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10.5 – Momento angular Unidades S.I.: kg.m 2 /s v m r p r L × = × = v O r L Direção e sentido: regra da mão direita Módulo: mvl mrv L L = = = φ sen φ φ l m (momento angular de uma partícula) Relação entre momento angular e torque: ( ) v m r dt d dt L d × = × + × = dt v d m r v m dt r d ( ) ( ) a m r v m v × + × = 0 τ = × = F r

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10.5 Momento angular

Unidades S.I.: kg.m2/s

vmrprL

==v

O

rL

Direo e sentido: regra da mo direita

Mdulo: mvlmrvLL === sen

l

m

(momento angular de uma partcula)

Relao entre momento angular e torque:

( ) vmrdtd

dtLd

=

+

=

dtvdmrvm

dtrd

( ) ( )amrvmv += 0

== Fr

dtLd

= (anlogo a ) dt

pdF

=

Momento angular de corpo rgido girando em torno de um eixo: Dividimos o CR em fatias:

Fatia do CR girando em torno do eixo z

Momento angular da i-sima partcula

90seniiiii vrmLL ==

( )iii rrm= 2iirm=Somando por todas as partculas da fatia:

= 2i

iirmL I=

(anlogo a ) mvp =

Outra fatia do CR girando em torno de z

Partcula movendo-se para fora do plano

Partcula movendo-se para dentro do plano

Somando por todas as fatias:

Se o eixo de rotao for um eixo de simetria, o momento angular

ter a mesma direo do eixo

Assim: IL =

dtLd

=

De maneira semelhante, partindo da equao para uma partcula:

E somando por todas as partculas do CR, obtemos:

dtLd

= (aqui contribuem apenas os torques externos)

10.6 Conservao do momento angular

dtLd

= Se a resultante dos torques externos for nula:

0=dtLd

constante= L

Exemplo: patinadora no gelo

zffziiz IIL ,, ==

Ao fechar os braos, a patinadora reduz o momento de inrcia ( ), de modo que a velocidade angular aumenta ( ).

if II

http://www.youtube.com/watch?NR=1&v=htVsVA2m1_w

Vdeo: Physics Demonstrations in Mechanics II-9

Demonstrao: cadeira giratria

Um gato em queda livre conserva o momento angular?

http://www.youtube.com/watch?v=Ua4Gh_4XdwQ

Exemplo: Y&F 10.11

Anlise do movimento:

http://www.youtube.com/watch?v=yGusK69XVlk

Exemplo: Y&F 10.14

Problema: Y&F 10.98 (centro de percusso)

Vdeo: Physics Demonstrations in Mechanics II-11

10.7 Giroscpios e precesso Demonstrao: roda de bicicleta

Caso 1: roda parada

Vista de cima

Caso 2: roda girando

Vista de cima

Precesso do momento angular

Momento angular inicial

da roda

Outros exemplos: precesso do eixo de rotao da Terra, precesso do pio (demonstrao)

Vdeo: Physics Demonstrations in Mechanics VI-5

Clculo da velocidade angular de precesso:

Em um intervalo dt, o momento angular e o eixo de rotao da roda precessionam por um ngulo d

Velocidade angular de precesso (no caso do eixo de rotao ortogonal ao eixo de precesso):

dtd

=dt

LLd

=L

=I

mgr=

Exemplo: torque na precesso do eixo de rotao da Terra

rad/s1066,7s108,2

rad 2 anos rev/26.000 1 12-11 ===

N.m1042,2)sen(26,5)sen(26,5

22===

LL

s

kg.m1007,724h

rad 252 2332 =

==

MRIL

Cinemtica de uma partcula Rotao de um CR

Posio ngulo

Velocidade Velocidade angular

Acelerao Acelerao angular

Massa Momento de inrcia

Energia cintica

Energia cintica

Fora Torque

2a. Lei

2a. Lei

Trabalho Trabalho

Potncia Potncia

Momento linear Momento angular

2a. Lei

2a. Lei

dtpdF

vmpvFP

dxFdWmaF

F

mv

mavx

xx

x

xextx

x

x

x

x

=

===

= ,

2

21

Completando a analogia cinemtica linear e rotao de CR:

dtLd

IL

PddW

I

I

I

zz

z

zextz

z

z

z

z

=

=

==

=

,

2

21

Prximas aulas:

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