5 Las Funciones Trigonométricas

Sección 5.2 (parte 1)

Funciones Trigonométricas de

Angulos

Triángulos Rectos • Un triángulo es recto (triángulo rectángulo) si

uno de sus ángulos internos mide 90o.

• La suma de las medidas de los 3 ángulos

internos de un triángulo recto es 180 grados.

• Si θ es un ángulo de la base del

triángulo, los lados del triángulo

recto se nombran en forma

estándar como muestra la siguiente figura.

• Los lados de un triángulo recto

se relacionan según describe el

teorema de pitágora:

𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝒄𝟐

Triángulos Rectos y

Ángulos Agudos

Lado opuesto

a

Lado adyacente a

• Se puede nombrar cada lado

de un triángulo recto conforme

a su posición respecto a un

ángulo agudo.

• La hipotenusa es el lado más

largo del triángulo recto y es el

lado opuesto al ángulo recto.

• Si nombramos el ángulo de la

base , uno de los lados es el

lado opuesto a y otro es el

lado adyacente a .

Triángulos Rectos y

Ángulos Agudos

• Nombre cada lado del triángulo recto conforme a su

relación con el ángulo .

Razones Trigonométricas Para un ángulo agudo, θ, de un triángulo recto,

• se forman razones entre las longitudes de los lados del triángulo recto que son únicas

• estas razones definen seis funciones llamadas las

funciones trigonométricas.

seno (sin)

coseno (cos)

tangente (tan)

cosecante (csc)

secante (sec)

cotangente (cot)

Lado opuesto

a

Lado adyacente a

Sea un ángulo agudo de un triángulo recto.

Las 6 funciones trigonométricas de se

definen:

Razones Trigonométricas

sin 𝜃 =𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝜃

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

cos 𝜃 =𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝜃

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

tan 𝜃 =𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝜃

𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝜃

csc 𝜃 =ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝜃

sec 𝜃 =ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝜃

cot 𝜃 =𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝜃

𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝜃

Ejemplo En el triángulo que se muestra, hallar los valores de las

6 funciones trigonométricas de .

Solución:

13

5

12

Funciones Recíprocas Deben notar que existe una relación recíproca entre

algunas parejas de funciones trigonométricas.

csc 1

sin

1sec

cos

𝐬𝐢𝐧 𝜽 =𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐 𝒂 𝜽

𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂 𝐜𝐬𝐜 𝜽 =

𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂

𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐 𝒂 𝜽

sin 𝜃 =1

csc 𝜃

𝐜𝐨𝐬 𝜽 =𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂 𝜽

𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂 𝐬𝐞𝐜 𝜽 =

𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂

𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂 𝜽

cos 𝜃 =1

sec 𝜃

Funciones Recíprocas (cont)

cot 1

tantan 𝜃 =

1

c𝑜𝑡 𝜃

𝐭𝐚𝐧 𝜽 =𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐 𝒂 𝜽

𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂 𝜽 𝐜𝐨𝐭 𝜽 =

𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂 𝜽

𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐 𝒂 𝜽

NOTA: Existen muchas otras relaciones entre las razones trigonométricas que se pueden descubrir si manipulamos las definiciones básicas. Por ejemplo:

sin (𝜃) ÷ cos (𝜃) = 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎÷

𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

=𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎∙

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

=𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝑡𝑎𝑛𝜃

Por lo tanto: tan 𝜃 =𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑐𝑜𝑠𝜃

Ejemplo Dado un triángulo recto, en el que

Solución:

csc 1

sin

1

4

5

5

4

sec 1

cos

1

3

5

hallar los valores exactos de las demás funciones

trigonométricas de .

5

3cot

1

tan

1

4

3

3

4

Ejemplo

Solución:

• Si 𝐬𝐢𝐧 𝜷 =𝟔

𝟕 y es un ángulo agudo, determinar

los demás valores trigonométricos de . Su

respuesta debe ser exacta.

6

7

opp

hyp

Use la definición de la función del seno como una razón

y dibuje el triángulo recto.

7

a

6

Use la ecuación de Pitágora para hallar a.

a2 b2 c2

a2 62 72

a2 36 49

a2 49 36 13

a 13

Ejemplo (cont) Solución (cont):

Ahora, use las longitudes de los 3 lados para determinar las cinco razones restantes.

sin 6

7

cos 13

7

tan 6

13

6 13

13

csc 7

6

sec 7

13

7 13

13

cot 13

6

Ejemplos Hallar el valor de cada función trigonométrica a

continuación utilizando la calculadora. Redondee a 4

lugares decimales:

a) sin 84o b) sec 48o c) cot 29.7o

Solución:

Asegúrate de que la calculadora esté en modo de grado.

Ejemplos Hallar el valor de cada función trigonométrica a

continuación utilizando la calculadora. Redondee a 4

lugares decimales:

a) sin 84o b) sec 48o c) cot 29.7o

Solución:

a) b) c)

Valores de las funciones trigonométricas

para ángulos especiales

θ = 60°, θ = 30°, θ = 45°

Se enfatizan los valores de éstos ángulos por que son exactas y por que ocurren frecuentemente en trabajo que envuelve el uso de la trigonometría.

Triángulo equilátero: base = 2 Triángulo rectángulo: base y altura = 1

Valores especiales (cont.)

Ejemplo Hallar el valor de exacto para x & y en la figura:

Usando el ángulo de 60o que nos dan

tenemos

Despejando para x tenemos:

a) sin 𝟔𝟎° =𝟑

𝒙

a) x =𝟑

sin 𝟔𝟎°→ x =

𝟑

𝟑𝟐

→ x =𝟔

𝟑→ x =

𝟔 𝟑

𝟑→

Solución:

𝑥 = 2 3

b) cos 𝟔𝟎° =𝒚

𝒙 𝒚

b) 𝑦 = 𝒙 cos 𝟔𝟎° →

𝑦 = 𝟑

𝑦 = 2 31

2

Ejemplo Desde 1990 a 1997, el letrero de publicidad más alto en el

mundo era una letra gigante situada encima de un edificio

de 73 pisos en Los Ángeles. 171 pies al frente de un punto que

está directamente debajo del letreo, el ángulo entre el suelo

y la parte superior del letrero era 80.81°. Aproxime la altura

del letrero sobre el suelo al entero más cercano.

Solución:

tan 𝟖𝟎. 𝟖𝟏° =𝒉

𝟏𝟕𝟏

Usamos_ • la altura, h, como la desconocida • formamos un triángulo recto sobre la figura • usamos la función del tangente ya que tenemos el lado

adyacente y queremos el lado opuesto.

171(tan 𝟖𝟎. 𝟖𝟏°) = 𝒉

𝒉 ≈ 𝟏𝟎𝟓𝟕 𝒇𝒕

Aplicaciones: Tipos de ángulos

Aplicaciones: Ejemplo1 A la misma vez que un globo de aire se calienta y comienza a subir, el personal de tierra viaja 1.2 mi hacia una estación de observación. La observación inicial estimó que el ángulo entre la tierra y el globo era 30º. Aproxime la altura al cual se encuentra el globo en ese momento.

Solución

tan 30º opp

adjh

1.2

1.2 tan30º h

1.23

3h

0.7 h

El globo está aproximadamente a 0.7 mi, or 3696 ft.

Decidir cuál función trigonométrica nos

relaciona la información que me da el

problema con la que me pide obtener.

Aplicaciones: Ejemplo 2 El supervisor de pintura ha comprado escaleras nuevas que se extienden hasta 30 pies. El manufacturero dice que, para mayor seguridad, se debe extender la escalera 25 pies y colocarla de tal forma que la base este a 6.5 pies de la pared. ¿Qué ángulo debe hacer la base de la escalera con el suelo?

Solución:

• Debe comenzar haciendo un esquema de la situación, nombrando las partes y anotando la información que se

tiene.

• Luego, decidir cuál función trigonométrica nos relaciona la

información que me da el problema con la que me pide obtener.

Solución (cont):

cos adj

hyp

6.5 ft

25 ft

0.26

74.92993786º

Por lo tanto, la escalera está en su posición más seguara. con un ángulo de 75º con el suelo.

Use la calculadora para hallar el ángulo que tiene coseno igual a 0.26:

Resolver un triángulo

• Resolver el triángulo recto implica

determinar las longitudes de todos

los lados y las medidas de todos los

ángulos.

• Para este tipo de ejercicio el triángulo

se nombra según muestra la figura

Ejemplo

En el triángulo recto

ABC, determinar a, b, y B

si el triángulo se ha

nombrado de forma

estándar como se

muestra en el diagrama.

B

b

106.2

C A

a

61.7º

Ejemplo (cont.) Solución:

Como la suma de los ángulos

internos de un triángulo es 180o,

la suma de A y B debe ser 90o.

Por lo tanto, las medidas de los

ángulos son:

B 90º A 90º 61.7º 28.3º

B

b

106.2

C A

a

61.7º

A 61.7º

B 28.3º

C 90º

Ejemplo (cont.) Solución (cont.):

a 106.2sin61.7º

a 93.5

B

b

106.2

C A

a

61.7º

cos61.7º adj

hyp

b

106.2

b 106.2cos61.7º

b 50.3

a 93.5

b 50.3

c 106.2

Las longitudes de los lados son:

Identidades Fundamentales

• Las identidades fundamentales que se presentan a continuación envuelven el cuadrado de alguna

función trigonométrica.

NOTA aclaratoria:

• En general, si n es un entero, diferente a –1, entonces una potencia como (cos θ)n se escribe

cosn θ.

o Ejemplo:

• NOTE que

o Ejemplo sin𝜋

6

𝟐=

sin 𝒙 𝟐 = sin𝟐 𝒙

sin 𝒙 𝟐 ≠ sin 𝑥2

1

2

2

sin𝜋

6

2

= sin𝜋2

36→

=1

4

Identidades Fundamentales

NOTA: (contiuación)

• Los símbolos sin-1 θ y cos-1 θ se reservan para las

funciones inversas. Por lo tanto,

(sin 𝒙)−𝟏=𝟏

sin 𝒙 sin-1 (x)

Función inversa Función recíproca

Identidades Fundamentales

• Identitdades pitagóricas:

• 𝒔𝒊𝒏𝟐𝜽 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 = 𝟏

Ejemplos:

=𝟑

𝟐

𝟐

+𝟏

𝟐

𝟐

=𝟑

𝟒+

𝟏

𝟒

=𝟒

𝟒= 𝟏

𝟐) 𝒔𝒊𝒏𝟐𝝅

𝟒+ 𝒄𝒐𝒔𝟐

𝝅

𝟒=

=𝟐

𝟐

𝟐

+𝟐

𝟐

𝟐

=𝟐

𝟒+

𝟐

𝟒

=𝟒

𝟒= 𝟏

𝟏) 𝒔𝒊𝒏𝟐𝟔𝟎° + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟔𝟎° =

Identidades Fundamentales

De la identidad pitagórica anterior:

𝒔𝒊𝒏𝟐𝜽 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 = 𝟏 Podemos derivar otras.

o Si dividimos la ecuación anterior entre el cos2 en ambos lados tenemos

𝒔𝒊𝒏𝟐𝜽

𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽+

𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽

𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽=

𝟏

𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽

𝒕𝒂𝒏𝟐𝜽 + 𝟏 = 𝒔𝒆𝒄𝟐𝜽 o Si dividimos la ecuación anterior entre el sin2 en ambos

lados tenemos

𝒔𝒊𝒏𝟐𝜽

𝒔𝒊𝒏𝟐𝜽+

𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽

𝒔𝒊𝒏𝟐𝜽=

𝟏

𝒔𝒊𝒏𝟐𝜽

1 + 𝒄𝒐𝒕𝟐𝜽 = 𝒄𝒔𝒄𝟐𝜽

Ejemplo

Sea θ un ángulo agudo. Expresar sin θ en términos de

cos θ.

Solución:

Ejemplo Verifique la siguiente identidad transformando el lado

izquierdo en el lado derecho.

Solución:

Comenzando con el lado izqueirdo demostramos la

identidad como sigue:

Solución (cont)

Ejemplo Simplifique la siguiente expresión:

Solución:

Ejemplo Verifique la siguiente identidad.:

Solución:

Se rescribe sec2x en términos del cos2x..

Se recogen los términos del numerador sobre el común denominador: cos2x

Ejemplo (cont.) Solución (cont.):

Multiplicar por el recíproco del denominador.

Despejando la identidad pitagórica cos2x + sin2x = 1, encontramos que sin2x = 1 - cos2x

Por lo tanto: