VectoresVectores

Notación A

Módulo A > 0

A

Dirección ϕθ,

x

y

z

θ

ϕA

ϕx

y

Propiedades Propiedades de Vectoresde Vectores

• Dados A y B, si A = B entonces A = B

• Todo vector se puede desplazar paralelamente a si mismo

A

B

C

CBA

==

Suma de Suma de VectoresVectores

BA

R

BA C

C

Ley del polígono

El vector resultante es aquel que vector que va

desde el origen del primer vector hasta el extremo del

ultimo

A

B

C

D

Entonces si se tiene los siguientes vectores

El vector resultante de la suma de todos ellos será:

A B

C

D

DCBAR

+++=

R

Propiedades Propiedades de Vectoresde Vectores

A

Opuesto-A

Nulo 0 = A + ( )-A

Vector unitario

A

A

=μ

u

→= µAA

Propiedades Propiedades de la suma de de la suma de

VectoresVectores

Ley Conmutativa

ABBAR +=+=

Ley Asociativa

C)BA)CBAR

++=++= ((

Diferencia

B-AR

=

)B(-AR

+=A

BA

-BR

Ley conmutativa

¿Como se explica esta regla?

Los vectores A y B pueden ser desplazados paralelamente para

encontrar el vector suma

B

R = A+B

A

B R = B+A

(Método paralelogramo)

B R = A+B

Multiplicación de un vector por un escalar

Dado dos vectores ByA

Se dicen que son paralelos si BA

α=

BAsi

↑↑> 0αBAsi

↑↓< 0αBAsi

==1α

A

B

AB

21=

A

B

AB

41−=

Ejemplo 8:

Hallar el vector resultante de la suma de los siguientes vectores

A B

C

A B

CR = 2

Vectores unitarios en el plano

ijx

y

i Vector unitario en la dirección del eje x+

j Vector unitario en la dirección del eje y+

Vectores unitarios en el espacio

xy

z

ij

k

Representación Representación de un vectorde un vector

x

y

z

θ

ϕ

A

Ax

Ay

Az

θsenAAx ϕcos=θsenAsenAy ϕ=

θcosAAz =222zyx AAAAA ++==

kAjAiAA zyx

++=

Observaciones:

Las componentes rectangulares de un vector dependen del sistema coordenado elegido.

La magnitud del vector no cambia. Permanece invariante en cualquier sistema coordenado

Determínese la resultante de los siguientes vectores

+A4u 3u

B

BAR

+=7u

+

A

B

8u 4u =

BAR

+=

4u

Observamos que, cuando los vectores están en la misma dirección podemos determinar fácilmente su magnitud

¿Que sucede si los vectores no están en la misma dirección ? , ¿ podremos determinar directamente su magnitud ?

4u

3uA

B

La magnitud en este caso no puede determinarse directamente , por lo que debemos tratar de buscar otra forma de determinarla

BAR

+=

A

B

yA

xA

xB

yB

4u

3u

5u

6u

8u

10u

yA

xA

xB

yB

4u

3u

6u8u

yx AAA

+=

yx BBB

+=

A

B

yy BA

+xx BA

+10u

5u

yyxx BABAR

+++=Por Pitágoras podemos ahora determinar la magnitud del vector resultante

uR 55510 22 =+=

yA

xA

xB

yB

xCyC

xD

yD

yyyyy DCBAR

+++=

xxxxx DCBAR

+++=

xR

yR

15 u5 u

yx RRR

+=105R =

xy

z(x1,y1,z1)

(x2,y2,z2)

A

Dados los puntos indicados el vector que los une esta representado por

xy

z(x1,y1,z1)

(x2,y2,z2)

A

k)z(zj)y(yi)x(xA 121212ˆˆˆ −+−+−=

Producto Producto escalar de dos escalar de dos

vectoresvectoresθABBA cos=⋅

cosθAAB =Proyección de A sobre B

cosθBBA =

Proyección de B sobre A

Determinese la suma de los siguientes vectores:Ejemplo 1:

k5j8i3A ˆˆˆ ++=

kji-5B ˆ3ˆ2ˆ −+=

kji4C ˆ2ˆ7ˆ −−=

Ejemplo 9

Dados los vectores:

k3j5i4B

k5j3i3A

−+=−+=

Determine :

a) El producto escalar entre ellos.

b) el ángulo que forman entre sí.

A = b · h

Área del paralelogramoGeométricamente, el módulo del producto vectorial de dos vectores

coincide con el área del paralelogramo que tiene por lados a esos vectores.

.

EjemploDados los vectores

Hallar el área del paralelogramo que tiene por lados los vectores

4-(-3)i-(12-(-2))j+(9-2)k

Área del triánguloEl área de un triángulo es igual a base por altura partido por 2.La altura es la recta perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).

EjemploHallar el área del siguiente triángulo:

Área de un triángulo equilátero

EjemploCalcular el área de un triángulo equilátero de 10 cm

de lado.

Área de un triángulo rectánguloEl área de un triángulo rectángulo es igual al producto de los catetos partido

por 2.

EjemploCalcular el área del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3

y 4 cm.

SemiperímetroEl semiperímetro de un triángulo es igual a la suma de sus lados partido

por 2.Se nombra con la letra p.

Fórmula de HerónLa fórmula de Herón se utiliza para hallar el área de un triángulo conociendo sus tres

lados.

EjemploHallar el área del triángulo cuyos lados miden 3, 4

y 5 cm.

Circunferencia circunscrita a un triángulo

R = radio de la circunferencia circunscrita

Circunferencia inscrita en un triángulo

r = radio de la circunferencia inscritap = semiperímetro

Conociendo dos lados y el ángulo que forman.

Área de un triángulo por determinantes

Para resolver el determinante de orden tres utilizamos la REGLA DE SARRUS El determinante está en valor absolutoEjemplo

Calcular el área de un triángulo cuyos vértices son: A(2, 0), B(3,4) y C(-2,5).A(a1,a2), B(b1,b2), C(c1, c2 )

=(8+0+15)

+ + + - - -

23-2=21

21/2 u2

-(-8+10+0)=

Área de un triángulo por vectores

EjemploDeterminar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(1, 1, 3), B(2, −1, 5) y C(−3, 3, 1).

EJERCICIO PROPUESTOS

GRACIAS