Problemas y cuestiones del Tema 31. Demostrar las formulas de la trigonometrıa esferica.

2. Emplear la trigonometrıa esferica para encontrar la distancia mas corta (lınea ortodromica) entre dos puntos de lasuperficie de la Tierra (tomada como una esfera) dados por sus coordenadas φ0, λ0 y φ1, λ1. Obtener tambien elrumbo (es decir, el azimut de la trayectoria) inicial.

3. Demostrar, para el triangulo esferico de la figura 1, la siguiente formula: tanλu = cos i tanu, donde u = ω + θ.

u¸

µ+!Á

i

Az

Az

Figura 1: Figura del problema 3.

4. Se pretende lanzar un vehıculo desde el Kennedy Space Center (KSC, o Cabo Canaveral) a las 06:53 hora local(UT-5), con un azimut de 80o. Si el GST0 ese dıa es 120o, determinar el plano que tendrıa la orbita (i,Ω). Si latolerancia en la ascension recta del nodo ascendente es ∆Ω = ±5o, ¿cual es la ventana de lanzamiento?

5. ¿Cuales son las inclinaciones maxima y mınima alcanzables desde Cabo Canaveral? ¿Y desde Vanderberg, Kourouo Tyuratam (Baikonur)?

6. Se observa un satelite sobre un punto de la Tierra con coordenadas 10,5o N 45,8o O. Si se sabe que la orbita tienehp = 1000 km, ha = 1500 km, con el perigeo justo en el Ecuador (en ) e inclinacion i = 30o, encontrar lascoordenadas terrestres sobre las que se encuentra el satelite 15 minutos despues.

7. Demostrar que la Tierra, vista desde GEO, presenta la forma de un disco que ocupa aproximadamente 17o en elhorizonte.

8. Demostrar que el eclipse maximo de un satelite geoestacionario se produce en los equinoccios. Demostrar tambienque dicho eclipse dura aproximadamente 70 minutos, y que la “temporada de eclipses” comienza aproximadamente22 dıas antes del equinoccio y finaliza 22 dıas despues. ¿Cuanto durarıa un eclipse que sucediera justo 12 dıasdespues de un equinoccio? Suponer, para simplificar, que la orbita de la Tierra es circular.

9. ¿Que condicion debe cumplirse para que la traza de un satelite se repita cada k revoluciones del satelite y m dıas?Calcular la condicion primero en ausencia de perturbaciones y luego considerando las perturbaciones secularesprovocadas por el J2 (regresion de los nodos, avance del perigeo, M ).

10. Dado un satelite de elementos (a0, e0, i0,Ω0, ω0,M0) tal que su traza se repite diariamente cada k revoluciones,disenar los elementos de otros n−1 satelites, denotados por (aj , ej , ij ,Ωj , ωj ,Mj) para j = 1, . . . , n−1 de formaque los n satelites tengan la misma traza y la recorran separados uniformemente en el tiempo. Aplicar el resultadoa disenar una constelacion Molniya de 3 satelites.

11. Disenar la orbita de un satelite heliosıncrono, circular, de 1000 km de altitud, que pase por Sevilla (φ = 37,23oN,λ = 5,58oO) a las 17:00 hora local (UT+1) el 15 de Noviembre de 2008. Dar los elementos del satelite en la epocadel 1 de Noviembre de 2008 a las 12:00, sabiendo que en ese instante,GST = 14 h 41 m 35,3 s. Emplear en primerlugar el propagador de los dos cuerpos (sin perturbaciones) y luego utilizar el propagador J2 medio.

12. Calcular el ancho de huella instrumental w de un satelite en la configuracion de la figura, con un angulo de vision2α, pero con el cono de vision desplazado un angulo oblicuo χ.

13. Dado un satelite de coordenadas geograficas (φ0, λ0, h0) para un cierto instante dado, obtener los valores de lon-gitud dentro de la cobertura para una latitud fija φ. Igualmente, fijada la longitud λ, obtener los valores de latituddentro de la cobertura.

1

S

w

®2

Â

Figura 2: Figura del problema 12.

14. Calcular la funcion de visibilidad, para una estacion de coordenadas (φ, λ), de una estrella (considerada inmovil, yen el infinito, en el sistema de referencia geocentrico ecuatorial) con ascension recta AR y declinacion δ. ¿Cual esla funcion de visibilidad de la estrella polar?

15. La funcion de visibilidad del Sol permite calcular el atardecer y el amanecer en una determinada localizaciongeografica. Calcular para un dıa dado, en un punto cualquiera de la Tierra (φ, λ), la funcion de visibilidad del Sol(suponiendo que no se mueve a lo largo del dıa y esta en el infinito), y a partir de ella el amanecer y el atardecer(que se define a efectos civiles para ε = −6o ya que el Sol no es un punto sino un arco en el horizonte).

16. ¿Cuantos satelites geoestacionarios son necesarios para cubrir la superficie de la Tierra? (excluyendo los polos) ¿Enque configuracion?

17. ¿Cuanto tiempo, aproximadamente, dura la noche eterna en los polos? ¿Y en una latitud de 80o? Suponer la orbitade la Tierra circular para simplificar los calculos.

18. Demuestre, usando trigonometrıa esferica, que la traza de un satelite sobre la superficie terrestre alcanza una latitudmaxima igual a la inclinacion de su orbita.

19. Demuestre, usando trigonometrıa esferica, la formula que relaciona la inclinacion de una orbita, el azimut de lan-zamiento y la latitud de la base de lanzamiento. ¿Por que la mayor parte de las bases estan situadas de forma quelos lanzamientos se puedan realizar en direccion Este?

20. Escribir las formulas para la maniobra de cambio de perigeo desde un perigeo inicial rpi a uno final rpf , para unaorbita de apogeo ra.

21. Calcular ψ y ∆V/Vi para el cambio de la lınea de apsides de una orbita de excentricidad e = 0,5, cuando el cambiodel argumento del perigeo es ∆ω = 30o, 45o, 90o, 180o.

22. Se decide desorbitar (arrojar a la atmosfera para que se volatilice en la reentrada) un satelite en una orbita circulara 1000 km de altitud. Para ello se disminuye el perigeo a una altitud de 100 km donde los efectos atmosfericosfinalizaran el trabajo. Si la masa del satelite sin combustible es de 500 kg, ¿cuanto combustible con ISP = 200 s esnecesario haber almacenado para completar la maniobra?

23. A una orbita inicial (ai = 2 UD, ei = 0,1, ωi = 0) se aplica un ∆V = 0,2 UV con angulo ψ = 45o en θ = 90o.Describir la orbita alcanzada.

24. Desde la orbita inicial del anterior problema se quiere alcanzar una orbita final (af = 1,5 UD, ei = 0,2, ωi = 20o).Disenar una maniobra de un impulso para realizar el cambio. Repetir con af = 1,9 UD.

25. Dada una orbita circular de radio 2 UD:

a) Para transferir a un radio 5 UD comparar (∆VTRANS, TTRANS) para la transferencia de Hohmann y unatransferencia “rapida” (tangencial solo en el radio inicial) tal que at = 2aHOHMANN.

b) Para una transferencia a una orbita de radio 25 UD comparar (∆VTRANS, TTRANS) para la transferencia deHohmann, una transferencia biparabolica y una bielıptica con radio exterior 50 UD.

26. Obtener razonadamente la expresion para ∆V y la latitud φ para la maniobra generica de cambio de plano orbital(Ω e i) de una orbita circular, manteniendo constantes el resto de elementos orbitales.

2

27. Demostrar la optimalidad (mınimo ∆V ) de la transferencia de Hohmann, dentro del conjunto de maniobras de dosimpulsos entre orbitas circulares.

28. Se lanza un satelite (que se pretende situar en orbita ecuatorial) desde Cabo Kennedy situandose en una orbita deaparcamiento en LEO a 296 km de altitud. Elegir razonadamente un azimut de lanzamiento. Se desea alcanzar unaorbita ecuatorial a una altitud de 741 km. Describir la maniobra necesaria, realizando una transferencia de Hohmanncon cambio de plano en el segundo impulso.

29. Comparar, para una orbita circular de altitud h = 1000 km, una maniobra de cambio de inclinacion ∆i de unimpulso con la maniobra restringida (optima) de tres impulsos, para ∆i = 15o, 30o, 45o, 60o, 80o.

30. Un satelite terrestre tiene una orbita inicial definida por a1 = 5 UD y e1 = 0,7, y se pretende llevar a una orbitadefinida por a2 = 10 UD y e2 = 0,3, sin que importe el cambio de la lınea de apsides. Considerar inicialmenteque el impulso se realiza en el apogeo, y calcular el combustible consumido si ISP = 200 s y m0 = 1000 kg. Si elpunto de aplicacion del impulso es arbitrario, ¿que posibles maniobras de un impulso se pueden realizar para llevara cabo el cambio de orbita? Plantear el problema de optimizacion.

31. Estudiar la puesta en orbita de un satelite geoestacionario desde Cabo Kennedy, supuesta una orbita de aparcamientode altitud 300 km, y realizando el cambio de plano en el segundo impulso de Hohmann. Estudiar igualmente lapuesta en orbita de un satelite Molniya desde Baikonur, con una orbita de aparcamiento de la misma altitud.

32. Estudiar una transferencia tipo Hohmann entre dos orbitas coplanarias elıpticas definidas por (ai, ei) y (af , ef ) conla lınea de apsides coincidente (en direccion y orientacion), y comprobar la regla de optimalidad (elegir siempreel mayor apogeo) usando dos casos particulares: primero para (2,0.2) y (4,0.5), y luego para (4,0.7), (6,0.1). Si lasorbitas cortan en un punto (que no sea ni perigeo ni apogeo), comparar la maniobra de un impulso para cambiar laorbita con la tipo Hohmann.

33. Plantear el problema de optimizacion para la maniobra de Hohmann con cambio de plano ∆i repartido entre losdos impulsos.

34. Se tiene un satelite en una orbita circular, a altitud h = 35786 km e inclinacion i = 60o. Dibujar la traza de laorbita de la forma mas precisa posible con la informacion proporcionada.

35. Disenar los elementos orbitales de una constelacion tipo Walker 15/3/2 de inclinacion 65 grados, altitud h =20000 km, de forma que el primer satelite tenga Ω = u = 0o.

36. Se tiene un satelite en una orbita geoestacionaria a una longitud geografica de 25oW . Describir la maniobra nece-saria para ubicar dicho satelite en una longitud de 10oE. Si el combustible no permite realizar un ∆V superior a0,1 km/s, ¿es posible realizar la maniobra? En caso afirmativo, describirla.

37. Se tiene un satelite, en una orbita circular, con el resto de elementos orbitales (en la epoca del 1 de Noviembre de2008 a las 12:00) h = 800 km, i = 50o, Ω = 130o, u = 0o, y se sabe que en la epoca GST = 14 h 41 m 35,3 s.Estudiar la cobertura el 20 de Noviembre de 2008 a las 15:00. ¿Que latitudes maxima y mınima estan cubiertas, ya que longitud? ¿Cual es la superficie de cobertura y el ancho de huella? ¿Como se modifican estos resultados siestudiamos la cobertura de un instrumento con α = 10o? Estudiar en ambos casos si la cobertura incluye Sevilla(φ = 37,23oN, λ = 5,58oO). Repetir el problema con Honolulu, Hawai (φ = 21o 18′ 25′′N, λ = 157o 51′ 30′′O).

38. Estudiar la elevacion (y su evolucion en el tiempo, si fuera necesario), para un observador situado en Sevilla (φ =37,23oN, λ = 5,58oO), de:

Un satelite GEO sobre la latitud λ = 0o.

Un satelite GEO sobre la latitud λ = 80oO.

Un satelite de elementos e = 0, i = 0O, h = 1000 km, que en el instante de tiempo t = 0 se encuentre sobreel meridiano de Greenwich.

39. Dado un satelite con e = 0 y altitud dada h cuya orbita se repite, plantear el problema de hallar la maxima elevacionque alcanza visto desde una base de coordenadas dadas. Si la orbita del satelite no se repite, ¿cual sera la maximaelevacion posible?

40. Escribir los elementos orbitales (en la epoca del 1 de Noviembre de 2008 a las 12:00, en la que se sabe queGST = 14 h 41 m 35,3 s) y dibujar aproximadamente la traza de un satelite polar y circular en orbita semisıncrona(la mitad del periodo de la Tierra) que pase por Sevilla (φ = 37,23oN, λ = 5,58oO) el 21 de Noviembre a las 00:00hora local (UT+1).

41. Estudiar las condiciones bajo las cuales la cobertura instrumental (dado un instrumento con α dado) y la coberturatotal coinciden.

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42. La estrella Sirio tiene ascension recta 6 horas y 45 minutos, y declinacion -16 grados y 43 minutos. Sabiendo queun cierto dıa GST0 = 0o, determinar la elevacion y azimut de la estrella observada desde Sevilla (φ = 37,23oN,λ = 5,58oO) a las 11 de la noche (UT). Otro cierto dıa, en el que GST0 = 90o, se realiza una observacion de Sirioa las 10:30 de la noche (UT) obteniendose h = 51,85o y Az = 204,16o. Deducir la localizacion geografica delobservador.

43. Calcular la forma de la traza de un satelite geoestacionario tal que su excentricidad e es pequena, pero distinta decero, y el resto de sus elementos orbitales tiene valores nominales para que el satelite se encuentre en la longitudλ0.

44. Sabiendo que el equinoccio de Primavera fue el 21 de Marzo a las 12:00 UT, calcular la posicion del Sol en la esferaceleste (δ, AR) el 11 de Noviembre a las 12:00 UT de ese mismo ano (suponer para simplificar el calculo que laorbita de la Tierra es circular). Dado un satelite cuyos elementos orbitales (en la epoca del 21 de Marzo a las 12:00UT) son hp = 600 km, ha = 800 km, i = 25o, ω = 60o, Ω = 45o, θ = 310o, encontrar su posicion en la esferaceleste el 11 de Noviembre a las 12:00 UT y determinar si esta eclipsado o no. Repetir el calculo para la autenticaexcentricidad de la orbita de la Tierra.

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lecture9.ppt ©R.S. Nerem 2004 17

Launch Sites

lecture9.ppt ©R.S. Nerem 2004 18

Noncoplanar Transfers

Figura 3: Tabla de bases de lanzamiento.

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