Introduccion a la F´ısica Experimental Gu´ıa de la...

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Introducci´ on a la F´ ısica Experimental Gu´ ıa de la experiencia endulo de torsi´ on. Momentos de Inercia Departamento de F´ ısica Aplicada. Universidad de Cantabria. Febrero 28, 2005 Tenga en cuenta que la lectura previa de esta gu´ ıa y la comprobaci´ on de las ecuaciones le llevar´ a del orden de tres horas, incluyendo la consulta de las palabras clave, y que la lectura de la bibliograf´ ıa espec´ ıfica en ingl´ es le llevar´ a entre una y dos horas. Resumen Se muestra c´ omo mediante experimentos con un p´ endulo de torsi´ on (resorte espiral) es posible obtener los momentos de inercia de dife- rentes cuerpos. As´ ı mismo, c´ omo se puede verificar que el momento de inercia depende de la distribuci´ on de las masas respecto al eje de giro. Finalmente, se indica c´ omo comprobar el teorema de los ejes paralelos (teorema de Steiner) a partir de la variaci´ on de la distancia de masas m´ oviles respecto del eje de rotaci´ on. Introducci´ on Cuando se sit´ ua un cuerpo r´ ıgido 1 solidario con un eje vertical unido a un resorte (muelle espiral horizontal) y el cuerpo se hace girar un cierto ´ angulo φ, respecto a la posici´ on de equilibrio, el resorte se expande (o comprime) y ejerce un momento de restituci´ on τ sobre el cuerpo, τ = r × F , (1) donde r es el vector desplazamiento y F la fuerza recuperadora. Este dispositivo constituye un p´ endulo de torsi´ on (Fig. 1). Para ´ angulos de giro peque˜ nos, el m´ odulo r ≡| r| es proporcional al ´ angulo, rαφ, y, de acuerdo con la Ley de Hooke, el m´ odulo de este momento τ es proporcional al 1 Consulte y escriba la definici´ on de todos los conceptos que aparecen en letra cursiva en este texto. 1

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Introduccion a la Fısica Experimental

Guıa de la experiencia

Pendulo de torsion.

Momentos de Inercia

Departamento de Fısica Aplicada.Universidad de Cantabria.

Febrero 28, 2005

Tenga en cuenta que la lectura previa de esta guıa y la comprobacion delas ecuaciones le llevara del orden de tres horas, incluyendo la consultade las palabras clave, y que la lectura de la bibliografıa especıfica en inglesle llevara entre una y dos horas.

Resumen

Se muestra como mediante experimentos con un pendulo de torsion(resorte espiral) es posible obtener los momentos de inercia de dife-rentes cuerpos. Ası mismo, como se puede verificar que el momentode inercia depende de la distribucion de las masas respecto al ejede giro. Finalmente, se indica como comprobar el teorema de losejes paralelos (teorema de Steiner) a partir de la variacion de ladistancia de masas moviles respecto del eje de rotacion.

Introduccion

Cuando se situa un cuerpo rıgido 1 solidario con un eje vertical unido a unresorte (muelle espiral horizontal) y el cuerpo se hace girar un cierto anguloφ, respecto a la posicion de equilibrio, el resorte se expande (o comprime) yejerce un momento de restitucion ~τ sobre el cuerpo,

~τ = ~r× ~F , (1)

donde ~r es el vector desplazamiento y ~F la fuerza recuperadora.Este dispositivo constituye un pendulo de torsion (Fig. 1). Para angulos

de giro pequenos, el modulo r ≡ |~r| es proporcional al angulo, r α φ, y, deacuerdo con la Ley de Hooke, el modulo de este momento τ es proporcional al

1Consulte y escriba la definicion de todos los conceptos que aparecen en letra cursiva en estetexto.

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(d)(re)

(1)

Figura 1: Montaje experimental para medir momentos de inercia mediante un pendulo detorsion por el metodo estatico. (1) Pendulo de torsion con resorte espiral (re), barra ydinamometro (d).

angulo de giro siendo la constante de proporcionalidad, constante restauradoraangular o constante de torsion del muelle, D, con

τ = −D·φ . (2)

El sistema conjunto plataforma mas resorte acumula una cierta cantidadde energıa inicialmente y cuando el conjunto se deja libre, esa energıa se va dis-tribuyendo entre la energıa cinetica de rotacion de la plataforma, TR = Iω2/2,siendo I el momento de inercia de la misma y ω su velocidad angular, y laenergıa elastica del resorte TE = κθ2/2, siendo κ su constante elastica y θ elangulo girado. En la Fig. 2 se muestran las diferentes energıas de un experi-mento con un pendulo de torsion.

La aplicacion de un momento sobre un pendulo de torsion hace que esterealice oscilaciones en torno a su posicion de equilibrio con un perıodo T queviene dado por,

T = 2π

√IZ

D(3)

siendo IZ el momento de inercia del cuerpo cuando el eje de giro es paralelo ala direccion z. Por tanto, el pendulo de torsion permite obtener el momento deinercia de un cuerpo determinando experimentalmente su perıodo de oscilacion,una vez conocida la constante D.

Descripcion del material

Para llevar a cabo este tipo de experiencias se utiliza el siguiente material(Figs. 1 y 3):

1. Un eje de torsion con un muelle espiral horizontal [(re) en Fig. 1 ]

2

T /JR

ET /J

T /J

(a)

(b)

(c)

Figura 2: Distribucion de energıa en un pendulo de torsion. (a) Energıa cinetica de rotacionde la plataforma. (b) Energıa potencial de torsion del resorte. (c) Energıa total del sistemaconjunto plataforma-resorte.

2. Trıpode

3. Una varilla metalica con dos masas moviles

4. Disco soporte

5. Dinamometro [(d) en Fig. 1 ]

6. Barrera fotoelectrica con contador digital [(2) en Fig. 3] y soporte

7. Cilindro y esfera maciza, y cilindro hueco

8. Regla, calibre y esferometro

Reflexiones previas a la realizacion del experimento

1. Defina los conceptos de centro de masas y momento de inercia de uncuerpo.

2. Encuentre, en bibliografıa, las expresiones correspondientes a los momen-tos de inercia de algunos objetos con formas geometricas sencillas: varilla,disco, esfera y cilindro, respecto de algun eje de simetrıa. Presente esainformacion en una tabla.

3

(2)

Figura 3: Montaje experimental para medir momentos de inercia mediante un pendulo detorsion por el metodo dinamico. (2) Barrera fotoelectrica con contador digital y soporte.

(c)

(cm)

Figura 4: Montaje experimental para el teorema de Steiner. (c) Disco metalico con agujerosy una aguja para cortar el haz de luz de la barrera fotoelectrica; (cm) Cilindros metalicoscon saliente para encajar en agujeros del disco.

3. Enuncie y demuestre el teorema de Steiner (o de los ‘ejes paralelos’).

4. Describa algun otro sistema fısico que constituya un pendulo de torsion,distinto del que se describe en la Introduccion.

5. Consulte la bibliografıa y obtenga la Ec. (3). ¿Que tipo de movimientodescribe, entonces, cualquier objeto solidario con el eje vertical que, a suvez, esta unido al resorte horizontal que se menciona en la Introduccion.

Indicaciones

Lleve a cabo las siguientes experiencias:

1. Determine mediante el empleo del dinamometro el valor de la constanterestauradora del muelle espiral (metodo estatico). Para ello, coloque so-bre el muelle la varilla, gire un cierto angulo y mida con el dinamometro

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el modulo de la fuerza, F , que hay que aplicar a una distancia r del ejepara que la varilla se mantenga en equilibrio, para dicho desplazamientoangular. Situe el dinamometro perpendicularmente a la varilla. Desvıela varilla un angulo mayor y mida la fuerza situando el dinamometroa la misma distancia del eje, y ası sucesivamente. Para determinar Drepresente graficamente el momento frente al angulo de giro. ¿Que de-pendencia observa?

2. Separe la varilla un cierto angulo de su posicion de equilibrio. Sueltela ydejela oscilar libremente. Teniendo en cuenta la Eq. (2), determine conla ayuda de la ‘barrera fotoelectrica’ la constante D del muelle (metododinamico). ¿Como se le ocurrirıa proceder si desconociera el momento deinercia de la barra? Emplee para ello las masas moviles ¿Que observa?¿Como han de situarse las masas?

3. Una vez conocida la constante restauradora del muelle y teniendo encuenta la Eq. (2), determine experimentalmente los momentos de iner-cia de diferentes cuerpos: disco, cilindro hueco, cilindro macizo y esfera.Estos objetos poseen geometrıas sencillas por lo que sus momentos deinercia se pueden calcular teoricamente conocidas la masa y las dimen-siones geometricas de los mismos (emplee la balanza, regla, calibre y elesferometro, si fuera necesario). Compare ambos resultados (experimen-tal y teorico).

4. Monte el disco plano provisto de agujeros a lo largo de su diametro. Es-tos agujeros permiten variar la posicion del eje de giro a lo largo de unadireccion. Represente graficamente la variacion del momento de inerciafrente a la distancia del eje de giro al centro de masas del disco. Deter-mine experimentalmente la dependencia del momento de inercia con ladistancia del eje de giro al centro de masas del disco utilizando la Eq. (2).¿Como cambia el momento de inercia?

Preguntas adicionales relacionadas con la experiencia

1. ¿Que ocurre si no se situa el dinamometro perpendicularmente a la va-rilla? ¿Que unidades tiene D? ¿Cual es su significado fısico? ¿Es precisorealizar un ajuste por mınimos cuadrados para obtener D?

2. ¿Como varıa la amplitud de la oscilacion? ¿Afecta de alguna manera ala medida del perıodo ? ¿Que sucede si la varilla no esta sujeta por supunto medio? ¿Y si en lugar de comprimir el muelle lo expande? ¿Podrıadeterminar la aceleracion angular? ¿Como?

3. ¿Que diferencias y similitudes observa entre el movimiento descrito poruna masa suspendida de un muelle y el descrito por la barra?

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4. ¿Que metodo es mas preciso el estatico o el dinamico? Discuta las posi-bles fuentes de error ¿Que valor de D empleara a la hora de obtener losmomentos de inercia?

5. ¿Que es el radio de giro? ¿Cual es su utilidad? ¿Cual es su ecuaciondimensional?

6. ¿Confirman los resultados experimentales obtenidos en el apartado 4 dela seccion anterior el teorema de Steiner?

7. ¿Para que se puede utilizar el pendulo de torsion? Describa la balanzade torsion empleada por Henry Cavendish. ¿Como funciona y para quesirve?

Referencias

[1] P. A. Tipler, Fısica, 4a Edicion, Tomo I, Ed. Reverte, Barcelona (1999),pp. 255 y ss, 416 y ss.

[2] R. A. Serway, Fısica, Tomo I, 3a Edicion (2a Ed. en espanol), Ed. McGraw-Hill, Mejico (1992), pp. 279 y ss, 344 y ss.

[3] R. M. Eisberg, L. S. Lerner, Fısica: Fundamentos y Aplicaciones, Vol. I,Ed. McGraw-Hill, Mejico (1981) pp. 417 y ss.

[4] S. Chapman, Discovering the torsion pendulum expression in the freshmanlaboratory, Am. J. Phys. 16, 308-309 (1948).

[5] R. E. Green, Calibrated torsion pendulum for moment of inertia measure-ments, Am. J. Phys. 26, 498-499 (1958).

[6] kossi.physics.hmc.edu/Courses/p23a/Experiments/Cavendish.html.

[7] www.glenbrook.k12.il.us/gbssci/phys/Class/circles/u6l3d.html

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