1

1- PLANO CARTESIANO ORTOGONAL Considere num plano a dois eixos x e y perpendiculares em O. O par de eixos x (Ox), eixo das abscissas, e y (Oy), eixo das ordenadas, chama-se sistema cartesiano ortogonal, onde o plano o plano cartesiano e o ponto O a origem do sistema.

IMPORTANTE

Localizaes notveis do plano cartesiano ortogonal 1) Origem (0,0) 2) Um ponto do eixo x ( a,0) 3) Um ponto do eixo y ( 0,a) 4) Um ponto da bissetriz dos quadrantes mpares ( a , a) ou ( -a , -a) 5) Um ponto da bissetriz dos quadrantes pares ( -a , a ) ou ( a , -a)

EXERCCIO BSICO 01-(Unifesp 2002) Um ponto do plano cartesiano representado pelas coordenadas (x + 3y, - x - y) e tambm por (4 + y, 2x + y), em relao a um mesmo sistema de coordenadas. Nestas condies, yx igual a a) -8. b) -6. c) 1. d) 8. e) 9.

GABARITO 1)A

2-DISTNCIA ENTRE DOIS PONTOS

Quando conhecemos as coordenadas de dois pontos A e B do plano, sabemos localizar esses pontos num sistema cartesiano ortogonal e, assim, podemos calcular a distncia entre A e B por meio do Teorema de Pitgoras.

2

EXERCCIOS BSICOS 01-Calcule a distncia entre os pontos A( 1 , 3 ) e B( -1,4) 02-Calcular a distncia entre o ponto P (-6,8) origem.

03-(PUCCAMP) Sabe-se que os pontos A = (0; 0), B = (1; 4) e C = (3; 6) so vrtices consecutivos do paralelogramo ABCD. Nessas condies, o comprimento da BD a) 2 b) 3 c) 2 2 d) 5 e) 5 04-(UFRG) Sendo os pontos A = (- 1, 5) e B = (2, 1) vrtices consecutivos de um quadrado, o comprimento da diagonal desse quadrado a) 2.b) 22 . c) 23 . d) 5. e) 25

05-Dados A (x,5) , B (-2,3) e C ( 4,1), obtenha x para que A seja equidistante de B e C.

06-Determine P, pertencente ao eixo x, sabendo que equidistante aos pontos A(1,3) e B (-3,5)

07-Determine P, pertencente a bissetriz dos quadrantes pares, equidistante de A (8,-8) e B( 12,-2)

08-(UEL) Seja AC uma diagonal do quadrado ABCD. Se A = (-2, 3) e C = (0, 5), a rea de ABCD, em unidades de rea,

a) 4 b) 4 2 c) 8 d)8 2 e) 16 09-(PUC) O ponto B = (3, b) eqidistante dos pontos A = (6, 0) e C = (0, 6). Logo o ponto B : a) (3, 1) b) (3, 6) c) (3, 3). d) (3, 2) e) (3, 0) 10-(CESGRANRIO) A distncia entre os pontos M(4,-5) e N(-1,7) do plano x0y vale: a) 14. b) 13. c) 12. d) 9. e) 8.

GABARITO

1) 5 2)10 3)D 4) E 5) x=2 6)P (-3,0) 7) (-5,5) 8)A 9)C 10)B

3- PONTO MDIO Sejam os pontos A, B, e um ponto M, que divide AB ao meio, podemos dizer que as coordenadas XM e YM do ponto mdio M so obtidos por meio da mdia aritmtica das abscissas e ordenadas, respectivamente, dos pontos dos quais M ponto mdio.

EXERCCIOS BSICOS

1)Calcular o comprimento da mediana AM do tringulo ABC cujos vrtices so os pontos A(0,0), B(3,7) e C( 5,-1). 2) Dados os vrtices consecutivos , A(-2,1) e B(4,4), de um paralelogramo, e o ponto E (3,-1), interseco de suas diagonais, determinar os outros dois vrtices. 3-(IBMEC) Considere o tringulo ABC, onde A (2, 3), B (10, 9) e C (10, 3) representam as coordenadas dos seus vrtices no plano cartesiano. Se M o ponto mdio do lado AB, ento, a medida de MC vale:

a) 2 3 b) 3 c) 5 d) 3 2 e) 6 4-(FEI) O simtrico do ponto A=(1,3) em relao ao ponto P=(3,1) : a) B = (5, -1) b) B = (1, -1) c) B = (-1, 3) d) B = (2, 2) e) B = (4, 0)

5-(PUCMG) Os catetos AC e ABde um tringulo retngulo esto sobre os eixos de um sistema cartesiano. Se M = (-1, 3) for o ponto mdio da hipotenusaBC , correto afirmar que a soma das coordenadas dos vrtices desse tringulo igual a:

3

a) - 4 b) - 1 c) 1 d) 4

06- (Puc-rio) Os pontos (-1, 6), (0, 0) e (3, 1) so trs vrtices consecutivos de um paralelogramo. Assinale a opo que apresenta o ponto correspondente ao quarto vrtice.

a) (2, 7). b) (4, -5). c) (1, -6). d) (-4, 5). e) (6, 3).

GABARITO 1)5 2) C (8,-3) e D (2,-6) 3)C 4)A 5) D 6)A

4-BARICENTRO Sabemos da Geometria plana , que o baricentro de um tringulo ABC o ponto de encontro das 3 medianas . Sendo G o baricentro , temos que AG = 2 . GM onde M o ponto mdio do lado oposto ao vrtice A (AM uma das 3 medianas do tringulo). Nestas condies , as coordenadas do baricentro G(xg , yg) do tringulo ABC onde

A(xa , ya) , B(xb , yb) e C(xc , yc) dado por :

Conclui-se pois que as coordenadas do baricentro do tringulo ABC, so iguais s mdias aritmticas das coordenadas dos pontos A , B e C.

Assim, por exemplo, o baricentro (tambm conhecido como centro de gravidade) do tringulo ABC onde A(3,5) , B(4, -1) e C(11, 8) ser o ponto G(6, 4). Verifique com o uso direto das frmulas.

EXERCCIOS BSICOS

1) O baricentro de um tringulo G( 1,6) e dois de seus vrtices so A(2,5) e B (4,7). Determinar o terceiro vrtice 2) Calcule a distncia do baricentro do tringulo A ( 1,4), B( 2,7) e C (3,1) origem. 3)- (Fei) Dado um tringulo de vrtices (1,1); (3,1); (-1,3) o baricentro (ponto de encontro das medianas) : a) (1, 3/2) b) (3/2, 1) c) (3/2, 3/2)

d) (1, 5/3) e) (0, 3/2)

GABARITO

1) C( -3,6) 2) 2 5 3)D

4

5-REA DE TRINGULO / ALINHAMENTO DE 3 PONTOS

5.1 - rea de um tringulo

Seja o tringulo ABC de vrtices A(xa , ya) , B(xb , xc) e C(xc , yc) . A rea S desse tringulo dada por

S = D21

onde D o mdulo do determinante formado pelas coordenadas dos vrtices A , B e C .

Temos portanto:

A rea S normalmente expressa em u.a. (unidades de rea) Para o clculo do determinante de terceira ordem, utilizamos a conhecida e prtica regra de Sarrus.

5.2 - Condio de alinhamento de trs pontos

Trs pontos esto alinhados se so colineares , isto , se pertencem a uma mesma reta . bvio que se os pontos A , B e C esto alinhados , ento o tringulo ABC no existe , e podemos pois considerar que sua rea nula ( S = 0 ) . Fazendo S = 0 na frmula de rea do item 1.1 , conclumos que a condio de alinhamento dos 3 pontos que o determinante D seja nulo , ou seja : D = 0 .

Exerccio resolvido: Se os pontos P(3 , 5) , Q(-3 , 8) e C(4 , y) so colineares , ento o valor de y : a) 4 b) 3 c) 3,5 d) 4,5 e) 2

Soluo: Para que estes pontos estejam alinhados (pontos colineares), deveremos ter:

5

Desenvolvendo o determinante pela Regra de Sarrus, obtemos: - 32 - 3y + 15 + 24 - 3y + 20 = 0 y = 9/2 = 4,5. Portanto a alternativa correta a letra D.

EXERCCIOS BSICOS

01-Para que valores de x os pontos A (x,x), B(3,1) e C ( 7,-3), so colineares ?

02-Para que valores de a os pontos A (0,a) , B (a, -4) e C (1 , 2) so vrtices de um tringulo ?

03-Dados A(3,1) e B (5,5), obter o ponto em que a reta AB intercepta o eixo das ordenadas.

04-Dados A ( 2,-3) e B ( 8,1), obter o ponto em que a reta AB intercepta a bissetriz dos quadrantes mpares.

05-Dados A (7,4) e B( -4,2) , obter o ponto em que a reta AB intercepta a bissetriz dos quadrantes pares.

06-(UERJ) A rea do tringulo, cujos vrtices so (1, 2), (3, 4) e (4, -1), igual a: a) 6. b) 8 c) 9. d) 10. e) 12

07-(PUC) O valor de x para que os pontos (1,3), (-2,4), e (x,0) do plano sejam colineares : a) 8. b) 9 c) 11 d) 10 e) 5

08-(UNESP) Um tringulo tem vrtices P = (2, 1), Q = (2, 5) e R = (x, 4), com x > 0. Sabendo-se que a rea do tringulo 20, a abscissa x do ponto R : a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

09-(PUC) Calcule a rea do tringulo de vrtices A = (1,2), B = (2,4) e C = (4,1). a) 5/2 b) 3 c) 7/2 d) 4 e) 9/2

10-(PUCRIO) Os pontos (0,8), (3,1) e (1,y) do plano so colineares. O valor de y igual a: a) 5 b) 6 c) 17/3 d) 11/2 e) 5,3

GABARITO 1) x=2 2) a-1 e a 4 3) (0,-5) 4) ( -13,-13) 5) (-30/13 , 30/13) 6)A 7)D 8)E 09)C 10)C

6- INCLINAO E COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA 6.1- COEFICENTE ANGULAR DA RETA CONHECENDO O NGULO DE INCLINAO Sabemos que em uma reta existem infinitos pontos, com apenas dois desses pontos podemos representar essa mesma reta no plano cartesiano, pois dois pontos distintos sempre sero colineares (pertencero ou formaro uma reta).

Com o estudo da geometria analtica aprendemos que no necessrio ter dois pontos distintos para formar uma reta, podemos construir uma reta no plano cartesiano conhecendo apenas um de seus infinitos pontos e sabendo o valor do ngulo formado com a reta e o eixo Ox.

Essa outra forma de representarmos uma reta ser feita levando em considerao a inclinao da reta e o seu coeficiente angular. Considere uma reta s que intercepta o eixo Ox no ponto M.

A reta s est formando com o eixo Ox um ngulo . A medida desse ngulo feita em sentido anti-horrio a partir de um ponto pertencente ao eixo Ox. Assim, podemos dizer que a reta s tem inclinao e o seu coeficiente angular (m) igual a: m = tg . A inclinao da reta ir variar entre 0

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Exemplo 1:

Nesse exemplo o valor da inclinao menor que 90.

Inclinao igual a 45 e coeficiente angular igual a: m = tg 45 = 1.

Exemplo 2:

Nesse exemplo o valor da inclinao da reta maior que 90 e menor que 180.

Inclinao igual a 125 e coeficiente angular da reta igual a: m = tg 125 = -2.

Exemplo 3:

Quando a reta for paralela ao eixo Oy, ou seja, tiver uma inclinao igual a 90 o seu coeficiente angular no ir existir, pois no possvel calcular a tg 90.

Exemplo 4:

Nesse exemplo a reta s paralela ao eixo Ox, ou seja, seu ngulo de inclinao igual a 180, portanto, o seu coeficiente angular ser igual a: m = tg 180 = 0.

6.2-COEFICIENTE ANGULAR CONHECENDO AS COORDENADAS DE DOIS PONTOS

O coeficiente angular de uma reta ( m) a tangente do ngulo de inclinao m = tg Porm em muitos casos no vamos conhecer o ngulo de inclinao, mas sim as coorcenadas de dois pontos, A ( )aa yx , e B ( )bb yx ,

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Prolongando-se a reta que passa por A e paralela ao eixo x, formaremos um tringulo retngulo no ponto C.

AB

AB

BA

BA

xx

yyxx

yytgm

=

===

adjacente catetooposto cateto

EXERCCIOS BSICOS

01- (Ufrs 2007) Considere os coeficientes angulares das retas r, s e t que contm os lados do tringulo representado a seguir.

A sequncia das retas r, s e t que corresponde ordenao crescente dos coeficientes angulares a) r, s, t. b) r, t, s. c) s, r, t. d) s, t, r. e) t, s, r.

2- (Ufscar 2004) Considere a relao grfica:

Podemos afirmar que a) o coeficiente linear de I negativo. b) o coeficiente linear de II positivo. c) ambos os grficos possuem coeficiente linear

zero. d) o coeficiente angular do grfico II maior que o

do grfico I. e) o coeficiente angular do grfico I maior que o

do grfico II. GABARITO

1)C 2)D

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7- EQUAO FUNDAMENTAL DA RETA

Podemos representar uma reta r do plano cartesiano por meio de uma equao. Essa equao pode ser obtida a partir de um ponto A(xA, yA) e do coeficiente angular m dessa reta.

Considere uma reta r no-vertical, de coeficiente angular m, que passa pelo ponto A(xA, yA). Vamos obter a equao dessa reta, tomando um ponto P(x, y) tal que P A.

A equao fundamenta da reta :

PARA FACILITAR A(xA, yA) =A ( )00 , yx

( )000

0 xxmyyxx

yym =

=

EXERCCIOS BSICOS

1) Determine a equao da reta de 135 de inclinao e que passa pelo ponto A (1,4). 2) Determine a equao da reta que passa pelos pontos A (2,3) e B( 1,5)

3) (Unitau) A equao da reta que passa pelos pontos (3, 3) e (6, 6) : a) y = x. b) y = 3x. c) y = 6x. d) 2y = x. e) 6y = x. 4- (Ufpe) A equao cartesiana da reta que passa pelo ponto (1, 1) e faz com o semieixo positivo ox um ngulo de 60 : a) 2 x - y = 2 - 1 b) 3 x + y = 1 - 3 c) 3 x - y = 3 - 1

d) 32

x + y = 1 -3

2

e) 32

x - y = 3

3- 1

5-(Fei ) A equao da reta que intercepta o eixo Ox no ponto x = 3 e o eixo Oy no ponto y = -1 : a) x - 3y - 1 = 0 b) x - 3y - 3 = 0

c) x - 3y + 3 = 0 d) 3x - y - 1 = 0 e) 3x + y + 1 = 0 6-(Puccamp ) Na figura a seguir tm-se as retas r e s, concorrentes no ponto (1;3).

Se os ngulos assinalados tm as medidas indicadas, ento a equao da reta a) r 3 x + 3y - 6 = 0 b) s x + y + 4 = 0 c) r - 3 x + 3y + 6 = 0 d) s x + y - 4 = 0 e) r - 3 x + 3y + 9 = 0

9

07-(Unirio )

A equao geral da reta anterior representada : a) 3x - 3 y + 6 = 0 b) 3x + 3 y + 6 = 0 c) 3 x - y - 2 = 0 d) y = 3 x + 2 3

e) y = 33

(x+2)

8-(Puc-rio) A reta x + y = 1 no plano xy passa pelos pontos a) (5, -4) e (1/2, 1/2). b) (0, 0) e (1/2, 1/2). c) (0, 0) e (1, 1). d) (1, 0) e (1, 1). e) (5, -4) e (4, -5).

9-(Ufrs ) Considere a figura a seguir.

Uma equao cartesiana da reta r

a) y = 33

- x b) y = 33

(1-x)

c) y = 1 - 3 x d) y = 3 (1-x) e) y = 3 (x-1)

10-(Fatec) No plano cartesiano, considere o tringulo determinado pelo ponto A e pelos pontos de abscissas -3 e 7, representado a seguir.

A rea desse tringulo

a) 40 b) 35 c) 30 d) 25 e) 20 11- (Ufpi ) Se a reta de equao (k + 5)x - (4 - k2)y + k2 - 6k + 9 = 0 passa pela origem, ento seu coeficiente angular igual a: a) 0 b) 5/4 c) -1 d) -8/5 e) 1/2

12-(Ufmg ) Sejam A e B dois pontos da reta de equao y = 2x + 2, que distam duas unidades da origem. Nesse caso, a soma das abscissas de A e B a) 5/8. b) -8/5 c) -5/8. d) 8/5. 13- (Pucpr ) Para que a reta (k - 3)x - (4 - k2)y + k2 - 7k + 6 = 0 passe pela origem dos eixos coordenados, o valor da constante k deve ser: a) 2 b) 3 c) 1 e 6 d) -1 e -6 e) 2 e 3

14-(Ufpr ) Considere, no plano cartesiano, o tringulo de vrtices A = (0, 0), B = (3, 1) e C = (1, 2) e avalie as afirmativas a seguir.

I. O tringulo ABC issceles. II. O ponto D = (2, 1/2) pertence ao segmento AB. III. A equao da reta que passa pelos pontos B e C 2x + y = 5.

Assinale a alternativa correta. a) Somente a afirmativa I verdadeira. b) Somente as afirmativas I e II so verdadeiras. c) Somente as afirmativas II e III so

verdadeiras. d) Somente as afirmativas I e III so verdadeiras. e) As afirmativas I, II e III so verdadeiras.

15-(UFPR-12)Na figura abaixo esto representados, em um sistema cartesiano de coordenadas, um quadrado cinza de rea 4 unidades, um quadrado hachurado de rea 9 unidades e a reta r que passa

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por um vrtice de cada quadrado. Nessas condies, a equao da reta r :

a) x 2y 4 = b) 4x 9y 0 = c) 2x 3y 1+ =

d) x y 3+ = e) 2x y 3 =

Gabarito 1) y= -x+5 2) y=-2x+7 3) A 4)C 5)B 6)D 7)A 8)A 9)B 10)E 11)D 12)B 13)C 14)A 15)A

8- TIPOS DE EQUAO DA RETA

8.1-Equao geral da reta Toda reta r do plano cartesiano pode ser expressa por uma equao do tipo:

Em que: a, b, e c so nmeros reais; a e b no so simultaneamente nulos.

Podemos obter a equao geral de uma reta r conhecendo dois pontos no coincidentes de r:

Para isso, usa-se a condio de alinhamento de A e B com um ponto genrico P(x,y) de r.

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8.2-Equao reduzida da reta Vamos determinar a equao da reta r que passa por Q(0,q), e tem coeficiente angular m = tg():

Toda equao na forma y = mx + q chamada equao reduzida da reta, em que m o coeficiente angular e q a ordenada do ponto n qual a reta cruza o eixo Oy. A equao reduzida pode ser obtida diretamente da equao geral ax + by + c = 0:

Onde:

8.3-Equao segmentria da reta Considere uma reta r que cruza os eixos cartesianos nos pontos (0, q) e (p, 0).

Vamos escrever a equao da reta r:

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Dividindo essa equao por pq, obtemos a equao segmentria da reta:

OBSERVAO IMPORTANTE

No possvel usar a equao segmentria da reta quando a reta for paralela a um dos eixos ou passa

pela origem.

8.4-Equao paramtrica da reta As equaes paramtricas so formas de representar as retas atravs de um parmetro, ou seja, uma varivel ir fazer a ligao de duas equaes que pertencem a uma mesma reta.

As equaes x = t + 9 e y = 2t 1 so as formas paramtricas de representar a reta s determinadas pelo parmetro t. Para representar essa reta na forma geral atravs dessas equaes paramtricas, preciso seguir os seguintes passos:

Escolher uma das duas equaes e isolar o t. E substituir na outra.

x = t + 9 x 9 = t

y = 2t 1 y = 2 (x 9) 1 y = 2x 18 1 y = 2x 19 2x y 19 = 0 a equao geral da reta s.

8.5-Reta horizontal

toda reta do tipo y=k.

8.6-Reta vertical.

toda reta do tipo x=k . (ESTA RETA NO FUNO DO PRIMEIRO GRAU)

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EXERCCIOS BSICOS

1-(UNESP) Seja B (0, 0) o ponto da reta de equao y = 2x cuja distncia ao ponto A = (1, 1) igual a distncia de A origem. Ento a abscissa de B igual a: a) 5/6 b) 5/7 c) 6/7 d) 6/5 e) 7/5

2-(UEL) So dados os pontos A = (-2, 1), B = (0, -3) e C = (2, 5). A equao da reta suporte da mediana do tringulo ABC, traada pelo vrtice A, : a) y = 1 b) x = 1 c) x = y d) x - y = 1 e) x + y = 1

3-(PUC) Considere a parbola de equao y = -x+ 2x + 4 e uma reta r. Se r conduzida pelo vrtice da parbola e tem uma inclinao de 135, ento a equao de r a) x + y -6 = 0 b) x - y + 2 = 0 c) x + y - 2 = 0 d) x - y - 4 = 0 e) x + y - 4 = 0

4- (Cesgranrio ) A equao da reta mostrada na figura a seguir :

a) 3x + 4y - 12 = 0 b) 3x - 4y + 12 = 0 c) 4x + 3y + 12 = 0 d) 4x - 3y - 12 = 0 e) 4x - 3y + 12 = 0

5-(Ufmg ) Observe a figura a seguir.

Nessa figura, est representada a reta r de equao y = ax + 6. Se A = (-a-4, -a-4) pertence reta r, o valor de a

a) - 5 b) - 2 c) 65

d) 2 e) 5 6- (Ufrs) Um ponto P (x,y) descreve uma trajetria no plano cartesiano, tendo sua posio a cada instante t (t 0) dada pelas equaes.

x 2ty 3t 2

=

= .

A distncia percorrida pelo ponto

P (x,y) para 0 t 3 a) 2 b) 3 c) 13 d) 3 13 e) 61

7-(Ufmg ) Um tringulo issceles ABC tem como vrtices da base os pontos A = (4, 0) e B = (0, 6). O vrtice C est sobre a reta y = x - 4. Assim sendo, a inclinao da reta que passa pelos vrtices B e C a) 7/17 b) 10/23 c) 9/20 d) 12/25

08- (Fgv) O ponto da reta de equao y = (1/2)x + 3, situado no 1. quadrante e equidistante dos eixos x e y, tem coordenadas cuja soma : a) menor que 11. b) maior que 25. c) um mltiplo de 6. d) um nmero primo. e) um divisor de 20.

GABARITO

1)D 2)A 3)A 4)B 5)A 6)D 7)A 8)C

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9- POSIES RELATIVAS DE RETAS NO PLANO

Duas retas podem ser representadas em um plano cartesiano de forma paralela ou concorrente. Mas cada uma dessas formas possui caractersticas e elementos que ajudam na identificao da forma que esto dispostas no plano, sem ser preciso construir o grfico.

9.1-Retas paralelas

Duas retas so paralelas se no tiverem nenhum ponto em comum ou todos em comum e seus coeficientes angulares forem iguais ou no existirem.

As retas u e t so paralelas e distintas. E por serem perpendiculares ao eixo Ox os seus coeficientes angulares no iro existir.

As retas u e t so paralelas e coincidentes, pois possuem todos os pontos em comum. E por serem perpendiculares ao eixo Ox os seus coeficientes angulares no iro existir.

As retas u e t so paralelas e distintas. E os seus coeficientes angulares sero iguais.

PORTANTO tu qq e = tu mm

As retas u e t so paralelas e coincidentes, pois possuem todos os pontos em comum. E os seus coeficientes angulares sero iguais.

PORTANTO tu qq e == tu mm

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9.2-Retas concorrentes

Duas retas so concorrentes se possurem apenas um ponto em comum. E seus coeficientes angulares podero ser diferentes ou um existir e o outro no.

As retas u e t so coincidentes e as inclinaes das retas so diferentes de 90. Assim, seus coeficientes angulares sero diferentes.

As retas u e t so concorrentes e a inclinao da reta t de 90, sendo assim seu coeficiente angular no ir existir, mas o coeficiente da reta u existe, pois no perpendicular ao eixo Ox.

EXERCCIOS BSICOS

01-(Ufmg ) Observe a figura.

Nessa figura, os pontos B, C e D so colineares, B = (2,3) e a rea do tringulo OCD o dobro da rea do paralelogramo OABC. Ento, C o ponto de coordenadas

a) 32,5

b) 122,5

c) (2, 1) d) (3, 2) e) (2, 2)

02-(Unaerp) A equao, no plano, x - 3 = 0, representa: a) Um ponto do eixo das abcissas b) Uma reta perpendicular ao eixo das

ordenadas c) Uma reta perpendicular reta x + y = 0 d) Uma reta concorrente reta x + y = 0 e) Uma reta paralela reta y - 3 = 0

03-(Cesgranrio ) As retas x + ay - 3 = 0 e 2x - y + 5 = 0 so paralelas, se a vale: a) - 2 b) - 0,5 c) 0,5 d) 2 e) 8

04- (Cesgranrio) Se as retas y + (x/2) + 4 = 0 e my + 2x + 12 = 0 so paralelas, ento o coeficiente m vale: a) 2. b) 3. c) 4. d) 5. e) 6.

05-(Ufmg ) A reta r paralela reta de equao 3x-y-10=0. Um dos pontos de interseo de r com a parbola de equao y=x2-4 tem abscissa 1. A equao de r a) x + 3y + 8 = 0 b) 3x - y + 6 = 0 c) 3x - y - 6 = 0 d) x - 3y - 10 = 0

06 (Ufmg ) A reta r passa pelo ponto (16, 11) e NO intercepta a reta de equao y = (x/2) - 5. Considerando-se os seguintes pontos, o NICO que pertence reta r a) (7, 6) b) (7, 13/2) c) (7, 7) d) (7, 15/2)

07-(Fatec) Seja a reta r, de equao y=(x/2) +17. Das equaes a seguir, a que representa uma reta paralela a r a) 2y = (x/2) + 10 b) 2y = - 2x + 5 c) 2y = x + 12 d) y = - 2x + 5 e) y = x + 34

16

08- (cftmg ) As retas x + ky = 3 e 2x - y = - 5 so paralelas; logo o valor de k a) - 2 b) -1/2 c) 1/2 d) 2

09- (Ufrrj ) Sabendo que as retas mx + (m - 2)y = m e (m + 3)x + (m + 5)y = m + 1 so paralelas, o valor de m ser: a) 1/2. b) - 1/2. c) 3/2. d) - 3/2. e) 5/2.

10- (Unemat 2010) Dada a equao de reta (s): 2x - y +1 = 0 , a equao de reta paralela a s pelo ponto P(1,1) ser: a) 2x - y = 0 b) 2x + y +1 = 0 c) 2x + y -1 = 0 d) 2x - y -1 = 0 e) 2x - y + 2 = 0

1)B 2)D 3)B 4)C 5)C 6)B 7)C 8)B 9)D 10)D

10-INTERSECO ENTRE RETAS / CURVAS

Relembrado a definio de retas concorrentes: Duas retas so concorrentes se, somente se, possurem um nico ponto em comum, ou seja, a interseco das duas retas o ponto em comum.

Considerando a reta t e u e as suas respectivas equaes gerais das retas, atx + bty + ct = 0 e aux + buy + cu = 0. Representando-as em um plano cartesiano, iremos perceber que so concorrentes, pois possui o ponto A em comum.

O sistema formado com as equaes gerais das retas ter como soluo o par ordenado (x0, y0) que representa o ponto de interseco.

Exemplo: As equaes gerais das duas retas r e s so respectivamente, x + 4y 7 = 0 e 3x + y + 1 = 0. Determine o ponto P(x0, y0) comum s retas r e s.

Sabemos que o ponto de interseco de duas retas concorrentes a soluo do sistema formado por elas. Assim, veja a resoluo do sistema abaixo:

x + 4y 7 = 0 3x + y + 1 = 0

x + 4y = 7 (-3) 3x + y = -1

-3x 12y = -21 3x + y = -1 -11y = -22 y = 2

Substituindo o valor de y em qualquer uma das equaes iremos obter o valor de x:

17

x + 4y = 7 x + 4 . 2 = 7 x + 8 = 7 x = 7 8 x = -1

Portanto, o ponto P(x0, y0) = (-1,2).

EXERCCIOS BSICOS

01-(Ufmg ) Sejam t e s as retas de equaes 2x - y - 3 = 0 e 3x - 2y + 1 = 0, respectivamente. A reta r contm o ponto A = (5,1) e o ponto de interseo de t e s. A equao de r : a) 5x - y - 24 = 0 b) 5x + y - 26 = 0 c) x + 5y - 10 = 0 d) x - 5y = 0

02- (Puc-rio) O ponto de interseco entre a reta que passa por (4,4) e (2,5) e a reta que passa por (2,7) e (4,3) : a) (3, 5). b) (4, 4). c) (3, 4). d) (7/2, 4). e) (10/3, 13/3).

03- (Fei) As retas representadas pelas equaes y = 2x + 1, y = x + 3 e y = b - x passam por um mesmo ponto. O valor de b : a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

04-(Puc-rio) As retas dadas pelas equaes x + 3y = 3 e 2x + y = 1 se interceptam: a) em nenhum ponto. b) num ponto da reta x = 0. c) num ponto da reta y = 0. d) no ponto (3, 0). e) no ponto (1/2, 0). 05-(Unifesp ) Se P o ponto de interseco das retas de equaes x - y - 2 = 0 e (1/2) x + y = 3, a rea do tringulo de vrtices A(0, 3), B(2, 0) e P a) 1/3. b) 5/3. c) 8/3. d) 10/3. e) 20/3.

06- (Ufpr ) Sabe-se que a reta r passa pelos pontos A = (-2, 0) e P = (0, 1) e que a reta s paralela ao eixo das ordenadas e passa pelo ponto Q = (4, 2). Se B o ponto em que a reta s intercepta o eixo das abscissas e C o ponto de interseo das retas r e s, ento o permetro do tringulo ABC : a) 3 (3 + 5 ) b) 3 (5 + 3 ) c) 5 (3 + 5 ) d) 3 (3 3 ) e) 5 ( 5 + 3 )

07- (Unifesp ) Dadas as retas r: 5x - 12y = 42, s: 5x + 16y = 56 e t: 5x + 20y = m, o valor de m para que as trs retas sejam concorrentes num mesmo ponto a) 14. b) 28. c) 36. d) 48. e) 58.

08-(UFMG) A reta de equao y = 3x + a tem um nico ponto em comum com a parbola de equao y = x + x + 2. O valor de a a) - 2 b) - 1 c) 0 d) 1 e) 2

GABARITO 1)A 2)E 3)D 4)B 5)D 6)A 7)E 8)D

11-CONDIO DE PERPENDICULARISMO

Considere duas retas perpendiculares r e s .

Pelo teorema dos ngulos externos temos :

2 =90+ 1

18

( ) ( )( ) =++

=

10

10

2 90cos90

sentg

10

10

011

0

.90cos.90cos90cos.cos.90

sensen

sensen

+=

1

1cos

sen=

1

1tg

PORTANTO 1

21

tg

tg =

Portanto r

sm

m1

= , ou seja, 1. =sr mm

EXERCCIOS BSICOS

01-(FATEC) Se A=(-1,3) e B=(1,1), ento a mediatriz do segmento AB encontra a bissetriz dos quadrantes pares no ponto: a) (-1,1) b) (-3/4, 3/4) c) (-6.6) d) (-1/2, 1/2) e) (-1/4, 1/4) 02-(Ufmg ) A reta r perpendicular reta de equao 2x + y - 1 = 0 no ponto de abscissa -1. A equao da reta r a) x - 2y + 7 = 0 b) 2x + y - 7 = 0 c) -x + 2y + 7 = 0 d) 2x + y + 7 = 0 e) x + 2y - 1 = 0

03-(FEI) Se a reta r passa pelos pontos (3, 0) e (0, 1), a reta s perpendicular a r e passa pela origem, ento s contm o ponto: a) (5, 15) b) (5, 10) c) (5, 5) d) (5, 1) e) (5, 0)

04-(Cesgranrio) A equao da reta que contm o ponto A (1, 2) e perpendicular reta y=2x+3 : a) x + 2y - 5 = 0 b) 2x + y = 0 c) 2x + y - 4 = 0 d) x - 2y + 3 = 0 e) x + 3y - 7 = 0

05-(Ufmg ) O lado BC de um ngulo reto ABC est sobre a reta de equao x - 2y + 1 = 0, e o ponto de coordenadas (2,4) pertence reta que contm o lado BA. A equao da reta que contm o lado BA : a) 4x + 2y - 5 = 0 b) x - 2y + 6 = 0 c) x + 2y - 10 = 0 d) 2x + y - 8 = 0

06- (Ufrn ) Sobre as retas y = -x + 3 e y = x + 3, podemos afirmar que elas a) se interceptam no ponto de coordenadas (-1,2). b) se interceptam formando um ngulo de 60. c) so perpendiculares aos eixos OX e OY,

respectivamente. d) esto a uma mesma distncia do ponto de

coordenadas (3, 3).

07-(Ufal) As retas de equaes y + 3x - 1 = 0 e y + 3x + 9 = 0 so

a) coincidentes. b) paralelas entre si. c) perpendiculares entre si. d) concorrentes no ponto (1, -9). e) concorrentes no ponto (3, 0). 08-(Fgv ) A reta perpendicular reta (r) 2x-y=5, e passando pelo ponto P(1,2), intercepta o eixo das abscissas no ponto: a) (9/2, 0) b) (5, 0) c) (11/2, 0) d) (6, 0) e) (13/2, 0)

09-(Fgv) No plano cartesiano, o ponto da reta (r) 3x-4y=5 mais prximo da origem tem coordenadas cuja soma vale: a) -2/5 b) -1/5 c) 0 d) 1/5 e) 2/5

10 -(Fgv ) Considere os pontos A = (1, - 2); B = (- 2, 4) e C = (3, 3). A altura do tringulo ABC pelo vrtice C tem equao: a) 2y - x - 3 = 0 b) y - 2x + 3 = 0 c) 2y + x + 3 = 0 d) y + 2x + 9 = 0 e) 2y + x - 9 = 0

11. (Fgv ) As retas de equaes y = - x - 1 e y = [(-a + 1)/(a - 2)] x + 12 so perpendiculares. O valor de a : a) 2 b) 1/2 c) 1 d) -2 e) 3/2 12. ( cftmg ) A equao da reta s perpendicular reta r: y = 2x + 1, traada pelo ponto P (4, -1) a) y = - (1/2)x - 1 b) y = (1/2)x - 1 c) y = - (1/2)x + 1 d) y = (1/2) x + 1 13-(Pucmg ) Duas retas perpendiculares se cortam no ponto (2, 5) e so definidas pelas equaes y = ax + 1 e y = bx + c. Com base nessas informaes, correto afirmar que o valor do coeficiente linear c igual a: a) - 4 b) - 2 c) 4 d) 6 14- (Ufscar ) Considere P um ponto pertencente reta (r) de equao 3x + 5y - 10 = 0 e

19

equidistante dos eixos coordenados. A equao da reta que passa por P e perpendicular a (r) a) 10x - 6y - 5 = 0. b) 6x - 10y + 5 = 0. c) 15x - 9y - 16 = 0. d) 5x + 3y - 10 = 0. e) 15x - 3y - 4 = 0.

15-(FEI) O ponto A', simtrico do ponto A = (1, 1) em relao reta r: 2x + 2y - 1 = 0 : a) (1, 1) b) (1/2, -3/2) c) (-1/2, -1/2) d) (-1/2, -3/2) e) (1/2, 3/2) GABARITO 1)A 2)A 3)A 4)A 5)D 6)D 7)B 8)B 9)B 10)A 11)E 12)C 13)D 14)A 15)C

12-DISTNCIA ENTRE PONTO E RETA

Dado um ponto P=(xo,yo) e uma reta na sua forma geral ax+by+c=0, pode-se obter a distncia d deste

ponto P reta atravs da expresso matemtica:

DISTNCIA SEMPRE PERPENDICULAR A distncia da origem (0,0) reta 5x+12y+25=0 :

EXERCCIOS BSICOS

1-(Fgv ) No plano cartesiano, existem dois valores de m de modo que a distncia do ponto P(m,1) reta de equao 3x + 4y + 4 = 0 seja 6; a soma destes valores : a) - 16/3 b) - 17/3 c) - 18/3 d) - 19/3 e) - 20/3

GABARITO 1)A

20

13-RESOLUO GEOMTRICA DE INEQUAES Uma inequao do 1o grau com duas variveis admite infinitas solues que podem ser representadas

num sistema de eixos coordenados por uma regio limitada por uma reta, conforme mostra a figura.

21

Exemplo 1 Resolver graficamente a) x + y - 2 > 0 e x - y < 0

b) x + y - 2 > 0 ou x - y < 0

EXERCCIOS BSICOS

1-(Ufal) Seja R a regio sombreada na figura a seguir.

Essa regio o conjunto dos pontos (x, y) do plano cartesiano, com y 0 e tais que

a) y 32x

+ 3 e y -3x + 3

b) y 23x

+ 3 e y -3x + 1

c) y 32x

+ 3 e y -3x + 3

d) y 3x + 3 e y 32x

+ 3

e) y 2x + 3 e y -3x -1

2-(Fgv) A regio do plano cartesiano determinada pelas inequaes x + y 5 y 3 x 0 y 0 tem uma rea A. O valor de A : a) 10 b) 10,5 c) 11 d) 11,5 e) 12

22

3- (Pucrj ) A rea delimitada pelos eixos x = 0, y = 0 e pelas retas x + y = 1 e 2x + y = 4 : a) 3 b) 2 c) 3,5 d) 2,5 e) 1,5

4- (Fgv) A rea da regio triangular limitada pelo sistema de inequaes

3x 5y 15 02x 5y 10 0x 0

+

+

a) 2,5 b) 7,5 c) 5 d) 12,5 e) 3

5- (Puc-rio ) A rea do tringulo determinado pelas retas y = x, y = - x e y = 3 : a) 8. b) 9. c) 5. d) 4. e) 1.

6-(Ufrs ) A rea do tringulo que tem lados sobre as retas de equaes y = - 2 x + 9, x = 1 e y = 1 a) 6. b) 7. c) 8. d) 9. e) 10.

GABARITO 1)A 2)B 3)D 4)A 5)B 6)D

14- EQUAO REDUZIDA DA CIRCUNFERNCIA

A equao reduzida da circunferncia dada por (x-a) + (y-b) = r,

Onde o centro da circunferncia o ponto C(a,b) e o raio r.

A definio de uma equao de uma circunferncia a condio necessria para que um ponto de coordenadas P (x,y) pertena a uma circunferncia de centro C(a,b) e raio r .

Ou seja rdCP =

Usando a frmula da distncia entre dois pontos temos:

( ) ( )22 pcpcCP yyxxd += =r ( ) ( )22 byax + =r

23

Elevando-se os dois lados ao quadrado temos:

(x-a) + (y-b) = r,

Exemplo: Determine a equao reduzida da circunferncia de centro C(-4,1) e R = 1/3.

Basta substituirmos esses dados na equao R2 = (x a)2 + (y b)2.

(x (-4))2 + (y 1)2 = (1/3)2 (x + 4)2 + (y 1)2 = 1/9

Exemplo: Obtenha o centro e o raio da circunferncia cuja equao (x 1/2)2 + (y + 5/2)2 = 9.

preciso que seja feito comparao das equaes:

(x 1/2)2 + (y + 5/2) 2= 9 (x a)2 + (y b)2 = R2

- a = -1/2 a = 1/2

- b = 5/2 b = -5/2

R2 = 9 R = 3

Portanto as coordenadas do centro da circunferncia de equao (x 1/2)2 + (y + 5/2) = 9 igual a C(1/2, -5/2) e raio igual a R = 3

EXERCCIOS BSICOS 1- (Ufc ) O segmento que une os pontos de interseo da reta 2x + y - 4 = 0 com os eixos coordenados determina um dimetro de uma circunferncia. A equao dessa circunferncia : a) (x - 1)2 + (y - 2)2 = 5 b) (x - 1)2 + (y - 2)2 = 20 c) (x - 1)2 + (y - 2)2 = 25 d) (x + 1)2 + (y + 2)2 = 5 e) (x + 1)2 + (y + 2)2 = 20

2- (Pucrs) Os pontos (3, 1) e (9, -7) so extremidades de um dos dimetros da circunferncia c. Ento, a equao de c a) (x + 6)2 + (y - 3)2 = 5 b) (x + 6)2 + (y - 3)2 = 10 c) (x - 6)2 + (y + 3)2 = 10 d) (x - 6)2 + (y - 3)2 = 25 e) (x - 6)2 + (y + 3)2 = 25

3-(Fatec ) A rea do quadriltero determinado pelos pontos de interseco da circunferncia de equao (x + 3)2 + (y - 3)2 = 10 com os eixos coordenados, em unidades de rea, igual a a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

4- (Pucrs ) A distncia entre o centro da circunferncia de equao (x - 2)2 + (y + 5)2 = 9 e a reta de equao 2 y + 5 x = 0 a) - 5 b) 0 c) 2 d) 5 e) 9

5-(Uft ) Considere no plano cartesiano xy, a circunferncia de equao (x - 2)2 + (y + 1)2 = 4 e o ponto P dado pela interseo das retas 2x - 3y + 5 = 0 e x - 2y + 4 = 0. Ento a distncia do ponto P ao centro da circunferncia : a) o dobro do raio da circunferncia b) igual ao raio da circunferncia. c) a metade do raio da circunferncia. d) o triplo do raio da circunferncia.

6-(Ufpel ) O grfico a seguir representa a funo:

f(x) = x2 - 5x + 6.

Com base nessas informaes CORRETO afirmar que a equao da circunferncia que passa em B e tem centro em A : a) (x - 6)2 + y = 45 b) x2 + (y - 6)2 = 9 c) x2 + (y - 6)2 = 45 d) (x - 6)2 + y2 = 9 e) x2 + (y - 3)2 = 9

24

7- (Ufrgs ) Os pontos de interseo do crculo de equao (x - 4)2 + (y - 3)2 = 25 com os eixos coordenados so vrtices de um tringulo. A rea desse tringulo

a) 22. b) 24. c) 25. d) 26. e) 28

GABARITO 1)A 2)E 3)B 4)B 5)A 6)C 7)B

15-EQUAO NORMAL DA CIRCUNFERNCIA

A equao normal da circunferncia obtida atravs da eliminao dos parnteses e reduo dos termos semelhantes. (x a) + (y b) = r x 2xa + a + y 2yb + b r = 0 x

2 + y

2 2ax 2by + a

2 + b

2 r

2 = 0

Essa equao mais uma forma de equacionar uma circunferncia e a partir dela determinar o centro e o raio que a equao est representando, isso poder ser feito utilizando dois mtodos diferentes: comparao e reduo. Comparao Dada a equao x2 + y2 2x + 8y + 8 = 0, comparado-a com a equao x2 + y2 2ax 2by + a2 + b2 r2 = 0, temos: 2a = 2 a = 1 2b = 8 2b = 8 b = 4 a + b r = 8 1 + (4) r = 8 1 + 16 r = 8 17 r = 8 r = 8 17 r = 9 r = 3 Portanto, a circunferncia de equao igual a x2 + y2 2x + 8y + 8 = 0 ter centro igual a C(1, 4) e raio igual a r = 3. Reduo

Consiste em transformar a equao normal em reduzida e assim identificar o centro e o raio.

Pegando como exemplo a equao x2 + y2 2x + 8y + 8 = 0, iremos transform-la em uma equao reduzida seguindo os passos abaixo:

1 passo

preciso agrupar os termos em x e os termos em y, e isolar o termo independente. (x2 2x) + (y2 + 8y) = 8

2 passo

Somar aos dois membros da igualdade um termo que torne o agrupamento em x um quadrado perfeito.

(x2 2x +1) + (y2 + 8y) = 8 +1

3 passo

Somar aos dois membros da igualdade um termo que torne o agrupamento em y um quadrado perfeito.

(x2 2x +1) + (y2 + 8y + 16) = 8 +1 + 16

25

(x2 2x +1) + (y2 + 8y + 16) = 9

(x 1)2 + (y + 4)2 = 9

Comparando com a equao reduzida.

(x 1)2 + (y + 4)2 = 9

(x + a)2 + (y + b)2 = r2

Portanto, o centro dessa equao da circunferncia ser C (1, 4) e R = 3. EXERCCIOS BSICOS

1-(Udesc ) Para que a equao x2 + y2 - 4x + 8y + k = 0 represente uma circunferncia, devemos ter: a) K < 20 b) K > 13 c) K < 12 d) K > 12 e) K < 10

2- (Fatec) Sejam O a origem do sistema de eixos cartesianos e A o centro da circunferncia de equao x2 + y2 - 2x - 4y - 4 = 0. A equao de reta que passa pelos pontos A e O : a) y = 2x + 1 b) y = 2x -1 c) y = x/2 d) y = 2x e) y = x 3-(Cesgranrio) As circunferncias x2 + y2 + 8x + 6y = 0 e x2 + y2 - 16x - 12y = 0 so: a) exteriores. b) secantes. c) tangentes internamente. d) tangentes externamente. e) concntricas.

4. (Ufrs ) A equao x2 + y2 + 4x - 6y + m = 0 representa um crculo se e semente se a) m > 0 b) m < 0 c) m > 13 d) m > -13 e) m < 13 5-(Cesgranrio ) A equao da circunferncia de raio 5, cujo centro o ponto comum s retas x - y + 1 = 2 e x + y - 1 = 2 : a) x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0 b) x2 + y2 - 4x - 2y + 20 = 0 c) x2 + y2 - 4x + 2y + 20 = 0 d) x2 + y2 - 4x + 2y - 20 = 0 e) x2 + y2 + 4x - 2y - 20 = 0 6-(Unirio ) A equao x2 + y2 - 4x + 6y - 3 = 0 de uma circunferncia cuja soma do raio e das coordenadas do centro igual a: a) -2 b) 3 c) 5 d) 8 e) 15

7-(Unifesp ) A equao x2 + y2 + 6x + 4y + 12 = 0, em coordenadas cartesianas, representa uma

circunferncia de raio 1 e centro a) (- 6, 4). b) (6, 4). c) (3, 2). d) (-3, -2). e) (6, -4).

8-(Ufv ) Considere a equao x2 + y2 - 6x + 4y + p = 0. O maior valor inteiro p para que a equao anterior represente uma circunferncia : a) 13 b) 12 c) 14 d) 8 e) 10

9- (Pucpr ) A distncia do ponto P(1; 8) ao centro da circunferncia x2 + y2 - 8x - 8y + 24 = 0 : a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6

10-(Ufrs ) As extremidades de uma das diagonais de um quadrado inscrito em um crculo so os pontos (1, 3) e (-1, 1). Ento, a equao do crculo a) x2 + y2 + 4y - 2 = 0. b) x2 + y2 - 4y + 2 = 0. c) x2 + y2 - 2y + 2 = 0. d) x2 + y2 + 2 = 0. e) x2 + y2 - 4y = 0.

11 (Fatec) Num sistema de eixos cartesianos ortogonais, considere a circunferncia e a reta r, de equaes x2 + y2 - 6x + 2y + 6 = 0 e 3x + 7y - 21 = 0. A reta s, que paralela a r e contm o centro de , tem equao a) 3x + 7y - 2 = 0 b) 3x - 7y - 2 = 0 c) 3x - 7y + 5 = 0 d) 3x + 7y - 16 = 0 e) 7x + 3y - 2 = 0

12- ( cftmg ) O lado do quadrado circunscrito circunferncia de equao x2 + y2 - 4x - 5 = 0 mede a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 13- (Ufrs ) Na figura a seguir, o octgono regular est inscrito no crculo de equao x2 + y2 - 4 = 0.

26

A rea do octgono a) 5 2 . b) 8 2 . c) 10. d) 10 2 . e) 20. 14- (Ufjf ) Considere uma circunferncia c1 de equao x2 + y2 + 8x - 2y - 83 = 0. Seja agora uma circunferncia c2 de centro em O(13, - 2) que passa pelo ponto P(9, 0). A rea da figura plana formada pelos pontos internos circunferncia c1 e externos circunferncia c2, em unidades de rea, : a) 20pi. b) 80pi. c) 100pi. d) 120pi. e) 200pi. 15-(GV) Dada a equao x + y = 14x + 6y + 6, se p o maior valor possvel de x, e q o maior valor possvel de y, ento, 3p + 4q igual a a) 73 b) 76 c) 85 d) 89 e) 92. 16- (Ufsm ) A massa utilizada para fazer pastis folheados, depois de esticada, recortada em crculos (discos) de igual tamanho. Sabendo que a equao matemtica da circunferncia que limita o crculo x2 + y2 - 4x - 6y - 36 = 0 e adotando pi = 3,14, o dimetro de cada disco e a rea da massa utilizada para confeccionar cada pastel so, respectivamente, a) 7 e 113,04 b) 7 e 153,86 c) 12 e 113,04 d) 14 e 113,04 e) 14 e 153,86 17-(Fgv ) Dada a circunferncia de equao x2 + y2 6x 10y + 30 = 0, seja P seu ponto de ordenada mxima. A soma das coordenadas de P e: a) 10 b) 10,5 c) 11 d) 11,5 e) 1

18-(Fgv 2011) No plano cartesiano, uma circunferncia, cujo centro se encontra no segundo quadrante, tangencia os eixos x e y. Se a distncia da origem ao centro da circunferncia igual a 4, a equao da circunferncia : a) ( ) ( )2 2x y 2 10 x 2 10 y 10 0+ + + = b) ( ) ( )2 2x y 2 8 x 2 8 y 8 0+ + + = c) ( ) ( )2 2x y 2 10 x 2 10 y 10 0+ + + + = d) ( ) ( )2 2x y 2 8 x 2 8 y 8 0+ + + =

e) 2 2x y 4x 4y 4 0+ + + =

19-(Ueg 2012) Considere num plano cartesiano duas

retas r e s. perpendiculares. A reta r tem equao

y 2x= e a reta s intercepta o eixo x no ponto B (10,0). Encontre a equao da circunferncia que

passa pelos pontos A (0,0), B (10,0) e C, que o ponto

de interseo das retas r e s.

20) (Ufjf 2012) No plano cartesiano, considere os

pontos A( 1,2) e B(3,4). a) Encontre a equao da reta r que passa por A e

forma com o eixo das abscissas um ngulo de 135, medido do eixo para a reta no sentido anti-horrio.

b) Seja s a reta que passa por B e perpendicular reta r. Encontre as coordenadas do ponto P , determinado pela interseco das retas r e s .

c) Determine a equao da circunferncia que possui centro no ponto Q(2,1) e tangencia as retas r e s.

GABARITO 1) A 2) D 3)D 4)E 5)A 6)B 7)D 8)B 9)D 10)B 11)A 12)D 13)B 14)C 15)D 16)E 17)A 18)B 19) (x-5) +y=25 20)a) y=-x+1 b) y=x+1 c) (x-2) +(y-1) =2

27

16-POSIES RELATIVAS: RETA E CIRCUNFERNCIA

CASO 1 RETA EXTERNA CIRCUNFERNCIA

DISTNCIA ENTRE O CENTRO E A RETA MAIOR QUE O RAIO DA CIRCUNFERNCIA

A INTERSECO ENTRE A EQUAO DA RETA E A DA CIRCUNFERNCIA RESULTA EM UMA EQUAO DE SEGUNDO GRAU COM

28

O valor dessa interseco a soluo do sistema formado com a equao geral da reta e com a equao reduzida da circunferncia. Considerando a equao geral da reta ax+by+c = 0 e a equao reduzida da circunferncia

(x - a)2 + (y - b)2 = R2.

Resolvendo o sistema possvel encontrar uma equao do segundo grau, analisando o seu descriminante possvel determinar a posio da reta em relao circunferncia:

> 0 reta secante circunferncia = 0 reta tangente circunferncia < 0 reta externa circunferncia.

Se o discriminante for maior ou igual zero, para descobrir as coordenadas dos pontos preciso terminar a resoluo da equao do segundo grau.

Exemplo: Verifique se a circunferncia (x+1)2 + y2 = 25 e a reta x + y 6 = 0 possui algum ponto de interseco.

Resoluo:

x + y 6 = 0 equao 1 (x+1)2 + y2 = 25 equao 2

Escolhemos uma das duas equaes e isolamos uma das incgnitas.

x + y 6 = 0 x = 6 y

Substitumos o valor de x na equao 2.

(6 y +1)2 + y2 = 25 (-y + 7)2 + y2 = 25 (-y)2 14y + 49 + y2 = 25 y2 14y + 49 25 + y2 = 0 2y2 14y + 24 = 0 (: 2) y2 7y + 12 = 0

= b2 4ac = (-7)2 4 . 1 . 12 = 49 48 = 1

Como o descriminante maior que zero sabemos que essa reta secante circunferncia, agora para descobrir o valor das coordenadas dos dois pontos pertencentes circunferncia preciso terminar de resolver a equao.

Para y= 4 x = 6 y x = 6 4 x = 2

Para y = 3

29

x = 6 y x = 6 3 x = 3

Portanto, os dois pontos que interceptam a circunferncia so: (2,4) e (3,3). EXERCCIOS BSICOS

1- (Fei ) O comprimento da corda que a reta x + y = 3 determina na circunferncia de centro

em (2,1) e raio 52

:

a) 2 b) 2 2 c) 3 2 d) 4 2 e) 5 2

2-(Fei ) Qual deve ser o raio da circunferncia com centro no ponto O = (0,0) para que a reta x - 2y - 10 = 0 seja tangente a essa circunferncia? a) 4 2 b) 2 5 c) 20 d) 5 2 e) 4 5 3-(Ufrs ) O centro O = (x, y) de uma circunferncia que passa pelos pontos (-1, 1) e (1, 5), tem as coordenadas na relao a) 2y + x = 6 b) 5y + 2x = 15 c) 5y + 3x = 15 d) 8y + 3x = 25 e) 9y + 4x = 36

4- (Ufes ) Sabe-se que b > 0 e que a reta 5y + b(x - 5) = 0 tangente circunferncia x2 + y2 = 9. O valor de b a) 15/4 b) 16/3 c) 6 d) 20/3 e) 7 5-(Ufsm ) Dada a circunferncia : x2 + y2 - 4x - 12 = 0, ento a circunferncia , que concntrica circunferncia e tangente reta r: x + y = 0, a) x2 + (y + 2)2 = 4 b) y2 - 4x + y2 = 0 c) x2 + y2 + 4y + 2 = 0 d) x2 + y2 - 4x + 2 = 0 e) (x + 2)2 + y2 = 2 6-(Ufsm ) A equao da circunferncia de centro C(2,1) e tangente reta 3x - 4y + 8 = 0 a) (x2 + 2)2 + (y - 1)2 = 8 b) (x2 - 2)2 + (y - 1)2 = 2 c) (x - 2)2 + (y + 1)2 = 2 d) (x - 2)2 + (y - 1)2 = 4 e) (x - 2)2- (x - 1)2 = 4

7- (Fgv ) A reta de equao y = x - 1 determina, na circunferncia de equao x2 + y2 = 13, uma corda de comprimento: a) 4 2 b) 5 2 c) 6 2 d) 7 2 e) 8 2 8-(Ufsm ) As retas r e s tangenciam a circunferncia de equao x2 + y2 - 4x + 3 = 0, respectivamente, nos pontos P e Q e passam

pelo ponto O (0, 0). A medida do ngulo PQ vale a) 15 b) 30 c) 45 d) 60 e) 90

9- (Ufpi ) Se uma circunferncia no segundo quadrante, tangente a ambos os eixos, toca o eixo y no ponto (0, 3), ento o centro dessa circunferncia o ponto: a) (-3, 0) b) (-3, 3) c) (3, 3) d) (-4, 3) e) (2, 3)

10-(Ufrrj ) Se a rea de uma figura representada pela soluo do sistema

2 2x y 9x y 3 0 +

+ , pode-se afirmar que esta rea

corresponde a

a) 94

b) ( )9 24

. c) ( )3 3

2

.

d) ( )3 34

. e) ( )3

3

.

11- (Ufrs ) Considere a regio plana limitada pelos grficos das inequaes y - x - 1 e x2 + y2 1, no sistema de coordenadas cartesianas. A rea dessa regio a) pi/4 - 1/2 b) pi/4 - 1/3 c) pi/2 - 1 d) pi/2 + 1 e) 3pi/2 - 1

12-(Fgv ) No plano cartesiano, a reta de equao x = k tangencia a circunferncia de equao (x - 2)2 + (y - 3)2 = 1. Os valores de k so: a) -2 ou 0 b) -1 ou 1 c) 0 ou 2 d) 1 ou 3 e) 2 ou 4

13- (Ufes) Em um sistema de coordenadas cartesianas com origem O, considere a circunferncia C dada pela equao x2 + y2 - 4x - 8y + 15 = 0, cujo centro indicamos por P. A reta OP intersecta C em dois pontos A e B, onde A o mais prximo da origem. A equao da reta que tangencia a circunferncia C no ponto A a) x - 2y + 3 = 0 b) x + 2y - 5 = 0 c) 2x + y - 4 = 0 d) 2x + y - 5 = 0 e) 2x - y - 4 = 0

30

14- (Ufjf ) Sobre o conjunto de pontos de interseo da circunferncia x2 + (y - 2)2 = 2 com a reta mx - y + 2 = 0, onde m real, podemos afirmar que: a) contm um nico ponto. b) o conjunto vazio. c) contm dois pontos. d) contm trs pontos. e) depende de m. 15- (Pucmg ) Considere a circunferncia C de equao (x + 1)2 + (y - 1)2 = 9 e a reta r de equao x + y = 0. CORRETO afirmar: a) r tangente a C. b) r no corta C. c) r corta C no ponto (1, 1). d) r passa pelo centro de C. 16- (Pucrs) O raio da circunferncia centrada na origem que tangencia a reta de equao y = x -1

a) 1 b) 12

c) 2 d) 22

e) 2 -1 17-(Fatec ) Considere que R a regio do plano cartesiano cujos pontos satisfazem as sentenas

(x - 2)2+ (y - 2)2 4 e x y.

A rea de R, em unidades de superfcie, a) pi b) 2pi c) pi2 d) 4pi e) 4pi2

18-(Pucrs ) A rea da regio do plano limitada pela curva de equao (x - 1)2 + (y - 2)2 = 4 com x 1 e y 2 a) 4pi b) 2pi c) pi d) pi/2 e) pi/4 19- ( cftmg ) Analisando a equao da reta r: x - 2y = 0 e da circunferncia : x2 + y2 - 10y + 5 = 0, podemos afirmar que a) a reta tangente circunferncia. b) a reta secante circunferncia. c) a reta exterior circunferncia. d) a reta est em plano distinto da circunferncia. 20- (Uece ) A soma das coordenadas do centro da circunferncia que tem raio medindo 1 u.c., que est situada no primeiro quadrante e que tangencia o eixo dos y e a reta 4x - 3y = 0, a) 3 u.c. b) 5 u.c. c) 4 u.c. d) 6 u.c.

21-(Ufc ) Em um sistema Cartesiano de coordenadas, o valor positivo de b tal que a reta y = x + b tangente ao crculo de equao x2 + y2 = 1 :

a) 2 b) 1 c) 2 d) 12

e) 3

GABARITO 1)E 2)B 3)A 4)A 5)D 6)D 7)B 8)D 9)B 10)B11)A 12)D 13)B 14)C 15)D 16)D 17)B

18)C 19)A 20)C 21) C

17-CNICAS E RECONHECIMENTO DE CURVAS

1-ELIPSE

Entende-se por elipse o lugar geomtrico de um plano onde a soma da distncia de sua extremidade a dois pontos fixos, chamados de focos, F1 e F2, resulta em uma constante 2a, onde 2a > 2c.

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Na ilustrao da elipse acima temos:

F1 e F2 so os focos da elipse e a distncia entre eles a distncia focal (2c). O segmento A1A2 o maior eixo da elipse e sua medida a soma da definio 2a. O segmento B1B2 o menor eixo da elipse e sua medida corresponde a 2b. O centro O o ponto mdio entre os eixos da elipse e os focos A1A2 e F1F2. A excentricidade da elipse calculada pela razo entre c e a.

Na elipse, a relao de Pitgoras vlida entre as medidas de a, b e c. Dessa forma, temos que: a = b + c

Equao reduzida da elipse

De acordo com a posio dos focos em relao aos eixos das abscissas e das ordenadas, a elipse possui as seguintes equaes reduzidas:

Exemplo 1

Vamos determinar as equaes das seguintes elipses:

a)

a = b + c a = 6 + 8 a = 100 a = 10

Equao:

32

b)

a = b + c a = 5 + 12 a = 25 + 144 a = 169 a = 13

Equao:

Exemplo 2

Vamos determinar os focos e as extremidades do eixo maior da elipse de equao 9x + 36y = 144.

Temos que 16 > 4, portanto, o eixo maior est na abscissa (x). Dessa forma:

a = 16 a = 4 b = 4 a = 2

a = b + c 16 = 2 + c c = 16 2 c = 14

Os focos so F1(14,0) e F2(14,0) e as extremidades dos eixos maiores so A1(5,0) e A2(5,0).

A elipse possui uma importante aplicao na Astronomia, pois os planetas descrevem movimentos elpticos em rbita do sol, estando localizados nos focos da elipse. Essa teoria foi descoberta e comprovada por Johannes Kepler (1571 1630), grande astrnomo alemo.

2-HIPRBOLE

No estudo da geometria analtica, as diversas figuras geomtricas so estudadas do ponto de vista algbrico. Ponto, retas, circunferncias so esquematizadas com o auxlio da lgebra. As cnicas, que so figuras geomtricas oriundas de seces transversais realizadas em um cone, tambm so muito exploradas. A prpria circunferncia, a elipse, a parbola e a hiprbole so classificadas de cnicas. Vejamos como a hiprbole pode ser explorada do ponto de vista da geometria analtica.

Definio de hiprbole: Considere F1 e F2 como sendo dois pontos distintos do plano e 2c a distncia entre eles. Hiprbole o conjunto dos pontos do plano, tais que a diferena, em valor absoluto, das distncias F1 e F2 a constante 2a (0 < 2a < 2c). A hiprbole pode ter os focos sobre o eixo x ou sobre o eixo y e sua equao varia em cada um dos casos. Vamos deduzir sua equao para cada um dos casos citados.

Hiprbole com focos sobre o eixo x.

33

Como os focos da hiprbole esto localizados sobre o eixo x, suas coordenadas sero: F2(c, 0) e F1( c, 0). Nesse caso, a equao da hiprbole ser do tipo:

Hiprbole com focos sobre o eixo y.

Como os focos da hiprbole esto sobre o eixo y, suas coordenadas sero: F2(0, c) e F1(0, c). Nesse caso, a equao da hiprbole ser do tipo:

Elementos e propriedades da hiprbole: 2c a distncia focal. c2 = a2 + b2 relao fundamental. A1( a, 0) e A2(a, 0) so os vrtices da hiprbole. 2a a medida do eixo real. 2b a medida do eixo imaginrio. c/a a excentricidade

Exemplo 1. Determine a equao da hiprbole com focos F1( 10, 0) e F2(10, 0) e eixo real medindo 16 unidades. Soluo: De acordo com as coordenadas dos focos percebemos que eles esto sobre o eixo x, pois as coordenadas y so iguais a zero. Tambm podemos afirmar que c = 10.

Foi dado que o eixo real tem 16 unidades de comprimento. Logo, temos que: 2a = 16 a = 8

Para determinar a equao da hiprbole precisamos conhecer os valores de a e b, portanto devemos utilizar a relao fundamental para encontrarmos o valor de b. Segue que: c2 = a2 + b2

34

102 = 82 + b2 b2 = 100 64 b2 = 36 b = 6

Conhecidos os valores de a e b podemos escrever a equao da hiprbole com focos sobre o eixo x:

Exemplo 2. Determine as coordenadas dos focos da hiprbole de equao:

Soluo: Observando a equao da hiprbole podemos constatar que seus focos esto sobre o eixo y, logo tero coordenadas do tipo F1(0, c) e F2(0, c). Da equao da hiprbole obtemos que: a2 = 16 a = 4 b2 = 9 b = 3 Utilizando a relao fundamental, teremos: c2 = a2 + b2 c2 = 16 + 9 c2 = 25 c = 5 Portanto, os focos da hiprbole so F1(0 , 5) e F2(0, 5).

3- PARBOLA

2-Como traar uma parbola.

Com pregos, barbante e um lpis, voc consegue desenhar circunferncia, elipse e tambm uma parbola. Parbola o lugar geomtrico tal que distam igualmente de uma reta fixa d, chamada diretriz, e de um ponto fixo F, no pertencente diretriz, chamado foco.

Imagine uma reta d, um ponto F (foco) e o barbante preso ao prego no ponto F.

O comprimento do barbante tem que ser constante e a sua outra ponta deve correr livre sobre a reta d, o lpis deve se deslocar, mas sempre o barbante, entre o lpis e a reta d, deve ser perpendicular reta:

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2-Definio

Considere no plano cartesiano xOy, uma reta d (diretriz) e um ponto fixo F (foco) pertencente ao eixo das abcissas (eixo dos x), conforme figura abaixo: Denominaremos PARBOLA, curva plana formada pelos pontos P(x,y) do plano cartesiano, tais que PF = Pd onde: PF = distncia entre os pontos P e F PP' = distncia entre o ponto P e a reta d (diretriz).

Importante: Temos portanto, a seguinte relao notvel: VF = p/2

3 - Equao reduzida da parbola de eixo horizontal e vrtice na origem

Observando a figura acima, consideremos os pontos: F(p/2, 0) - foco da parbola, e P(x,y) - um ponto qualquer da parbola. Considerando-se a definio acima, deveremos ter: PF = PP'

Da, vem, usando a frmula da distancia entre pontos do plano cartesiano:

Desenvolvendo convenientemente e simplificando a expresso acima, chegaremos equao reduzida da parbola de eixo horizontal e vrtice na origem, a saber: y2 = 2px onde p a medida do parmetro da parbola.

3.1 - Parbola de eixo horizontal e vrtice no ponto (x0, y0)

Se o vrtice da parbola no estiver na origem e, sim, num ponto (x0, y0), a equao acima fica: (y - y0)2 = 2p(x-x0)

3.2 - Parbola de eixo vertical e vrtice na origem

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No difcil provar que, se a parbola tiver vrtice na origem e eixo vertical, a sua equao reduzida ser: x2 = 2py

3.3 - Parbola de eixo vertical e vrtice no ponto (x0, y0)

Analogamente, se o vrtice da parbola no estiver na origem, e, sim, num ponto (x0, y0), a equao acima fica: (x - x0)2 = 2p(y - y0)

Exerccios resolvidos

1 - Qual a equao da parbola de foco no ponto F(2,0) e vrtice na origem?

Soluo: Temos p/2 = 2 p = 4 Da, por substituio direta, vem: y2 = 2.4.x y2 = 8x ou y2 - 8x = 0.

2 - Qual a equao da parbola de foco no ponto F(4,0) e vrtice no ponto V(2,0)?

Soluo: Como j sabemos que VF = p/2, vem, 2 = p/2 p = 4. Logo, (y - 0)2 = 2.4(x - 2)2 y2 = 8(x-2) y2 - 8x + 16 = 0, que a equao da parbola.

3 - Qual a equao da parbola de foco no ponto F(6,3) e vrtice no ponto V(2,3)?

Soluo: Como VF = p/2, vem: 4 = p/2 p = 8. Da, vem: (y - 3)2 = 2.8(x - 2) y2 - 6y + 9 = 16x - 32 y2 - 6y - 16x + 41 = 0, que a equao procurada.

4 - Qual a equao da parbola de foco no ponto F(0,4) e vrtice no ponto V(0,1)?

Soluo: Como VF = p/2, vem: 3 = p/2 p = 6. Logo, (x - 0)2 = 2.6(y - 1) x2 = 12y - 12 x2 - 12y + 12 = 0, que a equao procurada.

Lgico que voc j ouviu falar das antenas parablicas. Se voc observar a figura e a definio de parbola, deve deduzir sua utilizao.

Todas as retas que incidam perpendicularmente na parbola "refletem" e se concentram no foco. As antenas parablicas recebem raios paralelos e concentram estes raios no foco onde existe um receptor em que todos os sinais fracos se concentram tornando-se um sinal forte.

EXERCCIOS BSICOS

1-(Ufv ) O grfico da equao x3y + xy3 - xy = 0 consiste de: a) duas retas e uma parbola. b) duas parbolas e uma reta. c) dois crculos e uma reta. d) duas retas e um crculo. e) um crculo e uma parbola.

2. (Cesgranrio) A segunda lei de Kepler mostra que os planetas se movem mais rapidamente quando prximos ao sol do que quando afastados dele. Lembrando que os planetas descrevem rbitas elpticas nas quais o sol um dos focos, podemos afirmar que, dos pontos assinalados na figura, aquele no qual a velocidade da Terra maior o ponto:

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a) A b) B c) C d) D e) E

3. (Uff ) As equaes y - 2x = 0, y + x2 = 0 e y2 - x2 + 1 = 0 representam no plano, respectivamente: a) uma reta, uma hiprbole e uma parbola b) uma parbola, uma hiprbole e uma reta c) uma reta, uma parbola e uma elipse d) uma elipse, uma parbola e uma hiprbole e) uma reta, uma parbola e uma hiprbole 4. (Unirio) As equaes x2 - 9y2 - 6x - 18y - 9 = 0, x2 + y2 - 2x + 4y + 1 = 0 e x2 - 4x - 4y + 8 = 0 representam, respectivamente, uma: a) hiprbole, uma elipse e uma parbola. b) hiprbole, uma circunferncia e uma reta. c) hiprbole, uma circunferncia e uma parbola. d) elipse, uma circunferncia e uma parbola. e) elipse, uma circunferncia e uma reta. 5. (Cesgranrio ) O grfico que melhor representa a curva de equao x2 + 16y2 = 16 :

6. (Unirio ) A rea do tringulo PF1F2, onde P(2,-8) e F1 e F2 so os focos da elipse de equao x2/25 + y2/9 = 1, igual a: a) 8 b) 16 c) 20 d) 32 e) 64

7. (Cesgranrio) A equao 9x2 + 4y2 - 18x - 27 = 0 representa, no plano cartesiano, uma curva fechada. A rea do retngulo circunscrito a essa curva, em unidades apropriadas, vale: a) 36 b) 24 c) 18 d) 16 e) 12 8. (Uece) A rea do quadriltero cujos vrtices so as intersees da elipse 9x2+25y2=225 com os eixos coordenados igual, em unidades de rea, a: a) 30 b) 32 c) 34 d) 36 9. (Ufc ) Um segmento de reta desloca-se no plano cartesiano de tal forma que uma de suas extremidades permanece sempre no eixo y e o seu ponto mdio permanece sempre no eixo x. Ento, a sua outra extremidade desloca-se ao longo de uma: a) circunferncia. b) parbola. c) reta. d) elipse. e) hiprbole. 10. (Ufpi ) O grfico da equao x2 - y2 = 4 representa uma hiprbole. Os focos dessa hiprbole so:

a) 1,02

e 1

,02

b) (2, 0) e (-2, 0) c) (2 2 , 0) e (-2 2 , 0)

d) (0, 2 ) e (0, - 2 )

e) 10,2

e 10,2

11. (Ufc ) O nmero de pontos de interseo das curvas x2 + y2 = 4 e (x2/15) + (y2/2) = 1 igual a: a) 0 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 12. (Fgv) No plano cartesiano, a curva de equaes paramtricas x=2cost e y=5sent com t lR : a) uma senoide b) uma cossenoide c) uma hiprbole d) uma circunferncia e) uma elipse 13. (Cesgranrio 2002) Uma montagem comum em laboratrios escolares de Cincias constituda por um plano inclinado, de altura aproximadamente igual a 40cm, com 4 canaletas paralelas e apoiado em uma mesa, forrada de feltro, cuja borda curvilnea. Sobre a mesa h um ponto marcado no qual se coloca uma bola de gude. A experincia

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consiste em largar, do alto do plano inclinado, outra bola de gude, a qual, depois de rolar por uma das canaletas, cai na mesa e colide sucessivamente com a borda da mesa e com a primeira bola. A borda da mesa tem a forma de um arco de: a) elipse, e o ponto marcado um de seus focos. b) parbola, e o ponto marcado seu foco. c) hiprbole, e o ponto marcado um de seus

focos. d) hiprbole, e o ponto marcado seu centro. e) circunferncia, e o ponto marcado seu centro. 14. (Ufrn ) O conjunto dos pontos P = (x,y), que esto a uma mesma distncia do ponto F = (0,2) e do eixo ox, no plano cartesiano xy a) a parbola de equao y = (x2/2) + 4. b) a parbola de equao y = (x2/4) + 1. c) a parbola de equao y = 4x2 +1. d) a parbola de equao y = 2x2 +1. 15. (Pucmg ) O grfico da curva de equao (x2/4) - (y2/9) = 1 uma: a) circunferncia. b) elipse. c) hiprbole. d) parbola. 16. (Unifesp ) A rea sombreada na figura,

limitada pela elipse e pela reta indicadas, : a) pi. b) 2pi. c) 3pi. d) 4pi. e) 6pi. 17. (Uerj ) Um holofote situado na posio (-5,0) ilumina uma regio elptica de contorno x2 + 4y2 = 5, projetando sua sombra numa parede representada pela reta x = 3, conforme ilustra a figura a seguir.

Considerando o metro a unidade dos eixos, o comprimento da sombra projetada de: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 18. (Ufc ) No plano cartesiano, x2 - y2 + 5x - 5y = 0 uma equao de: a) um conjunto vazio. b) um conjunto unitrio. c) uma hiprbole. d) duas retas paralelas. e) duas retas concorrentes.

19. (Unifesp ) A parbola y = x2 - nx + 2 tem vrtice no ponto (xn, yn). O lugar geomtrico dos vrtices da parbola, quando n varia no conjunto dos nmeros reais, a) uma parbola. b) uma elipse. c) um ramo de uma hiprbole. d) uma reta. e) duas retas concorrentes. 20. (Fatec) As interseces das curvas de equaes x2 + y2 - 7x - 9 = 0 e y2 = x + 2 so vrtices de um polgono. A equao da reta traada pela interseco das diagonais desse polgono, e paralela reta de equao 2x - y + 3 = 0, a) x + 2y - 2 = 0 b) x + 2y + 2 = 0 c) 2x - y + 4 = 0 d) 2x - y - 2 = 0 e) 2x - y + 2 = 0 21. (Udesc ) Analise as afirmaes dadas a seguir, classifique-as como verdadeiras (V) ou falsas (F).

( ) A equao x2 - 2x + y2 + 2y + 1 = 0 representa uma circunferncia que tangente, tanto ao eixo das abscissas quanto ao eixo das ordenadas. ( ) A elipse de equao 9x2 + 4y2 = 36 intercepta a hiprbole de equao x2 - 4y2 = 4 em apenas

39

dois pontos, que so os vrtices da hiprbole. ( ) O semieixo maior da elipse 9x2 + 4y2 = 36 paralelo ao eixo real da hiprbole x2 - 4y2 = 4.

Assinale a alternativa que contm a sequncia correta, de cima para baixo. a) V - V - V b) V - V - F c) F - V - F d) F - F - V e) V - F - F 22. (Uft ) Considere IR o conjunto dos nmeros reais e b IR . Encontre os valores de b, tais que no plano cartesiano xy, a reta y = x + b intercepta a

elipse 2

2x y 14

+ = em um nico ponto. A soma dos

valores de b : a) 0 b) 2 c) 2 5 d) 5 e) 2 5

GABARITO 1) D 2)E 3)E 4)C 5)C 6)D 7)B 8)A 9)D 10)C

11)C 12)E 13)B 14)B 15)V 16)C 17)C 18)E 19)A 20)D 21)B 22)A

40

FUVEST PRIMEIRA FASE 01-(Fuvest 1994) A reta s passa pelo ponto (0, 3) e perpendicular reta AB onde A = (0, 0) e B o centro da circunferncia x2 + y2 - 2x - 4y = 20. Ento a equao de s : a) x - 2y = - 6 b) x + 2y = 6 c) x + y = 3 d) y - x = 3 e) 2x + y = 6 2. (Fuvest 1995) Sejam A = (1, 2) e B = (3, 2) dois pontos do plano cartesiano. Nesse plano, o segmento AC obtido do segmento AB por uma rotao de 60, no sentido anti-horrio, em torno do ponto A. As coordenadas do ponto C so:

a) (2, 2 + 3 ). b) 51 3,2

+

c) (2, 1 + 3 ). d) (2, 2 - 3 ). e) (1 + 3 , 2 + 3 ). 3. (Fuvest 1995) Uma circunferncia de raio 2, localizada no primeiro quadrante, tangencia o eixo x e a reta de equao 4x - 3y = 0. Ento a abscissa do centro dessa circunferncia : a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 ) 5 4. (Fuvest 1990) A reta y = mx (m > 0) tangente circunferncia (x - 4)2 + y2 = 4. Determine o seno do ngulo que a reta forma com o eixo x.

a) 15

. b) 12

. c) 32

.

d) 22

. e) 5 . 5. (Fuvest 1996) A figura adiante mostra parte do grfico de uma funo polinomial f(x) de grau 3. O conjunto de todos os valores reais de m para os quais a equao f(x)=m tem trs razes reais distintas :

a) -4 < m < 0 b) m > 0 c) m < 0 d) -1 < m < 1 e) m > - 4 6. (Fuvest 1996) Considere o tringulo ABC, onde A = (0, 4), B = (2, 3) e C um ponto qualquer da circunferncia x2 + y2 = 5. A abcissa do ponto C que torna a rea do tringulo ABC a menor possvel : a) - 1 b) - 3/4 c) 1 d) 3/4 e) 2 7. (Fuvest 1996) Para cada nmero real n seja Pn=(xn,yn) o ponto de interseco das retas nx + y = 1 e x - ny = 1. Sabendo-se que todos os pontos Pn pertencem a uma mesma circunferncia, qual o centro dessa circunferncia? a) (1/2, 1/2) b) (0,0) c) (-1/2, 1/2) d) (-1/2, -1/2) e) (1,1) 8. (Fuvest 1989) O segmento AB dimetro da circunferncia de equao x2 + y2 = 10y. Se A o ponto (3, 1), ento B o ponto a) (-3, 9) b) (3, 9) c) (0, 10) d) (-3, 1) e) (1, 3) 9. (Fuvest 1997) As retas r e s so perpendiculares e interceptam-se no ponto (2, 4). A reta s passa pelo ponto (0, 5). Uma equao da reta r a) 2y + x = 10 b) y = x +2 c) 2y - x = 6 d) 2x + y = 8 e) y = 2x 10. (Fuvest 1997) Na figura a seguir, A um ponto do plano cartesiano, com coordenadas (x, y). Sabendo que A est localizado abaixo da reta r e acima da reta s, tem-se

41

a) y < x2

e y < -x + 1 b) y < x2

ou y > -x + 1

c) x2

< y e y > -x + 1 d) -x + 1 < y < x2

e) x2

< y < -x + 1

11. (Fuvest 1998) Uma reta de coeficiente angular m > 0 passa pelo ponto (2,0) e tangente circunferncia inscrita no quadrado de vrtices (1,1), (5,1), (5,5) e (1,5). Ento

a) 0 < m < 13

b) m = 13

c) 13

< m < 1 d) m = 1

e) 1 < m < 53

12. (Fuvest 1999) Uma reta r determina, no primeiro quadrante do plano cartesiano, um tringulo issceles, cujos vrtices so a origem e os pontos onde a reta intercepta os eixos 0x e 0y. Se a rea desse tringulo 18, a equao de r : a) x - y = 4 b) x - y = 16 c) x + y = 2 d) x + y = 4 e) x + y = 6 13. (Fuvest 2000) Uma circunferncia passa pelos pontos (2,0), (2,4) e (0,4). Logo, a distncia do centro dessa circunferncia origem : a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 14. (Fuvest 2000) Das regies hachuradas na sequncia, a que melhor representa o conjunto dos pontos (x, y), do plano cartesiano, satisfazendo ao conjunto de desigualdades

x 0; y 0; x - y + 1 0; x2 + y2 9,

:

15. (Fuvest 2000) Se (m + 2n, m - 4) e (2 - m, 2n) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, ento mn igual a: a) -2 b) 0 c)2d) 1 e) 1/2 16. (Fuvest 2001) O conjunto dos pontos (x, y) do plano cartesiano, cujas coordenadas satisfazem a equao (x2 + y2 + 1) . (2x + 3y - 1) . (3x - 2y + 3) = 0, pode ser representado, graficamente, por:

17. (Fuvest 2001) A elipse x2 + (y2/2) = 9/4 e a reta y = 2x + 1, do plano cartesiano, se interceptam nos pontos A e B. Pode-se, pois, afirmar que o ponto mdio do segmento AB : a) (-2/3, -1/3) b) (2/3, -7/3) c) (1/3, -5/3) d) (-1/3, 1/3) e) (-1/4, 1/2) 18. (Fuvest 2002) Os pontos A = (0, 0) e B = (3, 0) so vrtices consecutivos de um paralelogramo ABCD situado no primeiro quadrante. O lado AD perpendicular reta y = - 2x e o ponto D pertence circunferncia de centro na origem e raio 5 . Ento, as coordenadas de C so: a) (6, 2) b) (6, 1) c) (5, 3) d) (5, 2) e) (5, 1) 19. (Fuvest 2003) Duas retas s e t do plano cartesiano se interceptam no ponto (2,2). O produto de seus coeficientes angulares 1 e a reta s intercepta o eixo dos y no ponto (0,3). A

42

rea do tringulo delimitado pelo eixo dos x e pelas retas s e t : a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 20. (Fuvest 2004) Duas irms receberam como herana um terreno na forma do quadriltero ABCD, representado a seguir em um sistema de coordenadas. Elas pretendem dividi-lo, construindo uma cerca reta perpendicular ao lado AB e passando pelo ponto P = (a, 0). O valor de a para que se obtenham dois lotes de mesma rea :

a) 5 - 1 b) 5 - 2 2 c) 5 - 2 d) 2 + 5 e) 5 + 2 2 21. (Fuvest 2006) O conjunto dos pontos (x,y), do plano cartesiano que satisfazem t2 - t - 6 = 0, onde t = x - y, consiste de a) uma reta. b) duas retas. c) quatro retas. d) uma parbola. e) duas parbolas. 22. (Fuvest 2008) A circunferncia dada pela equao x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0 tangente aos eixos coordenados x e y nos pontos A e B, conforme a figura. O segmento MN paralelo ao segmento AB e contm o centro C da circunferncia. correto afirmar que a rea da regio hachurada vale

a) pi - 2 b) pi + 2 c) pi + 4

d) pi + 6 e) pi + 8 23. (Fuvest 2009) Considere, no plano cartesiano Oxy, a circunferncia C de equao (x - 2)2 + (y - 2)2 = 4 e sejam P e Q os pontos nos quais C tangencia os eixos Ox e Oy, respectivamente. Seja PQR o tringulo issceles inscrito em C, de base PQ, e com o maior permetro possvel.

Ento, a rea de PQR igual a: a) 2 2 - 2 b) 2 2 - 1 c) 2 2

d) 2 2 + 2 e) 2 2 + 4 24. (Fuvest 2010) No plano cartesiano x0y, a reta de equao x + y = 2 tangente circunferncia C no ponto (0,2). Alm disso, o ponto (1,0) pertence a C. Ento, o raio de C igual a

a) 3 22

b) 5 22

c) 7 22

d) 9 22

e) 11 22

25. (Fuvest 2011) No plano cartesiano, os pontos (0, 3) e (-1, 0) pertencem circunferncia C. Uma outra circunferncia, de centro em (-1/2,4) tangente a C no ponto (0,3). Ento, o raio de C vale

a) 58

b) 54

c) 52

d) 3 54

e) 5

26.(FUVEST-2012) No plano cartesiano Oxy , a circunferncia C tangente ao eixo Ox no ponto de abscissa 5 e contm o ponto (1, 2). Nessas condies, o raio de C vale a) 5 b) 2 5 c) 5 d) 3 5 e) 10

27.(Fuvest 2013) So dados, no plano cartesiano, o ponto P de coordenadas (3,6) e a circunferncia C de equao ( ) ( )22x 1 y 2 1. + = Uma reta t passa por P e tangente a C em um ponto Q. Ento a distncia de P a Q a) 15 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20

GABARITO 1) B 2)A 3)D 4)B 5)A 6)C 7)A 8)A 9)E 10)E 11)C 12)E 13)D 14)A 15)E 16)D 17)D 18)E 19)B 20)B 21)B 22)B 23)D 24)B 25)E 26)C 27)D

43

FUVEST SEGUNDA FASE

1. (Fuvest 1994) Fixado o ponto N = (0, 1), a cada ponto P do eixo das abscissas associamos o ponto P' N obtido pela interseco da reta PN com a circunferncia x2 + y2 = 1. a) Que pontos do eixo das abscissas foram associados aos pontos (x, y) da circunferncia, com y < 0? b) Quais as coordenadas do ponto P' da circunferncia, associado a P = (c, 0), c 0? 2. (Fuvest 1995) Sejam A = (0, 0), B = (0, 5) e C = (4, 3) pontos do plano cartesiano. a) Determine o coeficiente angular da reta BC. b) Determine a equao da mediatriz do segmento BC. O ponto A pertence a esta mediatriz? c) Considere a circunferncia que passa por A, B e C. Determine a equao da reta tangente a esta circunferncia no ponto A. 3. (Fuvest 1991) a) As extremidades de um dimetro de uma circunferncia so (-3, 1) e (5, -5). Determine a equao da circunferncia. b) Determine a equao da circunferncia que passa pelo ponto (9, 3 ) e que tangente s retas y = 0 e y = 3 . 4. (Fuvest 1992) Seja S a regio do plano cartesiano representada pelo tringulo ABC e seu interior. Determine um sistema de inequaes que caracterize os pontos (x, y) pertencentes a S.

5. (Fuvest 1993) Determine as equaes das retas do plano que passam pela origem do sistema de coordenadas e que no interceptam a curva do plano dada pela equao x2/4 - y2/9 = 1 6. (Fuvest 1996) Considere a funo f(x) =

x 2(1 2x a) Determine constantes reais , e de modo que

(f(x))2 = [(x2 + )2 + ] b) Determine os comprimentos dos lados do

retngulo de rea mxima, com lados paralelos

aos eixos coordenados, inscrito na elipse de equao 2x2 + y2 = 1.

7. (Fuvest 1996) Considere, no plano cartesiano, os pontos P = (0, -5) e Q = (0, 5). Seja X = (x, y) um ponto qualquer com x > 0.

a) Quais so os coeficientes angulares das retas PX e QX? b) Calcule, em funo de x e y, a tangente do ngulo PXQ. c) Descreva o lugar geomtrico dos pontos X = (x, y) tais que x > 0 e PXQ = (/4) radianos. 8. (Fuvest 1997) Considere as circunferncias que passam pelos pontos (0, 0) e (2, 0) e que so tangentes reta y = x + 2. a) Determine as coordenadas dos centros dessas circunferncias. b) Determine os raios dessas circunferncias. 9. (Fuvest 1998) Um quadrado est inscrito numa circunferncia de centro (1,2). Um dos vrtices do quadrado o ponto (-3,-1). Determine os outros trs vrtices do quadrado. 10. (Fuvest 1999) Um pirata enterrou um tesouro numa ilha e deixou um mapa com as seguintes indicaes: o tesouro est enterrado num ponto da linha reta entre os dois rochedos; est a mais de 50 m do poo e a menos de 20 m do rio (cujo leito reto).

a) Descreva, usando equaes e inequaes, as indicaes deixadas pelo pirata, utilizando para isto o sistema de coordenadas mostrado na figura. b) Determine o menor intervalo ao qual pertence a coordenada x do ponto (x, 0) onde o tesouro est enterrado. 11. (Fuvest 1999) A reta r tem equao 2x + y = 3 e intercepta o eixo x no ponto A. A reta s passa pelo ponto P=(1, 2) e perpendicular a r. Sendo B e C os pontos onde s intercepta o eixo x e a reta r,

44

respectivamente, a) determine a equao de s. b) calcule a rea do tringulo ABC. 12. (Fuvest 2000) Considere os pontos A = (-2, 0), B = (2, 0), C = (0, 3) e P = (0, ), com 0 < < 3. Pelo ponto P, traamos as trs retas paralelas aos lados do tringulo ABC.

a) Determine, em funo de , a rea da regio sombreada na figura. b) Para que valor de essa rea mxima? 13. (Fuvest 2001) A hipotenusa de um tringulo retngulo est contida na reta r: y = 5x - 13, e um de seus catetos est contido na reta s: y = x - 1. Se o vrtice onde est o ngulo reto um ponto da forma (k, 5) sobre a reta s, determine

a) todos os vrtices do tringulo; b) a rea do tringulo. 14. (Fuvest 2002) Sejam A = (0, 0), B = (8, 0) e C = (-1, 3) os vrtices de um tringulo e D = (u, v) um ponto do segmento BC . Sejam E o ponto de interseco de AB com a reta que passa por D e paralela ao eixo dos y e F o ponto de interseco de AC

com a reta que passa por D e paralela ao eixo dos x.

a) Determine, em funo de u, a rea do quadriltero AEDF. b) Determine o valor de u para o qual a rea do quadriltero AEDF mxima. 15. (Fuvest 2003) a) A reta r passa pela origem do plano cartesiano e tem coeficiente angular m > 0. A circunferncia C passa pelos pontos (1,0) e (3,0) e tem centro no eixo x. Para qual valor de m a reta r tangente a C? b) Suponha agora que o valor de m seja menor que aquele determinado no item anterior. Calcule a rea do tringulo determinado pelo centro de C e pelos pontos de interseco de r com C. 16. (Fuvest 2004) Na figura a seguir, os pontos A, B e C so vrtices de um tringulo retngulo, sendo B o ngulo reto. Sabendo-se que A = (0, 0), B pertence reta x - 2y = 0 e P = (3, 4) o centro da

circunferncia inscrita no tringulo ABC, determinar as coordenadas

a) do vrtice B. b) do vrtice C. 17. (Fuvest 2006) A reta s passa pela origem O e pelo ponto A do primeiro quadrante. A reta r perpendicular reta s, no ponto A, e intercepta o eixo x no ponto B e o eixo y no ponto C. Determine o coeficiente angular de s se a rea do tringulo OBC for o triplo da rea do tringulo OAB. 18. (Fuvest 2006) a) Determine os pontos A e B do plano cartesiano nos quais os grficos de y = (12/x) - 1 e x + y - 6 = 0 se interceptam. b) Sendo O a origem, determine o ponto C no quarto quadrante que satisfaz AOB = ACB e que pertence reta x = 2.

Nota: AOB indica o ngulo cujos lados so OA e OB e ACB indica o ngulo cujos lados so CA e CB. 20. (Fuvest 2008) So dados, no plano cartesiano de origem O, a circunferncia de equao x2 + y2 = 5, o ponto P = (1, 3 ) e a reta s que passa por P e paralela ao eixo y. Seja E o ponto de ordenada positiva em que a reta s intercepta a circunferncia. Assim sendo, determine

a) a reta tangente circunferncia no ponto E. b) o ponto de encontro das alturas do tringulo OPE. 21. (Fuvest 2009) Na figura a seguir, a reta r tem equao y = 2( 2 )x + 1 no plano cartesiano Oxy. Alm disso, os pontos B0, B1, B2, B3 esto na reta r, sendo B0 = (0,1). Os pontos A0, A1, A2, A3 esto no eixo Ox, com A0 = O = (0, 0). O ponto Di pertence ao segmento AiBi , para 1 i 3.

45

Os segmentos A1B1, A2B2 , A3B3 so paralelos ao eixo Oy, os segmentos B0D1, B1D2, B2D3 so paralelos ao eixo Ox, e a distancia entre Bi e Bi+1 igual a 9, para 0 i 2.

Nessas condies: a) Determine as abscissas de A1, A2, A3. b) Sendo Ri o retngulo de base Ai Ai+1 e altura Ai+1Di+1, para 0 i 2, calcule a soma das reas dos retngulos R0, R1 e R2. 22. (Fuvest 2009) No plano cartesiano Oxy, a circunferncia C tem centro no ponto A = (-5, 1) e tangente reta t de equao 4x - 3y - 2 = 0 em um ponto P. Seja ainda Q o ponto de interseco da reta t com o eixo Ox.

Assim: a) Determine as coordenadas do ponto P. b) Escreva uma equao para a circunferncia C. c) Calcule a rea do triangulo APQ. 23. (Fuvest 2010) No sistema ortogonal de coordenadas cartesianas Oxy da figura, esto representados a circunferncia de centro na origem

e raio 3, bem como o grfico da funo 8yx

=

Nessas condies, determine

a) as coordenadas dos pontos A, B, C, D de interseo da circunferncia com o grfico da funo. b) a rea do pentgono OABCD.

Gabarito: 1) a) P (a, 0)/-1 < a

46

UNESP

1. (Unesp 1994) Seja A a interseco das retas r, de equao y = 2x, e s, de equao y = 4x - 2. Se B e C so as interseces respectivas dessas retas com o eixo das abscissas, a rea do tringulo ABC : a) 1/2. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4. 2. (Unesp 1995) Dado um sistema de coordenadas cartesianas no plano, considere os pontos A(2, 2), B(4, -1) e C(m, 0). Para que AC + CB seja mnimo, o valor de m deve ser: a) 7/3. b) 8/3. c) 10/3. d) 3,5. e) 11/3. 3. (Unesp 1991) Seja B (0, 0) o ponto da reta de equao y = 2x cuja distncia ao ponto A = (1, 1) igual a distncia de A origem. Ento a abscissa de B igual a: a) 5/6 b) 5/7 c) 6/7 d) 6/5 e) 7/5 4. (Unesp 1993) Considere uma circunferncia de raio r < 4, com centro na origem de um sistema de coordenadas cartesianas. Se uma das tangentes circunferncia pelo ponto (4, 0) forma com o eixo x um ngulo de 30, ento o ponto de tangncia correspondente :

a) (1, - 3 ) b) (1, - 2 ) c) ( 12

, - 3 )

d) ( 12

, - 2 ) e) ( 12

,

32

) 5. (Unesp 1990) A distncia do vrtice da parbola y = (x - 2) (x - 6) reta y = (4/3)x + 5 : a) 72/25 b) 29/25 c) 43 d) 43/25 e) 43/5 6. (Unesp 1996) Os pontos O, A e B, do plano cartesiano da figura adiante, so os vrtices de um tringulo equiltero cuja medida dos lados dada por 3 . As equaes das retas AB e OB so, respectivamente,

a) y = ( 2 ) . x - 3 e y = (- 2 ) . x. b) y = ( 3 ) . x - 2 e y = (- 3 ) . x. c) y = ( 3 ) . x - 3 e y = (- 3 ) . x. d) y = x + 3 e y = -x. e) y = 3x + 3 e y = -3x. 7. (Unesp 1989) Quando "a" varia sobre todos os nmeros reais, as equaes y = ax + 1 representam a) um feixe de retas paralelas. b) um feixe de retas passando por (1, 0). c) todas as retas passando pela origem. d) todas as retas passando por (0, 1). e) todas as retas passando por (0, 1), exceto

uma. 8. (Unesp 1998) Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, considere a reta r de equao y=x+1 e o ponto P=(2, 1). O lugar geomtrico dos pontos do plano, simtricos dos pontos de r em relao a P, a reta de equao a) y = x - 1. b) y = - x + 1. c) y = x + 3. d) y = x - 3. e) y = - x + 2. 9. (Unesp 1999) O comprimento da corda que a reta y = x determina na circunferncia de equao (x + 2)2 + (y - 2)2 = 16 a) 4. b) 4 2 . c) 2. d) 2 2 . e) 2 . 10. (Unesp 2000) Seja S = {(x, y) e IR2: x2 + y2 16 e x2 + (y - 1)2 9} uma regio do plano. A rea de S : a) 5. b) 7. c) 5pi. d) 7pi. e) 7pi2. 11. (Unesp 2001) A equao da circunferncia com centro no ponto C= (2,1) e que passa pelo ponto P= (0,3) dada por a) x2 + (y - 3)2 = 0. b) (x - 2)2 + (y - 1)2 = 4. c) (x - 2)2 + (y - 1)2 = 8. d) (x - 2)2 + (y - 1)2 = 16. e) x2 + (y - 3)2 = 8. 12. (Unesp 2003) O tringulo PQR, no plano cartesiano, de vrtices P=(0,0), Q=(6,0) e R=(3,5), a) equiltero. b) issceles, mas no equiltero. c) escaleno. d) retngulo.

47

e) obtusngulo.

13. (Unesp 2003) A figura representa uma elipse.

A partir dos dados disponveis, a equao desta elipse

a) 2x

5

+ 2y

7

= 1.

b) ( )2

x 59

+

+ ( )2y 7

16

= 1.

c) (x - 5)2 + (y - 7)2 = 1.

d) ( )2

x 59

+ ( )2y 7

16

+

= 1.

e) ( )2

x 35

+

+ ( )2y 4

7

= 1.

14. (Unesp 2004) O conjunto de todos os pontos P(x, y) do plano, com y 0, para os quais x e y satisfazem a equao sen [y/(x2 + 1)] = 0 uma a) famlia de parbolas. b) famlia de circunferncias centradas na origem. c) famlia de retas. d) parbola passando pelo ponto Q(0,1). e) circunferncia centrada na origem. 15. (Unesp 2006) Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, o coeficiente angular e a equao geral da reta que passa pelos pontos P e Q, sendo P = (2, 1) e Q o simtrico, em relao ao eixo y, do ponto Q' = (1, 2) so, respectivamente: a) 1/3; x - 3y - 5 = 0. b) 2/3; 2x - 3y -1 = 0. c) - 1/3; x + 3y - 5 = 0. d) 1/3; x + 3y - 5 = 0. e) - 1/3; x + 3y + 5 = 0.

16. (Unesp 2007) Um tringulo tem vrtices P = (2, 1), Q = (2, 5) e R = (x0, 4), com x0 > 0. Sabendo-se que a rea do tringulo 20, a abscissa x0 do ponto R : a) 8. b) 9. c) 10. d) 11. e) 12. 17. (Unesp 2008) Suponha que um planeta P descreva uma rbita elptica em torno de uma estrela O, de modo que, considerando um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, sendo a estrela O a origem do sistema, a rbita possa ser descrita aproximadamente pela

equao 2 2x y

100 25

+

= 1, com x e y em

milhes de quilmetros. A figura representa a estrela O, a rbita descrita pelo planeta e sua posio no instante em que o

ngulo PA mede 4

.

A distncia, em milhes de km, do planeta P estrela O, no instante representado na figura, : a) 2 5 . b) 2 10 . c) 5 2 . d) 10 2 . e)

5 10 . 18. (Unesp 2010) A figura mostra a representao de algumas das ruas de nossas cidades. Essas ruas possuem caladas de 1,5 m de largura, separadas por uma pista de 7 m de largura. Vamos admitir que:

I. os postes de iluminao projetam sobre a rua uma rea iluminada na forma de uma elipse de excentricidade 0,943;

II. o centro dessa elipse encontra-se verticalmente abaixo da lmpada, no meio da rua; III. o eixo menor da elipse, perpendicular calada, tem exatamente a largura da rua (caladas e pista).

Se desejarmos que as elipses de luz se tangenciem nas extremidades dos eixos maiores, a distncia, em metros, entre dois postes consecutivos dever ser de aproximadamente:

48

Dado: 0,9432 0,889 e 0,111

0,333

a) 35. b) 30. c) 25. d) 20. e) 15. TEXTO PARA AS PRXIMAS 2 QUESTES: Uma fbrica utiliza dois tipos de processos, P1 e P2, para produzir dois tipos de chocolates, C1 e C2. Para produzir 1 000 unidades de C1 so exigidas 3 horas de trabalho no processo P1 e 3 horas em P2. Para produzir 1 000 unidades de C2 so necessrias 1 hora de trabalho no processo P1 e 6 horas em P2. Representando por x a quantidade diria de lotes de 1 000 unidades de chocolates produzidas pelo processo P1 e por y a quantidade diria de lotes de 1000 unidades de chocolates produzidas pelo processo P2, sabe-se que o nmero de horas trabalhadas em um dia no processo P1 3x + y, e que o nmero de horas trabalhadas em um dia no processo P2 3x + 6y.

19. (Unesp 2010) Dado que no processo P1 pode-se trabalhar no mximo 9 horas por dia e no processo P2 pode-se trabalhar no mximo 24 horas por dia, a representao no plano cartesiano do conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem, simultaneamente, s duas restries de nmero de horas possveis de serem trabalhadas nos processos P1 e P2, em um dia, :

a)

b)

c)

d)

e) 20. (Unesp 2010) Dado que o lucro na venda de uma unidade do chocolate produzido pelo processo P1 de R$ 0,50, enquanto que o lucro na venda de uma unidade do chocolate produzido pelo processo P2 de R$ 0,80, e se forem vendidas todas as unidades produzidas em um dia nos dois processos, no nmero mximo possveis de horas, o lucro obtido, em reais, ser: a) 3.400,00. b) 3.900,00. c) 4.700,00. d) 6.400,00. e) 11.200,00.

GABARITO

1)A 2)C 3)D 4)A 5)E 6)C 7)E 8)D 9)B 10)D 11)C 12)B 13)B 14)A 15)C 16)E 17)B 18)B

19)E 20)A

49

UNESP CONHECIMENTOS ESPECFICOS

1. (Unesp 1995) Considere o quadrado de lados paralelos aos eixos coordenados e circunscrito circunferncia de equao: x2 + y2 - 6x - 4y + 12 = 0.

Determine as equaes das retas que contm as diagonais desse quadrado. 2. (Unesp 1994) A figura adiante mostra os grficos de uma funo exponencial y = ax e da reta que passa pelo ponto (0, 5/3) e tem inclinao 10/7. Pelo ponto C = (1/2, 0) passou-se a perpendicular ao eixo x, que corta os grficos, respectivamente, em B e A.

Supondo-se que B esteja entre A e C, conforme mostra a figura, e que a medida do segmento AB dada por 8/21, determine o valor de a. 3. (Unesp 1994) Num sistema de coordenadas cartesianas retangulares de origem 0, considere os pontos A = (3, 0), B = (3, 5) e C = (0, 5). Seja 'r' a reta pelo ponto M = (1, 2) e que corta OC e AB em Q e P, respectivamente, de modo que a rea do trapzio OQPA seja metade da do quadrado OCBA. Determine a equao de 'r'. 4. (Unesp 1991) Seja AB o dimetro da circunferncia x2 + y2 - 6x - 8y + 24 = 0 contido na reta perpendicular a y = x + 7. Calcular as coordenadas de A e B. 5. (Unesp 1992) Determinar os pontos de abscissa 2 tais que, para cada um deles, o produto de suas distncias aos eixos coordenados igual ao quadrado de sua distncia reta y = x. 7. (Unesp 1993) Seja r uma reta pelo ponto ( 3 , -1). Indiquemos por A e B, respectivamente, os pontos em que r corta os eixos x e y. Seja, ainda, C o simtrico de B em relao origem. Se o

tringulo ABC equiltero, determine a equao de r. 8. (Unesp 1989) Ache os coeficientes angulares das retas r e s da figura a seguir e verifique se elas so ortogonais.

9. (Unesp 1989) Usando apenas o material permitido nesta prova, esboce um grfico e indique por meio de hachuras o conjunto dos pontos P(x,y) IR2 que satisfazem ao seguinte sistema de desigualdades:

2 2

0 xy 1

x y 2

+

10. (Unesp 1989) Usando apenas o material permitido nesta prova, determine aproximadamente os coeficientes angulares das retas "r" e "s" da figura a seguir, sabendo que as escalas dos eixos x e y so iguais.

11. (Unesp 1996) Se M = (5/2, 0) o ponto mdio do segmento cujos extremos so as intersees da circunferncia x2 + y2 + mx - y - 4 = 0 com o eixo x, determine o centro dessa circunferncia. 12. (Unesp 1990) A reta r perpendicular reta -3x + 4y - 5 = 0 e passa pelo ponto (1, 2). Determine os pontos de r que distam 5 unidades do ponto (1, 2).

50

13. (Unesp 1997) O tetraedro VABC da figura a seguir regular e sua base encontra-se sobre um plano cartesiano, em relao ao qual seus

vrtices tm coordenadas A 1,02

, B1

,02

e

C

30,2

.

Dando-se face ABV uma rotao em torno da aresta AB, no sentido indicado pela figura, at faz-la coincidir com o plano ABC da base, quais as coordenadas do ponto P que o vrtice V ocupar aps a rotao? 14. (Unesp 1998) Os vrtices da base de um tringulo issceles so os pontos (1, -1) e (-3, 4) de um sistema de coordenadas cartesianas retangulares. Qual a ordenada do terceiro vrtice, se ele pertence ao eixo das