Módulo 17· Geometria espacial métrica – Pirâmides 1. · A área total de uma pirâmide é a...

PV2N-10-52

19Matemática 612 19

Módulo 17· Geometria espacial métrica – PirâmidesDefi nição 1. Consideremos um plano α, uma região poligonal conve-

xa S e um ponto V fora de α.Pirâmide é a reunião de todos os segmentos com uma

extremidade em V e a outra na região poligonal S.

V

S

Elementos

V (vértice)

S

arestalateral

facelateral

base

arestada base

h (altura)

A

B C

E

D

A região poligonal S é chamada • base da pirâmide.O • vértice da pirâmide é V.A • altura da pirâmide é a distância de V ao plano da base.As • arestas da base são os lados do polígono da base.As • arestas laterais são os segmentos com extremida-

des em V e nos vértices do polígono da base.As • faces laterais são os triângulos determinados pelo

vértice V e cada uma das arestas da base.

Nomenclatura2. Uma pirâmide é nomeada de acordo com a quantidade

de arestas na base.Pirâmide triangular: a base é um triâgulo. •

Pirâmide triângular (tetraedro)

Pirâmide quadrangular: a base é um quadrilátero. •

Pirâmide quadrangular

Pirâmide hexagonal: a base é um hexágono. •

Pirâmide hexagonal

Classifi cação 3. Dizemos que a pirâmide é oblíqua se a projeção ortogo-

nal do vértice V não for sobre o centro da base.

E

VAD

C

V

B

Pirâmide hexagonal oblíqua

Pirâmide reta é a que possui a projeção ortogonal do vértice V sobre o centro da base.

E

AD

B C

V

V

Pirâmide hexagonal reta

No caso em que uma pirâmide é reta, suas arestas late-rais são todas congruentes.

2020

Pirâmide regularUma pirâmide reta que possui um polígono regular na

base é chamada de pirâmide regular.

d

d

d

Pirâmide triangular regular

Em uma pirâmide regular, suas faces laterais são triân-gulos isósceles congruentes.

Apótema de uma pirâmide regular Chama-se apótema de uma pirâmide regular a altura

(relativa ao lado da base) de uma face lateral.

m

m: apótema da pirâmide

Apótema da base de uma pirâmide regular Chama-se apótema da base de uma pirâmide regular o

apótema do polígono regular da base, o qual é a distância do centro do polígono a cada um dos lados.

a

a: apótema da base

Área lateral e área total A área lateral de uma pirâmide é a soma das áreas das

faces laterais.A área total de uma pirâmide é a soma da área lateral

com a área da base.At = Ad + Ab

VolumeO volume de uma pirâmide é igual a um terço do produ-

to da área da base pela altura.

V A hb= ⋅ ⋅1

3

Exercícios Resolvidos

(PUC-MG) A pirâmide de Quéops, em Gizé, no Egito, tem 1. aproximadamente 90 2 metros de altura, possui uma base quadrada e suas faces laterais são triângulos equiláteros. Nessas condições, pode-se afirmar que cada uma de suas arestas mede, em metros:

90a) 120b) 160c) 180d)

DResposta: Sendo 2a a medida de cada uma das arestas da pirâmide ,

temos:

a

2a

m

0

Em que ma

m a= ⇒ =2 32

3.

Então: m a

a a

a a

a

a

2 22

22 2

2 2 2

2 2

2

90 2

3 90 2

3 2 90

2 2 90

= + ( ) ⇒

⇒ ( ) = + ⋅ ⇒

⇒ = + ⋅ ⇒⇒ = ⋅ ⇒⇒ = 990 90

2 90 180

2 ⇒ =\

⋅ =

a

Cada uma de suas arestas mede

m

Resposta: a) V

x

x

x

xh

CD

A B

x 2

6 3 2 2 2

3 2 2 2 2

3

+ = + ⇒

⇒ +( ) = +( ) ⇒

⇒ =

x x

x

x

• Altura da pirâmide:

V

h

D

3

B3 22

33 22

32

22

3 22

22

2=

+

= = ⇒ =

h

h h

Área total da pirâmide:b)

A A A A xx

A

A

t b t

t

t

= + ⇒ = + ⋅ ⋅ ⇒

⇒ = + ⋅ ⋅ ⇒

⇒ = +

22

2 2

43

23 2 3 3

9 18 3 • Volume da pirâmide ABCDV:

V V= ⋅ ⋅ ⇒ =1

33

3 22

9 22

2

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( UFPE ) Os segmentos VA, VB e VC são dois a dois per-2. pendiculares no espaço, como ilustrado a seguir. Se VA = 5, VB = 6, VC = 7, qual será o volume da pirâmide triangular ABCV?

V

A

CB

Resposta: Sendo ∆VBC a base e VA a altura, temos:

V A h V

V

b= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

⇒ =

13

13 2

6 5 7

35

Exercícios de Aplicação

( UFPR ) Na fi gura abaixo, está representada uma pirâmi-1. de de base quadrada que tem todas as arestas com mesmo comprimento.

V

CD

A B Sabendo que o perímetro do triângulo DBV é igual a a)

6 3 2+ , qual é a altura da pirâmide? Quais são o volume e a área total da pirâmide? b)

CResposta: Vcubo = V

V = Ab · h

VA

h VA h

VV

pirb

pirb

pir= ⋅ ⇒ =⋅

⇒ =13 2 6 6

·

Resposta:

V A h V V cmb= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ =13

13

4 5803

2 3

2222

(Ibmec-RJ) A partir de um cubo ABCDEFGH, constrói-se 2. uma pirâmide oblíqua AFGH, conforme ilustra a figura.

Se o volume do cubo vale V, então o volume dessa pi-râmide vale:

A

B C

GF

HE

D

a) V12

b) V8

c) V6

d) V4

e) V3

Na figura abaixo, temos representada uma pirâmide de 3. base quadrada e altura AE.

A

D

CB

E

Sabendo que a aresta da base mede 4 cm e a altura mede 5 cm, determine o volume dessa pirâmide.

Exercícios Propostos

(Unifor-CE) Uma pirâmide regular de altura 12 cm tem 4. como base um quadrado de lado 10 cm. Sua área lateral, em centímetros quadrados, é:

(quebras e emendas), o número mínimo de lotes de telhas a ser comprado é:

90a) 100b) 110c) 120d) 130e)

(Unifor-CE) A altura de uma face de um tetraedro re-8. gular é 5 cm. A área total desse tetraedro, em centímetros quadrados, é:

360a) 260b)

180c) 100d)

65e)

(UEG-GO) Considere uma pirâmide de base quadrada e 5. faces laterais triângulos equiláteros. O volume da pirâmide pode ser calculado pela terça parte do produto da área da base pela altura da pirâmide.

Desenhe a pirâmide.a) Calcule o volume da pirâmide, considerando a medida b)

do lado do quadrado da base igual a 10 cm.

(Unimontes-MG) Seja V uma pirâmide cujo vértice é o 6. centro de uma face de um cubo de aresta a e cuja base é a face oposta desse cubo. Calcule a área lateral dessa pirâmi-de (em função de a).

(Fuvest-SP) Um telhado tem a forma da superfície la-7. teral de uma pirâmide regular de base quadrada. O lado da base mede 8 m e a altura da pirâmide, 3 m. As telhas para cobrir esse telhado são vendidas em lotes que cobrem 1 m2. Supondo que possa haver 10 lotes de telhas desperdiçadas

a) 10 33

b) 25 33

c) 1003

3

d) 40 3

e) 45 3

(UFJ9. F-MG) A professora de Paulo solicitou que ele cons-truísse uma pirâmide quadrangular regular, cujo volume fosse maior do que ou igual a 42 cm3. A fim de fazer tal construção, Paulo cortou o molde a seguir, tendo 20 cm, como perímetro da base, e triângulos equiláteros congruen-tes, como faces laterais.

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Faça um esboço da pirâmide, após ser montada com o a) molde.

Determine as medidas dos lados dos triângulos, repre-b) sentados no molde anterior.

Determine a área da base da pirâmide a ser montada c) com o molde.

Determine a altura da pirâmide a ser montada com o d) molde.

Sabendo-se que o volume V de uma pirâmide é dado por e)

VSH=3

, em que S é a área de sua base e H a sua altura, de-

termine o volume da pirâmide a ser montada com o molde.A pirâmide montada por Paulo atende às especificações f)

solicitadas por sua professora? Justifique sua resposta.

Calcule a área lateral, a área total e o volume de uma 10. pirâmide regular hexagonal cujo apótema mede 4 cm e a aresta da base mede 2 cm.

(Cefet-PR) P é um ponto do plano cartesiano tal que os 11. valores de sua abscissa e de sua ordenada são, respectiva-mente, os valores da área total e do volume da pirâmide he-xagonal regular, cuja aresta da base mede 6 cm e a altura, 9 cm. Sendo assim, as coordenadas do ponto P são:

a) 162 3 486 3,( )b) 162 3 162 3,( )c) 486 3 162,( )d) 486 3 108 3,( )

(108, 162)e)

Uma construção tem a forma de uma pirâmide de base 12. quadrada de lado 6 m e o ângulo formado pela aresta lateral com o plano de base igual a 60º. Qual é a medida de cada uma das arestas laterais dessa construção?

6 ma)

b) 3 2 m

c) 6 2 m

3d) m

2424

Módulo 18· Geometria espacial métrica – ConesDefi nição1. Considere C um círculo de centro O e raio r contido em

um plano α. Seja V um ponto não pertencente a esse plano.

C

V

Or

Chamamos cone circular ou apenas cone ao sólido ge-ométrico formado pela reunião de todos os segmentos de reta com uma extremidade no ponto V e a outra em um ponto do círculo C.

Elementos2. Base é o círculo C de centro O e raio r.Vértice é o ponto V.Eixo é a reta que passa pelo vértice V e pelo centro C

da base.Geratriz é todo segmento que possui uma extremidade

em V e a outra em algum ponto da circunferência da base.Altura é a distância do vértice V ao plano da base.

V

eixo

altura (h)

O

geratriz (g)

base

r

Cone circular reto 3. Cone circular reto é aquele que apresenta o eixo perpen-

dicular ao plano de base. Ele também é chamado de cone de revolução, pois é gerado pela rotação de uma superfície triangular determinada por um triângulo retângulo em tor-no de uma reta que contém um de seus catetos.

r

Eixo

V

gg

O

Cone reto ou cone de revolução

Em um cone reto, a projeção ortogonal do vértice V no plano da base é o centro da base.

Secção meridiana4. A secção meridiana de um cone é a intersecção do

cone com um plano que passa pelo vértice e pelo centro da base.

rr

V

gg

O

No cone reto, todas as geratrizes são congruentes, en-tão a secção mediana é um triângulo isósceles.

Área lateral e área total5. A partir da planifi cação do cone, temos:

r

gh

r

2 r

gg

A área da base é dada pela área de um círculo de raio r:

Ab = pr2

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A área lateral é calculada de forma semelhante à área do setor:

Ar g

A r g

= ⋅ ⇒ = ⋅22

p p

A área total é dada pela soma da área da base com a área lateral.

At = Ab + Ad

Volume6. O volume de um cone é igual a um terço do produto da

área da base do cone pela sua altura.

V A h

V r h

V r h

b= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅( ) ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅

131313

2

2

p

p


Num cone reto de raio de base 6 cm e geratriz 10 cm, 1. calcular.

a altura (h);a) a área lateral (Ab) d);a área total (Ac) t)o volume (V);d) o ângulo e) q em radianos, da superfície lateral planificada.

Resposta:

h g = 10 cm

6 cm

ha) 2 + r2 = g2

h2 + 62 = 102

h2 = 64 \ h = 8 cmAb) d = prg = p · 6 · 10

Ad = 60 p cm2

Ac) d = pr2 + prg Ad = p · 62 + p · 6 · 10 Ad = 96p cm2

Vr h

V cm

= ⋅ = ⋅ ⋅

=

p p

p

2 2

33

6 83

96

d)

gg

2 g —2

2 r —

2 r 2 2 r2 g g

e)

q p p p= = ⋅ =2 2 610

1 2r

grad,

A superfície lateral de um cone de revolução é a quarta 2. parte de um círculo de raio 4 cm. Calcule o volume desse cone.

Resposta:

4 cmh g

r

g cm e rad

rg

rr cm

g h r h

h

= =

= ⇒ = ⇒ =

= + ⇒ = + ⇒

⇒ = ⇒

42

22

24

1

4 1

15

2 2 2 2 2 2

2

q p

q p p p

hh cm

Vr h

V

V cm

=

= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒

⇒ =

15

31 15

3

153

2 2

3

p p

p

EResposta: Ad = 2 · Ab g2 = h2 + r2

prg = 2pr2 g2 = h2 + 32

g = 2r 36 – 9 = h2

g = 2 · 3 = 6 cm h = 3 3 cm

EResposta:

V

a a

a a e b

g ba

g

cone =

⋅

=

= ⇒ = =

= +

⇒ = +

p

pp2

32

38 2 3

23

2

3

2 22

2 2 11 10 102 2⇒ = ⇒ =g g

AResposta:

15

2

V A h

V

V cm

b= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅

=

1313

2 15

20

2

3

p

p

3

2

h2

V A h

h

h

h cm

b= ⋅

= ⋅ ⋅

=

=

20 3 22

3 20

203

p

pp

2626


(Urca-RS) Considere um cone circular reto cujo raio da 1. base mede 3 cm. Sabendo-se que a área lateral é igual ao dobro da área da base, calcule a altura desse cone.

a) 2 3 cm

b) 2 2 cm

c) 3 2 cm

d) 3 5 cm

e) 3 3 cm

(Fuvest-SP) Um cone circular reto está inscrito em um 2.

paralelepípedo reto-retângulo, de base quadrada, como

mostra a figura. A razão ba

entre as dimensões do paralele-

pípedo é 32, e o volume do cone é p.

Então, o comprimento g da geratriz do cone é:

g

b

aa

a) 5

b) 7

c) 11

d) 6

e) 10

(Cefet-SP) Um cientista, ao pesquisar novas fontes de 3. energia, em um de seus experimentos encheu por completo, com uma substância líquida, um tudo de ensaio cônico que tinha 15 cm de altura e 2 cm de raio.

Em seguida, toda essa substância foi transferida para um recipiente em forma de um prisma reto, de maneira a cobrir apenas metade do volume deste.

Se esse prisma tem uma base retangular de 2 cm por 3 cm, então sua altura é de:

a) 203p

cm

b) 103p

cm

c) 53p

cm

d) p3

cm

e) p2

cm

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(UFAM) Um tanque cônico tem 4 m de profundidade e 4. seu topo circular tem 6 m de diâmetro. Então, o volume má-ximo, em litros, que esse tanque pode conter de líquido é:

(use p = 3,14)

(UFMG) Um cone é construído de forma que:9. • sua base é um círculo inscrito em uma face de um cubo

de lado a; e• seu vértice coincide com um dos vértices do cubo loca-

lizado na face oposta àquela em que se encontra a sua base.Dessa maneira, o volume do cone é de:

24.000a) 12.000b)

37.860c) 14.000d)

37.680e)

(Unimar-SP) Um triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5 5. gira em torno do seu menor cateto, gerando um cone de revolução. O volume desse cone é:

10a) p12b) p

15c) p16d) p

18e) p

(Unifor-CE) 6. O telhado da torre mostrada na figura a se-guir tem a forma de um cone circular reto.

8 m

6 m

A área da superfície externa desse telhado é, em metros quadrados, igual a:

16a) p24b) p

c) 8 13p28d) p

e) 32 13p

(UFPA) Qual é o volume de um cone circular reto de 7. diâmetro da base igual a 6 cm e de geratriz 5 cm?

12a) p cm3

24b) p cm3

36c) p cm3

48d) p cm3

96e) p cm3

(UFSC) A geratriz de um cone equilátero mede 8. 2 3 cm. Calcule a área da seção meridiana do cone, em cm2, mul-tiplique o resultado por 3 e assinale o valor obtido no cartão-resposta.

a) pa3

6b) pa3

12c) pa3

9d) pa3

3

(Mackenzie-SP) No sólido da figura, ABCD é um quadra-10. do de lado 2 e AE BE= = 10 . O volume desse sólido é:

CD

BA

E

a) 52p

43pb)

4c) p

5d) p

3e) p

(Unimon11. tes-MG) A altura e o raio da base de um cone circular reto medem 4 cm e 15 cm, respectivamente. Au-menta-se a altura e diminui-se o raio da base desse cone, de uma mesma medida x, x > 0, para se obter outro cone circular reto, de mesmo volume que o original. Determine o valor de x em centímetros.

(Vunesp) Um paciente recebe por via intravenosa um 12. medicamento à taxa constante de 1,5 mL/min. O frasco do medicamento é formado por uma parte cilíndrica e uma parte cônica, cujas medidas são dadas na figura, e estava cheio quando se iniciou a medicação.

9 cm

3 cm

4 cm

(figura fora de escala)

Após 4 horas de administração contínua, a medicação foi interrompida. Dado que 1 cm3 = 1 mL, e usando a apro-ximação p = 3, o volume, em mL, do medicamento restante no frasco, após a interrupção da medicação, é, aproxima-damente:

120a) 150b) 160c) 240d) 360e)

2828

Módulo 19· Geometria espacial métrica - Esferas Definição1. Considere um ponto O e a medida do raio, R > O. Chama-

mos esfera ao conjunto de todos os pontos do espaço que estão a uma distância de O menor ou igual a R.

R

O

A esfera é um sólido de revolução gerado pela rota-ção de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro.

R

R

O

R

R

O

Eixo

Superfície esférica2. Chamamos de superfície esférica de centro O e raio R o

conjunto de todos os pontos P do espaço, cuja distância OP é igual a R.

A superfície esférica também é a superfície gerada pela rotação de uma semicircunferência em torno de seu diâ-metro.

R

R

O

R

O

Eixo Eixo

P

Secção da esfera3. A intersecção de uma esfera com um plano secante a

ela é uma secção plana da esfera. Toda secção plana de uma esfera é um círculo.

Quando o plano secante passa pelo centro O da esfera, dizemos que a secção plana é um círculo máximo.

Toda secção plana de uma esfera feita de uma distância d do centro produz um círculo de raio r.

r

Rd

O

PO’

R2 = d2 + r2

Área da superfície esférica4. A área da superfície de uma esfera de raio R é:

As = 4 · p · R2

Volume5. O volume de uma esfera de raio R é:

V R= ⋅ ⋅43

3p

PV2N-10-52



Determine o volume de uma esfera, sabendo que a área 1. de sua superfície vale 100p cm2.

Resposta: As = 4 · p · R2

100p = 4 · p · R2

R2 = 25R = 5 cmAssim:

V R

V V cm

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⇒ =

4343

55003

3

3 3

p

p p

Uma esfera de raio 10 cm é cortada por um plano dis-3. tante 8 cm do centro da esfera, determinado, assim, um cír-culo, como mostra a figura. Determine o raio desse círculo.

r

10 cm8 cm

O’ P

O

Resposta: 102 = 82 + r2 ⇒⇒ 100 – 64 = r2 ⇒⇒ r2 = 36 ⇒⇒ r = 6 cm

(Unicamp-SP) O volume V de uma bola de raio r é dado 4.

pela fórmula V = 43

pr3.

Calcule o volume de uma bola de raio r = a) 34

cm. Para

facilitar os cálculos, você deve substituir p pelo número 227

.

Se uma bola de raio r = b) 34

cm é feita com um material

cuja densidade volumétrica (quociente da massa pelo volu-

me) é de 5,6 g/cm3, qual será a sua massa?

Resposta:

a) V r

V V

V cm

=

= ⋅ ⋅

⇒ = ⋅ ⋅ ⇒

⇒ =

43

43

227

34

43

227

2764

9956

3

3

3

p

b) DmV

e D g cm

V

m D V

m

m g

= =

=

= ⋅

= ⋅ =

=

5 6

9956

5 69956

9910

9 9

3, /

,

,

Em um cilindro equilátero com superfície lateral de 2. 324p cm2 foi inscrita uma esfera. Determine o volume da esfera.

Resposta: A = 2pr · h ⇒ A = 2pr · 2r (cilindro equilátero h = 2r) ⇒⇒ A = 4pr2 ⇒ A = 324p ⇒ 324p = 4pr2 ⇒⇒ r2 = 81 ⇒ r = 9

V R

V V

V cm

=

= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒

⇒ =

4343

943

729

972

3

3

3

p

p p

p

B Resposta:

V R

R R cm

= ⋅ ⇒

= ⋅ ⋅ ⇒ =

43

5003

43

5

3

3

p

p p

5 cm4 cm

r

52 = 42 + r2 ⇒ r = 3 cm Área do círculo = p · 32 = 9p cm2

EResposta:

x

6

Vágua deslocada = Vesfera

p p⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒

⇒ = ⇒ =

643

3

36 36 1

2 3x

x x cm

D Resposta:

3 R7

6

p p p⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒

⇒ + = ⇒

⇒ = ⇒ = ⇒

⇒ =

6 743

343

252 3643

28843

216

6

2 3 3

3

3 3

R

R

R R

R cm

3030


(Unifra-RS ) Uma superfície esférica de raio R é cortada 1.

por um plano que está a uma altura h = 1 cm dessa superfí-

cie, conforme a fi gura. O volume dessa esfera mede 5003

3pcm .

A área do círculo obtida pelo corte desse plano mede, em cm2:

R

h

(FFFCMPA-RS ) Uma esfera metálica de raio 3 cm é co-2. locada dentro de um recipiente cilíndrico que contém água, cujo raio da base é de 6 cm. Supondo que não haja transbordamento de água, pode-se afi rmar que o nível da água sobe:

3 a) p 9 b) p 27 c) p

81 d) p 243 e) p

3 cm a) 2,5 cm b)

2 cm c) 1,5 cm d)

1 cm e)

(UFJF-MG ) Duas velas são derretidas para formar uma 3. outra em formato de esfera. Dentre as velas derretidas, uma tem formato de cilindro circular reto com raio 6 cm e altura 7 cm e a outra tem formato de esfera com raio 3 cm. O raio da nova vela esférica, em centímetros, será:

menor que 4 a) 4,5 b)

5 c) 6 d)

6,5 e)

PV2N-10-52



(Unifei-MG) Uma lata tem a forma de um cilindro reto 4. cuja base é um círculo de raio 3 dm. A lata contém água até um certo nível e observa-se que, ao mergulhar total-mente uma esfera de chumbo na água, o nível dessa sobe 0,5 dm na lata. Então o raio da esfera, medido em decíme-tros, vale:

(Unifor-CE) As esferas E8. 1 e E2 são tais que o diâmetro de E1 é igual ao raio de E2. A razão entre os volumes de E1 e E2, nessa ordem, é:

a) 12

1b) c) 32

2d)

(UEA-AM) Uma esfera de raio 2 cm é seccionada por um 5. plano. A secção é um círculo de raio 1 cm. Qual é a distân-cia entre os centros do círculo e da esfera?

1 cma)

2b) cm

c) 3 cm

2 cmd)

3 cme)

a) 12

b) 13

c) 14

d) 16

e) 18

9. (UFRR) O cilindro da figura está circunscrito em uma esfera de raio 3 cm. O volume do cilindro, em cm3, é igual a:

9a) p27b) p

36c) p54d) p

60e) p

(Fameca-SP) Júlia estava numa sorveteria e pediu uma 10. casquinha com uma única bola de sorvete. Como ela estava entretida na conversa com Alice, não percebeu que o sorve-te escorreu para dentro da casquinha, preenchendo-a com-pletamente. Suponha que a bola de sorvete seja uma esfera perfeita, com raio 2 cm e que a casquinha seja um cone oco com raio da base igual a 2 cm. A altura dessa casquinha de sorvete é:

4 cma) 6 cmb)

8 cmc) 10 cmd)

12 cme)

(Unifor-CE) Duas esferas de raios R cm e 3 R cm são 11. concêntricas. Um plano tangente à superfície da menor de-termina na maior uma secção plana cuja área é 144p cm2. Então, R é igual a:

4a) 2

3b) 3

3c) 2

2d) 3

2e) 2

(Vunesp) Um troféu para um campeonato de futebol 6. tem a forma de uma esfera de raio R = 10 cm cortada por um plano situado a uma distância de 5 3 cm do centro da esfera, determinando uma circunferência de raio r cm, e sobreposta a um cilindro circular reto de 20 cm de altura e raio r cm, como na figura (não em escala).

5 3 cm

20 cm

R = 10 cm

r cm

O volume do cilindro, em cm3, é:100a) p200b) p

250c) p500d) p

750e) p

(UCMG) Numa esfera de 26 cm de diâmetro, faz-se um 7. corte por um plano que dista 5 cm do centro. O raio da sec-ção feita mede, em cm:

8a) 9b) 10c) 11d) 12e)

(UFRGS-RS) Considere uma esfera inscrita num cubo. 12. Dentre as alternativas abaixo, a melhor aproximação para a razão entre o volume da esfera e o volume do cubo é:

a) 25

b) 12

c) 35

d) 23

e) 34

3232

Módulo 20· Geometria analítica Introdução1. Consideremos em um plano dois eixos, x e y, perpendi-

culares entre si e com origem O comum. Assim, dizemos que x e y formam um sistema cartesiano ortogonal, e o plano dotado com tal sistema será chamado de plano cartesiano.

x

y

O

Para localizar um ponto P num plano dotado de um sistema cartesiano ortogonal, traçamos por P duas retas paralelas aos eixos x e y que encontram os mesmos em P’ e P”, respectivamente.

Com as abscissas desses pontos determinamos a posição de P no plano.

xO

y

P

P'

P”

Pabscissa de P

abscissa de P

’

"

= −= +

3

2

Indicamos a abscissa de P’ por xp e a abscissa de P’’ por yp, e o ponto P é localizado no plano pelo par ordenado (xp, yp).

Para facilidade de linguagem, usamos as seguintes de-nominações:

1o) A abscissa de P’, a primeira abscissa de P, será sim-plesmente a abscissa de P.

2o) A abscissa de P”, a segunda abscissa de P, será a abscissa ordenada de P, ou simplesmente ordenada de P.

3o) O par ordenado (xp, yp) será denominado coorde-nadas de P.

4o) Os eixos x e y serão, respectivamente, o eixo das abscissas e o eixo das ordenadas.

Exemplo Indicamos a seguir as coordenadas dos pontos represen-

tados no plano cartesiano.

xO

y

E A

F

D

H

BC

G

A(4, 0) D(–4, 3) G(0, –3) B(4, 3) E(–4, 0) H(4, –3) C(0, 3) F(–4, –3) O(0, 0)

Os eixos x e y dividem o plano cartesiano em quatro regiões que chamamos quadrantes (Q), que são numerados conforme a figura abaixo:

y

Abscissa negativaOrdenada positiva

Abscissa positivaOrdenada positiva

Abscissa negativaOrdenada negativa

Abscissa positivaOrdenada negativa

x

Propriedades dos pontos do plano cartesiano2. P1) Se um ponto tem abscissa positiva, ele pertence ao 1o

ou ao 4o quadrante do plano cartesiano ou ao eixo x.

P1 (1, 1)

P2 (2, –2)

O

y

x

PV2N-10-52


P2) Se um ponto tem abscissa negativa, ele pertence ao 2o ou ao 3o quadrante do plano cartesiano ou ao eixo x.

P1 (–3, 2)

P2 (–1, –1)

O x

y

P3) Se um ponto tem ordenada positiva, ele pertence ao 1o ou ao 2o quadrante do plano cartesiano ou ao eixo y.

P1 (3, 4)

P2 (–1, 1)

O

y

x

P4) Se um ponto tem ordenada negativa, ele pertence ao 3o ou ao 4o quadrante do plano cartesiano ou ao eixo y.

P1 (3, – 3)

P2 (–1, –1)

y

xO

P5) Se um ponto tem abscissa nula, ele pertence ao eixo y.

A (0, 2)

O

B (0, 5)

C (0, – 4)

x

y

P6) Se um ponto tem ordenada nula, ele pertence ao eixo x.

A(2, 0)

O

B(6, 0)C(– 4, 0)

y

x

P7) Se um ponto tem abscissa a, ele pertence à reta paralela ao eixo y, traçada pela abscissa a.

O

P(a, 2)

Q(a, 5)

R(a, – 3)

a

y

x

P8) Se um ponto tem ordenada a, ele pertence à reta paralela ao eixo x, traçada pela ordenada a.

O

P(3, a) Q(6, a)R(– 4, a)

x

y

a

P9) Se um ponto tem coordenadas iguais, ele pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares.

A(2, 2)

B(5, 5)

C(– 3, – 3)

O

y

x

3434

P10) Se um ponto tem coordenadas opostas, ele perten-ce à bissetriz dos quadrantes pares.

A(– 2, 2)

B(– 5, 5)

C(3, – 3)

O

y

x

P11) Dois pontos simétricos em relação ao eixo x têm a mesma abscissa e ordenadas opostas.

y

B(– 4, 2)

A'(5, – 3)

O

B'(– 4, – 2)

A(5, 3)

x

P12) Dois pontos simétricos em relação ao eixo y têm a mesma ordenada e abscissas opostas.

y

A'(– 4, 3)

O

B'(– 2, – 3)

A(4, 3)

B(2, – 3)

x

P13) Dois pontos simétricos em relação à origem têm abscissas opostas e ordenadas opostas.

x

y

A'(– 4, – 2)

O

B(– 3, 4)

A(4, 2)

B'(3, – 4)


Determine as coordenadas dos pontos A, B, C e D da 1. figura abaixo.

x

y

C

A

D

B

Resposta: A (0, –3), B(–5, 0), C(5, 2) e D(–3, 3)

Determine a qual quadrante pertencem os pontos abaixo:2. A(–3, –5), B(–2, 4) C(3, –5) e D(13, 11)

Resposta:

x

yA Q

x

yB Q

x

yC Q

x

y

A

A

B

B

C

C

D

D

<<

⇒ ∈<>

⇒ ∈

>>

⇒ ∈>>

0

03

0

02

0

04

0

º º

º00

1

⇒ ∈D Qº

O ponto A(4, p + 5) pertence à bissetriz dos quadrantes 3. ímpares. A qual quadrante pertence o ponto B(p, p + 4)?

Resposta: A ∈ bissetriz dos quadrantes ímpares⇒ xa = ya ⇒ p + 5 = 4 ⇒ p = –1. Assim, B(–1, 3)

B

B

x 0B 2ºQ

y 0

Resposta:

x

y

A(2,2)

B(–3,0)

C(0,–4)

D(5,0)A1

A2

A A

A A

A A

1 1

2 2

1 2

8 22

8

8 42

16

=

A = +

A = 24 u.a.

⋅ ⇒ =

= ⋅ ⇒ =

\

Resposta:

x

y

–9

33

3–12 5

(2o quad.) B

6A (1o quad.)

C (3o quad.)

5

14

Resposta: A ∈ bissetriz dos quadrantes ímparesxA = yAm + 5 = 2 m – 3 ⇒⇒ m – 2 m = – 3 – 5 ⇒⇒ m = 8

PV2N-10-52


Dado o ponto A(p – 2, q + 3) determine:4. q, para que o ponto A pertença ao eixo x.a) p, para que o ponto A pertença ao eixo y.b)

Resposta: A a) ∈ eixo x ⇒ yA = 0 ⇒ q + 3 = 0 ⇒ q = –3A b) ∈ eixo y ⇒ xA = 0 ⇒ p – 2 = 0 ⇒ p = 2


No plano cartesiano abaixo, marque os pontos A (2, 2), 1. B (–3, 0), C (0, – 4) e D (5, 0) e calcule a área do quadrilá-tero ABCD.

x

y

Determine a qual quadrante pertencem os pontos A (3, 6), 2.

B −

5

14

, , C (– 12, – 33) e D (5, – 9).

Obter m para que o ponto A(m + 5, 2 m – 3) pertença à 3. bissetriz dos quadrantes ímpares.

3636


Determine as coordenadas dos pontos da figura.4.

A

B

C

D

E

F

GH

Determine a qual quadrante pertencem os pontos a se-5. guir relacionados:

A B C D−( )

−( ) − −( )2 7

113

6 715 3 13, , , , , , ,p

Nas duas figuras, ABCD é um quadrado com lados de 6. 4 unidades, M é o ponto médio do lado AB e N é o ponto médio do lado AD. Obtenha as coordenadas dos pontos A, B, C, D, M e N.

C

N

A

yM

D = O

B

x

a)

b)

C

N

yM B

x

D

O

A

(Fuvest-SP) Se (m + 2n, m – 4) e (2 – m, 2n) representam 7. o mesmo ponto do plano cartesiano, então mn é igual a:

–2a)

0b)

c) 2

1d)

e) 12

(Fuvest8. -SP) No plano cartesiano, os pontos (1, 0) e (– 1, 0) são vértices de um quadrado cujo centro é a origem. Qual a área do quadrado?

1a) 2b)

3c) 4d)

5e)

Determine as coordenadas dos pontos simétricos do 9. ponto A (–2, 3) em relação:

ao eixo das abscissas;a) ao eixo das ordenadas;b) à origem.c)

(Fuvest-SP) Sejam A = (1, 2) e B = (3, 2) dois pontos 10. do plano cartesiano. Nesse plano, o segmento AC é obtido do segmento AB por uma rotação de 60°, no sentido anti- -horário, em torno do ponto A.

As coordenadas do ponto C são:(2, 2 + a) 3)

(1 + b) 3, 52)

(2, 1 + c) 3 )

(2, 2 – d) 3)

(1 + e) 3, 2 + 3)

A qual qua11. drante pertence o ponto A (–a, b) se B (a, – b) pertence ao 2o quadrante?

(UFPB) Na figura abaixo, está representado o quadrado 12. OMNP que se encontra subdividido em 16 quadradinhos, todos de lado 1,5 cm.

P

y

O

F

EM

N

Uma formiguinha sai do ponto E =

34

34

, , andando

paralelamente aos eixos e passando pelo centro de cada quadradinho, até o seu formigueiro localizado em

F =

94

154

, , conforme mostrado na figura. Sabendo-se que

passa apenas uma vez em cada ponto do percurso, essa for-

miguinha percorreu:24,0 cma) 23,5 cmb) 23,0 cmc) 22,5 cmd) 22,0 cme)

Módulo 17· Geometria espacial métrica – Pirâmides 1. · A área total de uma pirâmide é a...

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