FÍSICA

Q u e s t ã o 0 1

A figura abaixo ilustra um pequeno bloco e uma mola sobre uma mesa retangular de largura d, vista de cima. A mesa é constituída por dois materiais diferentes, um sem atrito e o outro com coeficiente de atrito cinético μ igual a 0,5. A mola tem uma de suas extremidades fixada no ponto A e a outra no bloco. A mola está inicialmente comprimida de 4 cm, sendo liberada para que o bloco oscile na região sem atrito na direção y. Depois de várias oscilações, ao passar pela posição na qual tem máxima velocidade, o bloco é atingido por uma bolinha que se move com velocidade 2 m/s na direção x e se aloja nele. O sistema é imediatamente liberado da mola e se desloca na parte áspera da mesa. Determine: a) o vetor quantidade de movimento do sistema bloco + bolinha no instante em que ele éliberado da mola; b) a menor largura e o menor comprimento da mesa para que o sistema pare antes de cair. Dados: comprimento da mola = 25 cm; Constante elástica da mola = 10 N/cm; Massa da bolinha = 0,2 kg; Massa do bloco = 0,4 kg; Aceleração da gravidade = 10 m/s2. Resolução: a) Cálculo da máxima velocidade do bloco:

2 2

2 2kx mv

=

22 10 104 10 /

0,4kv x m sm

− ⋅= ⋅ = ⋅ ⋅

24 10 10 5 /v m−= ⋅ ⋅ ⋅ ss

2 /v m=

Cálculo da quantidade de movimento do sistema bloco + bolinha imediatamente antes da colisão: 2 2 2 0, 2 2 / 0,4 /Q m v kg m s kg m s= = ⋅ =

1 1 1 0, 4 2 / 0,8 /Q m v kg m s kg m s= = ⋅ =

Q2

QAntes

Q1

2 2 2 2

1 2 0,8 0,4antesQ Q Q= + = + 2

0,4 5 /AntesQ k∴ = ⋅ g m s

Na colisão temos conservação da quantidade de movimento, logo: depois antesQ Q=

�

y

x

Qdepois

0,89 /depoisQ kg m s= 2arc tg e θ =

b) Durante o percurso da parte com atrito temos:

Fat cEτ = Δ

�

C A

B

VA

2 2cos 180º

2 2B Amv mv

Fat AB⋅ ⋅ = −

2

2Amv

mg AB−μ ⋅ = −

2

2

2 2

depois

A

Qmv

ABg g

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= =

μ ⋅μ ⋅

20, 4 5

0,62 0,5 10

AB

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠=

⋅ ⋅

29

AB m∴ =

Lembrando que temos 2tg θ = 2 .BC AC= ⋅2 2 2AB BC AC= +

2 24 481

AC AC= +

2 481.5

AC =

0,10AC m∴ = e 0,20BC m=Do exposto concluímos que a menor largura d e o menor comprimento L da mesa para que o conjunto não caia serão dados por:

0,202d AC d= ⇒ = m

0,25

0, 45

L BC

comprimento originalda mola

L m

= +

↑

=

2

Q u e s t ã o 0 2

Em um recipiente, hermeticamente fechado por uma tampa de massa M, com volume interno na forma de um cubo de lado a, encontram-se n mols de um gás ideal a uma temperatura absoluta T. A tampa está presa a uma massa m por um fio que passa por uma roldana, ambos ideais. A massa m encontra-se na iminência de subir um plano inclinado de ângulo θ com a horizontal e coeficiente de atrito estático μ. considerando que as variáveis estejam no Sistema Internacional e que não exista atrito entre a tampa M e as paredes do recipiente, determine m em função das demais variáveis. Dados: aceleração da gravidade = g;

Constante universal dos gases perfeitos = R. Resolução: Considerando a pressão atmosférica na região como sendo P0 temos: Equilíbrio do êmbolo

0F =∑

T’ + FG = F0 + P’ T’ + P · A = P0 ·A + Mg ⇒ T’ + P · a2 = P0 · a2 + Mg (1) Equilíbrio do bloco:

0F =∑ N = P” · cosθ T’ = P” senθ + Fate

N = mg cosθ T’ = mg senθ +μe · N ∴ T’ = mg senθ + μe · mg · cosθ

T’ = mg (senθ + μe cosθ) (2) Para o gás ideal podemos escrever:

P · V = nRT P · a3 = nRT

P = 3

nRTa

(3)

De (1), (2) e (3) vem:

mg (senθ + μe cosθ) + 3

nRTa

· a2 = P0 · a2 + M · g

mg (senθ + μe cosθ) = P0 · a2 + Mg – nRTa

∴ m = ( )

201

e

P ·a nRT· M –sen cos g g ·aθ μ θ

⎛ ⎞+⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

Se fosse vácuo do lado de fora do recipiente, bastaria fazermos P0 = 0 na equação acima que ficaríamos com

m = ( )

1

esen cosθ μ θ+ · (M –

nRTga

).

3

Q u e s t ã o 0 3

Uma máquina opera a 6000 ciclos termodinâmicos por minuto, executando o ciclo de Carnot, mostrado na figura abaixo. O trabalho desta máquina térmica é utilizado para elevar verticalmente uma carga de 1000 kg com velocidade constante de 10 m/s. Determine a variação da entropia no processo AB, representado na figura. Considere a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2 e os processos termodinâmicos reversíveis.

Temperatura

600K

300K

A B

Entropia

Resolução: i) Cálculo da potência útil:

Pútil = mg htΔ

Δ= mgv = 1000 kg · 10 2

ms

· 10 ms

Pútil = 1,0 · 105 W ii) Cálculo do rendimento:

η = 1 – 1

2

TT

= 1 – 300600

= 12

= 50 %

De i e ii temos: 52 0 10útil

retirada da fonte quenteP

P ,= = ⋅η

W

56000 J2 0 1060 s

retirado da fonte quente emumcicloQ,

s= ⋅

32,0 10 Jretirado da fonte quente em um cicloQ = ⋅

Daí temos:

Δ HAB = retirado da fonte quenteemum ciclo

fonte quente

QT

Δ HAB = 32 0 10 J

600 K, ·

Δ HAB = 3,3 J/K Q u e s t ã o 0 4

A malha de resistores apresentada na figura a seguir é conectada pelos terminais A e C a uma fonte de tensão constante. A malha é submersa em um recipiente com água e, após minutos, observa-se que o líquido entra em ebulição. Repetindo as condições mencionadas, determine o tempo que a água levaria para entrar em ebulição, caso a fonte tivesse sido conectada aos terminais

20

A e . B

4

Resolução: Se uma d.d.p. U é aplicada nos terminais A e , podemos encontrar : C ACR

B EV V VD= =

23ACR R=

Primeira forma de calcular : ABR

Usando que:

equivale a:

5

Temos

1 1 1 1 8

82 13

ABAB

R RRR R R

= + + ⇒ =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

5

Segunda forma de calcular : ABR

⇒

1 1 12 83 3

815

AB

AB

R RR

R R

= +⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

=

⎞⎟⎠

Considerando QP

t=

Δ, com Q de mesmo valor em ambas situações, temos:

1 2

1 1 2 22 21 2

1 21 2

Q QP t P t

U Ut t

R R

=⋅ Δ = ⋅ Δ

⋅ Δ = ⋅ Δ

⇒ Mas , então: 1U U= 2

11 2

2

815 20 16 min23

ABAB AC AB AB

AC

Rt t

R

RRt t t t

R R

Δ = ⋅ Δ

Δ = ⋅ Δ ⇒ Δ = ⋅ ⇒ Δ =

6

Q u e s t ã o 0 5

A figura abaixo mostra uma caixa d’água vazia, com peso de 12 , sustentada por um cabo inextensível e de massa desprezível, fixado nos pontos

5 kgfA e D . A partir de um certo instante, a caixa d’água começa a ser enchida com uma vazão

constante de 500 L h/ . A roldana possui atrito desprezível. Sabendo que o cabo possui seção transversal circular de 1 c de

diâmetro e que admite força de tração por unidade de área de no máximo , determine o tempo de entrada de água na caixa, em minutos, até que o cabo se rompa.

B m2750 kfg cm/

Dado: peso específico da água = 31000 kfg cm/ 3 14,≅π

B

C

D

2,5 m

5,5 mcaixad'água

A

6,0 m 2,5 m 6,0 m

Resolução: Obs.: Para a resolução desta questão, consideraremos os pontos e B D alinhados horizontalmente.

Tensão de Ruptura ( )RT

Área da seção transversal do cabo ( )cA 2 2

23 14 1 0 785 cm4 4cD ,A ,⋅

= = =π

750 kgf 21 cm

RT 20 785 cm588 75 kgfR

,T ,=

Peso de água ( )AP

�

y

x45°

T2y

T2

T2x

T1y

T1

T1x

2,5m

B D

2,5m

2,5m 6 m

T3

T3

PA PR Obs.:

2 2 26 2 5 6 5 m2 5 5senθ senθ6 5 136 12cosθ cosθ

6 5 13

d , d ,,,

,

= + ⇒ =

= ⇒ =

= ⇒ =

7

1 2

1 2

1 2

1 2

0cos45 cos

2 122 1312 2

13

Rx x xF T TT º T

T T

T T

θ= ⇒ =

⋅ = ⋅

⋅ = ⋅

=

Como , teremos: 1T T> 2 1 588 75 kgfRT T ,= =

Fazendo 2 1 41,= , teremos:

1 2

2

2

12 213

12 1 41588 7513

452 35 kgf

T T

,, T

T ,

=

⋅=

=

1 20Ry y y 3F T T T= ⇒ + =

Como 3 A RT P , onde (peso do recipiente), teremos: P= + 125 kgfRP =

1 2

1 2sen45 sen 125

2 5588 75 452 34 1252 13

464 05 kgf

y y A R

A

A

A

T T P P

T º T P

, , P

P ,

θ

+ = +

⋅ + ⋅ = +

⋅ + ⋅ = +

=

Tempo de entrada de água ( )tΔ

3

464 051000

0 46405 m 464 05 L

AA

P ,V V

V , ,

= ⇒ =

= =

ρ

464 05500

0 9281 h55 7 min

V ,Zt t

t ,t ,

= ⇒ =Δ Δ

Δ =Δ =

Q u e s t ã o 0 6

Em certa experiência, ilustrada na figura abaixo, uma fina barra de latão, de comprimento , inicialmente à temperatura de , encontra-se fixada pelo ponto médio a um suporte presa à superfície e pelas extremidades e dois cubos idênticos

8 m=L20ºC A e , feitos de material isolante térmico e elétrico. A face esquerda do cubo

BA está coberta por uma fina placa metálica quadrada 1P ,

distante de uma placa idêntica 0 5 cm=d 2P fixa, formando um capacitor de 12 Fμ , carregado com 9 Fμ . Na face direita do cubo está fixado um espelho côncavo distante 11 de um objeto , cuja imagem B cm O I está invertida. Aquece-se a barra até a

temperatura em , quando então a distancia entre O e T ºC I se torna igual a e a imagem 24 cm I , ainda invertida, fica com quatro vezes o tamanho do objeto . OConsiderando a superfície sob os cubos sem atrito, determine: a) a distância focal do espelho; b) a tensão elétrica entre as placas ao ser atingida a temperatura T ; c) a temperatura . T

Dados: coeficiente de dilatação linear do latão ( ) ( ) 151 8 10 ºC −−= ×,α .

8

Resolução: Na situação final a distância entre objeto e imagem é de 24 cm e o aumento linear transversal vale A = – 4:

24If Ofp p− = e –4 Íf

Of

pA

p

−= = , logo:

( )4 24 8cOf Of Ofp p p= + ⇒ = 32 cmIfp =m e

Por fim: 1 1 1 1 1 5 6, 4 cm

32 8 32If Ofp

f p p= + = + = ⇒ =

b) Pela figura nota-se: 11 8 3 cmO OfL p pΔ = − = − =

Assim, no capacitor: 5 3 2 cmd do L= − Δ = − =

E ainda, O OAC A C

doε

= ∴ ε = ⋅ do

Que usado na situação final: 5 cm12 30

2cmOC doA FC F

d d⋅ε ⋅

= = = μ = μ

E por fim: 9 0,330

Q CU V C F

μ= = =

μ c) Podemos calcular a dilatação da barra da forma:

2 -5 13 cm 417º

4 10 cm 1,8 10 ºLL L T T C

L C−Δ

Δ = ⋅α ⋅ Δ ∴ Δ = = =⋅α ⋅ ⋅ ⋅

E assim: T T 20º 437º C= +Δ =

9

Q u e s t ã o 0 7

Considere uma pequena bola de gelo de massa M suspensa por um fio de densidade linear de massa p e comprimento L à temperatura ambiente. Logo abaixo deste fio, há um copo de altura H e diâmetro D boiando na água. Inicialmente o copo está em equilíbrio com um comprimento C submerso. Este fio é mantido vibrando em sua freqüência natural à medida que a bola de gelo derrete e a água cai no copo. Determine a freqüência de vibração do fio quando o empuxo for máximo, ou seja, quando o copo perder a sua flutuabilidade. Dados: aceleração da gravidade = g; massa específica da água = μ Resolução:

O empuxo adicional corresponderá ao peso do volume V do copo que passará a ficar submerso:

AE P V gΔ = = μ ⋅ ⋅ 2

4ADP h gπ

= μ ⋅ ⋅ ⋅

( )2

4Ag DP H Cμ π

= ⋅ −

' = −

Mas, o peso acional PA é o mesmo perdido pela bola de gelo: gelo O AP P P

D

C

h

H

P = M·g0

( )2· ·'

4μ π

= ⋅ − −gelog DP M g H C

( )' =gelo tração no fioP f

( )2· ·

4μ π

= − −g DF Mg H C

A freqüência natural de vibração será dada por:

11

2=

ρFf

L

( )2

11 1 · ·– –

2 4⎡ ⎤μ π

= ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥ρ ⎢ ⎥⎣ ⎦

Df Mg g H CL

( )21

1 4 – –4

⎡ ⎤= ⋅ μ⋅π⋅ ⋅⎣ ⎦ρgf M D H C

L

Q u e s t ã o 0 8

O circuito ilustrado na figura abaixo apresenta um dispositivo F capaz de gerar uma corrente contínua e constante I, independentemente dos valores da resistência R e da capacitância C. Este circuito encontra-se sujeito a variações na temperatura ambiente Δθ. O calor dilata apenas as áreas Ac das placas do capacitor e AR da seção reta do resistor. Considere que não variem com a temperatura a distância d entre as placas do capacitor, a permissividade e do seu dielétrico, o comprimento L do resistor e sua resistividade p. Determine a relação entre os coeficientes de dilatação superficial βc das placas do capacitor e βR da seção reta do resistor, para que a energia armazenada pelo capacitor permaneça constante e independente da variação da temperatura Δθ. Despreze o efeito Joule no resistor e adote no desenvolvimento da questão que (βR Δθ)2 << 1. Resolução: A energia armazenada no capacitor pode ser calculada da forma

2

2CUE = ,

onde ainda podemos calcular

cAC

d=

ε e

R

LU R I IA

= ⋅ = ⋅ρ

Assim, levando em conta variações de temperatura Δθ devemos escrever: ( )1c cA

Cd

+ Δ= ⋅

β θε e

( )1R R

LIUA

=+ Δρ

β θ

E a nova energia acumulada será:

( )( )

211

2 1c

cR R

LIE Ad A B

⎛ ⎞+ Δ= ⋅ ⋅ ⋅ ⇒⎜ ⎟⎜ ⎟+ Δ⎝ ⎠

β θ ρεθ

( )( )

2 2 2

2 2

12 1

cc

R R

L I AE

dA

⎛ ⎞+ Δ⋅ ⋅ ⋅ ⎜ ⎟= ⋅⎜ ⎟⋅ + Δ⎝ ⎠

β θε ρ

β θ

Sendo assim, para que E não varie, precisamos que o fator seja constante e ( )2

11

1c

R

+ Δ=

+ Δ

β θ

β θ

( ) ( )21 1

11 1 2

c c

R R R

+ Δ + Δ=

+ Δ + Δ + Δ

β θ β θ

β θ β θ β θ 2 = , onde podemos desprezar ( )2ΔRβ θ

Logo, 1

11 2

c

R

+ Δ=

+ ⋅ Δβ θβ θ

1 1 2 2 cc R c R

R+ ⋅ Δ = + ⋅ Δ ⇒ ⋅ Δ = ⋅ Δ ⇒ =

ββ θ β θ β θ β θ

β2

10

Q u e s t ã o 0 9

Uma partícula com, carga elétrica positiva q e massa M apresenta velocidade inicial v na direção y em t = 0, de acordo com a figura ao lado. A partícula está submetida a um campo magnético variável e periódico, cujas componentes estão mostradas na figura ao lado em função do tempo. Verifica-se, que durante o primeiro pulso da componente BBz, a partícula realiza uma trajetória de um quarto de circunferência, enquanto que no primeiro pulso da componente ByB realiza uma trajetória de meia circunferência. Determine: a) o período T em função de M · q e b2. b) a relação b / b2. c) o gráfico da componente x da velocidade da partícula em função do tempo durante um período. Resolução: a) Seja Δt o tempo que seria necessário para a partícula realizar uma circunferência completa sob ação de bz caso sua duração fosse suficientemente grande:

2

z

Mtqbπ

Δ =

Do enunciado notamos que 0,14t TΔ

= , daí:

10 5 24 2 z

t MTqb

Δ π= = ⋅

5 ( )z

MT Iqbπ

=

b) Seja Δt’ o tempo que seria necessário para a partícula realizar uma circunferência completa sob ação de b caso sua duração fosse suficientemente grande

2' Mtqbπ

Δ =

Agora podemos escrever ' 0,05

2t TΔ

= , logo:

2 2010 ' 10 ( )M MT tq b q bπ π

= Δ = ⋅ = II

De (I) e (II) vem: 5 20 4

z z

M M bTq b q b bπ π

= = ⇒ =

c) Primeiro façamos um gráfico da trajetória da partícula:

t0 = 0 t T1= 0,2

t T2 = 0,3

y

z

x

t = T3 0,45

t = T4 0,50

t T5 = 0,65

t T6= 0,75t T7= 0,95

11

Do exposto na figura acima, atendo-nos somente à velocidade no eixo x, podemos construir o gráfico abaixo:

Q u e s t ã o 1 0

Um radar Doppler foi projetado para detectar, simultaneamente, diversos alvos com suas correspondentes velocidades radiais de aproximação. Para isso, ele emite uma onda eletromagnética, uniformemente distribuída em todas as direções e, em seguida, capta os ecos refletidos que retornam ao radar. Num experimento, o radar é deslocado com velocidade constante v em direção a um par de espelhos, conforme ilustra a figura abaixo. Calcule os vetores de velocidade relativa (módulo e direção) de aproximação dos quatro alvos simulados que serão detectados pelo radar após as reflexões no conjunto de espelhos, esboçando para cada um dos alvos a trajetória do raio eletromagnético no processo de detecção.

Dado: .4 3π π

< θ <

Resolução: A velocidade radial de aproximação com que o observador O percebe as imagens I1 e I4 são, em módulo, são iguais a 2 senv θ . As direções são as das retas OI1 e OI4 indicadas na figura.

�

�

I1

I2I3

I4

v sen �

v sen ��

�

�

�

v

vv

Já as imagens I2 e I3 não são percebidas por O. Isso ocorre uma vez que nenhuma onda eletromagnética originada em O retorna

a ele após duas reflexões nos espelhos. Para a percepção de I2 e I3 o ângulo θ deveria ser menor que .4π

12

Se o ângulo θ estivesse no intervalo ,5 4π π⎤

⎥⎦ ⎣,⎡

⎢ teríamos:

� ��� �–

��� �–

��� �–

�v cos �

v

vv cos �

I4

I2I3

I1

O

�

v

As soluções para I1 e I4 são idênticas às já apresentadas. Da figura notamos que: 90º 90º 90º 180º−θ + −α + −θ =

90º 2α = − θ ( )cos cos 90º 2 sen 2 = 2sen cosα = − θ = θ θ θ

Finalmente as velocidades de aproximação de I2 e I3 em relação a O serão, em módulo, iguais a . Suas direções são dadas pelas retas OI2 cos 2 2sen cos 4 sen cosv v vα = θ θ = θ θ 1 e OI2 conforme a figura.

13

Professores: Física

Adriano Medeiros Bernadelli

Frederico Bittencourt Marcelo Moraes Rodrigo Lacerda

Walfredo

Digitação e Diagramação Antônio A. Vitor

Deise Lara Plínio Lagares Val Pinheiro

Vinícius Eduardo

Projeto Gráfico Antônio A. Vitor

Assistente Editorial

Alicio Roberto

Supervisão Editorial Alicio Roberto

Rodrigo Bernadelli Marcelo Moraes

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