555 Exercicios Gabaritos Geometria Espacial Gabarito

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1 | Projeto Rumo ao ITA www.rumoaoita.comExerccios de Matemtica Geometria Espacial 1) (FUVEST-2010) Dois planos 2 1t t ese interceptam ao longo de uma reta r, de maneira que o ngulo entre eles mea radianos, 20to < < . Um tringulo equiltero ABC, de lado , est contido em 2t , de modo queABesteja em r. Seja D a projeo ortogonal de C sobre o plano 1t , e suponha que a medida , em radianos, do ngulo CD, satisfaa .46= u senNessas condies, determine, em funo de , a) o valor de . b) a rea do tringulo ABD. c) o volume do tetraedro ABCD. 2) (UNICAMP-2009) Uma caixa dgua tem o formato de um tronco de pirmide de bases quadradas e paralelas, como mostra a figura abaixo, na qual so apresentadas as medidas referentes ao interior da caixa. a) Qual o volume total da caixa dgua? b) Se a caixa contm (13/6) m3 de gua, a que altura de sua base est o nvel dgua? 3) (FUVEST-2009) A figura representa uma pirmide ABCDE, cuja base o retngulo ABCD. Sabe-se que AB = CD = 23 AD = BC = AE = BE = CE = DE = 1 AP = DQ = 21 Nessas condies, determine: a) A medida de BP. b) A rea do trapzio BCQP. c) O volume da pirmide BPQCE. 4) (UFSCar-2009) A figura indica um paraleleppedo reto-retngulo de dimenses 5x5x4, em centmetros, sendo A, B, C e D quatro dos seus vrtices. a) Calcule a rea do tringulo ABC. b) Calcule a distncia entre o vrtice D e o plano que contm o tringulo ABC. 5) (UFSCar-2008) A figura indica um paraleleppedo reto-retngulo de dimenses2x2x7, sendo A, B, C e D quatro de seus vrtices.

2 | Projeto Rumo ao ITA www.rumoaoita.comA distncia de B at o plano que contm A, D e C igual a a) 411 b) 414 c) 211 d) 213 e) 27 3 6) (UNIFESP-2007) Quatro dos oito vrtices de um cubo de aresta unitria so vrtices de um tetraedro regular. As arestas do tetraedro so diagonais das faces do cubo, conforme mostra a figura. a) Obtenha a altura do tetraedro e verifique que ela igual a dois teros da diagonal do cubo. b) Obtenha a razo entre o volume do cubo e o volume do tetraedro. 7) (UFC-2007) ABCDA1B1C1D1 um paraleleppedo reto-retngulo de bases ABCD e A1B1C1D1, com arestas laterais AA1, BB1, CC1 e DD1. Calcule a razo entre os volumes do tetraedro A1BC1D e do paraleleppedo ABCDA1B1C1D1. 8) (UFC-2007) Os centros de trs esferas no so colineares. Assinale a opo que corresponde ao maior nmero possvel de planos tangentes a todas elas. a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 9) (UNICAMP-2007) Seja ABCDA1B1C1D1 um cubo com aresta de comprimento 6cm e sejam M o ponto mdio de BC e O o centro da face CDD1C1, conforme mostrado na figura ao lado. a) Se a reta AM intercepta a reta CD no ponto P e a reta PO intercepta CC1 e DD1 em K e L, respectivamente, calcule os comprimentos dos segmentos CK e DL. b) Calcule o volume do slido com vrtices A, D, L, K, C e M. 10) (FUVEST-2007) O cubo ABCDEFGH possui arestas de comprimento a. O ponto M est na aresta AE e AM = 3 . ME. Calcule: a) O volume do tetraedro BCGM. b) A rea do tringulo BCM. c) A distncia do ponto B reta suporte do segmento ? CM. 11) (VUNESP-2007) Para calcularmos o volume aproximado de um iceberg, podemos compar-lo com slidos geomtricos conhecidos. O slido da figura, formado por um tronco de pirmide regular de base quadrada e um paraleleppedo reto-retngulo, justapostos pela base, representa aproximadamente um iceberg no momento em que se desprendeu da calota polar da Terra. As arestas das bases maior e menor do tronco de pirmide medem, respectivamente, 40dam e 30dam, e a altura mede 12dam.

3 | Projeto Rumo ao ITA www.rumoaoita.comPassado algum tempo do desprendimento do iceberg, o seu volume era de 23100dam3, o que correspondia a 3/4 do volume inicial. Determine a altura H, em dam, do slido que representa o iceberg no momento em que se desprendeu. 12) (FUVEST-2006) Um torneiro mecnico dispe de uma pea de metal macia na forma de um cone circular reto de 15cm de altura e cuja base B tem raio 8cm (Figura 1). Ele dever furar o cone, a partir de sua base, usando uma broca, cujo eixo central coincide com o eixo do cone. A broca perfurar a pea at atravess-la completamente, abrindo uma cavidade cilndrica, de modo a obter-se o slido da Figura 2. Se a rea da base deste novo slido 32 da rea de B, determine seu volume.

13) (UERJ-2006) Observe as figuras a seguir: (I) (II) A figura I mostra a forma do toldo de uma barraca, e a figura II, sua respectiva planificao, composta por dois trapzios issceles congruentes e dois tringulos. Calcule: a)a distncia h da aresta AB ao plano CDEF; b)o volume do slido de vrtices A, B, C, D, E e D, mostrado na figura I, em funo de h. 14) (UFBA-2006) Com relao a um prisma reto de base quadrada, correto afirmar: 01.Cada diagonal de uma face divide-a em dois tringulos congruentes. 02.Existem exatamente 8 segmentos que ligam pares de vrtices no pertencentes a uma mesma face. 04.Dadas duas faces no adjacentes e quatro vrtices, dois em cada uma dessas faces, existe um plano que contm esses quatro vrtices. 08.Dados dois vrtices consecutivos, para cadan e {1,3,5,7} existe um caminho poligonal que liga esses vrtices e formado por n arestas, cada uma percorrida uma nica vez. 16.Se a medida do lado da base e a altura do prisma so nmeros inteiros consecutivos, e o volume um nmero primo p, ento p nico. 32.Existem exatamente 24 pirmides distintas cujas bases so faces do prisma e cujos vrtices so tambm vrtices do prisma. 15) (UFBA-2005) A figura representa dois tanques: um deles com a forma de um cubo de aresta b, e o outro com a forma de um cone circular reto, de altura tambm b e raio da base medindo r. Os tanques tm a mesma capacidade, esto com suas bases sobre um terreno horizontal plano e so ligados por um tubo, de modo que o nvel de gua, representado por h, seja o mesmo. Considere V1(h) e V2(h) os volumes de gua no primeiro e no segundo tanque, respectivamente. Com base nessas informaes

4 | Projeto Rumo ao ITA www.rumoaoita.come desprezando a espessura das paredes dos tanques, determine o valor de bh, de modo que V2(h) = 3V1(h), com h = 0. 16) (FATEC-2005) Umcilindro circularretotemvolumeiguala250t cm3. Um plano, paralelo ao eixo desse cilindro, distncia dex cm desse eixo, determina uma seo retangular de rea igual a60 cm2. Se a medida da altura do cilindro igual ao dobro da medida do raio da base, entox igual a a) 29 b) 4 c) 3 2 d) 413 e) 10 17) (UFV-2005) O interior de uma jarra um cilindro circular reto e contm V litros de gua. Se fosse retirado 1 litro desta gua, o raio, o dimetro e a altura da gua, nesta ordem, formariam uma progresso aritmtica. Se, ao contrrio, fosse adicionado 1 litro de gua na jarra, essas grandezas, na mesma ordem, formariam uma progresso geomtrica. O valor de V : a) 6 b) 4 c) 9 d) 7 e) 5 18) (UFRJ-2005) Uma ampola de vidro tem o formato de um cone cuja altura mede 5 cm. Quando a ampola posta sobre uma superfcie horizontal, a altura do lquido em seu interior de 2 cm (Figura 1). Determine a altura h do lquido quando a ampola virada de cabea para baixo (Figura 2). Lembrete : volume do cone = 3(al tura) xbase) da (rea

19) (UERJ-2005) Uma cuba de superfcie semi-esfrica, com dimetro de 8 cm, est fixada sobre uma mesa plana. Uma bola de gude de forma esfrica, com raio igual a 1 cm, encontra-se sob essa cuba. Desprezando a espessura do material usado para fabricar a cuba, determine: a) a maior rea, em cm2, pela qual a bola de gude poder se deslocar na superfcie da mesa; b) o volume, em cm3, da maior esfera que poderia ser colocada embaixo dessa cuba. 20) (UFC-2005) Num tetraedro ABCD vale a igualdade DA= DB = DC = a e o tringulo ABC eqiltero com AB= b. O comprimento da altura do tetraedro baixada do vrtice A igual a: a)2b a + b)ab c) ab a 3 b2 2 d) 2 22 2b a 4b a 3. b e) b ab a 4. a2 2+ 21) (FMTM-2005) Sejam V1 e V2 volumes de dois cilindros retos de altura 1 metro e raios da base, em metros, respectivamente iguais a R e 2R-1. Sendo V1 > V2, o maior valor possvel de V1 - V2, em m, a)43t b) 42t c) 42t d) 3t e) 6t

5 | Projeto Rumo ao ITA www.rumoaoita.com 22) (Fuvest-2005) A base ABCD da pirmide ABCDE um retngulo de lados AB = 4 e BC = 3. As reas dos tringulos ABE e CDE so, respectivamente,4 10 e 2 37. Calcule o volume da pirmide. 23) (ITA-2005) Um dos catetos de um tringulo retngulo mede 32cm. O volume do slido gerado pela rotao deste tringulo em torno da hipotenusa t cm3. Determine os ngulos deste tringulo. 24) (ITA-2005) Em relao a um sistema de eixos cartesiano ortogonal no plano, trs vrtices de um tetraedro regular so dados por A = (0, 0), B = (2, 2) e C =(1-3,1+3). O volume do tetraedro a)38 b) 3 c)23 3 d)23 5 e) 8 25) (ITA-2005) Uma esfera de raio r seccionada por n planos meridianos. Os volumes das respectivas cunhas esfricas contidas em uma semi-esfera formam uma progresso aritmtica de razo 45r2t . Se o volume da menor cunha for igual a 18r3t, ento n igual a a) 4. b) 3. c) 6. d) 5. e) 7. 26) (FGV-2005) O ngulo o indicado na figura B, igual a

a) arccos -51 b) arccos 51 c) arccos -2524 d) arcsen 2524 e) arcsen 1

27) (Mack-2005) Uma mistura de leite batido com sorvete servida em um copo, como na figura. Se na parte superior do copo h uma camada de espuma de 4cm de altura, ento a porcentagem do volume do copo ocupada pela espuma est melhor aproximada na alternativa: a) 65% b) 60% c) 50% d) 45% e) 70% 28) (UFSCar-2005) As bases ABCD e ADGF das pirmides ABCDE e ADGFE so retngulos e esto em planos perpendiculares. Sabe-se tambm que ABCDE uma pirmide regular de altura 3 cm e aptema lateral 5 cm, e que ADE face lateral comum s duas pirmides.

6 | Projeto Rumo ao ITA www.rumoaoita.com Se a aresta AF 5% maior que a aresta AD, ento o volume da pirmide ADGFE, em cm3, a) 67,2. b) 80. c) 89,6. d) 92,8. e) 96. 29) (ITA-2005) A circunferncia inscrita num tringulo equiltero com lados de 6cm de comprimento a interseo de uma esfera de raio igual a 4cm com o plano do tringulo. Ento, a distncia do centro da es