Momento de inercia12 - OCW UPMocw.upm.es/ingenieria-agroforestal/fisica/contenido/tema-4/mdi... ·...
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Momento de inercia de un cono de radio R, altura H masa M respecto a su centro de gravedad El volumen del cono es H R V 2 3 1 π = y su masa H R M 2 3 1 ρπ = Consideramos un sistema de referencia tal que su eje de revolución es el eje OZ, y la base es el plano XOY. El momento de inercia respecto al centro de gravedad es la suma del momento de inercia respecto al eje GZ y el momento de inercia respecto al plano perpendicular (XGY) que pasa por él. El momento de inercia respecto al eje GZ es m d r I GZ ∫∫∫ = 2 ; consideramos un elemento diferencial de volumen rdzdr dV π 2 = , situado a una distancia r del eje GZ. Es un cilindro hueco de radio interior r, radio exterior r+dr y altura dz, por lo que la masa es rdzdr dm π ρ 2 = . La distancia z varia entre 0 (en la base) y H (en el vértice) y la distancia r varía entre 0 (en el eje) y R. El momento de inercia respecto a GZ es ∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ = = = dr zr rdrdz r dm r I GZ 3 2 2 2 2 π ρ π ρ donde el valor de z es variable, dependiendo de r, H R r z ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = 1 , por tanto 2 2 2 4 5 4 4 3 10 3 10 3 3 10 5 4 2 2 MR R HR R H R R R H dr R r r H I GZ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ∫ ρπ ρπ πρ π ρ Aplicando el teorema de Steiner, el momento de inercia respecto al plano que pasa por el centro de gravedad (XGY) es igual al momento de inercia respecto a un plano paralelo a él, que pasa por la base, menos la masa por el cuadrado de la distancia que separa ambos planos (el centro de gravedad se encuentra a H/4 de la base). El momento de inercia respecto al plano que pasa por la base del cono es m d z I base ∫∫∫ = 2 Elegimos un elemento diferencial de volumen, que es un cilindro de radio r, situado a una distancia z de la base. Su masa es dz r dm 2 ρπ = , siendo ) ( z H H R r − = . Por tanto ) ( zH z H H R r 2 2 2 2 2 2 − + = z r dz
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Momento de inercia de un cono de radio R, altura H masa M respecto a su centro de
gravedad
El volumen del cono es HRV 2
31 π= y su masa HRM 2
31 ρπ=
Consideramos un sistema de referencia tal que su eje de revolución es el eje OZ, y la base es
el plano XOY.
El momento de inercia respecto al centro de gravedad es la suma del momento de inercia
respecto al eje GZ y el momento de inercia respecto al plano perpendicular (XGY) que pasa
por él.
El momento de inercia respecto al eje GZ es mdrIGZ ∫∫∫= 2 ;
consideramos un elemento diferencial de volumen rdzdrdV π2= ,
situado a una distancia r del eje GZ. Es un cilindro hueco de radio
interior r, radio exterior r+dr y altura dz, por lo que la masa es
rdzdrdm πρ2= . La distancia z varia entre 0 (en la base) y H (en el
vértice) y la distancia r varía entre 0 (en el eje) y R. El momento de
inercia respecto a GZ es
∫∫∫∫∫∫∫∫ === drzrrdrdzrdmrIGZ322 22 πρπρ donde el valor de z es
variable, dependiendo de r, HRrz ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= 1 , por tanto
2224544
3
103
103
3105422 MRRHRRH
RRRHdr
RrrHIGZ =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= ∫
ρπρππρπρ
Aplicando el teorema de Steiner, el momento de inercia respecto al plano que pasa por el
centro de gravedad (XGY) es igual al momento de inercia respecto a un plano paralelo a él,
que pasa por la base, menos la masa por el cuadrado de la distancia que separa ambos planos
(el centro de gravedad se encuentra a H/4 de la base).
El momento de inercia respecto al plano que pasa por la base del cono es mdzIbase ∫∫∫= 2
Elegimos un elemento diferencial de volumen, que
es un cilindro de radio r, situado a una distancia z de
la base. Su masa es dzrdm 2ρπ= , siendo
)( zHHRr −= . Por tanto )( zHzH
HRr 222
2
22 −+=
z
r dz
1
Por tanto el momento de inercia respecto a la base es
( )
XOY
H
base
IMHHHR
HRHHHHHH
RdzHzzzHHRI
==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
==⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+=−+= ∫
222
324532
2
2
0
34222
2
101
101
31
301
42
532
ρπ
ρπρπρπ
El momento de inercia respecto al plano paralelo que pasa por el centro de gravedad es,
aplicando el teorema de Steiner
2
803 MHI XGY =
22
103
803 MRMHIG +=
