Trigonometria

Monica Moulin Ribeiro MerkleInstituto de Matematica, UFRJ, Rio de Janeiro, Brasil

monica@im.ufrj.br

22 de outubro de 2016

Monica Merkle - IM/UFRJ 1 / 8

Arcos trigonometricosDEF. O ciclo trigonometrico e um cırculo centrado na origemO(0, 0) com raio 1 e comprimento 2π.Dado o ponto A(1, 0) e um ponto P no ciclo trigonometrico, o arco

AP mede c > 0 radianos quando o arco tem comprimento |c | nosentido anti-horario (sentido trigonometrico) e mede c < 0 radianosquando o arco tem comprimento |c | no sentido horario.EXERCICIO. Marque sobre o ciclo trigonometrico as extremidadesfinais dos arcos de 2π/3, −2π/3, π/4 e π radianos. Lembre que 2πradianos correspondem a 360◦ medidos no sentido trigonometrico.Calcule em radianos os arcos dados em graus: 30◦, 60◦, 90◦, 135◦,150◦, 240◦, 270◦, 300◦. Calcule em graus os seguintes arcos, dadosem radianos: π/9, 7π2, 18π, 11π/5.

DEF. Segundo a notacao anterior, dado o arco AP = c , o seno de c,sen c , e a medida da ordenada de P e o cosseno de c, cos c , e amedida da abscissa de P.OBS. O cosseno e o seno de c assume valores entre −1 e 1 esen (c + 2kπ) = sen c, cos(c + 2kπ) = cos c , para todo k inteiro.Verifique o sinal do seno e cosseno nos quadrantes.Monica Merkle - IM/UFRJ 2 / 8

Arcos trigonometricosDEF. O ciclo trigonometrico e um cırculo centrado na origemO(0, 0) com raio 1 e comprimento 2π.Dado o ponto A(1, 0) e um ponto P no ciclo trigonometrico, o arco

AP mede c > 0 radianos quando o arco tem comprimento |c | nosentido anti-horario (sentido trigonometrico) e mede c < 0 radianosquando o arco tem comprimento |c | no sentido horario.EXERCICIO. Marque sobre o ciclo trigonometrico as extremidadesfinais dos arcos de 2π/3, −2π/3, π/4 e π radianos. Lembre que 2πradianos correspondem a 360◦ medidos no sentido trigonometrico.Calcule em radianos os arcos dados em graus: 30◦, 60◦, 90◦, 135◦,150◦, 240◦, 270◦, 300◦. Calcule em graus os seguintes arcos, dadosem radianos: π/9, 7π2, 18π, 11π/5.

DEF. Segundo a notacao anterior, dado o arco AP = c , o seno de c,sen c , e a medida da ordenada de P e o cosseno de c, cos c , e amedida da abscissa de P.OBS. O cosseno e o seno de c assume valores entre −1 e 1 esen (c + 2kπ) = sen c, cos(c + 2kπ) = cos c , para todo k inteiro.Verifique o sinal do seno e cosseno nos quadrantes.Monica Merkle - IM/UFRJ 2 / 8

Arcos trigonometricosDEF. O ciclo trigonometrico e um cırculo centrado na origemO(0, 0) com raio 1 e comprimento 2π.Dado o ponto A(1, 0) e um ponto P no ciclo trigonometrico, o arco

AP mede c > 0 radianos quando o arco tem comprimento |c | nosentido anti-horario (sentido trigonometrico) e mede c < 0 radianosquando o arco tem comprimento |c | no sentido horario.EXERCICIO. Marque sobre o ciclo trigonometrico as extremidadesfinais dos arcos de 2π/3, −2π/3, π/4 e π radianos. Lembre que 2πradianos correspondem a 360◦ medidos no sentido trigonometrico.Calcule em radianos os arcos dados em graus: 30◦, 60◦, 90◦, 135◦,150◦, 240◦, 270◦, 300◦. Calcule em graus os seguintes arcos, dadosem radianos: π/9, 7π2, 18π, 11π/5.

DEF. Segundo a notacao anterior, dado o arco AP = c , o seno de c,sen c , e a medida da ordenada de P e o cosseno de c, cos c , e amedida da abscissa de P.OBS. O cosseno e o seno de c assume valores entre −1 e 1 esen (c + 2kπ) = sen c, cos(c + 2kπ) = cos c , para todo k inteiro.Verifique o sinal do seno e cosseno nos quadrantes.Monica Merkle - IM/UFRJ 2 / 8

Arcos trigonometricosDEF. O ciclo trigonometrico e um cırculo centrado na origemO(0, 0) com raio 1 e comprimento 2π.Dado o ponto A(1, 0) e um ponto P no ciclo trigonometrico, o arco

AP mede c > 0 radianos quando o arco tem comprimento |c | nosentido anti-horario (sentido trigonometrico) e mede c < 0 radianosquando o arco tem comprimento |c | no sentido horario.EXERCICIO. Marque sobre o ciclo trigonometrico as extremidadesfinais dos arcos de 2π/3, −2π/3, π/4 e π radianos. Lembre que 2πradianos correspondem a 360◦ medidos no sentido trigonometrico.Calcule em radianos os arcos dados em graus: 30◦, 60◦, 90◦, 135◦,150◦, 240◦, 270◦, 300◦. Calcule em graus os seguintes arcos, dadosem radianos: π/9, 7π2, 18π, 11π/5.

DEF. Segundo a notacao anterior, dado o arco AP = c , o seno de c,sen c , e a medida da ordenada de P e o cosseno de c, cos c , e amedida da abscissa de P.OBS. O cosseno e o seno de c assume valores entre −1 e 1 esen (c + 2kπ) = sen c, cos(c + 2kπ) = cos c , para todo k inteiro.Verifique o sinal do seno e cosseno nos quadrantes.Monica Merkle - IM/UFRJ 2 / 8

Arcos trigonometricosDEF. O ciclo trigonometrico e um cırculo centrado na origemO(0, 0) com raio 1 e comprimento 2π.Dado o ponto A(1, 0) e um ponto P no ciclo trigonometrico, o arco

AP mede c > 0 radianos quando o arco tem comprimento |c | nosentido anti-horario (sentido trigonometrico) e mede c < 0 radianosquando o arco tem comprimento |c | no sentido horario.EXERCICIO. Marque sobre o ciclo trigonometrico as extremidadesfinais dos arcos de 2π/3, −2π/3, π/4 e π radianos. Lembre que 2πradianos correspondem a 360◦ medidos no sentido trigonometrico.Calcule em radianos os arcos dados em graus: 30◦, 60◦, 90◦, 135◦,150◦, 240◦, 270◦, 300◦. Calcule em graus os seguintes arcos, dadosem radianos: π/9, 7π2, 18π, 11π/5.

DEF. Segundo a notacao anterior, dado o arco AP = c , o seno de c,sen c , e a medida da ordenada de P e o cosseno de c, cos c , e amedida da abscissa de P.OBS. O cosseno e o seno de c assume valores entre −1 e 1 esen (c + 2kπ) = sen c, cos(c + 2kπ) = cos c , para todo k inteiro.Verifique o sinal do seno e cosseno nos quadrantes.Monica Merkle - IM/UFRJ 2 / 8

Arcos trigonometricos

RELACAO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA.sen 2c + cos2 c = 1, para todo c real.

DEF. Se cos c 6= 0, definimos a tangente de c como tg c = sen ccos c . A

tangente esta definida quando c 6= (π/2) + kπ para todo k inteiro.

EXERCICIO. Calcule o seno, cosseno e tangente de π/3 e π/4radianos.

PROP. Interpretacao geometrica da tangente de c radianos.

OBS. tg(π + c) = tg c , quando a tangente estiver definida em c .

PROP. Algumas relacoes: sen (−c) = − sen c , cos(−c) = cos c ,sen (π2 − c) = cos c , cos(π2 − c) = sen c , sen (π − c) = sen c ecos(π − c) = − cos c .

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Arcos trigonometricos

RELACAO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA.sen 2c + cos2 c = 1, para todo c real.

DEF. Se cos c 6= 0, definimos a tangente de c como tg c = sen ccos c . A

tangente esta definida quando c 6= (π/2) + kπ para todo k inteiro.

EXERCICIO. Calcule o seno, cosseno e tangente de π/3 e π/4radianos.

PROP. Interpretacao geometrica da tangente de c radianos.

OBS. tg(π + c) = tg c , quando a tangente estiver definida em c .

PROP. Algumas relacoes: sen (−c) = − sen c , cos(−c) = cos c ,sen (π2 − c) = cos c , cos(π2 − c) = sen c , sen (π − c) = sen c ecos(π − c) = − cos c .

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Arcos trigonometricos

RELACAO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA.sen 2c + cos2 c = 1, para todo c real.

DEF. Se cos c 6= 0, definimos a tangente de c como tg c = sen ccos c . A

tangente esta definida quando c 6= (π/2) + kπ para todo k inteiro.

EXERCICIO. Calcule o seno, cosseno e tangente de π/3 e π/4radianos.

PROP. Interpretacao geometrica da tangente de c radianos.

OBS. tg(π + c) = tg c , quando a tangente estiver definida em c .

PROP. Algumas relacoes: sen (−c) = − sen c , cos(−c) = cos c ,sen (π2 − c) = cos c , cos(π2 − c) = sen c , sen (π − c) = sen c ecos(π − c) = − cos c .

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Arcos trigonometricos

RELACAO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA.sen 2c + cos2 c = 1, para todo c real.

DEF. Se cos c 6= 0, definimos a tangente de c como tg c = sen ccos c . A

tangente esta definida quando c 6= (π/2) + kπ para todo k inteiro.

EXERCICIO. Calcule o seno, cosseno e tangente de π/3 e π/4radianos.

PROP. Interpretacao geometrica da tangente de c radianos.

OBS. tg(π + c) = tg c , quando a tangente estiver definida em c .

PROP. Algumas relacoes: sen (−c) = − sen c , cos(−c) = cos c ,sen (π2 − c) = cos c , cos(π2 − c) = sen c , sen (π − c) = sen c ecos(π − c) = − cos c .

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Arcos trigonometricos

RELACAO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA.sen 2c + cos2 c = 1, para todo c real.

DEF. Se cos c 6= 0, definimos a tangente de c como tg c = sen ccos c . A

tangente esta definida quando c 6= (π/2) + kπ para todo k inteiro.

EXERCICIO. Calcule o seno, cosseno e tangente de π/3 e π/4radianos.

PROP. Interpretacao geometrica da tangente de c radianos.

OBS. tg(π + c) = tg c , quando a tangente estiver definida em c .

PROP. Algumas relacoes: sen (−c) = − sen c , cos(−c) = cos c ,sen (π2 − c) = cos c , cos(π2 − c) = sen c , sen (π − c) = sen c ecos(π − c) = − cos c .

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Arcos trigonometricos

RELACAO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA.sen 2c + cos2 c = 1, para todo c real.

DEF. Se cos c 6= 0, definimos a tangente de c como tg c = sen ccos c . A

tangente esta definida quando c 6= (π/2) + kπ para todo k inteiro.

EXERCICIO. Calcule o seno, cosseno e tangente de π/3 e π/4radianos.

PROP. Interpretacao geometrica da tangente de c radianos.

OBS. tg(π + c) = tg c , quando a tangente estiver definida em c .

PROP. Algumas relacoes: sen (−c) = − sen c , cos(−c) = cos c ,sen (π2 − c) = cos c , cos(π2 − c) = sen c , sen (π − c) = sen c ecos(π − c) = − cos c .

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Relacoes importantes

PROP. FORMULAS DE ADICAO DE ARCOS.cos(a± b) = cos a cos b ∓ sen a sen bsen (a± b) = sen a cos b ± cos a sen b

tg (a± b) =tg a± tg b

1∓ tg a tg bFORMULAS DE ARCOS DUPLOS.cos(2a) = cos2 a− sen 2asen (2a) = 2 sen a cos a

tg (2a) =2 tg a

1− tg 2aFORMULAS DE TRANSFORMACAO EM PRODUTO.sen a± sen b = 2 sen (a±b

2 ) cos(a∓b2 )

cos a + cos b = 2 cos(a+b2 ) cos(a−b

2 )

cos a− cos b = −2 sen (a+b2 ) sen (a−b

2 )

tg a± tg b = sen (a±b)cos a cos b , onde as quantidades estiverem definidas.

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EXERCICIO. Calcule os arcos trigonometricos de 75◦.

EXERCICIO. Mostre que |a cosα + b senα| ≤√a2 + b2, para valores

de a e b fixos e α variavel. (Dica. Desenvolvaa cosα + b senα =

√a2 + b2(x cosα + y senα) e use formula de

adicao de arcos).

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EXERCICIO. Calcule os arcos trigonometricos de 75◦.

EXERCICIO. Mostre que |a cosα + b senα| ≤√a2 + b2, para valores

de a e b fixos e α variavel. (Dica. Desenvolvaa cosα + b senα =

√a2 + b2(x cosα + y senα) e use formula de

adicao de arcos).

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Lei de senos e cossenos

Em um triangulo ABC , retangulo em A, com ABC = θ,

sen θ =cateto oposto a θ

hipotenusa,

cos θ =cateto adjacente a θ

hipotenusa,

sen θ =cateto oposto a θ

cateto adjacente.

PROP. LEI DOS COSSENOS. Com a notacao usual, em um trianguloABC temos a2 = b2 + c2 − 2bc cos A.

PROVA. Seja H o pe da altura relativa ao lado AC . Considere oscasos quando A e menor, igual ou maior que 90◦ e aplique o Teoremade Pitagoras.

COROL. Considere um triangulo ABC com lados satisfazendoa > b > c . ABC e retangulo (em A) se e so se a2 = b2 + c2.ABC e acutangulo se e so se a2 < b2 + c2.ABC e obtusangulo se e so se a2 > b2 + c2.

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Lei de senos e cossenos

Em um triangulo ABC , retangulo em A, com ABC = θ,

sen θ =cateto oposto a θ

hipotenusa,

cos θ =cateto adjacente a θ

hipotenusa,

sen θ =cateto oposto a θ

cateto adjacente.

PROP. LEI DOS COSSENOS. Com a notacao usual, em um trianguloABC temos a2 = b2 + c2 − 2bc cos A.

PROVA. Seja H o pe da altura relativa ao lado AC . Considere oscasos quando A e menor, igual ou maior que 90◦ e aplique o Teoremade Pitagoras.

COROL. Considere um triangulo ABC com lados satisfazendoa > b > c . ABC e retangulo (em A) se e so se a2 = b2 + c2.ABC e acutangulo se e so se a2 < b2 + c2.ABC e obtusangulo se e so se a2 > b2 + c2.

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Lei de senos e cossenos

Em um triangulo ABC , retangulo em A, com ABC = θ,

sen θ =cateto oposto a θ

hipotenusa,

cos θ =cateto adjacente a θ

hipotenusa,

sen θ =cateto oposto a θ

cateto adjacente.

PROP. LEI DOS COSSENOS. Com a notacao usual, em um trianguloABC temos a2 = b2 + c2 − 2bc cos A.

PROVA. Seja H o pe da altura relativa ao lado AC . Considere oscasos quando A e menor, igual ou maior que 90◦ e aplique o Teoremade Pitagoras.

COROL. Considere um triangulo ABC com lados satisfazendoa > b > c . ABC e retangulo (em A) se e so se a2 = b2 + c2.ABC e acutangulo se e so se a2 < b2 + c2.ABC e obtusangulo se e so se a2 > b2 + c2.

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Lei de senos e cossenos

Em um triangulo ABC , retangulo em A, com ABC = θ,

sen θ =cateto oposto a θ

hipotenusa,

cos θ =cateto adjacente a θ

hipotenusa,

sen θ =cateto oposto a θ

cateto adjacente.

PROP. LEI DOS COSSENOS. Com a notacao usual, em um trianguloABC temos a2 = b2 + c2 − 2bc cos A.

PROVA. Seja H o pe da altura relativa ao lado AC . Considere oscasos quando A e menor, igual ou maior que 90◦ e aplique o Teoremade Pitagoras.

COROL. Considere um triangulo ABC com lados satisfazendoa > b > c . ABC e retangulo (em A) se e so se a2 = b2 + c2.ABC e acutangulo se e so se a2 < b2 + c2.ABC e obtusangulo se e so se a2 > b2 + c2.

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Lei de senos e cossenos

PROP. RELACAO DE STEWART. Seja P um ponto sobre o lado BCde um triangulo ABC , tal que BP = x , CP = y e AP = z . Entaob2x + c2y = a(xy + z2).

PROVA. Aplique a lei dos cossenos aos triangulos APC e APB.

COROL. Se ma e o comprimento da mediana relativa ao lado BC ,entao a2 + 4m2

a = 2(b2 + c2).

PROP. LEI DOS SENOS. Se R e o raio do cırculo circunscrito a um

triangulo ABC entaoa

senA=

b

senB=

c

senC= 2R.

PROVA. No caso de um triangulo acutangulo, considere o simetricode B em relacao ao centro do cırculo.

COROL. FORMULA DO SENO PARA AREA DE UM TRIANGULO.Se R e o raio do cırculo circunscrito ao triangulo ABC entaoarea(ABC ) = 1

2bc senA = abc4R .

PROVA. No caso de um triangulo acutangulo, seja H o pe da alturarelativa ao lado AC , calcule a area e use a lei dos senos.

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Lei de senos e cossenos

PROP. RELACAO DE STEWART. Seja P um ponto sobre o lado BCde um triangulo ABC , tal que BP = x , CP = y e AP = z . Entaob2x + c2y = a(xy + z2).

PROVA. Aplique a lei dos cossenos aos triangulos APC e APB.

COROL. Se ma e o comprimento da mediana relativa ao lado BC ,entao a2 + 4m2

a = 2(b2 + c2).

PROP. LEI DOS SENOS. Se R e o raio do cırculo circunscrito a um

triangulo ABC entaoa

senA=

b

senB=

c

senC= 2R.

PROVA. No caso de um triangulo acutangulo, considere o simetricode B em relacao ao centro do cırculo.

COROL. FORMULA DO SENO PARA AREA DE UM TRIANGULO.Se R e o raio do cırculo circunscrito ao triangulo ABC entaoarea(ABC ) = 1

2bc senA = abc4R .

PROVA. No caso de um triangulo acutangulo, seja H o pe da alturarelativa ao lado AC , calcule a area e use a lei dos senos.

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Lei de senos e cossenos

PROP. RELACAO DE STEWART. Seja P um ponto sobre o lado BCde um triangulo ABC , tal que BP = x , CP = y e AP = z . Entaob2x + c2y = a(xy + z2).

PROVA. Aplique a lei dos cossenos aos triangulos APC e APB.

COROL. Se ma e o comprimento da mediana relativa ao lado BC ,entao a2 + 4m2

a = 2(b2 + c2).

PROP. LEI DOS SENOS. Se R e o raio do cırculo circunscrito a um

triangulo ABC entaoa

senA=

b

senB=

c

senC= 2R.

PROVA. No caso de um triangulo acutangulo, considere o simetricode B em relacao ao centro do cırculo.

COROL. FORMULA DO SENO PARA AREA DE UM TRIANGULO.Se R e o raio do cırculo circunscrito ao triangulo ABC entaoarea(ABC ) = 1

2bc senA = abc4R .

PROVA. No caso de um triangulo acutangulo, seja H o pe da alturarelativa ao lado AC , calcule a area e use a lei dos senos.

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Lei de senos e cossenos

PROP. RELACAO DE STEWART. Seja P um ponto sobre o lado BCde um triangulo ABC , tal que BP = x , CP = y e AP = z . Entaob2x + c2y = a(xy + z2).

PROVA. Aplique a lei dos cossenos aos triangulos APC e APB.

COROL. Se ma e o comprimento da mediana relativa ao lado BC ,entao a2 + 4m2

a = 2(b2 + c2).

PROP. LEI DOS SENOS. Se R e o raio do cırculo circunscrito a um

triangulo ABC entaoa

senA=

b

senB=

c

senC= 2R.

PROVA. No caso de um triangulo acutangulo, considere o simetricode B em relacao ao centro do cırculo.

COROL. FORMULA DO SENO PARA AREA DE UM TRIANGULO.Se R e o raio do cırculo circunscrito ao triangulo ABC entaoarea(ABC ) = 1

2bc senA = abc4R .

PROVA. No caso de um triangulo acutangulo, seja H o pe da alturarelativa ao lado AC , calcule a area e use a lei dos senos.

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Lei de senos e cossenos

PROP. RELACAO DE STEWART. Seja P um ponto sobre o lado BCde um triangulo ABC , tal que BP = x , CP = y e AP = z . Entaob2x + c2y = a(xy + z2).

PROVA. Aplique a lei dos cossenos aos triangulos APC e APB.

COROL. Se ma e o comprimento da mediana relativa ao lado BC ,entao a2 + 4m2

a = 2(b2 + c2).

PROP. LEI DOS SENOS. Se R e o raio do cırculo circunscrito a um

triangulo ABC entaoa

senA=

b

senB=

c

senC= 2R.

PROVA. No caso de um triangulo acutangulo, considere o simetricode B em relacao ao centro do cırculo.

COROL. FORMULA DO SENO PARA AREA DE UM TRIANGULO.Se R e o raio do cırculo circunscrito ao triangulo ABC entaoarea(ABC ) = 1

2bc senA = abc4R .

PROVA. No caso de um triangulo acutangulo, seja H o pe da alturarelativa ao lado AC , calcule a area e use a lei dos senos.

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Lei de senos e cossenos

PROP. RELACAO DE STEWART. Seja P um ponto sobre o lado BCde um triangulo ABC , tal que BP = x , CP = y e AP = z . Entaob2x + c2y = a(xy + z2).

PROVA. Aplique a lei dos cossenos aos triangulos APC e APB.

COROL. Se ma e o comprimento da mediana relativa ao lado BC ,entao a2 + 4m2

a = 2(b2 + c2).

PROP. LEI DOS SENOS. Se R e o raio do cırculo circunscrito a um

triangulo ABC entaoa

senA=

b

senB=

c

senC= 2R.

PROVA. No caso de um triangulo acutangulo, considere o simetricode B em relacao ao centro do cırculo.

COROL. FORMULA DO SENO PARA AREA DE UM TRIANGULO.Se R e o raio do cırculo circunscrito ao triangulo ABC entaoarea(ABC ) = 1

2bc senA = abc4R .

PROVA. No caso de um triangulo acutangulo, seja H o pe da alturarelativa ao lado AC , calcule a area e use a lei dos senos.

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Lei de senos e cossenos

PROP. RELACAO DE STEWART. Seja P um ponto sobre o lado BCde um triangulo ABC , tal que BP = x , CP = y e AP = z . Entaob2x + c2y = a(xy + z2).

PROVA. Aplique a lei dos cossenos aos triangulos APC e APB.

COROL. Se ma e o comprimento da mediana relativa ao lado BC ,entao a2 + 4m2

a = 2(b2 + c2).

PROP. LEI DOS SENOS. Se R e o raio do cırculo circunscrito a um

triangulo ABC entaoa

senA=

b

senB=

c

senC= 2R.

PROVA. No caso de um triangulo acutangulo, considere o simetricode B em relacao ao centro do cırculo.

COROL. FORMULA DO SENO PARA AREA DE UM TRIANGULO.Se R e o raio do cırculo circunscrito ao triangulo ABC entaoarea(ABC ) = 1

2bc senA = abc4R .

PROVA. No caso de um triangulo acutangulo, seja H o pe da alturarelativa ao lado AC , calcule a area e use a lei dos senos.

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Lei de senos e cossenos

PROP. FORMULA DE HERAO para calculo de area. Em umtriangulo ABC com semiperımetro p, temosarea(ABC ) =

√p(p − a)(p − b)(p − c).

PROVA. Aplique a formula do seno para a area, a relacaofundamental, a lei dos cossenos e fatoracao.

EXERCICIO. Mostre que o triangulo equilatero e o que tem areamaxima, entre todos os triangulos com o mesmo perımetro. (Dica.Use que a media geometrica e menor ou igual a media aritmetica, naformula de Herao).

Calcule a area de um polıgono regular de n lados, inscrito em umcırculo de raio R.

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Lei de senos e cossenos

PROP. FORMULA DE HERAO para calculo de area. Em umtriangulo ABC com semiperımetro p, temosarea(ABC ) =

√p(p − a)(p − b)(p − c).

PROVA. Aplique a formula do seno para a area, a relacaofundamental, a lei dos cossenos e fatoracao.

EXERCICIO. Mostre que o triangulo equilatero e o que tem areamaxima, entre todos os triangulos com o mesmo perımetro. (Dica.Use que a media geometrica e menor ou igual a media aritmetica, naformula de Herao).

Calcule a area de um polıgono regular de n lados, inscrito em umcırculo de raio R.

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Lei de senos e cossenos

PROP. FORMULA DE HERAO para calculo de area. Em umtriangulo ABC com semiperımetro p, temosarea(ABC ) =

√p(p − a)(p − b)(p − c).

PROVA. Aplique a formula do seno para a area, a relacaofundamental, a lei dos cossenos e fatoracao.

EXERCICIO. Mostre que o triangulo equilatero e o que tem areamaxima, entre todos os triangulos com o mesmo perımetro. (Dica.Use que a media geometrica e menor ou igual a media aritmetica, naformula de Herao).

Calcule a area de um polıgono regular de n lados, inscrito em umcırculo de raio R.

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Lei de senos e cossenos

PROP. FORMULA DE HERAO para calculo de area. Em umtriangulo ABC com semiperımetro p, temosarea(ABC ) =

√p(p − a)(p − b)(p − c).

PROVA. Aplique a formula do seno para a area, a relacaofundamental, a lei dos cossenos e fatoracao.

EXERCICIO. Mostre que o triangulo equilatero e o que tem areamaxima, entre todos os triangulos com o mesmo perımetro. (Dica.Use que a media geometrica e menor ou igual a media aritmetica, naformula de Herao).

Calcule a area de um polıgono regular de n lados, inscrito em umcırculo de raio R.

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