Aplicações de LT
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APLICAÇÕES DE LT
Prof. Marcelo de Oliveira Rosa
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Aplicações de LT
Resposta ao Impulso Sistema com 1 pólo real
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Aplicações de LT
Resposta ao Impulso Sistema com 2 pólos complexos conjugados
Influência de α e Ωc
2c
2)s(
s)s(H
)t(u)tcos(e)t(h ct
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Aplicações de LT
Resposta ao Impulso Sistema com 2 pólos complexos conjugados
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Aplicações de LT
Resposta ao Impulso Sistema com 2 pólos complexos conjugados
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Resposta ao Impulso Pólos reais negativos
Decaimento de h(t), t∞ Pólos reais positivos
Ampliação de h(t), t∞ Proximidade com σ = zero
Redução do fator de crescimento/decaimento de h(t)
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Aplicações de LT
Resposta ao Impulso Re{pólos} < zero
Decaimento de h(t), t∞ Re{pólos} > zero
Crescimento de h(t), t∞ Re{pólos} = zero
h(t) estacionário, t∞
Proximidade de Re{pólos} em relação a σ = zero Redução da taxa de decaimento/crescimento
de h(t)
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Aplicações de LT
Resposta ao Impulso Consideração de pares de pólos complexos
Conjugados complexos
Proximidade de Im{pólos} em relação a Ω = zero Redução da taxa de decaimento/crescimento
de h(t)
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Resposta ao Impulso Um sistema LTI é estável se todos os seus
pólos se localizarem no semiplano esquerdo aberto do plano complexo s Re{sp}<0
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Efeitos de zeros em LTI Na freqüência
Alteração da resposta em freqüência Exemplo: passa-alta para passa-baixa
No tempo Presença de discontinuidades da forma δ(t)
Inclui derivadas de δ(t)
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Aplicações de LT
Resposta ao Degrau Unitário Sabemos que h(t) ocorre quando x(t) = δ(t)
Na prática, não conseguimos produzir tal sinal
Podemos encontrar h-1(t) com base em h(t) Resposta ao degrau unitário Ação de chave liga-desliga
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Resposta ao Degrau Unitário
Transitório N-1(s)/D(s) Assumindo pólos no semiplano esquerdo
real
Regime permanente H(0)/s H(0)u(t)
s
)0(H
)s(D
)s(N)s(H
)s(D
)s(N)s(H 1
1
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Resposta ao Degrau Unitário Sistema com 1 pólo real
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Resposta ao Degrau Unitário Sistema com 2 pólos complexos conjugados
Influência de ζ (zeta) e Ωn
2nn
2
2n
s2s)s(H
1)t(u1112
e
112
e)t(h
22
t1
22
t1
1
2n
2n
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Aplicações de LT
Resposta ao Degrau Unitário Sistema com 2 pólos complexos conjugados
Influência de ζ (zeta) e Ωn
2nn
2
2n
s2s)s(H
1e)t1(1
1e)t1(1)t(u)t(h
tn
tn
1n
n
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Resposta ao Degrau Unitário Sistema com 2 pólos complexos conjugados
Variação de ζ
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Aplicações de LT
Resposta ao Degrau Unitário Sistema com 2 pólos complexos conjugados
Variação de Ωn
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Resposta ao Degrau Unitário Sistema com 1 pólo real
H(s) = 1 / (1 – s/p)
Magnitude do pólo Influência do transitório
Constante de tempo do sistema (τ = – 1/p)
Exemplo: filtro RC τ = – 1/RC
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Resposta ao Degrau Unitário Sistema com 2 pólos complexos conjugados
Ωn (≠ Ωc) controla a taxa de oscilação do transitório
Manutenção da amplitude da n-ésima oscilação.
ζ<0 Sistema instável Pólos no semiplano direito aberto do plano s
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Aplicações de LT
Resposta ao Degrau Unitário Sistema com 2 pólos complexos conjugados
ζ<0 Sistema instável Pólos no semiplano direito aberto do plano s
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Aplicações de LT
Resposta ao Degrau Unitário Sistema com 2 pólos complexos conjugados
0<ζ<1 Pólos complexos (conjugados simétricos) Sistema estável e subamortecido
ζ>1 Pólos reais distintos Sistema estável e sobreamortecido
ζ=1 Pólos reais iguais Sistema estável e amortecido criticamente
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Resposta a Sinal Senoidal Se x(t) = cos(Ω0t)
Regime permanente
20
20
020
20
01
20
20
s)}j(HIm{
s
s)}j(HRe{
)s(D
)s(N
s
s
)s(D
)s(N)s(Y
)j(Htcos)j(H)t(y 000
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Aplicações de LT
Resposta a Sinal Senoidal Se x(t) = cos(Ω0t) Regime permanente
Sistema h(t) altera apenas amplitude e fase da componente Ωo
Não sua freqüência.
)j(Htcos)j(H)t(y 000
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Aplicações de LT
Resposta a Sinal Genérico
Transitório N-1(s)/D(s) Assumindo pólos no semiplano esquerdo
real Sistema BIBO
Regime permanente ILT{Nx-1
(s)/Dx(s)} é estacionário
)S(D
)s(N
)s(D
)s(N)s(H)s(X
)s(D
)s(N)s(Y
x
x11
1
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Aplicações de LT
Relação entre LT e FT Avaliação de H(s) para s = σ + jΩ = zero +
jΩ Exemplo:
Quais os zeros e pólos?
104s4s
17s2s)s(H
2
2
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Aplicações de LT
Relação entre LT e FT H(s) é “tridimensional”
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Aplicações de LT
Relação entre LT e FT H(s) é “tridimensional”
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Aplicações de LT
Relação entre LT e FT H(s) é “tridimensional”
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Diagrama de Blocos Lembrando
Integração (no tempo) 1/s no domínio de Laplace
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Diagrama de Blocos Forma direta II
+
+
+
+bn
bn-1
bn-2
b1
b0
Y(s)
1/s
1/s
1/s
1/an
an-1
an-2
a1
a0
X(s)
+
+
+
+–
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Diagrama de Blocos Decomposição de H(s) em pólos e zeros
N1MM
M
1
1
ps
1
ps
1
ps
zs
ps
zsA)s(H
+
+
zk
Yk(s)
1/s-pk
Xk(s)
+
+– –
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Aplicações de LT
Diagrama de Blocos Decomposição de H(s) em pólos e zeros
Yk(s)
1/s-pk
Xk(s)
+
+–
N1MM
M
1
1
ps
1
ps
1
ps
zs
ps
zsA)s(H
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Aplicações de LT
Diagrama de Blocos Decomposição de H(s) em pólos e zeros
Cascateamento de sub-blocos Paralelismo de sub-blocos
Para pólos complexos em pares conjugados Diagramas de segunda ordem