Parte 5. Pruebas no paramétricas.

Autor: Santiago Perez Lloret

En este documento analizaremos brevemente algunas pruebas de hipótesis que

pueden aplicarse cuando las pruebas “t” no son válidas y nos focalizaremos sobre

la prueba de Χ2 (chi-cuadrado).

1. Comparación de dos muestras cuando no es posible

aplicar las pruebas t.

Es imprescindible tener en cuenta que los efectos de emplear una prueba de

confrontación de hipótesis cuando sus requerimientos (también llamados

“asunciones”) no se cumplen, pueden ser graves. Lo que ocurrirá será que el error

α o el β se incrementarán en una magnitud imposible de precisar. De esta manera

lo único que conseguiremos será un resultado en el que no podemos confiar. Por

ello, cuando las asunciones para la aplicación de las pruebas t no se cumplen,

debemos recurrir a otras alternativas. Comentaremos brevemente algunas de

ellas.

A continuación le mostramos la distribución poblacional de dos variables creatinina

y hematocrito evaluada a partir de una base de datos que incluyó más de 10000

pacientes con enfermedades renales.

Observe que mientras que el histograma de distribución de frecuencia para la

variable hematocrito muestra una distribución que se ajusta casi perfectamente a

la distribución gaussiana, la creatinina no. En cambio ella muestra un sesgo

positivo (es decir, hacia la derecha). Se observa que la distribución normal no

provee un modelo satisfactorio para el análisis de esta variable.

En estos casos se pueden emplear transformaciones matemáticas. Existen un

buen número de ellas y su objetivo es, mediante la manipulación matemática, de

los datos, poder analizar, mediante métodos paramétricos (como las pruebas t),

variables cuyas distribuciones se alejan de la normalidad. Una de las más

sencillas es la transformación, que consiste en obtener el logaritmo en base 10 de

los datos originales. Observe como esta manipulación nos devuelve una nueva

variable, “logaritmo base 10 de la creatinina” con una distribución que se aproxima

bastante a la normalidad,

Hay situaciones donde las transformaciones no pueden aplicarse. Debemos

reservar para estos casos las llamadas “pruebas no paramétricas”. Su principal

desventaja es que frecuentemente presentan menos poder estadístico en

comparación con las pruebas paramétricas. Esto implica que -en muchos casos-

no podremos rechazar H0 aún a pesar de que H1 sea en realidad verdadera.

Asimismo, las pruebas paramétricas nos permiten evaluar ciertos parámetros

poblacionales, basadas en la distribución muestral de la media, cosa que es

imposible con las pruebas no paramétricas. Por ello, estas pruebas deben

reservarse como última opción.

En la siguiente Tabla resumimos las diferentes pruebas que podemos utilizar en

diferentes situaciones.

Prueba paramétrica Situación Prueba no paramétrica

correspondiente

Prueba t para

muestras

independientes

Comparación de 2

muestras independientes

Prueba “U de Mann-

Whitney”

Prueba t para

muestras

dependientes

Comparación de muestras

apareadas Prueba de Wilcoxon

Análisis de la

Varianza (ANOVA)

Comparación de 3 o más

muestras independientes Prueba de Kruskal-Wallis

ANOVA para medidas

repetidas

Comparación de 3 o más

muestras dependientes Prueba de Friedman

2. Análisis de datos categóricos mediante la prueba de χ2

(Chi-cuadrado).

La prueba de Chi-cuadrado es una prueba de gran versatilidad que nos permite

evaluar asociaciones entre variables categóricas (ya sean nominales u ordinales).

Sin embargo, antes de pasar a describirla en mayor detalle, nos detendremos a

analizar un concepto de fundamental importancia, la “independencia probabilística

de los eventos”.

Eventos independientes. Regla de la multiplicación.

Sabemos que no existe ninguna relación entre el color de pelo y el sexo, de modo

tal que no hay razón para suponer que existe una “asociación” entre estas dos

características. Supongamos que se evaluó el color de pelo en 500 hombres y un

número similar de mujeres y que se observaron estos resultados,

Mujeres Hombres Total

Rubios 250 (25%) 250 (25%) 500 (50%)

Pelirrojos 50 (5%) 50 (5%) 100 (10%)

Morochos 200 (20%) 200 (20%) 400 (40%)

Total 500 (50%) 500 (50%) 1000 (100%)

Observando los datos podemos llegar a la conclusión que la frecuencia de sujetos

con cabelleras de los diferentes colores es la misma en ambos sexos. En otras

palabras, podemos afirmar que los eventos “ser hombre” (o ser mujer) y “pelo

rubio” (o morocho o pelirrojo), son independientes entre sí. Analicemos con más

detalle la base matemática del concepto.

Podemos calcular con bastante precisión el porcentaje de sujetos en cada celda

conociendo los porcentajes de la fila y columna marcadas como “total”. Así, la

siguiente fórmula nos permitirá conocer el porcentaje de mujeres con pelo rubio:

p(mujer y pelo rubio) = p(pelo rubio) * P(mujer)

donde p= frecuencia relativa (o más sencillamente probabilidad)

De la columna de totales obtenemos que la p(pelo rubio) = 0.5 o 50%. Asimismo

de la fila totales obtenemos que la p(mujer) = 0.5 o 50%. Así,

P(mujer y pelo rubio) = 0.5 * 0.5 = 0.25 o 25%, que es el valor que figura en la

tabla.

Aplicando el mismo procedimiento podemos calcular los valores de todas las

celdas. Las probabilidades de los eventos (ser mujer/hombre por un lado y tener el

pelo de algún color por el otro) se denominan “probabilidades marginales”.

Por otro lado, podemos emplear una fórmula análoga para calcular la cantidad de

mujeres de pelo rubio, no ya la probabilidad. Veámosla,

cantidad de mujeres * cantidad de sujetos de pelo rubiocantidad de mujeres de pelo rubio=

cantidad total de sujetos evaluados

500 * 500250

1000

Que es similar a la cantidad de mujeres de pelo rubio que figuran en la tabla.

Diremos que 2 eventos son independientes cuando la probabilidad de su

ocurrencia conjunta (por ejemplo, ser mujer y de pelo rubio) es igual a la

multiplicación de las probabilidades marginales de los dos eventos. El

mismo concepto aplica al cálculo de la cantidad de sujetos en cada

circunstancia.

El funcionamiento de la prueba de Chi-cuadrado se basa en este concepto.

Esencialmente esta prueba nos permitirá calcular la probabilidad (valor p) de que

las dos variables categóricas sean independientes entre sí. Si dicha probabilidad

es inferior a 5% (p<0.05) descartamos la hipótesis de la independiencia (que será

H0) y aceptamos la hipótesis que establece una asociación entre las dos variables

en análisis.

3. Pasos de la prueba de Chi-cuadrado.

Comencemos con un ejemplo. Un investigador estaba interesado en evaluar la

eficacia de una nueva vacuna para el cólera en un grupo de sujetos expuestos y

no expuestos. Para ello se siguió durante 12 meses dos grupos de sujetos: uno

expuesto y otro no expuesto a la vacuna. Se registró la frecuencia de diarrea

severa. Observó los siguientes resultados,

Diarrea Sin Diarrea Total

Vacuna 366 2931 3297

Sin vacuna 345 672 1017

Total 711 3603 4314

Paso 1. Reformular la pregunta científica en forma de hipótesis estadísticas.

El interés recae en investigar la posible asociación entre determinada vacuna y la

aparición de diarrea. Dicho de otra manera, deseamos averiguar si existe una

diferencia entre la probabilidad de presentar diarrea habiendo sido vacunado y la

probabilidad de presentarla sin haber recibido la vacuna. Con estos conceptos, ya

estamos en condiciones de definir nuestras hipótesis:

H0= p(Diarrea/vacuna+) = p(Diarrea/vacuna-)

H1= p(Diarrea/vacuna+) ≠ p(Diarrea/vacuna-)

Paso 2. Seleccionar la prueba estadística adecuada.

Dado que estamos estudiando dos variables categóricas, emplearemos la prueba

de Chi-cuadrado. Estamos comparando la frecuencia relativa de una variable

(diarrea) en dos grupos independientes de sujetos (expuestos o no a la vacuna) y

nos queda determinar el tamaño de las frecuencias esperadas. Más adelante nos

referiremos a esto, por el momento supongamos que no son pequeñas, por lo cual

podemos utilizar la prueba de Chi-cuadrado.

Esta prueba se puede utilizar para comparar 2 variables categóricas (ordinales o

nominales) que contengan cualquier cantidad de niveles. Se denominan niveles a

los diferentes valores que pueden tomar cada una de estas variables.

Paso 3. Seleccionar el nivel de significación para la prueba.

Continuaremos trabajando con nivel de significancia deseado de 5%, lo que

determina que el error α = 0.05.

Pasos 4 y 5. Seleccionar el valor crítico para dicho nivel de significancia y

realizar los cálculos de la prueba estadística seleccionada.

Pasaremos ahora a describir en mayor profundidad las bases matemáticas de esta

prueba. Su estudio, nos permitirán arribar a una mejor comprensión del

funcionamiento de esta prueba.

De manera similar a los casos anteriores, se trata de comparar dos conjuntos de

datos, un conjunto de datos será teórico y asumirá que H0 es verdadera. El otro

711*1017168

4314

3603*1017849

4314

711*3297543

4314

3603*32972754

4314

conjunto estará conformado por los datos observados. Se busca calcular “una

distancia relativa” entre los dos conjuntos de datos. Si dicha distancia supera el

“valor crítico” seleccionado en función del nivel de significancia deseado, entonces

habremos arribado a un valor “estadísticamente significativo” y estaremos en

condiciones de rechazar H0 y aceptar H1 como verdadera.

Empecemos por armar nuestro modelo teórico asumiendo que H0 es verdadera.

Para ello necesitamos valernos de la “regla de la multiplicación”. Si asumimos que

los eventos exposición a la vacuna y diarrea son independientes, luego podemos

calcular las probabilidades de las celdas de la tabla empleando para ello la

información contenida en las filas y columnas señaladas como “totales”. En la

siguiente tabla le mostramos cómo:

Diarrea Sin Diarrea Total

Vacuna

3297

Sin Vacuna

1017

Total 711 3603 4314

Analizando un caso, este concepto deberá quedar más claro. Si la presencia de

diarrea fuera independiente de la aplicación previa de la vacuna (es decir si H0

fuera verdadera), entonces las frecuencias relativas de “diarrea” en los grupos

“vacunados”y “no vacunados” debería ser similar. Esto nos permite calcular el

número teorico de sujetos que debería haber en cada grupo. Así, si H0 fuera

verdadera, en muestra muestras de 3297 sujetos vacunados y 1017 no

vacunados, deberíamos haber observado 543 y 168 casos con diarrea.

Ahora solo nos resta observar estos números teóricos (llamados “esperados”) con

los valores reales (llamados “observados”), En la siguiente figura, observará una

comparación entre ambos conjuntos de datos,

El conjunto de datos teórico está representado por la tabla de contingencia de

“valores esperados” y la tabla de contingencia de “valores observados”

representa el conjunto de datos real. El estadístico Chi-cuadrado, que da origen al

nombre de la prueba, es una medida de la “distancia relativa” entre ambos

conjuntos de datos.

Volviendo a los pasos de la prueba, primero debemos seleccionar el “valor crítico”

de acuerdo al nivel de significación deseado. En otras palabras, debemos

seleccionar el valor de Chi-cuadrado que represente la distancia mínima entre el

conjunto de datos teórico y el conjunto de los observados que nos permitirá

concluir que existe una asociación entre exposición a la vacuna y diarrea. En otras

palabras, está será la distancia máxima entre ambos conjuntos que podría ser

atribuida al azar.

Diarrea Sin

diarrea

Total

Vacuna 366 2931 3297

Sin

Vacuna

345 672 1017

Total 711 3603 4314

Diarrea Sin

diarreaTotal

Vacuna 543.4 2753.6 3297

Sin

Vacuna167.6 849.4 1017

Total 711 3603 4314

Χ2

Tabla de Valores Observados Tabla de Valores Esperados

Para la selección de este valor crítico nos valdremos de la Tabla de valores de la

distribución Chi-cuadrado que le mostramos en el Apéndice I. Para esto sólo

necesitamos conocer el valor que se calcula como el (número de columnas – 1) *

(número de filas – 1), lo que en este caso equivale a (2 – 1) * (2 – 1) = 1*1=1 y el

nivel de significancia deseado, que era 0.05. Así obtenemos que el valor crítico de

Chi-cuadrado = 3.84

Ahora sólo resta calcular el valor Chi-cuadrado para la distancia entre los dos

conjuntos de datos. Afortunadamente este valor es calculado frecuentemente por

todos los paquetes informáticos de estadística, así que nos contentaremos con

decirle que en este caso el valor de chi-cuadrado fue de 294.11.

Paso 6. Obtener la conclusión de la prueba estadística.

Ahora solo nos resta comparar los valores de chi-cuadrado crítico (3.84) con el

valor calculado (294.11). Dado que 294.11 > 3.84 concluimos que la probabilidad

de que H0 sea verdadera es < 5% (p<0.05), lo cual nos permite rechazarla y

aceptar H1 como verdadera. De esta manera podemos concluir que la

probabilidad de padecer diarrea habiendo recibido la vacuna no es similar a la

probabilidad de sufrirla no habiendo recibido la vacuna, por lo cual debe existir una

asociación entre la diarrea y la exposición a la vacuna, o lo que es lo mismo, que

estos eventos no son independientes.

Asunciones de la prueba de Chi-cuadrado.

La prueba de Chi-cuadrado puede ser aplicada a un gran número de

circunstancias, la única limitación es cuando se presentan frecuencias esperadas

bajas. Con frecuencias esperadas hacemos referencias a los valores de las celdas

en la tabla de valores esperados. Se sugiere que cuando se observe que el valor

de cualquier celda < 2 o cuando un 20% o más de las celdas tienen valores < 5, se

utilice otra prueba. Bajo estas condiciones el valor de Chi-cuadrado se infla

espuriamente, incrementando el error alfa en una magnitud desconocida. En otras

palabras, el riesgo de aceptar H1 siendo H0 verdadera se incrementará de una

manera no controlable.

En estas situaciones se recomienda el empleo de la prueba exacta de Fisher. Esta

prueba es menos potente que la de Chi-cuadrado pero no presenta sesgos con

frecuencias esperadas pequeñas. No entraremos en detalles sobre sus cálculos,

baste decir que sus resultados se interpretan de manera similar a los de la prueba

de Chi-cuadrado.

Estimado participante, hemos arribado al final del módulo!!!.

Esperamos que los textos lo hayan ayudado a comprender

mejor la forma en que los investigadores diseñan los

estudios y analizan sus resultados. Nos gustaría que

retuviera en la mente los siguientes conceptos

fundamentales:

Existen diversos diseños de estudios de investigación

clínica, siendo algunos de los más frecuentes los

estudios transversales, los de casos y controles, los de

cohortes y los ensayos clínicos aleatorizados

controlados.

Siempre se debe intentar utilizar los diseños que

presenten menor predisposición a los sesgos.

Los estudios clínicos aleatorizados controlados bien

diseñados y conducidos son los que tienen menor

probabilidad de sufrir sesgos.

Cuando estos no puedan utilizarse, deberán preferirse

los estudios de cohorte. Sin embargo, cuando el evento

en estudio ocurre con baja frecuencia o presenta una

latencia muy importante, deberá utilizarse un estudio de

casos y controles.

Los resultados de los estudios de investigación puede

analizarse mediante pruebas de confrontación de

hipótesis.

La mayor parte de las veces las variables cuantitativas

podrán ser utilizadas mediante una prueba “t” de

Student, mientras que las variables ordinales o

nominales podrán ser analizadas mediante la prueba de

Χ2.

Apéndice I.

Tabla de valores de la “distribución t”.

Probabilidad por fuera del intervalo –t y +t (2 colas)

40% 20% 10% 5% 2% 1% 0.5% 0.2% 0.1%

1 1.38 3.08 6.31 12.71 31.82 63.66 127.32 318.31 636.62

2 1.06 1.89 2.92 4.30 6.96 9.92 14.09 22.33 31.60

3 0.98 1.64 2.35 3.18 4.54 5.84 7.45 10.21 12.92

4 0.94 1.53 2.13 2.78 3.75 4.60 5.60 7.17 8.61

5 0.92 1.48 2.02 2.57 3.36 4.03 4.77 5.89 6.87

6 0.91 1.44 1.94 2.45 3.14 3.71 4.32 5.21 5.96

7 0.90 1.41 1.89 2.36 3.00 3.50 4.03 4.79 5.41

8 0.89 1.40 1.86 2.31 2.90 3.36 3.83 4.50 5.04

9 0.88 1.38 1.83 2.26 2.82 3.25 3.69 4.30 4.78

10 0.88 1.37 1.81 2.23 2.76 3.17 3.58 4.14 4.59

11 0.88 1.36 1.80 2.20 2.72 3.11 3.50 4.02 4.44

12 0.87 1.36 1.78 2.18 2.68 3.05 3.43 3.93 4.32

13 0.87 1.35 1.77 2.16 2.65 3.01 3.37 3.85 4.22

14 0.87 1.35 1.76 2.14 2.62 2.98 3.33 3.79 4.14

15 0.87 1.34 1.75 2.13 2.60 2.95 3.29 3.73 4.07

16 0.86 1.34 1.75 2.12 2.58 2.92 3.25 3.69 4.01

17 0.86 1.33 1.74 2.11 2.57 2.90 3.22 3.65 3.97

18 0.86 1.33 1.73 2.10 2.55 2.88 3.20 3.61 3.92

19 0.86 1.33 1.73 2.09 2.54 2.86 3.17 3.58 3.88

20 0.86 1.33 1.72 2.09 2.53 2.85 3.15 3.55 3.85

21 0.86 1.32 1.72 2.08 2.52 2.83 3.14 3.53 3.82

22 0.86 1.32 1.72 2.07 2.51 2.82 3.12 3.50 3.79

23 0.86 1.32 1.71 2.07 2.50 2.81 3.10 3.48 3.77

24 0.86 1.32 1.71 2.06 2.49 2.80 3.09 3.47 3.75

25 0.86 1.32 1.71 2.06 2.49 2.79 3.08 3.45 3.73

26 0.86 1.31 1.71 2.06 2.48 2.78 3.07 3.43 3.71

27 0.86 1.31 1.70 2.05 2.47 2.77 3.06 3.42 3.69

28 0.85 1.31 1.70 2.05 2.47 2.76 3.05 3.41 3.67

29 0.85 1.31 1.70 2.05 2.46 2.76 3.04 3.40 3.66

30 0.85 1.31 1.70 2.04 2.46 2.75 3.03 3.39 3.65

40 0.85 1.30 1.68 2.02 2.42 2.70 2.97 3.31 3.55

50 0.85 1.30 1.68 2.01 2.40 2.68 2.94 3.26 3.50

60 0.85 1.30 1.67 2.00 2.39 2.66 2.91 3.23 3.46

80 0.85 1.29 1.66 1.99 2.37 2.64 2.89 3.20 3.42

100 0.85 1.29 1.66 1.98 2.36 2.63 2.87 3.17 3.39

120 0.84 1.29 1.66 1.98 2.36 2.62 2.86 3.16 3.37

∞ 0.84 1.28 1.65 1.96 2.33 2.58 2.81 3.09 3.29

(Para obtener los valores asociados a “1 cola” debe dividir el % del encabezado de la tabla por 2. Así, para

buscar el 5% utilizando una cola, debe buscar el correspondiente valor en la fila marcada como “10%”).

Tabla de valores de la distribución “chi-cuadrada”.

Probabilidad en el extremo superior

v 0.10 0.05 0.01 0.001

1 2.706 3.841 6.635 10.828

2 4.605 5.991 9.210 13.816

3 6.251 7.815 11.345 16.266

4 7.779 9.488 13.277 18.467

5 9.236 11.071 15.086 20.515

6 10.645 12.592 16.812 22.458

7 12.017 14.067 18.475 24.322

8 13.362 15.507 20.090 26.125

9 14.684 16.919 21.666 27.877

10 15.987 18.307 23.209 29.588

11 17.275 19.675 24.725 31.264

12 18.549 21.026 26.217 32.909

13 19.812 22.362 27.688 34.528

14 21.064 23.685 29.141 36.123

15 22.307 24.996 30.578 37.697

16 23.542 26.296 32.000 39.252

17 24.769 27.587 33.409 40.790

18 25.989 28.869 34.805 42.312

19 27.204 30.144 36.191 43.820

20 28.412 31.410 37.566 45.315

21 29.615 32.671 38.932 46.797

22 30.813 33.924 40.289 48.268

23 32.007 35.173 41.638 49.728

24 33.196 36.415 42.980 51.179

25 34.382 37.653 44.314 52.620

26 35.563 38.885 45.642 54.052

27 36.741 40.113 46.963 55.476

28 37.916 41.337 48.278 56.892

29 39.088 42.557 49.588 58.302

30 40.256 43.773 50.892 59.703

40 51.805 55.759 63.691 73.402

50 63.167 67.505 76.154 86.661

60 74.397 79.082 88.379 99.607

70 85.527 90.531 100.425 112.317

80 96.578 101.879 112.329 124.839

90 107.565 113.145 124.116 137.208

100 118.498 124.342 135.807 149.449

v se calcula como (el número de filas – 1) * (el número de columnas – 1)