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Portal FuenterrebolloOlimpiada Matemáticas Nivel III  (3º ‐ 4º ESO)

OLIMPIADA MATEMÁTICAS NIVEL III (3º - 4º ESO)

16. Encima de un triángulo equilátero de lado 3 cm, colocamos uncírculo de 1 cm de radio, haciendo coincidir los centros de ambasfiguras. ¿Cuánto mide el perímetro o borde la figura resultante?

A) 2π B) 6 + π C) 9 D) 3π E) 9 + 2π

Solución:

Se ve una parte de la circunferencia que equivale a 180º, es

decir, un perímetro 2 12

Al ser triángulos equiláteros, cada lado mide 1 cm.

La parte que se ve en cada lado del triángulo grande es de 2 cm.

El borde de la figura resultante es de cm6 + π

17. El punto O es el centro de un círculo de radio 1, OA y OC sonradios y OABC es un cuadrado. ¿Cuál es el área, en unidadescuadradas, de la región sombreada?

A) π1 -4

B) π1 -2

C) 1 - π4

D) π2 -2

E) π2 -4

Solución:

2

Área región sombreada: cuadrado circulo1A Área Área4

Área región sombreada: 2 21A 2 . 1 14 4

18. Cada uno de los lados de este octógono regular mide 2 cm.¿Cuál es la diferencia entre el área de la región sombreada y elárea de la región sin sombrear?

A) 2 2 B) 2 C) 32

D) 1 E) 0

Solución:

Los triángulos rectángulos isósceles (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, y 8) soniguales. Los rectángulos A, B, C y D son iguales.

En consecuencia, la región sombreada y no sombreada son igualesy tienen el mismo área.

La diferencia entre las dos áreas es 0

19. P y Q son los puntos medios de los lados del cuadrado deperímetro 4 cm. El área del rectángulo sombreado de la figura,está comprendida entre:

A) 1 5y4 16

B) 5 3y16 8

C) 3 7y8 16

D) 7 1y16 2

E) 1Más de2

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Solución:

Para calcular el área del rectángulo sombreado basta hallar ladiferencia entre el área del cuadrado y el área de los cuatrorectángulos (iguales dos a dos).

El triángulo grande y pequeño son semejantes por tener susángulos iguales.

La hipotenusa del triángulo grande QBC; 2 51BQ 1 cm

2 2

Para hallar AP se establece una relación de equivalencia:

5 1BQ BP 2 2

1BC AP AP

con lo que, 1AP cm5

.

En consecuencia, 22

1 1 1 1 1 1AB cm2 4 5 205 2 5

(mitad de AP )

El área del triángulo pequeño BPA: 21 1 1 1. . cm2 202 5 5

El área del triángulo grande BCQ : 21 1 1. 1 . cm2 2 4

El área del rectángulo: 21 1 6 6 4 21 2 1 2 1 cm20 4 20 10 10 5

Siendo 2 6, 4 3 2 75 16 8 5 16

20. El diámetro del semicírculo grande y el radio del cuadrantemiden ambos 2 cm. ¿Cuál es, en cm, el radio del semicírculopequeño?

4

A) 2

B) 710

C) 23

D) 2

E) 2

2

Solución:

El punto de tangencia de dos circunferencias se encuentra en elsegmento que une sus centros, formando el triángulo rectánguloCBA, siendo los tres vértices (C, A, B) los centros de las trescircunferencias.

CA x 1 AB 1 BC 2 x

Aplicando el teorema de Pitágoras:

2 2 2(1 x) 1 (2 x) 1 2x 2x 1 24 x 24x x3

21. En la figura se muestra un cuadrado de lado 1 y cuatrosemicírculos iguales mutuamente tangentes. ¿Cuál es el área de la parterayada?

A) 2 B) 1

4

C) 4 D) 22 2

E) Ninguno

Solución:

El punto de tangencia de dos circunferencias se encuentra en elsegmento que une sus centros, formando un triángulo rectángulo.Todos los vértices son centros de circunferencias.

El diámetro formado al unir los centros de dos circunferencias:

2 21 1 1 1 1 1d2 2 4 4 2 2

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El radio de una semicircunferencia: 1r2 2

El área de la zona rayada se obtendrá restando al área del círculo el área de dos círculos, esdecir:

2

1 11 2. . 1 2 . . 18 42 2

22. Muchas catedrales góticas tienen ventanas como la de lafigura: varios círculos iguales, tangentes dos a dos y un círculogrande tangente exterior a todos. En la figura hay cuatro círculospequeños. ¿Cuál es el cociente entre la suma de las áreas de loscuatro pequeños y el área del grande?

A) 3 2 2 B) 2 2 C) 4 3 2 2 D) 1 3 22

E) 2 2 2

Solución:

Para calcular el radio del círculo grande, partimos del supuesto queel radio de cada círculo pequeño es 1.

El punto de tangencia de dos circunferencias se encuentra en elsegmento que une sus centros, formando un triángulo rectángulo.

la hipotenusa del triángulo rectángulo formado mide 2 y cada cateto mide 1 x , por elteorema de Pitágoras se tiene:

2 2 2 2 22 (1 x) (1 x) 4 2(1 x) 2 (1 x) x 2 1

El radio de la circunferencia grande: 2 1 2 2 1

Área del círculo grande: 2

1 2 1 2 2 2 3 2 2

Área de 4 círculos pequeños: 2 24 . 1 . 4

6

El cociente solicitado:

4

3 2 2

4 3 2 2 4 3 2 24 4 3 2 29 83 2 2 3 2 2 3 2 2

23. Si el hexágono de la figura tiene 2 dm de lado, ¿cuál es, endm2, el área de la estrella central?

A) 3 3 B) 6 3 2 C) 2 6 D) 3 18 E) 6 2 3

Solución:

Los ángulos de un hexágono suman 720º, por tanto, los seissectores circulares blancos forman dos circunferencias de radio 1dm. En consecuencia, el área de la estrella central es el área delhexágono regular de 2 dm de lado menos el área de dos círculos deradio 1 dm.

Área hexágono (6 triángulos equiláteros): 2

6 .3

226 3 dm

Área dos círculos: 2 22 1 2 dm

Área estrella: 26 3 2 dm

24. La proporción entre las áreas de un hexágono regular inscrito yuno circunscrito a una misma circunferencia es:

A) 3 : 4 B) 4 : 5 C) 5 : 6 D) 2 3 : 4 E) 3 : 5

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Solución:

La proporción entre las áreas es igual a la proporción entre loscuadrados de sus lados. En este sentido, bastará calcular cuántovalen los lados de los hexágonos.

Como herramienta auxiliar se traza la circunferencia exterior, la que circunscribe alhexágono mayor. Se puede suponer que el radio de la circunferencia pequeña es 1, con lo cualel lado del hexágono pequeño también mide 1.

Denotando por x el lado del hexágono mayor, se aplica el teorema de Pitágoras:

2 222 2 2 3xx x 21 x 1 x 1 x

2 4 4 3

La proporción entre las áreas será la proporción entre los cuadrados de sus lados (inscrito ycircunscrito):

2

2 2 4 31 : 1 :3 43

25. Calcular el área de la zona sombreada sabiendo que ABCD es uncuadrado de lado 1 y los triángulos ACE y ACF son equiláteros.

A) 3 B) 2 3 1 C) 3 1 D) 3 1 E) 2

Solución:

8

Diagonal del cuadrado: 2 2AC 1 1 2

Semidiagonal: 2

AH2

Como los triángulos ACE y ACF son equiláteros, el lado es 2

La altura 2

2 2 2 6 3HF 2 22 4 4 2

El área de cada uno de los triángulos: xbase altura 1Área 22 2

3

2

32

El área de la zona sombreada es el área de los dos triángulos menos el área del cuadrado:

sombreadaÁrea 2 x3

221 3 1

26. En la figura adjunta, donde EA es perpendicular a AC,sabemos la medida de los siguientes segmentos:

AB 8 AC 18 AE 16 y AF 6

¿Cuál es el área del cuadrilátero ABDF sombreado?

A) 38 B) 24 C) 42 D) 20 E) 34

Solución:

9

Trazando DH y DG se forman triángulos rectángulos semejantes.

El triángulo EAB es semejante al triángulo DGB, estableciendo la relación:

6 yAE GD 16 16x 8(6 y) 2x 6 y y 6 2x8 xAB GB

El triángulo CAF es semejante al triángulo DHF, estableciendo la relación:

AC HD 18 8 x 118y 6(8 x) 3y 8 x y (8 x)6 y 3AF HF

Resolviendo el sistema: y 6 2x x 216 2x (8 x) 5x 101 3 y 2y (8 x)

3

El área del cuadrilátero ABDF será la suma de las áreas de los triángulos DGB y DHF y elrectángulo AGDH:

Área del triángulo DGB x(6 y) 2 . 4 42 2

Área del triángulo DHF y(8 x) 2 . 6 62 2

Área del rectángulo AGDH (8 x)(6 y) 6 . 4 24

Área del cuadrilátero ABDF 4 6 24 34

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27. En el dibujo de la figura, que no está hecho a escala, O es elcentro de la circunferencia. ¿Cuánto mide el ángulo a?

A) 89º B) 90º C) 91º D) 92º E) 93º

Solución:

Los ángulos A y B son iguales ya que abarcan el mismo arco AC(propiedad de los ángulos inscritos en una circunferencia).

Sabiendo que A B 59º

. La suma de los ángulos del triánguloBED suman 180º, con lo cual:

a 180º 59º 32º 89º

28. En el rectángulo ABCD con AB 8 y BC 9 , tomamos lospuntos H y E en los lados AB y DA respectivamente, siendo BH 6

y DE 4 . Las rectas AH y BC se cortan en G y GF esperpendicular al lado AD. ¿Cuál es la longitud del segmento GF?

A) 16 B) 20 C) 24 D) 28 E) 30

Solución:

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Los triángulos GFE y GJC son semejantes, luego sus lados son proporcionales:

4 yGF GJ 8 x x 8 x4 y y x yFE JC

Los triángulos GFA y GJH son semejantes, luego sus lados son proporcionales:

9 yGF GJ 8 x x 8 x9 y 3 y x 3 yFA JH

Resolviendo el sistema

4 y8 xx y

4 y 9 y (4 y)(3 y) y(9 y) 2y 12 y 6y 3 y9 y8 x

x 3 y

sustituyendo en 4 y8 x 8 x 10 x 12x y x 6

El segmento GF FJ JF 8 12 20

29. El área del triángulo equilátero ABC de la figura es3 . Si doblamos la figura por el segmento BC, el vértice

A coincide con el centro del cuadrado MNPQ. ¿Cuál es elárea del rectángulo BNPC?

A) 3 3 B) 5 32

C) 6 3 1 D) 2 3 1 E) 6

Solución:

12

Para calcular el área del rectángulo hay que calcular la base y la altura. La altura delrectángulo coincide con el lado del triángulo equilátero, cuestión que será nuestro primerobjetivo.

Aplicando el teorema de Pitágoras: 2 2 2

2 2 3l 3 llh l l l2 4 4 2

Como el área del triángulo equilátero es 3 , se tiene:

xx3

l l 3base altura 2Área2 2

2l

34

2 3l 4 l 2 h l 3

2

La base del rectángulo BN ED DR 3 DR

El problema dice que D coincidía con el centro del cuadrado, luego DR es la mitad delcuadrado, por tanto DR 1 BN ED DR 3 1

El área del rectángulo BNPC xBC BN 2 3 1

30. En una circunferencia hay inscrito un cuadrado de lado "a" ysobre sus lados hemos dibujado semicircunferencias como indica lafigura. ¿Cuál es el área de la zona sombreada?

A) 2a

4 B)

2a2 C)

2a8

D) 2a E) 2a

2

Solución:

13

Cada una de las zonas sombreadas tiene un área igual a:

12

área círculo de radio a2

14

(área círculo de radio la semidiagonal - área cuadrado)

Semidiagonal del cuadrado: 2 2 22ad a a a

2 2 2 4 2

Área cuadrado: 2a Área círculo de radio ar2

: 2 2a a

2 4

Área círculo de radio la semidiagonal: 2

2a a22

Área una zona sombreada: 2 2 2

2x x1 a 1 a aa2 4 4 2 4

Área de las cuatro zonas sombreadas: 42

xa4

2a