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Interacciones del Algebra y la Geometrıa en elgrupo de trenzas

Seminario PhDIMUS

Marta Aguilera

Universidad de Sevilla

27 de Junio, 2013

M. Aguilera (U. Sevilla) Seminario PhD, IMUS 27 de Junio, 2013 1 / 26

Interacciones del Algebra y la Geometrıa en el grupo de trenzas Presentacion de Bn

Grupo de trenzas con n cuerdas Bn

Presentacion de Bn

⟨σ1, σ2 . . . , σn−1 :

σiσj = σjσi |i − j | > 1σiσjσi = σjσiσj |i − j | = 1

Generadores

Producto

Relaciones

Generadores

ProductoProducto

Relaciones

Generadores

ProductoProducto

Relaciones

Generadores

ProductoRelaciones

Generadores

ProductoRelaciones

Generadores

ProductoRelaciones

Problema de la palabra

¿Como saber si dos palabras representan la misma trenza?

Interacciones del Algebra y la Geometrıa en el grupo de trenzas Bn como grupo de Garside

Estructura de Garside

Estructura de Garside: (Bn,B+n ,∆).

B+n monoide de trenzas positivas Orden parcial 4.

∆ ∈ B+n elemento de Garside.

[1,∆] genera Bn.τ(B+

n ) = ∆−1B+n ∆ = B+

nZ (Bn) = 〈∆2〉

B+n monoide de trenzas positivas

Orden parcial 4.∆ ∈ B+

n elemento de Garside.

n ) = ∆−1B+n ∆ = B+

nZ (Bn) = 〈∆2〉

n ) = ∆−1B+n ∆ = B+

nZ (Bn) = 〈∆2〉

n ) = ∆−1B+n ∆ = B+

nZ (Bn) = 〈∆2〉

[1,∆] genera Bn.

τ(B+n ) = ∆−1B+

n ∆ = B+n

Z (Bn) = 〈∆2〉

n ) = ∆−1B+n ∆ = B+

Z (Bn) = 〈∆2〉

n ) = ∆−1B+n ∆ = B+

nZ (Bn) = 〈∆2〉

Elementos simples en B3

[1,∆] en B3

Forma normal en Bn

Definicion

Forma normal en B+n

β = ∆r s1s2 . . . s`, r ∈ N

si ∈ [1,∆] mayor prefijo de sisi+1 . . . s`.

∀β ∈ Bn, ∃r ∈ N s.t . ∆rβ ∈ B+n .

DefinicionForma normal en Bn

∆rβ = s1s2 . . . s` F.N.⇒ β = ∆−r s1s2 . . . s` F.N.

r mınimo. Longitud canonica `(β) = `.

Forma normal en Bn

Definicion

Forma normal en B+n

β = ∆r s1s2 . . . s`, r ∈ N

∀β ∈ Bn, ∃r ∈ N s.t . ∆rβ ∈ B+n .

∆rβ = s1s2 . . . s` F.N.⇒ β = ∆−r s1s2 . . . s` F.N.

Forma normal en Bn

Definicion

Forma normal en B+n

β = ∆r s1s2 . . . s`, r ∈ N

∀β ∈ Bn, ∃r ∈ N s.t . ∆rβ ∈ B+n .

∆rβ = s1s2 . . . s` F.N.

⇒ β = ∆−r s1s2 . . . s` F.N.

Forma normal en Bn

Definicion

Forma normal en B+n

β = ∆r s1s2 . . . s`, r ∈ N

∀β ∈ Bn, ∃r ∈ N s.t . ∆rβ ∈ B+n .

∆rβ = s1s2 . . . s` F.N.⇒ β = ∆−r s1s2 . . . s` F.N.

Forma normal en Bn

Definicion

Forma normal en B+n

β = ∆r s1s2 . . . s`, r ∈ N

∀β ∈ Bn, ∃r ∈ N s.t . ∆rβ ∈ B+n .

∆rβ = s1s2 . . . s` F.N.⇒ β = ∆−r s1s2 . . . s` F.N.

r mınimo.

Longitud canonica `(β) = `.

Forma normal en Bn

Definicion

Forma normal en B+n

β = ∆r s1s2 . . . s`, r ∈ N

∀β ∈ Bn, ∃r ∈ N s.t . ∆rβ ∈ B+n .

∆rβ = s1s2 . . . s` F.N.⇒ β = ∆−r s1s2 . . . s` F.N.

r mınimo. Longitud canonica `(β) = `.M. Aguilera (U. Sevilla) Seminario PhD, IMUS 27 de Junio, 2013 7 / 26

Forma normal en B3

stst+1 esta en FN ⇐⇒ (. . . σi)︸︷︷︸st

(σi . . .)︸︷︷︸st+1

LemaForma normal de β

β = ∆s (σ1)p1 σ1σ2 σ2σ1 . . . σ1σ2︸︷︷︸q1 factores

(σ2)p2 . . . (σ1)pr σ1σ2 · σ2σ1 . . . σ1σ2︸︷︷︸qr factores

s ∈ Z, pi ,qi ∈ N.

Escribiremos

(s; i ; p1,q1, . . .pr ,qr ) ∈ Z× {1,2} × N2r

Forma normal en B3

(σi . . .)︸︷︷︸st+1

s ∈ Z, pi ,qi ∈ N.

Escribiremos

(s; i ; p1,q1, . . .pr ,qr ) ∈ Z× {1,2} × N2r

Forma normal en B3

(σi . . .)︸︷︷︸st+1

s ∈ Z, pi ,qi ∈ N.

Escribiremos

(s; i ; p1,q1, . . .pr ,qr ) ∈ Z× {1,2} × N2r

Trenzas rıgidas

Definicionβ ∈ B3 es rıgida si:

β = ∆2kσi . . . σi β = ∆2k+1σj . . . σi

Proposicion

β ∈ B3, ∃β ∼ β tal que β rıgida.`(β) es la mınima en [β].

Trenzas rıgidas

β = ∆2kσi . . . σi β = ∆2k+1σj . . . σi

Proposicion

β ∈ B3, ∃β ∼ β tal que β rıgida.

`(β) es la mınima en [β].

Trenzas rıgidas

β = ∆2kσi . . . σi β = ∆2k+1σj . . . σi

Proposicion

β ∈ B3, ∃β ∼ β tal que β rıgida.`(β) es la mınima en [β].

Interacciones del Algebra y la Geometrıa en el grupo de trenzas Bn como mapping class group

Mapping Class Group

DefinicionS superficie orientable

MCG(S) ={

Homeo+(S) mod isotopıa}

Ejemplo

MCG(S2) = {1}

Mapping Class Group

MCG(S) ={

Ejemplo

MCG(S2) = {1}

Mapping Class Group

MCG(S) ={

Ejemplo

MCG(S2) = {1}

Mapping Class Group

MCG(S) ={

Ejemplo

MCG(S2) = {1}

Mapping Class Group

MCG(S) ={

Ejemplo

MCG(S2) = {1}

Ejemplo

T 2 ' R2/Z2

Aut(T 2) ' Aut(Z⊕ Z)

MCG(T 2) = SL2(Z)

¿Elementos fijos?

(a bc d

) P(x) = x2 − tr(A)x + 1

tr(A)±√

tr(A)2 − 42

Ejemplo

T 2 ' R2/Z2 Aut(T 2) ' Aut(Z⊕ Z)

MCG(T 2) = SL2(Z)

¿Elementos fijos?

(a bc d

) P(x) = x2 − tr(A)x + 1

tr(A)±√

tr(A)2 − 42

Ejemplo

T 2 ' R2/Z2 Aut(T 2) ' Aut(Z⊕ Z)

MCG(T 2) = SL2(Z)

¿Elementos fijos?

(a bc d

) P(x) = x2 − tr(A)x + 1

tr(A)±√

tr(A)2 − 42

Ejemplo

T 2 ' R2/Z2 Aut(T 2) ' Aut(Z⊕ Z)

MCG(T 2) = SL2(Z)

¿Elementos fijos?

(a bc d

) P(x) = x2 − tr(A)x + 1

tr(A)±√

tr(A)2 − 42

Ejemplo

T 2 ' R2/Z2 Aut(T 2) ' Aut(Z⊕ Z)

MCG(T 2) = SL2(Z)

¿Elementos fijos?

(a bc d

P(x) = x2 − tr(A)x + 1 tr(A)±

√tr(A)2 − 42

Ejemplo

T 2 ' R2/Z2 Aut(T 2) ' Aut(Z⊕ Z)

MCG(T 2) = SL2(Z)

¿Elementos fijos?

(a bc d

) P(x) = x2 − tr(A)x + 1

tr(A)±

√tr(A)2 − 42

Ejemplo

T 2 ' R2/Z2 Aut(T 2) ' Aut(Z⊕ Z)

MCG(T 2) = SL2(Z)

¿Elementos fijos?

(a bc d

) P(x) = x2 − tr(A)x + 1

tr(A)±√

tr(A)2 − 42

Si tr(A) = 0,1, A periodico. Ejemplo:(

1 −21 −1

Si tr(A) = 2, A reducible. Ejemplo:(

3 2−2 −1

)Si tr(A) > 2, A Anosov.

1 −21 −1

3 2−2 −1

1 −21 −1

3 2−2 −1

1 −21 −1

3 2−2 −1

1 −21 −1

3 2−2 −1

1 −21 −1

3 2−2 −1

Si tr(A) > 2, A Anosov.

1 −21 −1

3 2−2 −1

1 −21 −1

3 2−2 −1

Mapping Class Group

Bn = MCG(Dn, ∂Dn)

Bn/〈∆2〉 = MCG(Dn)

Mapping Class Group

Bn = MCG(Dn, ∂Dn)

Mapping Class Group

Bn = MCG(Dn, ∂Dn)

Mapping Class Group

Bn = MCG(Dn, ∂Dn)

Mapping Class Group

Bn = MCG(Dn, ∂Dn)

Mapping Class Group

Bn = MCG(Dn, ∂Dn)

Mapping Class Group

Bn = MCG(Dn, ∂Dn)

Mapping Class Group

Bn = MCG(Dn, ∂Dn)

Teorema de clasificacion de Nielsen-Thurston

Teorema∀β ∈ Bn

β es periodica.β es reducible (no periodica).β es pseudo-Anosov.

Pseudo Anosov Fu,Fs ⊆ Dn foliaciones mesuradas transversas:

Teorema∀β ∈ Bn

Caso periodico ∃ k , s ∈ N tal que βk = ∆2s

Teorema∀β ∈ Bn

Caso reducible ∃C ⊆ Dn 1-variedad tal que β(C) = C.

Teorema∀β ∈ Bn

Train tracks

Sea Γ un grafo tal que:

π1(Γ) = Fn.Vertices de valencia al menos 3.Tangentes bien definidas en los vertices.

DefinicionΓ es un train track para β si

β(Γ) ⊆ N(Γ) respetando tangencias.

Train tracks

Sea Γ un grafo tal que:π1(Γ) = Fn.

Vertices de valencia al menos 3.Tangentes bien definidas en los vertices.

Train tracks

Sea Γ un grafo tal que:π1(Γ) = Fn.Vertices de valencia al menos 3.

Tangentes bien definidas en los vertices.

Train tracks

Sea Γ un grafo tal que:π1(Γ) = Fn.Vertices de valencia al menos 3.Tangentes bien definidas en los vertices.

Train tracks

Sea Γ un grafo tal que:π1(Γ) = Fn.Vertices de valencia al menos 3.Tangentes bien definidas en los vertices.

Ejemplo β = σ1σ−12

Informacion a partir de train tracks

(1 11 2

λ =3 +√

−→v λ =

(1 +√

(1 11 2

3 +√

−→v λ =

(1 +√

(1 11 2

3 +√

−→v λ =

(1 +√

(1 11 2

3 +√

−→v λ =

(1 +√

Representantes de [β]

β1 ∼ β2 ⇒ β1, β2 son del mismo tipo N.T.

Teorema (Murasugi)Todo β ∈ B3 es conjugada a:si β es periodica ∆s, ∆2s+1σ1 o ∆2sσ1σ2.

si β es reducible∆2sσk

1 , k > 0.∆s σ1σ2 . . . σ2σ1︸︷︷︸

k factores simples

, k > 0, s + k par.

si β es pseudo-Anosov (s; 1; p1,q1, . . . ,pr ,qr ), con s +∑

qj par.

Todos los representantes de Murasugi son rıgidos.

1 , k > 0.∆s σ1σ2 . . . σ2σ1︸︷︷︸

k factores simples

, k > 0, s + k par.

qj par.

1 , k > 0.∆s σ1σ2 . . . σ2σ1︸︷︷︸

k factores simples

, k > 0, s + k par.

qj par.

1 , k > 0.∆s σ1σ2 . . . σ2σ1︸︷︷︸

k factores simples

, k > 0, s + k par.

qj par.

1 , k > 0.∆s σ1σ2 . . . σ2σ1︸︷︷︸

k factores simples

, k > 0, s + k par.

qj par.

Pseudo-Anosov 3-braids.

Teorema (Handel)

Train track para β = (s; 1; p1,q1, . . . ,pr ,qr )

La matriz asociada es M:

M = Lp1 · Uq1 · Lp2 · · · Lpr · Uqr

(1 01 1

(1 10 1

` =r∑1

(pi + qi)

Interacciones del Algebra y la Geometrıa en el grupo de trenzas Distribucion de λ

λ ∈ B3

TeoremaSL2(N) es un monoide libre.

SL2(N) = 〈L,U〉

Corolario

{Trenzas de longitud mınima en [β]}2:1� {SL2(N)}

CorolarioEl conjunto de posibles λ en B3:{

λ =T +√

T 2 − 42

T ∈ N, T ≥ 3

λ ∈ B3

SL2(N) = 〈L,U〉

Corolario

λ =T +√

T 2 − 42

T ∈ N, T ≥ 3

λ ∈ B3

SL2(N) = 〈L,U〉

Corolario

λ =T +√

T 2 − 42

T ∈ N, T ≥ 3

λ ∈ B3

PREGUNTASHecho: {λ} es discreto e infinito.

Pregunta: Relacion entre ` y λ.

λ ∈ B3

PREGUNTASHecho: {λ} es discreto e infinito.Pregunta: Relacion entre ` y λ.

λ ∈ B3

PREGUNTASHecho: {λ} es discreto e infinito.Pregunta: Relacion entre ` y λ.

λ vs traza

TeoremaDado T , la palabra LU mas larga con traza T es

LUT−2 =

(1 T − 21 T − 1

λ vs traza

TeoremaDado T , la palabra LU mas larga con traza T es

LUT−2 =

(1 T − 21 T − 1

λ vs traza

TeoremaDado `, la palabra LU con mayor traza:

LU . . . LU =

(F`−1 F`F` F`+1

)LU . . . LUL =

(F`+1 F`F`+2 F`+1

F0 = 0, F1 = 1, F2 = 1, F3 = 2, F4 = 3 . . . numeros de Fibonacci.

λ vs traza

TeoremaDado `, la palabra LU con mayor traza:

LU . . . LU =

(F`−1 F`F` F`+1

)LU . . . LUL =

(F`+1 F`F`+2 F`+1

)F0 = 0, F1 = 1, F2 = 1, F3 = 2, F4 = 3 . . . numeros de Fibonacci.

λ vs traza

Teoremaβ ∈ B3 pseudo-Anosov, rıgida y long. canonica ` > 1:

(`+ 1 +

√(`+ 3) (`− 1)

)≤ λ,

λ ≤ φ` si ` es par.

λ ≤ F` +√

F 2` − 1 < 2√

5φ` si ` es impar.

φ = numero aureo.Fi = i -esimo numero de Fibonacci.

Teoremaβ ∈ B3 pseudo-Anosov, rıgida y long. canonica ` > 1:

(`+ 1 +

√(`+ 3) (`− 1)

)≤ λ,

λ ≤ φ` si ` es par.

λ ≤ F` +√

F 2` − 1 < 2√

5φ` si ` es impar.

φ = numero aureo.Fi = i -esimo numero de Fibonacci.

Muchas gracias

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