PERPETUIDADES: É UMA ANUIDADE QUE NÃO TEM PRAZO PARA ACABAR.

Lembrando da nossa MONOFORMULA: VF = VP ( 1 + i )n

Podemos calcular o Valor Presente:

VP = FCn / ( 1 + i )n 1 FC VP = Σt=1t=n FC’s/(1+i) n n FC’s VP = FC1 / i ∞ FC’s

A formula para o calculo do valor de uma perpetuidade é: VP(0) = FC(1) / i

Exemplo A: Você quer alugar um imóvel. O imóvel esta avaliado em $100.000,00. A taxa de retorno para alugueis nesta região é 0,5% ao mês. Calcular o aluguel. Exemplo B: Você vai alugar um imóvel. O aluguel é $1.000,00. A taxa de retorno para alugueis nesta região é 1,0% ao mês. Qual deve ser o valor deste imóvel ? Exemplo C: O seu imóvel esta avaliado em $200.000,00. Você consegue alugar facilmente no mercado por $1.000,00. Qual é a taxa de retorno que você esta obtendo?

Quanto preciso ter hoje em uma aplicação que renda juros a uma taxa de 20% ao ano para poder retirar $100.000,00 ao final de um ano. E se for para receber $100.000,00 ao final de cada ano por 2 anos. E se for para receber $100.000,00 ao final de cada ano por 4 anos. E se for para receber $100.000,00 ao final de cada ano por 8 anos. E se for para receber $100.000,00 ao final de cada ano por 16 anos. E se for para retirar $100.000,00 ao final de cada ano por 32 anos. E se for para retirar $100.000,00 ao final de cada ano por 100 anos e finalmente caso seja retirar $100.000,00 ao final de cada ano por 1.000 anos.

Solução:

Vamos calcular os Valor Presente das seguintes anuidades que apresentam número de períodos distintos e crescentes. Suponha um PMT de $100.000,00 e uma taxa de desconto de 20% por ano: Vamos resolver com auxilio de uma calculadora financeira.

Numero de FC (x 000) Valor Presente (x 000)

Períodos

a) 1 ano 100 VP = 83,33

b) 2 anos 100 VP = 152,78

c) 4 anos 100 VP = 258,87

d) 8 anos 100 VP = 383,72

e) 16 anos 100 VP = 472,95

f) 32 anos 100 VP = 498,54

g) 50 anos 100 VP = 499,95

h) 100 anos 100 VP = 500,00

i) 1.000 anos 100 VP = 500,00

Observe quando o prazo se torna muito longo o valor presente se aproxima do valor presente da perpetuidade.

Observe que o Valor Presente de uma Perpetuidade tende para um determinado valor, que é dado pela seguinte formula: VP = FC1 / i.

Em nosso exemplo:

VP = FC1 / i

VP = 100 / 0,2

VP = 500

Se a perpetuidade apresentar uma TAXA de crescimento constante " g " , esta TAXA de crescimento deve ser incorporada na formula, que passa a ser: VP = FC1 / (i – g)

Estas formulas são importantes na avaliação de empresas, pois se supõe que uma muitas empresas possam ter duração indeterminada, e portanto, apresentam fluxos de caixa em condições perpetuidade.

O que é o fluxo de caixa incremental livre após taxas e impostos ?

De uma maneira genérica e bastante simplificada, podemos dizer que o fluxo de caixa incremental livre após taxas e impostos é obtido da seguinte forma:

PARTINDO DO Faturamento das Vendas do período

MENOS Custos Operacionais Variáveis do período

MENOS Custos Operacionais Fixos do período

IGUAL Lucro Bruto Operacional

MENOS Impostos e Taxas sobre as operações do período

IGUAL Fluxo de Caixa Operacional do período

Teoria de avaliação de um ativo: Direito a um (possivelmente incerto) fluxo futuro de

pagamentos (recebimentos) em espécie (dinheiro).

Exemplos de bens a serem considerados :

Bem ou ativo Fluxos de Caixa provenientes dos Ativos

Rendimentos futuros Valor de venda

i) Ações Dividendos Preço de venda

ii) Debentures Juros Principal

iii) Patentes Royalties Cessão direitos

iv) Firmas Fluxo de caixa livre Preço de venda

v) Imóveis Aluguéis líquidos Preço de venda

O FLUXO DE CAIXA DE UM ATIVO

REPRESENTAÇÃO FINANCEIRA (Matemática) DE ATIVOS

Representamos os ativos como sendo a sequência de Fluxos de caixa deste ativo ao longo do

tempo.

Exemplos:

1) Representação Financeira de um investimento em um imóvel para aluguel. Considere que você

investiu $100.000,00 para comprar um imóvel comercial o qual você pode alugar por $1.000,00

mensais. Suponha que você quer permanecer com este imóvel por 1 ano e depois vende-lo por

$120.000,00.

Representação do Ativo (Imóvel):

T=0 t=1 t=2 t=3 ...... t=12

-100.000,00 1.000,00 1.000,00 1.000,00 1.000,00

120.000,00

2) Representação Financeira de um investimento em ações. Considere que você investiu

50.000,00 para comprar ações da Firma ALFA (cotação de $5,00 por ação hoje). Os dividendos

esperados são de $0,20 por ação a cada ano. Sua expectativa é vender cada ação por $7,45

daqui a três anos.

Você poderá comprar 10.000 ações. O seu fluxo de caixa anual será $ 2.000,00

Representação do Ativo (Investimento em ações):

T=0 t=1 t=2 ...... t=3

-50.000,00 2.000,00 2.000,00 2.000,00

74.500,00

AVALIAÇÃO DE ATIVOS Princípio central: Avaliamos ativos Reais da mesma forma que avaliamos ativos Financeiros (lembre-se da matemática financeira). Ativos (Financeiros ou Reais) devem ser valer o V.P. (Valor Presente) de seus futuros fluxos de caixa projetados. Obs.: Não confundir com valor patrimonial do ativo. MATEMÁTICA FINANCEIRA: A formula para determinar o valor presente de ativos é dada por: FCt (projetado) VP do Ativo = t=1 T --------------------- (1 + K)t No caso particular, onde FC's atendam os requisitos de perpetuidade podemos usar a formula que representa o limite para o qual converge a serie: Somatório dos FC's. VP do Ativo = FC1 / K - g Onde: "K" é a taxa de desconto apropriada ao risco do FC, utilizada para descontar até o Valor Presente (VP) e "g" é a taxa de crescimento do FC em perpetuidade. VISUALIZANDO O DESCONTO PARA VALOR PRESENTE: t=0 t=1 t=2 t=3 ...t=T -Io +FC1 +FC2 +FC3 ...+FCT

VP do FC1 VP do FC2 VP do FCT

Avaliação de projetos – Exercícios de Valor Presente VP de 1 Fluxo de caixa: VP = FCt / (1 + K)t VP de “n” Fluxos de caixa: VP = t=1 N FCt / (1 + K)t VP de “” Fluxos de caixa perpétuos: VP = FC1 / (K – g) O valor de um ativo qualquer, seja projeto, empresa ou investimento é a soma do Valor Presente dos seus Fluxos de Caixa Projetados Futuros Descontados pela taxa adequada ao risco deste ativo.

Exercícios: 1) Valor Presente da devolução do IR A sua devolução do IR no valor de $13.500,00 estará sendo paga dentro de 8 meses. A sua taxa (TMA por exemplo) é 0,80% ao mês. Se você decidir receber antecipado, (receber hoje) esta devolução quanto estaria disposto a receber ? Ou seja qual seria o valor presente, efetivo hoje, desta devolução do IR ? Resposta: O valor presente desta sua devolução do IR é $12.666,29

2) Valor Presente de 2 notas promissórias. Você tem um envelope. Dentro deste envelope existem 2 notas promissórias. A primeira tem vencimento para daqui a 4 meses no valor e $2.000,00, a segunda nota promissória tem vencimento para daqui a 7 meses e um valor de $3.500,00. Considerando que você pode aplicar recursos ou pegar emprestado a uma taxa de 1% a mês, qual é o Valor Presente destas promissórias hoje? Resposta: O valor presente destas duas promissórias é $5.186,47. 3) Valor Presente de um bilhete de loteria Você conferiu seu bilhete. O numero do seu bilhete é 123.456. O numero premiado é 123.456. Bingo, você ganhou, seu bilhete é premiado. O premio é de $1.000.000,00. Você pode ir agora na CEF para receber seu premio. Qual é o Valor Presente dos seu bilhete de loteria? Resposta: O valor presente do seu bilhete de loteria é $1.000.000,00. 4) Valor Presente de um bilhete de loteria Você conferiu seu bilhete. O numero do seu bilhete é 123.456. O numero premiado é 789.273. Você não ganhou, seu bilhete não esta premiado. O premio é de $1.000.000,00. Você poderia ir agora na CEF para receber se tivesse sido premiado. Qual é o Valor Presente do seu bilhete de loteria ? Resposta: O valor presente do seu bilhete de loteria é $0,00.

5) Valor Presente de um imóvel alugado. Você tem um imóvel alugado que rende uma taxa de 1% ao mês. O fluxo de caixa que você recebe como aluguel mensal é de $800,00. Quanto vale este imóvel ? Resposta: O Valor deste imóvel é $80.000,00

CRITÉRIOS ANÁLISE DE PROJETOS

Exercícios de VPL (NPV)

VPL = VP – Io

VPL = Valor Presente Liquido de um ativo (projeto ou empresa) é a diferença entre

quanto é seu valor (hoje) e quanto custa (hoje). VPL positivo é lucro, negativo é

prejuízo.

Exercícios:

1) O projeto PLUTÃO (ex-planeta) custa hoje $5.500.000,00. O valor presente

operacional do projeto PLUTÃO é $4.000.000,00. Qual é o VPL do projeto

PLUTÃO? Você faria este investimento?

2) Suponha que o projeto XAVANTE custe $2.500 para ser implementado. Este

projeto tem uma vida útil de apenas 2 anos. Os resultados projetados são obter um

FC de $2.200,00 ao final do primeiro ano e outro FC de $2.420,00 ao final do

segundo ano. Calcule o VPL do projeto XAVANTE assumindo que a taxa apropriada

para desconto dos fluxos de caixa seja de 10% ao ano.

3) O ativo X custa $1.500,00. Este ativo proporcionara aos investidores um FC (Fluxo de Caixa),

livre após taxas e impostos no valor de $200,00 nos períodos t = 1, t = 2 e t = 3. Assuma que a

taxa apropriada para desconto destes fluxos de caixa seja 8%. Qual é o VPL deste ativo X ? Você

faria este investimento?

RESPOSTAS

Resposta 1): Platão VPL = – $1.500.000,00. Não investir, pois o VPL é negativo.

Resposta 2): Xavante VPL = $1.500,00

Resposta 3): O VPL de X é negativo (-$984,58)

TAXA DE RETORNO - RISCO E RETORNO. Determinação da taxa adequada ao risco de um projeto A taxa de retorno adequada ao risco de um ativo pode ser determinada pelo modelo CAPM ou por observações de outros ativos comparáveis em risco. Temos dois modos para determinar a taxa de retorno adequada a um ativo qualquer: 1) Por semelhança com o mercado – Taxas de retorno de empresas semelhantes 2) Pela teoria – Usando o modelo CAPM (Capital Asset Pricing Model) 1) Por semelhança com o mercado Exemplo 1): Qual deve ser a taxa de retorno para a empresa metalúrgica Y? Empresas similares apresentam as seguintes taxas de retorno: Empresa Metalúrgica Alfa Taxa = 25,00% Empresa Metalúrgica Beta Taxa = 24,60% Empresa Metalúrgica Gama Taxa = 24,50% Empresa Metalúrgica Omega Taxa = 25,10% Resposta: Taxa de Retorno para Metalúrgica Y = 24,80%

2) Pela teoria: Modelo CAPM: Ki = RF + i (ERm - RF) Onde: RF = Taxa aplicação em Renda Fixa Beta = (β) = Risco do ativo Erm = Retorno do Mercado Observação: Beta é uma medida relativa de risco. Investimento sem risco significa beta zero Investimentos muito arriscados tem beta 2 A media das empresas do mercado tem risco beta 1 Segundo o CAPM, o custo de capital corresponde à taxa de rentabilidade exigida pelos investidores como compensação pelo risco de mercado ao qual estão expostos. O modelo leva em consideração a sensibilidade do ativo ao risco não-diversificável (também conhecido como risco sistêmico ou risco de mercado), representado pela variável conhecida como índice beta ou coeficiente beta (β), assim como o retorno esperado do mercado e o retorno esperado de um ativo teoricamente livre de riscos. Exemplo : Seja o risco Beta da metalúrgica X, Beta = 1,6, Erm = 20%. Considere a taxa RF = 12%. Qual deve ser a taxa K para retorno da metalúrgica X ? Solução: K = RF + Beta (Erm – RF) K = 0,12 + 1,6 (0,20 – 0,12) = 0,2480 Resposta: K = 24,80%

Custo Médio Ponderado de Capital CMPC = Kd (1-IR) D/(D+S) + Ks S/(D+S) CMPC = Custo Médio Ponderado de Capital de um ativo (projeto ou empresa) é quanto custa em termos percentuais o mix do capital que financia o ativo. O CMPC deve ser menor que a taxa de retorno do projeto. CMPC é WACC em inglês.

Custo Médio Ponderado do Capital

CMPC = Kd (1-IR) D/(D+S) + Ks S/(D+S)

Exemplo: Calcule o CMPC para a empresa X: Patrimônio dos Sócios $ 500.000,00. Divida $1.000.000,00. Taxa de juros (Kd) = 18% Taxa de dividendos (Ks) = 24% Solução CMPC = Kd (1-IR) D/(D+S) + Ks S/(D+S) CMPC = 0,18 (1000/1.500) + 0,24 (500/1.500) CMPC = 0,20 = 20%

Exemplo: O bar da esquina é financiado com $100.000,00 de capital próprio (sócios) e com $100.000,00 e capital de terceiros (bancos). A taxa de juros é 10% ao ano. A taxa de dividendos esperada pelos sócios é de 20% ao ano. Qual é o CMPC do bar da esquina? Solução; CMPC = Kd (1-IR) D/(D+S) + Ks S/(D+S) CMPC = 0,1 (1 – 0) 100.000 / 200.000 + 0,2 100.000 / 200.000 CMPC = 0,15 = 15% ao ano Exemplo de CAPM e CMPC. A taxa RF é 12% a.a. O beta das ações é 1,45. A taxa de retorno do mercado é 25%. A taxa de juros é 18% a.a. A divida representa 60% do capital da empresa X. A alíquota do IR é 30%. Calcular o CMPC desta empresa X. Solução; Ks = RF + Bs (Erm – RF) Ks = 0,12 + 1,45 (0,25 – 0,12) = 0,3085 = 30,85% CMPC = Kd (1-IR) D/(D+S) + Ks S/(D+S) CMPC = 0,18 (1-0,3)(60%) + 0,3085 (40%) = 19,9%

Exercícios: 1) Para implantar a empreiteira Azul, foi preciso levantar um capital de $3.000.000,00. Você obteve $1.200.000,00 em bancos e $1.800.000,00 com sócios vendendo cotas do capital de sua empresa. Considere que a taxa de juros (Kd) que a firma paga é 9% por ano e a taxa de remuneração prometidas aos sócios (Ks) de 14% ao ano. Calcule o CMPC, em inglês, WACC (Weighted Average Cost of Capital) da empreiteira Azul. Resposta: A taxa do CMPC é 12% ao ano. 2) Você quer abrir uma empresa industrial para produzir tintas. Será a firma ROXA. Você pretende obter capital para a firma ROXA vendendo 1.000 ações no valor de $2,00 cada ação. As dividas da firma ROXA deverão ser da ordem de $3.000,00 sobre a qual a taxa de juros do mercado é de 12% ao ano. A taxa esperada e prometida de dividendos para os Sócios é 20% ao ano. Considere que não existe IR. Qual é o CMPC da firma ROXA ? Resposta: 15,20% ao ano 3) Exercício de CAPM e CMPC: Você é o diretor financeira da metalúrgica W. O risco Beta da metalúrgica W é 1,2. O retorno médio do mercado Erm é 24% aa. A taxa RF esta fixada em 18% aa. A taxa de juros dos empréstimos bancários para W é 20% aa. Quarenta por cento do capital da W é dos sócios. Você precisa definir rapidamente qual é o CMPC da metalúrgica W. Resposta: O CMPC da metalúrgica W é 22,08% ao ano