Teorıa de la Capa Lımite Laminarpor

Miguel Hermanns y Francisco Higuera

1. Introduccion

Muchos movimientos de fluidos alrededor de cuerpos se caracterizan por el hecho deque el numero de Reynolds basado en la longitud caracterıstica del cuerpo L, la velocidadde la corriente incidente U y la viscosidad cinematica del fluido ν es grande frente a launidad:

Re =UL

ν� 1. (1)

Esto indica que en dichos flujos las fuerzas de viscosidad son mucho menos importantesque las fuerzas de presion y las aceleraciones del fluido, con lo que cabrıa esperar que lasecuaciones de Euler, que se obtienen de despreciar los terminos viscosos en las ecuacionesde Navier-Stokes, describan de forma aproximada el flujo en estas condiciones. Aunqueexisten casos en los que esto es cierto, y las ecuaciones de Euler son capaces de describircon suficiente precision el campo fluido resultante, existen muchos otros casos en los cualesno es ası. La disparidad entre las predicciones de las ecuaciones de Euler y lo que se observaen la realidad se debe a los siguientes dos motivos.

En primer lugar, las soluciones de las ecuaciones de Euler, que unicamente contienenderivadas primeras de las magnitudes fluidas, no pueden satisfacer la condicion de nodeslizamiento sobre la superficie solida de un cuerpo. Considerese por ejemplo el flujoestacionario alrededor de un cuerpo romo. El movimiento del fluido, que por simplicidadse considera de densidad constante en esta leccion, viene descrito por las ecuaciones deEuler para fluidos incompresibles:

∇ · v = 0, ρv · ∇v = −∇p, (2)

que habran de ser resueltas conjuntamente con la condicion de contorno de impermeabi-lidad en la superficie Σ del cuerpo y las condiciones de contorno lejos del cuerpo:

x ∈ Σ : v · n = 0,|x| → ∞ : v → U , p→ p∞, (3)

donde n es el vector normal a la superficie del cuerpo. Una primera consecuencia dehaber despreciado los terminos viscosos en las ecuaciones del movimiento es que resultaimposible imponer que la velocidad de deslizamiento del fluido sobre la superficie delcuerpo, ue(x) = v · t (donde t es un vector unitario tangente al cuerpo y x es la distanciasobre la superficie), sea nula. Esta velocidad debe determinarse como parte de la solucion

1

D = 0 D = 0 D 6= 0

Figura 1: Diversas soluciones validas de las ecuaciones de Euler para el flujo alrededor de uncuerpo romo tridimensional, donde las dos primeras predicen una fuerza nula sobre el cuerpo(paradoja de d’Alembert) y la ultima una fuerza no nula.

no viscosa. Por otra parte, la ecuacion de Bernouilli, que, como se ha visto en una leccionanterior, resulta de integrar la ecuacion de conservacion de cantidad de movimiento a lolargo de una lınea de corriente, proporciona una relacion entre la velocidad de deslizamientoue a lo largo de la superficie del cuerpo y la presion pe sobre el cuerpo:

pe +12ρu2

e = p∞ +12ρU2. (4)

En segundo lugar, las ecuaciones de Euler (2) admiten infinitas soluciones (debiles)para un conjunto de condiciones de contorno (3) dadas cuando se admite la posibilidadde superficies de discontinuidad tangencial en el seno del fluido, y no es posible sabera priori cual de estas soluciones es la que se corresponde con la realidad. La Figura 1muestra varios ejemplos de soluciones validas para el flujo alrededor de un cuerpo romotridimensional. Algunas de estas soluciones predicen una fuerza nula del fluido sobre elcuerpo (paradoja de d’Alembert), y otras en cambio no. En definitiva, las ecuaciones deEuler con las correspondientes condiciones de contorno no son capaces de proporcionar demanera automatica la solucion correspondiente al lımite de Re→∞ de las ecuaciones deNavier-Stokes.

Para resolver este dilema es necesario ver, como hizo Prandtl en 1904, que aunquelos fenomenos de transporte debidos a la difusion sean despreciables en la mayor partedel campo fluido, cerca del cuerpo no lo son, y por tanto aparece una zona proxima alcuerpo, llamada capa lımite, en la cual la viscosidad juega un papel importante. Dicha capalımite es la responsable de seleccionar la solucion fısicamente correcta entre las infinitassoluciones de las ecuaciones de Euler, y por ello su analisis es esencial para el estudio delos flujos a altos numeros de Reynolds.

2. Deduccion de las ecuaciones de capa lımite

En lo que queda de leccion se va a considerar por simplicidad que el flujo es bidimen-sional e incompresible. Anticipando que la capa lımite es una region delgada en torno ala superficie del cuerpo, conviene introducir para su analisis un sistema de coordenadascurvilıneas ortogonales, llamadas coordenadas de capa lımite, basadas en una familia decurvas paralelas al contorno del cuerpo y sus trayectorias ortogonales. En estas coordena-das, x es la distancia medida sobre la superficie del cuerpo desde su borde de ataque, odesde el punto de remanso anterior, e y es la distancia normal al cuerpo. Las coordenadas(x, y) no son cartesianas excepto si la superficie del cuerpo es plana, pero se comportan

2

como tales a casi todos los efectos (excepto en la ecuacion (9) mas abajo) si y es pequenafrente al radio de curvatura R de la superficie, que se supondra del orden de la longitudcaracterıstica del cuerpo: R ∼ L.

En lo que sigue, u y v son las componentes x e y de la velocidad del fluido, L es lalongitud caracterıstica del cuerpo, y δ, vc y ∆yp denotan valores caracterısticos del espesorde la capa lımite, la velocidad transversal y las variaciones transversales de presion, quedeben determinarse a partir de los balances entre los ordenes de magnitud de los terminosdominantes de las ecuaciones del movimiento. La velocidad longitudinal debe variar atraves de la capa lımite desde cero en la superficie del cuerpo a la velocidad de deslizamientoue(x) proporcionada por la solucion exterior no viscosa. La velocidad de deslizamiento esdel orden de la velocidad U de la corriente libre, y se admite por tanto que u ∼ U en lacapa lımite. Las variaciones longitudinales de presion son ∆xp ∼ ρU2, impuestas por lasolucion exterior.

2.1. Analisis de los ordenes de magnitud

Se comienza el analisis de los ordenes de magnitud del problema de la capa lımite me-diante la ecuacion de conservacion de la masa. Esta ecuacion proporciona una estimacionde la velocidad transversal caracterıstica, vc, que resulta ser mucho menor que la velocidadexterior U :

∂u

∂x+∂v

∂y= 0 (5)

U

L∼ vc

δ⇒ vc ∼ U

δ

L� U. (6)

El siguiente paso consiste en analizar la importancia relativa de los distintos terminosde la ecuacion de conservacion de la cantidad de movimiento segun x, que permitira obteneruna estimacion del espesor δ de la capa lımite:

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −1

ρ

∂p

∂x+ ν

(∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2

)(7)

U2

L∼ Uvc

δ

∆xp

ρLνU

L2� ν

U

δ2.

A partir de la recien estimada velocidad caracterıstica transversal vc se concluye que ambosterminos convectivos en el miembro izquierdo de la ecuacion son del mismo orden. Por otrolado, la difusion de cantidad de movimiento por efecto de la viscosidad a lo largo de lacapa lımite resulta ser despreciable frente a la difusion transversal a la misma. Dado queen la capa lımite los efectos viscosos no deben ser despreciados, el orden de magnituddel espesor de la capa lımite δ debe ser tal que el termino de difusion transversal a lacapa lımite sea importante y del mismo orden que los demas terminos de la ecuacion.Igualando su estimacion a la de los terminos convectivos se obtiene finalmente el espesorcaracterıstico de la capa lımite,

δ ∼√νL

U=

L

Re1/2� L, (8)

3

que teniendo que cuenta que el numero de Reynolds de la corriente es grande, resulta sermuy pequeno frente al tamano caracterıstico L del cuerpo.

Otro resultado que pone de manifiesto la ecuacion de la cantidad de movimiento segunx es que las variaciones longitudinales de la presion ∆xp ∼ ρU2 impuestas sobre la capalımite por la solucion exterior no viscosa hacen que el termino −1

ρ∂p∂x sea tan importante

como los terminos convectivos. Por tanto, las fuerzas de presion juegan un papel importanteen el movimiento del fluido tanto en la capa lımite como fuera de ella.

Para determinar el orden de magnitud de las variaciones de presion transversales a lacapa lımite se analiza la ecuacion de conservacion de la cantidad de movimiento segun y.Dado que los efectos metricos debidos a la curvatura de la superficie del cuerpo puedenllegar a ser importantes en esta ecuacion, incluso en el caso de curvaturas moderadasR ∼ L, se incluyen estos en la estimacion de los ordenes de magnitud:

u∂v

∂x+ v

∂v

∂y+ O

(u2

R

)= −1

ρ

∂p

∂y+ ν

(∂2v

∂x2+

∂2v

∂y2

)(9)

Uvc

L∼ v2

c

δ

U2

L

∆yp

ρδνvc

L2� ν

vc

δ2.

Nuevamente los dos primeros terminos del miembro izquierdo de la ecuacion son del mismoorden y la difusion longitudinal de cantidad de movimiento es despreciable frente a ladifusion transversal. Pero ahora ademas la difusion transversal a la capa lımite resultaser despreciable frente al termino de curvatura de orden U2/L, con lo que finalmente lacomparacion del termino de presiones con el termino de curvatura proporciona el ordende magnitud de las variaciones transversales de la presion:

∆yp ∼ ρU2 δ

L� ρU2 ∼ ∆xp. (10)

Este resultado indica que en primera aproximacion la presion en la capa lımite no varıa atraves de la misma y es por tanto igual a la presion impuesta por la corriente exterior:

p(x, y) = pe(x). (11)

Este hecho simplifica considerablemente el problema a resolver, pues la presion deja de seruna incognita para convertirse en un dato en el estudio de la evolucion de la capa lımite.

Resumiendo el analisis de los ordenes de magnitud se ha visto que el espesor carac-terıstico de la capa lımite y la velocidad caracterıstica transversal resultan ser muchomenores que las correspondientes magnitudes a lo largo de la capa lımite, y que la presion,que ahora resulta ser dato del problema, varıa unicamente a lo largo de la capa lımite, yno a traves de ella.

2.2. Ecuaciones de capa lımite

Atendiendo a las estimaciones de los ordenes de magnitud realizadas en el apartadoanterior se esta en disposicion de simplificar las ecuaciones de Navier-Stokes para obtenerel sistema de ecuaciones que describe el movimiento del fluido en la capa lımite:

∂u

∂x+∂v

∂y= 0, (12)

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −1

ρ

dpe

dx+ ν

∂2u

∂y2. (13)

4

Este sistema de ecuaciones es parabolico. Contiene derivadas segundas de u respecto ala coordenada transversal y, lo que permite imponer tanto la condicion de no deslizamientou = 0 sobre la pared como la condicion de acoplamiento con la solucion exterior no viscosa.En cambio las ecuaciones de capa lımite unicamente presentan derivadas primeras de lavelocidad transversal v, por lo que unicamente se puede imponer sobre ella la condicionde contorno de impermeabilidad v = 0 sobre la pared. Por tanto es de esperar que lejosde la pared, ya en la region exterior a la capa lımite, la velocidad transversal v no tiendaal valor de la corriente exterior: v(x, y � δ) 6= 0. En resumen, se tiene que

y = 0 : u = v = 0,y →∞ : u = ue(x). (14)

Ademas de las condiciones de contorno anteriores es necesario imponer una condicioninicial en el origen de la capa lımite, que proporcione el perfil inicial de velocidades:

x = 0 : u = u0(y). (15)

Por ultimo, la presion exterior pe(x) que actua sobre la capa lımite, esta relacionada,como ya se ha visto antes, con la velocidad de deslizamiento ue(x) de la solucion exteriora traves de la ecuacion de Bernouilli (o de la ecuacion de conservacion de la cantidad demovimiento segun la pared):

pe +12ρu2

e = p∞ +12ρU2 ⇔ ue

due

dx=

1ρ

dpe

dx. (16)

En el caso bidimensional que se analiza aquı es posible reducir el problema planteado auna unica ecuacion empleando la funcion de corriente ψ(x, y) como incognita del problema,con lo que la ecuacion de continuidad se satisface automaticamente. Sustituyendo lasexpresiones que vinculan las componentes de la velocidad con la funcion de corriente

u =∂ψ

∂y, v = −∂ψ

∂x(17)

en la ecuacion de conservacion de la cantidad de movimiento segun x se obtiene la siguienteecuacion diferencial de tercer orden para la funcion de corriente:

∂ψ

∂y

∂2ψ

∂x∂y− ∂ψ

∂x

∂2ψ

∂y2= −1

ρ

dpe

dx+ ν

∂3ψ

∂y3, (18)

que debera resolverse conjuntamente con las siguientes condiciones de contorno:

y = 0 : ψ = ψy = 0,y →∞ : ψy = ue(x), (19)x = 0 : ψy = u0(y).

2.3. Propiedades de las ecuaciones de capa lımite

El problema compuesto por las ecuaciones en derivadas parciales (12) y (13) y lascondiciones de contorno (14) y (15) es parabolico, como ya se ha dicho, a diferencia delas ecuaciones de Navier-Stokes originales, que son elıpticas. Este cambio se debe a que la

5

presion ha dejado de ser una incognita y la difusion de cantidad de movimiento a lo largode la capa lımite ha sido despreciada, con lo que ahora la coordenada longitudinal x juegael papel de un pseudotiempo segun el cual la informacion unicamente se puede propagarhacia valores crecientes de x.

Desde el punto de vista de su resolucion numerica, el hecho de que las ecuaciones decapa lımite sean parabolicas presenta una enorme ventaja, pues el problema puede serresuelto como si de un problema unidimensional de evolucion se tratara. Por otro ladoconviene indicar aquı, que existen situaciones de interes en las que la evolucion de la capalımite da lugar a perturbaciones de presion que se transmiten a traves de la corriente noviscosa exterior y vuelven a influir sobre el flujo en la capa lımite aguas arriba del puntodonde tales pertrubaciones se originaron. Dichos casos no pueden ser estudiados mediantelas ecuaciones de capa lımite presentadas en la seccion anterior, y se hace necesario emplearteorıas mas avanzadas tales como la teorıa de capa lımite interactiva.

Una propiedad de gran interes de las ecuaciones de capa lımite es que sus solucionesno dependen del numero de Reynolds del problema. Para ver esto es necesario adimensio-nalizar las ecuaciones empleando las siguientes magnitudes de referencia:

u =u

U, v =

v

vc, x =

x

L, y =

y

δ, p =

p

ρU2, (20)

donde recuerdese que

vc =U√Re, δ =

L√Re. (21)

Las ecuaciones (12) y (13) adimensionalizadas son por tanto

∂u

∂x+∂v

∂y= 0, (22)

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −dpe

dx+∂2u

∂y2, (23)

con las condiciones de contorno siguientes:

y = 0 : u = v = 0,y →∞ : u = ue(x), (24)x = 0 : u = u0(y).

Se puede ver que este problema no depende de la viscosidad del fluido, sino unicamentede la forma del cuerpo en torno al cual se forma la capa lımite, que se manifiesta indirec-tamente a traves de la velocidad de deslizamiento ue(x).

3. Resultados de interes de las ecuaciones de capa lımite

Ademas de para conocer la distribucion de velocidades en el interior de la capa lımite,las soluciones a las ecuaciones de capa lımite permiten determinar tres caracterısticas dela capa lımite de suma importancia, que son el punto de separacion de la capa lımite, elesfuerzo de friccion que genera sobre la pared y su espesor a lo largo de la superficie delcuerpo.

6

(a)

(b)

Figura 2: Visualizacion experimental del fenomeno de separacion de la capa lımite debido a lapresencia de gradientes de presion adversos. (a) Flujo alrededor de un cilindro circular a Re = 2000.(b) Flujo alrededor de un perfil NACA64A015 con un angulo de ataque de 5◦.

3.1. Punto de separacion de la capa lımite

La solucion del problema (12)-(15) determina la distribucion de velocidad en la capalımite. Como se vera mas adelante, esta solucion puede desarrollar una singularidad ydejar de existir aguas abajo de un cierto punto, cuando el gradiente de presion que actuasobre la capa lımite es adverso (dpe/dx > 0). Esta singularidad se puede identificar con laseparacion de la capa lımite y, cuando ocurre, es esencial determinar su posicion, pues deella depende la estructura del flujo exterior y la distribucion de presion sobre el cuerpo. LaFigura 2 muestra dos casos en los que la capa lımite, incapaz de afrontar el gradiente depresiones adverso impuesto por la corriente exterior, se separa de la superficie del cuerpoy modifica sustancialmente la solucion exterior no viscosa. El resultado, a primera vistaparadojico, es que el calculo del fallo de la aproximacion de capa lımite es el elemento masimportante de la solucion del problema obtenido con esta aproximacion.

Conviene resaltar que la posicion del punto de separacion es independiente del numerode Reynolds (en tanto en cuanto la capa lımite se mantenga laminar), y unicamentedepende de la forma del cuerpo. Esto es consecuencia de la propiedad de las ecuacionesde capa lımite demostrada al final de la seccion anterior.

7

3.2. Esfuerzo de friccion en la pared

Como se ha visto en el apartado anterior, la determinacion del punto de separacion,resultado de tener en cuenta los efectos viscosos en la proximidad del cuerpo, resultaser esencial para poder conocer la distribucion de presiones sobre el cuerpo y con ello lafuerza de presion que el fluido ejerce sobre el mismo (la llamada resistencia de forma). Perolos efectos viscosos tambien tienen su contribucion directa a la fuerza que experimenta elcuerpo. Puesto que en la capa lımite los esfuerzos viscosos son importantes, estos ejerceranun esfuerzo de friccion sobre la pared y por tanto proporcionan tambien una contribuciona la fuerza que ejerce el fluido sobre el cuerpo. A partir de las estimaciones obtenidaspara la velocidad u y para el espesor de la capa lımite δ, es inmediato estimar el orden demagnitud de estos esfuerzos viscosos:

τw = µ∂u

∂y

∣∣∣∣y=0

∼ µU

δ∼ ρU2

Re1/2. (25)

Esta estimacion muestra que la contribucion directa de la viscosidad a la fuerza ejercidapor el fluido sobre un cuerpo romo es mucho menor que la proveniente de la presion, que esde orden ρU2. A pesar de ello, y como ya se ha recalcado anteriormente, la viscosidad juegaun papel esencial en la determinacion de las fuerzas aerodinamicas debido al fenomeno deseparacion de la capa lımite y su influencia sobre la distribucion de presiones.

En el caso particular importante de un cuerpo aerodinamico alineado con la corriente,la capa lımite puede permanecer adherida hasta muy cerca del borde de salida. En este casolas variaciones de presion son mucho menores que ρU2 sobre la mayor parte del cuerpo,y las contribuciones de la presion y de los esfuerzos viscosos a la fuerza sobre el cuerpopueden ser del mismo orden.

3.3. Espesor de la capa lımite

Otro resultado importante del estudio de la capa lımite es su espesor y como este varıaa lo largo de la pared. El conocimiento del espesor de la capa lımite permite calcular lacorreccion que la presencia de la capa lımite adherida introduce en la corriente exterior.Hasta ahora solo se ha obtenido una estimacion del orden de magnitud del espesor, queindica que este es muy pequeno comparado con la longitud caracterıstica L del cuerpo:

δ ∼ L

Re1/2. (26)

Pero serıa conveniente disponer de una deficion mas precisa del mismo. Una posible defini-cion consiste en tomar como espesor δ de la capa lımite aquella distancia de la pared parala cual el perfil de velocidades u(x) alcanza el 99 % de la velocidad ue(x) de la corrienteexterior:

u(x, y = δ(x)) = 0.99ue(x). (27)

Esta definicion no deja de ser un tanto arbitraria, puesto que el porcentaje elegido podrıaser tambien cualquier otro, por ejemplo el 95 %, el 98 % o el 99.99 %. Por ese motivoconviene buscar una definicion con un trasfondo mas fısico. La definicion mas conocida y

8

x

y = H

U

y = Y + δ∗

y = Yue(x)

Figura 3: Esquema de la evolucion de una lınea de corriente en ausencia (lınea a trazos) y presencia(lınea continua) de la capa lımite (lınea a puntos).

util de las existentes es la del llamado espesor de desplazamiento δ∗ que tiene la siguienteexpresion:

δ∗ =∫ ∞

0

(1− u

ue

)dy. (28)

El espesor de desplazamiento mide el desplazamiento que sufre una lınea de corrienteproxima al cuerpo, pero fuera de la capa lımite, debido a la presencia de la capa lımite. Paracomprobarlo basta considerar la evolucion con x de una lınea de corriente que inicialmente(en x = 0) pase a una distancia H de la superficie, con δ � H � L. En ausencia de capalımite (para un fluido estrictamente ideal), la velocidad entre esta lınea de corriente yla superficie del cuerpo sera ue(x), y la evolucion con x de la lınea de corriente serıa laindicada por la curva a trazos en la Figura 3. Cuando la viscosidad del fluido no es nula,la presencia de la capa lımite modifica esta velocidad y con ello la posicion de la lınea decorriente, que pasa a ser la curva continua de la figura. Como el flujo que pasa entre lalınea de corriente y la pared es el mismo en ambos casos, se tiene que

UH =∫ Y

0ue(x) dy =

∫ Y +δ∗(x)

0u dy, (29)

donde δ∗(x) es el desplazamiento sufrido por la lınea de corriente (distancia vertical entrela curva de trazos y la continua en la figura). Como Y es muy grande en comparacion conel espesor de la capa lımite, el ultimo termino de esta ecuacion puede escribirse como∫ Y +δ∗(x)

0u dy =

∫ Y

0u dy +

∫ Y +δ∗(x)

Yu dy =

∫ Y

0u dy + ue(x)δ∗(x), (30)

y por tanto

ue(x)δ∗(x) =∫ Y

0(ue − u) dy =

∫ ∞

0(ue − u) dy, (31)

donde la ultima igualdad refleja que el resultado es independiente del valor de Y porqueu tiende exponencialmente a ue antes de alcanzar el lımite superior de la integral.

Otra definicion mas del espesor de la capa lımite que es de interes en ciertas aplicacio-nes, es el espesor de cantidad de movimiento δ∗∗ dado por

δ∗∗ =∫ ∞

0

u

ue

(1− u

ue

)dy. (32)

9

U

p∞

≈

xy

Figura 4: Esquema del flujo incompresible alrededor de una placa plana, infinitamente delgaday de longitud semiinfinita, que se encuentra a angulo de ataque nulo en el seno de una corrienteuniforme.

Puede demostrarse siguiendo pasos similares a los empleados para el espesor de desplaza-miento, que δ∗ + δ∗∗ es la cantidad que hay que desplazar la superficie del cuerpo hacia elinterior del fluido para que, suponiendo que todo el fluido se mueve a la velocidad exteriorue, pase el mismo flujo de cantidad de movimiento que pasa por la capa lımite real.

4. Capa lımite sobre una placa plana

Conviene, desde el punto de vista didactico, comenzar viendo y analizando el casomas sencillo posible de capa lımite laminar, que resulta ser la que se forma sobre unaplaca plana semiinfinita de espesor nulo alineada con una corriente uniforme. La Figura 4muestra el esquema del problema a estudiar. Al igual que se ha venido haciendo en todoslos apartados anteriores, se va a suponer que la densidad y la viscosidad del fluido sonconstantes.

Dado que la viscosidad del fluido es pequena, sus efectos pueden despreciarse en lamayor parte del campo fluido, con lo que el flujo alrededor de la placa plana viene descritoen primera aproximacion por las ecuaciones de Euler incompresibles

∇ · v = 0, ρv · ∇v = −∇p, (33)

que deben ser completadas con las siguientes condiciones de contorno en el infinito y sobrela placa plana:

y →∞ : u = U, v = 0, p = p∞,

x > 0, y = 0 : v = 0. (34)

Puesto que la placa plana se encuentra alineada con la corriente incidente y sobre estasolo se puede imponer que la velocidad normal a ella sea nula, la solucion al problema esinmediata de obtener:

u = U, v = 0, p = p∞. (35)

En definitiva esta solucion muestra que la corriente incidente no es afectada por la presenciade la placa plana en ausencia de efectos viscosos. Este resultado concuerda bastante biencon lo que se observa en la realidad. La Figura 5 muestra el flujo alrededor de una placaplana de longitud finita y a un numero de Reynolds elevado. Las lıneas de corriente, visiblesgracias a diminutas burbujas de aire, casi no se deflectan a su paso por la placa plana. Tansolo muy cerca de la placa plana aparece una zona afectada que resulta ser muy delgada

10

Figura 5: Visualizacion experimental del flujo incompresible alrededor de una placa plana a angulode ataque nulo y a un numero de Reynolds de 104.

en comparacion con la longitud de la placa plana: son las capas lımite que se forman sobreambas caras de la placa.

El movimiento dentro de estas capas lımite viene descrito por las ecuaciones de capalımite deducidas anteriormente. Puesto que la corriente exterior a la capa lımite presentauna presion constante, pe = p∞, el termino de presiones es identicamente nulo, con lo quelas ecuaciones a resolver se reducen a

∂u

∂x+∂v

∂y= 0, (36)

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= ν

∂2u

∂y2, (37)

con las siguientes condiciones de contorno sobre la placa plana y lejos de ella:

x = 0 : u = U,

x > 0, y = 0 : u = v = 0, (38)y →∞ : u = U.

Analogamente, si se prefiere utilizar la funcion de corriente ψ(x, y) como incognita delproblema, la ecuacion diferencial correspondiente tambien se simplifica en el caso particulardel flujo alrededor de una placa plana, quedando finalmente de la manera siguiente:

∂ψ

∂y

∂2ψ

∂x∂y− ∂ψ

∂x

∂2ψ

∂y2= ν

∂3ψ

∂y3, (39)

que debera resolverse conjuntamente con las siguientes condiciones de contorno:

x = 0 : ψy = U,

x > 0, y = 0 : ψ = ψy = 0, (40)y →∞ : ψy = U.

4.1. Solucion de Blasius

El problema planteado en el apartado anterior no admite solucion analıtica y por ellodebe ser resuelto de forma numerica. A pesar de ello es posible simplificar considerable-mente el problema viendo que las ecuaciones de capa lımite a resolver admiten una solucion

11

de semejanza (Blasius 1908). La naturaleza parabolica de las ecuaciones combinada conla ausencia de una dimension espacial caracterıstica (debida a la infinita delgadez de laplaca y a su semiinfinita longitud) hacen que la posicion x sobre la placa plana juegue elpapel de longitud caracterıstica del problema.

La condicion de que los terminos convectivos y viscosos sean del mismo orden dentrode la capa lımite propociona el orden de magnitud del espesor δ(x) de la capa lımite ycomo este evoluciona a lo largo de la placa plana:

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= ν

∂2u

∂y2

U2

x∼ Uvc

δ∼ ν

U

δ2⇒ δ ∼

√νx

U. (41)

Es interesante ver que la capa lımite va creciendo a medida que avanza sobre la placaplana, y que lo hace a un ritmo proporcional a la raız cuadrada de x. Por tanto paracada seccion x se tendra un espesor caracterıstico δ distinto. Analogamente, la funcion decorriente, que va a ser la incognita del problema, tambien tendra un valor caracterısticodistinto en cada seccion:

ψc ∼ Uδ ∼√νUx. (42)

Atendiendo a estas estimaciones de los ordenes de magnitud para δ y ψ se van a buscarsoluciones de semejanza al problema de la capa lımite sobre una placa plana de la forma

η = y

√U

2νx, ψ =

√2νUxf(η). (43)

donde los factores 2 se introducen por conveniencia. Sustituyendo estas expresiones parala coordenada y y la funcion de corriente ψ en la ecuacion (39) y en las correspondientescondiciones de contorno (40) se obtiene la siguiente ecuacion diferencial ordinaria, llamadaecuacion de Blasius, con las correspondientes condiciones de contorno:

f ′′′ + ff ′′ = 0, f(0) = f ′(0) = 0, f ′(∞) = 1. (44)

La solucion a este problema diferencial no-lineal, que forzosamente ha de obtenerse numeri-camente, resulta ser universal dado que ni en la ecuacion ni en las condiciones de contornoaparece parametro alguno. La Figura 6(a) muestra dicha solucion y sus derivadas primeray segunda en funcion de la variable de semejanza η. Dado que las componentes de lavelocidad vienen dadas en funcion de f(η) por las expresiones siguientes

u = Uf ′(η), v =

√νU

2x(ηf ′ − f

), (45)

la Figura 6(a) muestra, entre otras cosas, el perfil de velocidades longitudinales u. Resultaconveniente comparar dicho perfil de velocidades con mediciones obtenidas experimen-talmente con el fin de evaluar como de bien aproximan las ecuaciones de capa lımite larealidad y como de buena es la solucion de semejanza obtenida por Blasius. La Figura 6(b)muestra dicha comparacion, en la cual queda de manifiesto la validez de las ecuaciones decapa lımite.

A partir del perfil de velocidades longitudinales u es posible calcular diversas mag-nitudes adicionales relacionadas con la capa lımite, su evolucion a lo largo de la placa

12

(a)

(b)

Figura 6: (a) Solucion de semejanza de Blasius para la capa lımite que se forma sobre unaplaca plana semiinfinita alineada con una corriente uniforme. (b) Comparacion de la solucion desemejanza de Blasius con medidas experimentales.

13

plana y su impacto sobre la corriente exterior. Primeramente interesa obtener el espesorde desplazamiento δ∗, para lo cual se sustituyen las expresiones (45) en su definicion (28),obteniendose finalmente:

δ∗(x) =∫ ∞

0

(1− u

U

)dy =

√2νxU

∫ ∞

0

(1− f ′

)dη

=

√2νxU

[η − f(η)]η→∞ = 1.721√νx

U= 1.721

x

Re1/2x

, (46)

donde por conveniencia se ha introducido el numero de Reynolds basado en la distancia xde desarrollo de la capa lımite sobre la placa plana:

Rex =Ux

ν. (47)

Ademas del espesor de desplazamiento interesa conocer el esfuerzo de friccion local queejerce el fluido sobre la placa plana, que en este caso es el unico responsable de la fuerzasobre el cuerpo. Nuevamente, sustitutiendo las expresiones (45) en la expresion para elesfuerzo de pared se obtiene:

τw = µ∂u

∂y

∣∣∣∣y=0

= µU

√U

2νxf ′′(0) = 0.332µU

√U

νx= 0.332

ρU2

Re1/2x

. (48)

Una manera conveniente de expresar este esfuerzo de friccion es adimensionalizandolo conla presion dinamica de la corriente 1

2ρU2, obteniendose entonces el llamado coeficiente de

friccion local :

cf =τw

12ρU

2=

0.664

Re1/2x

. (49)

En el caso de que la placa plana sea de longitud finita L, los resultados aquı obtenidossiguen siendo validos siempre que la coordenada x < L.

5. Efecto del gradiente de presiones

En la seccion anterior se ha estudiado el caso particular de capa lımite en el cual lacorriente exterior no impone gradiente de presiones alguno sobre ella. Pero en generalla forma del cuerpo da lugar a distribuciones de presiones exteriores pe(x) que no sonconstantes a lo largo de su superficie. En ese caso es necesario resolver las ecuaciones decapa lımite completas, tal como aparecen en (12) y (13):

∂u

∂x+∂v

∂y= 0, (50)

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −1

ρ

dpe

dx+ ν

∂2u

∂y2. (51)

El flujo en la capa lımite ve el gradiente de presiones como una fuerza uniforme que,o bien acelera la corriente (gradiente de presiones favorable: dpe/dx < 0), o bien la frena(gradiente de presiones adverso: dpe/dx > 0). La Figura 7 muestra los diferentes escenarios

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Figura 7: Efecto del gradiente de presiones sobre la evolucion de la capa lımite.

que se pueden dar. Para entender mejor esta figura conviene particularizar la ecuacion deconservacion de la cantidad de movimiento segun x justo en la pared:

∂2u

∂y2

∣∣∣∣y=0

=1µ

dpe

dx. (52)

Si el gradiente de presiones es nulo, como sucede en el caso de la placa plana estudiadoen la seccion anterior, entonces el perfil de velocidades presenta un punto de inflexionsituado justo en la pared: Figura 7(b). Dicho punto de inflexion desaparece si el gradientede presiones es favorable, como se muestra en la Figura 7(a). Si en cambio la capa lımite seencuentra con gradientes de presiones adversos, entonces el signo de ∂2u

∂y2 debe cambiar entrela pared y el exterior de la capa lımite, por lo que habra al menos un punto de inflexionen el interior del fluido. Esto hace a la capa lımite mas susceptible de volverse inestable,porque un punto de inflexion de la velocidad dentro del fluido equivale a un extremo dela vorticidad (ω ∼ −∂u

∂y en la aproximacion de capa lımite) a una cierta distancia de lapared. Si el gradiente de presiones adverso actua durante suficiente tiempo, entonces sealcanza un punto en el cual el esfuerzo de friccion en la pared se anula, tal como muestrala Figura 7(d):

τw = µ∂u

∂y

∣∣∣∣y=0

= 0. (53)

El punto sobre la superficie del cuerpo en el cual se alcanza esta condicion recibe el nombrede punto de separacion de la capa lımite, y es de gran relevancia para el estudio de flujosa altos numeros de Reynolds, como ya se ha mencionado anteriormente.

Pasado el punto de separacion de la capa lımite aparece un flujo inverso, mostrado enla Figura 7(e), que no puede ser descrito mediante las ecuaciones de capa lımite, puestoque estas son parabolicas y no admiten que informacion viaje aguas arriba de la capa

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πβU

Figura 8: Flujo potencial alrededor de una cuna de angulo πβ.

lımite. Por tanto las ecuaciones de capa lımite describen correctamente la evolucion dela capa lımite hasta que esta llega al punto de separacion, a partir del cual dejan de servalidas.

El estudio de la singularidad de la solucion de las ecuaciones (50) y (51) en el puntode separacion se debe a Goldstein (1948). Un estudio mas reciente de la capa lımite entorno al punto de separacion, incluyendo el comienzo de la region de flujo inverso, ha sidollevado a cabo por Smith (1977) usando la teorıa de la capa lımite interactiva mencionadaanteriormente.

5.1. Soluciones de Falkner-Skan

Para determinadas distribuciones de velocidades de deslizamiento ue(x), y por tantode presiones exteriores pe(x), es posible seguir encontrando soluciones de semejanza de lasecuaciones de capa lımite. Estas soluciones, descubiertas por Falkner y Skan en 1931, yposteriormente calculadas numericamente por Hartree en 1937, representan, entre otras,las capas lımite que se forman sobre cunas tales como la representada en la Figura 8.El flujo potencial alrededor de una cuna de angulo πβ da lugar a una distribucion develocidades de deslizamiento ue(x) a lo largo de la pared de la forma

ue(x) = Axm, (54)

donde el exponente m y el angulo πβ de la cuna estan relacionados entre sı a traves de laexpresion siguiente:

β =2mm+ 1

. (55)

Mediante el analisis dimensional es posible ver que el problema de la capa lımite sobreuna cuna admite una solucion de semejanza en terminos de las variables

η = y

√m+ 1

2ue(x)νx

, ψ =

√2

m+ 1νxue(x)f(η). (56)

Sustituyendo estas variables en la ecuacion (18) para la funcion de corriente se obtiene elsiguiente problema para la funcion f(η):

f ′′′ + ff ′′ + β(1− f ′2) = 0, f(0) = f ′(0) = 0, f ′(∞) = 1. (57)

Este problema es muy similar al obtenido por Blasius para el caso de la capa lımite sobreuna placa plana, y de hecho se reduce a el en el caso particular de β = 0. Al igual que sucedecon la ecuacion de Blasius, la solucion a la ecuacion (57) ha de obtenerse numericamente,

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Figura 9: Soluciones de semejanza de Falkner-Skan para la capa lımite que se forma sobre unacuna de angulo πβ para diferentes valores del parametro β.

aunque en este caso habra que calcular toda una familia de soluciones en funcion delparametro β.

La Figura 9 recoge varias de dichas soluciones para diferentes valores de β. Tal comose anticipaba en la discusion general del efecto del gradiente de presiones sobre el compor-tamiento de la capa lımite, valores positivos de β, que se corresponden con gradientes depresion favorables, hacen que la capa lımite se vuelva mas delgada y dan lugar a perfilesde velocidades carentes de punto de inflexion. En cambio, valores negativos de β, que secorresponden con gradientes de presion adversos, hacen que el perfil de velocidades longi-tudinales u presente un punto de inflexion, lo cual hace a la capa lımite mas susceptiblea volverse inestable, como ya se ha comentado en la seccion anterior. Finalmente, para elvalor especial de β = −0.199 el esfuerzo de friccion es nulo en cualquier punto de la pared.

6. Efecto de la succion/soplado

Se ha visto en las secciones anteriores que cuando el gradiente de presiones es adverso,la capa lımite se puede separar de la superficie del cuerpo, alterando significantivamente lasolucion exterior y con ello la distribucion de presiones sobre el cuerpo. Una manera muyeficaz de evitar, o al menos retrasar, el fenomeno de separacion de la capa lımite consisteen succionar a traves de la pared la parte de la capa lımite mas proxima a ella, en la cuallas velocidades son bajas y por tanto es mas sensible a los gradiente de presion adversos. LaFigura 10 muestra una foto experimental tomada por Ludwig Prandtl en 1904 del efectoque tiene la succion sobre el flujo alrededor de un cilindro. En la parte inferior del cilindro,donde no se aplica succion alguna, se observa que la capa lımite se separa poco despues depasar por el punto extremo del cilindro, dando lugar a una elevada resistencia de forma.En cambio la capa lımite sobre la parte superior del cilindro permanece adherida hastabien pasado el punto extremo gracias a la succion que se realiza a traves de una delgadarendija visible en la foto experimental.

Este resultado tan espectacular hizo que ya durante la Segunda Guerra Mundial seinvestigara la posibilidad de emplear la succion con el fin de controlar la separacion de lacapa lımite en las alas de los aviones militares. Por ejemplo, la Figura 11 muestra experi-

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Figura 10: Foto experimental del flujo alrededor de un cilindro circular con succion de la capalımite a traves de una delgada rendija situada en la parte superior del cilindro.

(a) (b)

Figura 11: Efecto de la succion en el desprendimiento de la capa lımite sobre el ala de un avionen configuracion de aterrizaje (con los dispositivos hipersustentadores desplegados). (a) La capalımite se deprende masivamente justo delante del flap. (b) La capa lımite permanece adherida alala gracias a la succion realizada justo antes del dispositivo hipersustentador.

mentos realizados en vuelo por los ingenieros alemanes en el ano 1940. Mediante el pegadode hilos o cintas a la superficie del ala puede visualizarse el estado adherido/separado dela capa lımite. En ausencia de succion la Figura 11(a) muestra como la capa lımite sedesprende del ala al no ser capaz de seguir a los dispositivos hipersustentadores que seencuentran desplegados. Por otro lado la succion justo antes de dichos dispositivos haceque la capa lımite no se desprenda, tal como se ve en la Figura 11(b).

En general el estudio del efecto que tiene la succion o el soplado sobre la evolucion dela capa lımite requiere resolver numericamente las ecuaciones (12) y (13) con las siguientescondiciones de contorno:

y = 0 : u = 0, v = vw(x),x = 0 : u = u0(y), (58)

y →∞ : u = ue(x),

en las cuales la condicion de impermeabilidad de la pared ha sido sustituida por unadistribucion de soplado vw(x) (succion si vw(x) < 0). La influencia del soplado o la succionse manifiesta pues a traves de la condicion de contorno en y = 0.

Para distribuciones generales de succion/soplado sera necesario resolver el sistema deecuaciones en derivadas parciales correspondiente, pero si se considera el caso particularde una placa plana a angulo de ataque nulo con una distribucion de succion/soplado vw(x)

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de la formavw(x) = v∗w

U

Re1/2x

, (59)

en la cual v∗w es una constante arbitraria, entonces es posible volver a encontrar solucionesde semejanza de las ecuaciones de la capa lımite, y por tanto reducir el problema a unaecuacion diferencial ordinaria, cuya resolucion numerica resulta ser mucho mas sencillaque la del problema general.

Empleando las mismas variables de semejanza que para la solucion de Blasius de laseccion 4,

η = y

√U

2νx, ψ =

√2νUxf(η) (60)

se obtiene el siguiente problema diferencial, que salvo por el cambio de una de las condi-ciones de contorno sobre la placa, es identico al planteado por Blasius:

f ′′′ + ff ′′ = 0, f(0) = −√

2v∗w, f ′(0) = 0, f ′(∞) = 1.

Nuevamente la familia de soluciones funcion del parametro libre v∗w ha de calcularsenumericamente. La Figura 12 muestra varias soluciones obtenidas para diferentes valo-res de v∗w. Para valores negativos de v∗w, que corresponden a succion, se puede ver que lacapa lımite se vuelve mas delgada. Aparte de hacer que esta se vuelva mas robusta frenteal fenomeno de separacion, el estrechamiento tambien tiene el efecto, a veces no desea-do, de aumentar los esfuerzos de friccion en la pared, dado que el gradiente de velocidad(τw = µ ∂u

∂y

∣∣∣y=0

) sera mayor. En el extremo opuesto, para valores positivos de v∗w, que

corresponden a soplado, se puede ver en la Figura 12 que la capa lımite se vuelve masgruesa y aparece un punto de inflexion en el perfil de velocidades longitudinales u, lo cualhace que la capa lımite laminar sea menos robusta frente a la transicion a la turbulencia.Por otro lado, al reducirse los gradientes de velocidades, los esfuerzos de friccion en lapared disminuyen. Si se sopla lo suficientemente fuerte, es incluso posible llegar a anularel valor de τw, lo que provoca la separacion de la capa lımite. Esto sucede para el valorcrıtico v∗w = 0.619.

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Figura 12: Soluciones de semejanza de las ecuaciones que describen la capa lımite que se formasobre una placa plana a traves de la cual se aplica una succion/soplado de la forma vw(x) =v∗w(U/Re1/2

x ).

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