Distribusi Beta, t dan F

Distribusi BetaMisalkan X1 dan X2 adalah variabel-variabel random yang independen dan masing-masing mempunyai distribusi Gamma dengan parameter (α,1) dan (β,1), α>0, β>0. Maka, p.d.f dari X 1 adalah :

1

1

1 11 1

11 1

1( )

( )1

1 , 0 <

( )

= 0 , lainnya

x

x

f x x e

x e x

P.d.f dari X2 adalah :

sehingga, p.d.f bersama dari X1 dan X2 adalah :

2

2

1 12 2

12 2

1( )

( )1

1 , 0 <

( )

= 0 , lainnya

x

x

g x x e

x e x

1 2

1 2 1 2

1 11 2 1 2

( , ) ( ) ( )

1 = , 0 < , 0 <

( )

= 0 , lainnya

x x

h x x f x g x

x x e x x

Dimana α>0 dan β>0.

Misalkan Y1 = X1+X2 , Y2 = X1/(X1+X2).Akan ditunjukkan bahwa Y1 dan Y2 independen.

- A={(x1,x2): h(x1,x2)>0}. - Transformasinya : y1=x1+x2, y2=x1/(x1+x2) 1-1

dari A pada B ={(y1,y2):0 <y1< , 0 < y2 < 1}.- Inversnya : x1= y1y2 , x2= y1(1-y2)- Jacobian :

01 1

12

12

yyy

yyJ

- Transformasi tersebut adalah transformasi satu-satu yang memetakan dari A ={(x1,x2):0<x1<∞, 0<x2< ∞} ke

B ={(y1,y2):0<y1<∞, 0<y2< 1}.

- Jadi, pdf bersama dari Y1 dan Y2 adalah :

g(y1,y2)=h(y1y2,y1(1-y2))|J|

2121 1121

1211 1

1 yyyyeyyyyy

1121

1211 1

1 yeyyyyy

lainnyayang

yyeyyy y

,0

10,0,1

211

1

12

12 1

Karena g(y1,y2)=w(y1)v(y2) , maka Y1 dan Y2 independen Akan dicari pdf marginal dari Y2 .

Ini adalah pdf dari distribusi Beta denganparameter α dan β

1

1

2 2 1, 2 1

1 112

1 1

1 1( ) 12 21 1

0

1 12 2

( ) ( )

(1 2)

( ) ( )

(1 ) 1 ( )

( ) ( ) ( )

( ) (1 )

( ) ( )

y

y

g y g y y dy

y yy e dy

y yy e dy

y y

2, 0 1

0 , lainnya

y

Karena Y1 dan Y2 independen makag(y1,y2)=g1(y1)g2(y2)

pdf marginal dari Y1 adalah

Yang merupakan pdf dari distribusi gamma dengan parameter (α+β) dan 1

1

1

112 2 1 1 1

1 2 2 1 1

( ) 11 1 1

1 ( ) (1 ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1( )

( )

y

y

y yy e y y g y

g y y e

1( ) 11 1 1 1

1( ) ,0<y

( )

0 ,lainnya

yg y y e

Perhatikan distribusi dari Y2, yaitu distribusi beta dengan parameter α dan β.Dapat dibuktikan bahwa :

Mean =

Variansi =

2

2( 1)

Distribusi tMisalkan W~N(0,1) dan V~

Misalkan W dan V independen. Maka p.d.f bersama dari W dan V adalah :

2( )r

2

2 2 2

2

1

2

1 1( , ) , , 0

2 ( )2

0 , lainnya

w vr

rr

h w v e v e w v

Didefinisikan variabel random baru, yaitu : , akan dicari distribusi dari T

Didefinisikan variabel random baru lagi yaitu U=V.A= {(w,v): }Sehingga transformasinya :

Inversnya adalah :

TW

Vr

, 0w v

,w

t u vvr

, t u

w v ur

Maka,

Transformasinya adalah satu-satu yang memetakan dari A={(w,v): } ke B = {(t,u): }.

J

1 2

1 0

w w

u tv v

u t

t u

r u r

u

r

,0w v ,0t u

Maka, p.d.f bersama dari T dan U adalah :

2

2 2 2

2

2

2 2 2

2

2

2 2

2

1

2

1

2

1 (1 )

2

( , ) , J

1 1

2 ( )2

1

2 ( )2

1

2 ( )2

t u urr

r

u t urr

r

u trr

r

r

r

r

t ug t u h u

r

ue u e

r

uu e

r

uu e

r

212 2

2

1 (1 )

2

1 , , 0

2 ( )2

0 , lainnya

u trr

rr

u e t ur

p.d.f marginal dari T adalah :

misalkan

21 2

2

2

21 2

2

2

1

(1 )1

0 2

(1 )1

02

( ) ( , )

1

2 ( )2

1

2 ( )2

u tr r

r

u tr r

r

r

r

g t g t u du

u e dur

u e dur

2

2 22

2 2(1 )

1 1u t

r t tr r

zz u du dz

Distribusi yang mempunyai pdf :

Disebut berdistribusi t.

12

2 22

1 12

12

122 2

122

1

1

02

112

1202

12

2

1 2 2( )

1 12 ( )2

( ) 2 2 1

( )2 ( )2 (1 )

( ) 1 ,

( ) (1 )

r

r

r

r

r r

r

z

t trr r

rz

rtrr

r

r tr

zg t e dz

r

z e dzr

tr

122

12

1

2

( ) 1( ) ,

( ) (1 )r

r

r tr

g t tr

Distribusi FMisalkan U~ dan V~ Misalkan U dan V saling bebas.Maka, p.d.f bersama dari U dan V adalah :

2

2(r )

1

2(r )

1 22 2 2

1 2

1 2

1 1

22 2

1( , ) , 0 , 0

( ) ( )2

0 , lainnya

r r u v

r rr r

h u v u v e u v

Didefinisikan variabel randomAkan dicari distribusi dari W.Untuk mencari distribusi dari W, didefinisikan variabel random baru yaitu Z=V.A={(u,v):0<u< ∞, 0<v< ∞}transformasinya adalah :

inversnya adalah :

1

2

W

Ur

Vr

1

2

,

ur

w z vvr

1

2

,r

u zw v zr

Transformasinya adalah transformasi satu-satu dari A={(u,v):0<u< ∞, 0<v< ∞} ke B={(w,z):0<w< ∞, 0<z< ∞}.

Jacobian :

atau

1 1

2 2

1

2

J

1 0

u uz w

v vz w

r rr r

rr

w z

z

1

2J r

r z

Maka, pdf bersama dari W dan Z adalah :

1

2

1

212

212

21 2

1 2

12 1

1 1 2 2 12 2

21 2

1 2

1 211

222 2

11 1 21

222 2

( , ) , J

1

( ) ( )2

1 ,0 , 0

( ) ( )2

r

r

rr

r r r r

rr

rzw z

r

rrr r

r r

zw

rrr r

r r

g w z h zw z

rzw z e z

r

rw z e z w z

r

0 , lainnya

Pdf marginal dari W adalah :

Misalkan,

12 1

1 1 2 22 2

1 2

1 2

1

11 1 21

222 2

( ) ( , )

1

( ) ( )2

rr

r r r r

zw

r rr r

g w g w z dz

rw z e dz

r

1

2 1 1

2 2

2 21

2 1 1rr r r

r r

z yy w z dz dy

w w

1 211 222

1 2 1 1

1 2 2 2

1 21 11 2 1 222 1 22

1 2 1 2 1 21 2 1

2

11

11

222 2

12 11

2 02 2 22 2

2 2( )

1 1( ) ( )2

2 2

( ) ( )2 1

r rrr

r rrr

r r

yr r r r

r r r r

r r

yr r r r r r

r r rr

rw yg w e dy

r w w

rwy e dy

rw

1 11 2 2 2

1 22

1 2 1 21 2 1

2

1 11 2 2 2

1 2

1 2 1

2

12 11

2 02 22 2

12 1

222 2

1

( ) ( ) 1

( ) ( ) 1

r r

r r

r r

r r

yr r r r

r r rr

r r

r rr r r

r

w ry e dy

rw

w r

rw

Distribusi yang mempunyai bentuk pdf seperti diatas disebut distribusi F.

1 11 2 2 2

1 2

1 2 1

2

12 1

122

2 2

( ) ,0

( ) ( ) 1

0 , lainnya

r rr r

r rr r r

r

w rg w w

rw

• Note:- Distribusi Beta mempunyai 2 parameter

- Distribusi t mempunyai 1 parameter yaitu r

- Distribusi F mempunyai 2 parameter yaitu

- Pada slide 18, baris kedua dari bawah, seharusnya z tidak ada lagi sesudah

dan

21 rr dan

2

1

r

r