Actividades · Actividades VII Razones trigonométricas de ángulos agudos ¿Cuánto mide cada uno...

Actividades

I Números reales

Representa gráficamente los siguientes números:

2; �3; �1; 2,5; �3,75; 2,75; �94

�; ��32

�; �2�; �π

Expresa en forma de fracción las siguientes canti-dades:

a) 3,56 �

b) 9,783 �

c) 8,3�

�

d) 4,6�

�

e) �1,03�

�

f ) 7,12�

�

g) �2,951�

�

h) 0,005 4�

�

Escribe en forma de fracción irreducible un repre-sentante de los siguientes números:

a) 3 �

b) 7,6 �

c) �2 �

d) 2,8 �

e) ��165� �

f ) 5,7�

�

g) 2,34�

�

Opera:

a) 0,032 4 · 100 �

b) 0,634 : 1 000 �

c) 0,082 4 · 1 000 �

d) 0,163 4 : 100 �

e) 4,3 � 10 �

f ) 538,5 � 10 000 �

g) 0,000 045 � 1010 �

h) 0,45 � 103 �

Opera:

a) 7,6 · 0,31 �

b) 3,6 : 0,2 �

c) 5,4� · 1,5� �

d) 5,4� : 1,5� �

e) 7,32� � 4,15� �

f ) 0,23 : 0,45� �

5

4

3

2

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má

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0S4MTCR-AR (NL2007).01.qxd 4/7/07 17:16 Página 1

Actividades

Opera:

a) �1 � �13

�� : �2 + �35

��

b) �38

� · ��53

� � �12

�� 141� · ��

34

� � �15

��

c) 16 · ��14

� � �18

�� · �12

� � �12

� · ��432� + �

11424

��

d) �23

� � �12

� · �35

� � �54

� �

Expresa con un intervalo y representa gráficamen-te los valores de x que cumplen:

a) 1 � x � 5

b) �2 � x � 3

c) x � 2

d) x �2�

Representa gráficamente los intervalos:

(�, �8), (�5, �4), [�3, 0), (1, 2], [3, 7], (8, )

Halla los valores absolutos de los siguientes nú-meros:

a) |4| �

b) |�6| �

c) ��48

��

d) |�3,07| �

Aproxima por redondeo a la centésima lossiguientes números:

a) 3,457 �

b) 0,092 84 �

c) 0,7319 �

d) 459,723 �

e) 0,099 284 �

Efectúa 874 : 21 y redondea para que la cota deerror sea menor de 0,005.

Escribe dos números que pertenezcan a cada unode los siguientes intervalos:

a) 0,5 � x � 0,6

b) 1,85 � x � 1,851

c) �4,5 � x � �4,4

d) 235,123 � x � 235,123 01

e) 9,9 � x � 9,99

Ordena los siguientes números de forma cre-ciente:

a) 23,5�

; 23,58; �23,2; �23; 23,56

b)3�2

, 5�4

, �4��3

, 0,5�

, 1�2

, �1��3

13

12

11

10

9

8

7

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I Números reales

Actividades


Actividades

II Radicales

Expresa en notación científica los siguientesnúmeros:

a) 5 237 �

b) 1 400 000 000 000 000 000 �

c) 0,008 �

d) 0,000 000 000 92 �

e) 3 000 000 000 �

f ) 0,000 006 49 �

Expresa en forma de potencia los siguientesradicales:

a) �3

2� �

b) �7� �

c) �5

94� �

d) �7

52� �

e) �5

63� �

f ) �7

43� �

Expresa en forma de radical estas potencias:

a) 43/7 �

b) 51/2 �

c) 62/3 �

d) 85/6 �

e) 23/5 �

f ) 91/5 �

Simplifica el índice de los siguientes radicales:

a) �4

225� �

b) �10

784� �

c) �6

216� �

d) �15

35� �

e) �26

913� �

f ) �36

1360� �

Introduce los factores dentro del radical:

a) 3�2� �

b) 2�3

9� �

c) 3�3

5� �

d) 5�7� �

e) 2�3

5� �

Opera:

a) 5�7� � 2�7� � 3�7� �

b) �4�

5

2��

�32��

7�2

2��

c) �3� � ��23�� 6�3� �

d) �2� � �3� � �7� �

e) �11� � 2�5� : �2� �

Racionaliza y simplifica:

a) ��4

2��

b) ��1

7��

c) ��5

1

34��

d) ��5� �

2

�3��

e) ��3� �

1

�2��

7

6

5

4

3

2

1


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Actividades

III Polinomios

Ordena los términos de estos polinomios deforma decreciente y suma los que sean seme-jantes:

a) P(x) � 7x3 � 5x � 3x2 � 2x6 � 4x2 � 6x6 � x5

b) Q(x) � 8 � x6 � �1

2� x2 � �

1

5� x4 � x2 � 4x

c) R(x) � x � 1 � 3x2 � 5x � x3 � x2 � 4

Efectúa los siguientes productos:

a) (x4 � 5x3 � x � 3) � (�2x3) �

b) (x4 � 9x3 � 2x) � (3x2 � 1) �

c) (�3x5 � x4 � 3x2 � 2) � (5x2 � 2x) �

Realiza las siguientes divisiones:

a) (2x5 � 4x4 � 6x2 � 8x) : (2x) �

b) (x4 � 2x3 � 3x2 � 4x) : (x2 � 2x) �

c) (x4 � 2) : (x2 � 1) �

Extrae factor común:

a) 4x � 24x2 � 16x3 �

b) 3(x � 1) � 8(x � 1)2 � 5(x � 1) � (x � 1) �

c) (x � 3)2 � 4(x � 3) � (x � 3) � 6(x � 3) �

Mediante la regla de Ruffini, calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones:

a) (x2 � 7x � 6) : (x � 1) �

b) (2x3 � 3x2 � x � 5) : (x � 2) �

c) (x4 � 8) : (x � 2) �

Descompón en factores los siguientes polinomiosutilizando las identidades notables.

a) x2 � 4x � 4 �

b) x2 � 9 �

c) 25x2 � 125 �

Dados P(x) � x � 3, Q(x) � x � 4 y R(x) � x � 5,realiza las siguientes operaciones:

a) Halla M(x) � P(x) � Q(x) � R(x).

b) Descompón en factores M(x).

c) ¿Cuáles son las raíces de M(x)?

d) ¿Para qué valores de x se anula el polinomioM(x)?

7

6

5

4

3

2

1


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Actividades

IV Ecuaciones y sistemas de ecuaciones


Ma

te

má

ti

ca

s

Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas:

a) x3 � 5x2 � 6x � 0

b) x4 � 5x3 � 5x2 � 5x � 6 � 0

c) x3 � 3x2 � 3x � 1 � 0

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) �

b) �

c) �

d)

�

Calcula la solución de estas ecuaciones racionales:

a) 1 � �x �

23

�

b) �x �

11

� � �x �

x1

� � �x2 �

51

�

c) �x2 �

x4

� � �x �

22

� � �x �

32

�

Resuelve gráficamente estos sistemas de ecuacio-nes e indica la posición relativa de las rectas querepresentan. Clasifícalos según su número de solu-ciones.

a) �

b) �

Calcula la solución del sistema de ecuaciones desegundo grado:

�x2 � y � 2x2 � y � 0

5

�x � y � 0�x � y � 2

x � y � 0x � y � 2

4

3

2

1

x � y � z � 6x � y � z � 0

x � y � 4z � 5

x � y � z � 0x � y � z � 2x � y � z � 0

5x � 5y � 82x � 2y � 4

x � y � �1x � y � 5


Actividades

V Inecuaciones

Resuelve las siguientes inecuaciones de primergrado:

a) 2x � 4 � 3x � 7

b) 5 � 2x � 8x � 7

c) x � 7 � 1 � 5x

Resuelve los siguientes sistemas de inecuacionesde primer grado:

a) �

b) �

Resuelve las siguientes inecuaciones de segundogrado:

a) x2 � 2x � 3 � 0

b) x2 � 3x � 4 � 0

Resuelve las siguientes inecuaciones de primergrado con dos incógnitas:

a) 8x � 4y � 0

b) 2x � y � 1

Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones de primer grado:

�2x � y � �1x � 1 � y

5

4

3

�4x � 2x � 6x � 5 � �9x

2x � 6 � xx � 5x � 12

2

1


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te

má

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ca

s


Actividades

VI Semejanza

Las medidas de las siguientes figuras están dadasen centímetros. Calcula, en cada caso, el valor de las incógnitas.

a)

b)

c)

Indica estas distancias sabiendo que el mapa estáa escala 1:50 000:

a) 15 km reales

b) 2 cm en el plano

c) 30 mm en el plano

Las medidas de las siguientes figuras están dadasen centímetros. Calcula, en cada caso, el valor delas incógnitas.

a)

b)

Halla el área de los siguientes polígonos sabiendoque las figuras correspondientes son semejantes:

a)

b)

Halla los lados pedidos de los siguientes polígonossabiendo que las figuras correspondientes sonsemejantes:

a)

b)

5

4

5 x

2 12

5

y3

3

3

2

1,94 cm

y

x

3,61 cm

2,45 cm

3,87 cm

1


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má

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ca

s


Actividades

VII Razones trigonométricas de ángulos agudos

¿Cuánto mide cada uno de los arcos abarcadospor los ángulos centrales indicados?:

a) Un ángulo de π––3

rad en una circunferencia de

4,6 cm de radio.

b) Un ángulo de 0,5 rad en una circunferencia de3,5 cm de radio.

c) Un ángulo de 78º en una circunferencia de 61 cm de radio.

d) Un ángulo de 10º en una circunferencia de 25 cm de radio.

Expresa en radianes (en función de π cuando seaposible) o en grados las siguientes medidas:

a) 20º

b) 12,5º

c)2π–––

3 rad

d)π––5

rad

e) 22,5º

f ) 0,6 rad

Halla el ángulo indicado de las siguientes figurassin usar la calculadora:

a)

b)

c)

d)

Halla los lados en cm de los siguientes triángulossin usar la calculadora ni el teorema de Pitágoras.

Halla los lados indicados con una incógnita de lossiguientes triángulos usando la calculadora.

Halla el ángulo indicado de los siguientes triángu-los rectángulos:

6

5

4

3

2

1


Ma

te

má

ti

ca

s

13

x

26

114

x

57

72

x72

10

x

5

10

x20

x x30º

60º 45º

30º60º

45º

5

5

82

x

xx��

10x

14

x

x20º

66º

6 20

8

x

x

x

15º35º

70º 80º

9

4

6

x

x

x

x

x

x5

3

4

5

4

9

10

123

6

a) c) e)

b) d) f )

a) c) e)

b) d) f )

b) d) f )

a) c) e)


Actividades

VIII Razones trigonométricas de cualquier ángulo

Reduce cada uno de los siguientes ángulos al pri-mer giro e indica el cuadrante al que pertenececada uno:

a) 600º

b) 405º

c) 4 800º

d) �135º

e) 1 860º

f ) �1 110º

g) 1 530º

Halla las razones trigonométricas directas de losángulos de la actividad anterior.

Representa en la circunferencia goniométrica lossiguientes ángulos con ayuda de un transportador.Utiliza una hoja de papel milimetrado y dibujauna circunferencia de 10 cm de radio y toma comovalor unidad esa equivalencia, escala 10:1.

a) 0 rad

b) 60º

c) �60º

d) 35º

e) 160º

f ) 250º

Determina aproximadamente los puntos de cortede los ángulos de la actividad anterior con la cir-cunferencia goniométrica y expresa aproximada-mente su seno y coseno.

4

3

2

1


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má

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ca

s


Actividades

VIII Razones trigonométricas de cualquier ángulo

Calcula, en cada caso, las demás razones trigono-métricas de:

a) sen α � 0,433, si 0º < α < 90º

b) cos α � �0,896, si α ∈ II cuadrante

c) tg α � 0,777, si 180º < α < 270º

d) cos α � 0,21, si 3π–––

2rad < α < 2π rad

e) sec α � �3, si α ∈ II cuadrante

f ) sen α � 0,683, si α ∈ I cuadrante

Sabiendo que sen α ��2�5

y 270º < α < 360º, calcula:

a) cos α

b) cos � π–––

2� α�

c) tg (π � α)

d) sec (π � α)

Dibuja cada uno de los siguientes ángulos en lacircunferencia goniométrica, relaciónalos con unángulo del primer cuadrante.

a) 1 230º

b) �690º

c) 840º

d) 855º

Halla la medida de todos los ángulos α, delprimer giro positivo, que tienen cada una de lassiguientes razones:

a) sen α � 0,78

b) cos α � 0,78

c) tg α � 8

d) tg α � �0,34

e) sen α � 0,101

f ) sec α � 6

8

7

65


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má

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s


Actividades

IX Vectores

Indica cuáles de los siguientes vectores tienen elmismo módulo, cuáles la misma dirección ycuáles el mismo sentido. ¿Existe equipolenciaentre alguno de estos vectores?

Para cada apartado usa el siguiente diagrama yexpresa cada vector en términos de u→ �

→PQ y

v→ �→PJ

a) OB→

b) DG→

c) TR→

d) PK→

e) VF→

f ) ZA→

Dados los puntos A (0, 2), B (1, 3), C (5, 3) y D (4, 2).Halla:

a) La distancia entre A y B

b) El punto medio entre C y D

c) El módulo de BC→

.

d) El punto medio entre C y B.

Suma los siguientes casos de vectores libres:

a)

b)

c)

d)

4

3

2

1

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Ma

te

má

ti

ca

s

c

a

e

p

q

d

g

h

f

b

v

u

A

F

V D G B

O

R TJ

P QK

v

u

vu

vu

w

21


Actividades

X Ecuaciones de la recta


Ma

te

má

ti

ca

s

Dadas las gráficas de las rectas siguientes halla: unpunto de la misma, su pendiente, el vector direc-tor y una determinación lineal de la recta.

a)

b)

Halla la ecuación vectorial, continua, punto�pen-diente y explícita de la recta que pasa por el puntoA y tiene la dirección de u

→.

a) A(2, 3), u→ � (�1, 2)

b) A(2, �4), u→ � (3, 9)

c) A(�2, �2), u→ �(1, �1)

d) A(1, �1), u→ � (6, 3)

Halla las ecuaciones vectorial, continua, punto-pen-diente y explícita de la recta que pasa por el puntoA y tiene pendiente m.

a) A(1, 2), m � 3

b) A(4, �3), m � 1––5

c) A(0, �3), m � 4

d) A(1, 0), m � �2

Dados los puntos A(0, 3), B(4, 4), C(4, 0) y D(0, 0)halla:

a) Las ecuaciones generales de las rectas quepasan por A y B, B y C, C y D y D y A.

b) Un vector director de cada recta.

c) La pendiente de cada recta.

Dadas las rectas r y s siguientes determina su posi-ción relativa:

a) r: (x, y) � (2, �1) � t (1, 2),

s: y � 3 ��1––2

(x – 1)

b) r: y � x � 3, s: y � 3 � 2(x – 4)

c) r: y � 2 � 3(x – 4), s: y � 1 � 3(x � 4)

d) r: x � 2y � 2 � 0, s: y � 3 �1––2

(x � 8)

Dada la recta r de ecuación 8x – 4y � 4 � 0:

a) Dibuja su gráfica.

b) Halla los puntos de corte con los ejes .

c) La pendiente.

d) La posición relativa con 4x � 2y – 2 � 0

6

5

4

3

2

1

X

Y

O

321

�2�4

�2�3�4

2 31�3 4

X

Y

O

321

�2�4

�2�3�4

2 31�3 4


Actividades

XI Características de una función


Ma

te

má

ti

ca

s

Estudia el dominio, el recorrido, la continuidad yla simetría de las funciones dadas por estasgráficas.

a)

b)

A partir de las siguientes gráficas de funcionesdetermina si son periódicas y en caso afirmativoindica su periodo.

a)

b)

A partir de las siguientes gráficas de funcionesdetermina si tienen asíntotas e indica si tienenalgún extremo relativo.

a)

b)

Calcula la TV y la TVM de la función f(x) � x2 � 4en los siguientes intervalos e indica su tendenciade crecimiento en ellos. ¿Tiene algún extremorelativo?

a) [�2, �1]

b) [1, 2]

Dibuja gráficas de funciones que cumplan:

a) Continua en �, con un mínimo en x � �2

b) Tiene una asíntota horizontal en y � 0 y dosverticales en x � 1 y x � �2

c) Continua en �, con un máximo y un mínimorelativo.

5

4

3

2

1

X

Y

O

321

�2�4

�2

�3

2 31�3 4�5�6

�4

X

Y

O

321

�2�4

�2�3

2 31�3 4�5�6

�4

X

Y

O

321

�2�4

�2�3�4

2 31�3 4

�5

�5

4

X

Y

O

321

�2�4

�2�3�4

2 31�3 4�5�6�7

X

Y

O

321

�2�4

�2�3�4

2 31�3 4�5�6 5

X

Y

O

321

�2�4

�2�3�4

2 31�3 4�5�6 5


Actividades

XII Función afín y función cuadrática


Ma

te

má

ti

ca

s

Dibuja las siguientes funciones afines e indica supendiente y ordenada en el origen.

a) f(x) � 3x

b) f(x) � x � 2

c) f(x)� �x � 1

d) f(x) � 2,5 x

e) f(x) � �2x � 3

f ) f(x) � � 1

g) f(x) � �

h) f(x) � �

i ) f(x)� �

j ) f(x) � �

k) f(x) � 2x �

l ) f(x) � �3x – 2,8

Dibuja las siguientes funciones cuadráticas e indi-ca su eje de simetría y su vértice.

a) f(x) � x2

b) f(x) � �x2

c) f(x) �

d) f(x) � 2x2

e) f(x) �

f ) f(x) � �4x2

g) f(x) � x2 � 3x � 2

h) f(x) � �x2 � x � 2

i ) f(x) � x2 � 4x � 3

j ) f(x) � (x � 1) (x � 2)

k) f(x) � (x � 2) (x � 2)

l ) f(x) � �(x � 3) (x � 2)

21

x

2

23

x2

12

x3

x

4

34

1

5

13

�x

5

x2

2

�x2

4



Ma

te

má

ti

ca

s

XII Función afín y función cuadrática

Representa gráficamente la función f(x) � x2 y, apartir de ella, dibuja las gráficas de las siguientesfunciones, indicando en cada caso el vértice y eleje de simetría.

a) f(x) � (x � 2)2

b) f(x) � �(x � 1)2

c) f(x) � (x – 2)2 � 1

d) f(x) � �(x – 1)2 � 4

Dibuja las siguientes funciones definidas porintervalos.

2 si x < �1

a) f(x) � 1 si �1 � x < 2

3 si x � 2

b) f(x) ��2x si x � �1

x si x > 1}

c) f(x) ��x si x < 1

x2 – 4x � 4 si x � 1}

3 si x <0

d) f(x) � �x2 si 0 � x < 2

(x � 2)2 si x � 2

43

Actividades

�

�

�

�


Actividades

XIII Funciones inversa, exponencial y logarítmica

Representa gráficamente las siguientes funciones:

a) f(x) �

b) f(x) � � 2

c) f(x) � � 1

d) f(x) �

e) f(x) � � 4

f ) f(x) � � 1

g) f(x) � 2x

h) f(x) � � �x

i ) f(x) � 1x

j ) f(x) � � �x

k) f(x) � 1, 2x

l ) f(x) � 0, 1x

Calcula los siguientes logaritmos:

a) log2 128

b) log2 256

c) log2 1024

d) log4 128

e) log4 256

f ) log4 1024

g) log8 128

h) log8 256

i ) log8 1024

Calcula los siguientes logaritmos usando la calcu-ladora (3 decimales):

a) log 32

b) log 64

c) log 512

d) log 0,128

e) log 2,56

f ) log 51,2

g) log 0,07

h) log 3 000

i ) log 5

Cambia los siguientes logaritmos a base decimal ycalcula su valor con la calculadora (3 cifras de-cimales):

a) log2 30

b) log3 45

c) log4 500

d) log5 140

e) log6 0,066

f ) log7 0,08

Representa gráficamente las siguientes funciones:

a) f(x) � log4 x

b) f(x) � log8 x

c) f(x) � log1/4 x

d) f(x) � log1/8 x

5

4

3

2

1


Ma

te

má

ti

ca

s

4x

12

15

1x

1x � 2

�1x

�4x

1x � 1


Color

Amarillo

Rojo 1

Rojo 2

Verde 1

Verde 2

Masa en gramos

450

39

20

90

1

Actividades

XIV Estadística

Para la realización de una determinada pintura seutilizan las siguientes proporciones para un botede 600 g.

a) Calcula los ángulos correspondientes paradibujar un diagrama de sectores.

b) Dibuja aproximadamente el diagrama de sec-tores.

Halla la media aritmética y la desviación típica delos siguientes conjuntos de números:

a) 3; 7; 1; 5; 2; 8; 2; 6

b) – 5 ; – 2; –1; 0,3; 1; 1, 1

c) 58; 61; 63; 70; 87

d) –0,4; – 0,2; – 0,1; 0; 0,2

Halla la mediana, cuartiles, y moda de los ante-riores conjuntos de números.

El número de ocupantes de 100 coches en unpeaje de una autopista es el siguiente:

a) Dibuja un diagrama de barras para mostrarestos datos y sobre él un polígono de frecuen-cias.

b) Halla la media, la mediana y la desviación típi-ca de esta distribución.

4

3

2

1


Ma

te

má

ti

ca

s

Ocupantes

1

2

3

4

5

Frecuencia

58

26

9

5

2


Actividades

XV Probabilidad

Calcula el valor de las siguientes expresiones:

a) V4, 1

b) VR3, 4

c) P3

d) V10, 3

e) VR3, 2

f ) P6

g) V6, 5

h) VR4, 3

i ) P7

Calcula el valor de las siguientes expresiones:

a) C4, 2

b) �4

2�c) C4, 3

d) �5

3�e) C7, 1

f ) �8

3�g) C9, 6

h) �25

24�i ) �5

0�

En un concurso de televisión llegan a la semifinal5 personas. Reciben premio la ganadora y la sub-campeona que recibe un premio de consolación,después de la gran final. ¿Cuántos repartos de pre-mios se pueden formar con las cinco personas?

Hay 8 socios que pueden formar parte del Consejode Administración de una empresa. El consejo loforman cinco personas. ¿Cuántos Consejos deadministración distintos se pueden formar?

Se lanza un dado una vez. Halla la probabilidadde obtener:

a) Un 2.

b) Un 1, un 2, un 5.

c) Un número menor que 3.

d) Un número distinto de 4 y 5.

Se extrae una carta de una baraja española de 40naipes. Después de verla se devuelve al mazo y sebarajan las cartas. Después se extrae una nuevacarta. Halla la probabilidad de que:

a) Las dos cartas sean de oros.

b) Sean dos ases.

c) No sean figuras.

Se extrae una carta de una baraja española de 40naipes. ¿Qué probabilidad hay de que sea de oroso de copas?

Una caja contiene 4 bolas blancas y 3 azules. Hallala probabilidad de sacar al azar una bola:

a) Blanca.

b) Azul.

c) Blanca o azul.

d) Blanca y azul.

Una caja contiene 4 bolas blancas y 3 azules. Seextraen dos bolas al azar.

a) Dibuja el diagrama de probabilidades.

b) Halla la probabilidad de que las dos sean blancas.

c) Halla la probabilidad de que la primera seablanca y la segunda azul.

d) Halla la probabilidad de que sean del mismocolor.

9

8

7

6

5

4

3

2

1

MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford Univversity Press España, S. A. 35

Ma

te

má

ti

ca

s


Actividades · Actividades VII Razones trigonométricas de ángulos agudos ¿Cuánto mide cada uno...

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