TEMA 2.5. MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN EJE. SUBTEMA 2.5.1. DEFINICION DE MOMENTO DE UNA...

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  • TEMA 2.5. MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN EJE. SUBTEMA 2.5.1. DEFINICION DE MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN EJE (PRODUCTO VECTORIAL Y ESCALAR),
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  • PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES. El producto escalar de dos vectores P y Q se define como el producto de las magnitudes de P y Q por el coseno del ngulo formado por P y Q como se ve en la figura siguiente. El producto escalar de P y Q se denota P.Q entonces se escribe: P. Q = PQ cos . (1).
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  • Q P
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  • Observe que la expresin que se acaba de definir no es un vector sino un escalar, lo cual explica el nombre de producto escalar; en virtud de la notacin utilizada, P.Q tambin se conoce como el producto punto de los vectores P y Q. A partir de su propia definicin, se concluye que el producto escalar de dos vectores es conmutativo, esto es, que: P. Q = Q. P
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  • El producto escalar de dos vectores P y Q puede expresarse en trminos de los componentes rectangulares de dichos vectores. Descomponiendo a P y a Q en sus componentes se escribe primero: P. Q = (Pxi + Pyj + Pzk). (Qxi + Qyj + Qzk). Haciendo uso de la propiedad distributiva, P.Q se expresa como la suma de los productos escalares, tales como Pxi. Qxi y Pyj.Qyj. Sin embargo, a partir de la definicin de del producto escalar se concluye que los productos escalares de los vectores unitarios son iguales a cero o a uno.
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  • i. i = 1j. j = 1k. k = 1 i x j = 0j. k = 0k. i= 0 Por lo tanto la expresin obtenida para P.Q, se reduce a: P.Q = Px Qx + Py Qy + Pz Qz. (2) En el caso particular cuando P y Q son iguales, se observa que: P. P = Px 2 + Py 2 + Pz 2 = P 2.
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  • APLICACIONES DEL PRODUCTO ESCALAR. 1.- Angulo formado por dos vectores dados.- Considere que los dos vectores estn dados en trminos de sus componentes: P = Pxi + Pyj + Pzk.Q = Qxi + Qyj + Qzk Para determinar el ngulo formado por estos dos vectores, se igualan las expresiones obtenidas para el producto escalar en las ecuaciones (1) y (2) y se escribe: PQ cos = PxQx + PyQy + PzQz. Despejando cos tenemos: Cos = PxQx + PyQy + PzQz. PQ
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  • 2.- Proyeccin de un vector sobre un eje dado. Considere un vector P que forma un ngulo con un eje, o lnea OL. La proyeccin de P sobre el eje OL se define como el escalar: POL = P cos .
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  • Ejercicios de productos escalares. Dado los vectores P = 4i+ 3j 2 k, q= -i + 4j -5k calcule el producto escalar p.q -4 i + 12 j + 10 k = 18. Dado los vectores p = 4i +3j- 2k, s = i + 4j + 3k, calcule el producto escalar p.s 4i + 12j - 6k=10.
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  • Dado los vectores q = -i + 4j -5k y s = i + 4j+ 3k, calcule el producto escalar q.s. i + 16j -15k=0 Dado los vectores p = 2i + 6j -3k y q = -4i + 8j -6k, calcule el producto escalar de p.q. -8i + 48j + 18k= 58.
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  • Calculo del ngulo formado por 2 vectores, dados sus componentes rectangulares. 1.- Calcular el ngulo que forman los vectores p y q, expresados en sus componentes rectangulares, siendo p= 4i- 3j + k y q = -i -2j + 2k. producto escalar: -4 i + 6 j + 2 k = 4 cos = 4_______ _______________ ________________ (4) 2 + (-3) 2 + (1) 2 x (-1) 2 + (-2) 2 + (2) 2. cos = 4_______ ___________ _________ 16 + 9 + 1 x 1 + 4 + 4. cos = 4_______ ___ __ 26 x 9 cos = 4_______ = 4_____ = 0.2619 5.09 x 3 15.27 = cos -1 0.2649 = 74.81.
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  • 2.- calcule el ngulo entre los vectores p y q siendo las componentes de p y q las siguientes. P = -4i + 8j-3k, q = 2i + j + k. Producto escalar= -8 i + 8 j + 3 k = 3 ________________ ________________ cos = 3/(-4) 2 + (8) 2 + (3) 2 x (2) 2 + (1) 2 + (1) 2 __________ ________ cos = 3/16 + 64 + 9 x 4 + 1 +1 __ ___ cos = 3/89 x 6 cos = 3/9.43 x 2.44 cos = 3/23.10 = 0.1298 = cos -1 0.1298 = 82.54.
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  • 3.- Calcule el ngulo entre los vectores p y q, siendo sus componentes rectangulares las sigiuente. p = i-7j+ 4k y q= 5i-k. producto escalar: 5 i + 0 j + -4 k = 1 _______________ __________ cos = 1/(1) 2 + (7) 2 + (4) 2 x (5) 2 + (-1) 2. __________ _______ cos = 1/1 + 49 + 16 x 25 + 1. ___ ___ cos = 1/66 x 26. cos = 1/8.12 x 5.09. cos = 1/41.33 cos = 0.0241. = cos -1 0.0241 = 88.61.
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  • 4.- Calcule el ngulo entre los vectores p y q, siendo sus componentes rectangulares los siguientes. P = -2i-3j y q = -6i+4k. Producto escalar: 12 i + 0 + 0 = 12 _____________ __________ cos = 12/(-2) 2 + (-3) 2 x (-6) 2 + (4) 2. _____ ________ cos = 12/4 + 9 x 36 + 16. __ ____ cos = 12/13 x 52 cos = 12/3.60 x 7.21 cos = 12/ 25.95 cos = 0.4624 = cos -1 0.4624 = 62.45.
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  • PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES. Para entender mejor el efecto de una fuerza sobre un cuerpo rgido, a continuacin se introducir un nuevo concepto: el concepto del momento de una fuerza respecto a un eje. Este concepto se podr entender ms fcilmente y podr aplicarse en una forma ms efectiva si primero se agrega a las herramientas matemticas disponibles, el producto vectorial de 2 vectores.
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  • El producto vectorial de dos vectores P y Q se define como el vector V que satisface las siguientes condiciones: La lnea de accin de V es perpendicular al plano que contiene a P y a Q como se ve en la figura siguiente.
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  • V = P x Q Q P
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  • 2.- La magnitud de V es el producto de las magnitudes de P y Q con el seno del ngulo .formado por P y Q (cuya medida siempre deber ser menor o igual a 180); por lo tanto, se tiene que: V = PQ sen .(1)
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  • 3. La direccin de V se obtiene a partir de la mano derecha. Cierre su mano derecha y mantngala de tal forma que sus dedos estn doblados en el mismo sentido que la rotacin a travs del ngulo . que hara al vector P colineal con el vector Q; entonces su dedo pulgar, indicar la direccin del vector V. Obsrvese que si P y Q no tienen un punto de aplicacin comn, estos primero se deben volver a dibujar a partir del mismo punto. Se dice que los tres vectores P, Q, y V (tomados en ese orden) forman una trada a derechas.
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  • Como se mencion anteriormente, el vector V satisface estas tres condiciones (las cuales la definen en forma nica) se conoce como el producto vectorial de P y Q y se representa por la expresin matemtica: V = P X Q. (2). En virtud de la notacin utilizada, el producto vectorial de dos vectores P y Q tambin se conoce como el producto cruz de P y Q.
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  • A partir de la ecuacin 1, se concluye que cuando dos vectores P y Q tienen la misma direccin o direcciones opuestas su producto vectorial es igual a cero. En el caso general, cuando el ngulo formado por los dos vectores no es 0 ni 180, a la ecuacin 1 se le puede dar una interpretacin geomtrica simple : La magnitud V del producto vectorial de P y Q es igual a rea del paralelogramo que tiene como lados a P y Q como se ve en la figura siguiente.
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  • V Q Q P
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  • La magnitud V del producto vectorial de P y Q es igual al rea del paralelogramo que tiene como lados a P y a Q de la figura anterior. Por lo tanto, el producto vectorial P X Q permanece inalterado si Q se reemplaza por un vector Q que sea coplanar a P y a Q y tal que la lnea que une a las partes terminales de Q y Q sea paralela a P. As se escribe: V = P X Q = P X Q.
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  • A partir de la tercera condicin empleada para definir el producto vectorial V de P y Q, esto es, la condicin que establece que P, Q, y V deben formar una trada a derechas, se concluye que los productos vectoriales no son conmutativos, es decir, Q X P no es igual a P X Q. De hecho, se puede verificar fcilmente que Q X P est representado por el vector V que es igual y opuesto a V. Entonces se escribe: Q X P = - (P X Q).