FOTOGRAMETRÍA TEMA 11

272

TEMA 11

TRIANGULACIÓN: MÉTODO DE LOS HACES DE RAYOS

11.1- Introducción

La Triangulación fotogramétrica es el proceso de determinación de los parámetros de orientación de un bloque de fotogramas y las

coordenadas terreno X, Y, Z de puntos individuales a partir de mediciones

de coordenadas foto.

Aerotriangulación o triangulación aérea es aquella que se realiza

sobre fotografías aéreas. La triangulación terrestre o de objeto cercano es

aquella que se realiza sobre fotos de levantamientos terrestres.

La aerotriangulación surge como respuesta a la necesidad de

minimizar el trabajo de campo en la obtención de puntos de apoyo para la

orientación y restitución de un vuelo fotogramétrico.

Recordemos que es necesario un mínimo de 3 puntos de control para

la orientación absoluta de un modelo.

La aerotriangulación permite reducir al mínimo el número de puntos

de control necesarios, estableciendo “puentes” entre áreas sin puntos de

control.

Resultados de la aerotriangulación:

- Elementos de orientación de todos los fotogramas o modelos

estereoscópicos (en función del método empleado)

- Coordenadas terreno de una serie de puntos (naturales,

artificiales, señalizados)

Otras características de la aerotriangulación son:

• Desarrollo del proceso en gabinete (trabajo de campo mínimo)

• Los datos se obtienen mediante medición indirecta.

• Detección de errores groseros en las mediciones topográficas y

fotogramétricas

FOTOGRAMETRÍA TEMA 11

273

Las aplicaciones de la aerotriangulación son, por ejemplo:

• Obtención de puntos de apoyo para cada modelo estereoscópico,

utilizados para su posterior orientación y restitución.

• Determinación de coordenadas de puntos con gran precisión (ingeniería,

catastro, …)

• Densificación de redes geodésicas de orden inferior

• Establecimiento de bases de replanteo

• ……

Fases de la aerotriangulación

• Preparación de los datos:

– Selección imágenes fotográficas

– Definición de pasadas

– Análisis de recubrimientos

– Recopilación información de la cámara

– Datos del vuelo

– Coordenadas de los centros de proyección

– Coordenadas de los puntos de apoyo

• Determinación de los puntos de paso: (lo hace todo el ordenador)

– Identificación y selección de puntos de paso y asignación de

identificadores

– Transferencia de puntos homólogos

– Medida de las coordenadas imagen de los puntos de paso

• Medición de las coordenadas imagen de los puntos de apoyo

• Compensación del bloque

– Corrección y análisis de los datos

– Detección de errores groseros

– Estudio y depuración de los resultados

– Determinación de los parámetros

FOTOGRAMETRÍA TEMA 11

274

11.2- Principio teórico del método

Vamos a ver dos métodos:

1- Modelos independientes:

Se basa en la orientación absoluta numérica del modelo estereoscópico.

2- Haces de rayos (bundle block adjustment):

Se basa en la orientación externa de un fotograma.

Es más preciso por haces de rayos porque tiene menos errores

intermedios al no tener que realizar la orientación relativa.

11.2.1- Principio teórico del método por modelos independientes:

Este método tiene un desarrollo paralelo al avance de los medios de

cálculo siendo uno de los más utilizados. Se adapta a cualquier tipo de

instrumento de restitución con tal que la precisión en las medidas sea la

adecuada. En la fase instrumental, se realiza la orientación relativa de cada

uno de los modelos objeto de la aerotriangulación y la medición de las

coordenadas de los puntos seleccionados y señalizados en las diapositivas

(puntos de apoyo, de paso y enlace).

Una vez finalizada la fase instrumental se tendrá cada uno de los

modelos con sistemas de coordenadas diferentes. Suele utilizarse como

origen de coordenadas de los modelos el respectivo centro de proyección

izquierdo.

La fase de cálculo consistirá en unir cada uno de los modelos

mediante transformaciones tridimensionales sucesivas de coordenadas, de

forma que todos los puntos del bloque estén referidos a un sistema de

coordenadas único para poder proceder de todos los puntos (puntos de

control menor o complementarios) del bloque fotogramétrico considerado.

Por lo general no existen diferencias entre la fase de cálculo y la de

ajuste-compensación ya que ambas se hacen en el ordenador de forma

simultánea.

El proceso es el siguiente:

Se orienta el primer modelo

FOTOGRAMETRÍA TEMA 11

275

Se orienta el segundo modelo

Se ponen los dos modelos a idéntica escala

FOTOGRAMETRÍA TEMA 11

276

Se van uniendo modelos hasta formar las pasadas

Y se pasa de tener varios modelos, cada uno en un sistema de coordenadas

independiente

a tener un sistema de coordenadas único para todos los modelos:

FOTOGRAMETRÍA TEMA 11

277

Modelos orientados individualmente:

Los centros de proyección instrumental se usarán como puntos

adicionales de paso durante la conexión de cada uno de los modelos del

bloque, con la labor de controlar el grado de inclinación longitudinal (Φ) de

los modelos, ya que los tres puntos de paso podrían dar lugar a una mala

determinación del giro longitudinal, pudiéndose cometer un error ∆Φ.

Se puede producir un error en la determinación del ángulo de inclinación

longitudinal:

La solución es hacer la conexión de modelos utilizando el centro de

proyección como punto de paso:

FOTOGRAMETRÍA TEMA 11

278

Digitalmente los CDP se determinan por colinealidad, conociendo

coordenadas terreno y coordenadas imagen.

En la fase de cálculo puede decirse que existen dos posibilidades a

seguir, una realiza el cálculo de los siete parámetros de la transformación

tridimensional de cada modelo de una vez y la otra realiza el cálculo en dos

fases, la primera calcula cuatro parámetros (H, κ, TX, TY) llamado ajuste

planimétrico y después se calcula el resto de los parámetros (φ, ω, TZ), es el

denominado ajuste altimétrico.

Los puntos de paso o puntos de enlace son puntos medidos en zonas de solape y que nos van a permitir enlazar correctamente el bloque.

En las zonas de solape no se conocen sus coordenadas terreno, basta

con identificar un punto y sus homólogos en otras fotografías, luego se

miden las coordenadas imagen.

Los puntos de enlace enlazan pasadas. Los puntos de paso enlazan fotos en un modelo.

Los puntos de control es lo mismo que los puntos de apoyo.

Los puntos de apoyo se utilizan si necesitamos coordenadas terreno

precisas conocidas. No hace falta que estén en las zonas de solape, pero han

de estar bien distribuidas. Necesitaremos muy pocos puntos de control.

Puntos de control mayor � PA.

Puntos de control menor � Puntos de paso.

FOTOGRAMETRÍA TEMA 11

279

Puntos de paso en modelos sucesivos

Puntos de paso en modelos sucesivos

Puntos de paso en pasadas sucesivas

Transferencia es marcar los puntos en la foto de manera clara.

FOTOGRAMETRÍA TEMA 11

280

En resumen:

- Necesitaremos como datos: CDP, Puntos de paso y puntos de

control.

- La unidad será el modelo estereoscópico.

- Utilizaremos los puntos de paso situados en las zonas de solape

entre modelos.

- Cada modelo puede trasladarse, girarse o cambiar de escala pero

no puede cambiar su forma ya que está formado correctamente

en la orientación relativa.

- Se aplicará la transformación de Helmert 3D.

- El ajuste pretende obtener los parámetros de orientación de cada

modelo (parámetros de orientación externa) utilizando puntos de

paso que enlazan modelos formando el bloque.

- Las condiciones son que los puntos de paso comunes en varios

modelos ajusten lo mejor posible y que los residuos en los

puntos de control sean mínimos.

- Hay dos formas de realizar el ajuste:

• Ajuste separado (Planimétrico � H, Tx, Ty, κ) (Altimétrico � Tz, ω, φ)

• Ajuste espacial: sin separar incógnitas en dos bloques.

mod

x

y

eloz

TX x

Y T H R y

Z zT

ωϕκ

= + ⋅ ⋅

Incógnitas: X, Y, Z de los puntos de paso. Además de Tx, Ty, Tz, H, κ, φ, ω

(parámetros de orientación absoluta de cada modelo).

De modo que tenemos 3 incógnitas por cada punto de paso y 7

incógnitas por cada modelo. Se generan 3 ecuaciones por cada punto de

paso. Para los puntos de apoyo solo habrá 7 incógnitas.

FOTOGRAMETRÍA TEMA 11

281

11.2.1.1- Ajuste separado: planimetría y altimetría. Planimetría 4 incógnitas (H, Tx, Ty, κ)

Altimetría 3 incógnitas (Tz, ω, φ)

Se hace una transformación de semejanza 3D:

� �. .

x

y

z

COORD COORDTERRENO MODELO

TX x

Y T H R y

Z zT

ωϕκ

= + ⋅ ⋅

Por Rκφω es una ecuación no lineal.

Si suponemos que κ φ ω son muy pequeños podemos utilizar una

aproximación de la matriz R:

1 1

1 1

1 1

sen sen

R sen sen

sen sen

κϕω

κ ϕ κ ϕ

κ ω κ ω

ϕ ω ϕ ω

− −

= − ≅ − − −

x

y

z

TX H a b x

Y T a H c y

Z b c H zT

= + − ⋅ − −

Haciendo un cambio de variable y considerando la matriz de rotación

simplificada:

a H sen

b H sen

c H sen

κ

ϕ

ω

= − ⋅

= ⋅

= − ⋅

FOTOGRAMETRÍA TEMA 11

282

11.2.1.1.1- Ajuste planimétrico.

Se hace una transformación conforme de semejanza 2D: Tx, Ty, H, κ.

Se usan puntos de paso y puntos de control como dato:

x

y

TX a b x

TY b a y

− = + ⋅

cosa H

b H sen

κ

κ

= ⋅

= ⋅

x

y

x T x a x b

y T y a x b

= + ⋅ − ⋅

= + ⋅ − ⋅

Ecuaciones de observación:

Puntos de control: Coordenadas terreno conocidas y exactas

1 0

0 1

x

x y

y

T

RX x y T

RY y x a

b

− + = ⋅

Para un punto de control en un modelo, las dimensiones serán:

( ) ( ) ( ) ( )2_ _ _ ,1 2 ,1 2 ,4 4,1ec por punto pto ptoK R A x

⋅ ⋅+ = ⋅

Puntos de paso: (coordenadas terreno desconocidas).

0 1 0 1 0

0 0 1 0 1

x

y

x

y

T

T

R x y a

R y x b

X

Y

− −

+ = ⋅ −

FOTOGRAMETRÍA TEMA 11

283

Hay 6 incógnitas:

( )2 ,4 2 _pto punto pasoA

⋅ + ⋅

Y lo mismo para los puntos de control:

1 0 0 0

0 1 0 0

0

0

x

y

x

y

T

T

RX x y a

RY y x b

−

+ = ⋅

Sistema de ecuaciones:

( ) ( ) ( ) ( )2 ,1 2 ,1 2 ,4 mod 2 4 mod 2 ,1pto pto pto elo pp elo ppK R A x

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅+ = ⋅

pto = nº de puntos medidos.

pp = nº de puntos de paso.

Las soluciones serán los parámetros correspondientes a los modelos

y las coordenadas de los puntos de paso.

11.2.1.1.2- Ajuste altimétrico. Tz, ω, φ.

Se obtiene a partir de la transformación de semejanza 3D (3ª ecuación).

' 'zZ T x sen y sen z Hϕ ω= − ⋅ + ⋅ + ⋅

Sustituyendo:

'

sen a

sen b

z H z

ϕ

ω

=

=

⋅ =

FOTOGRAMETRÍA TEMA 11

284

Queda:

' ' 'zZ T x a y b z= − ⋅ + ⋅ +

Siendo x’ y’ z’ las coordenadas modelo después de aplicarle el ajuste

planimétrico.

Ecuaciones de observación:

Puntos de control:

( ) ( )' 1 ' '

z

z

T

Z z R x y a

b

− + = − −

Dimensiones:

( ) ( ) ( ) ( )1 ,1 1 ,1 1 ,3 3,1pto pto ptoK R A x

⋅ ⋅ ⋅+ = ⋅

Puntos de paso:

( ) ( )0 ' 1 ' ' 1

z

z

T

az R x y

b

Z

− + = − −

Dimensiones:

( ) ( ) ( ) ( )1 ,1 1 ,1 1 ,3 1 3 1 ,1pto pto pto pp ppK R A x

⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅+ = ⋅

Centros de proyección:

0 0 ' 0 1 0 0

0 0 0 ' 0 1 0

0 ' 1 ' ' 0 0 1

z

x

y

CDP

zCDP

CDP

T

aR z

bR z

Xz x yR

Y

Z

−

+ = − − − −

FOTOGRAMETRÍA TEMA 11

285

Dimensiones:

( ) ( ) ( ) ( )3 ,1 3 ,1 3 ,3 3 3 3 ,1CDP CDP CDP CDP CDPK R A x

⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅+ = ⋅

En la orientación relativa numérica

obtendremos las coordenadas modelo del

CDP.

El sistema general de ecuaciones consiste

en hacer una ecuación por cada punto

medido, ya sea pc o pp.

( ) ( ) ( ) ( )1 3 ,1 1 3 ,1 1 3 ,3 mod 3 1 3 mod 3 1 ,1pto CDP pto CDP pto CDP elo CDP pp elo CDP ppK R A x

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅+ = ⋅

11.2.1.2- Ajuste espacial.

Se obtienen los 7 parámetros a la vez.

Los datos son los puntos de control, los puntos de paso y los CDP.

La transformación de semejanza 3D no es lineal en κ φ ω por lo que

hay que linealizar en un sistema de ecuaciones que podamos resolver.

La linealización:

- Con ángulos pequeños se hace una matriz de rotación

simplificada.

x

y

z

TX H a b x

Y T a H c y

Z b c H zT

= + − ⋅ − −

a H senκ= − ⋅ b H senϕ= ⋅ c H senω= − ⋅

FOTOGRAMETRÍA TEMA 11

286

- Hay que linealizar la función mediante el desarrollo en serie

de Taylor.

x

y

z

TX x

Y T H R y

Z zT

κϕω

= + ⋅ ⋅

0

0

0

x x

y y

z z

F Tx X

F H R y T Y

z ZF T

= ⋅ ⋅ + − =

( )0

0 0 0 0 00

0x

Fx Fx Fx Fx Fx FxF Fx dH d d d dTx dX

H Tx Xω ϕ κ

ω ϕ κ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = + + + + + −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( )0

0 0 0 00 0

0y

Fy Fy Fy Fy Fy FyF Fy dH d d d dTy dY

H Ty Yω ϕ κ

ω ϕ κ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = + + + + + −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( )0

0 0 0 0 00

0z

Fz Fz Fz Fz Fz FzF Fz dH d d d dTz dZ

H Tz Zω ϕ κ

ω ϕ κ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = + + + + + −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( )

( )

( )

11 12 13

21 22 23

31 32 33

0 0

0 0

0 0

x x

y y

z z

x

F H r r r y T X

z

x

F H r r r y T Y

z

x

F H r r r y T Z

z

= = ⋅ + − =

= = ⋅ + − =

= = ⋅ + − =

Particularizando para unos valores iniciales aproximados (es lo que

significa el sub 0)

FOTOGRAMETRÍA TEMA 11

287

11

Fxa

H

∂=

∂ aij = derivadas parciales.

( ) 11 12 13 14 15 1800

xF Fx a dH a d a d a d a dTx a dXω ϕ κ= = + + + + + −

( ) 21 22 23 24 26 2900yF Fy a dH a d a d a d a dTx a dYω ϕ κ= = + + + + + −

( ) 31 32 33 34 37 3,1000zF Fz a dH a d a d a d a dTz a dZω ϕ κ= = + + + + + −

Hay que tener en cuenta:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1 0 0

0 1 0

0 0 1

a a a

a a a

a a a

=

18 19 1,10

28 29 2,10

38 39 3,10

1 0 0

0 1 0

0 0 1

a a a

a a a

a a a

−

= − −

( )

dH

dK R A

d

ω

ϕ

+ = ⋅ �

Es un proceso iterativo:

H1 = H0 + dH

ω1 = ω0 + dω

�

�

FOTOGRAMETRÍA TEMA 11

288

Tras la 1ª iteración los valores iniciales son sustituidos por los

valores corregidos. Vuelve a empezar el proceso y se repite una vez tras

otra hasta que las correcciones sean inferiores a los valores que hemos

fijado.

Por cada punto de control tenemos 3 ecuaciones y 7 incógnitas por

modelo.

Por cada punto de paso y CDP tendremos 3 ecuaciones, 7 incógnitas

por modelo y 3 incógnitas más de las coordenadas terreno.

El ajuste se resuelve por MMCC.

Ajuste del bloque y CDP:

Para puntos de paso:

( )

( )

( )

0 11 12 13 14

21 22 23 240

31 32 33 340

1 0 0 1 0 0

0 1 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1

dH

d

d

dFx a a a a

dTxR Fy a a a a

dTya a a aFz

dTz

dX

dY

dZ

ω

ϕ

κ

− −

+ − = − −−

nº ecuaciones: 3 por punto medido.

nº incógnitas: 7 por cada modelo + 3 por cada punto de paso distinto.

Los CDP cuentan como puntos de paso.

FOTOGRAMETRÍA TEMA 11

289

Para puntos de control o apoyo:

( )

( )

( )

0 11 12 13 14

21 22 23 240

31 32 33 340

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

dH

d

d

dFx a a a a

dTxR Fy a a a a

dTya a a aFz

dTz

dX

dY

dZ

ω

ϕ

κ

−

+ − = −

Resolvemos el sistema y obtenemos las correcciones con las que

calcularemos los valores compensados.

Valores compensados = valores iniciales aproximados + corrección.

aprox

aprox

aprox

aprox

aprox

aprox

aprox

aprox

aprox

aprox

H H dH

d

d

d

Tx Tx dTx

Ty Ty dTy

Tz Tz dTz

X X dX

Y Y dY

Z Z dZ

ω ω ω

ϕ ϕ ϕ

κ κ κ

= +

= +

= +

= +

= +

= +

= +

= +

= +

= +

FOTOGRAMETRÍA TEMA 11

290

Precisión de la AT por modelos independientes: La precisión de las coordenadas ajustadas depende de diversos factores

como el tipo de cámara aérea, la escala de la fotografía, los solapes entre

fotografías, la geometría del bloque, el número y distribución de los puntos

de apoyo, etc

La precisión teórica se basa en la determinación del error estándar en

puntos comunes en distintos modelos.

El estudio considera por separado la precisión planimétrica y la

altimétrica.

Precisión planimétrica:

El profesor Ackermann ha estudiado este tema en detalle y sus

investigaciones han dado lugar a numerosas publicaciones. En una de ellas

se presentan las conclusiones principales mediante perspectivas muy

expresivas que permiten apreciar la influencia de la distribución de los

puntos de apoyo en la precisión final de la compensación (Fig. 1,2 y 3).

En estos estudios se analizó:

• Distribución y numero de puntos de apoyo. • Influencia del tamaño y forma de los bloques. • Influencia de los solapes. • Tipo de objetivo (se hicieron comparaciones con tomas granangulares y supergranangulares).

Para el estudio teórico se calculan las coordenadas X, Y de los

puntos de enlace por mínimos cuadrados usando las observaciones

indirectas, podemos obtener su precisión, más correctamente, los

coeficientes de peso Qxx y Qyy, mediante la inversión de la matriz de

ecuaciones normales. Como resultado de la estructura simétrica en X e Y,

los coeficientes de los pesos son idénticos y son llamados QLL. Por tanto

tenemos la precisión σB,PL de las coordenadas X e Y de los puntos de enlace

después del ajuste del bloque:

FOTOGRAMETRÍA TEMA 11

291

donde σ0 es el error de la unidad de peso del ajuste, la precisión σx o σy de

una coordenada modelo x o y, expresado en el sistema de coordenadas

terreno. La cantidad (QLL)1/2 puede ser considerada como un factor que

multiplicado por la precisión σM,PL (σM,PL = σ0 · mb - precisión en un

modelo simple -) de las coordenadas XY en los modelos individuales, da la

precisión planimétrica σM,PL del bloque.

La figura 1 muestra esos factores (QLL)1/2 para varios tamaños de

bloque, cada uno de los cuales contiene un punto de control en las cuatro

esquinas del bloque. La cantidad σmax indica el máximo error planimétrico

del bloque, mientras que σmedida indica el valor de la precisión de todos

los puntos de enlace del bloque.

Puede observarse de la figura 1 que la exactitud cae

significativamente a medida que el tamaño del bloque aumenta y el error

medio cuadrático más grande de se da en el medio de los bordes del bloque.

FOTOGRAMETRÍA TEMA 11

292

Es por consiguiente obvio que si se desea aumentar la precisión

global se tendrá que proporcionar un modelo denso de puntos de control a

lo largo de los bordes del bloque. El éxito de semejante estrategia se

muestra en la figura 2.

Por tanto la precisión es casi independiente del tamaño del bloque y

está cerrada a la precisión en un solo modelo.

FOTOGRAMETRÍA TEMA 11

293

Si se comparan los resultados de esta figura con lo de la anterior

(figura 2), puede observarse que los puntos de apoyo dentro del bloque no

traen cambios significativos en precisión.

Para cada uno de estos cuatro casos de control planimétrico (P1, P2,

P3 y P4) el valor de µXY (precisión significativa) depende del tamaño del

bloque, expresado por el número de longitudes de base “np“, viene dado

por:

siendo:

np es el número de pasadas del bloque.

σ0 es el error medio cuadrático planimétrico del peso unidad.

FOTOGRAMETRÍA TEMA 11

294

i = nº ptos de apoyo

b = base.

Error estándar planimétrico del bloque:

,B PL XY bmσ µ= ⋅

Error máximo planimétrico del bloque:

EJEMPLO: Bloque 5 x 8 (pasadas x modelos)

Fotogramas escala 1:10.000

Restituidor analítico de 1er orden

σ0,PL = 6 µm

Ptos señalizados artificialmente

ns = 5

TIPO Nº PA µXY

(micras) ,B PL XY bmσ µ= ⋅

(metros)

(metros)

P1 18 5.42 0.054 0.137

P2 16 5.58 0.056 0.142

P3 8 6.48 0.065 0.165

P4 4 10.32 0.103 0.262

18 = 1 cada 2 modelos - 1 por cada pasada.

FOTOGRAMETRÍA TEMA 11

295

Precisión altimétrica:

Se ponen cadenas altimétricas transversales a la dirección de las

pasadas.

Lo que influye en la precisión es el número de modelos que habrá

entre una cadena de puntos altimétricos, y la siguiente.

Gráficamente:

La ecuación correspondiente a la precisión altimétrica es:

Solo depende del valor i.

donde:

i puente entre perfiles altimétricos transversales.

σ0,ALT es el error medio cuadrático altimétrico del peso unidad.

Error estándar planimétrico del bloque:

FOTOGRAMETRÍA TEMA 11

296

Error máximo altimétrico del bloque:

EJEMPLO:

Bloque 5 x 8 modelos.

Escala 1:10.000

σ0,ALT = 9 µm.

Nº de cadenas

de PA

Nº de modelos

de separación

(i)

µZ (micras)

(metros)

(metros)

2 8 18.90 0.189 0.480

3 4 10.98 0.101 0.257

4 3 9 0.09 0.229

5 2 7.02 0.07 0.178

FOTOGRAMETRÍA TEMA 11

297

OTRO PROBLEMA: Area 12 x 12 km. Configuración de los PA: Tipo 2 ���� 16 PA Focal 153 mm. 23 x 23 cm. Recubrimiento longitudinal 60 %, transversal 30 %. σ0 = 15 µm. ¿Escala de vuelo para que la precisión altimétrica de los puntos calculados en la AT sea de 10 cm?

( ) 0,0.83 0.02xy s PLnµ σ= + ⋅ ⋅

,B PL XY bmσ µ= ⋅

Se resuelve por tanteo:

CASO 1: 110.000

E =

S = 0,23 · 10.000 = 2300 m.

A = S · (1-q) = 2.300 · (1 - 0,3) = 1.610 m.

12.000 2.3001 6,02 1 7,02 8

1610sn pasadas

−= + = + = �

( )0.83 0.02 8 15 14,85xy mµ µ= + ⋅ ⋅ =

, 14,85 10.000 0,149 .B PL m mσ µ= ⋅ =

No es válida esta escala.

, 0,1 14,85B PL bm mσ µ= = ⋅

mb = 6.734

FOTOGRAMETRÍA TEMA 11

298

CASO 1: 16.000

E =

S = 0,23 · 6.000 = 1.380 m.

A = S · (1-q) = 1.380 · (1 - 0,3) = 966 m.

_1_

12.000 1.3801 11,99 12 13

966s

mejor más

n pasadas pasadas−

= + = ⇒� ��

( )0.83 0.02 13 15 16,35xy mµ µ= + ⋅ ⋅ =

, 16,35 6.000 0,098 0,10B PL XY bm m m mσ µ µ= ⋅ = ⋅ = <

11.2.2- Principio teórico del método por haces de rayos (“BUNDLE”):

En fotogrametría topográfica se piensa siempre en términos de

modelos producidos por pares de fotografía. Sin embargo, indudablemente

el procedimiento más flexible para la formación y ajuste de bloques y en

general para la mayoría de las situaciones fotogramétricas, es a través del

uso de los haces de rayos producidos por los fotogramas individuales. Es

decir, la unidad del ajuste es el fotograma.

En fotogrametría de objeto cercano (Non-Topographic

Photogrammetry) la formación y ajuste de bloques, en general, se realiza a

través del uso de los haces de rayos producidos por los fotogramas

individuales, donde son posibles las configuraciones convergentes

producidos por una posición múltiple de la cámara, siendo este método el

que mejores posibilidades ofrece. En los trabajos de naturaleza topográfica,

donde los ejes de la cámara son casi paralelos, esta técnica es, también la

más flexible de todas y la que mejores resultados proporciona. Sin

embargo, el número de ecuaciones que se produce es también mayor y así,

para hacer pleno uso de ello, también se requieren mayores potencia de

cálculo.

En un ajuste por haces de una pasada o bloque de fotografías, con al

menos 60% de recubrimiento longitudinal y 20% de recubrimiento

transversal, podemos calcular directamente las relaciones entre las

coordenadas imagen y las coordenadas objeto, sin introducir coordenadas

FOTOGRAMETRÍA TEMA 11

299

modelo como paso intermedio. Por tanto la fotografía es la unidad

elemental del ajuste por haces.

La figura 1 muestra el principio. Las coordenadas imagen y el centro

de proyección asociado de una fotografía definen un haz espacial de rayos.

Los elementos de la orientación externa de todos los haces de un bloque se

calculan simultáneamente para todas las fotografías. Los datos iniciales son

las coordenadas imagen de los puntos de enlace (puntos que existen en más

de una fotografía) además de las coordenadas imagen y coordenadas objeto

de los puntos de control.

Se basa en el

método de

resección

espacial de un

fotograma y en

las ecuaciones

de colinealidad.

FOTOGRAMETRÍA TEMA 11

300

El principio de este ajuste se basa en que los haces de rayos se

desplazan (tres translaciones – X0, Y0, Z0 -) y giran (tres giros - ω, φ, κ -),

por tanto, los haces:

• intersectan unos con otros en los puntos de control menores y mayores

• pasan a través de los puntos de control lo más cerca posible.

Se utiliza como modelo matemático las ecuaciones de colinealidad:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

11 0 12 0 13 0

31 0 32 0 33 0

m X X m Y Y m Z Zx f

m X X m Y Y m Z Z

− + − + − = ⋅− + − + −

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

21 0 22 0 23 0

31 0 32 0 33 0

m X X m Y Y m Z Zy f

m X X m Y Y m Z Z

− + − + − = ⋅− + − + −

Necesitaremos los parámetros de orientación interna de los fotogramas.

X Y Z serán las coordenadas terreno que en el caso de los puntos de paso

serán incógnitas y en el caso de los puntos de apoyo serán datos.

Los datos de la orientación externa (CDP y κ φ ω) serán las

incógnitas:

X0 Y0 Z0 serán las coordenadas terreno del CDP.

ijm matriz de rotación T

Rωϕκ rotaciones.

Hay que linealizar las ecuaciones de colinealidad.

( )14 15 16 11 0 12 0 13 0 11 12 13 0x Xr B d B d B d B dX B dY B dZ B dX B dY B dZ Fω ϕ κ= + + − − − + + + +

( )24 25 26 21 0 22 0 23 0 21 22 23 0y Yr B d B d B d B dX B dY B dZ B dX B dY B dZ Fω ϕ κ= + + − − − + + + +

Bij son las expresiones de las derivadas parciales.

14

FxB

ω

∂=

∂

11

FxB

X

∂=

∂

FOTOGRAMETRÍA TEMA 11

301

( )0XF = valor particularizado para un punto.

( )0XF = Xm - Xc

�( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

11 0 12 0 13 0

31 0 32 0 33 0

0paralinealizarlo

m X X m Y Y m Z ZFx x f

m X X m Y Y m Z Z

− + − + − = = − ⋅− + − + −

Si conocemos las coordenadas terreno del punto y todos los

parámetros podremos calculas la X calculada. Deberían ser iguales pero lo

normal es que no lo sean.

( )0YF = Ym - Yc

También se puede llamar:

( )

( )

0

0

m c m

m c m

rFx X X X f

q

sFy Y Y Y f

q

= − = − ⋅

= − = − ⋅

Para ver cuales son las ecuaciones hay que ver cuantas ecuaciones se

introducen.

( ) 14 15 16 11 0 12 0 13 0 11 12 130x Xr F B d B d B d B dX B dY B dZ B dX B dY B dZω ϕ κ− = + + − − − + + +

( ) 24 25 26 21 0 22 0 23 0 21 22 230y Yr F B d B d B d B dX B dY B dZ B dX B dY B dZω ϕ κ− = + + − − − + + +

Expresándolo de forma matricial:

( )

( )

0

0 14 15 16 11 12 13 11 12 13

0

24 25 26 21 22 23 21 22 2300

x

y

d

d

d

dXFxr B B B B B B B B B

dYr B B B B B B B B BFy

dZ

dX

dY

dZ

ω

ϕ

κ

− − − − + = − − −−

FOTOGRAMETRÍA TEMA 11

302

2 ecuaciones por cada punto

6 parámetros por observación externa

3 por puntos de paso

Ecuaciones para puntos de control:

( )

( )

0

0 14 15 16 11 12 13

0

24 25 26 21 22 2300

0 0 0

0 0 0

0

0

0

x

y

d

d

d

dXFxr B B B B B B

dYr B B B B B BFy

dZ

ω

ϕ

κ

− − − − + = − − −−

2 ecuaciones por cada punto

6 parámetros de orientación externa.

Sistema de ecuaciones:

Nº de ecuaciones: 2 por cada punto medido.

Nº de incógnitas: 6 parámetros de orientación externa multiplicada por el

número de fotogramas además de las correcciones a coordenadas terreno, 3

por cada punto de paso.

Hay que conseguir redundancia suficiente para resolver por MMCC.

Es un proceso iterativo. En cada iteración se obtienen nuevos valores

compensados que sustituyen a los valores originales, así sucesivamente

hasta que los puntos nuevos obtenidos con cada iteración converjan (que

los valores nuevos a penas difieren de los anteriores).

El proceso es ωi+1 = ω

i + dω

i

FOTOGRAMETRÍA TEMA 11

303

Para ver la precisión en función de cómo pongamos los puntos de apoyo:

Precisión planimétrica en función del punto de apoyo:

Recubrimiento longitudinal 60% y transversal 20% o 60%.

Tipo q = 20 % q = 60%

P1 00,9XYµ σ= ⋅ 00,6XYµ σ= ⋅

P2 ( ) 00,5 0,025XY snµ σ= + ⋅ ⋅ ( ) 00,4 0,015XY snµ σ= + ⋅ ⋅

P3 ( ) 00,3 0,08XY snµ σ= + ⋅ ⋅ ( ) 00,3 0,04XY snµ σ= + ⋅ ⋅

P4 00,27XY snµ σ= ⋅ ⋅ 00,14XY snµ σ= ⋅ ⋅

ns = nº de pasadas.

σ0 = error medio cuadrático en la medida de peso unidad.

Luego se calcula ,B PL XY bmσ µ= ⋅

FOTOGRAMETRÍA TEMA 11

304

Precisión altimétrica en función del punto de apoyo:

Depende de i = nº de modelos entre cadenas de PA.

( ) 01,0 0,18

Ziµ σ= + ⋅ si q = 20 %

00,31Z iµ σ= ⋅ ⋅ si q = 60 %

FOTOGRAMETRÍA TEMA 11

305

Aerotriangulación por haces de rayos con autocalibración:

Son parámetros adicionales para modelizar los errores sistemáticos

de la imagen.

Hay que seleccionar que parámetros se introducen en el sistema

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

11 0 12 0 13 0

0

31 0 32 0 33 0

m X X m Y Y m Z Zx x x f

m X X m Y Y m Z Z

− + − + − + ∆ = + ⋅− + − + −

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

21 0 22 0 23 0

0

31 0 32 0 33 0

m X X m Y Y m Z Zy y y f

m X X m Y Y m Z Z

− + − + − + ∆ = + ⋅− + − + −

x0 y0 f = centro de proyección en coordenadas imagen de los parámetros de

orientación interna de la imagen.

∆x ∆y son funciones matemáticas que representan los parámetros

adicionales que uno elija.

Con todo esto se puede calibrar la cámara empleada. Con lo que podemos

calibrar cámaras no métricas.

FOTOGRAMETRÍA TEMA 11

306

Métodos de detección de errores groseros: (“BLUNDERS”)

A) Métodos clásicos (estadística):

- MMCC

Hay varios test para valorar la bondad de los resultados.

Serían, por ejemplo, Boarda, Chi-cuadrado, pope… para ver si el ajuste es

correcto.

El inconveniente es que lo que hacen es repartir el error.

B) Métodos robustos:

( )V mínimaφΣ

Se minimiza una función de los residuos y se obtienen unos pesos Pi

en función de los residuos.

1º) Pesos iniciales iguales y resolución del sistema.

2º) Residuos obtenidos � asignamos nuevos pesos.

3º) Resolver el sistema

Hacemos iteraciones volviendo al paso 2 hasta conseguir resultados

coherentes.

Ejemplos de métodos “robustos”; método danés, estimador de Huber,

estimador de mínima suma…

Método o estimador danés:

Ajuste MMCC inicial con pesos iniciales iguales.

Se obtienen los residuos Ri

Se definen nuevos pesos.

FOTOGRAMETRÍA TEMA 11

307

( )( )

2

2

1_ _

_ _

i

i

Ri

k

i

si R k

P R

e si R kσ

σ

σ−

⋅

≤ ⋅

= > ⋅

K suele ser 2 o 3.

Ejemplo del método danés: Observaciones:

X1 = 10 X2 = 11 X3 = 11 X4 = 12 X5 = 100

Media:

10 11 11 12 10028,8

5mX

+ + + += =

Residuos:

r1 = 18,8 r2 = 17,8 r3 = 17,8 r4 = 16,8 r5 = 71,2

Suponemos k = 2, σ = 5: ( )

2

2

1_ _ 2 5 10

_ _ 10

i

i

R

k

i

si R

P

e si Rσ

−⋅

≤ ⋅ =

= >

Nuevos pesos:

P1 =

218,8

100 0,03e−

=

P2 = 0,04

P3 = 0,04

P4 = 0,06

P5 = 96,10-24 0�

FOTOGRAMETRÍA TEMA 11

308

Calculamos una media ponderada:

0,03 10 0,04 11 0,04 11 0,06 12 0 10011,2

0,17mX

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= =

Esto es un proceso iterativo, hay que seguir:

Residuos:

r1 = 1,2 r2 = 0,2 r3 = 0,2 r4 = 0,8 r5 = 88,8

Nuevos pesos

P1 =1

P2 = 1

P3 = 1

P4 = 1

P5 =

288,8

35100 5,7 10 0e−

−= ⋅ �

Se calcula la media ponderada

1 10 1 11 1 11 1 12 0 100 4411

4 4mX

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= = =

A partir de aquí las posteriores iteraciones convergen.