Problemas y cuestiones del Tema 3 - Universidad de Problemas y cuestiones del Tema 3 1.Demostrar las...

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  • Problemas y cuestiones del Tema 3 1. Demostrar las fórmulas de la trigonometrı́a esférica.

    2. Emplear la trigonometrı́a esférica para encontrar la distancia más corta (lı́nea ortodrómica) entre dos puntos de la superficie de la Tierra (tomada como una esfera) dados por sus coordenadas φ0, λ0 y φ1, λ1. Obtener también el rumbo (es decir, el azimut de la trayectoria) inicial.

    3. Demostrar, para el triángulo esférico de la figura 1, la siguiente fórmula: tanλu = cos i tanu, donde u = ω + θ.

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    Figura 1: Figura del problema 3.

    4. Se pretende lanzar un vehı́culo desde el Kennedy Space Center (KSC, o Cabo Cañaveral) a las 06:53 hora local (UT-5), con un azimut de 80o. Si el GST0 ese dı́a es 120o, determinar el plano que tendrı́a la órbita (i,Ω). Si la tolerancia en la ascensión recta del nodo ascendente es ∆Ω = ±5o, ¿cuál es la ventana de lanzamiento?

    5. ¿Cuáles son las inclinaciones máxima y mı́nima alcanzables desde Cabo Cañaveral? ¿Y desde Vanderberg, Kourou o Tyuratam (Baikonur)?

    6. Se observa un satélite sobre un punto de la Tierra con coordenadas 10,5o N 45,8o O. Si se sabe que la órbita tiene hp = 1000 km, ha = 1500 km, con el perigeo justo en el Ecuador (en �) e inclinación i = 30o, encontrar las coordenadas terrestres sobre las que se encuentra el satélite 15 minutos después.

    7. Demostrar que la Tierra, vista desde GEO, presenta la forma de un disco que ocupa aproximadamente 17o en el horizonte.

    8. Demostrar que el eclipse máximo de un satélite geoestacionario se produce en los equinoccios. Demostrar también que dicho eclipse dura aproximadamente 70 minutos, y que la “temporada de eclipses” comienza aproximadamente 22 dı́as antes del equinoccio y finaliza 22 dı́as después. ¿Cuánto durarı́a un eclipse que sucediera justo 12 dı́as después de un equinoccio? Suponer, para simplificar, que la órbita de la Tierra es circular.

    9. ¿Qué condición debe cumplirse para que la traza de un satélite se repita cada k revoluciones del satélite y m dı́as? Calcular la condición primero en ausencia de perturbaciones y luego considerando las perturbaciones seculares provocadas por el J2 (regresión de los nodos, avance del perigeo, Ṁ ).

    10. Dado un satélite de elementos (a0, e0, i0,Ω0, ω0,M0) tal que su traza se repite diariamente cada k revoluciones, diseñar los elementos de otros n−1 satélites, denotados por (aj , ej , ij ,Ωj , ωj ,Mj) para j = 1, . . . , n−1 de forma que los n satélites tengan la misma traza y la recorran separados uniformemente en el tiempo. Aplicar el resultado a diseñar una constelación Molniya de 3 satélites.

    11. Diseñar la órbita de un satélite heliosı́ncrono, circular, de 1000 km de altitud, que pase por Sevilla (φ = 37,23oN, λ = 5,58oO) a las 17:00 hora local (UT+1) el 15 de Noviembre de 2008. Dar los elementos del satélite en la época del 1 de Noviembre de 2008 a las 12:00, sabiendo que en ese instante,GST = 14 h 41 m 35,3 s. Emplear en primer lugar el propagador de los dos cuerpos (sin perturbaciones) y luego utilizar el propagador J2 medio.

    12. Calcular el ancho de huella instrumental w de un satélite en la configuración de la figura, con un angulo de visión 2α, pero con el cono de visión desplazado un ángulo oblicuo χ.

    13. Dado un satélite de coordenadas geográficas (φ0, λ0, h0) para un cierto instante dado, obtener los valores de lon- gitud dentro de la cobertura para una latitud fija φ. Igualmente, fijada la longitud λ, obtener los valores de latitud dentro de la cobertura.

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    Figura 2: Figura del problema 12.

    14. Calcular la función de visibilidad, para una estación de coordenadas (φ, λ), de una estrella (considerada inmóvil, y en el infinito, en el sistema de referencia geocéntrico ecuatorial) con ascensión recta AR y declinación δ. ¿Cuál es la función de visibilidad de la estrella polar?

    15. La función de visibilidad del Sol permite calcular el atardecer y el amanecer en una determinada localización geográfica. Calcular para un dı́a dado, en un punto cualquiera de la Tierra (φ, λ), la función de visibilidad del Sol (suponiendo que no se mueve a lo largo del dı́a y está en el infinito), y a partir de ella el amanecer y el atardecer (que se define a efectos civiles para ε = −6o ya que el Sol no es un punto sino un arco en el horizonte).

    16. ¿Cuántos satélites geoestacionarios son necesarios para cubrir la superficie de la Tierra? (excluyendo los polos) ¿En qué configuración?

    17. ¿Cuánto tiempo, aproximadamente, dura la noche eterna en los polos? ¿Y en una latitud de 80o? Suponer la órbita de la Tierra circular para simplificar los cálculos.

    18. Demuestre, usando trigonometrı́a esférica, que la traza de un satélite sobre la superficie terrestre alcanza una latitud máxima igual a la inclinación de su órbita.

    19. Demuestre, usando trigonometrı́a esférica, la fórmula que relaciona la inclinación de una órbita, el azimut de lan- zamiento y la latitud de la base de lanzamiento. ¿Por qué la mayor parte de las bases están situadas de forma que los lanzamientos se puedan realizar en dirección Este?

    20. Escribir las fórmulas para la maniobra de cambio de perigeo desde un perigeo inicial rpi a uno final rpf , para una órbita de apogeo ra.

    21. Calcular ψ y ∆V/Vi para el cambio de la lı́nea de ápsides de una órbita de excentricidad e = 0,5, cuando el cambio del argumento del perigeo es ∆ω = 30o, 45o, 90o, 180o.

    22. Se decide desorbitar (arrojar a la atmósfera para que se volatilice en la reentrada) un satélite en una órbita circular a 1000 km de altitud. Para ello se disminuye el perigeo a una altitud de 100 km donde los efectos atmosféricos finalizarán el trabajo. Si la masa del satélite sin combustible es de 500 kg, ¿cuánto combustible con ISP = 200 s es necesario haber almacenado para completar la maniobra?

    23. A una órbita inicial (ai = 2 UD, ei = 0,1, ωi = 0) se aplica un ∆V = 0,2 UV con ángulo ψ = 45o en θ = 90o. Describir la órbita alcanzada.

    24. Desde la órbita inicial del anterior problema se quiere alcanzar una órbita final (af = 1,5 UD, ei = 0,2, ωi = 20o). Diseñar una maniobra de un impulso para realizar el cambio. Repetir con af = 1,9 UD.

    25. Dada una órbita circular de radio 2 UD:

    a) Para transferir a un radio 5 UD comparar (∆VTRANS, TTRANS) para la transferencia de Hohmann y una transferencia “rápida” (tangencial sólo en el radio inicial) tal que at = 2aHOHMANN.

    b) Para una transferencia a una órbita de radio 25 UD comparar (∆VTRANS, TTRANS) para la transferencia de Hohmann, una transferencia biparabólica y una bielı́ptica con radio exterior 50 UD.

    26. Obtener razonadamente la expresión para ∆V y la latitud φ para la maniobra genérica de cambio de plano orbital (Ω e i) de una órbita circular, manteniendo constantes el resto de elementos orbitales.

    2

  • 27. Demostrar la optimalidad (mı́nimo ∆V ) de la transferencia de Hohmann, dentro del conjunto de maniobras de dos impulsos entre órbitas circulares.

    28. Se lanza un satélite (que se pretende situar en órbita ecuatorial) desde Cabo Kennedy situándose en una órbita de aparcamiento en LEO a 296 km de altitud. Elegir razonadamente un azimut de lanzamiento. Se desea alcanzar una órbita ecuatorial a una altitud de 741 km. Describir la maniobra necesaria, realizando una transferencia de Hohmann con cambio de plano en el segundo impulso.

    29. Comparar, para una órbita circular de altitud h = 1000 km, una maniobra de cambio de inclinación ∆i de un impulso con la maniobra restringida (óptima) de tres impulsos, para ∆i = 15o, 30o, 45o, 60o, 80o.

    30. Un satélite terrestre tiene una órbita inicial definida por a1 = 5 UD y e1 = 0,7, y se pretende llevar a una órbita definida por a2 = 10 UD y e2 = 0,3, sin que importe el cambio de la lı́nea de ápsides. Considerar inicialmente que el impulso se realiza en el apogeo, y calcular el combustible consumido si ISP = 200 s y m0 = 1000 kg. Si el punto de aplicación del impulso es arbitrario, ¿qué posibles maniobras de un impulso se pueden realizar para llevar a cabo el cambio de órbita? Plantear el problema de optimización.

    31. Estudiar la puesta en órbita de un satélite geoestacionario desde Cabo Kennedy, supuesta una órbita de aparcamiento de altitud 300 km, y realizando el cambio de plano en el segundo impulso de Hohmann. Estudiar igualmente la puesta en órbita de un satélite Molniya desde Baikonur, con una órbita de aparcamiento de la misma altitud.

    32. Estudiar una transferencia tipo Hohmann entre dos órbitas coplanarias elı́pticas definidas por (ai, ei) y (af , ef ) con la lı́nea de ápsides coincidente (en dirección y orientación), y comprobar la regla de optimalidad (elegir siempre el mayor apogeo) usando dos casos particulares: primero para (2,0.2) y (4,0.5), y luego para (4,0.7), (6,0.1). Si las órbitas cortan en un punto (que no sea ni perigeo ni apogeo), comparar la maniobra de un impulso para cambiar la órbita con la tipo Hohmann.

    33. Plantear el problema de optimización para la maniobra de Hohmann con cambio de plano ∆i repartido entre los dos impulsos.

    34. Se tiene un satélite en una órbita circular, a altitud h = 35786 km e inclinación i = 60o. Dibujar la traza de la órbita de la forma más precisa posible con la información proporc