 25 b) 46 - 63 c) 64 - 36 d) 36 - 64 e) 23 - 32

3 2

8 9

5 2

32 25

6 2

x y

Halle "x" Halle "x" e "y"

Halle "x" Halle "x"

4 1

4 1x

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:


Clave:Clave:

Clave:Clave:

7

Sello y Firma del Profesor

7

8 8

NOTA

204 (12) 150 217 (16) 141 165 ( x ) 123

a) 17 b) 12 c) 18d) 14 e) 15

10 5 3 7 12 4 3 4 24 8 4 x

a) 2 b) 20 c) 1d) 3 e) 7

42 (11) 5 22 ( 7 ) 3 25 ( x ) 6

a) 12 b) 13 c) 15d) 18 e) 20

2 5 15 3 3 8 4 2 x

a) 4 b) 3 c) 7d) 6 e) 8

Halle "x" Halle "x"

Halle "x" Halle "x"

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

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