APOSTILA 9 - CISALHAMENTO

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  • 1 Cisalhamento

    CISALHAMENTO

    1. Cisalhamento nas ligaes

    Nas ligaes, o cisalhamento calculado pela diviso da fora cisalhante pela rea cisalhada.

    Denominamos a tenso de cisalhamento pela letra

    grega tau ()

    = Fora / rea = P / (b.f)

    EXEMPLO:

    O n principal de uma trelia de madeira o encontro entre a empena (pea inclinada) e o tirante (pea horizontal). Se a empena (8 x 12) cm est inclinada em 23 em relao ao tirante (8 x 16) cm e est submetida a um esforo de 2500 daN, verifique qual a mnima dimenso f necessria para suportar o carregamento, sabendo-se que a

    tenso de cisalhamento admissvel (admissvel) da madeira utilizada de 27 daN /cm.

    P

    P

    b

    f

    23

    16

    8 cm

    P = 2500 daN

    f = ?

    tirante

    empena

  • 2 Cisalhamento

    Resoluo:

    O critrio de segurana :

    admissvel Ento:

    = Fora / rea = P / (b.f) admissvel

    = 2500 x cos 23 / (8.f) 27

    f 2500 x cos 23 / (8 x 27) = 10,7 cm @ 11 cm

    Como a madeira costuma apresentar trincas de topo, por segurana, soma-se mais 10 cm. Assim sendo:

    fprojeto = f + 10 = 21 cm

    2. Cisalhamento longitudinal em vigas

    Considere uma viga cuja seo a mostrada abaixo. Vamos analisar um trecho longitudinal dx dessa viga.

    Ento, o volume em anlise ser:

  • 3 Cisalhamento

    Estudaremos o equilbrio do elemento de viga mostrado, delimitado pela sees (x) e (x+dx). As resultantes das traes que atuam sobre as duas sees no so iguais e o equilbrio feito pela fora horizontal, resultante das tenses

    de cisalhamento .

    Chamando os momentos fletores na abscissa (x ) e

    (x+dx ) de Mx e Mx+dx, tem-se:

    A integral de y.dS, que apareceu na integral, ser denominada Momento Esttico em relao linha neutra, e ter como notao o smbolo MS.

    Analogamente:

    porque:

    Pelo Teorema de Cauchy, a tenso cisalhante vertical igual horizontal, e, portanto, calculada pela mesma

    frmula: v = h = V. MS / (b.J) onde : V = fora cortante na seo;

    MS = momento esttico da seo;

    b = largura da seo;

    J = momento de inrcia da seo.

  • 4 Cisalhamento

    O desenvolvimento das tenses de cisalhamento sobre a seo da viga bastante tpico: nulo nas faces superior e inferior e apresenta seu maior valor no CG da seo.

    Vejamos o caso de viga com seo retangular.

    O ltimo diagrama a representao das tenses de cisalhamento.

    Clculo do Momento Esttico

    Primeiramente precisamos escolher em que altura, em relao ao CG, queremos calcular o valor da tenso. Vamos chamar essa altura de y.

    MS = (rea acima de y).(distncia d entre CGs)

    MS = [b.(h/2 y)] . [y + (h/2 y)/2]

    Em geral, interessa calcular a mxima tenso de cisalhamento, e que ocorre no CG.

    Para o caso da seo retangular, a mxima tenso de cisalhamento fica:

    max = V. MS / (b.J)

    d

    b

    CG

    y

    h

  • 5 Cisalhamento

    que calculado no CG.

    J = bh / 12

    MS = (b.h/2).h/4 = b.h/8

    max = V. MS / (b.J) = V. (bh/8)/(b.bh/12)

    = V. 12 bh/8 bh = 3/2 . V / (bh)

    = 1,5 V/rea

    Obs.: (essa expresso simples s vale para seo retangular)

    EXEMPLOS:

    1) Calcule a tenso normal e a tenso cisalhante nos pontos I, J e K .

    Resoluo:

    d = h/4

    b

    CG h

  • 6 Cisalhamento

    a) Esforos internos na seo transversal que contm os trs pontos:

    b) Clculo da tenso normal de flexo ():

    c) Clculo da tenso de cisalhamento ():

  • 7 Cisalhamento

    2) Determinar a maior carga q (kN/m) que a viga representada abaixo suporta, sabendo-se que:

    adm = 10 MPa adm = 1,5 MPa a = 2 m

  • 8 Cisalhamento

  • 9 Cisalhamento

    3. Centro de Cisalhamento (CC)

    Todo carregamento que provoca esforo cortante gera, como efeito colateral, tambm um momento toror dado que aparece devido distncia entre o ponto de aplicao do esforo e um ponto denominado Centro de Cisalhamento.

    Se a barra flexionasse sem toro, seria possvel utilizar-se a expresso de cisalhamento longitudinal em vigas, j vista. Para que isso ocorra a carga tem que ser aplicada no CC.

    Em peas com dois eixos de simetria o CC coincide com o centro de gravidade da seo e nesse caso a flexo e toro esto desacopladas e uma viga ou pilar pode ter flexo sem toro ou toro sem flexo.

    Quando existe apenas um eixo de simetria o centro de cisalhamento est situado sobre ele, mas aparecer toro se o carregamento no estiver sobre o CC.

  • 10 Cisalhamento

    Portanto, o CC um ponto situado no plano da seo transversal de um elemento prismtico como uma viga ou um pilar tal que qualquer carregamento que passe por ele no produzir momento toror na seo transversal da pea, pois a distncia acima citada se anula.

    Entretanto, em vigas ou pilares com assimetrias em sua seo transversal necessrio determinar o centro de cisalhamento para se calcular corretamente as tenses.

    Para se determinar a posio do Centro de Cisalhamento (ponto O na figura abaixo) basta fazer-se o equilbrio das tenses de cisalhamento que surgem nas abas da seo em estudo.

    As duas flanges horizontais tem resultantes Faba de mesma intensidade, porm com direes contrrias, formando, assim um binrio de distncia d que a distncia entre os dois eixos horizontais. esse binrio que ser responsvel pela resistncia da seo toro, mas para que isso acontea necessrio que a resultante V da alma esteja agindo no ponto O, distante e do eixo da alma.

    Para cada tipo de seo, a frmula para a posio do CC se modificar pois depende do fluxo de tenses provocado nas abas,

    Por exemplo, considere-se a viga U colocada na posio mostrada.

  • 11 Cisalhamento

    O valor de Faba encontrado pelo clculo do fluxo de tenses.

    O fluxo de cisalhamento dado por:

    f = V.Ms / I

    A rea da seo transversal pode ser dividida em 3 retngulos (2 abas e uma alma). Como se admite que cada componente seja fino (t estreito), o momento de inrcia I em torno do eixo neutro :

    Pela figura, um elemento dx em uma posio x qualquer produzir o fluxo (nas expresses seguintes V = Q)

    b

    V=P

  • 12 Cisalhamento

    A fora na aba fica:

    Equilibrando-se os momentos:

    Da, resulta e, para a seo U tombada, e que depende apenas da geometria da seo:

    EXEMPLO

    Determine o CC para seo da figura.

    Resoluo:

    e = b / [(h/3)+2b] = 45,82 / [(101,6 / 3)+2 x 45,82]

    e = 16,73 mm

    e 101,6 mm

    CC

    45,82 mm