Taller Uno

Antiderivadas

1. Encuentre las funciones antiderivadas de:

a) f(x) = (√2−√

x)2

b) h(t) = − 1

t2

c) m(s) = s5/2 − 5

s4

d) p(x) =√x(1− x2)

e) i(x) =2x4 − 3x3 + 5

7x2

f ) f(x) = tanhx

g) f(x) = cothx

h) f(x) = sech2x

i) f(x) = csch2x

j ) f(x) = sechx tanhx

k) f(x) = cothx

l) d(t) = 4 sin(2πt)− 2 sin(4π)

m) n(x) = 3ex + 7sec2x

n) l(u) = senu+ 2 senhu

n) v(x) =senx

cos2 x

o) u(x) =x2 + 1√

x

p) q(x) = 3√x(x− 4)

q) r(θ) = 2 + tan2 θ

2. La antiderivada de x senx es

a)x2

2senx+ C b) −x cosx+ C c) −x cosx+ senx+ C

3. La antiderivada de tanx sec2 x es

a)sec3 x

3+ C b)

1

2tan2 x+ C c)

1

2sec2 x+ C

4. Muestre que las funciones claramente distintas F1(x) =1

1− xy F2 =

x

1− xson ambas

primitivas de f(x) =1

(1− x)2. ¿Cua1 es la relacion entre F1(x) y F2(x)?

5. Use las identidades cos2 x =1 + cos(2x)

2y sin2 x =

1− cos(2x)

2para determinar las

primitivas de f(x) = sin2 x y f(x) = cos2 x.

6. Una pelota se lanza hacia arriba con una velocidad inicial de 64 pies/seg a partir de unaaltura inicial de 80 pies.

Encontrar la funcion posicion que expresa la altura s en una funcion del tiempo t.

¿Cuando llegara la pelota al suelo?

7. Suponga que se dispara una flecha en sentido vertical mediante una poderosa ballesta, desdeel piso, y que vuelve a tocar el suelo 48 segundos despues. Si podemos despreciar la resistenciadel aire, determinar la velocidad inicial de la flecha y la altura maxima que alcanza.

8. Las narcas de derrape de unos neumaticos indican que se han aplicado los frenos duranteuna distancia de 160 pies antes de detenerse el automovil. Supongamos que el automovil encuestion tiene una desaceleracion constante de 20 pies/seg2 bajo las condiciones del derrape.A que velocidad viajaba el auto cuando se comenzo a frenar?

1

9. ¿Cual de las siguientes graficas muestra la solucion del problema de valor inicialdy

dx= −x,

y(−1) = 1

10. Las siguientes graficas muestran las curvas solucion de las ecuaciones diferenciales. En-cuentre, en cada grafica, una ecuacion para la curva que pasa por el punto marcado.

11. Resuelva los problemas con condiciones iniciales

a)dy

dx= (x− 2); y(2) = 1 b)

dy

dx= (2x+ 3)3/2; y(3) = 100

12. En Fig 1. se muestra la grafica de f ′. Dibuje la grafica de f si esta es continua y f(0) = −1.

13. En la Fig 2. se ilustra la grafica de la derivada f ′ de una funcion f. Determine.

a) (a) ¿En que intervalos f es creciente o decreciente?

b) (b) ¿Para que valores de x la funcion f tiene un maximo local o un mınimo local?

c) (c) Trace la grafica de f ′′.

d) (d) Trace la grafica posible de f .

14. Las graficas de f y f ′ pasan a traves del origen. Usar la grafica de f ′′ mostrada en la Fig3 para bosquejar la grafica de f y f ′.

Fig 1 Fig 2 Fig 3

2

15. Sean s(x) y c(x) dos funciones que satisfacen s′(x) = c(x) y c′(x) = −s(x) para todo x.Si s(0) = 0 y c(0) = 1. Demostrar que [s(x)]2 + [c(x)]2 = 1

16. Dibujar las graficas de dos funciones que tengan la derivada senalada.

17. Encontrar una funcion g tal que la grafica de esta tenga una tangente horizontal en (2, 0)y g′′(x) = 2x.

18. Halle la ecuacion de la curva para el cual y′′ =4

x3y que es tangente a la recta 2x+ y = 5

en el punto (1, 3). SOL: y = 2x + 1

19. Si f ′(x) =

1, 0 ≤ x < 2

3x, 2 ≤ x ≤ 5f es continua y f(1) = 3 determinar f , ¿Es diferenciable

en x = 2?

20. (M-Interesante) Sea f : R → R una funcion continua en R tal que

f(0) = 2, f ′(x) =

x

|x| , x ∈ (−∞, 1)

ex x > 1SOL : f ′(x) =

−x+ 2, x ≤ 0

x+ 2, 0 < x ≤ 1

ex + e− 3, x > 1

Determine f(x).

21. (M-Interesante) Sea f : R → R una funcion continua en R tal que

f(0) = −π

2, f ′(x) =

x+ |1− x|x2 + 1

Halle f(x) SOL: f ′(x) =

arctanx− π2 , x ≤ 1

ln(x2 + 1)− arctanx− ln 2, x > 1

22. En las siguientes graficas determine que funcion quien hace el papel de funcion y deantiderivada.

3

23. Usar la grafica de f ′ que se muestra en la Fig 4 para responder lo siguiente, dado quef(0) = −4.

a) Aproximar la pendiente de f en x = 4. Explicar.

b) ¿Es posible que f(2) = −1? Explicar.

c) ¿Es f(5)− f(4) > 0? Explicar.

d) Aproximar el valor de x donde f es maxima. Explicar.

e) Aproximar cualquier intervalo en el que la grafica de f es concava hacia arriba ycualquier intervalo en el cual es concava hacia abajo.

f ) Aproximar la coordenada x a cualquier punto de inflexion.

g) Aproximar la coordenada x del mınimo de f ′′(x).

h) Dibujar una grafica aproximada de f.

Fig 4

24. Usando la grafica de la Fig 5. Se define la funcion g(x) =

∫ x

1

f(f)dt

a) Encuentre g(1), g(3) y g(−1)

b) Halle los x ∈ (−3, 4) donde g tiene un maximo relativo.

c) Escriba una ecuacion para la recta tangente a la grafica de g en x = 1.

d) Halle los x donde g tiene un punto de inflexion.

e) Encuentre el rango de g. Fig 5

Sumas de Riemann

25. Sea R la region que esta bajo la grafica de y = f(x) en el intervalo [a, b] sobre el ejex. Calcular una R-estimacion y una L-estimacion de las siguientes funciones usando unaparticion regular.

a) f(x) = 2x+ 3 en [0, 3] n = 6.

b) f(x) = 1 + 2√x en [2, 3] n = 5.

c) f(x) =1

xen [1, 6], n = 5

26. Determine las sumas de Riemann para la funcion indicada y una particion regular delintervalo dado en n subintervalos. Utilice ci = xi es decir, extremo derecho.

a) f(x) = 9− x2 en [0, 3] n = 10

b) f(x) = x3 − 3x en [1, 4] n = 5

27. Usando induccion y (o usando la formula de∑

i=1

(rk − rk−1)) demuestre quen∑

k=0

rk =1− rn+1

1− r

28. Calcule la integral definida de f(x) = ex en [0, 4] usando sumas de Riemann con unaparticion regular.

29. Calcule el area de la region limitada por las graficas de y = 2√x, eje x, y x = 9 usando

sumas de riemann. R/ 36

4

30. Calcule la integral definida de f(x) =1

x2en [1, 2] usando sumas de Riemann. (Sugerencia:

elija ci =√xi−1xi, y use la identidad

1

m(m+ 1)=

1

m− 1

m+ 1)

31. Demuestre usando sumas de Riemann que

∫ b

0

x3 =1

4b4

32. Calcule la integral definida de g(x) = 3√x en [0, 1] (Sugerencia ci =

i3

n3 y ∆xi = ci − ci−1)

33. Evalue el limite dado reconociendo primero la suma indicada como una suma de Rie-mann asociada a una particion regular de [0, 1] y evaluando a continuacion la integralcorrespondiente.

a) lımn→∞

13 + 23 + 33 + · · ·+ n3

n4 b) lımn→∞

√1 +

√2 +

√3 + · · ·+√

n

n√n

c) lımn→∞

∑

i=1

i2

n3

34. Evalue la integral

∫ 5

0

√

25− x2dx interpretandola como el area bajo la grafica de cierta funcion.

35. Encontrar las constantes a y b que maximizan el valor

∫ b

a

(4− x2)dx. Explique el razonamiento

36. Geometricamente que significa

∫ r

−r

√

r2 − x2dx?

37. Emplear formulas geometricas para calcular

∫ 8

0

f(x)dx donde f(x) =

4 si x < 4

x si x ≥ 4

38. La grafica f esta compuesta por segmentos de recta y un semicirculo, como se muestra enla figura 3. Evalue cada integral definida utilizando formulas geometricas

a)

∫ 2

0

f(x)dx

b)

∫ 6

2

f(x)dx

c)

∫ 6

−4

f(x)dx

d)

∫ 2

−4

f(x)dx

e)

∫ 6

−4

|f(x)|dx

f )

∫ 6

−4

[f(x) + 2]dxFig 3

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

39. Determine si cada una de las siguientes formulas es cierta o falsa, y argumente brevementeel porque de su respuesta.

a)

∫ √2x+ 1dx =

√

x2 + x+ C b)

∫ √2x+ 1dx =

√

x2 + x+ C c)

∫ √2x+ 1dx =

1

3

(√2x+ 1

)3+ C

40. Calcular cada una de las siguientes integrales. Dibujese la grafica en cada caso

a)

∫ 2

0

f(x)dx f(x) =

x2 si 0 ≤ x ≤ 1

2− x si 1 < x ≤ 2

b)

∫ 3

1

f(x)dx f(x) =

1− x si −1 ≤ x < 0

x2 si 0 ≤ x < 2

−1 si 2 ≤ x ≤ 3

c)

∫ 1

0

f(x)dx, f(x) =

x si 0 ≤ x ≤ c

c(1− x

1− c

)

si c < x ≤ 1

c es un numero real fijo, 0 < c < 1.

41. Encontrar la integral indefinida

5

a)

∫

dx b)

∫

sec y(tan y − sec y) c)

∫

cosx

1− cos2 x

42. Suponga que f(x) =d

dx

(

1−√x)

y que g(x) =d

dx

(

x+ 2)

. Encuentre:

a)

∫

f(x)dx

b)

∫

g(x)dx

c)

∫

[−f(x)]dx

d)

∫

[−g(x)]dx

e)

∫

[f(x) + g(x)]dx

f )

∫

[f(x)− g(x)]dx

43. Halle todos los valores c para los cuales

∫ c

0

|x(1− x)|dx = 0

44. Hallar un polinomio cuadratico para el cual P (0) = P (1) = 0 y

∫ 1

0

P (x)dx = 1

45. Halle un polinomio cubico tal que P (0) = P (−2) = 0, P (1) = 15 y 3

∫ 0

−2

P (x)dx = 4

46. Calcule∫ 1

0

|x(2x− 1)|dx∫ 4

−4

|x2 + x− 6|dx∫ −1

−1

|x|1 + x2

dx

47. Calcule f(4) en cada uno de los casos

(a)

∫ x2

0

f(t)dt = x cos(πx) (b)

∫ f(x)

0

t2dt = x cos(πx)

48. Calcule f(2) suponiendo que f es continua y satisface

∫ x

0

f(t)dt = x2(1 + x)

49. Calcule f(2) suponiendo que f es continua y satisface

∫ x2(1+x)

0

f(t)dt = x

50. Suponga que f es continua en R, tal que f(3x) = 5f(x) y si

∫ 1

0

f(s)ds = 1. Calcule

∫ 3

0

f(s)ds

51. Escriba

∫ 2

−2

f(x)dx+

∫ 5

2

f(x)dx−∫ −1

−2

f(x)dx como una sola integral

∫ b

a

f(x)dx:

52. Si

∫ 5

1

f(x)dx = 12 y

∫ 5

4

f(x)dx = 3,6 encuentre

∫ 4

1

f(x)dx

53. Sea f : [−6, 6] → R una funcion continua. Si f es impar y

∫

f(x)dx = 3, halle

∫ 6

2

(f(x)−2x)dx.

54. Determinar si los enunciados es Verdadero o Falso, si es falso, explicar por que proporcionarun ejemplo

a) Si

∫ 1

0

f(x)dx = 4 y f(x) ≥ 0, entonces

∫ 1

0

√

f(x)dx =√4 = 2?

b) Cada antiderivada de una funcion polinomica de grado n es un funcion polinomicade grado n+ 1

c) Si p(x) es un polinomio entonces p tiene exactamente una antiderivada cuya graficacontiene el origen.

6

d) Si F (x) y G(x) son primitivas de f(x), entonces F (x) = G(x) + C.

e)

∫

f(x)g(x)dx =

∫

f(x)dx

∫

g(x)dx.

f ) las primitivas son unicas.

g) Si la norma de una particion tiende a cero, entonces el numero de subintervalos tiendea infinito.

h) el valor de

∫

f(x)dx debe ser positivo.

55. Evaluar, si es posible, la integral

∫ 2

0

⌊x⌋ dx

56. Usar el TFC para encontrar F ′(x) de las siguientes funciones

a) F (x) =

∫

∫ x3

0

11+sen2 tdt

a

cos2(y2 + 4)dy

b) F (x) =

∫ x

2

(t2 − 2t)dt

c) F (x) =

∫ x2

2

cos(t)dt

d) F (x) =

∫ x+2

2

(2t2 − 1)dx

e) F (x) =

∫ sen x

2

√r dr

f ) F (x) =

∫ x

−x

sen(θ2)dθ

g) F (x) =

∫ x

1/x

1

tdt

h) F (x) =

∫ sen x

cos x

1

1− t2dt

i) F (y) =

∫ 2√y

√y

sen(t2)dt

j ) F (x) =

∫ x2+3

x

t(5− t)dt

57. Sea F (x) =

∫ arc sen(cos x)

√3

f(sen t)dt =

√

1− sen t

1 + sin ty G(x) =

∫ sin x

√2

√

g(t)dt =√1− cosx.

Halle H ′(x) si H(x) =

∫ f(1)

g(x)(1−√1−x2)

1

t2dt. R/− 8

x3

58. Si f(x) =

∫ g(x)

0

1√1 + t2

dt, donde g(x) =

∫ cos x

0

[1 + sin(t2)]dt, encuentre f ′(π/2)

59. Encuentred2

dx2

∫ x

0

(

∫ sen t

1

√

1 + u4du)

dt

60. Sea L1 una recta tangente a la curva C : y = g(x) en el punto P (2, 3). Ademas, la recta

L1 pasa por el punto Q(10, 7) que no esta en la curva C. Si f(x) =

∫ g(x)

1

√

t2 + 7dt ,

halle f ′(2). R/ =2

61. Sea f una funcion continua tal que

∫ x

0

tf(t)dt = x sinx−cosx. Calcula f(π/2) y f ′(π/2).

62. Una funcion f esta definida para todo real x por la formula

f(x) = 3 +

∫ x

0

1 + sin(t)

2 + t2dt

Halle un polinomio cuadratico p(x) = a + bx + cx2 tal que p(0) = f(0), p′(0) = f ′(0) yp′′(0) = f ′′(0)

7

63. Dada una funcion g, continua para todo x, tal que g(1) = 5 y

∫ 1

0

g(t)dt = 2. Suponga

que f(x) =1

2

∫ x

0

(x− t)2g(t)dt, demostrar que

f ′(x) = x

∫ x

0

g(t)dt−∫ x

0

tg(t)dt

y calcule f ′′(1) y f ′′′(1).

64. Halle una funcion f y un numero a tal que 6 +

∫ x

a

f(t)

t2dt = 2

√x

65. Sin integrar, explicar por que

∫ 2

−2

x(x2 + 1)2dx = 0

66. Si f(x) ≥ 0, b > 1 y

∫ b

1

f(x) =√

b2 + 1−√2. Halle f(x).

67. Encontrar la funcion f(x) y todos los valores de c, tal que∫ x

c

f(t)dt = x2 + x− 2

.

68. Sea G(x) =

∫ x

0

s[

∫ s

0

f(t)dt]

ds, donde f es continua para todo t real. Determinar

G(0), G′(0), G′′(x) G′′(0).

69. Si f es continua y

∫ 8

0

f(x)dx = 32, encontrar

∫ 4

0

f(2x)dx.

70. Pruebe que y = senx+

∫ π

x

cos(2t)dt+ 1 satisface las dos condiciones siguientes:

a) y′′ = − senx+ 2 sen(2x)

b) Cuando x = π y = 1 y y′ = −2.

71. Calcular el area acotada por el eje x y la parabola y = 6− x− x2

72. Determinar el valor medio de f(x) = 3x2 − 2x en el intervalo [1, 4]

73. Encuentre el area de las regiones sombreadas de las figuras 6,

Fig 6

74. Trace la grafica de F (x) =

∫ x

0

2te−t2 , x ∈ R, Hallando el dominio, las intersecciones con el

eje x, los intervalos de crecimientos-decrecimiento, mınimos-maximos, puntos de inflexion,concavidades, asıntota.

8

Taller Dos

Tecnicas de Integracion

1. Suponga que f tiene una derivada positiva para todos los valores de x, y que f(1) = 0¿Cuales de los siguientes enunciados son VERDADEROS para la funcion

g(x) =

∫ x

0

f(t)dt

Justifique sus respuestas.

a) g es una funcion diferenciable de x.

b) g es una funcion continua de x.

c) La grafica de g tiene una tangente horizontal en x = 1

d) g tiene un maximo local en x = 1

e) g tiene un mınimo local en x = 1

f ) La grafica de g tiene un punto de inflexion en x = 1

g) La graficadg

dxde cruza el eje x en x = 1

2. Suponga que f es la funcion diferenciable Fig 1, y que la posicion en el tiempo t (seg) de

una partıcula que se mueve a lo largo de un eje coordenado es s(t) =

∫ t

0

f(x)dx metros. Use

la grafica para contestar las siguientes preguntas. Justifique sus respuestas.

¿Cual es la velocidad de la partıcula en el tiempo t = 5?

¿La aceleracion de la partıcula en el tiempo t = 5 es positiva o negativa?

¿Cual es la posicion de la partıcula en el tiempo t = 3?

¿En que momento durante los primeros 9 segundos alcanza s su valor maximo?

¿Aproximadamente en que momento la aceleracion es cero?

¿Cuando se esta moviendo la partıcula hacia el origen? ¿Cuando lo hace alejandosedel origen?

¿En que lado del origen esta la partıcula en el tiempo t = 9?Fig. 1

3. Demuestre que

∫ n

0

⌊x⌋ dx =n(n− 1)

2Ayuda: Induccion

4. Demostrar que

∫ x

0

|t|dt = 1

2x|x| para todo real x real

5. Exprese los limites como una integral definida sobre un intervalo adecuado o el que sepide

a) lımn→∞

n∑

i=1

xi ln(1 + x2i )∆xi en [2, 6]

b) lımn→∞

n∑

i=1

n

n2 + i2

c) lımn→∞

n∑

i=1

13

√

n3(1 + i/n)

d) lımn→∞

n∑

i=1

1√n√n+ i

9

6. Integrales por sustitucion INTERESANTES*

*

∫

√ex − 1 earctan x + ln

[

(1 + x2)

√

x2ex − x2]

+√ex − 1

√

1 + x2√

ex + x2ex − x2 − 1dx

*

∫

xdx√

1 + x2 +√

(1 + x2)3

∫

senhx coshx

(1 + senh2 x)5dx

*

∫

sen−1 (√x)√

x− x2dx

*

∫

x

e3x(1− x)4dx

∫

x+ 2

(x− 2)4

∫

x√1 + 3xdx

**

∫

7x2 + 16

x4 + 4x2dx

*

∫

2x3x+1

5x+2dx

∫

cos3 x

1− senxdx

∫

dx

1 + cos(10x)

**

∫

dx√2x− 1−√

x

∫

dx

1 + sinx

∫

ln(lnx)

x lnxdx

*

∫

1

2w + 3dw

*

∫

1√em − 1

dm

*

∫

1

4 + 5 cos2 mdm

*

∫

1

ex + 4dx

∫

ln(3x)

x ln(5x)dx

∫

√

ln(x+√x2 + 1)

1 + x2

∫

1

e−x + exdw

∫ √1 + sinxdx

∫

tan−1(√x)√

x+ 2x2 + x3dx

∫

x2 sin x−1(sinx+ x cosx lnx)dx

∫

sin(8x)

9 + sin4(4x)dx

∫

cos2 w(tan2 w + 1)

(sinw + cosw)2dw

∫

√

sec z − tan z

sec z + tan zdz

∫

e2x√1 + ex

dx

∫

ln z

z3(ln z − 1)3dz

∫

(4− 3 lnx)4d(lnx)

*

∫

ex√ex + 2

ex + 6dx

∫

x5

x3 − 8dx

∫

1 + tanx

sen(2x)dx

∫

13√x2(1 +

3√x2)

dx

∫ 2

1

sin(1/x)

x2dx

∫

z3√1− z2

dz

∫

ex

1 + e2xdx =

∫

4

(x2 + 9)dx =

∫

cos(θ)√sen θ + 1

sen θ + 2dθ

7. Calcule

∫

√

2 +

√

2 +

√

2 + 2 cos(5√x+ 4) x−1/2dx, R : (ad)

32

5sin

(5√x+ 4

8+ C

)

8. Demuestre que

a)

∫ b

a

f(x)dx = (b− a)

∫ 1

0

f(

a+ (b− a)x)

dx

b)

∫ b

a

f(c− x)dx =

∫ c−a

c−b

f(x)dx

10

c) Si x > 0 entonces

∫ 1

x

dt

1 + t2=

∫ 1/x

1

dt

1 + t2

d) Si f es continua entonces

∫ π

0

xf(sinx)dx =π

2

∫ π

0

f(sinx)dx Ayuda u = π − x.

Use esto y calcule

∫ π

0

x senx

1 + cos2xdx R(en) = π2

4

e) Demostrar que

∫ b

a

f(x) =

∫ b

a

f(a+ b− x)dx

f ) Demostrar que si f es continua en [0, a] entonces

∫ a

0

f(x)dx =

∫ a

0

f(a − x)dx use

esto para hallar la integral

∫ 1

0

ln(1 + x)

1 + x2dx R(st+en) = π

8 ln 2

g) Si f es funcion par y continua en [−a, a], entonces

∫ a

−a

f(x)dx = 2

∫ a

0

f(x)dx

h) Si f es funcion impar y continua en [−a, a], entonces

∫ a

−a

f(x)dx = 0. Use esto para

demostrar

∫ π/4

−π/4

x9 cosx+7√tanx+ senxecos

2 x + cos2 xdx R(p+i) = π+24

INTEGRALES POR PARTES

**

∫

cosx+ x sinx− 1

(senx− x)2dx Ayuda: lo identidad mas importante de 9o.

**

∫

x2

√1− x2

(

ln(1 + x)x − ln(1− x)x)

dx

**

∫

x2 − sen2 x

x− senx cosx+ x cosx− senxdx

∫

sec5 zdz∫

x tan−1 xdx

**

∫

ex(1 + x lnx)

xdx

*

∫

xearctan x

(1 + x2)3/2dx

*

∫

esin x(x cos3 x− senx)

cos2 xdx

∫

lnx

x3dx

∫

cos(lnx)dx∫

ln(lnx)

xdx

∫

x ln(x− 1

x+ 1

)

dx

**

∫

x2

(x cosx− senx)2dx

**

∫

(x2 + 1)ex

(x+ 1)2dx

*

∫

xex

(x+ 1)2dx

∫

(z2 − 5z − 3)sen(z)dz∫

z sen−1(z)

(1− z2)3/2dz

∫

x cosxdx

*

∫

tan−1 m

m2dm

∫ 1

0

z2ezdz∫

ln t

t√tdt

∫

sen2(lnx)dx∫

ln(√t+

√1 + t)dt

∫

cos3 xdx

**

∫

x cosx− senx+ 1

(x+ cosx)2dx

∫

sin((x− 1)1/4)dx∫ √

x(lnx)dx

∫

e1/x

x3dx

**

∫

(x sinx+ cosx)(x2 − cos2 x)

x2 cos2 xdx

**

∫

(e2x − x2)(x− 1)

x2exdx

∫

x sec2 xdx∫

x2e−xdx∫

x5e−x2

dx∫

1

1− sen(4x)dx

11

9. Si f ′′(x) = −af(x) y g′′(x) = bg(x), donde a y b son constantes, hallar

∫

f(x)g′′(x)dx

10. Calcular

∫ 1

0

xf ′′(2x)dx sabiendo que f(0) = 1, f(2) = 3 y f ′(2) = 5

11. Dada la funcion F (x) =

∫ x

0

sin t

tdt. Calcule

∫

F (x)dx

12. Suponga que para cierta funcion f se sabe que

f ′(x) =cos(x)

x, f(π/2) = a, f(3π/2) = b

Utilice integracion por partes para evaluar

∫ 3π/2

π/2

f(x)dx.

13. Suponga que existe f es una funcion continua y invertible en [0, 1], y que

∫ 1

0

f(x)dx =1

3.

Calcule

∫ 1

0

f−1(x)dx

14. Demuestre que para cualquier numero a > 1

∫ a

1

lnxdx+

∫ ln a

0

eydy = a ln a

15. Suponga que f tiene inversa y Demuestre

∫

f−1(x)dx = xf−1(x)−∫

f(y)dy

y a partir de esto calcule

∫

cos−1 xdx

SUSTITUCION TRIGONOMETRICA

16. Calcule usando una sustitucion “barata” o una sustitucion trigonometrica

a) ∗∫

x2 + 13√x2 + 9

b) ∗∫

x2

(1 + x2)2dx =

c)

∫

dx

x2√16 + 19x2

d)

∫

x3dx

(x2 + 1)1/2

e) ∗∫

x3dx√x2 + 2x+ 5

f ) ∗ ∗∫

dx

(1 + x4)√√

1 + x4 − x2

g) ∗∫

12dx

(2x− 1)√

(4x2 − 4x− 8)3

h) ∗∫

e−x

(9e−2x + 1)3/2dx

i) ∗ ∗∫

x√1− x√2− x

dx

j )

∫

x2dx√x2 + 4x− 5

k) ***

∫

dx

(x2 + 1)(√1− x2)

l)

∫

dx

x4√x2 + 3

m) ∗∫

4x+ 5

(x2 − 2x+ 2)3/2dx

n) ∗∫

(x2 − 25)3/2

x6dx

n)

∫

xdx

(x2 − 2)√x4 − 4x2 + 5

o) *

∫

dx

(x2 − 1)√x2 − 2

ARTIFICIOS BONITOS∫

senhx+ 3 coshx

coshx(

6 senh2 x+ senh 2x+ 5) (a2) Ayuda: div por cosh3 x

12

*

∫

√

tan2x+ 2dx Ayuda: Div por√tan2x+ 2.

*

∫

sin3(3x) tan(3x)dx

*

∫

sin4(x) + cos4(x)

sen2 − cos2 xdx

*

∫

cosx3

√

sen7(2x) cosxdx

*

∫

cos3(2x) sen(3x)dx

*

∫

tanh4(2x)dx

*

∫

sen2 x

cos6 xdx

*

∫

sen4(3x)

cos3(3x)dx

*

∫

tan2 x secx dx

*

∫

1√sen3 x cos5 x

dx

*

∫

1√senx cos3 x

dx

*

∫

sin2 x

cos6 xdx

∫ π/2

0

sec(x

2)dx

∫

tan(t) sec3(t)dt∫

sec6(t)dt∫

cot(t) + csc(t)

sin(t)dt

∫

3e2x − 4ex√4ex − e2x − 3

*

∫

4− 7x√x2 + 2x− 8

dx

*

∫

3dx√4x2 − 16x+ 17

*

∫

sin(2x) + 3 cosx√9 + 4 senx− cos2 x

dx

∫

cosh2(5x)dx

*

∫

tan5(x)√cos3xdx

*

∫

√2dx

cos3 x√

sen(2x)

*

∫

sen(3x) sin(5x)dx

*

∫

cos(2x) cos(7x)dx

*

∫

(1 + cos(4x))3/2dx

∫

dx√senx cos3 x

dx

INTEGRALES FRACCIONES PARCIALES

a)

∫

√sen t

cos tdt

b)

∫

dm

m(m69 + 1)3

c) **

∫ √tan θ dθ

d) ***

∫

x sec2 x

3 + 4 tanx+ sec2(x)dx

e)

∫

x4 − 2x3 − 3x2 + 15x− 8

x3 − 3x+ 2dx

f )

∫

m5

(m2 + 4)2dx

g)

∫

4x2 + 6

x3 + 3x

h)

∫

x2 + x− 1

x3 + x2dx

i) *

∫

x2 + 1

x5 + x4 − x− 1dx

j ) *

∫

x2

1− x6dx

k)

∫

x2

x6 − 10x3 + 9dx

l) **

∫

dx

x4 + 1

m)

∫

cot θ

sen7 θ + 1dθ

n)

∫

1 + ln t

t(3 + 2 ln t)2dt

n)

∫

e4t

(e2t − 1)3dt

o)

∫

x2

x4 − 1dx

p)

∫

4x4 + x+ 1

x5 + x4dx

17. Aplicacion: Suponga que la poblacion P (t) (en millones) de Ruritania satisface Ia ecuaciondiferencial

dP

dt= k P (200− P ) (k constante).

Su poblacion en 1940 era de 100 millones y entonces aumentaba a razon de 1 millon porano. Pronostique la poblacion de este pais para el ano 2000.

18. **Demuestre que

∫ 1

0

x2 + 1

x4 + 1dx =

π

2√2

(Recuerde que tan−1(m) + tan−1(n) = π/2 si

mn = 1)

19. Integrales EMOCIONANTES

a) ∗ ∗∫

(x2 − 1)dx

(x2 + 1)√x4 + 1

b) ∗ ∗∫

(x− 2)

x√x− 1

√x2 − x+ 1

dx c) ∗ ∗∫

√x2 − 4x

x3dx

20. Integrales interesantes

13

a)

∫

√x+ 4

xdx

b)

∫

2x+ 3

9x2 + 6x+ 5dx

c)

∫

2 + 6x

(3 + 2x− x2)2dx

d)

∫

x2

√16− x6

dx =

e)

∫

(3x−2)√

9x2 + 12x+ 8dx

f ) **

∫

2x3 + 3x

x4 + x2 + 1dx

g) **

∫

1√

(y2 + 1)ndy

21. Usando una sustitucion sencilla encuentre una integral mas facil de integrar.

INTEGRAL SUSTITUCION SENCILLA NUEVA INTEGRAL

∗ ∗∫

√

x3 − 3

x11dx u = , du =

∫

5x2 + 20x− 24√5 + x

z = dz =

∫

x4

(4− x2)7/2r = dr =

22. Use Artificios visto en clase, Euler, ruso, ect

a)

∫ √x

x3/4 + 2dx

b)

∫

dx√x(1 + 3

√x)

c)

∫ √x

x+ x4/5dx

d)

∫

dx

(2x+ 5)√2x− 3 + 8x− 12

e)

∫

dx

(x+ 1)3/4 − (x+ 1)5/4

f )

∫

x1/7 + x1/2

x8/7 + x15/14dx

g)

∫

1

x

√

x− 9

x+ 9dx

h)

∫

2

(2− x)23

√

2− x

2 + xdx

i) **

∫

√

cos2 x− cosxdx

j ) **

∫

dx

(cosx− senx)√

cos(2x)

k)

∫

dx

x√x2 + 2x− 3

l)

∫

dx

(x− 1)√x2 − 3x+ 2

m)

∫

1−√1 + x+ x2

x√1 + x+ x2

dx

n)

∫

dx

x−√x2 − 1

n)

∫

x+ 2

(x− 1)√x2 + 1

dx

o)

∫

dx3√x2(1 +

3√x2)

p)

∫

dx

x2(1 + x2)3/2dx

q)

∫

4

√

(1 +√x)3dx

r)

∫

√

2− 3√x

3√x

dx

s)

∫

x5 3

√

(1 + x3)2dx

t)

∫

3√x(2 +

3√x2)1/4dx

u)

∫

√1 + x1/3

3√x2

dx

v)

∫

dx

x3(1 + x3)1/3

w)

∫

dx4√1 + x4

x )

∫

cosx sen7 x

(sen2 x+ sen4 x+ cos2 x)3/2dx

y)

∫

dx3√8x3 + 27

z )

∫

dx

x7(x−3 + 1)4/3dx

23. Calcule las siguientes integrales Usando una sustitucion universal o sustitucion auxiliar

∫

dx

sin2 x+ 3 cos2 x∫

dx

2− sin2 x∫

dx

2 + sinx+ 3 cosx∫

senx

1 + sinx

∫

dx

sin2(4x) + tan2(4x)∫

sin(2x)dx

sin4 x+ cos4 x∫

1 + tanx

1− tanx∫

dx

sin2 x− 5 sinx cosx

∫

dx

cos2 x+ 2 sinx cosx+ 2 sen2 x

∫

sin2 x− 2 cos2 x

3− cos2 xdx

∫

senx tanx

sen3 x− cos3 xdx

14

24. EJERCICIOS DE ENTRETENIMIENTO∫

arcsinx+x√

1− x2dx

∫

1

3x2 + 11x+ 10

√

x+ 2

2x+ 3dx

∫

dx√x 3√x(1 + 3

√x)2

*

∫

ex(

cotx+ ln(sinx))

dx∫

6e4x

1− exdx

∫

√

2 + 3x

x− 3dx

∫

1

x3sen

( 1

x

)

dx∫

e4√xdx

*

∫

e2x + e−2x

e2x − e−2xdx

∫

√1− x2

x4arcsinxdx

∫

arcsin√2x√

1− 2xdx

∫

√

m+ x

xdx

**

∫

cosx− senx

5 + sen(2x)dx

∫

√1 + x8

x13dx

∫

dx

cos3 x√sen 2x

**

∫

ex(x2 − 8)

(x− 2)2∫

earctan x

(1 + e2 arctan x)(1 + x2)dx

*

∫

ex(x+ 1)

−1 + x2e2xdx

*

∫

e3xx2(x+ 1)

1 + x2e2xdx

∫

ex

(1 + ex)√ex − 1

dx

∫ π/2

0

7cos t sin tdt∫

xx(1 + ln(x))dx∫

ln(x+ x2)dx

∫ π/3

0

x tanxdx∫

x4 + 2x2

x3 − 1dx

∫

x3

x− 5dx

∫

x2 − x− 2

x3 − 2x− 4dx

∫

x2 + 1

x3 + 3x− 4dx

∫ 2

0

(x2 − ⌊x⌋)dx∫ 2

−1

z sin(πz2

4)dz

∫

3dx

x2 − 4x− 3∫

dx

x2 − 2x+ 10∫

2dx

x2 + 6x+ 18∫

5dx

−x2 − 8x− 12

∫

1

x2

√

1 + 1/x

1− 1/xdx

∫ 1/2

−1

x2√

1− x2dx

∫

x√3− 2x− x2

dx

∫

2 + 6x

3 + 2x− x2dx

∫

x√e2x2 − 1

dx

∫

1√2x− x2

dx

25. Pruebe que si f es continua, entonces

∫ x

0

f(z)(x− z)dz =

∫ x

0

(

∫ z

0

f(t)dt)

dz

26. Encuentre lımx→0

1

x3

∫ x

0

t2

t4 + 1dt

27. Demostrar que

∫ b

a

f(x)f ′(x)dx =1

2

(

[

f(b)]2 +[

f(a)]2)

28. Sea f continua en el intervalo [0, b] donde f(x)− f(b− x) 6= 0 en [0, b].

a) Demuestre que

∫ b

0

f(x)

f(x) + f(b− x)dx =

b

2

b) Utilizar el resultado del apartado a) para calcular

∫ 1

0

sin(x)

sin(1− x) + sin(x)dx

c) Utilizar el resultado del apartado a) para calcular

∫ 3

0

√x√

x+√3− x

dx

29. Calcular f(0), sabiendo que f(π) = 2 y que

∫ π

0

[

f(x) + f ′′(x)]

sin(x)dx = 5

30. Sea f(x) una funcion continua sobre [a, b]. suponga que1

b− a

∫ b

a

(f(x))2dx = 1 y que

1

b− a

∫ b

a

f(x)dx = 1. Demuestre que f(x) = 1 para todo x ∈ [a, b].

15

31. Explique la aparente contradiccion

∫

dx

sinx cos(x)=

∫

cotx

cos2(x)dx =

∫

dx

cotx cos(x)(Sea u = cot(x) dv = sec2 x),

= cotx tanx−∫

tanx(− csc2 x)dx = 1 +

∫

dx

sinx cos(x)

quiere decir esto que 1 = 0? Explique matemcaticamente.

32. Resuelva los problemas con valor inicial para y como una funcion de x.

a) xdy

dx=

√x2 − 16 x ≥ 4, y(4) = 0

b) (x2 + 1)2dy

dx=

√x2 + 1 y(0) = 1

33. Recuerde que sinhx =ex − e−x

2y que coshx =

ex + e−x

2usando esto demuestre que

senh(x) es una funcion impar y que coshx es una funcion par

cosh2 x− senh2 x = 1

senh−1 x = ln(x+√x2 + 1) para todo x

tanh−1 x =1

2ln(

1+x1−x

)

para |x| < 1.

34. Determine si la expresion es Falsa o Verdadero, Si es falsa explicar por que o dar unejemplo que lo demuestre

a)

∫

dx

3x√9x2 − 16

=1

4arc sec(

3x

4) + C

b)

∫

dx

25 + x2=

1

25arctan(

x

25) + C

c)

∫

dx√4− x2

= − arc cos(x

2) + C

16

Taller Tres

Aplicaciones de la Integral

1. Reglas del Trapecio y regla de Simpson

a) Use (a) la regla del trapecio, (b) la Regla de Simpson para aproximar la integral con el valorespecificado de n. (Redondee sus respuestas a seis decimales.)

1)

∫ 2

1

lnx

1 + xdx, n = 10

2)

∫ 5

1

cosx

xdx, n = 8

3)

∫ 4

1

(4− x2)dx, n = 6

4)

∫ 9

4

√xdx, n = 8

5)

∫ 3

0

1

1 + y5dy, n = 6

b) Aproximar el area de la region sombreada utilizando a) la regla de los trapecios y b) la regla deSimpson con n = 4.

2. Calcular el area de las regiones segun la grafica

17

3. Calcule el area de la region S limitada por y =2|x|

1 + x2, el eje x y las rectas x = −2 y x = 1

R: A(S) = ln(10)

4. Calcule el area de la region limitada por la parabola y = x2+4x, el eje x y las rectas x = −2y x = 2. R: A = 16

5. Halle el area de la region R limitada por las graficas de y = x2 , y = x3, x = −1 , x = 2. R:A(R) = 25

12

6. Halle el area de la region R limitada por las graficas de y = 4− x2, y = ln(2x− 3) , y = 1.R: A(R) = e

2 + 2√3− 13

3

7. * Halle el area de la region R limitada por las graficas de y = |x3−4x2+x+6|, 3y+x2 = 0,x = 0, x = 4, (Fig.1) R: A(R) = 341

18

8. Halle el area de la region R que se encuentra en el primer cuadrante y esta limitada por las

curvas xy = 1 , xy = 3 , x− xy = 1 , x− xy = 3. R: A(R) = ln(

729256

)

9. Halle el area de la region R, ubicada en el primer cuadrante y que esta limitada por lasgraficas de y = x2, x2 = 4y, x+ y = 6. R: A(R) = 1

3 (28√7− 62)

10. * La region R, limitada por la curva y = 10x−5x2 y el eje x, es dividida en dos partes igualespor una recta que pasa por el origen. Halle la ecuacion de dicha recta. R: y = (10− 5 3

√4)x

Fig.1

Fig.2

11. Determine m de manera que la region que esta por encima de y = mx y debajo de laparabola y = 2x− x2 tenga area igual a 36. R: m = −4

12. Una parabola de eje vertical corta a la curva y = x3 + 2 en los puntos (−1, 1) y (1, 3). Sise sabe que las curvas mencionadas encierran una region de area 2, halle la ecuacion dela parabola. R: 2y = 3x2 + 2x+ 1 o 2y = 7 + 2x− 3x2

13. Sombree la region R limitada por las curvas dadas y calcule su area. y + x = 0, y =∫ x

0

f(t)dt, donde f(t) =

3t2 t < 2

−2t− 1, t ≥ 2R: 23

√14−583

14. La hiperbola equilatera x2 − y2 = 8 divide en 3 regiones a la circunferencia x2 + y2 = 16.Halle el area de cada una de las regiones.

15. Dibuje y calcule el area de la region acotada por las cada una de las curvas

a) y = |x|; 2y = x+ 2.

b) y2 = x; y2 = 2(x− 3).

c) x = y2 − 2; y = ln(x); y = 1; y = −1

d) y2 = x− 4y; 2y = y2 + x

e) y = 4− x2; y + x = 2; x = −2; x = 3

f ) y = −x2 − 2x; y = x2 − 4

g) y = |x2 − 4| 2y = x2 + 8

h)√x = y − 1: x+ y = 3; x2 = 4y y x = 0

16. Encontrar c tal que la recta y = c divide la region acotada por las dos funciones en dosregiones de area igual.

a) y = 9− x2, y y = 0

b) y = 9− |x|, y y = 0

c) y = x, y = 4 x = 0

d) y2 = 4− x, x = 0

18

17. Encontrar el area de la region en el primer cuadrante, que esta acotada por arriba pory =

√x y por abajo por el eje x y la recta y = x− 2

18. Determine el area de la region R acotada por la recta y =1

2x y por la parabola y2 = 8− x.

19. Trace la region en el plano xy definida por las desigualdades x− 2y2 ≥ 0 y 1− x− |y| ≥ 0,y determine su area.

20. ¿Para que valores m de la recta y = mx y la curva y =x

x2 + 1definen una region? Calcule

el area de la region.

21. Utilice el calculo para obtener la formula A = πr2 para el area de un circulo de radio r.

22. Hay una recta que pasa por el origen que divide la region definida por la parabola y = x−x2

y el eje x en dos regiones de area igual. ¿Cual es la pendiente de la recta?

23. En la figura 1se ilustra una horizontal y = c que corta a la curva y = 8x− 27x3. Encuentreel numero c tal que las areas de las regiones sombreadas sean iguales.

24. **En la figura 2 se ilustra una curva C con la propiedad de que para todo punto P en lamitad de la curva y = 2x2, las areas A y B son iguales. Determine una ecuacion de C.

25. La elipsex2

a2+

y2

b2= 1. Demostrar que el area de la region que acota es A = πab.

26. Sean A y B los puntos de interseccion de la parabola y = x2 y la recta y = x+ 2 y sea C elpunto de la parabola donde la recta tangente es paralela a la grafica de y = x+ 2. Muestreque el area del la region entre la parabola y la recta es 4

3 del area del triangulo ABC. (Fig3).

27. * Calcule, si existe, el area de la region infinita comprendida entre la curva (2a−x)y2 = x3,(a > 0) y su asıntota vertical. A = 3πa2

28. Dada la region infinita Ω limitada superiormente por xy = 1, inferiormente por yx2+y−x = 0y a la izquierda por x = 1. Calcule su area si existe. A = ln(

√2)

Fig 1.

Fig 2

Fig 3

Fig 4

VOLUMENES DE SOLIDOS: Use cualquier metodo

1. Encontrar el volumen del solido formado al girar la region acotada por las graficas de

a) y = x2, y =√x, x = 2 alrededor del eje x V= 5π

b) y = x2 − 1, y = 0, x = 0 y x = 1 alrededor del eje y

c) y = x2 + 1, y = −x+ 3 alrededor de y = −1.

d) y = x2 y = 4x− x2, (a) alrededor del eje x; (b) alrededor de y = 6

e) y = 6− 2x− x2 y = x+ 6, (a) alrededor del eje x (b) alrededor de y = 3

2. Un fabricante taladra una esfera de metal de 5 pulgadas de radio. El orificio tiene un radiode 3 pulgadas. ¿Cual es el volumen del objeto de metal resultante?

19

3. Suponga que la base de un solido es la region acotada por las rectas f(x) = 1 − x

2,

g(x) = −1 +x

2y x = 0; y cuando hacemos secciones transversales perpendiculares al eje

y son triangulos equilateros. Con esta informacion Calcule el Volumen de dicho solido.

4. Demostrar que el volumen de una piramide con una base cuadrada es V = 13hB, donde h

es la altura de la piramide y B es el area de la base.

5. Encontrar el volumen del solido generado por la region acotada por y =3

1 + x, y = 0,

x = 0 x = 3 la cual gira alrededor de la recta y = 4.

6. La region limitada por la circunferencia (x+ 2)2 + (y − 2)2 = 1 gira alrededor de la rectax = 3. Calcule el volumen del solido generado (toro de revolucion). V=10π2

7. Encontrar el volumen del solido generado por la region acotada (y − 2)2 = 4− x, y x = 0al girar alrededor de las rectas dadas.

El eje x

la recta y = 5

El eje y

la recta x = 5

8. Encontrar el volumen del solido generado al girar cada region plana alrededor del eje y.(dado el caso aproxime los puntos de interseccion)

9. Determine el volumen comun a dos cilindros circulares, ambos de radio r, si los ejes delos cilindros se cortan en angulos rectos ver fig.

10. Calcule el volumen comun a dos esferas, cada una de radio r, si el centro de cada esferaesta en la superficie de la otra esfera

11. Sea f : [0,∞) → R una funcion continua tal que f(x) > 0, ∀ x > 1. Para todo a > 1,el volumen del solido generado por la rotacion de la region limitada por las graficas de

y = f(x), x = 1, x = a y el eje x, alrededor del eje x es: V = a3

3 + 2a2 − 73 . Determine

f(x). R : f(x) =1√π

√x2 + 4x.

12. Calcule el volumen de la region infinta R comprendida entre la curva y =

∫ x

0

−4t

(t2 + 1)3dt,

(x ∈ R) y su asıntota y el eje de rotacion es su asıntota. V = 3π2

16

20

13. Se corta una cuna curva de una cilindro con radio 3 en dos planos. Uno de los planos esperpendicular al eje del cilindro; el otro cruza al primero formando un angulo de 45 en elcentro del cilindro ver figura. Determinar el volumen de la cuna.

14. Cada una de las integrales representa el volumen de un solido de revolucion. Identificar a)la region plana que se gira y b) el eje de revolucion.

a) 2π

∫ 2

0

x3dx

b) 2π

∫ 1

0

y − y3/2dy

c) 2π

∫ 6

0

(y + 2)√

6− ydy

d) 2π

∫ 1

0

(4− x)exdx

e) π

∫ 5

1

(x− 1)dx

f ) 2π

∫ 2

0

y[5− (y2 + 1]dy

g) 2π

∫ 4

0

x(x

2)dx

h) π

∫ 2

0

[16− (2y)2]dy

15. Volumen de un casquete de una esfera Sea una esfera de radio r que se corta por unplano, formando un casquete esferico de altura h. Mostrar que el volumen de este segmentoes 1

3πh2(3r − h).

16. Calcule el volumen de un tronco de un cono circular recto cuya altura es h, base inferior deradio R, y radio de la parte superior r.

17. Sean V1 y V2 los volumenes de los solidos que resultan cuando la region plana limitada por

y =1

x, y = 0, x =

1

4, y x = c (c >

1

4) se gira alrededor del eje x y el eje y, respectivamente.

Encontrar el valor de c para el cual V1 = V2.

18. Considerar la grafica y2 = x(4−x)2 (ver la figura 2). Encontrar los volumenes de los solidosque se generan cuando la espira de esta grafica se gira alrededor a) del eje x, b) del eje y yc) la recta x = 4.

Fig 2

Fig 2

19. La “base”de un solido es la region limitada por la esfera x2+ y2 = 1. Halle el volumen delsolido S si las secciones transversales perpendiculares al eje x son:

a) Las secciones transversales son discos circulares con diametros en el plano xy.

b) Las secciones transversales son cuadrados con base en el plano xy.

c) Las secciones transversales son cuadrados con diagonales en el plano xy. .

d) Las secciones transversales son triangulos equilateros con bases en el plano xy.

20. El solido se encuentra entre los planos x = 0 y x = 4 y las parabolas y = −√x y y =

√x

a) Las secciones transversales son discos circulares con diametros en el plano xy.

b) Las secciones transversales son cuadrados con bases en el plano xy.

21

c) Las secciones transversales son cuadrados con diagonales en el plano xy.

d) Las secciones transversales son triangulos equilateros con bases en el plano xy.

21. La region limitada por la elipse x2

a2 +y2

b2 = 1 con 0 < b < a gira alrededor de su eje mayor.Calcule el volumen del solido generado. V = 4

3ab2π

22. La regiones que se muestra a continuacion se hace girar alrededor del eje x para generarun solido. ¿Cual de los metodos (el de discos, el de arandelas, o el de casquillos) podrıautilizarse para determinar el volumen del solido? ¿Cuantas integrales son necesarias encada caso? Explique.

23. La region infinita comprendida entre la curva x + xy2 − y = 0 y su asıntota vertical gira

alrededor de su asıntota vertical. Calcule, si existe, el volumen del solido. V = π2

2

24. Determine el volumen del solido de revolucion generado al rotar alrededor del eje x la re

gion infinita comprendida entre la recta y = 0 y la curva y =1

3√x2

V = 3π

25. * Calcule el volumen del solido de revolucion que se obtiene al girar alrededor de la rectax = 1 la region limitada por las graficas de

y = |x2 − 2x− 3|, y + 1 = 0, x− 1 = 0, x− 4 = 0, V =59

2

26. La region infinita comprendida entre la grafica de xy2 = (3a − x), (a > 0 ) y su asıntota

vertical x = 0 gira alrededor del eje y. Calcule el volumen del solido generado. V =9a2π2

2

22