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RESOLUÇÕES

COLEÇÃODARLANMOUTINHO

VOL. 04

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comRESOLUÇÃO

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A1 [B]Primeiramente, dividimos a figura B em dois triângulos B1 e B2, um com altura de 21 m e base de 3 m e outro com altura e base medindo 15 m.

Assim, temos que a área da figura A é igual a área da figura B = B1 + B2

Fatorando 144, temos que:

x(x + 7) = 9.16x(x + 7) = 9(9 + 7)

Assim, as medidas do retângulo são 9 m e 16 m.A3 [A]

Mosaico 1: Temos que os dois triângulos retângulos não são congruentes pois percebemos que as medidas dos catetos do triângulo de baixo são menores do que as do de cima.

Mosaico 2: Temos dois triângulos retângulos congruentes e um isósceles.

Mosaico 3: O terceiro triângulo não é isósceles.

Mosaico 4: A terceira figura não é um triângulo isósceles.

Mosaico 5: Não possui triângulo retângulo.

Logo a figura que se adéqua é a de número 2.

[B]Bom primeiramente devemos analisar cada mosaico e cada tipo de triângulo existente.

E buscando o que queremos que é “sendo duas delas triângulos retângulos congruentes e a terceira um triângulo isósceles’’.

A área ocupada pelas antenas antigas era de 8π, que temos que duas circunferências de raio 2, ou seja área = 2.2².π

Já a área coberta pela nova antena é de 16π, pois o seu raio, analisando a figura, vale 4. Assim, área = 4²π.

Ou seja, a área aumentou de 8π.

x(x + 7) = = 144+15.15

221.3

2

A2

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A4 [C]Como a área da nova piscina deve ser menor do que a anterior, temos:

3.(π.R² / 6) < 50 . 24

Como π = 3, temos:

3.3R² /6 < 1200 => R² < 6.1200 / 9 => R² < 800 => R = 28, já que 28² < 800 < 29².

A6

A5 [B]

Como os ângulos dos triângulos ABC e AED são congruentes entre si, esses triângulos são semelhantes.

Portanto, é válida a relação:

0,8/2,2 = 3,2/(3,2 + x)0,8 (3,2 + x) = 2,2 . 3,20,8x + 2,56 = 7,040,8x = 7,04 – 2,56x = 4,48/0,8 = 5,6 metros.

[D]

A7Se AC = R, temos que o triângulo AFC é equilátero. Logo, o ângulo teta é de 60°.

[C]

A8Para utilizar o menor número de peças no piso, Vitor deve escolher aquele que tem maiores áreas, mas observar se será possível utilizar apenas peças inteiras, para evitar cortes ou sobreposições.

[C]

O tipo V é o que apresenta maior área: 0,36m². Entretanto, sua utilização acarretará a necessidade de cortes, pois 3/0,6 = 5 peças e 4/0,6 = 6,667 peças, e não é um número inteiro.

O tipo III é o que tem a segunda maior área: 0,30 m². Sua utilização não necessita de cortes, pois: 3/0,6 = 5 peças e4/0,5 = 8 peças.

Alternativa correta: letra c) Tipo III.

A área da região clara pode ser calculada através do quádruplo da área do triângulo APB, visto que os triângulos APB, APD, CQD e CQB são congruentes, possuindo mesmas áreas.

A área da região clara é igual à área da região sombreada e pode ser calculada através da diferença da área do quadrado pela área clara:1-0,25=0,75m².

Calcula-se o preço do vitral através do produto da área de cada região pelo preço do m² correspondente.

Preço= 0,25.50 + 0,75.30 = 12,5 + 22,5 = 35 reais.

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Para utilizar o menor número de peças no piso, Vitor deve escolher aquele que tem maiores áreas, mas observar se será possível utilizar apenas peças inteiras, para evitar cortes ou sobreposições.

O tipo V é o que apresenta maior área: 0,36m². Entretanto, sua utilização acarretará a necessidade de cortes, pois 3/0,6 = 5 peças e 4/0,6 = 6,667 peças, e não é um número inteiro.

O tipo III é o que tem a segunda maior área: 0,30 m². Sua utilização não necessita de cortes, pois: 3/0,6 = 5 peças e4/0,5 = 8 peças.

Alternativa correta: letra c) Tipo III.

A9 [C]Unindo os centros das três circunferências menores forma-se um triângulo, cujo centro coincide com o centro da circunferência maior, cujo raio R é igual aos 10 cm da distância entre os canos de raios menores e com o de raio maior, somada com os 30 cm do raio do cano menor mais a distância do centro da circunferência maior ao da menor.

Essa distância (d) é igual a da altura do triângulo equilátero (h) já mencionado de lado (l) igual ao dobro do raio da circunferência menor, 2 x 30 = 60 cm.

Como h = = = 30√3 e d = l = .30√3 = 20.1,7 = 34

Como R = 10 + 30 + d = 40 + 34 = 74 cm.

A10 [C]

l√32

60√32

23

23

Os triângulos FEB e ACB são semelhantes por apresentarem ângulos congruentes entre si, assim = , como AC = 4,

Somando as equações encontradas a partir das semelhanças, tem-se que + . Como FB + FE = AB, + = 1 ;

+ = 1 ; EF = 1 ; EF = = 2,4 m.

= . Os triângulos FEA e BDA também são semelhantes pela mesma razão, assim = , como BD = 6, = .

EFAC

FBAB

EF4

FBAB EF

BD

EF4

EF6

EF4

EF6

EF4

EF6

512

12 5

FEAB

EF6

FEAB

23

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A12 [E]

Sendo D, E e F, os pontos médios dos lados de ABC, DE = EF = DF = 0,5m. A área do triângulo equilátero DEF é:

Primeiro, devemos calcular o perímetro de uma circunferência de raio = 50 m.

Sabemos que o perímetro (dado pelo símbolo 2p) é dado por 2πR.

2p = 2πR = 2.3.50 = 300 metros.

Como ele dá 15 voltas por dias, temos que a distância total percorrida é dada por 15×300 = 4,500 metros = 4,5 km.

A11 [B]Geometricamente,

A menor distância do barco até o ponto P é, em metros,

A13 [B]

A = = = . = . 0.52.√3

40.25.√3

425100

√34

√316

A B2000m

C

60°

30°

2000m

Cos30° = => d = cos30°. 200 = . 2000 d

2000m√32

1000

d = 1000√3.

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A15 [E]O ângulo de 15° feito pelo lado AB e a aresta oblíqua do prisma tem como cateto oposto um dos lados do quadrado da base (L) e como cateto adjacente o lado AB, se for considerado o triângulo retângulo ABC, sendo C o vértice da base inferior que se encontra na mesma face de A. Sendo a tangente do ângulo a razão entre o cateto oposto e o adjacente desse ângulo, tem-se que:

tg 15° = 0,26 = L/AB = L/114;L = 0,26 . 114 = 29,64 metros.

A área da base é L² = 29,64² = 878,53 m².

A14 [C]Para encontrar a altura h que se encontrava o balão, fazemos:tg 60° = h/18√3 = h/18h = √3 . 18h = 3,11.~