Una sinfonía Una sinfonía de de ΦΦ

enen

Clave de Clave de SeisSeis

Un círculo…

… y un triángulo equilátero inscrito

Los puntos medios de sus lados

Mediatriz,

Mediana

Bisectriz,

Altura

Circuncentro,

Baricentro,

Incentro

Ortocentro

… y la CUERDA que pasa por ellos

¡Queda dividida EN MEDIA y EXTREMA RAZÓN …!

por los lados del triángulo

La Sección o partición de un segmento en MEDIA y EXTREMA RAZÓN está formulada ya en los Elementos de Euclides (s.-III). La idea es tan simple

como perfecta: El todo se divide en dos partes tal que, la razón proporcional entre la parte menor y la mayor, es igual a la existente entre la mayor y el

total, es decir, la suma de ambas.

Si AC = a, CB = b, AB = a + b, donde CB es el segmento menor, el segmento partido en Razón Áurea debe cumplir que:

b

a

a

baФ

a b

a + b

CB

AC

AC

AB

x 1/Φ2

x 1/Φ

1/Φ

1/Φ

1/Φ2

1/Φ

1

1

1/Φ3

1

1/Φ

1

1/Φ2

1/Φ

1/Φ2

1/Φ2

1/Φ

x 1/Φ

x 1/Φ

Demostración:

Éstos triángulos son cartabones, luego

son

semejantes

1

23

1

3

1

3

2

33

43

3

1Radio

Si, por

comodidad

3

3

1

entonces

y

33

4 3

1

53

1

3

3422

5 1

Con el Teorema de Pitágoras se deduce que

Lo que DEMUESTRA que:

1

2

15 3

1

35

33

43

2

33

2

2 15

Y, por tanto

1 2

15

Reduciendo la escala a la mitad …

Φ

1/Φ

… tenemos lo que queríamos demostrar

Las tres mediatrices

¡Y la propina!

Los tres segmentos áureos

Φ

11

1 1

1 1

ΦΦ

Si unimos los seis puntos tenemos…

1

Φ

1

1

Φ

1

Φ

1 1

El hexágono áureo con ángulos iguales

1

1

1

1 + Φ = Φ2

Φ2Φ2

120º

1 + Φ2

El hexágono

ÁUREO

1

1

1

1 + Φ = Φ2

Φ2Φ2

120º

1 + Φ2

El lado menor

El lado mayor

¡Y esta diagonal

es la suma de los lados!

Y aquí está el romboide áureo

1

Φ

Y el trapecio isósceles áureo

Φ

1

1/Φ

11/Φ

1/Φ

1/Φ2

1/Φ2

1/Φ3

El Secreto de El Secreto de ΦΦ : RECURSIVIDAD : RECURSIVIDAD

En esta figura se observa que hay dos cuerdas, el lado CD y la diagonal AB del hexágono, que son cortadas en MEDIA y EXTREMA RAZÓN pon los lados del triángulo equilátero. Lo que evidencia, una vez más, la COMPACIDAD de Φ.

1 Φ 1

1/Φ1 1C D

A B

1/Φ1/Φ 1 1