SEMINARIO 3 Trigonometr´ıa y geometr´ıa anal´ıtica · PDF fileLas...

SEMINARIO 3

Trigonometrıa y geometrıa analıtica

Ana Marıa Beltran

Pre - Unal

Febrero 20 de 2013

Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 3 Trigonometrıa y geometrıa analıtica Febrero 20 de 2013 1 / 49

1 TrigonometrıaAngulosRazones trigonometricasFunciones trigonometricas

Graficas

Identidades trigonometricasEcuaciones trigonometricasResolucion de triangulos

Ley de los senos

Ley de los cosenos

2 Geometrıa AnalıticaLa rectaSecciones conicas

Circunferencia

Parabola

Elipse

Hiperbola

Trigonometrıa

Un angulo se define como el conjunto de puntos determinados por dosrayos o semirrectas que tienen el mismo punto extremo.

Figura : Angulo FED

Trigonometrıa Angulos

¿En que se miden los angulos?

Las unidades de medicion de angulos usadas con mayor frecuencia son elgrado y el radian. El grado es la medida del sistema sexagesimal y elradian es la unidad de medida del sistema cıclico.

Relaciones entre grados y radianes

180◦ = π radianes

1◦ =π

180radianes

Conversion de unidades

Para convertir angulos entre radianes y grados se multiplica por elrespectivo factor de conversion

Ejemplo

Convertir a grados el angulo θ = π6

6∗ 180◦

π= 30◦

Convertir β = 150◦ a radianes

150◦ ∗ π

180◦=

Teorema de Pitagoras

Sea △ABC un triangulo rectangulo con angulo recto en el vertice C

donde a y b son los catetos y c es la hipotenusa; entonces

c2 = a2 + b2

Catetos e hipotenusa

Dado el triangulo rectangulo

Para el angulo α tenemos que el lado a es el cateto opuesto y b es elcateto adyacente.Para el angulo β se tiene que b es el cateto opuesto y a el adyacente.Para ambos, c es la hipotenusa.

Trigonometrıa Razones trigonometricas

Funciones trigonometricas en triangulos rectangulos

Se definen como relaciones entre los lados de un triangulo rectangulo ası

sen(θ) =Cateto Opuesto

Hipotenusa

cos(θ) =Cateto Adyacente

Hipotenusa

tan(θ) =sen

Cateto Opuesto

Cateto Adyacente

Hipotenusa

tan(θ) =sen

Cateto Opuesto

Cateto Adyacente

Hipotenusa

tan(θ) =sen

Cateto Opuesto

Cateto Adyacente

Hipotenusa

tan(θ) =sen

Cateto Opuesto

Cateto Adyacente

Razones trigonometricas para angulos notables

Se denominan angulos notables a aquellos cuya abertura es 30◦, 45◦, 60◦,90◦, 180◦, 270◦ y 360◦

θ (grados) θ (radianes) sen(θ) cos(θ) tan(θ)

30 π6

45 π4

√22 1

60 π3

90 π2 1 0 Indeterminado

180 π 0 -1 0

270 3π2 -1 0 Indeterminado

360 2π 0 1 0

Trigonometrıa Funciones trigonometricas

Funciones trigonometricas

1 f (x) = sen(x)

D = R R = [−1, 1] T = 2π

2 f (x) = cos(x)

D = R R = [−1, 1] T = 2π

3 f (x) = tan(x)

D = R− {x =nπ

2; n ∈ Z e impar } R = R T = π

1 f (x) = sen(x)

D = R R = [−1, 1] T = 2π

2 f (x) = cos(x)

D = R R = [−1, 1] T = 2π

3 f (x) = tan(x)

D = R− {x =nπ

1 f (x) = sen(x)

D = R R = [−1, 1] T = 2π

2 f (x) = cos(x)

D = R R = [−1, 1] T = 2π

3 f (x) = tan(x)

D = R− {x =nπ

Graficas trigonometricas

Sen(x)

-2 Π -

2-Π -

Cos(x)

-2 Π -

2-Π -

Tan(x)

-2 Π -

2-Π -

Trigonometrıa Identidades trigonometricas

Identidades trigonometricas

Una identidad es una igualdad entre dos expresiones que contienen una omas variables, y que es valida para todo valor de la variable en que lasexpresiones esten definidas.Aquellas identidades en las que se establecen relaciones entre las funcionestrigonometricas son llamadas identidades trigonometricas.

Identidades fundamentales

1 Identidades recıprocas

csc θ =1

sen θsec θ =

cos θcot θ =

tan θ

2 Identidades pitagoricas

sen2 θ + cos2 θ = 1

1 + tan2 θ = sec2 θ

1 + cot2 θ = csc2 θ

csc θ =1

sen θsec θ =

cos θcot θ =

tan θ

csc θ =1

sen θsec θ =

cos θcot θ =

tan θ

csc θ =1

sen θsec θ =

cos θcot θ =

tan θ

Identidades de suma

1 sen(α+ β) = senα cos β + cosα sen β

2 cos(α+ β) = cosα cos β − senα senβ

3 tan(α+ β) = tanα+tan β1−tanα tanβ

Identidades de resta

1 sen(α− β) = senα cos β − cosα sen β

2 cos(α− β) = cosα cos β + senα senβ

3 tan(α− β) = tanα−tan β1+tanα tanβ

Identidades de suma

1 sen(α+ β) = senα cos β + cosα sen β

2 cos(α+ β) = cosα cos β − senα senβ

3 tan(α+ β) = tanα+tan β1−tanα tanβ

Identidades de resta

1 sen(α− β) = senα cos β − cosα sen β

2 cos(α− β) = cosα cos β + senα senβ

3 tan(α− β) = tanα−tan β1+tanα tanβ

Identidades para angulos dobles

1 sen(2α) = 2 senα cosα

2 cos(2α) = cos2 α− sen2 α

3 tan(2α) = 2 tanα1−tan2 α

Ejemplo

Demostrar que sen(3α) = 3 senα− 4 sen3 α

sen 3α = sen(2α+ α) = sen 2α cosα+ cos 2α senα

= (2 senα cosα) cosα+ (cos2 α− sen2 α) senα

= 2 senα cos2 α+[

(1− sen2 α)− sen2 α]

= 2 senα(1 − sen2 α) + (1− 2 sen2 α) senα

= 2 senα− 2 sen3 α+ senα− 2 sen3 α

= 3 senα− 4 sen3 α

Trigonometrıa Ecuaciones trigonometricas

Ecuaciones trigonometricas

Una ecuacion trigonometrica es una ecuacion en la cual intervienenfunciones trigonometricas de un angulo θ y se satisface solo para ciertosvalores de θ.

Ejemplo

Resolver las siguientes ecuaciones trigonometricas:

1 2 cos x = cot x

2 sen2 x − cos2 x = 0

(1) 2 cos x = cot x , entonces, 2 cos x = cos xsen x . Luego, 2 sen x = 1, ası,

sen x = 12 que tiene por soluciones a x = π

6 y x = 5π6 .

Las soluciones generales de la ecuacion son:

6+ 2nπ x =

6+ 2nπ n ∈ Z

Ecuaciones trigonometricas

Una ecuacion trigonometrica es una ecuacion en la cual intervienenfunciones trigonometricas de un angulo θ y se satisface solo para ciertosvalores de θ.

Ejemplo

Resolver las siguientes ecuaciones trigonometricas:

1 2 cos x = cot x

2 sen2 x − cos2 x = 0

(1) 2 cos x = cot x , entonces, 2 cos x = cos xsen x . Luego, 2 sen x = 1, ası,

sen x = 12 que tiene por soluciones a x = π

6 y x = 5π6 .

Las soluciones generales de la ecuacion son:

6+ 2nπ x =

6+ 2nπ n ∈ Z

(2) En la ecuacion sen2 x − cos2 x = 0 se puede sustituir cos2 x por1− sen2 x (identidad pitagorica fundamental). Ası:sen2 x − cos2 x = 0, entonces sen2 x − (1− sen2 x) = 0. Luego,

2 sen2 x = 1; de donde, sen x = ±√

1/2 = ±√22 .

En el intervalo [0, 2π], la ecuacion tiene por soluciones los valoresx = π

4 ; x = 3π4 ; x = 5π

4 y x = 7π4 .

Las soluciones generales seran entonces:

x = (2n + 1)π

4con n ∈ Z

(2) En la ecuacion sen2 x − cos2 x = 0 se puede sustituir cos2 x por1− sen2 x (identidad pitagorica fundamental). Ası:sen2 x − cos2 x = 0, entonces sen2 x − (1− sen2 x) = 0. Luego,

2 sen2 x = 1; de donde, sen x = ±√

1/2 = ±√22 .

En el intervalo [0, 2π], la ecuacion tiene por soluciones los valoresx = π

4 ; x = 3π4 ; x = 5π

4 y x = 7π4 .

Las soluciones generales seran entonces:

x = (2n + 1)π

4con n ∈ Z

Trigonometrıa Resolucion de triangulos

Resolucion de triangulos

Resolver un triangulo es hallar la medida de sus tres lados y la medida desus tres angulos interiores.Triangulos rectangulos. Dado un triangulo rectangulo △ABC ,

siempre se pueden plantear las relaciones (tambien para β):

a = c senα a = b tanα b = c cosα

b = a cotα c = b secα c = a cscα

Que junto al Teorema de Pitagoras nos permiten resolver cualquiertriangulo rectangulo.

Triangulos oblicuangulos. Un triangulo oblicuangulo es aquel triangulo queno tiene angulos rectos. En la resolucion de triangulos oblicuangulos sepresentan cuatro casos:

Caso 1 (LAA o ALA) Caso 3 (LAL)Se conocen un lado Se conocen dos lados

y dos angulos y el angulo comprendidoentre ellos

Caso 2 (LLA) Caso 4 (LLL)Se conocen dos lados Se conocen losy el angulo opuesto tres lados

a uno de ellos

Triangulos oblicuangulos. Un triangulo oblicuangulo es aquel triangulo queno tiene angulos rectos. En la resolucion de triangulos oblicuangulos sepresentan cuatro casos:

Caso 1 (LAA o ALA) Caso 3 (LAL)Se conocen un lado Se conocen dos lados

y dos angulos y el angulo comprendidoentre ellos

Caso 2 (LLA) Caso 4 (LLL)Se conocen dos lados Se conocen losy el angulo opuesto tres lados

a uno de ellos

Ley de los senos

La ley de los senos es un teorema utilizado en la resolucion de triangulospara los casos LLA y ALA.

Teorema del seno

En todo triangulo la medida de los lados es directamenteproporcional a los senos de sus angulos opuestos.

senα=

sen β=

sen γ

Ley de los senos

La ley de los senos es un teorema utilizado en la resolucion de triangulospara los casos LLA y ALA.

Teorema del seno

En todo triangulo la medida de los lados es directamenteproporcional a los senos de sus angulos opuestos.

senα=

sen β=

sen γ

Ley de los cosenos

La ley de los cosenos se utiliza para solucionar los triangulos de los casosLAL y LLL.

Teorema del coseno

En todo triangulo el cuadrado de la longitud de uno desus lados es igual a la suma de los cuadrados de las longi-tudes de los otros dos lados, menos dos veces el productode estas longitudes por el coseno del angulo comprendidoentre ellos.

a2 = b2 + c2 − 2bc cosα

b2 = a2 + c2 − 2ac cos β

c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ

Ley de los cosenos

La ley de los cosenos se utiliza para solucionar los triangulos de los casosLAL y LLL.

Teorema del coseno

En todo triangulo el cuadrado de la longitud de uno desus lados es igual a la suma de los cuadrados de las longi-tudes de los otros dos lados, menos dos veces el productode estas longitudes por el coseno del angulo comprendidoentre ellos.

a2 = b2 + c2 − 2bc cosα

b2 = a2 + c2 − 2ac cos β

c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ

Geometrıa Analıtica

Geometrıa analıtica

Definicion

Un lugar geometrico es el conjunto de todos los puntos del plano que

tienen una caracterıstica geometrica comun.

La ecuacion de un lugar geometrico es una expresion algebraica que

establece, analıticamente, la relacion entre las coordenadas de cada punto

del lugar. Es decir, la ecuacion solo se satisface con las coordenadas de

cada uno de los puntos del lugar geometrico.

Definicion

La distancia entre dos puntos P(x1, y1)y Q(x2, y2) del plano, se denota

d(P ,Q) y esta dada por la formula

d(P ,Q) =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

Definicion

d(P ,Q) =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

Definicion

d(P ,Q) =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

Geometrıa Analıtica La recta

La recta

Definicion

La ecuacion de la forma y = mx + b es denominada ecuacion canonica

de la recta cuya pendiente es m y cuyo intercepto con el eje y es b.

Definicion

La ecuacion de la forma Ax + By + C = 0 donde A, B y C son numeros

reales, se llama ecuacion general de la recta

La recta

Definicion

La ecuacion de la forma y = mx + b es denominada ecuacion canonica

de la recta cuya pendiente es m y cuyo intercepto con el eje y es b.

Definicion

La ecuacion de la forma Ax + By + C = 0 donde A, B y C son numeros

reales, se llama ecuacion general de la recta

Ecuacion de la recta conociendo un punto y la pendienteSea l una recta con pendiente m, que pasa por el punto P(x1, y1) entonces

y − y1 = m(x − x1)

se conoce como la ecuacion punto-pendiente de la recta l .

Ejemplo

Si se desea hallar la ecuacion de la recta que pasa por el punto (2, 1) ycuya pendiente es 3, entonces, en la ecuacion punto-pendiente se hace

m = 3 y (x1, y1) = (2, 1), por lo tanto se obtiene:

y − 1 = 3(x − 2) y se escribe y = 3x − 5

Ecuacion de la recta conociendo un punto y la pendienteSea l una recta con pendiente m, que pasa por el punto P(x1, y1) entonces

y − y1 = m(x − x1)

se conoce como la ecuacion punto-pendiente de la recta l .

Ejemplo

Si se desea hallar la ecuacion de la recta que pasa por el punto (2, 1) ycuya pendiente es 3, entonces, en la ecuacion punto-pendiente se hace

m = 3 y (x1, y1) = (2, 1), por lo tanto se obtiene:

y − 1 = 3(x − 2) y se escribe y = 3x − 5

Ecuacion de la recta conociendo dos de sus puntosSean P(x1, y1) y Q(x2, y2) dos puntos distintos de la recta l , tales quex1 6= x2. Para encontrar la ecuacion de l , primero se halla la pendiente

m =y2 − y1

x2 − x1

y, luego, en la ecuacion punto pendiente se utilizan las coordenadas, ya seadel punto P o del punto Q, para obtener la ecuacion correspondiente.

Ejemplo

Para hallar la ecuacion de la recta que pasa por los puntos (−1, 5) y (3, 7),se determina la pendiente

m =y2 − y1

x2 − x1=

7− 5

3− (−1)=

Que al reemplazar en punto-pendiente

y − 5 =1

2[x − (−1)] −→ y =

Geometrıa Analıtica Secciones conicas

Secciones conicas

Definicion

Una seccion conica es una curva obtenida por la interseccion de un plano

con una superficie conica de revolucion.

Dependiendo de la forma en que el plano corta la superficie conica, lacurva obtenida puede ser: una circunferencia, una parabola, una elipse ouna hiperbola.

Definicion

Ademas de la definicion geometrica, es posible definir las secciones conicas

utilizando la ecuacion

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

donde A y C son distintos de cero. Esta ecuacion es denominada ecuacion

general de segundo grado

Secciones conicas

Definicion

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Secciones conicas

Definicion

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

La Circunferencia

Una circunferencia es el conjunto de puntos del plano que estan a unadistancia constante de un punto fijo llamado centro. La distancia de cadapunto de la circunferencia al centro es denominada radio.

La circunferencia de radio r y con centro en el puntoC (h, k), tiene por ecuacion canonica, la expresion

(x − h)2 + (y − k)2 = r2

En particular, si C (h, k) = (0, 0), la ecuacion canonica dela circunferencia es:

x2 + y2 = r2

La Circunferencia

Una circunferencia es el conjunto de puntos del plano que estan a unadistancia constante de un punto fijo llamado centro. La distancia de cadapunto de la circunferencia al centro es denominada radio.

La circunferencia de radio r y con centro en el puntoC (h, k), tiene por ecuacion canonica, la expresion

(x − h)2 + (y − k)2 = r2

En particular, si C (h, k) = (0, 0), la ecuacion canonica dela circunferencia es:

x2 + y2 = r2

Ejemplo

Encontrar la ecuacion de la circunferencia con centro C (−4,−1) y radio

Reemplazando en la ecuacion (x − h)2 + (y − k)2 = r2, se obtiene

[x − (−4)]2 + [y − (−1)]2 = 22

Es decir,(x + 4)2 + (y + 1)2 = 4

Ejemplo

[x − (−4)]2 + [y − (−1)]2 = 22

Es decir,(x + 4)2 + (y + 1)2 = 4

Ejemplo

[x − (−4)]2 + [y − (−1)]2 = 22

Es decir,(x + 4)2 + (y + 1)2 = 4

Ecuacion general

Cuando en la ecuacion (x − h)2 + (y − k)2 = r2 se desarrollan lasoperaciones se obtiene una ecuacion de la forma

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

Esta ecuacion se denomina ecuacion general de la circunferencia.

Ejemplo

Hallar la ecuacion general de la circunferencia con centro (−2, 1) y radio√2

La respectiva ecuacion canonica es

(x + 2)2 + (y − 1)2 = 2

Desarrollando los binomios y reorganizando terminos tenemos

x2 + 4x + 4 + y2 − 2y + 1 = 2 → x2 + y2 + 4x − 2y + 3 = 0

Que resulta ser la ecuacion general de la circunferencia pedida.

Ejemplo

(x + 2)2 + (y − 1)2 = 2

x2 + 4x + 4 + y2 − 2y + 1 = 2 → x2 + y2 + 4x − 2y + 3 = 0

Ejemplo

(x + 2)2 + (y − 1)2 = 2

x2 + 4x + 4 + y2 − 2y + 1 = 2 → x2 + y2 + 4x − 2y + 3 = 0

Ejemplo

Hallar las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia cuya

ecuacion general es 2x2 + 2y2 − 8x − 14y − 8 = 0

La ecuacion general debe llevarse a la forma canonica, ası:

x2 + y2 − 4x − 7y − 4 = 0 dividiendo entre 2

x2 − 4x + y2 − 7y = 4 asociando terminos

(x2 − 4x + 4) + (y2 − 7y + 49/4) = 4 + 4 + 49/4

(x − 2)2 + (y − 7/2)2 = 81/4 factorizando