1 Cisalhamento

CISALHAMENTO

1. Cisalhamento nas ligações

Nas ligações, o cisalhamento é calculado pela divisão da força cisalhante pela área cisalhada.

Denominamos a tensão de cisalhamento pela letra

grega “tau” (τ)

τ = Força / Área = P / (b.f)

EXEMPLO:

O nó principal de uma treliça de madeira é o encontro entre a empena (peça inclinada) e o tirante (peça horizontal). Se a empena (8 x 12) cm² está inclinada em 23° em relação ao tirante (8 x 16) cm² e está submetida a um esforço de 2500 daN, verifique qual a mínima dimensão f necessária para suportar o carregamento, sabendo-se que a

tensão de cisalhamento admissível (τadmissível) da madeira utilizada é de 27 daN /cm².

P

P

b

f

23°

16

8 cm

P = 2500 daN

f = ?

tirante

empena

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Resolução:

O critério de segurança é:

τ ≤ τadmissível

Então:

τ = Força / Área = P / (b.f) ≤ τadmissível

τ = 2500 x cos 23° / (8.f) ≤ 27

f ≥ 2500 x cos 23° / (8 x 27) = 10,7 cm @ 11 cm

Como a madeira costuma apresentar trincas de topo, por segurança, soma-se mais 10 cm. Assim sendo:

fprojeto = f + 10 = 21 cm

2. Cisalhamento longitudinal em vigas

Considere uma viga cuja seção é a mostrada abaixo. Vamos analisar um trecho longitudinal “dx” dessa viga.

Então, o volume em análise será:

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Estudaremos o equilíbrio do elemento de viga mostrado, delimitado pela seções (x) e (x+dx). As resultantes das trações que atuam sobre as duas seções não são iguais e o equilíbrio é feito pela força horizontal, resultante das tensões

de cisalhamento τ.

Chamando os momentos fletores na abscissa (x ) e

(x+dx ) de Mx e Mx+dx, tem-se:

A integral de y.dS, que apareceu na integral, será denominada Momento Estático em relação à linha neutra, e terá como notação o símbolo MS.

Analogamente:

porque:

Pelo Teorema de Cauchy, a tensão cisalhante vertical é igual à horizontal, e, portanto, é calculada pela mesma

fórmula: ττττv = ττττh = V. MS / (b.J)

onde : V = força cortante na seção;

MS = momento estático da seção;

b = largura da seção;

J = momento de inércia da seção.

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O desenvolvimento das tensões de cisalhamento sobre a seção da viga é bastante típico: é nulo nas faces superior e inferior e apresenta seu maior valor no CG da seção.

Vejamos o caso de viga com seção retangular.

O último diagrama é a representação das tensões de cisalhamento.

Cálculo do Momento Estático

Primeiramente precisamos escolher em que altura, em relação ao CG, queremos calcular o valor da tensão. Vamos chamar essa altura de “y”.

MS = (Área acima de y).(distância “d” entre CG’s)

MS = [b.(h/2 – y)] . [y + (h/2 – y)/2]

Em geral, interessa calcular a máxima tensão de cisalhamento, e que ocorre no CG.

Para o caso da seção retangular, a máxima tensão de cisalhamento fica:

ττττmax = V. MS / (b.J)

d

b

CG

y

h

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que é calculado no CG.

J = bh³ / 12

MS = (b.h/2).h/4 = b.h²/8

ττττmax = V. MS / (b.J) = V. (bh²/8)/(b.bh³/12)

= V. 12 bh²/8 b²h³ = 3/2 . V / (bh)

= 1,5 V/área

Obs.: (essa expressão simples só vale para seção retangular)

EXEMPLOS:

1) Calcule a tensão normal e a tensão cisalhante nos pontos I, J e K .

Resolução:

d = h/4

b

CG h

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a) Esforços internos na seção transversal que contém os três pontos:

b) Cálculo da tensão normal de flexão (σ):

c) Cálculo da tensão de cisalhamento (τ):

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2) Determinar a maior carga “q” (kN/m) que a viga representada abaixo suporta, sabendo-se que:

σσσσadm = 10 MPa ττττ adm = 1,5 MPa a = 2 m

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3. Centro de Cisalhamento (CC)

Todo carregamento que provoca esforço cortante gera, como efeito colateral, também um momento torçor dado que aparece devido à distância entre o ponto de aplicação do esforço e um ponto denominado Centro de Cisalhamento.

Se a barra flexionasse sem torção, seria possível utilizar-se a expressão de cisalhamento longitudinal em vigas, já vista. Para que isso ocorra a carga tem que ser aplicada no CC.

Em peças com dois eixos de simetria o CC coincide com o centro de gravidade da seção e nesse caso a flexão e torção estão desacopladas e uma viga ou pilar pode ter flexão sem torção ou torção sem flexão.

Quando existe apenas um eixo de simetria o centro de cisalhamento está situado sobre ele, mas aparecerá torção se o carregamento não estiver sobre o CC.

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Portanto, o CC é um ponto situado no plano da seção transversal de um elemento prismático – como uma viga ou um pilar – tal que qualquer carregamento que passe por ele não produzirá momento torçor na seção transversal da peça, pois a distância acima citada se anula.

Entretanto, em vigas ou pilares com assimetrias em sua seção transversal é necessário determinar o centro de cisalhamento para se calcular corretamente as tensões.

Para se determinar a posição do Centro de Cisalhamento (ponto “O” na figura abaixo) basta fazer-se o equilíbrio das tensões de cisalhamento que surgem nas abas da seção em estudo.

As duas flanges horizontais tem resultantes Faba de mesma intensidade, porém com direções contrárias, formando, assim um binário de distância “d” que é a distância entre os dois eixos horizontais. É esse binário que será responsável pela resistência da seção à torção, mas para que isso aconteça é necessário que a resultante V da alma esteja agindo no ponto O, distante “e” do eixo da alma.

Para cada tipo de seção, a fórmula para a posição do CC se modificará pois depende do fluxo de tensões provocado nas abas,

Por exemplo, considere-se a viga U colocada na posição mostrada.

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O valor de Faba é encontrado pelo cálculo do fluxo de tensões.

O fluxo de cisalhamento é dado por:

f = V.Ms / I

A área da seção transversal pode ser dividida em 3 retângulos (2 abas e uma alma). Como se admite que cada componente seja fino (t estreito), o momento de inércia I em torno do eixo neutro é:

Pela figura, um elemento dx em uma posição x qualquer produzirá o fluxo (nas expressões seguintes V = Q)

b

V=P

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A força na aba fica:

Equilibrando-se os momentos:

Daí, resulta “e”, para a seção U tombada, e que depende apenas da geometria da seção:

EXEMPLO

Determine o CC para seção da figura.

Resolução:

e = b² / [(h/3)+2b] = 45,82² / [(101,6 / 3)+2 x 45,82]

e = 16,73 mm

������������

e 101,6 mm

CC

45,82 mm