1. Sketsa Kurva Distribusi Normala. P(0 < Z < 2,17) = Φ (2,17) - Φ (0) = 0,9850 - 0,5000 = 0,4850

0-1-2-3-4 1 2 3 4

b. P(0 < Z < 1) = Φ (1) - Φ (0) = 0,8413 - 0,5000 = 0,3413

0-1-2-3-4 1 2 3 4

c. P(-2,50 < Z < 0) = Φ (0) - Φ (-2,50) = 0,5000 - 0,0062 = 0,4938

0-1-2-3-4 1 2 3 4

2,17

-2,50

d. P(-2,50 < Z < 2,50) = Φ (2,50) - Φ (-2,50) = 0,9938 - 0,0062 = 0,9875

0-1-2-3-4 1 2 3 4-2,50 2,50

e. P(Z < 1,37) = Φ (1,37) = 0,9147

0-1-2-3-4 1 2 3 41,37

f. P(-1,75 < Z ) = Φ (-1,751) = 0,0401

0-1-2-3-4 1 2 3 4-1,75

g. P(|Z| > 1,9 ) = 1 - P(|Z| < 1,9 ) = 1 - Φ (1,9) = 1 - 0,9713 = 0,0287

0-1-2-3-4 1 2 3 41,9

2. Menstandarkan Distribusi Normal

a. presentase bantalan peluru antara 0,610 sampai 0,618

Diketahui Mean µx = 0,614 dan Deviasi Standard δx = 0,0025

0,610 - 0,614

0,0025=

P(0,610 < Z < 0,618)

P(a < Z < b)

= (Pa - µx

δx(< Z <

b - µx δx

(P < Z < 0,618 - 0,614

0,0025 (= P(-1,6 < Z < 1,6) = Φ (1,6) - Φ (-1,6)= 0,9452 - 0,0548 = 0,8904

0-1-2-3-4 1 2 3 41,6-1,6

b. presentase berat lebih dari 0,617

0,608 - 0,614

0,0025=

P(Z > 0,617) = 1 - P(Z < 0,617)

(P Z < (= P(Z < -2,4) = Φ (-2,4)= 0,0082

0-1-2-3-4 1 2 3 41,2

0,1151

0,8904

c. presentase berat lebih kurang dari 0,608

P(Z < 0,607)

0,617 - 0,614

0,0025= (1 - P Z < (= 1 - P(Z < 1,2) = 1 - Φ (1,2)= 1 - 0,8849 = 0,1151

0-1-2-3-4 1 2 3 41,2

0,0082

0,4850

0,3413

0,4938

0,9875

0,9147

0,0401

Mohammad Adiwirabrata0906604943Teknik Mesin Ekstensi

4. Pembuktian fungsi X

a. µy dan δy

P(a < Z < b)

3. Distribusi Teoritis a. antara 67 dan 75 berapa probabilitas yang dapat digunakan

P(67 < Z < 75)

µx δx

= = 3

70

= (Pa - µx

δx(< Z <

b - µx δx

= (P67 - 70

3 (< Zx < 75 - 70

3

=== 0,9525 - 0,1587= 0,7938

P(-1 < Zx < 1,67)Φ (1,67) - Φ (-1)

0-1-2-3-4 1 2 3 4

0,7938

1,67

b. antara (70 - c) sampai (70 + c), tentukan c sehingga 95% digunakan

= (Pa - µx

δx(< Z <

b - µx δx

= (P(70 - c) - 70

3 (< Zx <

==

0,95 =

1,65 =

c =

P(-c/3 < Zx < c/3)Φ (c/3) - Φ (-c/3)

Φ

2,475

P((70 - c) < Z < (70 + c))

(70 + c) - 703

µx δx

= = 3

70

2c3

2c3

c. antara 67 sampai 75 diambil 10 spesimen berapa yang bisa digunakan?

ambil dari tabel

= 0,7938 (79,83%)p

yang bisa digunakan

p = ===

probabilitas x jumlah spesimen79,83% x 107,9837 spesimen yang dapat digunakan

d. berapa probabilitas sebanyak-banyaknya 8 dari 10 spesies diukur memiliki bilangan kekerasan kurang dari 73,84

= (P Z <

= P (Z < 1,28) = Φ (1,28)= 0,8897

P(Z < 73,84)

0-1-2-3-4 1 2 3 41,28

0,8897

(b - µx δx

= (P Z < (73,84 - 703

b. jika dalam derajat Celcius °C mean 115 dan deviasi standard 2 distribusi temperatur dalam derajat Fahrenheit °F

µx δx

= = 2

115

= (Pa - 239

2 (< Z < b - 239

2

=

konversi skala ke Fahrenheit

x °C = x + 32°F95

mean dalam konversi skala Fahrenheit sedangkan std deviasi tetap

115 °C = 115 + 32°F

= 239°F

95

P(Z < a)

= ( (Φa - 239

2

= (P (Z < a - 239

2

( (Φb - 239

2 ( (Φa - 239

2-

P(Z > b)

= ( (1 - Φb - 239

2

= (P (Z > b - 239

2

= (1 - P (Z <b - 239

2

5. Pengujian umur lifetime µx δx

= = 12

24 ;;

µx δx²

= α . β= α . β²

mencari α . β dari persamaan µx δx

= = 12

24 ;;

24 144

= α . β ...........(1)= α . β²...........(2)

dari persamaan didapat

144 = 24β

x β²

βα

= = 4

6

a. probabilitas 12 sampai 24 minggu

P(12 < X < 24)

= P (X < 24) - P (X < 12)= FG (24; 4, 6) - FG (12; 4, 6)= FG (24/6; 4) - FG (12/6; 4)= FG (4; 4) - FG (2; 4)= 0,5665 - 0,1429= 0,4236

b. probabilitas paling lama 24 minggu P(X < 24)

= P (X < 24) = FG (24; 4, 6)= FG (24/6; 4) = FG (4; 4) = 0,5665

c. persentil ke-99 dari distribusi umur pakai transistor tersebut

d. lama pengujian sehingga hanya tersisa 0,5% dari seluruh transistor

P(X < x)

= P (X < x) = FG (x; 4, 6)= (x/6; 4) = (x/6)= (x/6)= 26,4 minggu

0,56654,4

x

6. Distribusi Eksponensial

a. probabilitas jarak perpindahan sejauh-jauhnya (I)= 100 m, (ii) = 200 m, (iii) = antara 100 s/d 200 m

P(X < 100)

= F (100; 0,01386)

= 1 - e= 1 - 0,250074= 0,749926

parameter γ = 0,01386

-(0,01386) (100)

P(X < 200)= F (200; 0,01386)

= 1 - e= 1 - 0,06257= 0,93743

-(0,01386) (200)

P(100 < X < 200)

= F (200; 0,01386) - F (100; 0,01386)

= 1 - e - 1 - e= 1 - 0,06257 - 1 - 0,250074 = 0,93743 - 0,749926= 0,187504

-(0,01386) (200) -(0,01386) (100)

b. probabilitas melebihi jarak rata-ratanya (mean) sebesar lebih dari 2 deviasi standard

µx δx

= = 2

1/λ ;;

µx

= 1/0,01386= 72,15007215

P(X > 72,15007215)

= 1 - P(X < 72,15007215)

= 1 - (1 - e )= 1 - (1 - 0,36788)= 0,36788

-(0,01386) (72,15007215)

c. nilai median dari jarak perpindahan reptil pada distribusi tersebut

7. Distribusi Erlang αβ

= = 1/λ

n

fEr (x; n, λ )

λ ( λx) en-1 -λx

(n - 1)!0

= x > 0 yang lain

λ ( λx) en-1 -λx

(n - 1)!P(X < x) =

x

0dt

a. kedatangan dua pelanggan secara berurutan λ = 0,5 berapa selang waktu yang diharapkan sebelum pelanggan ke sepuluh datang

0,5 ( 0,5 . 10) e2-1 -(0,5) 10

(2 - 1)!P(X < x) =

x

0dt

= 0,01684487

8. Distribusi Weibull αβ

= = 200

2,5

a. probabilitas sebuah spesimen mengalami penuaan (I)= kurang dari 200 jam, (ii) = lebih dari 300 jam, (iii) = antara 100 s/d 200 jam

P(X < 200)

= Fw (x; α, β)

= Fw (200; 2,5, 200) = 1 - e= 1 - 0,367879441= 0,632120559

-(200/200)2,5

= 1 - e-(x/β)α

P(X > 300)

= 1 - Fw (x; α, β)

= 1 - Fw (300; 2,5, 200) = 1 - (1 - e )= 1 - (1 - 0,22313016)= 0,22313016

-(300/200)2,5

= 1 - (1 - e )-(x/β)α

= 1 - P (X < 300)

P(100 < X < 200)

= Fw (x2; α, β) - Fw (x1; α, β)= Fw (200; 2,5, 200) - Fw (100; 2,5, 200)

= 1 - e - (1 - e )= 1 - 0,036789441 - (1 - 0,837966886) = 0,632120559 - 0,162033114= 0,470087445

-(100/200)-(200/200)2,5 2,5

9. Distribusi Weibull

b. mean (µx) & varians (δx²)

b. 50% waktu penuaan spesimen memiliki waktu penuaan lebih dari waktu tersebut

P(X > A)

= 1 - Fw (A; α, β)

= 1 - Fw (300; 2,5, 200)

= 1 - P (X < A)

0,50

= 1 - (1 - e )-(A/200)

2,5

= 1 - (1 - e )-(A/β)α

= e -(A/200)

2,5

0,50

0,50

ln 0,50

= A / 200

= -(A / 200)2.5

0,6931472,5

- ln 0,50 = A / 200 2.5

= A172,72

αβ

= = 1,5

2

a. fungsi distribusi kumulatif (cdf) dari X

P(X)

= Fw (x; α, β)

= Fw (X; 2, 1,5) = 1 - e-(X/1,5)

2

= 1 - e-(x/β)α

µx = E(X)

= βΓ 1 +α( )

= 1,5Γ 1 +

= 1,5Γ1,5= 1,5(0,5!)= 0,75

2( )1

1

δx² = β²= 1,5²= 2,25

c. probabilitas

P(5 < X < 8)

= Fw (x2; α, β) - Fw (x1; α, β)= Fw (8; 2, 1,5) - Fw (5; 2, 1,5)

= 1 - e - (1 - e )=

-(5/1,5)-(8/1,5)2 2

P(5 > X)

= 1 - P (5 > X)= 1 - Fw (5; 2, 1,5)

= 1 - (1 - e )=

-(5/1,5)2

( )

( )

10. Distribusi Lognormal µδ

= = 0,1

5

a. nilai harapan X (µx) dan varians X (δx²)

µx = E(X)

= e 2δ²

µ +

( )= e= 149,1571

20,1²

5 +

δx² = E(X)

= e2µ + δ² ( )e

δ²

- 1

( )=

= 22247,84 . (1.01005 - 1)= 223,590792

e2(5) + 0,1² ( )e

0,1²

- 1

b. probabilitas

P(X > 120)

= 1 - P (X < 120)

= 1 - P Z <

= 1 - Φ

( )ln (x) - µ

δ

( )ln (x) - µ

δ

= 1 - Φ

= 1 - Φ (-2,125)= 1 - 0,0170= 0,9830

( )ln (120) - 5

0,1

c. probabilitas

P(110 < X < 130)

= P (X < 130) - P (X < 110)

= P Z < - P Z <( )ln (x) - µ

δ

= Φ - Φ

= Φ (-1,324) - Φ (-2,995)= 0,0934 - 0,0014= 0,0920

( )ln (130) - 5

0,1

( )ln (x) - µ

δ

= P Z < - P Z <( )ln (130) - 5

0,1 ( )ln (110) - 5

0,1

( )ln (110) - 5

0,1

d. 10 sampel diukur berapa yang sekurang-kurangnya memiliki kekuatan 120

P(X > 120)

= 9,830

jadi, hanya 98.30% dari 10 sample material yang memiliki kekuatan minimal 120 berarti hanya ada 9 material.