Geometria espacial aula 3

ETAPA PRÉ-VESTIBULAR

1COORDENADOR REGIONAL: WALTER ALENCAR DE SOUSA walteralencar.blogspot.com.br


PIRÂMIDEDefinição: Seja α um plano, R uma região poligonal em α e V um ponto não pertencente a α. Chama-se pirâmide à reunião de todos os segmentos com umadas extremidades num ponto de R e a outra no ponto V.

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Elementos de uma pirâmide:

Vértice: é o ponto V.Base: é o polígono ABCDEArestas da base: são os lados da base: AB, BC, ...Arestas laterais: VA, VB, ...VEFaces laterais: são os triângulos VAB, VBC, ...Altura: é a distância do vértice ao plano da base.



CLASSIFICAÇÃO:

Pirâmide triangular ou tetraedro: a base é um triângulo.

Pirâmide quadrangular: a base é um quadrilátero.

Pirâmide pentagonal: a base é um pentágono e assim por diante.

Se a base é um polígono regular, e a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base for o centro desse polígono, a pirâmide é uma pirâmide regular.Numa pirâmide regular, as faces laterais são triângulos isósceles congruentes.



A altura de uma face lateral de uma pirâmide regular em relação ao lado da base chama-se apótema da pirâmide.

VO = altura (h)OM = apótema da base (n)VM = apótema da pirâmide (m)



VOLUME DE UMA PIRÂMIDE:Em uma pirâmide cuja área da base é B e a altura é h, o volume é:

SECÇÃO TRANSVERSAL DE UMA PIRÂMIDE:Chama-se secção transversal de uma pirâmide à interseção da pirâmide com um plano paralelo à base. Sendo h a altura da pirâmide V(ABCD) e d a distância da secção transversal ao vértice V da pirâmide, temos:



TRONCO DE PIRÂMIDEA secção transversal de uma pirâmide a divide em dois outros sólidos. O que contém o vértice é uma nova pirâmide. O que contém a base é um sólido que chamaremos de tronco de pirâmide.

Base maior: é a base da pirâmide original Representaremos sua área por B.Base menor: é a secção transversal. Sua área será representada por b.Altura do tronco: é a distância entre os planos das bases (h).O volume do tronco de cone é:



ESFERA:

VOLUME DA ESFERA:O volume de uma esfera de raio R é:

ÁREA DA SUPERFÍCIE ESFÉRICA:A área da superfície esférica de raio R é:



1) Devido aos fortes ventos, uma empresa exploradora de petróleo resolveu reforçar a segurança de suas plataformas marítimas, colocando cabos de aço para melhor afixar a torre central. Considere que os cabos ficarão perfeitamente esticados e terão uma extremidade no ponto médio das arestas laterais da torre central (pirâmide quadrangular regular) e a outra no vértice da base da plataforma (que é um quadrado de lados paralelos aos lados da base da torre central e centro coincidente com o centro da base da pirâmide), como sugere a ilustração.

Se a altura e a aresta da base da torre central medem, respectivamente, 24 m e m e o lado da base da plataforma mede m, então a medida, em metros, de cada cabo será igual aa) b) c) d) e)



2) Se pudéssemos reunir em esferas toda a água do planeta, os diâmetros delas seriam:

A razão entre o volume da esfera que corresponde à água doce superficial e o volume da esfera que corresponde à água doce do planeta éa) 1/343 b) 1/49 c) 1/7 d) 29/136 e)

136/203



3) Um artista plástico construiu, com certa quantidade de massa modeladora, um cilindro circular reto cujo diâmetro da base mede 24cm e cuja altura mede 15cm. Antes que a massa secasse, ele resolveu transformar aquele cilindro numa esfera. Volume da esfera: Analisando as características da figuras geométricas envolvidas, conclui-se que o raio R da esfera assim construída é a) 15.b) 12.c) 24.d) .e) .



4) Duas esferas de raio r foram colocadas dentro de um cilindro circular reto com altura 4r, raio de base r e espessura desprezível, como na figura abaixo.

Nessas condições, a razão entre o volume do cilindro não ocupado pelas esferas e o volume das esferas éa) 1/5.b) 1/4.c) 1/3.d) 1/2.e) 2/3.



5) Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19cm de altura e 6cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura — 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior —, espaçados de 1cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura.

Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar aproximadamente com parafina para fabricar uma vela?a) 156,4 cm3. b) 224,4 cm3. c) 192,6 cm3. d) 216,5 cm3. e) 540cm3.


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