Fluxo de Fluidos - fis.uc.pt · Teorema de Torricelli Pa =Pb =Patm Patm +ρgh+0 =Patm +0+ 1 2 ρv2...

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1 Fluxo de Fluidos Linha de fluxo: trajectória de uma partícula individual Curva que é tangente à velocidade do fluido em qualquer ponto. Tubo de fluxo: formado pelas linhas de fluxo que passam pela borda de uma área A qualquer. Fluxo Laminar Fluxo estático: O padrão do fluxo não muda com o tempo — fluido dentro de um tubo de fluxo não sai desse tubo — tubos de fluxo diferentes não se cruzam — fluido em tubos de fluxo diferentes não se misturam

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Fluxo de Fluidos

Linha de fluxo: trajectória de uma partícula individual

Curva que é tangente àvelocidade do fluido em qualquer ponto.

Tubo de fluxo: formado pelas linhas de fluxo que passampela borda de uma área A qualquer.

Fluxo Laminar

Fluxo estático: O padrão do fluxo não muda com o tempo

— fluido dentro de um tubo de fluxo não sai desse tubo— tubos de fluxo diferentes não se cruzam— fluido em tubos de fluxo diferentes não se misturam

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Fluxo Turbulento

— linhas de fluxo (e tubos de fluxo) cruzam-se, desaparecem e apareceme a sua forma e propriedades variam com o tempo.

Tubo contendo fluido incompressível

Todo o fluido que entra num extremo

Sai no outro extremo

Fluxo: Q =∆V∆t

m3 s-1⎡⎣ ⎤⎦

Equação de continuidade: Q1=Q2

A Equação de Continuidade

Fluxo: volume de fluido que atravessa qualquer superfície na unidade de tempo

Q1 = Q (A1)

Q2 = Q (A2)

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Fluido incompressível com densidade ρ constante:

No intervalo de tempo dt:

— fluido em move-se A1 v1dtem entra, dentro do volume, o fluidoA1

dV1 = A1v1dt

— em sai do volume o fluidoA2

dV2 = A2v2dt

com massa dm1 = ρA1v1dt

com massa dm2 = ρA2v2dtSe o fluxo é estático a massa total dentro do tubo é constante:

dm1 = dm2 ρA1v1dt = ρA2v2dt A1v1 = A2v2

A Equação de Continuidade

Av é a taxa de fluxo volumétricadVdt

= Av

A taxa de fluxo mássica édmdt

= ρAv

A1v1 = A2v2

Se, para o mesmo fluxo,a área da secção variar

A Equação de Continuidade

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A Equação fundamental da hidrodinâmica:

Equação de Bernoulli

Relaciona o trabalho realizado num fluido com a variação da sua energia cinética

Só é válida para:

1.Fluidos incompressíveis (densidade constante)

2. Fluido não viscoso (atrito interno é desprezável)

3. Fluxo estável (não turbulento)

4. Fluxo estacionário (velocidade do fluido num ponto

não varia com o tempo)

fluido incompressível

Equação de Bernoulli

Aplicar a conservação de energia a um tubo de fluxo

no intervalo de tempo dt :

a ➞ bc ➞ d- fluido em e moveu-se

ds1 = v1dtds2 = v2dt

- equação de continuidade (A1v1 = A2v2 )com v=ds/dt A1ds1 = A2ds2 (= dV )

O movimento do fluido faz-se sob a acção de:

- Peso (conservativa, energ. mecân. conserva-se)

- Pressão (conservativa, Força externa)

∆Wext = ∆Ec + ∆Ep

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Equação de Bernoulli

Em a:m = ρA1ds1

v = v1

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭⇒ Ec1

=12ρ(A1ds1 )v1

2

Em b:m = ρA2ds2

v = v2

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭⇒ Ec2

=12ρ(A2ds2 )v2

2

dWext = dEc + dEp

dEc =12ρdV (v2

2 − v12 )

dEc = Ec2− Ec1

Equação de Bernoulli

dWext = dEc + dEp

Em a:

Em b:

m = ρA1ds1

h = y1

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭⇒ Ep1

= ρ(A1ds1 )gy1

m = ρA2ds2

h = y2

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭⇒ Ep2

= ρ(A2ds2 )gy2

dEp = Ep2− Ep1

dEp = ρdVg(y2 − y1 )

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Equação de Bernoulli

dWext = dEc + dEp

Em a:

Em b:

F = p1A1

s = ds1

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭⇒W1 = p1A1ds1

F = − p2 A2

s = ds2

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭⇒W2 = − p2A2ds2

dW =W1 +W2 = p1A1ds1 − p2A2ds2

dW = (p1 − p2 )dV

dWext = dEc + dEp

dW = (p1 − p2 )dV

dEp = ρdVg(y2 − y1 )

dEc =12ρdV (v2

2 − v12 )

(p1 − p2 )dV =12ρdV (v2

2 − v12 )+ ρdVg(y2 − y1 )

(p1 − p2 ) = 12ρ(v2

2 − v12 )+ ρg(y2 − y1 )

Equação de Bernoulli

Equação de Bernoulli

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Equação de Bernoulli

(p1 − p2 ) = 12ρ(v2

2 − v12 )+ ρg(y2 − y1 )

p1 + ρgy1 +12ρv1

2 = p2 + ρgy2 +12ρv2

2

p + ρgy + 12ρv2 = Const

Equação de Bernoulli - fluidos estáticos (hidroestática)

Lei de Pascal

Princípio dos vasos comunicantes

PA = PE = ...= Patm hA = hE = ...= h

Fluido em repouso: v = 0

P + ρ gy = Const.

PA = 1 atm

PB = ?

PA + ρ gh = PB + ρ gyB

PB = PA + ρ g d (d= h - yB)

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Equação de Bernoulli - circulação sanguínea

Velocidades pequenas e ≈ iguais

Podemos desprezar o termo

As forças viscosas no sangue são pequenas

P + ρ gh = Const

2

21 vρ

PF = PH + ρghH = PB + ρ ghB

Valores típicos para um adulto são:

hH = 1,3 m

hB = 1,7 m

PH = 13,3 kPa

PF = 26,8 kPa e PB = 9,3 kPa

_ impedir que o sangue “fuja” da cabeça

_ obrigar o sangue a subir das pernas

-Diminuir φ das veias na cabeça e no pescoço

- Nas pernas:

-válvulas que impedem que o sangue desça

- Movimentos constantes nos músculos

Equação de Bernoulli - exemplos dinâmicos

p + ρgy + 12ρv2 = Const

Ex. 1 - Fluxo Horizontal ⇒ ρ gy = Const.

200

2

21

21 vPvP BB ρρ +=+

)(21 22

0 ABB vvPP −=− ρ

Como ⇒ as folhas aproximam-se0vvB > BPP >0

Ex. 2 – Automóvel cruza com camião

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Eq. Bernoulli - Aplicações

Qual é a velocidade com que o líquido sai?

Da Equação de Bernoulli:

v = 2gh

Fluido num tubo horizontal:

P1 +12ρv1

2 = P2 +12ρv2

2v >⇒ P <

Patm

Teorema de Torricelli

Pa = Pb = Patm

Patm + ρgh + 0 = Patm + 0 + 12ρv2

Eq. Bernoulli - Aplicações

Tubo de Venturi

P1 +12ρv1

2 = P2 +12ρv2

2

A1v1 = A2v2

⎫⎬⎪

⎭⎪v = 2A2

2∆Pρ A1

2 − A22( )

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O voo das aves e dos aviões

Avião ou ave perturbam temporariamente o ar ⇒ não se pode aplicar a eq Bernoulli

Porém, se estivermos dentro do avião, vemos um fluxo de ar estável em torno do aparelho e das asas ⇒ Podemos pois aplicar a eq Bernoulli

PA

PB

rFL

Linhas de fluxo acima da asa estão mais juntas

VA > VB

E da eq. Bernoulli

vem: PA < PB

p + ρgy + 12ρv2 = Const

e a força (para cima) aplicada na asa de área A é:

)(2

)( 22baabL vvAAPPF −=−=

ρ

)(21 22

baab vvPP −=− ρ

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)(2

)( 22baabL vvAAPPF −=−=

ρ

Experimentalmente verifica-se que: e vva ∝ vvb ∝

E a força de Sustentação será 2

2vCAF LL

ρ=

Em que CL é o Coeficiente de Sustentação – pode ser medido experimentalmente e depende da forma da asa, do ângulo de ataque etc.-

Atomizador:

Eq. Bernoulli - Aplicações

- P no estrangulamento é menor- Fluido sobe no tubo e pulveriza

P1 +12ρv1

2 = P2 +12ρv2

2

Bola de Ping-pong suspensa

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Eq. Bernoulli - Aplicações

“Efeito” nas bolas em movimento

P1 +12ρv1

2 = P2 +12ρv2

2

rF

Circulação Sanguínea

AIT - Acidente Isquémico Transitório

Síndroma de Roubo da Subclávia

P1 +12ρv1

2 = P2 +12ρv2

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