CUADERNO DE ACTIVIDADES - Aula Abierta de .Separar los siguientes números en racionales o...

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  • CUADERNO DE ACTIVIDADES

    MATEMTICAS I 1 Bachillerato CC.NN.

  • NMEROS REALES, POLINOMIOS, ECUACIONES e INECUACIONES

    Nmeros reales. Intervalos: 1. Separar los siguientes nmeros en racionales o irracionales, indicando, de la forma ms sencilla posible,

    el porqu:

    2...1,41421356 534 46, 0,1 133

    25- 3- 0 2,6 5

    3

    8

    1

    (Soluc: Q; I; I; Q; Q; Q; Q; I; Q; Q; Q; I)

    2. a) Representar sobre la misma recta real los siguientes racionales:

    3 5 3 11 19 3 0,6 2,25 3,9

    62 6 4 5

    b) Construir 10 y , , , ,3 ,2 8765 sobre la recta real (no necesariamente sobre la misma), medianteregla y comps, y la aplicacin del teorema de Pitgoras.

    3. Completar:

    REPRES. GRFICA INTERVALO DEF. MATEMTICA

    1 [-1,3]

    2

    3

    4 [-2,1)

    5 {xIR/ 1

  • Repaso fracciones, potencias y races:

    4. Operar, simplificando en todo momento:

    5 3 3 6 32

    4 5 5 9 4

    5 3 3 6 32

    4 5 5 9 4

    + =

    +

    : :

    : :

    5. Completar:

    m na a =

    m

    n

    aa

    =

    ( )nma =

    ( )n

    a b =

    nab =

    0a =

    na =

    nab

    =

    n1 =

    ( )par1 =

    ( )impar1 =

    ( )parbasenegativa =

    ( )impar

    basenegativa =

    REPRES. GRFICA INTERVALO DEF. MATEMTICA

    13 {xIR/ -2

  • Aadir estas frmulas al formulario matemtico de este curso. Utilizando las propiedades anteriores, simplificar la siguiente expresin:

    ( )( )

    =

    +

    3 2

    3 310

    1331

    222 (Sol: 1)

    6. Completar:

    Definicin de raz n-sima n a=x

    Casos particulares de simplificacin

    n nx =

    ( )nn x = Equivalencia con una potencia de exponente fraccionario

    n mx = Simplificacin de radicales/ndice comn

    n p m px =

    Producto de races del mismo ndice

    n na b=

    Cociente de races del mismo ndice

    n

    n

    a

    b=

    Potencia de una raz ( )mn a = Raz de una raz m n a=

    Introducir/Extraer factores nx a=

    Aadir estas frmulas al formulario matemtico de este curso. Utilizando las propiedades anteriores, simplificar la siguiente expresin:

    ( )33 2 333

    a a=

    a a(Sol: 3 13a )

    Repaso polinomios y fracciones algebraicas:

    7. Dados P(x) = 4 x5-8x4+2x3+2x2+1 y Q(x) = 4 x3-4x2+2x, se pide:

    a) Extraer el mximo factor comn de Q(x)

    b) P(x)-2xQ(x)

    c) Q(x) Q(x)

    d) P(x) : Q(x)

    8. Simplificar:4 2

    2

    x 5x 36x 9

    (Sol: x2+4)

    9. Operar y simplificar:2

    x 1 x 2 12x 2 x 2 x 4

    + + +

    2x + 3Sol :

    x + 2

    5

  • Repaso ecuaciones, sistemas e inecuaciones:

    10. Resolver:

    a) 11x x3 x 4 = 2x 3 16 6

    b) 20x + 7 4x + y

    = 29 2

    7x +1 2x 2y= x

    4 6

    (Sol: x=1, y=-2)

    c) ( )( ) ( )22 22x 3 2x 3 2x 3 41

    4x2 3 6

    + = (Sol: x=1)

    d) 47x3x2 =+ (Sol: x=114)

    e) 2

    2

    x 2 x x 1x 1 x 2x 3x 2

    = +

    (Sol: x=-3)

    f)

    =+=+

    1y3x2x

    1yx2

    (Sol: x1=4, y1=-3; x2=1, y2=0)

    g) 63

    3)3)(x(x

    6

    65x

    2

    2)-(x 2 ++

  • b)

    2 3 3

    23 3 2

    2 1 13 3 2

    ( 2) ( 3) ( 3)

    + = +

    (Sol: -4/179)

    c) ( )3

    28

    2 2 4 2

    2= (Sol: 24 252 )

    14. Dados P(x)=4x3+6x2-2x+3, Q(x)=2x3-x+7 y R(x)=7x2-2x+1, hallar:

    a) El valor numrico de P(x) para x=-2

    b) La factorizacin de R(x)

    c) P(x)+Q(x)+R(x) (Sol: 6x3+13x2-5x+11)

    d) P(x)-Q(x)-R(x) (Sol: 2x3-x2+x-5)

    e) P(x)+3Q(x)-2R(x) (Sol: 10x3-8x2-x+22)

    f) P(x) : (x+2) por Ruffini

    15. Operar y simplificar:

    =

    ++

    6x2x5x5x62x

    xx

    2

    2

    3

    x +1Sol :

    5x

    16. Resolver:

    a) 1600

    196x

    4801

    961=

    +(Sol: x=20)

    b) x y z 6

    2x y 3z 9

    x 2y z 2

    + = + = + + =

    (Sol: x=1, y=-2; z=3)

    c) 2

    2

    3x 1 6x 16x 1 3x 1

    + =+

    (Sol: x=0; x=2)

    d) 2 x 4 x 1 4+ = (Sol: x=5; x=13/9)

    e) 2 x2 xx 2

    = (Sol: x=2)

    f)

    =+=

    03xyx

    1y2x2

    g) 611

    2)2x)(2x(

    5x46

    )1x3)(1x3( ++++ [Sol: x(-,-5]U[1,)]

    h) 2x 10 x 2

    12 4x 3x 2

    3(x 2) 2(x 6)

    > + > + + +

    [Sol: x(6,10)]

    i) 1 xx

    [Sol: x[-1,0)U[1,)]

    7

  • 17. Sealar cules de los siguientes nmeros son racionales o irracionales, indicando el porqu:

    a) 3,629629629....

    b) 0,130129128...

    c) 5,216968888...

    d) 0,123456789...

    e) 7,129292929...

    f) 4,101001000...

    (Soluc: Q; I; Q; I; Q; I)

    18. Representar en la recta real los siguientes conjuntos numricos y nombrarlos empleando intervalos:

    a) {xIR/ -2-3}

    h) {xIR/ x5}

    i) {xIR/ |x|

  • c)

    ==

    yax

    ax2y2

    2

    = =3 3(Soluc : x a 2 , y a 4 )

    d) 3

    1x

    15

    45x

    5

    73x1

    +> (Sol: x

  • 31

    = 1296

    3 36Sol:36( )

    = 3

    93917

    533 (Sol: 2)

    27. Dados P(x)=x 6 +6x 5 +9x 4-x 2-6x-9 y Q(x)=x 2-9, se pide:

    a) Factorizar P(x), por Ruffini

    b) Q4(x), por Tartaglia

    c) P(x)-Q(x) Q(x)

    d) P(x) : Q(x)

    28. Operar y simplificar:

    2

    2

    x 1 x 2 x 1x 2 x 1x 1

    + + + = +

    )

    3 2

    3 2

    2x 2x 2xSol :

    x 2x x + 2(

    29. Resolver:

    a) -x2-x=0 (Sol: x1=0, x2=-1)

    b) 2

    2x3

    1 x=

    )= =Sol : x 3 / 3, x - 31 2(

    c) (x2+1)4=625 (Sol: x=2)

    d) (x2-1)4=0 (Sol: x=1)

    e) x810x 4 = (Sol: 3x = 0, x = 2 101 2 )

    f) 0xx = (Sol: / soluc.)

    g) 2x 4x 4 1+ + = (Sol: x1=-1, x2=-3)

    h) x6-16x2=0 (Sol: x=0, x=2)

    i) 25x3 =+ (Sol: x=3)

    j) x3=3x (Sol: x1=0, x2=3; x3=-3)

    k) -7x-7 (Sol: x1)

    l) x2

  • Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto:

    32. Indicar para qu valores de x se cumplen las siguientes relaciones; en el caso de las desigualdades,indicar la solucin mediante intervalos:

    a) |x|=5

    b) |x|5c) |x|>5

    c) |x-4|=2 (Sol: x1=2, x2=6)

    d) |x-4|2 (Sol: x[2,6])

    e) |x-4|>2 (Sol: x(-,2)U(6,))

    f) |x+4|>5 (Sol: x(-,-9)U(1,))

    g) |x|=-2

    h) |x|=0

    i) |x|2

    p) |x-2|0 [Sol: xIR-{-3}]

    m) x2-2x+1

  • Notacin cientfica:

    35. Pasar a notacin cientfica los siguientes nmeros:

    a) 300.000.000=

    b) 456=

    c) 0,5=

    d) 0,0000000065=

    e) 18.400.000.000=

    f) 0,000001=

    g) -78986,34=

    h) 0,0000093=

    i) 1.230.000.000.000=

    j) 14 billones =

    k) 150 millones $=

    l) 7,3=

    m) 73=

    n) 0,00010001=

    o) 10=

    p) 1=

    q) 0,011001=

    r) 16.730.000=

    s) -345,45

    36. Realizar las siguientes operaciones de dos formas distintas (y comprobar que se obtiene el mismo

    resultado):

    - Sin calculadora, aplicando slo las propiedades de las potencias.- Utilizando la calculadora cientfica.

    a) 2,5107+3,6107=

    b) 4,610-8+5,410-8=

    c) 1,5106+2,4105=

    d) 2,3109+3,251012=

    e) 3,2108-1,1108=

    f) 4,25107-2,14105=

    g) 7,2810-3-5,1210-3=

    h) (2109)(3,5107)=

    i) =7

    9

    210

    8,410

    j) ( )( ) =8-

    5-3

    2104103,210

    k) (2105)2=

    37. La estrella ms cercana a nuestro sistema solar es -Centauri, que est a una distancia de tan slo 4,3aos luz. Expresar, en km, esta distancia en notacin cientfica. (Dato: velocidad de la luz: 300.000km/s) Cunto tardara en llegar una sonda espacial viajando a 10 km/s? (Sol: 4,0681013 km)

    Miscelnea (II):

    38. Si el lado de un cuadrado aumenta 2 cm, su rea aumenta 28 cm2 Cules son las dimensiones delcuadrado originario? (Sol: Se trata de un cuadrado de lado 6 cm)

    39. a) Qu otro nombre recibe el intervalo [0,)? Y (-,0]?

    b) A qu equivale IR+ U IR- ? Y IR+ IR- ?

    40. a) Simplificar, reduciendo previamente a radicales semejantes:

    =+ 2273182125128 Sol: 2 + 3( )

    b) Racionalizar y simplificar:

    3 2 2 6 12

    3 2 2 7 6

    + =+

    (Sol: 11/7)

    12

  • 5

    3

    3 9

    2 243=

    15 113 Sol:6( )

    c) Operar y simplificar:

    ( ) ( ) =+ 215 37 2

    d) Simplificar y operar:

    64125 2 400 8000 + = Sol:3 5( )

    41. Un grupo de estudiantes alquila un piso por el que tienen que pagar 420 al mes. Uno de ellos hacecuentas y observa que si fueran dos estudiantes ms, cada uno tendra que pagar 24 menos. Cuntosestudiantes han alquilado el piso? Cunto paga cada uno? (Sol: 5 estudiantes a 84 cada uno)

    42. Calcular el volumen aproximado (en m3) de la Tierra, tomando como valor medio de su radio 6378 km,

    dando el resultado en notacin cientfica con dos cifras decimales. )( 3r34

    :esferaladeVolumen

    (Sol: 1,151021 m3)

    43. Con dos tipos de barniz, de 3,50 /kg y de 1,50 /kg, queremos obtener un barniz de 2,22 /kg. Cuntoskilogramos tenemos que poner de cada clase para obtener 50 kg de la mezcla? (Ayuda: plantear unsistema de ecuaciones de primer grado) (Sol: 18 kg del barniz de 3,50 y 32 kg del de 1,50)

    44. Racionalizar denominadores y simplificar:

    a) 10

    55 + 50+10 5Sol:10( )

    b) 3 3

    36Sol: 243( )

    c) 2 3 3

    2 3 3 12

    3+

    + (Sol: 7)

    d) 1 31 2 3

    +

    1+ 6- 2 2 - 3Sol:2( )

    45. Dos rboles de 15 m y 20 m de altura estn a una distancia de 35 m. En la copa de cada uno hay unalechuza al acecho. De repente, aparece entre ellos un ratoncillo, y ambas lechuzas se lanzan a su capturaa la misma velocidad, llegando sim