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Identidades trigonométricas (I)

Demostrar si son ciertas las siguientes identidades trigonométricas:

1) sen 2α%1 ' 2&cos2α

2) cos2α&sen 2α ' 2cos2α&1

3) (tgα%cotgα)2 ' sec2α%cosec2α

4) secα&cosα ' tgα ·senα

5) cosec2α&1

cosα' cotgα · cosecα

6) sec2α&1

sen 2α' sec2α

7) senα(cosecα&senα) ' cos2α

8) cos2α

senα%senα ' cosecα

9) 1senα · cosα

&cosαsenα

' tgα

10 ) tgαsenα

%cosecαtgα

' cosec2α · secα

SOLUCIONES

1)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de la identidad fundamental de la trigonometría.sen 2α%1 ' (1&cos2α)%1 '

' 2&cos2α

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2)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . como en el ejercicio anteriorcos2α&sen 2α ' cos2α&(1&cos2α) '. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . quitando el paréntesis' cos2α&1%cos2α '

' 2cos2α&1

3)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cuadrado de un binomio(tgα%cotgα)2 ' tg 2α%2tgα ·cotgα%cotg 2α '

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . puesto que la tangente y la cotangente son ' tg 2α%2%cotg 2α '

inversas y su producto (por tanto) es 1. . . . . . . . . . . . . hemos separado el 2 en la suma 1+1 y ' tg 2α%1%1%cotg 2α ' (tg 2α%1)%(1%cotg 2α) '

hemos agrupado de manera conveniente (para quese parezca a las fórmulas) el resultado hasta el momento

' sec2α%cosec2α

4)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . restando1cosα

&cosα '1&cos2αcosα

'

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . por la igualdad fundamenta de la trigonometría1&cos2αcosα

'sen 2αcosα

'

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . separando un seno del numeradorsen 2αcosα

' senα senαcosα

'

' senα · tgα

5)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . por la definición de cosecante.cosec2α&1cosα

'

1sen 2α

&1

cosα'

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . efectuando la diferencia del numerador'

1&sen 2αsen 2αcosα

'

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . pasando al denominador el seno cuadrado y usando la igualdad 'cos2α

sen 2α · cosα'

fundamental de la trigonometría en el numerador

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . simplificando'cosαsen 2α

'

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . separando en dos fracciones trigonométricas'cosαsenα

· 1senα

'

' cotga · cosecα

6)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . por la definición de secantesec2α&1sen 2α

'

1cos2α

&1

sen 2α'

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . efectuando la diferencia del numerador'

1cos2α

&1

sen 2α'

1&cos2αcos2αsen 2α

'

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pasando el denominador de arriba hacia abajo'

1&cos2αcos2αsen 2α

'sen 2α

cos2α · sen 2α'

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . simplificando'sen 2α

cos2α · sen 2α'

1cos2α

'

' sec2α

7)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Por la definición de cosecantesenα(cosecα&senα) ' senα 1senα

&senα '

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . efectuando el paréntesis' senα 1&sen 2αsenα

'

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . simplificando' 1&sen 2α '

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' cos2α

8)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . efectuando la sumacos2αsenα

%senα 'cos2α%sen 2α

senα'

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . por la igualdad fundamental de la trigonometríacos2αsenα

%senα '1senα

'

' cosecα

9)

. . . . . . . . . . . . . . . . . reduciendo a denominador común1senα · cosα

&cosαsenα

'1

senα · cosα&

cos2αsenα · cosα

'

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . efectuando la diferencia'1&cos2αsenα · cosα

'

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . por la igualdad fundamental de la trigonometría'sen 2α

senα · cosα'

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . simplificando'senαcosα

'

' tgα

10 )

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . reduciendo a denominador comúntgαsenα

%cosecαtgα

'tg 2α

senα · tgα%senα · cosecαsenα · tgα

'

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . porque cosecante y seno son funciones inversas'tg 2α

senα · tgα%

1senα · tgα

'

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . efectuando la suma'tg 2α%1senα · tgα

'

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . por el valor de la tangente cuadrado más uno'sec2α

senα · tgα'

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . por las definiciones de secante y tangente'

1cos2α

senα · senαcosα

'

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pasando al numerado el coseno que estaba dividiendo'

cosαcos2α

senα ·senα'

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . simplificando y multiplicando en el denominador'

1cosαsen 2α

'

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pasando el coseno al denominador (porque dividía)'1

sen 2α · cosα'

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . separando en dos fracciones'1

sen 2α· 1cosα

'

' secα · cosec2α

Fecha de publicación 25 octubre de 2003

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