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Capítulo 2

CONCEITOS BÁSICOS DE MECÂNICA

Geotecnia e Fundações, Arquitectura


A

F=σ

Tensão: σ - Tensão (N/m2 ou Pa)

F – força (N)

A – Área (m2)

Estado interno gerado num corpo para equilibrar a força F aplicada numa dada área de contacto A

Deformação:

0L

L∆=ε

Por exemplo, num ensaio de um provete de aço à tracção: L0

∆L

F

1. Noção de tensão e de deformação

2

No espaço bidimensional

=

yyyx

xyxx

σσ

σσσ

=

=

xy

y

x

xy

y

x

τ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

x

y

σy

σx

τxyσx

τxy

τyx

σy

τyx

Para os solos é costume adoptar-se

y=1(direcção vertical, do peso próprio)

x=2 (direcção horizontal)


yxyxxyxy τστσ ===

As deformações têm igual correspondência

x

y

εxx

1/2γxy

1/2γyx

εyy

1/2γyx εyy

εxx

1/2γxy

εyy

εxx

1/2γ

1/2γ

γ

extensão

distorção

σ ε

τ γ

Significado físico das deformações:


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=

yyyx

xyxx

σσ

σσσ

=

=

xy

y

x

xy

y

x

τ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

x

y

σy

σx

τxyσx

τxy

τyx

σy

τyx

AB

σ

τ

σx σy

τxy

τyx

2x90º

A

B

Círculo de Mohr das tensões

Convenção de sinais adoptada na Mecânica dos Solos

Compressões positivas

Tensões tangenciais positivas quando os binários fazem rodar no sentido anti-horário

+

90º


Nos solos não hávalores negativos de tensões normais

Círculo de Mohr

Cada ponto do círculo de Mohr representa o estado de tensão num plano com uma dada orientação no espaço 2D.

As rotações dos planos, no círculo, são o dobro das rotações reais (observadas no espaço).

O sentido é o mesmo porque a convenção de sinais adoptada na mecânica dos solos para as tensões normais é contrária à adoptada na Mecânica dos Meios Contínuos.

σ

τ

σB’

σA’

τB’

τA’

σH=σII σV=σI2xθ

σV=σI

B

A

σV=σI

σH=σIIσH=σII

θ

A’

τA’

σA’

τB’

B’ σB’

τA’

σA’

σB’ τB’

σI e σII são as tensões principais


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=

=

yyyx

xyxx

yyyx

xyxx

δεδγ

δγδε

δεδε

δεδεε

2

1

2

1

=

=

xy

y

x

xy

y

x

γ

ε

ε

ε

ε

ε

ε

2

1

δε

1/2δγ

δεx δεy

1/2δγxy

1/2δγyx

2x90º

A

B

Círculo de Mohr das deformações

x

y

δεy

δεx

1/2δγxyδεx

1/2δγxy

1/2δγyxδεy

1/2δγyx

AB 90º


Convenção de sinais igual à das tensões

Pode haver valores positivos e negativos de deformações volumétricas

2. Modelos de comportamento mais usuais1- Elástico linear

E – módulo de Elasticidade

ε1

σ1

σ1=Eε1

σ1

ε1

ε3

ε3= -vε1

v – coeficiente de Poisson

( )( )

11 11

22 22

12 12

1 0

1 01 1 2

1 20 0

2

Eσ ν ν ε

σ ν ν εν ν

σ ν ε

−

= − + − −

Constantes elásticas:

E, v e G

G –módulo de distorção

E 2(1+v)

G=


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2- Elástico não linear

Esec – módulo de elasticidade secante

ε1

σ1

Etan – módulo de elasticidade tangente

Pode ser assumido como um comportamento elástico linear nas pequenas deformações

Pequenas deformações


3- Elástoplástico

εP - Deformações irreversíveis ou plásticas


εe - Deformações elásticas ou reversíveis

ε

σ

εP

σyTensão de cedência

carg

ade

scar

gare

carg

a

εe

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Aço (tracção) Betão (compressão simples)

Solo (compressão com tensões crescentes de confinamento)

σ

ε

Eσ=Eε

σ

ε

Eσ=Eε

ε

E

σV

σHσH

σV

σV

σH crescentes

Elástico linear Elástico não linear

Para os materiais mais comuns em Engenharia Civil:

Elastoplástico


3. Tensões nos solos

Convenciona-se que a direcção vertical e a horizontal são direcções principais

σV=σI

σV=σI

σH=σIIσH=σII

z

Superfície do terreno Na ausência de carregamento, num ponto à profundidade z, as tensões são devidas ao peso do solo:

Tensões verticais:

Tensões horizontais:

zhV γσ =

zkk hVH γσσ ==

γh – peso volúmico do solo (seco, húmido ou saturado)

k – coeficiente de impulso (há váriasexpressões para o seu cálculo)


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Tensão total, pressão intersticial e tensão efectiva

A presença de água no solo tem que ser considerada

NFA

B

zAz1

z2=hw

Solo húmido

Solo saturado (submerso)

Tensão total:

σA=γhzA

σB=γhz1+γsathw

u=γwhw

com γw =10kN/m3

(peso volúmico da água)

uA=0

uB=γwhw

Pressão intersticial:



Pressão intersticial

É positiva nos solos totalmente saturados e negativa (sucção) caso os solos não estejam saturados.

Representações mais usuais:

N.F.

N.A.

Solo saturado (Sr=100%)

u>0

u<0

Solo húmido (Sr<100%)

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É a pressão na água dos vazios do solo (solo completamente saturado).

É isotrópica ou hidrostática (igual em todas as direcções).

A resultante das pressões intersticiais é a impulsão. Esta força opõe-se ao peso nos corpos submersos.

Pressão intersticial

Tensão efectiva

tensão efectiva:

NFA

B

zAz1

z2=hw

Tensão total: σA=γhzA σB=γhz1+γsathw

uA=0 uB=γwhwpressão intersticial:

σ’ = σ - u Conceito de tensõesefectivas de Terzaghi

=

σ’v

σ’v

σ’h σ’h-

σv

σv

σh σh

u

u

u u

tensão tensão pressão intersticialtotalefectiva

= -

σ’A=γhzA σ’B=γhz1+(γsat-γw)hw

Peso volúmico submerso: γsub ou γ’


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Sendo o solo um agregado de partículas sólidas, a sua resistência e variação de volume depende do arranjo das partículas (estrutura granular).

Tensão efectiva (Cap. 4)

Partícula sólida

Água (fase líquida)

Ar (fase gasosa)

Partícula sólida

MeniscoPartícula

sólida

Vazio com ar e água


No caso dos solos não estarem saturados, háágua a formar meniscos nos contactos entre as partículas. Do equilíbrio entre a pressão do ar e da água existentes nos vazios surgem forças de capilaridade (T) .

As forças capilares unem as partículas entre si e, deste modo, aumentam a resistência do solo. Anulam-se quando o solo écompletamente saturado, o que explica a perda significativa de resistência observada, por exemplo, na areia húmida.

Tubo capilar com diâmetro d

meniscoTensão efectiva (Cap. 4)

hc - altura da água no tubo capilar

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Do ponto de vista macroscópico, o solo entende-se como um meio contínuo e o seu comportamento, descontando a presença da água, explica-se por variações de tensões efectivas

Verifica-se experimentalmente que as tensões efectivas são as responsáveis pelas variações de volume e pela resistência dos solos.

Tensão efectiva (Cap. 4)

Exemplo de AplicaçãoPara os pontos A e B:a) Calcule a tensão total, σ.b) Calcule a pressão intersticial, u.c) Calcule a tensão efectiva, σ’.

σA=120kPa

uA=60kPa

σ’A=60kPa

0,0 m

10,0 m

6,0 mAreia: γsat=20kN/m3

N.F.

σB=200kPa

uB=100kPa

σ’B=100kPa

A

B


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Capítulo 3

COMPORTAMENTO FRICCIONAL E COESIVO


1. Resistência ao corte

- Distorção de um corpo e rotura por corte

F F

γ

Distorção

σ

τ

Plano de corte

A tensão neste plano é independente da deformação(Comportamento

elástico)

F

Rotura por corte(Comportamento

plástico)τ= f(σ)


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Comportamento friccional

τ = c’ + σ’ tanφ’

σ’ – tensão efectiva (normal ao plano de corte)

c’ – coesão (MPa) (c’=0 se material tem comport. friccional)

φ’ – ângulo de resistência ao corte

σ- tensão normal

τ- tensão tangencial

µ - coeficiente de atrito

P

T

Fa=µP

- Critério de rotura de Mohr-Coulomb

σ’

τφ’

c’

τ = c’ + µσ’

em equilíbrio, T=Fa


se c’=0

Demonstra-se que, na rotura, a relação entre as tensões principais do círculo de Mohr é dada pela expressão:


'sin1

'sin1

'

'

φ

φ

σ

σ

+

−=

I

II

σ’

τ

σ’II σ’I

τRotura

A B

C φ’

90º-φφφφ’ A e B – planos principais

C – plano de rotura

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- Critério de rotura de Tresca

Comportamento coesivo (solos coerentes)

σ

τ

Cu

τ = Cu

τ = Cu A resistência ao corte resulta das ligações internas do material

τ- tensão tangencial

Cu – resistência não drenada(coesão não drenada)

T

F=Cu


2. Comportamento friccional τ = c’ + σ’ tanφ’

Verifica-se nos materiais granulares

Se c=0, o material tem comportamento puramente friccional (é o caso das areias)

σ’

τ

c=0, a envolvente passa na origem

Escreve-se em termos de tensões efectivas porque se tem que se descontar a parcela do carregamento (peso) equilibrada pela pressão intersticial

Corresponde a uma resposta em condições drenadas


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3. Comportamento puramente coesivo τ = cu

Verifica-se nos materiais coerentes como é o caso das argilas e de solos com uma percentagem importante de argila

Escreve-se em termos de tensões totais porque não depende do nível de tensão instalado (devido ao carregamento ou ao peso, por exemplo)

Corresponde a uma resposta em condições não drenadas


As propriedades de resistência (φ’, c’ e Cu) são obtidas em ensaios realizados para medir a resistência ao corte de solos


4. Propriedades de resistência (Cap. 4)

Alguns ensaios mais correntes:

Caixa de corte

Corte simples

Ensaio Triaxial

Verdadeiro ensaio triaxial

No ensaio aplicam-se forças (tensões) que provocam a rotura por corte (há corte porque há distorção).

Durante o ensaio medem-se as tensões e as deformações até à rotura.

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N

T

Caixa de corte

Ensaio mais simples: Caixa de corte

τyx

Caixa de corte

σxx

γyx

δx

δy

x

y

Ω=

Nxxσ

Ω=

Txyτ

Ω - área de contacto(ou da superfícieonde ocorre a roturapor corte) σ

Ponto na envolvente de rotura

τ

τyx

σxx


τzx

γzx

γzx

δVolume

Areia densa

Areia solta

τpico

τresidual

ψ>0 (dilatante: aumento de volume)

ψ<0 (contráctil: diminuição de volume)

Areia densa

Areia solta

F

h2

h2>h1

h1

Aumento de volume

Explicação física:

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