Distribusi Sampling Statistik

32
DISTRIBUSI SAMPLING Populasi dan Sampel?? Populasi Keseluruhan pengamatan yang diteliti. Ada 2 macam, populasi berhingga dan tak berhingga. Ukuran populasi : banyaknya pengamatan (N) Karakteristik : ciri atau sifat dari populasi Parameter : hasil pengukuran karakteristik (μ dan σ) Sensus : cara mengumpulkan data Kelemahan Populasi : 1. Memerlukan biaya yang sangat mahal 2. Memerlukan waktu yang lama 3. Memerlukan tenaga dalam jumlah yang besar 4. Data yang diperoleh tidak akurat Sampel Mengambil sebagian anggota dari populasi Sampel ada 2, sampel besar dan sampel kecil Rahma Faelasofi Page 1

Transcript of Distribusi Sampling Statistik

Page 1: Distribusi Sampling Statistik

DISTRIBUSI SAMPLING

Populasi dan Sampel??

Populasi

Keseluruhan pengamatan yang diteliti.

Ada 2 macam, populasi berhingga dan tak berhingga.

Ukuran populasi : banyaknya pengamatan (N)

Karakteristik : ciri atau sifat dari populasi

Parameter : hasil pengukuran karakteristik (μ dan σ)

Sensus : cara mengumpulkan data

Kelemahan Populasi :

1. Memerlukan biaya yang sangat mahal

2. Memerlukan waktu yang lama

3. Memerlukan tenaga dalam jumlah yang besar

4. Data yang diperoleh tidak akurat

Sampel

Mengambil sebagian anggota dari populasi

Sampel ada 2, sampel besar dan sampel kecil

Fungsinya untuk menyimpulkan atau mengetahui karakteristik

atau parameter dari populasi (potret /gambaran dari populasi)

Ukuran sampel : banyaknya pengamatan (n)

Statistik : hasil pengukuran karakteristik (X dan S)

Rahma Faelasofi Page 1

Page 2: Distribusi Sampling Statistik

Sampling : cara mengumpulkan data

Sampling

Populasi Sampel

Populasi SampelN nParameter Statistik

μ Xσ S

Berhingga/Tak berhingga Besar/Kecil

Populasi dapat merupakan populasi berhingga ataupun tak-

berhingga. Sebagai contoh, jika kita mengambil 10 bola secara

berturut-turut dengan tidak mengembalikan lagi bola-bola yang

terambil ke dalam kantong yang berisi 100 bola maka kita sebut

melakukan sampling dari sebuah populasi berhingga. Sementara itu,

jika kita melemparkan sekeping uang logam sebanyak 50 kali dan

menghitung banyaknya tanda gambar yang muncul maka kita

disebut melakukan sampling dari suatu populasi tak-berhingga.

Rahma Faelasofi Page 2

Page 3: Distribusi Sampling Statistik

Kemudian apakah ada perbedaan antara Statistik sampel Vs Parameter populasi??

Keuntungan Sampel :

1. Biaya lebih murah

2. Waktu yang lebih singkat

3. Tenaga yang diperlukan lebih sedikit

4. Data yang diperoleh lebih akurat

Sampel harus representatif dengan ciri-ciri :

1. Mempunyai ukuran tertentu yang memakai syarat

2. Mempunyai kesalahan kecil

3. Dipilih dengan prosedur yang benar berdasarkan teknik atau cara

sampling tertentu

Rahma Faelasofi Page 3

Page 4: Distribusi Sampling Statistik

Kemudian adanya penarikan kesimpulan tentang parameter

populasi berdasarkan data keterangan tidak lengkap yang diperoleh

melalui pengambilan sampel dan penghitungan harga-harga statistik.

Harga suatu statistik tergantung pada data-data yang diamati,

sehingga harga statistik bervariasi dari satu sampel ke sampel

lainnya. Hal tersebut seperti yang disajikan dalam gambar di bawah

ini:

Cara pengambilan sampel sedemikian hingga setiap elemen

populasi mempunyai kemungkinan sama untuk terpilih sebagai

anggota sampel disebut sampel random. Diketahui ada dua cara

Rahma Faelasofi Page 4

Populasi (N)

X1 , X2 ,⋯ , X N

Parameter

μ dan σ2

sampel (n)

X1 , X2 ,⋯ , X n

statistik

X1 dan S12

sampel (n)

X1 , X2 ,⋯ , X n

statistik

X2 dan S22

sampel (n)

X1 , X2 ,⋯ , X n

statistik

X ndan Sn2

Page 5: Distribusi Sampling Statistik

pengambilan sampel random, yaitu pengambilan sampel random

dengan pengambilan dan tanpa pengembalian.

Jika populasi berukuran N diambil sampel berukuran n dengan

pengembalian, maka ada Nn buah sampel yang mungkin diambil.

Dalam kasus pengembalian lagi, sampel tersebut bisa saja muncul

kembali dalam pengambilan-pengambilan berikutnya. Sampling

dimana masing-masing anggota populasi dapat dipilih lebih dari

satu kali disebut sebagai sampling dengan pengembalian.

Jika populasi berukuran N diambil sampel berukuran n dengan

tanpa pengembalian maka ada (Nn )= N !

( N−n )! n! buah sampel yang

mungkin diambil. Dalam kasus tanpa pengembalian lagi, sampel

yang bersangkutan hanya muncul satu kali. Sampling dimana

masing-masing anggotanya tidak dapat dipilih lebih dari satu kali

disebut sebagai sampling tanpa pengembalian.

Ex:

Diberikan populasi dengan data 23, 23, 21, 22, 24, yang kemudian

diambil sampel berukuran 2, ada berapa buah sampel semuanya jika

diambil dengan pengembalian & tanpa pengembalian, kemudian

berikan semua sampel yang mungkin?

Jawab:

Dengan pengembalian: Nn=52=25 buah sampel

Rahma Faelasofi Page 5

Page 6: Distribusi Sampling Statistik

Sampel yang mungkin: (23,23),(23,23),(23,21),(23,22),(23,24),(23,23),(23,23),(23,21),(23,22),(23,24),(21,23),(21,23),(21,21),(21,22),(21,24),(22,23),(22,23),(22,21),(22,22),(22,24),(24,23), (24,23),(24,21),(24,22),(24,24)

Tanpa pengembalian: (Nn )= N !

( N−n )! n!= 5 !

3 ! .2 !=10 buah sampel

Sampel yang mungkin: (23,23),(23,21),(23,22),(23,24),(23,21),

(23,22),(23,24),(21,22),(21,24),(22,24)

BEBERAPA TEKNIK PENARIKAN SAMPEL :

1. Penarikan Sampel Acak Sederhana (Simple Randomized Sampling)

Pengacakan dapat dilakukan dengan : undian, tabel bilangan acak,

program komputer.

2. Penarikan Sampel Sistematik (Systematic Sampling)

Tetapkan interval lalu pilih secara acak anggota pertama sampel

Ex :

Ditetapkan interval = 20

Secara acak terpilih : Anggota populasi ke-7 sebagai anggota ke-1

dalam sampel, maka : Anggota populasi ke-27 menjadi anggota

ke-2 dalam sampel. Anggota populasi ke-47 menjadi anggota ke-3

dalam sampel, dst.

3. Penarikan Sampel Acak Berlapis (Stratified Random Sampling)

Populasi terdiri dari beberapa kelas/kelompok. Dari setiap kelas

diambil sampel secara acak.

Perlu diingat….

Rahma Faelasofi Page 6

Page 7: Distribusi Sampling Statistik

Antar Kelas bersifat (cenderung) berbeda nyata (heterogen).

Anggota dalam suatu kelas akan (cenderung) sama (homogen).

Contoh :

Dari 1500 penumpang KA (setiap kelas memiliki ukuran yang

sama) akan diambil 150 orang sebagai sampel, dilakukan

pendataan tentang tingkat kepuasan, maka sampel acak dapat

diambil dari :

Kelas Eksekutif : 50 orang

Kelas Bisnis : 50 orang

Kelas Ekonomi : 50 orang

4. Penarikan Sampel Gerombol/Kelompok (Cluster Sampling)

Populasi juga terdiri dari beberapa kelas/kelompok

Sampel yang diambil berupa kelompok bukan individu anggota.

Antar kelas bersifat (cenderung) sama (homogen). Anggota dalam

suatu kelas akan (cenderung) berbeda (heterogen).

Contoh :

Terdapat 40 kelas untuk tingkat II Jurusan Ekonomi-GD, setiap

kelas terdiri dari 100 orang. Populasi mahasiswa kelas 2, Ekonomi-

UGD = 40 × 100 = 4000.

Jika suatu penelitian dilakukan pada populasi tersebut dan sampel

yang diperlukan = 600 orang, dilakukan pendataan mengenai lama

waktu belajar per hari maka sampel dapat diambil dari 6 kelas....

Dari 40 kelas, ambil secara acak 6 kelas.

Rahma Faelasofi Page 7

Page 8: Distribusi Sampling Statistik

5. Penarikan Sampel Area (Area Sampling)

Prinsipnya sama dengan Cluster Sampling.

Pengelompokan ditentukan oleh letak geografis atau

administratif.

Contoh : Pengambilan sampel di daerah JAWA BARAT, dapat

dilakukan dengan memilih secara acak KOTAMADYA tempat

pengambilan sampel, misalnya terpilih, Kodya Bogor, Sukabumi

dan Bandung.

Berdasarkan Ukurannya, maka sampel dibedakan menjadi :

1. Sampel Besar jika ukuran sampel (n) ≥ 30

2. Sampel Kecil jika ukuran sampel (n) < 30

Distribusi Sampling

Oleh karena setiap statistik akan bervariasi dari satu sampel ke

sampel lainnya, jadi statistik merupakan variabel random yang

bergantung pada sampel yang diamati. Pandanglah semua

kemungkinan sampel berukuran N yang dapat diambil dari suatu

populasi yang diberikan (baik dengan ataupun tanpa pengembalian).

Untuk setiap sampel ini, kita dapat menghitung statistik sampel atau

statistik (seperti mean dan standar deviasi) yang akan bervariasi

antara sampel yang satu dengan sampel yang lainnya. Dalam hal ini

Rahma Faelasofi Page 8

Page 9: Distribusi Sampling Statistik

akan diperoleh sebuah distribusi dari statistik tersebut yang disebut

distribusi sampling.

Distribusi sampling suatu statistik tergantung pada ukuran

populasi, ukuran sampel, dan cara pengambilan sampel, apabila

ukuran populasi relatif jauh lebih besar dari ukuran sampel maka

perbedaan cara pengambilan sampel dapat diabaikan. Dalam bab ini,

akan dipelajari distribusi sampling. Ada empat macam distribusi

sampel :

1. Distribusi sampel rata-rata

2. Distribusi sampel proporsi

3. Distribusi sampel beda dua rata-rata

4. Distribusi sampel beda dua proporsi

Terdapat beberapa notasi yang relevan dalam distribusi sampling,

yaitu:

n : ukuran sampel N : ukuran populasi

X : rata-rata sampel μX : rata-rata populasi

S : standar deviasi sampel σ X : standar deviasi populasi

μX : rata-rata antar semua sampel

σ X : standar deviasi antar semua sampel = standard error = galat baku

Rahma Faelasofi Page 9

Page 10: Distribusi Sampling Statistik

Distribusi sampel rata-rata

Bila populasi berhingga berukuran N dengan rata-rata μX dan

simpangan baku σ X diambil sampel berukuran n (n≥ 30 ) dan rata-rata X

, maka sampel yang diambil dengan pengembalian dapat diperoleh:

1. Distribusi sampel rata-rata μX=μX

2. Simpangan baku : σ X=σ X

√n

Dimana bila n≥30, maka distribusi sampelnya akan mendekati

distribusi normal sehingga variabel random Z dapat dihitung dengan

rumus :

Z=X−μX

σ X

=X−μX

σ X

Sedangkan untuk sampel yang diambil tanpa pengembalian dapat

diperoleh:

1. Distribusi sampel rata-rata μX=μX

2. Simpangan baku

σ X=σ X

√n √ N−nN−1

Dimana √ N−nN−1

disebut faktor koreksi populasi berhingga

Bila n≥30, maka distribusi sampelnya akan mendekati distribusi

normal sehingga variabel random Z dapat dihitung dengan rumus :

Z=X−μX

σ X

=X−μX

σ X

Rahma Faelasofi Page 10

Page 11: Distribusi Sampling Statistik

Faktor Koreksi (FK) akan menjadi penting jika sampel berukuran n

diambil dari populasi berukuran N yang berhingga/ terbatas

besarnya

Jika sampel berukuran n diambil dari populasi berukuran N yang

sangat besar maka FK akan mendekati 1 →√ N−nN−1

≈ 1, hal ini

mengantar kita pada Teorema Limit Pusat:

TEOREMA LIMIT PUSAT

Jika terdapat suatu sampel berukuran n yang memiliki rata-rata yaitu X

, dimana diambil dari suatu populasi yang berukuran N yang besar

dengan distribusinya sembarang akan memiliki rata-rata : μX dan

standar deviasi : σ X. Maka, distribusi rata-rata akan mendekati

Distribusi Normal dengan:

μX=μX dan σ X=σ X

√ndengannilai Z=

X−μX

σ X

√n

Teorema Limit Pusat berlaku untuk :

1. penarikan sampel dari populasi yang sangat besar,

2. distribusi populasi tidak dipersoalkan

Dari beberapa sumber yang ada, menyatakan bahwa Populasi

dianggap Besar jika ukuran sampel kurang dari 5% ukuran populasi

atau nN

<5 %.

Perlu diingat…

Rahma Faelasofi Page 11

Page 12: Distribusi Sampling Statistik

Dalam mengerjakan soal DISTRIBUSI SAMPEL RATA-RATA

perhatikan asumsi-asumsi dalam soal sehingga anda dapat dengan

mudah dan tepat menyelesaikan soal-soal tersebut.

Ex :

1. PT AKUA sebuah perusahaan air mineral rata-rata setiap hari

memproduksi 100 juta gelas air mineral. Perusahaan ini

menyatakan bahwa rata-rata isi segelas AKUA adalah 250 ml

dengan standar deviasi = 15 ml. Rata-rata populasi dianggap

menyebar normal. a. Jika setiap hari diambil 100 gelas AKUA

sebagai sampel acak DENGAN PEMULIHAN, hitunglah : standard

error atau galat baku sampel tersebut dan peluang rata-rata

sampel akan berisi kurang dari 253 ml?. b. Jika sampel diperkecil

menjadi 25 gelas, hitunglah : standard error atau galat baku

sampel tersebut dan peluang rata-rata sampel akan berisi lebih

dari 255 ml?

Jawab:

Diketahui:

a. N=100 juta ;μX=μX=250 ; σ X=15; n=100

Galat baku atau standar error sampel

galat baku=σ X=σ X

√n= 15

√100=15

10=1,5

Z=253−2501,5

= 31,5

=2

Sehingga, P ( X<253 )=P (Z<2 )=0,5+0,4772=0,9772

Rahma Faelasofi Page 12

Page 13: Distribusi Sampling Statistik

Jadi, peluang rata-rata sampel akan berisi kurang dari 253ml

adalah 0,9772 atau 97,72%.

b. N=100 juta ;μX=μX=250 ; σ X=15; n=25

Karena populasi sangat besar dan pengambilan sampelnya kecil,

maka digunakan pendekatan Teorema Limit Pusat

P ( X>255 )=P (Z>? )

Galat baku atau standar error sampel

galat baku=σ X=σ X

√n= 15

√25=15

5=3

Z=255−2503

=53=1,67

Sehingga, P ( X>255 )=P (Z>1,67 )=0,5−0,4525=0,0475

Jadi, peluang rata-rata sampel akan berisi lebih dari 255ml adalah

0,0475 atau 4,75%.

2. Kecepatan maksimum 2000 mobil mempunyai rata-rata 135,5

km/jam dengan simpangan baku 5,2 km/jam. Jika sampel sebesar

150 mobil dipilih secara acak tanpa pengembalian, hitung

probabilitas kecepatan maksimum rata-rata dari 150 mobil

tersebut yang lebih besar dari 136,1 km/jam!

Jawab:

σ X=σ X

√n √ N−nN−1

= 5,2√150 √ 2000−150

2000−1=0,41

Z=X−μX

σ X

=136,1−135,50,41

=1,46

Rahma Faelasofi Page 13

Page 14: Distribusi Sampling Statistik

Jadi probabilitas kecepatan maksimum rata-rata mobil yang lebih

besar dari 136,1 km/jam adalah P(X>136,1) = P(Z>1,46) = 0,4279.

Distribusi Sampel Proporsi

Bila populasi berukuran N mengandung jenis p sebanyak X, maka

proporsi p adalah XN . Dimana p merupakan probabilitas untuk

terjadinya suatu peristiwa, sementara (q = 1-p) merupakan

probabilitas untuk tidak terjadinya suatu peristiwa.

Jika dari populasi tersebut diambil sampel berukuran n yang juga

mengandung proporsi xn dan sampel diambil berulang maka distribusi

sampel proporsinya mempunyai :

1. Rata-rata → μ p̂=μp=XN

2. Simpangan baku → σ p̂=√ p (1−p )n

3. Variabel random → Z= p̂−pσ p̂

Ex :

Diketahui sebanyak 10% dari ibu-ibu rumah tangga di Bandung

memakai detergen A untuk mencuci pakaiannya. Jika dari populasi

tersebut diambil sampel berukuran 100 :

Rahma Faelasofi Page 14

Page 15: Distribusi Sampling Statistik

a. Tentukan rata-rata dan simpangan baku dari populasi ibu-ibu

rumah tangga yang memakai detergen A!

b. Bila dari sampel tersebut ternyata terdapat paling sedikit 15 ibu

rumah tangga yang memakai detergen A, tentukan probabilitasnya!

Jawab:

a. Rata-rata : 10% = 0 ,1

σ p̂=√ p (1−p )n

=√ 0,1 (0,9 )100

=0,03

b. Proporsi yang memakai detergen A adalah 15100

=0,15

Z= p̂−pσ p̂

=0,15−0,10,03

=1,67

P (Z>1,67 )=0,5−0,4525=0,0475

Distribusi Sampel Beda Dua Rata-rata

Terdapat 2 populasi. Populasi 1 sebanyak N1 dan mempunyai rata-

rata μ1 serta simpangan baku σ 1. Populasi 2 sebanyak N2 mempunyai

rata-rata μ2 serta simpangan baku σ 2. Dari populasi 1 diambil sampel

acak sebanyak n1 dengan rata-rata X1 dan dari populasi 2 sampel acak

sebanyak n2 dengan rata-rata X2 dimana kedua sampel tersebut

dianggap saling bebas.

Dari sampel X1 dan X2 dapat dibuat sampel baru yang juga bersifat

acak, yaitu sampel beda dua rata-rata. Rata-rata dan simpangan baku

dari distribusi sampel beda dua rata-rata adalah :

Rahma Faelasofi Page 15

Page 16: Distribusi Sampling Statistik

Rata-rata : μX 1−X 2=μ1−μ2

Simpangan baku : σ X 1−X2=√ σ1

2

n1

+σ2

2

n2

Variabel Random : Z=( X1−X 2)−( μ1−μ2)

σ X 1−X2

Ex:

Di suatu universitas diketahui rata-rata tinggi badan mahasiswa laki-

laki adalah 164 cm dengan simpangan baku 5,3 cm. Sedangkan

mahasiswa perempuan tinggi badannya rata-rata 153 cm dengan

simpangan baku 5,1 cm. Dari dua populasi tersebut diambil sampel

acak yang saling bebas masing-masing 150 orang, berapa

probabilitas rata-rata tinggi mahasiswa laki-laki paling sedikit 12 cm

lebihnya daripada rata-rata tinggi mahasiswa perempuan?

Jawab:

Diketahui:

Populasi 1 : μ1=164 cm, σ 1=5,3 cm ,dan sampel1 :n1=150 orang

Populasi 2 : μ2=153 cm , σ2=5,1 cm , dansampel 2: n2=150 orang

Misal : X1 = rata-rata tinggi badan mahasiswa laki-laki

X2 = rata-rata tinggi badan mahasiswa perempuan

Rata-rata : μX 1−X 2=μ1−μ2=164−153=11 cm

Simpangan baku : σ X 1−X2=√ σ1

2

n1

+σ2

2

n2

=√ 5,32

150+ 5,12

150=0,6

Z=( X1−X 2)−( μ1−μ2)

σ X 1−X2

=( X1−X2 )−11

0,6

Karena rata-rata tinggi badan mahasiswa laki-laki paling sedikit 12 cm

lebihnya daripada rata-rata tinggi badan mahasiswa perempuan,

Rahma Faelasofi Page 16

Page 17: Distribusi Sampling Statistik

maka ( X 1−X2 ) ≥12 sehingga Z=12−110,6

=1,67 sehingga probabilitasnya

P (Z ≥1,67 )=0,5−0,4525=0,0475

Distribusi Sampel Beda Dua Proporsi

Ada 2 populasi.

Populasi 1 berukuran N1 terdapat jenis X1 dengan proporsi X1

N 1.

Populasi 2 berukuran N2 terdapat jenis X2 dengan proporsi X2

N 2. Bila

populasi 1 diambil sampel acak berukuran n1 maka sampel ini akan

mengandung jenis x1 dengan proporsi x1

n1. Demikian juga dengan

populasi 2 diambil sampel acak berukuran n2 maka sampel ini akan

mengandung jenis x2 dengan proporsi x2

n2. Sampel 1 dan 2 dapat

membentuk sampel acak baru yaitu sampel beda dua proporsi.

Distribusinya mempunyai :

Rata-rata : μ p̂1− p̂2=p1−p2

Simpangan baku : σ p̂1−p̂ 2=√ p1 (1−p1 )

n1

+p2 (1−p2 )

n2

Variabel Random : Z=( p̂1− p̂2 )−( p1−p2 )

σ p̂1−p̂2

Ex:

5% barang di gudang timur cacat, sedangkan barang yang cacat di

gudang barat sebanyak 10%. Bila diambil sampel acak sebanyak 200

barang dari gudang timur dan 300 barang dari gudang barat,

Rahma Faelasofi Page 17

Page 18: Distribusi Sampling Statistik

tentukan probabilitas persentase barang yang cacat dalam gudang

barat 2% lebih banyak dibanding gudang timur!

Jawab:

Gudang barat : n1=300; p1=0,1

Gudang timur : n2=200 ; p2=0,05

p̂1 = proporsi barang yang cacat di gudang barat dalam sampel

p̂2 = proporsi barang yang cacat di gudang timur dalam sampelσ

p̂1−¿ p̂2=√ p1( 1−p1)

n1

+p2 ( 1−p2)

n2

=√ 0,1 (0,9 )300

+0,05 (0,95 )

200=0,023¿

Z=( p̂1− p̂2 )−( p1−p2 )

σ p̂1−p̂2

=( p̂1− p̂2 )−(0,1−0,05 )

0,023

Karena barang cacat di gudang barat 2% lebih banyak daripada di

gudang timur maka ( p̂1− p̂2)>0,02 sehingga diperoleh:

Z=0,02−0,050,023

=−1,3

Jadi probabilitasnya adalah P ( p̂1− p̂2>0,02 )=P (Z>−1,3 )=0,5+0,4032=0,9032=90,23 %

Distribusi Sampel Rata-rata untuk Sampel Kecil

DISTRIBUSI - t

Distribusi Sampling didekati dengan distribusi t Student =

distribusi t (W.S. Gosset).

Distribusi-t pada prinsipnya adalah pendekatan distribusi sampel

kecil dengan distribusi normal.

Rahma Faelasofi Page 18

Page 19: Distribusi Sampling Statistik

Dua hal yang perlu diperhatikan dalam Tabel t adalah

1. derajat bebas (db)

2. nilai α

Derajat bebas (db) = degree of freedom = v = n - 1.

n : ukuran sampel.

Nilai α adalah luas daerah kurva di kanan nilai t

atau

luas daerah kurva di kiri nilai –t

Nilai α → 0.1 (10%) ; 0.05 (5%) ; 0.025(2.5%) ; 0.01 (1%) ;

0.005(0.5%)

Nilai α terbatas karena sesuai dengan db yang harus disusun!

Selanjutnya Distribusi-t akan digunakan dalam Pengujian

Hipotesis.

Distribusi Sampel dengan sampel kecil

Rahma Faelasofi Page 19

Nilai α ditentukan terlebih dahulu Lalu nilai t tabel ditentukan dengan menggunakan nilai α dan db. Nilai t tabel menjadi batas selang pengujian Lakukan pembandingan nilai t tabel dengan nilai t hitung. Nilai t hitung untuk kasus distribusi rata-rata sampel kecil didapat dengan menggunakan teori di bawah ini.

Page 20: Distribusi Sampling Statistik

Jika terdapat sampel ukuran kecil dengan n<30, dengan rata-rata : X

dan simpangan baku : s, yang diambil dari populasi yang berukuran

N, terdistribusi Normal, dengan rata-rata : μX. Maka, distribusi rata-

rata akan mendekati distribusi-t dengan:

μX=μX ;σ X=s

√n; dan nilai t=

X−μX

s√n

Pada derajat bebas = n-1 dan suatu nilai α.

Pembacaan Tabel Distribusi-t

Misalkan :

n = 9 dengan db = 8;

Nilai α ditentukan di kiri dan kanan kurva

t tabel (db, α) = t tabel(8; 0.025) = 2.306

Jadi t = 2.306 dan -t = -2.306

Rahma Faelasofi Page 20

Page 21: Distribusi Sampling Statistik

Arti Gambar di atas : nilai t sampel berukuran n = 9, berpeluang 95% jatuh dalam selang -2.306 < t < 2.306. Peluang t >2.306 = 2.5 % dan Peluang t < -2.306 = 2.5 %

Coba cari nilai t tabel untuk beberapa nilai db dan α yang lain!

Perbedaan Tabel Z dan Tabel t

Tabel Z → nilai Z menentukan nilai α

Tabel t → nilai α dan db menentukan nilai t

Dalam banyak kasus nilai simpangan baku populasi (σ) tidak

diketahui, karenanya nilai σ diduga dari nilai simpangan baku

sampel (s)

Ex:

Manajemen PT BETUL menyatakan bahwa 95% rokok produksinya

rata-rata mengandung nikotin 1.80 mg, data tersebar normal.

Yayasan Konsumen melakukan pengujian nikotin terhadap 9 batang

rokok dan diketahui rata-rata sampel = 1.95 mg nikotin dengan

standar deviasi = 0.24 mg. Apakah hasil penelitian Yayasan

Konsumen mendukung pernyataan Manajemen PT BETUL?

Jawab:

95 % berada dalam selang → berarti 5 % berada di luar selang;

2.5 % di kiri t dan 2.5% di kanan t

α = 2.5 % = 0.025

n = 9 → db = n - 1 = 8

Rahma Faelasofi Page 21

Page 22: Distribusi Sampling Statistik

t tabel (db, α) = t tabel (8; 0.025) = 2.306

Jadi 95 % berada dalam selang -2.306 < t < 2.306

Nilai t-hitung = ?

μ = 1.80 ; n = 9 ; x= 1.95 ; s = 0.24

t=X−μX

s√n

=1,95−1,800,24√9

=0,150,08

=1,875

Nilai t hitung = 1.875 berada dalam selang -2.306 < t < 2.306 , jadi

hasil penelitian Yayasan Konsumen masih sesuai dengan pernyataan

manajemen PT BETUL.

LATIHAN

1. Pada suatu pengiriman barang yang terdiri dari 2000 tube

elektronika telah diketahui terdapat 600 unit tube yang tidak

memenuhi standar mutu. Jika sampel acak sebanyak 500 unit

dipilih dari populasi tersebut tanpa pengembalian, berapakah

probabilitas sampel populasi yang tidak memenuhi standar mutu:

a. akan kurang dari 150/500

b. antara 144/500 sampai dengan 145/500

c. lebih besar dari 164/500

2. Besi baja yang diproduksi perusahaan A mempunyai rata-rata daya

regang sebesar 4500 lbs dan variansi sebesar 40000 lbs,

sedangkan yang diproduksi perusahaan B mempunyai ratarata

Rahma Faelasofi Page 22

Page 23: Distribusi Sampling Statistik

daya regang sebesar 4000 lbs dan variansi sebesar 90000 lbs.

Misalkan sampel random sebanyak 50 diambil dari perusahaan A

dan sampel random sebanyak 100 diambil dari perusahaan B,

berapakah probabilitas rata-rata daya regang beda dua rata-rata

dari dua sampel itu yang lebih besar dari 600 lbs?

3. Sebuah perusahaan menyatakan bahwa batere yang digunakan

dalam alat-alat permainan elektroniknya akan mencapai umur

rata-rata 30 jam. Untuk mempertahankan nilai rata-rata ini, 16

batere diuji setiap bulan. Bila nilai t yang diperolehnya jatuh

antara −t 0,025dan t 0,025, maka perusahaan itu cukup puas. Apa

kesimpulan perusahaan itu bila dari sebuah sampel diperoleh

x=27,5 jam dan simpangan baku s=5 jam. Asumsikan bahwa sebaran

umur batere itu normal.

4. Sebuah sampel acak berukuran 25 diambil dari suatu populasi

normal yang mempunyai nilai tengah 80 dan simpangan baku 5.

Sampel acak kedua, yang berukuran 36, diambil dari populasi

normal lain yang mempunyai nilai tengah 75 dan simpangan baku

3. Hitung peluang bahwa nilai tengah sampel pertama akan

melampaui nilai tengah sampel kedua dengan sekurang-

kurangnya 3,4 tetapi kurang dari 5,9?

Rahma Faelasofi Page 23