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SEMINARIO 3
Trigonometrıa y geometrıa analıtica
Ana Marıa Beltran
Pre - Unal
Febrero 20 de 2013
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 1 / 49
1 TrigonometrıaAngulosRazones trigonometricasFunciones trigonometricas
Graficas
Identidades trigonometricasEcuaciones trigonometricasResolucion de triangulos
Ley de los senos
Ley de los cosenos
2 Geometrıa AnalıticaLa rectaSecciones conicas
Circunferencia
Parabola
Elipse
Hiperbola
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Trigonometrıa
Un angulo se define como el conjunto de puntos determinados por dosrayos o semirrectas que tienen el mismo punto extremo.
b
b
b
bD
b
E
bF
θ
Figura : Angulo FED
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Trigonometrıa Angulos
¿En que se miden los angulos?
Las unidades de medicion de angulos usadas con mayor frecuencia son elgrado y el radian. El grado es la medida del sistema sexagesimal y elradian es la unidad de medida del sistema cıclico.
Relaciones entre grados y radianes
180◦ = π radianes
1◦ =π
180radianes
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Trigonometrıa Angulos
Conversion de unidades
Para convertir angulos entre radianes y grados se multiplica por elrespectivo factor de conversion
Ejemplo
Convertir a grados el angulo θ = π6
π
6∗ 180◦
π= 30◦
Convertir β = 150◦ a radianes
150◦ ∗ π
180◦=
5π
6
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Trigonometrıa Angulos
Teorema de Pitagoras
Sea △ABC un triangulo rectangulo con angulo recto en el vertice C
b A
bB
bC
a
b
cbb
b
donde a y b son los catetos y c es la hipotenusa; entonces
c2 = a2 + b2
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Trigonometrıa Angulos
Catetos e hipotenusa
Dado el triangulo rectangulo
b
b B
bC
a
b
c
β
α
Para el angulo α tenemos que el lado a es el cateto opuesto y b es elcateto adyacente.Para el angulo β se tiene que b es el cateto opuesto y a el adyacente.Para ambos, c es la hipotenusa.
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Trigonometrıa Razones trigonometricas
Funciones trigonometricas en triangulos rectangulos
Se definen como relaciones entre los lados de un triangulo rectangulo ası
sen(θ) =Cateto Opuesto
Hipotenusa
cos(θ) =Cateto Adyacente
Hipotenusa
tan(θ) =sen
cos=
Cateto Opuesto
Cateto Adyacente
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Trigonometrıa Razones trigonometricas
Funciones trigonometricas en triangulos rectangulos
Se definen como relaciones entre los lados de un triangulo rectangulo ası
sen(θ) =Cateto Opuesto
Hipotenusa
cos(θ) =Cateto Adyacente
Hipotenusa
tan(θ) =sen
cos=
Cateto Opuesto
Cateto Adyacente
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Trigonometrıa Razones trigonometricas
Funciones trigonometricas en triangulos rectangulos
Se definen como relaciones entre los lados de un triangulo rectangulo ası
sen(θ) =Cateto Opuesto
Hipotenusa
cos(θ) =Cateto Adyacente
Hipotenusa
tan(θ) =sen
cos=
Cateto Opuesto
Cateto Adyacente
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Trigonometrıa Razones trigonometricas
Funciones trigonometricas en triangulos rectangulos
Se definen como relaciones entre los lados de un triangulo rectangulo ası
sen(θ) =Cateto Opuesto
Hipotenusa
cos(θ) =Cateto Adyacente
Hipotenusa
tan(θ) =sen
cos=
Cateto Opuesto
Cateto Adyacente
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Trigonometrıa Razones trigonometricas
Razones trigonometricas para angulos notables
Se denominan angulos notables a aquellos cuya abertura es 30◦, 45◦, 60◦,90◦, 180◦, 270◦ y 360◦
θ (grados) θ (radianes) sen(θ) cos(θ) tan(θ)
30 π6
12
√32
√33
45 π4
√22
√22 1
60 π3
√32
12
√3
90 π2 1 0 Indeterminado
180 π 0 -1 0
270 3π2 -1 0 Indeterminado
360 2π 0 1 0
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Trigonometrıa Funciones trigonometricas
Funciones trigonometricas
1 f (x) = sen(x)
D = R R = [−1, 1] T = 2π
2 f (x) = cos(x)
D = R R = [−1, 1] T = 2π
3 f (x) = tan(x)
D = R− {x =nπ
2; n ∈ Z e impar } R = R T = π
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Trigonometrıa Funciones trigonometricas
Funciones trigonometricas
1 f (x) = sen(x)
D = R R = [−1, 1] T = 2π
2 f (x) = cos(x)
D = R R = [−1, 1] T = 2π
3 f (x) = tan(x)
D = R− {x =nπ
2; n ∈ Z e impar } R = R T = π
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Trigonometrıa Funciones trigonometricas
Funciones trigonometricas
1 f (x) = sen(x)
D = R R = [−1, 1] T = 2π
2 f (x) = cos(x)
D = R R = [−1, 1] T = 2π
3 f (x) = tan(x)
D = R− {x =nπ
2; n ∈ Z e impar } R = R T = π
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Trigonometrıa Funciones trigonometricas
Graficas trigonometricas
Sen(x)
-2 Π -
3 Π
2-Π -
Π
2
Π
2Π
3 Π
22 Π
-1
1
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Trigonometrıa Funciones trigonometricas
Cos(x)
-2 Π -
3 Π
2-Π -
Π
2
Π
2Π
3 Π
22 Π
-1
1
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 12 / 49
Trigonometrıa Funciones trigonometricas
Tan(x)
-2 Π -
3 Π
2-Π -
Π
2
Π
2Π
3 Π
22 Π
-1
1
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Trigonometrıa Identidades trigonometricas
Identidades trigonometricas
Una identidad es una igualdad entre dos expresiones que contienen una omas variables, y que es valida para todo valor de la variable en que lasexpresiones esten definidas.Aquellas identidades en las que se establecen relaciones entre las funcionestrigonometricas son llamadas identidades trigonometricas.
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Trigonometrıa Identidades trigonometricas
Identidades fundamentales
1 Identidades recıprocas
csc θ =1
sen θsec θ =
1
cos θcot θ =
1
tan θ
2 Identidades pitagoricas
sen2 θ + cos2 θ = 1
1 + tan2 θ = sec2 θ
1 + cot2 θ = csc2 θ
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Trigonometrıa Identidades trigonometricas
Identidades fundamentales
1 Identidades recıprocas
csc θ =1
sen θsec θ =
1
cos θcot θ =
1
tan θ
2 Identidades pitagoricas
sen2 θ + cos2 θ = 1
1 + tan2 θ = sec2 θ
1 + cot2 θ = csc2 θ
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 15 / 49
Trigonometrıa Identidades trigonometricas
Identidades fundamentales
1 Identidades recıprocas
csc θ =1
sen θsec θ =
1
cos θcot θ =
1
tan θ
2 Identidades pitagoricas
sen2 θ + cos2 θ = 1
1 + tan2 θ = sec2 θ
1 + cot2 θ = csc2 θ
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 15 / 49
Trigonometrıa Identidades trigonometricas
Identidades fundamentales
1 Identidades recıprocas
csc θ =1
sen θsec θ =
1
cos θcot θ =
1
tan θ
2 Identidades pitagoricas
sen2 θ + cos2 θ = 1
1 + tan2 θ = sec2 θ
1 + cot2 θ = csc2 θ
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Trigonometrıa Identidades trigonometricas
Identidades de suma
1 sen(α+ β) = senα cos β + cosα sen β
2 cos(α+ β) = cosα cos β − senα senβ
3 tan(α+ β) = tanα+tan β1−tanα tanβ
Identidades de resta
1 sen(α− β) = senα cos β − cosα sen β
2 cos(α− β) = cosα cos β + senα senβ
3 tan(α− β) = tanα−tan β1+tanα tanβ
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Trigonometrıa Identidades trigonometricas
Identidades de suma
1 sen(α+ β) = senα cos β + cosα sen β
2 cos(α+ β) = cosα cos β − senα senβ
3 tan(α+ β) = tanα+tan β1−tanα tanβ
Identidades de resta
1 sen(α− β) = senα cos β − cosα sen β
2 cos(α− β) = cosα cos β + senα senβ
3 tan(α− β) = tanα−tan β1+tanα tanβ
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Trigonometrıa Identidades trigonometricas
Identidades para angulos dobles
1 sen(2α) = 2 senα cosα
2 cos(2α) = cos2 α− sen2 α
3 tan(2α) = 2 tanα1−tan2 α
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Trigonometrıa Identidades trigonometricas
Ejemplo
Demostrar que sen(3α) = 3 senα− 4 sen3 α
sen 3α = sen(2α+ α) = sen 2α cosα+ cos 2α senα
= (2 senα cosα) cosα+ (cos2 α− sen2 α) senα
= 2 senα cos2 α+[
(1− sen2 α)− sen2 α]
senα
= 2 senα(1 − sen2 α) + (1− 2 sen2 α) senα
= 2 senα− 2 sen3 α+ senα− 2 sen3 α
= 3 senα− 4 sen3 α
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Trigonometrıa Ecuaciones trigonometricas
Ecuaciones trigonometricas
Una ecuacion trigonometrica es una ecuacion en la cual intervienenfunciones trigonometricas de un angulo θ y se satisface solo para ciertosvalores de θ.
Ejemplo
Resolver las siguientes ecuaciones trigonometricas:
1 2 cos x = cot x
2 sen2 x − cos2 x = 0
(1) 2 cos x = cot x , entonces, 2 cos x = cos xsen x . Luego, 2 sen x = 1, ası,
sen x = 12 que tiene por soluciones a x = π
6 y x = 5π6 .
Las soluciones generales de la ecuacion son:
x =π
6+ 2nπ x =
5π
6+ 2nπ n ∈ Z
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Trigonometrıa Ecuaciones trigonometricas
Ecuaciones trigonometricas
Una ecuacion trigonometrica es una ecuacion en la cual intervienenfunciones trigonometricas de un angulo θ y se satisface solo para ciertosvalores de θ.
Ejemplo
Resolver las siguientes ecuaciones trigonometricas:
1 2 cos x = cot x
2 sen2 x − cos2 x = 0
(1) 2 cos x = cot x , entonces, 2 cos x = cos xsen x . Luego, 2 sen x = 1, ası,
sen x = 12 que tiene por soluciones a x = π
6 y x = 5π6 .
Las soluciones generales de la ecuacion son:
x =π
6+ 2nπ x =
5π
6+ 2nπ n ∈ Z
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Trigonometrıa Ecuaciones trigonometricas
(2) En la ecuacion sen2 x − cos2 x = 0 se puede sustituir cos2 x por1− sen2 x (identidad pitagorica fundamental). Ası:sen2 x − cos2 x = 0, entonces sen2 x − (1− sen2 x) = 0. Luego,
2 sen2 x = 1; de donde, sen x = ±√
1/2 = ±√22 .
En el intervalo [0, 2π], la ecuacion tiene por soluciones los valoresx = π
4 ; x = 3π4 ; x = 5π
4 y x = 7π4 .
Las soluciones generales seran entonces:
x = (2n + 1)π
4con n ∈ Z
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Trigonometrıa Ecuaciones trigonometricas
(2) En la ecuacion sen2 x − cos2 x = 0 se puede sustituir cos2 x por1− sen2 x (identidad pitagorica fundamental). Ası:sen2 x − cos2 x = 0, entonces sen2 x − (1− sen2 x) = 0. Luego,
2 sen2 x = 1; de donde, sen x = ±√
1/2 = ±√22 .
En el intervalo [0, 2π], la ecuacion tiene por soluciones los valoresx = π
4 ; x = 3π4 ; x = 5π
4 y x = 7π4 .
Las soluciones generales seran entonces:
x = (2n + 1)π
4con n ∈ Z
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Trigonometrıa Resolucion de triangulos
Resolucion de triangulos
Resolver un triangulo es hallar la medida de sus tres lados y la medida desus tres angulos interiores.Triangulos rectangulos. Dado un triangulo rectangulo △ABC ,
b A
bB
bC
a
b
cbb
b
α
β
siempre se pueden plantear las relaciones (tambien para β):
a = c senα a = b tanα b = c cosα
b = a cotα c = b secα c = a cscα
Que junto al Teorema de Pitagoras nos permiten resolver cualquiertriangulo rectangulo.
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Trigonometrıa Resolucion de triangulos
Resolucion de triangulos
Resolver un triangulo es hallar la medida de sus tres lados y la medida desus tres angulos interiores.Triangulos rectangulos. Dado un triangulo rectangulo △ABC ,
b A
bB
bC
a
b
cbb
b
α
β
siempre se pueden plantear las relaciones (tambien para β):
a = c senα a = b tanα b = c cosα
b = a cotα c = b secα c = a cscα
Que junto al Teorema de Pitagoras nos permiten resolver cualquiertriangulo rectangulo.
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Trigonometrıa Resolucion de triangulos
Resolucion de triangulos
Resolver un triangulo es hallar la medida de sus tres lados y la medida desus tres angulos interiores.Triangulos rectangulos. Dado un triangulo rectangulo △ABC ,
b A
bB
bC
a
b
cbb
b
α
β
siempre se pueden plantear las relaciones (tambien para β):
a = c senα a = b tanα b = c cosα
b = a cotα c = b secα c = a cscα
Que junto al Teorema de Pitagoras nos permiten resolver cualquiertriangulo rectangulo.
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Trigonometrıa Resolucion de triangulos
Resolucion de triangulos
Resolver un triangulo es hallar la medida de sus tres lados y la medida desus tres angulos interiores.Triangulos rectangulos. Dado un triangulo rectangulo △ABC ,
b A
bB
bC
a
b
cbb
b
α
β
siempre se pueden plantear las relaciones (tambien para β):
a = c senα a = b tanα b = c cosα
b = a cotα c = b secα c = a cscα
Que junto al Teorema de Pitagoras nos permiten resolver cualquiertriangulo rectangulo.
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 21 / 49
Trigonometrıa Resolucion de triangulos
Resolucion de triangulos
Resolver un triangulo es hallar la medida de sus tres lados y la medida desus tres angulos interiores.Triangulos rectangulos. Dado un triangulo rectangulo △ABC ,
b A
bB
bC
a
b
cbb
b
α
β
siempre se pueden plantear las relaciones (tambien para β):
a = c senα a = b tanα b = c cosα
b = a cotα c = b secα c = a cscα
Que junto al Teorema de Pitagoras nos permiten resolver cualquiertriangulo rectangulo.
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Trigonometrıa Resolucion de triangulos
Triangulos oblicuangulos. Un triangulo oblicuangulo es aquel triangulo queno tiene angulos rectos. En la resolucion de triangulos oblicuangulos sepresentan cuatro casos:
Caso 1 (LAA o ALA) Caso 3 (LAL)Se conocen un lado Se conocen dos lados
y dos angulos y el angulo comprendidoentre ellos
Caso 2 (LLA) Caso 4 (LLL)Se conocen dos lados Se conocen losy el angulo opuesto tres lados
a uno de ellos
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Trigonometrıa Resolucion de triangulos
Triangulos oblicuangulos. Un triangulo oblicuangulo es aquel triangulo queno tiene angulos rectos. En la resolucion de triangulos oblicuangulos sepresentan cuatro casos:
Caso 1 (LAA o ALA) Caso 3 (LAL)Se conocen un lado Se conocen dos lados
y dos angulos y el angulo comprendidoentre ellos
Caso 2 (LLA) Caso 4 (LLL)Se conocen dos lados Se conocen losy el angulo opuesto tres lados
a uno de ellos
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 22 / 49
Trigonometrıa Resolucion de triangulos
Ley de los senos
La ley de los senos es un teorema utilizado en la resolucion de triangulospara los casos LLA y ALA.
Teorema del seno
En todo triangulo la medida de los lados es directamenteproporcional a los senos de sus angulos opuestos.
a
senα=
b
sen β=
c
sen γ
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Trigonometrıa Resolucion de triangulos
Ley de los senos
La ley de los senos es un teorema utilizado en la resolucion de triangulospara los casos LLA y ALA.
Teorema del seno
En todo triangulo la medida de los lados es directamenteproporcional a los senos de sus angulos opuestos.
a
senα=
b
sen β=
c
sen γ
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 23 / 49
Trigonometrıa Resolucion de triangulos
Ley de los cosenos
La ley de los cosenos se utiliza para solucionar los triangulos de los casosLAL y LLL.
Teorema del coseno
En todo triangulo el cuadrado de la longitud de uno desus lados es igual a la suma de los cuadrados de las longi-tudes de los otros dos lados, menos dos veces el productode estas longitudes por el coseno del angulo comprendidoentre ellos.
a2 = b2 + c2 − 2bc cosα
b2 = a2 + c2 − 2ac cos β
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 24 / 49
Trigonometrıa Resolucion de triangulos
Ley de los cosenos
La ley de los cosenos se utiliza para solucionar los triangulos de los casosLAL y LLL.
Teorema del coseno
En todo triangulo el cuadrado de la longitud de uno desus lados es igual a la suma de los cuadrados de las longi-tudes de los otros dos lados, menos dos veces el productode estas longitudes por el coseno del angulo comprendidoentre ellos.
a2 = b2 + c2 − 2bc cosα
b2 = a2 + c2 − 2ac cos β
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 24 / 49
Geometrıa Analıtica
Geometrıa analıtica
Definicion
Un lugar geometrico es el conjunto de todos los puntos del plano que
tienen una caracterıstica geometrica comun.
La ecuacion de un lugar geometrico es una expresion algebraica que
establece, analıticamente, la relacion entre las coordenadas de cada punto
del lugar. Es decir, la ecuacion solo se satisface con las coordenadas de
cada uno de los puntos del lugar geometrico.
Definicion
La distancia entre dos puntos P(x1, y1)y Q(x2, y2) del plano, se denota
d(P ,Q) y esta dada por la formula
d(P ,Q) =√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 25 / 49
Geometrıa Analıtica
Geometrıa analıtica
Definicion
Un lugar geometrico es el conjunto de todos los puntos del plano que
tienen una caracterıstica geometrica comun.
La ecuacion de un lugar geometrico es una expresion algebraica que
establece, analıticamente, la relacion entre las coordenadas de cada punto
del lugar. Es decir, la ecuacion solo se satisface con las coordenadas de
cada uno de los puntos del lugar geometrico.
Definicion
La distancia entre dos puntos P(x1, y1)y Q(x2, y2) del plano, se denota
d(P ,Q) y esta dada por la formula
d(P ,Q) =√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 25 / 49
Geometrıa Analıtica
Geometrıa analıtica
Definicion
Un lugar geometrico es el conjunto de todos los puntos del plano que
tienen una caracterıstica geometrica comun.
La ecuacion de un lugar geometrico es una expresion algebraica que
establece, analıticamente, la relacion entre las coordenadas de cada punto
del lugar. Es decir, la ecuacion solo se satisface con las coordenadas de
cada uno de los puntos del lugar geometrico.
Definicion
La distancia entre dos puntos P(x1, y1)y Q(x2, y2) del plano, se denota
d(P ,Q) y esta dada por la formula
d(P ,Q) =√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 25 / 49
Geometrıa Analıtica La recta
La recta
Definicion
La ecuacion de la forma y = mx + b es denominada ecuacion canonica
de la recta cuya pendiente es m y cuyo intercepto con el eje y es b.
Definicion
La ecuacion de la forma Ax + By + C = 0 donde A, B y C son numeros
reales, se llama ecuacion general de la recta
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 26 / 49
Geometrıa Analıtica La recta
La recta
Definicion
La ecuacion de la forma y = mx + b es denominada ecuacion canonica
de la recta cuya pendiente es m y cuyo intercepto con el eje y es b.
Definicion
La ecuacion de la forma Ax + By + C = 0 donde A, B y C son numeros
reales, se llama ecuacion general de la recta
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Geometrıa Analıtica La recta
Ecuacion de la recta conociendo un punto y la pendienteSea l una recta con pendiente m, que pasa por el punto P(x1, y1) entonces
y − y1 = m(x − x1)
se conoce como la ecuacion punto-pendiente de la recta l .
Ejemplo
Si se desea hallar la ecuacion de la recta que pasa por el punto (2, 1) ycuya pendiente es 3, entonces, en la ecuacion punto-pendiente se hace
m = 3 y (x1, y1) = (2, 1), por lo tanto se obtiene:
y − 1 = 3(x − 2) y se escribe y = 3x − 5
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Geometrıa Analıtica La recta
Ecuacion de la recta conociendo un punto y la pendienteSea l una recta con pendiente m, que pasa por el punto P(x1, y1) entonces
y − y1 = m(x − x1)
se conoce como la ecuacion punto-pendiente de la recta l .
Ejemplo
Si se desea hallar la ecuacion de la recta que pasa por el punto (2, 1) ycuya pendiente es 3, entonces, en la ecuacion punto-pendiente se hace
m = 3 y (x1, y1) = (2, 1), por lo tanto se obtiene:
y − 1 = 3(x − 2) y se escribe y = 3x − 5
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Geometrıa Analıtica La recta
Ecuacion de la recta conociendo dos de sus puntosSean P(x1, y1) y Q(x2, y2) dos puntos distintos de la recta l , tales quex1 6= x2. Para encontrar la ecuacion de l , primero se halla la pendiente
m =y2 − y1
x2 − x1
y, luego, en la ecuacion punto pendiente se utilizan las coordenadas, ya seadel punto P o del punto Q, para obtener la ecuacion correspondiente.
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Geometrıa Analıtica La recta
Ejemplo
Para hallar la ecuacion de la recta que pasa por los puntos (−1, 5) y (3, 7),se determina la pendiente
m =y2 − y1
x2 − x1=
7− 5
3− (−1)=
1
2
Que al reemplazar en punto-pendiente
y − 5 =1
2[x − (−1)] −→ y =
1
2x +
11
2
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Geometrıa Analıtica Secciones conicas
Secciones conicas
Definicion
Una seccion conica es una curva obtenida por la interseccion de un plano
con una superficie conica de revolucion.
Dependiendo de la forma en que el plano corta la superficie conica, lacurva obtenida puede ser: una circunferencia, una parabola, una elipse ouna hiperbola.
Definicion
Ademas de la definicion geometrica, es posible definir las secciones conicas
utilizando la ecuacion
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
donde A y C son distintos de cero. Esta ecuacion es denominada ecuacion
general de segundo grado
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 30 / 49
Geometrıa Analıtica Secciones conicas
Secciones conicas
Definicion
Una seccion conica es una curva obtenida por la interseccion de un plano
con una superficie conica de revolucion.
Dependiendo de la forma en que el plano corta la superficie conica, lacurva obtenida puede ser: una circunferencia, una parabola, una elipse ouna hiperbola.
Definicion
Ademas de la definicion geometrica, es posible definir las secciones conicas
utilizando la ecuacion
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
donde A y C son distintos de cero. Esta ecuacion es denominada ecuacion
general de segundo grado
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 30 / 49
Geometrıa Analıtica Secciones conicas
Secciones conicas
Definicion
Una seccion conica es una curva obtenida por la interseccion de un plano
con una superficie conica de revolucion.
Dependiendo de la forma en que el plano corta la superficie conica, lacurva obtenida puede ser: una circunferencia, una parabola, una elipse ouna hiperbola.
Definicion
Ademas de la definicion geometrica, es posible definir las secciones conicas
utilizando la ecuacion
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
donde A y C son distintos de cero. Esta ecuacion es denominada ecuacion
general de segundo grado
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Geometrıa Analıtica Secciones conicas
La Circunferencia
Una circunferencia es el conjunto de puntos del plano que estan a unadistancia constante de un punto fijo llamado centro. La distancia de cadapunto de la circunferencia al centro es denominada radio.
La circunferencia de radio r y con centro en el puntoC (h, k), tiene por ecuacion canonica, la expresion
(x − h)2 + (y − k)2 = r2
En particular, si C (h, k) = (0, 0), la ecuacion canonica dela circunferencia es:
x2 + y2 = r2
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 31 / 49
Geometrıa Analıtica Secciones conicas
La Circunferencia
Una circunferencia es el conjunto de puntos del plano que estan a unadistancia constante de un punto fijo llamado centro. La distancia de cadapunto de la circunferencia al centro es denominada radio.
La circunferencia de radio r y con centro en el puntoC (h, k), tiene por ecuacion canonica, la expresion
(x − h)2 + (y − k)2 = r2
En particular, si C (h, k) = (0, 0), la ecuacion canonica dela circunferencia es:
x2 + y2 = r2
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Geometrıa Analıtica Secciones conicas
Ejemplo
Encontrar la ecuacion de la circunferencia con centro C (−4,−1) y radio
r = 2
Reemplazando en la ecuacion (x − h)2 + (y − k)2 = r2, se obtiene
[x − (−4)]2 + [y − (−1)]2 = 22
Es decir,(x + 4)2 + (y + 1)2 = 4
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 32 / 49
Geometrıa Analıtica Secciones conicas
Ejemplo
Encontrar la ecuacion de la circunferencia con centro C (−4,−1) y radio
r = 2
Reemplazando en la ecuacion (x − h)2 + (y − k)2 = r2, se obtiene
[x − (−4)]2 + [y − (−1)]2 = 22
Es decir,(x + 4)2 + (y + 1)2 = 4
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 32 / 49
Geometrıa Analıtica Secciones conicas
Ejemplo
Encontrar la ecuacion de la circunferencia con centro C (−4,−1) y radio
r = 2
Reemplazando en la ecuacion (x − h)2 + (y − k)2 = r2, se obtiene
[x − (−4)]2 + [y − (−1)]2 = 22
Es decir,(x + 4)2 + (y + 1)2 = 4
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Geometrıa Analıtica Secciones conicas
Ecuacion general
Cuando en la ecuacion (x − h)2 + (y − k)2 = r2 se desarrollan lasoperaciones se obtiene una ecuacion de la forma
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
Esta ecuacion se denomina ecuacion general de la circunferencia.
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 33 / 49
Geometrıa Analıtica Secciones conicas
Ejemplo
Hallar la ecuacion general de la circunferencia con centro (−2, 1) y radio√2
La respectiva ecuacion canonica es
(x + 2)2 + (y − 1)2 = 2
Desarrollando los binomios y reorganizando terminos tenemos
x2 + 4x + 4 + y2 − 2y + 1 = 2 → x2 + y2 + 4x − 2y + 3 = 0
Que resulta ser la ecuacion general de la circunferencia pedida.
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 34 / 49
Geometrıa Analıtica Secciones conicas
Ejemplo
Hallar la ecuacion general de la circunferencia con centro (−2, 1) y radio√2
La respectiva ecuacion canonica es
(x + 2)2 + (y − 1)2 = 2
Desarrollando los binomios y reorganizando terminos tenemos
x2 + 4x + 4 + y2 − 2y + 1 = 2 → x2 + y2 + 4x − 2y + 3 = 0
Que resulta ser la ecuacion general de la circunferencia pedida.
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Geometrıa Analıtica Secciones conicas
Ejemplo
Hallar la ecuacion general de la circunferencia con centro (−2, 1) y radio√2
La respectiva ecuacion canonica es
(x + 2)2 + (y − 1)2 = 2
Desarrollando los binomios y reorganizando terminos tenemos
x2 + 4x + 4 + y2 − 2y + 1 = 2 → x2 + y2 + 4x − 2y + 3 = 0
Que resulta ser la ecuacion general de la circunferencia pedida.
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Geometrıa Analıtica Secciones conicas
Ejemplo
Hallar las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia cuya
ecuacion general es 2x2 + 2y2 − 8x − 14y − 8 = 0
La ecuacion general debe llevarse a la forma canonica, ası:
x2 + y2 − 4x − 7y − 4 = 0 dividiendo entre 2
x2 − 4x + y2 − 7y = 4 asociando terminos
(x2 − 4x + 4) + (y2 − 7y + 49/4) = 4 + 4 + 49/4
(x − 2)2 + (y − 7/2)2 = 81/4 factorizando
Luego, C (h, k) = (−2, 7/2) y r = 9/2.
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 35 / 49
Geometrıa Analıtica Secciones conicas
Ejemplo
Hallar las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia cuya
ecuacion general es 2x2 + 2y2 − 8x − 14y − 8 = 0
La ecuacion general debe llevarse a la forma canonica, ası:
x2 + y2 − 4x − 7y − 4 = 0 dividiendo entre 2
x2 − 4x + y2 − 7y = 4 asociando terminos
(x2 − 4x + 4) + (y2 − 7y + 49/4) = 4 + 4 + 49/4
(x − 2)2 + (y − 7/2)2 = 81/4 factorizando
Luego, C (h, k) = (−2, 7/2) y r = 9/2.
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 35 / 49
Geometrıa Analıtica Secciones conicas
Ejemplo
Hallar las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia cuya
ecuacion general es 2x2 + 2y2 − 8x − 14y − 8 = 0
La ecuacion general debe llevarse a la forma canonica, ası:
x2 + y2 − 4x − 7y − 4 = 0 dividiendo entre 2
x2 − 4x + y2 − 7y = 4 asociando terminos
(x2 − 4x + 4) + (y2 − 7y + 49/4) = 4 + 4 + 49/4
(x − 2)2 + (y − 7/2)2 = 81/4 factorizando
Luego, C (h, k) = (−2, 7/2) y r = 9/2.
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 35 / 49
Geometrıa Analıtica Secciones conicas
Ejemplo
Hallar las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia cuya
ecuacion general es 2x2 + 2y2 − 8x − 14y − 8 = 0
La ecuacion general debe llevarse a la forma canonica, ası:
x2 + y2 − 4x − 7y − 4 = 0 dividiendo entre 2
x2 − 4x + y2 − 7y = 4 asociando terminos
(x2 − 4x + 4) + (y2 − 7y + 49/4) = 4 + 4 + 49/4
(x − 2)2 + (y − 7/2)2 = 81/4 factorizando
Luego, C (h, k) = (−2, 7/2) y r = 9/2.
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 35 / 49
Geometrıa Analıtica Secciones conicas
Ejemplo
Hallar las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia cuya
ecuacion general es 2x2 + 2y2 − 8x − 14y − 8 = 0
La ecuacion general debe llevarse a la forma canonica, ası:
x2 + y2 − 4x − 7y − 4 = 0 dividiendo entre 2
x2 − 4x + y2 − 7y = 4 asociando terminos
(x2 − 4x + 4) + (y2 − 7y + 49/4) = 4 + 4 + 49/4
(x − 2)2 + (y − 7/2)2 = 81/4 factorizando
Luego, C (h, k) = (−2, 7/2) y r = 9/2.
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Geometrıa Analıtica Secciones conicas
La parabola
La parabola es el lugar geometrico de los puntos P(x , y) del plano, queequidistan de una recta fija llamada directriz y de un punto fijo F ,llamado foco. Ası,
d(P ,M) = d(P ,F )
Donde M es el punto sobre el que se proyecta P , en la directriz.
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Geometrıa Analıtica Secciones conicas
Ecuacion canonica
La ecuacion canonica de la parabola con vertice en (h, k) y eje de simetrıaparalelo al eje x , es:
(y − k)2 = 4p(x − h)
donde p es la distancia del vertice al foco. La ecuacion canonica de laparabola con vertice en (h, k) y eje de simetrıa paralelo al eje y , es:
(x − h)2 = 4p(y − k)
donde p es la distancia del vertice al foco.
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 37 / 49
Geometrıa Analıtica Secciones conicas
Ecuacion canonica
La ecuacion canonica de la parabola con vertice en (h, k) y eje de simetrıaparalelo al eje x , es:
(y − k)2 = 4p(x − h)
donde p es la distancia del vertice al foco. La ecuacion canonica de laparabola con vertice en (h, k) y eje de simetrıa paralelo al eje y , es:
(x − h)2 = 4p(y − k)
donde p es la distancia del vertice al foco.
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Geometrıa Analıtica Secciones conicas
Ejemplos
Ejemplo
1 Encontrar la ecuacion canonica de la parabola con vertice en (−3, 4)y foco en (−5, 4)
2 * Encontrar la ecuacion canonica de la parabola con vertice en (1, 2)y foco en (1, 9)
Esta parabola tiene eje de simetrıa paralelo al eje x, y su grafica se abrehacia la izquierda, pues el foco es un punto ubicado a la izquierda delvertice.La distancia p del vertice al foco esta dada por la diferencia de las abscisasde estos puntos: p = −5− (−3) = −2 y como el vertice esV (h, k) = (−3, 4), al reemplazar en la ecuacion canonica, se tiene que:
(y − 4)2 = −8(x + 3)
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 38 / 49
Geometrıa Analıtica Secciones conicas
Ejemplos
Ejemplo
1 Encontrar la ecuacion canonica de la parabola con vertice en (−3, 4)y foco en (−5, 4)
2 * Encontrar la ecuacion canonica de la parabola con vertice en (1, 2)y foco en (1, 9)
Esta parabola tiene eje de simetrıa paralelo al eje x, y su grafica se abrehacia la izquierda, pues el foco es un punto ubicado a la izquierda delvertice.La distancia p del vertice al foco esta dada por la diferencia de las abscisasde estos puntos: p = −5− (−3) = −2 y como el vertice esV (h, k) = (−3, 4), al reemplazar en la ecuacion canonica, se tiene que:
(y − 4)2 = −8(x + 3)
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 38 / 49
Geometrıa Analıtica Secciones conicas
Ejemplos
Ejemplo
1 Encontrar la ecuacion canonica de la parabola con vertice en (−3, 4)y foco en (−5, 4)
2 * Encontrar la ecuacion canonica de la parabola con vertice en (1, 2)y foco en (1, 9)
Esta parabola tiene eje de simetrıa paralelo al eje x, y su grafica se abrehacia la izquierda, pues el foco es un punto ubicado a la izquierda delvertice.La distancia p del vertice al foco esta dada por la diferencia de las abscisasde estos puntos: p = −5− (−3) = −2 y como el vertice esV (h, k) = (−3, 4), al reemplazar en la ecuacion canonica, se tiene que:
(y − 4)2 = −8(x + 3)
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 38 / 49
Geometrıa Analıtica Secciones conicas
Ejemplos
Ejemplo
1 Encontrar la ecuacion canonica de la parabola con vertice en (−3, 4)y foco en (−5, 4)
2 * Encontrar la ecuacion canonica de la parabola con vertice en (1, 2)y foco en (1, 9)
Esta parabola tiene eje de simetrıa paralelo al eje x, y su grafica se abrehacia la izquierda, pues el foco es un punto ubicado a la izquierda delvertice.La distancia p del vertice al foco esta dada por la diferencia de las abscisasde estos puntos: p = −5− (−3) = −2 y como el vertice esV (h, k) = (−3, 4), al reemplazar en la ecuacion canonica, se tiene que:
(y − 4)2 = −8(x + 3)
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 38 / 49
Geometrıa Analıtica Secciones conicas
Ecuacion general
La parabola con vertice en V (h, k) con distancia p del vertice al foco,tiene como ecuacion general la expresion de la forma:
y2 +Dx + Ey + F = 0 si su eje es paralelo al eje x
x2 + Dx + Ey + F = 0 si su eje es paralelo al eje y
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 39 / 49
Geometrıa Analıtica Secciones conicas
Ecuacion general
La parabola con vertice en V (h, k) con distancia p del vertice al foco,tiene como ecuacion general la expresion de la forma:
y2 +Dx + Ey + F = 0 si su eje es paralelo al eje x
x2 + Dx + Ey + F = 0 si su eje es paralelo al eje y
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 39 / 49
Geometrıa Analıtica Secciones conicas
Ecuacion general
La parabola con vertice en V (h, k) con distancia p del vertice al foco,tiene como ecuacion general la expresion de la forma:
y2 +Dx + Ey + F = 0 si su eje es paralelo al eje x
x2 + Dx + Ey + F = 0 si su eje es paralelo al eje y
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 39 / 49
Geometrıa Analıtica Secciones conicas
Ejercicio
Halle la forma general de las ecuaciones obtenidas en el ejemplo anterior.
Ejemplo
Encuentre la ecuacion canonica de la parabola cuya ecuacion general es
x2 + 2y − 3x + 5 = 0
Transponiendo terminos y completando cuadrados, se obtiene
x2 − 3x + 9/4 = −2y − 5 + 9/4
(x − 3/2)2 = −2y − 11/4
(x − 3/2)2 = −2(y − 11/8)
Luego, la parabola tiene vertice en V (3/2,−11/8) y distancia focalp = −1/2
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 40 / 49
Geometrıa Analıtica Secciones conicas
Ejercicio
Halle la forma general de las ecuaciones obtenidas en el ejemplo anterior.
Ejemplo
Encuentre la ecuacion canonica de la parabola cuya ecuacion general es
x2 + 2y − 3x + 5 = 0
Transponiendo terminos y completando cuadrados, se obtiene
x2 − 3x + 9/4 = −2y − 5 + 9/4
(x − 3/2)2 = −2y − 11/4
(x − 3/2)2 = −2(y − 11/8)
Luego, la parabola tiene vertice en V (3/2,−11/8) y distancia focalp = −1/2
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 40 / 49
Geometrıa Analıtica Secciones conicas
Ejercicio
Halle la forma general de las ecuaciones obtenidas en el ejemplo anterior.
Ejemplo
Encuentre la ecuacion canonica de la parabola cuya ecuacion general es
x2 + 2y − 3x + 5 = 0
Transponiendo terminos y completando cuadrados, se obtiene
x2 − 3x + 9/4 = −2y − 5 + 9/4
(x − 3/2)2 = −2y − 11/4
(x − 3/2)2 = −2(y − 11/8)
Luego, la parabola tiene vertice en V (3/2,−11/8) y distancia focalp = −1/2
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 40 / 49
Geometrıa Analıtica Secciones conicas
Ejercicio
Halle la forma general de las ecuaciones obtenidas en el ejemplo anterior.
Ejemplo
Encuentre la ecuacion canonica de la parabola cuya ecuacion general es
x2 + 2y − 3x + 5 = 0
Transponiendo terminos y completando cuadrados, se obtiene
x2 − 3x + 9/4 = −2y − 5 + 9/4
(x − 3/2)2 = −2y − 11/4
(x − 3/2)2 = −2(y − 11/8)
Luego, la parabola tiene vertice en V (3/2,−11/8) y distancia focalp = −1/2
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 40 / 49
Geometrıa Analıtica Secciones conicas
Ejercicio
Halle la forma general de las ecuaciones obtenidas en el ejemplo anterior.
Ejemplo
Encuentre la ecuacion canonica de la parabola cuya ecuacion general es
x2 + 2y − 3x + 5 = 0
Transponiendo terminos y completando cuadrados, se obtiene
x2 − 3x + 9/4 = −2y − 5 + 9/4
(x − 3/2)2 = −2y − 11/4
(x − 3/2)2 = −2(y − 11/8)
Luego, la parabola tiene vertice en V (3/2,−11/8) y distancia focalp = −1/2
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Geometrıa Analıtica Secciones conicas
La elipse
La elipse es el lugar geometrico de los puntos del plano tales que la sumade las distancias a dos puntos fijos es constante. Los dos puntos fijos sedenominan focos.
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 41 / 49
Geometrıa Analıtica Secciones conicas
Ecuacion canonica de la elipse con centro en (h, k)
La ecuacion canonica de la elipse con centro en (h, k), cuyo eje focal esparalelo al eje x y a > b, es:
(x − h)2
a2+
(y − k)2
b2= 1
La ecuacion canonica de la elipse con centro en (h, k), cuyo eje focal esparalelo al eje y y a > b, es:
(x − h)2
b2+
(y − k)2
a2= 1
donde a2 = b2 + c2
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 42 / 49
Geometrıa Analıtica Secciones conicas
Ecuacion canonica de la elipse con centro en (h, k)
La ecuacion canonica de la elipse con centro en (h, k), cuyo eje focal esparalelo al eje x y a > b, es:
(x − h)2
a2+
(y − k)2
b2= 1
La ecuacion canonica de la elipse con centro en (h, k), cuyo eje focal esparalelo al eje y y a > b, es:
(x − h)2
b2+
(y − k)2
a2= 1
donde a2 = b2 + c2
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 42 / 49
Geometrıa Analıtica Secciones conicas
Ejemplo
Encontrar la ecuacion canonica de la elipse cuyos vertices son V1(−4, 2) yV2(4, 2) y cuyos focos son F1(−3, 2) y F2(3, 2)
A partir de la posicion de sus vertices, se deduce que el eje focal de laelipse es paralelo al eje x , por lo tanto su ecuacion es de la forma
(x − h)2
a2+
(y − k)2
b2= 1
El centro de la elipse es el punto medio del eje mayor, por lo tanto, sepuede aplicar la formula para encontrar las coordenadas del punto mediodel segmento cuyos extremos son los vertices. Ası,
(h, k) =
(−4 + 4
2,2 + 2
2
)
= (0, 2)
Observando los vertices y el centro, se deduce que a = 4. Analizando losfocos se tiene que c = 3 y ası obtenemos que b =
√7.
Luego, la ecuacion canonica sera
x2
16+
(y − 2)2
7= 1
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 43 / 49
Geometrıa Analıtica Secciones conicas
Ejemplo
Encontrar la ecuacion canonica de la elipse cuyos vertices son V1(−4, 2) yV2(4, 2) y cuyos focos son F1(−3, 2) y F2(3, 2)
A partir de la posicion de sus vertices, se deduce que el eje focal de laelipse es paralelo al eje x , por lo tanto su ecuacion es de la forma
(x − h)2
a2+
(y − k)2
b2= 1
El centro de la elipse es el punto medio del eje mayor, por lo tanto, sepuede aplicar la formula para encontrar las coordenadas del punto mediodel segmento cuyos extremos son los vertices. Ası,
(h, k) =
(−4 + 4
2,2 + 2
2
)
= (0, 2)
Observando los vertices y el centro, se deduce que a = 4. Analizando losfocos se tiene que c = 3 y ası obtenemos que b =
√7.
Luego, la ecuacion canonica sera
x2
16+
(y − 2)2
7= 1
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 43 / 49
Geometrıa Analıtica Secciones conicas
Ejemplo
Encontrar la ecuacion canonica de la elipse cuyos vertices son V1(−4, 2) yV2(4, 2) y cuyos focos son F1(−3, 2) y F2(3, 2)
A partir de la posicion de sus vertices, se deduce que el eje focal de laelipse es paralelo al eje x , por lo tanto su ecuacion es de la forma
(x − h)2
a2+
(y − k)2
b2= 1
El centro de la elipse es el punto medio del eje mayor, por lo tanto, sepuede aplicar la formula para encontrar las coordenadas del punto mediodel segmento cuyos extremos son los vertices. Ası,
(h, k) =
(−4 + 4
2,2 + 2
2
)
= (0, 2)
Observando los vertices y el centro, se deduce que a = 4. Analizando losfocos se tiene que c = 3 y ası obtenemos que b =
√7.
Luego, la ecuacion canonica sera
x2
16+
(y − 2)2
7= 1
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 43 / 49
Geometrıa Analıtica Secciones conicas
Ejemplo
Encontrar la ecuacion canonica de la elipse cuyos vertices son V1(−4, 2) yV2(4, 2) y cuyos focos son F1(−3, 2) y F2(3, 2)
A partir de la posicion de sus vertices, se deduce que el eje focal de laelipse es paralelo al eje x , por lo tanto su ecuacion es de la forma
(x − h)2
a2+
(y − k)2
b2= 1
El centro de la elipse es el punto medio del eje mayor, por lo tanto, sepuede aplicar la formula para encontrar las coordenadas del punto mediodel segmento cuyos extremos son los vertices. Ası,
(h, k) =
(−4 + 4
2,2 + 2
2
)
= (0, 2)
Observando los vertices y el centro, se deduce que a = 4. Analizando losfocos se tiene que c = 3 y ası obtenemos que b =
√7.
Luego, la ecuacion canonica sera
x2
16+
(y − 2)2
7= 1
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Geometrıa Analıtica Secciones conicas
Ejemplo
Encontrar la ecuacion canonica de la elipse cuyos vertices son V1(−4, 2) yV2(4, 2) y cuyos focos son F1(−3, 2) y F2(3, 2)
A partir de la posicion de sus vertices, se deduce que el eje focal de laelipse es paralelo al eje x , por lo tanto su ecuacion es de la forma
(x − h)2
a2+
(y − k)2
b2= 1
El centro de la elipse es el punto medio del eje mayor, por lo tanto, sepuede aplicar la formula para encontrar las coordenadas del punto mediodel segmento cuyos extremos son los vertices. Ası,
(h, k) =
(−4 + 4
2,2 + 2
2
)
= (0, 2)
Observando los vertices y el centro, se deduce que a = 4. Analizando losfocos se tiene que c = 3 y ası obtenemos que b =
√7.
Luego, la ecuacion canonica sera
x2
16+
(y − 2)2
7= 1
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 43 / 49
Geometrıa Analıtica Secciones conicas
Ejemplo
Encontrar la ecuacion canonica de la elipse cuyos vertices son V1(−4, 2) yV2(4, 2) y cuyos focos son F1(−3, 2) y F2(3, 2)
A partir de la posicion de sus vertices, se deduce que el eje focal de laelipse es paralelo al eje x , por lo tanto su ecuacion es de la forma
(x − h)2
a2+
(y − k)2
b2= 1
El centro de la elipse es el punto medio del eje mayor, por lo tanto, sepuede aplicar la formula para encontrar las coordenadas del punto mediodel segmento cuyos extremos son los vertices. Ası,
(h, k) =
(−4 + 4
2,2 + 2
2
)
= (0, 2)
Observando los vertices y el centro, se deduce que a = 4. Analizando losfocos se tiene que c = 3 y ası obtenemos que b =
√7.
Luego, la ecuacion canonica sera
x2
16+
(y − 2)2
7= 1
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 43 / 49
Geometrıa Analıtica Secciones conicas
Ecuacion general
La ecuacion general de la elipse con ejes paralelos a los ejes del planocartesiano, es de la forma:
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
Con A y C diferentes de cero pero con el mismo signo.
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 44 / 49
Geometrıa Analıtica Secciones conicas
Ejemplo
Halle la ecuacion canonica de la elipse cuya ecuacion general es
16x2 + 25y2 − 128x + 100y − 44 = 0
16x2 + 25y2 − 128x + 100y − 44 = 0
16(x − 4)2 + 25(y + 2)2 = 400
(x − 4)2
25+
(y + 2)2
16= 1
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 45 / 49
Geometrıa Analıtica Secciones conicas
Ejemplo
Halle la ecuacion canonica de la elipse cuya ecuacion general es
16x2 + 25y2 − 128x + 100y − 44 = 0
16x2 + 25y2 − 128x + 100y − 44 = 0
16(x − 4)2 + 25(y + 2)2 = 400
(x − 4)2
25+
(y + 2)2
16= 1
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 45 / 49
Geometrıa Analıtica Secciones conicas
Ejemplo
Halle la ecuacion canonica de la elipse cuya ecuacion general es
16x2 + 25y2 − 128x + 100y − 44 = 0
16x2 + 25y2 − 128x + 100y − 44 = 0
16(x − 4)2 + 25(y + 2)2 = 400
(x − 4)2
25+
(y + 2)2
16= 1
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 45 / 49
Geometrıa Analıtica Secciones conicas
Ejemplo
Halle la ecuacion canonica de la elipse cuya ecuacion general es
16x2 + 25y2 − 128x + 100y − 44 = 0
16x2 + 25y2 − 128x + 100y − 44 = 0
16(x − 4)2 + 25(y + 2)2 = 400
(x − 4)2
25+
(y + 2)2
16= 1
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 45 / 49
Geometrıa Analıtica Secciones conicas
La hiperbola
La hiperbola es el lugar geometrico de los puntos tales que la diferenciade sus distancias a dos puntos fijos es una constante positiva. Los dospuntos fijos se llaman focos.
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 46 / 49
Geometrıa Analıtica Secciones conicas
Ecuacion canonica
La hiperbola con centro en (h, k), focos F1(h− c , k) y F2(h+ c , k) tal quela diferencia de las distancias de cualquier punto P(x , y) de la hiperbola, alos focos es 2a, tiene por ecuacion canonica:
(x − h)2
a2− (y − k)2
b2= 1
con c > a y b2 = c2 − a2. La hiperbola con centro (h, k) y focosF1(h, k − c) y F2(h, k + c), tal que la diferencia de las distancias decualquier punto P(x , y) de la hiperbola, a los focos es 2a, tiene porecuacion canonica
(y − k)2
a2− (x − h)2
b2= 1
donde c > a y b2 = c2 − a2.
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 47 / 49
Geometrıa Analıtica Secciones conicas
Ecuacion canonica
La hiperbola con centro en (h, k), focos F1(h− c , k) y F2(h+ c , k) tal quela diferencia de las distancias de cualquier punto P(x , y) de la hiperbola, alos focos es 2a, tiene por ecuacion canonica:
(x − h)2
a2− (y − k)2
b2= 1
con c > a y b2 = c2 − a2. La hiperbola con centro (h, k) y focosF1(h, k − c) y F2(h, k + c), tal que la diferencia de las distancias decualquier punto P(x , y) de la hiperbola, a los focos es 2a, tiene porecuacion canonica
(y − k)2
a2− (x − h)2
b2= 1
donde c > a y b2 = c2 − a2.
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 47 / 49
Geometrıa Analıtica Secciones conicas
Ecuacion general
La ecuacion general de la hiperbola con ejes paralelos a los ejes del planocartesiano, es de la forma
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
con A y C de signos opuestos.
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 48 / 49
Geometrıa Analıtica Secciones conicas
¡GRACIAS!
Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 49 / 49