Identidades Trigonometricas

Carlos Lezama Hernandez

August 12, 2018

Definiciones - Las seis funciones trigonometricas y sus relaciones.

cos(θ) =adyacente

hipotenusa

sin(θ) =opuesto

hipotenusa

sec(θ) =hipotenusa

adyacente=

1

cos(θ)

csc(θ) =hipotenusa

opuesto=

1

sin(θ)

tan(θ) =opuesto

adyacente=sin(θ)

cos(θ)

cot(θ) =adyacente

opuesto=cos(θ)

sin(θ)

(1a)

(1b)

(1c)

(1d)

(1e)

(1f)

NOTAS:

i. Para las ecuaciones (1a)-(1f) se hace referencia a un trıangulo rectangulo. Luego de

elegir el angulo θ, se identifica el lado opuesto y adyacente a el para comenzar a tra-

bajar con las funciones.

ii. La hipotenusa es siempre el lado opuesto al angulo recto.

Identidades Fundamentales - Es la relacion fundamental entre las funciones sin y cos,

junto con otras derivaciones.

cos2(θ) + sin2(θ) = 1

sec2(θ) = 1 + tan2(θ)

csc2(θ) = 1 + cot2(θ)

(2a)

(2b)

(2c)

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NOTA: (2b) se obtiene de tomar (2a) y dividir en ambos lados de la ecuacion por cos2(θ),

luego se despeja. (2c) se obtiene de tomar (2a) y dividir en ambos lados de la ecuacion por

sin2(θ), luego se despeja.

Identidades de Suma y Resta - Para separar sumas o restas de angulos dentro de

funciones trigonometricas.

sin(θ ± η) = sin(θ)cos(η) ± sin(η)cos(θ)

cos(θ ± η) = cos(θ)cos(η) ∓ sin(θ)sin(η)

tan(θ ± η) =tan(θ) ± tan(η)

1 ∓ tan(θ)tan(η)

(3a)

(3b)

(3c)

NOTAS:

i. En las ecuaciones (3a)-(3c), al lado izquierdo de la ecuacion veras ±, hacemos esto

para decir que la misma ecuacion puede escribirse con + o con −. Cuando al lado

derecho tambien esta ± quiere decir que llevan el mismo signo en ambos lados de la

ecuacion; cuando esta ∓ quiere decir que los signos se invierten. Por ejemplo, en (3a)

los signos a la izquierda y derecha de la ecuacion permanecen iguales mientras que en

(3b) el orden se invierte.

ii. La ecuacion (3c) se obtienen de escribir tan(θ ± η) = sin(θ ± η)/cos(θ ± η) y luego

utilizar las identidades (3a) y (3b).

Identidad Angulos Dobles - Relacionan las funciones trigonometricas entre un angulo y

el doble del angulo.

cos(2θ) = cos2(θ) − sin2(θ)

= 2cos2(θ) − 1

= 1 − 2sin2(θ)

sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)

tan(2θ) =2tan(θ)

1 ∓ tan2(θ)

(4a)

(4b)

(4c)

(4d)

(4e)

2

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NOTAS:

i. Las ecuaciones (4a),(4d) y (4e) se obtienen de reemplazar η por θ en (3a), (3b) y (3c),

respectivamente.

ii. Las ecuaiones (4b) y (4c) se obtienen de despejar la ecuacion (2a) para cos2(θ) o sin2(θ)

y luego reemplazar en (4a).

Identidad Angulos Medios - Relacionan las funciones trigonometricas entre un angulo

y la mitad del angulo.

cos

(θ

2

)= ±

√1 + cos(θ)

2

sin

(θ

2

)= ±

√1 − cos(θ)

2

tan

(θ

2

)= ±

√1 − cos(θ)

1 + cos(θ)

(5a)

(5b)

(5c)

NOTAS:

i. Las ecuaciones (5a) y (5b) se obtienen de reemplazar θ por θ/2 en (4b) y (4c), respec-

tivamente.

ii. La ecuacion (5c) se obtiene de escribir tan en terminos de sin y cos, luego utilizar las

ecuaciones (5a) y (5b).

iii. Para cualquiera de las tres ecuaciones, (5a)-(5c), el signo se elige (fıjate en el ± de las

tres acuaciones) segun el cuandrante que corresponde a θ/2. Recuerda que cos > 0 en

los cuadrantes I y IV ; sin > 0 en los cuadrantes I y II; tan > 0 en los cuadrantes I

y III.

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