L = NL/EA δδδδh = QL/GA - uff.br - Deformacoes na Flexao.pdf · 10.1 – Deflexões por...

J - Deformações na Flexão

1

10.0 – Deformações na Flexão. Nos capítulos anteriores obtivemos expressões (com formatos semelhantes) que relacionam as deformações para cada um dos esforços solicitantes, a saber: 10.1 – Deflexões por curvatura das vigas

No caso de uma viga reta carregada transversalmente, seu eixo longitudinal se encurvará to-mando o formato da chamada linha elástica. O raio de curvatura da linha elástica será obtido, como visto através da equação 5.7.3, escrevendo (1/ρ) = M/EI. Realmente: a fig. 10.1.1 nos mostra que

# na tração pura: δδδδL = NL/EA # no corte puro: δδδδh = QL/GA

# na torção* pura : δθδθδθδθ = TL/GJP

*eixos circulares

# na flexão pura: δϕδϕδϕδϕ = ML/EI

N

Q T

M

δL

δh

δθ

δϕ

tg dϕ � dϕ = ε ds / y. Como ε = σ/E e σ = (Μ/Ι)y, obtem-se: dϕ / ds = M / E I............................. (10.1.1) sendo (EI) o chamado “produto de rigidez”. Levando em conta que ds = ρ dϕ, chega-se a 5.7.3. Por outro lado, nos cursos de Cálculo Diferencial determinou-se a curvatura (k = 1/ρ) das curvas pla-nas como sendo dada por: k = 1/ρ = (d2y/dx2)/[1+(dy/dx)2]3/2 já que ds2 = dx2 + dy2. Representando por “f” a ordenada corres-pondente à flecha do eixo neutro a cada valor da abscissa x da seção, e como a declividade das vigas (df/dx = tgϕ) é sempre muito pequena, tornando o seu quadrado desprezível em presença da unidade, podemos escrever: df/dx = ϕ; 1/ρ = d2f/dx2 , obtendo-se a de-nominada “equação diferencial da linha elástica”: ................(10.1.2) Conhecendo-se como variam o momento fletor M e o momento de inércia I a cada ordenada x da seção, a integração sucessiva da equação 10.1.2 nos informará a deflexão ϕ = ϕ (x) e a flecha f = f(x).

d2f / dx2 = dϕϕϕϕ/dx = ΜΜΜΜ/EI

f (Flecha)

f

x

ϕ

Fig. 10.1.1 – Flechas e deflexões nas vigas fletidas.

x

Eixo neutro da viga defletida

ρ

dx

dy ds

dϕ

dϕ

ds

(1 + ε) ds

ρ

y

dϕ

L


2

10.2 – Linha Elástica por Integração. Através de alguns exemplos, apresentaremos o método para determinação da e-quação da linha elástica, por integração da equação 10.1.2, permitindo-nos obter valores de deflexões angulares e flechas nas vigas.

Exemplo10.2.1 - Para a viga bi-apoiada repre-sentada, de comprimento L, seção com momen-to de inércia baricêntrico I e material com mó-dulo de elasticidade E, submetida a um carre-gamento uniformemente distribuído q, estabele-cer os valores da flecha máxima no meio do vão e as deflexões angulares nos dois apoios.

q

qL/2 qL/2

-qL/2 Q

M

ϕ

f

x

↑+

↑+

↑+

↑-

↓ -

↓ -

↓ -

↓ +

Solução: q(x) = q; Q(x) = - ∫ q dx = -qx + C1; Q = qL/2 para x=0 → Q(x) = q(L/2 – x);

M(x) = ∫ Q dx = ½ qL x – q x2/2 + C2; Como M=0 para x = 0 → M(x) = ½ q (Lx – x2);

EI dφ/dx = M(x) = ½ q (Lx – x2); EI (φ) = ∫ M(x)dx = ½ q (Lx2/2 – x3/3 + C3);

Pela simetria, pode-se inferir que φ = 0 p/ x = L/2 e EI (φ) = ½ q (Lx2/2 – x3/3 + L3/12);

φ(x) = (q/24EI) (6Lx2 – 4x3 + L3); para x = 0, φ0 = - qL3/24EI; φL = + qL3/24EI

f(x)=∫φ(x)dx=(q/24EI)(6Lx3/3 – 4x4/4 + L3x + C4); Como f(0)=0, C4 =0 e

f(x) = (q/24EI) (2Lx3 – x4 + L3x); para x = L/2, f máx = - 5 q L4 / 384 EI

f máxφ0

Exemplo 10.2.2 – Para o perfil de aço S127x15 esquemati-zado (E = 210GPa e G = 80GPa), calcular a flecha na ex-tremidade livre do balanço. Para a seção reta do perfil são conhecidos: Área – 1850mm2; I = 5,04 x 106 mm4; h = 127mm

127

800

9,92kN

L/2

L

P x

Q

M

φ

f

Solução: Q(x) = P; M(x) =-P(x – L); EI φ(x) = P(x2/2 - Lx); φ(x) = (P/EI)(x2/2 - Lx); f(x) = (P/2EI)(x3/3 – Lx2)

φ(L) = -PL2/2EI; f(L) = -PL 3/3EI

Para os valores numéricos apresentados teremos:

σmáx =(9,92x103 x0,8 / 5,04x10-6)x(0,127/ 2)= 100MPa

f máx = 9,9 2x103 x0,83 / 3x210x109x5,04x10-6= 1,6x10-3m f máx = 1,6mm

Se avaliarmos o deslocamento vertical do eixo neutro na extremidade em balanço da viga, decorrente da força cortan-te, verificaremos ser ele desprezível em presença do provoca-da pela flexão:

δh = ξ QL/GA = (3/2) 9,92x103x0,8 / 80x109 x 1850x10-6 = 80,4x10-6m

fL

ϕL

ϕL


3

Exemplo 10.2.3: A simetria no caso de viga bi-apoiada com carga concentrada no meio do vão, permite evitar que se enfrente a dificuldade de se ter duas equações para M(x), a saber: x(0→L/2)........ M(x) = ½ Px x(L/2→L)....... M(x) = ½ Px – P(x – L/2). No trecho x(0→L/2)........ (EI)ϕ(x) = Px2/4 + C1. A simetria nos permite concluir que ϕ=0 para x=L/2, dando C1= -PL2/16. x(0→L/2)........ (EI)f(x) = Px3/12 –(PL2/16)x + C2. Co-mo f=0 para x=0, C2 = 0, e finalmente obtemos:

ϕ = (P/EI)(x2/4 – L2/16); f =(P/EI)[x3/12 – (PL2/16)x].

Para x=0, ϕϕϕϕ0000 = − = − = − = − PL2/ 16EI; Para x = L/2, fmáx = PL3/48EI.

Exemplo 10.2.3: A viga esquematizada é denomi-nada “de igual resistência”, sendo empregada (a-pós cortes longitudinais e montagem como mostra a figura) na fabricação de feixe de molas. Mostre que a máxima tensão normal é a mesma ao longo de toda a sua extensão e calcule a flecha máxima na extremidade do balanço.

B/2 B/2

* (prolongamento para levar em conta a tensão limite de cisalhamento devido à força cortante). Solução: Numa seção genérica, distante (x) do engaste tere-mos: M(x) = - P(L –x); I(x) = bH3/12 sendo b = B/L(L – x).

(σmáx)x = (M/I)H/2 =[6P(L-x)/(B/L)(L-x)H3]H=6PL/BH2, valor constante. Da mesma forma: dϕ/dx = -M/EI = 12P(L-x)/E(B/L)(L-x)H3= = 12PL/EBH3; ϕ = (12PL/EBH2)x + C1; C1=0 pois ϕ = 0 quando x = 0. Finalmente: f = f(x) = (6PL/EBH2)x2+ C2 , sendo C2 = 0 já que f(0)=0. A flecha na extremidade (x = L) valerá: fmáx = 6PL3/EBH3 (Resp.)

H

L P

x

L/2 L/2

P

P/2 P/2

-P/2 P/2

PL/4

M

ϕϕϕϕ

f fmáx ϕϕϕϕ0000

Exemplo 10.2.4: Para a viga bi-apoiada, com carga concentra-da fora do meio do vão, o trabalho algébrico fica bastante e-xaustivo, pois teremos duas equações para o momento fletor:

- no intervalo x (0, a) → M1(x) = (Pb/L)x - no intervalo x (a, L) → M2(x) = (Pb/L)x – P(x – a).

Integrando duas vezes as duas expressões de M(x)/EI, os resul-tados incluirão 4 constantes arbitrárias que serão determinadas através das 2 condições de contorno (f = 0 para x = 0 e para x = L) e das 2 condições de compatibilidade de deformações (para x = a, tanto o ângulo ϕ como a flecha f deverão ter valo-res idênticos, quando se utiliza as equações de momento, à esquerda e à direita do ponto de aplicação da força P). Após cálculos enfadonhos obtemos:

ϕϕϕϕ0 = - Pb(L2 – b2) / 6EI; ϕϕϕϕL = + Pa(L2 – a2) / 6EI; fmáx = - Pb(L2 – b2)3/2 /9(√3)EIL , em xm=√(L2 – b2)/3

f(L/2) = -Pb(3L2 – 4b2)/48EI (≠fmáx)

a b

P

Pb/L Pa/L

-P/2

Pab/L

M

ϕϕϕϕ

f fmáx ϕϕϕϕ0000

Q

ϕϕϕϕL

xm

*

b


4

10.3 – Linha Elástica por Integração, utilizando Funções Singulares. Objetivando evitar o transtorno de representar matematicamente o momento fletor M(x) através de várias equações, correspondentes aos trechos onde o carregamento se diversifica, surgem as funções chamadas “singulares” (pois não satisfazem as condições exigidas pelos matemáticos para a designa-ção das funções, por suas descontinuidades). Tais funções singulares têm a seguinte definição: (x – a)n ........ para x ≥ a <S(x)> = <x – a>n = Zero ............ para x < a A integração e a derivação de tal tipo de função fornecem:

∫ < x – a >n dx = [1/(n+1)]< x – a > n+1 ............... (n ≥ 0) (d/dx) < x – a >n = n < x – a > n-1 ..................... (n ≥ 1)

n = 0 n = 1 n = 2 n = 3

< x – a >0

< x – a >1

< x – a >2

< x – a >3

a x a x a x a x

1

Exemplo 10.3.1: Para a viga esquematizada, de-terminar: (a) o ângulo de deflexão da viga no a-poio A da esquerda e (b) a flecha no meio do vão.

0

a a a a

B A M

P q

RA RB

Solução: Reações nos apoios: RA = M/4a + P/2 + qa/8; RB = - M/4a + P/2 + 7qa/8; Momento Fletor: M(x) = RA x – M < x-a >0 – P < x – 2a >1 – ½ q < x-3a>2

Integrando uma vez para obtenção dos ângulos ϕ da linha elástica teremos:

EI ϕ(x) = RA x2/2 – M < x-a >1 – ½ P < x – 2a >2 – q/6 < x-3a >3 + C1

Integrando mais uma vez, para obtenção das flechas f da linha elástica teremos: EI f(x) = RA x

3/6 – ½ M < x-a >2 – P/6 < x – 2a >3 – q/24 < x-3a >4+C1x + C2;

As condições de contorno nos informam que: f(0)=0, → C2 = 0; e f (4a) = 0, portanto: 0 = RA (4a)3/6 – ½ M (3a)2 – P/6 ( 2a )3 – q/24 (a)4 +C1(4a),de onde tiramos o valor de C1, levando em conta o valor de RA escrito acima:

C1 = (11/24) Ma – Pa2 –(31/96) qa3; A deflexão angular da linha elástica no apoio da esquerda corresponde ao valor de ϕ(0), ou seja:

ϕ(0) = C1 / EI =(11/24) Ma / EI – Pa2 /EI –(31/96) qa3 / EI (Resp.a) A flecha no meio do vão será calculada fazendo x = 2a, obtendo-se: EI f(2a)= (M/4a + P/2 + qa/8)(2a)3/6 - ½ Ma2 + [(11/24) Ma – Pa2 –(31/96) qa3](2a) f(meio do vão)* = 13Ma2/12EI – 4Pa3/3EI – 23qa4/48EI (Resp. b). * Obs.: a flecha calculada não é a flecha máxima (que ocorre na seção onde ϕ = 0)

0 0 0


5

Exemplo 10.3.2 – Para o eixo ABC esquematizado, de aço (E = 200 GPa) maciço (D = 150 mm), calcule as flechas na extremidade A do balanço e no meio do vão entre os mancais B e C.

O cálculo das reações dos mancais fornece RB = 25,5 kN (↑). A equação para o momento fletor em função da ordenada x será:

M(x) = - 9 x + 25,5 <x – 2> - (12/2) <x – 3 >2 + (12/2) < x – 5 >2

* Observe que para representar o carregamento distribuído lançou-se mão da expres-são (q/2) < x – 3 >2 , que se estende desde x = 3m até x = 7m (em C), da qual foi diminuí-do um carregamento fictício (q/2) < x – 5 >2 que se estende desde x = 5m até x = 7m. Procedendo a uma primeira integração obtemos: EI ϕ (x) = - (9/2) x2 + (25,5/2) <x – 2>2 – (6/3) <x – 3>3 + (6/3) <x – 5>3 + C1 Integrando novamente teremos: EI f (x) = - (9/6) x3 + (25,5/6) <x – 2>3 – (2/4) <x – 3>4 + (2/4) <x – 5>4 + C1x + C2

A condição de contorno f = 0 para x = 2 fornece: ...............2 C1 + C2 = 12, enquanto que a condição f = 0 para x = 6 indica que: ..................... 6 C1 + C2 = 92. Resolvendo o sistema obtemos: C1 = + 20 kN.m2; C2 = - 28 kN.m Como E = 200 x 109 N/m2 e I = (π/64)D4 = (π/64)(0,150)4 = 24,85 x 10-6 m4, o produto de rigidez EI = 4,970 x 106 N.m2

A flecha na extremidade em balanço (x = 0) é f(0) = C2 / EI = -28x103/4,970 x 106 f(0) = 5,634 mm (↓). A flecha no meio do vão entre os mancais (x = 4) valerá: f(4) x EI = [- (9/6) 43 + (25,5/6) <4 – 2>3 – (2/4) <4 – 3>4 + (2/4) (0) + 20x4 + (-28)] f(4) = 2,113mm (↓). Caso se quisesse pesquisar o valor da máxima flecha positiva (↑) do eixo, concluirí-amos que ela ocorreria ente o mancal B (x = 2, f = 0) e o meio do vão (x = 4), onde a flecha já é negativa. Em tal seção (f é máx) ϕ = 0 e então: 0 = - (9/2) x2 + (25,5/2)(x - 2)2 – (6/3)(x - 3)3 + 20.

Admitindo que a seção procurada ocorra entre o mancal e o início da carga distribuí-da (portanto, para 2<x<3) teríamos: 0 = - (9/2) x2 + (25,5/2)(x-2)2 – (6/3)( 0 )3 + 20. ou seja: 7,75 x2 – 49 x + 69 = 0, tendo como soluções: x = 2,117 e x = 4,205. A solução que se enquadra na hipótese feita é x = 2,117m (à direita do mancal B). Para tal seção: (EI) f + = - (9/6) (2,117)3 + (25,5/6)(2,117 – 2)3 + 20 x 2,117 - 28 = + 0,1666. fmáx

+ = 0,1666 x 103 / 4,970 x 106 = + 0,035 mm

2,00 m 1,00 m 1,00 m 2,00 m

9,00 kN 12,0 kN/m

D = 150 mm

RB = 25,5 kN RC = 7,5 kN

A

B C

x


6

10.4 – Cálculo de flechas e deflexões pela analogia de Mohr (momentos de áreas -momento do momento/EI) A dupla integração da equação d2M/dx2 = -q(x) para obtenção de M = M(x), se-guida da dupla integração da equação d2f/dx2 = M(x)/EI para obtenção de f = f(x), levou Mohr a propor a seguinte analogia: encarando as ordenadas do diagrama invertido de momentos fletores M = M(x), divididas pelo produto de rigidez EI, como um “carrega-mento fictício” distribuído sobre uma “viga fictícia equivalente”, o diagrama de forças cortantes fictício para tal carregamento virtual corresponderá às deflexões angulares ϕ = ϕ (x), enquanto o diagrama de momentos fletores fictícios corresponderá à linha elástica f = f(x).

Exemplo 10.4.1 – Utilizando a analogia de Mohr, de-terminar os valores máximos de deflexão angular e flecha para a viga bi-apoiada esquematizada na figu-ra. Solução: o traçado do diagrama de momentos fletores indica uma variação linear, à esquerda e à direita do ponto de aplicação da carga P, onde atinge o valor má-ximo Pab/L. Invertendo o desenho, dividindo suas or-denadas pelo produto de rigidez EI e encarando a figu-ra formada como uma distribuição de carga virtual (qv) com dois trechos lineares, atingindo o valor máximo Pab/LEI, aplicada a uma viga também fictícia, de mesmas dimensões, as reações fictícias seriam obtidas fazendo: (RA)V L = [½ (Pab/LEI)a](b+a/3) + [½ (Pab/LEI)b](2b/3); (RA)V = Qv (0) = ϕ (0) = - (Pab/6L2EI)(a2 + 3ab + 2b2)= = - Pb(L2 – b2)/6LEI; Analogamente obtem-se: (RB)V = QV(L) = ϕ(L) = +(Pab/6L2EI(b2 + 3ab + 2a2)= = + Pa(L2 – a2)/6LEI, que correspondem aos ângulos de deflexão da elástica nos dois apoios da viga. Para a determinação da flecha máxima calcula-remos a ordenada x para a qual o ângulo ϕ da linha elástica se anula, escrevendo: (Pab/6L2EI)(a2 + 3ab + 2b2)=½ (Pbxm /LEI)xm, ou: (xm)2

= (a/3L)(a2 + 3ab + 2b2); xm=√(L2 – b2)/3 A flecha máxima será determinada calculando-se o momento fletor virtual provocado pelo carregamento virtual na seção de abscissa xm para a qual ϕ = 0: fmáx = MV(xm)= (RA)v xm – [½ (Pbxm)LEI]xm(2/3 xm) obtendo-se:

fmáx = -Pb(L2 – b2)3/2 / 9√3 LEI. Fazendo a = b = L/2 nas equações acima, obte-mos os resultados apresentados no exemplo 3 (carre-gamento simétrico).

a b

L

P

A

RA=Pb/L RB=Pa/L

(q)

(Q)

+Pb/L

-Pa/L

Pab/L

(M)

qv ≡ (M/EI) Pab/LEI

(RA)v

Qv ≡ (ϕϕϕϕ)

(RB)v

M v ≡ (f)

xm

fmáx

Observe os sinais de ϕ nos dois apoios, correspondentes ao sinais das forças cortantes do carregamento virtual.

+


7

No exemplo estudado, a “viga virtual” à qual se aplica o carregamento virtual (M/EI), segundo a analogia de Mohr, foi idêntica à viga real bi-apoiada à qual se aplica o carregamento real. No caso da existência de extremidades em balanço ou engastadas, a “viga virtual” deverá ser modificada para con-siderar:

1) na extremidade livre em balanço da viga real, a força cortante e o momento fletor serão nulos, porém a deflexão angular e a flecha não;

2) numa extremidade engastada da viga real, a força cortante e o momento fletor não serão nulos, mas tanto a flecha como o ângulo da elástica serão nulos;

3) numa rótula há força cortante, porém o momento fletor é nulo. Para levar em conta tais circunstâncias, a “viga virtual” auxiliar deve ser conjugada em relação à real, como nos exemplos a seguir.

P

PL/EI

L

P

a 3a

Pa/EI

livre engaste rótula apoio

Exemplo 10.4.2: Utilizando a analogia de Mohr, determinar a inclinação e a flecha da linha elás-tica na extremidade livre da viga em balanço car-regada com uma força uniformemente distribuí-da. Solução: Para a viga real, teremos no en-gastamento: Q = qL; M = - ½ qL2; O carregamento virtual terá a forma de uma parábola do 2º grau, atingindo o valor máxi-mo qL2/2EI. A viga auxiliar virtual será livre à esquer-da (onde o cortante e o momento virtuais serão nulos, correspondendo a ângulo e flecha nulos na viga real) e será engastada à direita (onde os valo-res de cortante e momento virtuais corresponde-rão ao ângulo e à flecha na extremidade da viga real). Teremos: (QV)D = ϕD = - 1/3 (qL2/2EI)L = - qL3/6EI ( área sob a parábola = ⅓ bh, com cg em b/4). (MV)D = fD = (-qL3/6EI)(3/4 L) = - qL4/8EI.

q L

+qL

q(x)

Q(x)

Viga Real

Viga Auxiliar

-qL2/2

qL2/2EI

3L/4

Área=⅓bh

cg

M(x)

qV(x) = M/EI

QV(x) = ϕϕϕϕ(x)

MV(x) = f(x)

-


8

Exemplo 10.4.3 – Para o eixo mostrado na figura, de aço (E = 210 GPa) com diâmetros escalo-nados pede-se determinar a flecha e o ângulo de deflexão na extremidade livre do balanço. Solução: O diagrama de momentos fletores é o repre- Os momentos de inércia do eixo valem sentado abaixo: em d=92mm → I = π (92)4/64 = 3,517 x 106 mm4

em D=137mm → I = π (137)4/64 = 17,29x106 mm4

Os correspondentes produtos de inércia serão: em d = 92mm → EI = 0,7386 x 106 Nm2

em D=137mm → EI = 3,631 x 106 Nm2

Através da analogia de Mohr, o carregamento fictício, obtido utilizando o diagrama de mo-mentos fletores invertido (portanto positivo) dividido pelos correspondentes produtos de inércia (EI) e aplicado à viga auxiliar, fornece: A reação vertical fictícia V no engaste da viga auxiliar corresponde ao ângulo de deflexão na extremidade livre da viga real: ϕ = V = ½ (8,262 – 2,479) x10-3 x 0,700 + 2,479x10-3 x 0,700 + ½ 12,19 x 10-3 x 0,900 = 0,009245 rd = 0,53º O momento fletor fictício M no engaste da viga auxiliar corresponde à flecha na extremidade livre da viga real: f = M= [½ (8,262 – 2,479) x10-3 x 0,700] x [0,9 + (2/3) 0,7] + [2,479x10-3 x 0,700] x (0,9 + ½ 0,7) + + [½ 12,19 x 10-3 x 0,900] x (2/3)0,9 = 0,008227 m = 8,23 mm

20 kN

10 kN 900mm

700mm

d = 92mm

D = 137mm

M (kN.m)

-

700mm 900mm

9,00

30,00

12,19x10-3 m-1

8,262x10-3 m-1

2,479x10-3 m-1 +

V

M

700mm 900mm


9

10.5 – Método da Energia. ......................................................... (10.5.1) U = ½ P1 f1 + ½ P2 f2 .................................................................................. (a) Se, após as forças P1 e P2 atingirem seus valores finais, admitirmos que um pequeno in-cremento δP1 fosse dado ao valor de P1, tal acréscimo provocará pequenas variações nas fle-chas (δf1 e δf2), acarretando um incremento na energia armazenada, de valor: δU = ½ δP1 δf1 + P1 δf1 + P2 δf2 ..................................................................(b) Se, ao contrário, a ordem do carregamento fosse invertida, carregando inicialmente a força incremental δP1 e, em seguida, aplicando as forças P1 e P2, teríamos ao final:

A energia U armazenada em uma viga, submeti-da à flexão reta cujo momento fletor M = M(x) é co-nhecido em cada seção, será determinada por integra-ção ao longo do volume V da peça, levando em conta que:

U =ΙΙΙ ½ (σ2/ E) dV. Como na flexão reta, σ = (M/I)y, e fazendo dV = dA dx, teremos:

U = (1/2E)ΙΙ(M2/ I2)y2 dA dx. Efetuando a primeira integração ao longo de uma dada seção (onde M, I e dx são invariantes), temos:

U = (1/2E) ΙΙΙΙ((((M 2222/ / / / I) dx Fig. 10.5.1 – Energia na Flexão.

dx

dA y

σσσσ

Tomando como exemplo o caso de uma viga engas-tada submetida a uma carga concentrada P na extremi-dade livre teremos:

M = - P (L – x) e U = (1/2EI)Ι0 L P2 (L-x)2 dx

ou seja, U = (1/6EI)P2 L3 = W = ½ P f, obtendo-se f = PL3/ 3EI

P

f x L

Considerando agora o caso de uma viga bi-apoiada, como mostrado na fig. 10.5.2, submetida às duas forças P1 e P2 assinaladas, cujos pontos de aplicação se deslo-cam nas distâncias f1 e f2, respectivamente, quando a viga se deforma, produzindo tais flechas, a energia Uarmazenada (igual ao trabalho das forças aplicadas de forma gradativa, crescendo de zero até seu valor final) será dada por:

P1

P2 δδδδP1

δδδδf1 δδδδf2

f2 f1

Fig. 10.5.2 – Método da Energia.

No caso de um corpo submetido a uma única força ativa (ou conjugado), o cálculo do tra-balho W realizado será obtido efetuando o semiproduto da força (ou momento) pelo deslocamento linear (ou angular) no sentido do esforço (W = ½ P δx ou W = ½ M δϕ). Computada a energia total armazenada pela estrutura e igualada ao trabalho realizado, poderá ser determinada a deformação no local de aplicação do esforço (os esforços reativos não trabalham).

A energia armazenada sob a forma potencial elástica em uma peça carregada iguala o valor do trabalho realizado pelos esforços externos (forças e momentos) ao se deslocarem em suas direções pela deformação da estrutura (por deslocamentos lineares ou angulares, respectivamente).

P

δδδδ


10

U + δU = ½ δP1 δf1 + δP1 f1 + ½ P1 f1 + ½ P2 f2 ..........................................(c) Como a energia de deformação deve ser a mesma, independentemente da ordem de aplicação das forças, da igualdade (a) + (b) = (c) tiramos: P1 δf1 + P2 δf2 = δP1 f1 , que, levada em (b) nos fornece: δU = ½ δP1 δf1 + δP1 f1, ou seja: f1 = δU / δP1 – ½ δf1. No limite, quando δP1 → 0, tornando δf1 → 0, e considerando que U é função tanto de P1 como de P2 teremos: f1 = ΜΜΜΜU/ΜΜΜΜP1 ................................................................... (10.5.1) A equação acima (teorema de Castigliano) permite calcular a flecha f1 em uma dada seção de uma viga submetida a um carregamento qualquer, admitindo-se a existência de uma força concentrada P1 aplicada exatamente na seção em que se quer determinar a flecha, bastan-do para tal estabelecer a expressão da energia U decorrente do carregamento (incluindo a tal força P1) e computando-se sua derivada parcial em relação à P1 e, ao final, fazendo P1 = 0 (se não existir força concentrada na seção que se quer determinar a flecha).

Como U = (1/2E)ΙΙΙΙ ( ( ( (M 2222/ / / / I) dx ........................................................................................ (10.5.2) Efetuando a derivação parcial proposta em 10.5.1 teremos:

f1 = (1/E) ΙΙΙΙ((((M / / / / I) ΜΜΜΜM/ ΜΜΜΜP1 dx ........................................................ (10.5.3) Uma dedução análoga seria feita para estabelecer a expressão que permite calcular o ângulo ϕϕϕϕ de inclinação da linha elástica numa dada seção, imaginando a existência de um con-jugado de momento M1 aplicado na seção correspondente, computando a energia total armaze-nada em função do carregamento (e do momento aplicado), efetuando a derivação parcial e, ao final, fazendo M1 = 0:

ϕϕϕϕ1 = ΜΜΜΜU/ΜΜΜΜM1 = (1/E) ΙΙΙΙ((((M / / / / I) ΜΜΜΜM/ΜΜΜΜM1 dx ..................................... (10.5.4)

Exemplo 10.5.1: Determinar, utilizando o método da energia, a flecha f e o ângulo de deflexão ϕ na ex-tremidade em balanço da viga engastada submetida a um carregamento linearmente distribuído, varian-do entre zero na extremidade livre e w no engaste. Solução: acrescentando ao carregamento real q(x) = w(L-x)/L, sucessivamente, uma força P1 e um mo-mento M1, aplicados na extremidade em balanço onde se quer determinar a flecha e a declividade da linha elástica, teremos para equação de momentos (tracionando as fibras superiores da viga): M(x)=-{½[w(L–x)/L](L–x)[ ⅓(L-x)]+P1(L–x)+M1}; M(x) = - {1/6[(w/L)(L – x)3 + P1 (L –x) + M1).

w

L

w

x

P1

M 1

w (L -x) / L

f1

ϕ1

Para o cálculo da flecha f1 teremos ΜM/ΜP1 = - (L –x) e fazendo P1 = M1 = 0,

f1 = (1/E)Ι(M/ I) ΜM/ΜP1 dx = (1/EI)Ι{1/6[(w/L)(L – x)4}dx = (w/30LEI)[(L –x)5]oL = - wL4 / 30EI

Para o cálculo da declinação ϕ1, teremos ΜM/ΜM1 = -1 e fazendo M1 = 0,

ϕ1 =(1/E)Ι(M/ I) ΜM/ΜM1 dx = (1/EI)Ι{1/6[(w/L)(L – x)3}dx = (w/24LEI)[(L –x)4]oL = - wL3 /

24EI


11

Um teorema auxiliar, o teorema da reciprocidade (enunciado por Maxwell), pode, muitas vezes, ser útil na determinação de deformações: - “a deformação numa seção A, provocada por um dado esforço aplicado numa seção B, é igual à deformação que o mesmo esforço provocaria na seção B, como se estivesse aplicado na seção A”. Utilizando o teorema da reciprocidade podemos concluir que: - a flecha no meio do balanço da viga, decorrente das cargas aplicadas em sua extremidade livre, será igual à flecha na extremidade livre causada pelas cargas supostamente aplicadas no meio do balanço. Dos resultados obtidos no ex. 10.2.2: φ1 = φ (L/2) = -P(L/2)2/2EI = -P(L)2/8EI f1 = f (L/2) = -P(L/2)3/3EI = -P(L)3/24EI Levando em conta que no trecho da viga entre o meio do balanço até a extremidade o momento M é nulo e, portanto, o eixo da viga será reto, podemos escrever para a extremidade livre: δ = f1 + ϕ1 (L/2) = [-P(L)3/24EI] + [-P(L)2/8EI](L/2) = - 5P(L)3/48EI (resp. a) Para o caso de ser um momento M aplicado no meio do vão livre da viga teremos: φ1 = φ (L/2) = -M(L/2)2/EI = -M(L)2/4EI f1 = f (L/2) = -M(L/2)3/2EI = -M(L) 3/16EI. Analogamente podemos escrever: δ = f1 + ϕ1 (L/2) = [-M(L)3/16EI] + [-M(L)2/4EI](L/2) = - 3M(L) 3/16EI (resp. b)

P1

P1

P1

P2

P2

P2

Admitindo que, após a aplicação de um esforço P1(*) na seção “1”, provocando uma deformação (**) δ11, fosse aplicado um esforço P2, na seção 2, a energia total armazenada pela viga seria: U = ½ P1 δ11 + ½ P2 δ22 + P1 δ12 onde δ12 é a deformação provocada em “1” devi-do ao esforço aplicado em “2”, com o esforço P1

já aplicado em “1”. Invertendo a ordem na aplicação dos esforços: ---- aplicando inicialmente o esforço P2 na seção “2”, esta provocaria uma deformação δ22, e, após aplicado o esforço P1, na seção “1”, a energia armazenada seria: U = ½ P2 δ22 + ½ P1 δ11 + P2 δ21 onde δ21 é a deformação provocada em “2” devi-do ao esforço aplicado em “1”, com esforço P2

já aplicado em “1”. O princípio da superposição dos efeitos (decorrente da linearidade da relação entre es-forços e deformações) permite concluir que a energia total armazenada não deve depender da ordem de aplicação dos esforços, portanto:

2

P1 δ12 = P2 δ21 que no caso de P1 = P2 nos dá

δδδδ12121212 = δ = δ = δ = δ21212121 Exemplo11.5.2 – Calcular a flecha δ δ δ δ provo-cada na seção média de uma viga em balanço submetida em sua extremidade livre:

a) a uma força P b) a um momento M.

(*) força ou momento (**) flecha ou deflexão

angular.

M

P L

L/2

δδδδ

M

L

δδδδ L/2

P

f1 ϕ1

1


12

10.6 – Método da Superposição. A linearidade da relação entre esforços e deformações nas estruturas que traba-lham na fase elástica permite aplicar o princípio da superposição dos efeitos, computan-do-se o valor global da deformação para um carregamento complexo, como sendo o re-sultado da soma algébrica das deformações causadas pelas cargas, como se tivessem sido aplicadas isoladamente. Realmente: se para um esforço F1 (força ou momento) corresponder uma defor-mação x1 (linear ou angular) para a qual se puder escrever, segundo a Lei de Hooke, que F1 = K x1, para um outro esforço F2 teremos que F2 = K x2. Adicionando tais resultados obtemos F1 + F2 = K (x1 + x2), ou seja, se encararmos a superposição dos esforços F1 + F2 como um terceiro esforço F3, a deformação correspondente x3 = x1 + x2. A seguir são apresentados alguns exemplos de valores para as constantes elásticas K de estrutu-ras elásticas equiparadas a “molas”, sendo F um esforço (força ou momento) e x uma deformação (li-near ou angular), tais que se possa escrever F = Kx.

Tipo de Solicitação Esquema K da “Mola”(F/x)

Barra de Tração

K = E A / L

Barra de Torção

K = πGD4/32L

Mola de Torção

K = G d4/64 n R3

Barra Chata de Flexão

K = E b h3 / 4 L3

Feixe de Mola

Flexão

K = 8 E b h3 / 37 a3

F

F

L x

A

E

F

F x L

G D

F

F

R

d

n espiras G

L

F b

h

E

x

2a

4a 6a

F

x


13

10.7- Vigas estaticamente indeterminadas. A possibilidade de se calcular as deformações da linha elástica nas vigas submetidas à flexão reta nos permite levantar a indeterminação para o cálculo das reações nos apoios das vigas hiperestáti-cas, bastando para tal utilizar-se das equações de compatibilidade de deslocamento, como realizado na solução dos problemas estaticamente indeterminados para as solicitações anteriormente estudadas. Os exemplos a seguir apresentam caminhos para a determinação dos esforços vinculares de vigas hipe-restáticas, utilizando os vários métodos para cálculo de flechas e deflexões angulares.

q

L A B

MA

q

B

f1

f2

-(3/8)qL

(5/8)qL

xm Q

M

qL2/8

9qL2/128

x

3L/4

L A

Exemplo 10.7.1: Traçar os diagramas de esforços solici-tantes da viga de comprimento L, engastada em uma extre-midade e apoiada na outra, submetida a uma carga unifor-memente distribuída q. Supondo tratar-se de uma viga de concreto, estabelecer a extensão para distribuição da ar-madura de aço ao longo de seu comprimento (atendendo à circunstância de estar posicionada sempre no lado tracio-nado da viga). Solução: Admitindo que o apoio B à direita não existisse, a flecha f1 provocada pelo carregamento distribuído na ex-tremidade livre seria: f1 = - qL4 / 8EI ............................(exemplo 10.4.2); Se na extremidade livre atuasse uma força vertical B, esta provocaria ali uma flecha f2 dada por: f2 = + BL3 / 3EI .........................(exemplo 10.2.2). A existência do apoio em B implica em ser nula a flecha nessa extremidade, o que nos leva a: BL3 / 3EI = qL4 / 8EI, e B = (3/8)qL. Das equações da Estática correspondentes ao equilíbrio de forças e momen-tos obtemos: A = (5/8)qL e MA = -qL2 / 8. Levantada a indeterminação hiperestática, podemos traçar os diagramas de cortante e momento fletor, verifican-do-se que a força cortante se anula na seção distante 5L/8 do engastamento, onde atuará o momento fletor máximo positivo (M+) = (3/8)qL(3L/8) – ½ qL[(3L/8)2= (9/128)qL2

O momento máximo negativo será: (M-) = MA = = (3/8) qL (L) – ½ qL2 = - qL2 / 8 = - (16/128) qL2

A equação do momento fletor em função da ordena-da x da seção (contada a partir do apoio da direita B*), será: M = M(x) = (3/8) qLx – ½ (qx2), que se anula (invertendo o sinal do momento) na seção x = (3/4)L , seção na qual a armadura de ferro numa viga de concreto armado, passaria da face inferior para a superior. A equação da elástica será obtida integrando: d2f / dx2 = dϕ / dx = M/EI = (l / EI)(3qLx/8 - ½ qx2), ou ϕ(x) = (1/EI) (3qLx2/16 - qx3/6 ) + C1. Como no engasta-mento (x=L), ϕ = 0, tiramos C1 = - qL3/48EI (que corres-ponde ao ângulo da elástica no apoio B). Computando o valor de x que torna nula a declinação ϕ obtem-se: x =(1 + √33)L/16 = 0,42154L, seção onde ocorre a fmáx.

-qL2/8

fmáx


14

Integrando ϕ=df/dx obtem-se f =(q/48EI)(-2x4 + 3Lx3-L3x), que, para x = 0,42154L fornece fmáx =qL4/185EI. * - a inversão do sentido positivo para a ordenada x implica na troca dos sinais para as flechas f e os ângulos ϕ....

Exemplo 10.7.2 – Para a viga contínua sobre três apoios e submetida às forças concentradas mostradas, pede-se traçar o diagrama de momentos fletores. Solução: A simetria do problema nos aponta para a so-lução utilizando o princípio da superposição. Imaginan-do inexistente o apoio central B (tornando isostática a viga), pode-se determinar a flecha que ocorreria no meio do vão. Para tal será adequado utilizar a analogia de Mohr calculando o momento fletor fictício no meio do vão causado pelo carregamento virtual M/EI, que pro-voca as reações virtuais: R = ½ [(PL/8EI)(L/2 + L/4)]= 3PL2/64EI. A flecha valeria: f1 = [3PL2/64EI]L/2 – ½(PL/8EI)(L/4)(L/4+L/12) – - (PL/8EI)(L/4)(L/8) =(29/768)PL3/EI. Para a viga de comprimento L, submetida a uma carga concentrada B no meio do vão, a flecha correspondente seria (cf. exemplo 10.2.3) f2 = BL3/48EI. Como a flecha final no apoio B deve ser nula, igualando f1 a f2 obtemos: B = (11/16)P. Portanto, A = C = (5/32)P. Levantada a indeterminação hiperestática, podemos fazer o traçado do diagrama de momentos, determinando seus valores extremos, bem como as posições das seções em que seu valor se anula, invertendo de sinal.

P/2

L/4 L/4 L/4 L/4

P/2

A B C

P/2

L/4 L/4 L/4 L/4

P/2

A’ = P/2 C’ = P/2

M

PL/8

M/EI PL/8EI

R R

L/4 L/4 L/4 L/4

B

f1

f2

B/2 B/2

P/2 P/2

5P/32 5P/32 22P/32

6PL/128

5PL/128 5PL/128

(4/11)L

Exemplo 10.7.3: Utilize o Teorema de Castigliano para determinar a reação no apoio B da viga mostrada no exemplo 10.7.1. Solução: o momento fletor ao longo da viga será, em função da reação B desconhecida e do carregamento: M = M (x) = Bx – qx2/ 2.

Como fB = (1/E) Ι(M/ I) ΜM/ΜB dx = 0, e

ΜM/ΜB = x, vem:

0 = Ι(Bx – qx2/2) x dx =[Bx3/3 – qx4/8]0L......

BL3/3 =qL4/8 ........... e finalmente: B =3qL/8

L A

B

q

M x

+


15

Exemplo 10.7.4 – Determinar o maior valor alcançado pelo momento fletor nas vigas da estrutura mostrada (tipo “grelha”), com duas vigas de mesmo material, mesma seção transversal, mesmo com-primento L, sendo uma (AB) bi-apoiada e a outra (CD), engastada em C e livre em D, onde se aplica a carga P. Solução: designando por F a força de contato desconhecida entre as duas vigas, os diagramas de car-gas para cada uma delas será: A compatibilidade de deslocamentos nos indica que a flecha f1 causada pela deformação da viga AB, no meio do vão, deve ser igual à flecha f2 ocorrente no meio do balanço da viga CD. Dos estudos já feitos (exemplo 10.2.3) temos que f1 = - FL3/48EI. No cômputo da flecha f2 utilizaremos o princípio da superposição, calculando a flecha no meio do balanço devido à ação da força P e subtraindo o valor da flecha no local, devido à força F.

L/2

L/2

L/2

L/2

P

A C

B D

F

F

P

f1

f2 A B D C

À força P, atuando isoladamente, corresponderia um diagrama de momentos como indicado na figura ao lado, com a equação: M = M(x) = -Px. A equação da elástica será obtida integrando: d2f/dx2= M/EI = -Px/EI. df/dx = ϕ = −Px2/2EI + C1. Como ϕ = 0 para x = L, tiramos C1 = + PL2/2EI (ângulo em x = 0). Integrando mais uma vez obtemos: f = (P/2EI)(-x3/3 + L2x + C2). Como para x = L, f = 0, tiramos C2 = -2L3/3 (confir-mando que para x = 0, f = -PL3/3EI – exemplo 10.7.2). Na metade do balanço (x = L/2), a flecha devido à força P, atuando sozinha, seria: (f1/2L)

P = -5PL3/48EI. (ver ex. 11.5.2)

-PL

M

P L/2

x


16

Levantada a indeterminação hiperestática, podemos calcular as reações nos apoios e traçar os diagramas de esforços solicitantes.

A força F, atuando isoladamente, provocaria uma flecha no meio do vão dada por: (f1/2L)

F = + F(L/2)3/3EI = FL3/24EI.. (exemplo 10.7.2). Compondo os dois deslocamentos, a flecha total f2 = (f)P – (f)F será: f2 = - 5PL3/48EI + FL3/24EI. A compatibilidade de deformações no contato entre as duas vigas implica, como dito, em que f1 = f2 ef1 = - FL3/48EI = f2 = - 5PL3/48EI + FL3/24EI, dando → F = (5/3)P

F

L/2

P A

C

B

F = (5/3)P

F = (5/3)P

D

C

(2/3)P

(5/6)P

(5/6)P

M C = -PL + (5/3)P(L/2) = - (1/6) PL

-(1/2)PL

-(1/6)PL

(5/12)PL

Resposta: o maior valor do momento fletor negativo (1/2)PL ocorre na viga CD, no contato entre as duas vigas. O maior momento positivo(5/12)PL ocorre no meio do vão da viga AB.

Exercício Proposto. Demonstre que, para uma viga bi-engastada, submetida a uma carga P concentrada no meio do vão L, o momento fletor extremo e a flecha máxima atingem, respectivamente, os valores PL2/8 e PL3/192EI. (sugestão: torne a viga isostática liberando os engastes e calculando os ângulos nos apoios devidos ao carrega-mento; em seguida compute os momentos que deveriam ser aplicados nas extremidades, necessários para tornar nulos os giros ali ocorridos).

L/2 L/2 P

ϕ ϕ


17

M

M

10.8 – Cargas Dinâmicas. Choque Quando a aplicação da carga na estrutura não se dá estaticamente (ou seja, não cresce lenta-mente, desde zero até seu valor final), dando-se de forma repentina (choque), as tensões máximas ocor-rentes serão aumentadas. Adota-se a hipótese conservativa de que toda a energia mecânica do esforço de impacto se converta em energia elástica armazenada pela estrutura ao alcançar sua configuração de máxima deformação (situação mais desfavorável, já que não teriam sido consideradas as energias per-didas no choque, por vibrações ou recuperadas por ricocheteamento do objeto impactante).

Seja, por exemplo, o caso de uma estaca de comprimento L e área de seção A, engastada na base e que receba o impacto (↓) na extremidade livre com uma e-nergia U (cinética = ½ mv2 = mgH, após uma queda livre de uma altura H). Ao atingir a deformação máxima δmáx (↓) por compressão após o impacto, a energia armazenada na estaca valerá: U = ½ [K]( x )

2 = ½ [EA/L]( δmáx )2 = ½ (σmáx )

2 AL/E, sendo AL = V (volume da estaca). Teremos, portanto: σmáx =[ 2 E U / V ]1/2 ......................... (10.8.1) No caso de o impacto ser no sentido transversal (→), a estaca flexionará como uma viga engastada e, quando a extremidade atingir a flecha fmáx (→) teremos: U = ½ [ 3EI/L3](f máx )

2. Como σmáx = (Mmáx/I)y* e I = Ar2, onde y* é a distância à linha neutra da fibra mais afastada e r o raio de giração da seção, ob-tem-se: σσσσmáx =[ 2 E U / ξξξξ V ]1/2 onde ξ =1/3 (r / y*)2 ...(10.8.2) Note que, quanto maior o volume da peça (*) , menor a tensão alcançada.

Para uma estaca de seção circular de diâmetro d, y* = ½ d, r = d/4 e ξ = 0,1667. Tratando-se de uma seção retangular (bxh), y* = ½ h, r = 0.2887h e ξ = 0, 1111 → (1/9)

(*) de seção uniforme Exemplo: 10.8.1 – Um objeto de peso P = 2,0 kgf (m = 2,0 kg) cai de uma altura H = 6m sobre o meio do vão de uma viga de aço (E = 200 GPa), bi-apoiada de comprimento L = 4m, com seção retangular b= 60 mm x h = 100mm. Calcular a máxima tensão normal despertada pelo choque.

A solução literal da questão nos fornece: U = mg (H + f) = ½ [48EI/L3] f2 que leva à equação do 2º grau: f2 – [L3mg/24EI] f + [L3mg/24EI] = 0, cuja solução positiva dá:

f = mg L3/48EI + [mg L3/48EI]2 + [mg L3/24EI]H - (observar que, no caso de H = 0 – abandono repentino de um corpo de peso mg sobre um sistema elástico – a deformação máxima conseqüente é o dobro daquela correspondente à aplicação estática da força igual ao peso do objeto). De uma forma genérica podemos escrever: fdin = fest + (fest)

2 + 2 fest H = fest [1 + 1 + 2 H / fest] O termo Φ = [1 + 1 + 2 H / fest] é o chamado “fator de ampliação dinâmica”. Para os dados numéricos do problema enunciado teremos, com m = 2,0 kg, g = 9,81m/s2, E = 200 x 109 N/m2, H = 6m, I = bh3/12 = (60 x 1003/ 12)x 10-12 = 5 x 10-6 m4, L = 4,0m: fest = mg L3/ 48 E I = 2,0 x 9,81 x 4,03 x 48 x 200 x 109 x 5 x 10-6 = 0,0262 mm O fator de ampliação valerá: Φ = [1 + 1 + 2 x 6000 / 0,0262 ] = 678. A tensão máxima para a aplicação estática da força P = mg = 2 x 9,81 = 19,62 N valeria: σest = (M/I)y* = [(PL/4)/(bh3/12)] x (h/2) = [19,62 x 4/4] / (60 x 1002 /6)x10-9 = 0,1962MPa. A tensão máxima para a aplicação dinâmica, decorrente da queda do corpo da altura H = 6m que pro-

voca uma ampliação nas deformações (e portanto das tensões que lhes são proporcionais) de valor Φ = 678, será: σdin = Φ σest = 678 x 0.1962 = 133 MPa. Para o caso em análise, o fator ξ apresentado na equação 10.8.2 valerá: ξ = 2E U / V (σmáx)

2 = = 2 x 200 x 109 x 2,0 x 9,81 x (6 + 678 x 0,0262 x 10-3) / 4 x 60 x 100 x 10-6 x (133 x 106)2 = 0,111.

Fig.10.8 - Bate-estaca

½ L ½ L f

H

m

L

H


18

10.9 – Elementos acelerados A avaliação das tensões em elementos de máquinas que se movimentam sofrendo acelera-

ção pode ser feita utilizando-se o Teorema de d’Alembert, que transforma o problema dinâmico em um problema de Estática, bastando acrescentar ao conjunto de forças externas, forças fictícias, chamadas “forças de inércia”. Realmente: os teoremas gerais da Dinâmica:Σ Fext = Mac e Σ Mext = Ic α se reescritos na forma: Σ Fext + (- Mac) = 0 e Σ Mext + (- Ic α) = 0, transformam a questão co-mo se tratando de forças em equilíbrio, quando acrescentamos (- Mac) e (- Ic α) como “esforços”.

Seja, como exemplo, o caso de uma barra delgada e homogênea AB, de comprimento L, massa M, seção quadrada de lado a, suspensa por um pi-no em A e que sofra a ação de uma força F repentina na extremidade B, de-sejando-se avaliar as tensões máximas despertadas no momento da aplicação da força. Além do peso e da componente vertical da reação no pino A, apare-cerá um componente horizontal na reação em A (força R). Pelo teorema do centro de massa : F – R = Mac . Pelo teorema do momento cinético: F x L = IA α, sendo IA = ML2/3. Como ac = α L/2, obtem-se ac = (3/2)(F/M), α = 3F/ML e R = - ½ F. Observando tão somente as componentes horizontais das forças: a força ativa F (em B), a força reativa R = F/2 (em A) e admitindo uma força de inércia distribuída ao longo da barra, obtida pelo produto da massa de cada elemento dm = (M/L) dx por sua aceleração a = α x = (3F/ML) x, configurando uma carga fictícia linearmente distribuída q(x) = (3F/L2)x, que atinge o valor má-ximo em B → qB = 3F/L.

Do diagrama de Q tiramos: (F/2) = ½ (3F/L2) xm

2 , obtendo xm = 0,5774 L. O momento fletor (o máximo) em tal seção valerá: Mmáx = (F/2) xm – [½ (3F/L2)xm

2](1/3 )xm = 0,19245 FL A máxima tensão normal valerá σ = (M/I)y* = [0,19245 FL/ (a4/12)](a/2) = 1,155 FL/a3

A

B

F

R

ac C

αααα a

A

B

F

R = F/2

αααα

x

dx

Redesenhando a barra co-mo uma viga e seu carre-gamento em posição usual, fica evidente que os esfor-ços mostrados (incluindo os de inércia) estão em equilíbrio, permitindo-nos traçar os diagramas de for-ça cortante e momento fle-tor para a obtenção de seus valores extremos: - o máximo momento fletor ocorre na seção onde Q = 0. 3F/L

3F/L

F/2 F xm

Q

M

Exercício proposto. No sistema biela-manivela representado, a manivela gira com velocidade constante ω = 3000rpm.A biela, de massa 0,300 kg,, deve ser suposta como uma barra homogênea. Para a posição mostrada pede-se de-terminar o momento fletor máximo na biela.

120

r =50

ω


19

10.10 – Tabela de flechas e deflexões angulares para algumas vigas isostáticas. Viga

Carregamento e Vinculação

(comprimento L) Deflexão angular na extremidade

Flecha Máxima

+ ↑ 1

ϕ =-PL2 / 2EI

f = - PL3/ 3 EI

2

ϕ =-qL3 / 6EI

f = - qL4/ 8 EI

3

ϕ =-wL3 / 24EI

f = - w L4 / 30 EI

4

ϕ = + ML / EI

f = + ML2 / 2 EI

5

ϕΑ =-PL2 / 16 EI ϕΒ =+PL2 / 16 EI

f = - PL3/ 48 EI

6

ϕΑ =-Pb(L2 – b2) / 6 LEI ϕΒ =+Pa(L2 – a2)/ 6 LEI

- P b (L2- b2)3/2

9√3 LEI para xm = √(L2- b2)/3

7

ϕΑ = - qL3 / 24 EI ϕΒ =+ qL3 / 24 EI

f = - 5 q L4 / 384 EI

8

a ser preenchido pelo estudante

a ser preenchido pelo estudante

ϕΑ = - ML / 6 EI

f = - ML2 / 9√3 EI

+

f

f

f

f

ϕ ϕ

ϕ

ϕ

P

q

w

M

P

L/2 L/2

P

a b

q

M

xm

xm

f

f

f

f

f

ϕΒ ϕΑ

ϕΒ ϕΑ

ϕΒ ϕΑ

ϕΑ ϕΒ

ϕΒ ϕΑ

a a b P/2 P/2

f=


20

9

ϕΒ =+ ML / 3 EI

para xm = L / √ 3

10.11 – Tabela de Reações Vinculares e flechas para algumas vigas hiperestáticas. Viga

Carregamento e Vinculação

(comprimento L) Reações Vinculares e Momen-

tos Máximos Flecha Máxima

+ ↑ 1

A = (11/16)P B = (5/16)

M= (3/16)PL (MMAX )(+) = +(5/32)PL (MMAX )(-) = - (3/16)PL

f = - 7PL3/ 768 EI

2

A = (3/8)qL B =(5/8)qL M= qL2/8

(MMAX )(+) =(9/128)qL2

(MMAX )(-) = - qL2/8

f = - qL4 / 185 EI

3

A = B = (1/2)P

M= (1/8)PL (MMAX )(+) = +(1/8)PL (MMAX )(-) =-(1/8)PL

f = - P L3 / 192 EI

4

A = B = (1/2)P

M= qL2/12 (MMAX )(+) = + qL2/24 (MMAX )(-) = - qL2/12

f = - qL4 / 384 EI

5

A = B = (5/32)P

C = (11/16)P (MMAX )(+) =+(5/128)PL (MMAX )(-) =-(3/64)PL

a ser calculada pelo

estudante (observe a equivalência

entre o trecho CB da viga 5 e o trecho AB da viga 1)

6

A = B = (3/16)qL

C = (5/8)qL (MMAX )(+) = +(9qL2/512)

(MMAX )(-) = - qL2/32

f = - qL4 / 2960 EI

10.12 – Métodos Computacionais para determinação de tensões e deformações. Programa FTOOL. Para a solução de problemas complexos, envolvendo múltiplos carregamentos, além de apoios hiperestáticos e geometria diversificada da estrutura, existem métodos computacionais que poupam o trabalho exaustivo para o cálculo utilizando o método analítico. Um bom exemplo de tal ferramenta é o “Ftool – 2 Dimensional Frame A-nalysis Tool”, apresentado em um dos links da página da Internet www .uff / teleresmat.

f

f

f

P

q

f

q

P

L/2 L/2

P/2

L/2 L/2

P/2

q

A

A

A

A

A

A

B

B

B

B

B

B

C

C

M

M

M

M M

M

L/2

L/2


21

No elenco dos exercícios resolvidos, correspondentes às aplicações do programa Ftool, é apresentado (ao final) o Exercício 1 – passo-a-passo, que indica o procedimento a ser adotado para o uso do programa. O exemplo apresenta uma viga sobre dois apoios, com as dimensões mostradas (tendo um balanço), e submetida a 4 cargas concentradas, além de mais 4 cargas uni-formemente distribuídas. O painel de controle do programa é mostrado sendo apresentadas as sucessivas fases (orientadas por uma seta vermelha), para inserção do desenho dos diversos tramos da viga, suas dimensões, apoios, cargas aplicadas (com suas intensidades e sentidos), material da viga, suas propriedades mecânicas, características geométricas da seção (á-rea, momento de inércia, altura e posição do centróide do perfil). O programa, ao final, apresenta, sob a forma de diagramas cotados com os valores extremos, a distribuição ao longo da viga de forças normais, das forças cortantes e do momento fletor, além das flechas da linha elástica. Outros programas para análise estrutural estão disponíveis pela Internet (vide – SAP – Structu-ral Analysis Program – SAP 2000 V. 7.42). Pesquise também sites do American Insitute of Steel Cons-truction, Inc (www.aisc.org/ ) e da Aço Minas (www.acominas.com.br/perfis/index).

25kN 70kN 10kN 40kN

40kNm 20kNm

40kNm

15kNm

Q

M

f

2,50m 3,00m 3,50m 3,50m 4,00m


22

Universidade Federal Fluminense – Departamento de Engenharia Civil – Resistência dos Materiais XI FTOOL – Programa Gráfico-Interativo para Ensino de Comportamento de Estruturas – Luiz Fernando Martha PUC – Rio – Versão Educacional 2.11.

RESUMO I

TT – ftool – Two Dimensional Frame Analysis Tool _ _ _

File Options Transform Display

_ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _

� � � �

Rigidez Arti-culações Apoios Se-ção Reta Materiais

Seleciona barra/nó Insere barra Insere nó Insere cota

Variação de Temperatura Carga Linear Distribuída Carga Uniforme Distrib. Momento em extremidade Cargas concentradas nos nós

I

Diagramas N Q M

Deformações

_

Section Properties

H V x y x y Grid

Aciona o Grid

Espaçamento entre pontos do Grid

Snap Atrai o cursor para os

pontos do Grid

L = NL/EA δδδδh = QL/GA - uff.br - Deformacoes na Flexao.pdf · 10.1 – Deflexões por...

Documents

Transcript of L = NL/EA δδδδh = QL/GA - uff.br - Deformacoes na Flexao.pdf · 10.1 – Deflexões por...