Teste t de Student para o caso de uma amostra (Teste de hiptesespara a mdia populacional) Exemplo:Quinze alunos foram inquiridos quanto ao seu grau de satisfao (numa escala de 0 a 100) em relao sua Universidade, obtendo-se os seguintes resultados: 75 60 55 80 52 90 60 91 72 58 77 80 66 40 62 Teste a hiptese de que a mdia 72, sendo =5%.

Resoluo usando o SPSS:H 0 : 1 = 72H 1 : 1 72 (Teste bilateral)

1

Output T-TestOne-Sample Statistics N Grau de satisfao 15 Mean 67,87 Std. Deviation 14,451 Std. Error Mean 3,731

One-Sample Test Test Value = 72 95% Confidence Interval of the Difference Lower Upper -12,14 3,87

Grau de satisfao

t -1,108

df 14

Sig. (2-tailed) ,287

Mean Difference -4,133

2

Interpretao:Neste exemplo, dado tratar-se de um teste bilateral, compara-se directamente o valor de p-value=0.287 com =0.05 (nvel de significncia). Como p-value=0.287 > 0.05 no se rejeita H0. Assim, no h evidncia estatstica para rejeitar a hiptese de que a mdia de satisfao (numa escala de 0 a 100) em relao sua Universidade na populao de alunos que frequentam aquela Universidade 72, com =0.05.

Testes de hipteses para a diferena entre duas mdias populacionais)A) Teste t de Student para amostras independentesExemplo:Com o objectivo de testar a influncia do olfacto no sono dos recm nascidos, foi registado o tempo (em minutos) que um beb com uma semana demora a adormecer, tendo sido considerados dois grupos de bebs: grupo I (em que se colocou no bero uma pea de roupa utilizada pela me) e grupo II (em que se colocou no bero uma pea de roupa utilizada por outra pessoa). Os resultados obtidos encontram-se no quadro seguinte: Grupo I 2 5 4 6 8 9 7 5 6 5 Grupo II 9 3 8 7 10 11 9 11 7 8 Sabendo que a varivel em estudo segue uma distribuio normal, teste se existem diferenas significativas entre o tempo que os dois grupos de bebs levaram a adormecer (=0.05).

Resoluo usando o SPSS:H 0 : 1 2 = 0 ou H 0 : 1 = 2H1 : 1 2 0 ou H1 : 1 2 (Teste bilateral)

3

Analyze/compare means/independent sample t-test

4

T-TestGroup Statistics Grupo 1 2 N 10 10 Mean 5,70 8,30 Std. Deviation 2,003 2,359 Std. Error Mean ,633 ,746

tempo levado at adormecer

5

Independent Samples Test Levene's Test for Equality of Variances t-test for Equality of Means 95% Confidence Interval of the Difference Lower Upper -4,656 -4,660 -,544 -,540

F tempo levado Equal variance at adormece assumed Equal variance not assumed ,103

Sig. ,751

t -2,657 -2,657

df 18 17,537

Mean Std. Error Sig. (2-tailed) Difference Difference ,016 ,016 -2,600 -2,600 ,979 ,979

Interpretao:A primeira tabela apresenta as medidas descritivas dos dados (dimenso n de cada amostra), mdia, desvio-padro e erro-padro amostrais) e o segundo quadro diz respeito ao teste de Levene para a homogeneidade (igualdade) das varincias e ao teste t para a comparao de duas mdias no caso de duas amostras independentes. No teste de Levene, as hipteses so:2 H 0 : 12 = 2

2 H 0 : 12 2

Note que neste caso no que concerne ao teste de Levene p=0.751, pelo que no se rejeita a hiptese de que, neste exemplo, as varincias so iguais. Assim, considera-se que as varincias populacionais, embora desconhecidas, so iguais. O quadro anterior apresenta a seguir o valor da estatstica do teste (t) para a igualdade das mdias, o nmero de graus de liberdade e a probabilidade de significncia do teste (nvel de significncia descritivo do teste/p-value - sig.). Neste exemplo, dado tratar-se de um teste bilateral, compara-se directamente pvalue=0.016 com =0.05 (nvel de significncia). Como p-value=0.016 0.05 rejeita-se H0. Assim, podemos afirmar com 95% de confiana que existem diferenas significativas entre o tempo que os dois grupos de bebs levaram a adormecer.Obs. Se o teste fosse unilateral comparava-se o valor de p-value/2 com o valor de .

6

B) Teste t de Student para amostras emparelhadas;Exemplo:Um grupo de 10 pessoas submetido a um tipo de dieta durante um ms, sendo avaliado o peso no incio da dieta (X) e no final da dieta (Y), tendo-se obtido os seguintes resultados: X Y 120 116 104 102 93 90 87 83 85 86 98 97 102 98 106 108 88 82 90 85

Ao nvel de 5%, podemos concluir que houve diminuio do peso mdio pela aplicao da dieta?Resoluo usando o SPSS:

H 0 : 1 2 = 0 ou H 0 : 1 = 2H1 : 1 2 > 0 ou H1 : 1 > 2 (Teste unilateral direita)

7

Output T-TestPaired Samples Statistics Mean 97,30 94,70 N 10 10 Std. Deviation 10,924 11,499 Std. Error Mean 3,455 3,636

Pair 1

X Y

Paired Samples Correlations N Pair 1 X&Y 10 Correlation ,975 Sig. ,000

Paired Samples Test Paired Differences 95% Confidence Interval of the Difference Lower Upper ,747 4,453

Pair 1 X - Y

Mean Std. Deviation 2,600 2,591

Std. Error Mean ,819

t 3,174

df 9

Sig. (2-tailed) ,011

Interpretao:O valor da estatstica do teste 3.174.

8

Neste exemplo, como o teste unilateral, o valor do p-value dado pelo output deve ser p value dividido por 2 e comparado apenas com . Assim, 0.0055 0.05 , logo 2 rejeita-se H0, podendo afirmar-se, com 95% de confiana, que houve diminuio do peso mdio pela aplicao da dieta.

9

Teste de aderncia do Qui-Quadrado - Resoluo no SPSS Exemplo 1:Um modelo de carro de determinada marca vendido no mercado em 5 cores: vermelha, branca, preta, azul e cinzenta. Num estudo de mercado para saber a popularidade das vrias cores, analisou-se uma amostra casual tendo-se obtido os seguintes resultados:

Cor N de Observaes

v 88

b 65

p 52

a 45

c 50

Em face desta amostra, haver razes para dizer que h preferncia por determinada cor ?

10

Output:NPar Tests Chi-Square Test Frequencies

11

cor v b p a c Total Observed N 88 65 52 45 50 300 Expected N 60,0 60,0 60,0 60,0 60,0 Residual 28,0 5,0 -8,0 -15,0 -10,0

Test Statistics Chi-Squarea df Asymp. Sig. cor 19,967 4 ,001

a. 0 cells (,0%) have expected frequencies less than 5. The minimum expected cell frequency is 60,0.

Exerccio 2:Uma moeda foi lanada ao ar 100 vezes e observaram-se 42 caras e 58 coroas. Sero os resultados compatveis com a hiptese de que a moeda no viciada.

Output:NPar Tests Chi-Square Test Frequenciesface cara coroa Total Observed N 42 58 100 Expected N 50,0 50,0 Residual -8,0 8,0

12

Test Statistics Chi-Squarea df Asymp. Sig. face 2,560 1 ,110

a. 0 cells (,0%) have expected frequencies less than 5. The minimum expected cell frequency is 50,0.

Exerccio 3:O ltimo algarismo de 60 nmeros telefnicos escolhidos ao acaso de uma lista foi: N 0 1 3 2 2 3 5 4 4 5 11 6 5 7 11 8 6 9 5

Freq. 8

Ser razovel admitir a equiprobabilidade dos nmeros?

Output:NPar Tests Chi-Square Test Frequencies

13

NUMERO 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Total Observed N 8 3 2 5 4 11 5 11 6 5 60 Expected N 6,0 6,0 6,0 6,0 6,0 6,0 6,0 6,0 6,0 6,0 Residual 2,0 -3,0 -4,0 -1,0 -2,0 5,0 -1,0 5,0 ,0 -1,0

Test Statistics Chi-Squarea df Asymp. Sig. NUMERO 14,333 9 ,111

a. 0 cells (,0%) have expected frequencies less than 5. The minimum expected cell frequency is 6,0.

14

Teste de Homogeneidade do Qui-Quadrado Exemplo:Um investigador efectuou uma experincia para determinar o efeito da

idade de um conferencista sobre a disposio estudantil para assistir s suas conferncias. Para tal, foram eleitos ao acaso 50 estudantes. A todos os estudantes foi feita uma descrio igual do professor conferencista excepto no que diz respeito idade: a metade foi dito que o professor tinha 65 anos e outra metade foi dito que tinha 30 anos. Mais tarde foi pedido aos alunos que manifestassem a sua disposio para assistir conferncia, obtendo-se os seguintes resultados: Situao experimental Estudantes a quem se Estudantes a quem se disse que o prof. disse que o prof. tinha 30 tinha 65 anos anos 8 15 17 25 10 25

Disposio para assistir conf. Com disposio Sem disposio Totais

Totais

23 27 50

Ser que existem diferenas entre os 2 grupos de estudantes quanto disposio para assistir conferncia (=0.05) ?

Resoluo no SPSS

Disp_conf- disposio para assistir conferncia Idade Situao experimental

15

16

Output:CrosstabsCase Processing Summary Cases Missing N Percent 0 ,0%

Valid N Disposio para assistir conferncia * Situao experimental 50 Percent 100,0%

Total N 50 Percent 100,0%

17

Chi-Square Tests Value 3,945b 2,899 4,000 50 df 1 1 1 Asymp. Sig. (2-sided) ,047 ,089 ,045 Exact Sig. (2-sided) Exact Sig. (1-sided)

Pearson Chi-Square Continuity Correctiona Likelihood Ratio Fisher's Exact Test N of Valid Cases

,088

,044

a. Computed only for a 2x2 table b. 0 cells (,0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is 11,50.

Teste de Independncia do Qui-Quadrado Exemplo: Inquiriu-se 200 pessoas sobre a frequncia com que vem TV e sobre o tipode analgsicos antipirticos que consumiam. A informao obtida resultou na seguinte tabela: Frequncia com que v TV Nunca Por vezes Com frequncia Total Analgsicos A B C 10 10 5 25 40 9 40 31 30 75 81 44 18 Total 25 74 101 200

Haver alguma relao entre o consumo de analgsicos e a frequncia com que se v televiso ? Comente.

Resoluo no SPSS

Output:CrosstabsCase Processing Summary Cases Missing N Percent 0 ,0%

Valid N Frequncia com que v TV * Analgsicos 200 Percent 100,0%

Total N 200 Percent 100,0%

19

Chi-Square Tests Value 12,215a 12,486 200 df 4 4 Asymp. Sig. (2-sided) ,016 ,014

Pearson Chi-Square Likelihood Ratio N of Valid Cases

a. 0 cells (,0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is 5,50.

20

Teste de Fisher Exemplo: Um estudo sobre hbitos tabgicos e consumo de lcool pretendia comparar dois grupos de indivduos, fumadores e no-fumadores, quanto proporo de consumidores de lcool. Recolhida uma amostra de 9 pessoas, obtiveram-se os seguintes dados:Fumadores Consumidor de lcool No consumidor de lcool Totais Pretende-se testar se (=0.05): a) a proporo de consumidores de lcool menor no grupo de fumadores; b) a proporo de consumidores de lcool maior no grupo de fumadores; c) a proporo de consumidores de lcool igual nos dois grupos; 1 3 4 No Fumadores 3 2 5 Totais 4 5 9

Resoluo no SPSS

Output:CrosstabsCase Processing Summary Cases Missing N Percent 0 ,0%

Valid N Alcool * Fumador 9 Percent 100,0%

Total N 9 Percent 100,0%

Alcool * Fumador Crosstabulation Count Fumador no Alcool Total no sim 2 3 5 sim 3 1 4 Total 5 4 9

21

Chi-Square Tests Value 1,102b ,141 1,137 df 1 1 1 Asymp. Sig. (2-sided) ,294 ,708 ,286 Exact Sig. (2-sided) Exact Sig. (1-sided)

Pearson Chi-Square Continuity Correctiona Likelihood Ratio Fisher's Exact Test Linear-by-Linear Association N of Valid Cases

,524 ,980 9 1 ,322

,357

a. Computed only for a 2x2 table b. 4 cells (100,0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is 1,78.

Nota: Para realizar o teste de Fisher usa-se os mesmos comandos do SPSS usados no caso do teste do qui-quadrado. A nota de rodap do 2 quadro indica que 100% dos Eij so inferiores a 5. Neste caso no se deve utilizar o teste do qui-quadrado. A alternativa o teste de Fisher, cuja probabilidade de significncia unilateral 0.357. O SPSS fornece tambm a probabilidade de significncia exacta para um teste bilateral, neste caso, igual a 0.524. Para decidir sobre a rejeio ou no da hiptese nula deve-se, em ambos os casos, comparar-se p-value com , rejeitando-se a H0 quando p .

22

Teste de McNemar Exemplo: Suponha que uma determinada empresa decide fazer uma campanhapublicitria para promover um produto que tinha colocado no mercado h algum tempo. A admininstrao da empresa pretende saber se as preferncias dos consumidores se modificaram aps a campanha publicitria. As respostas de 70 consumidores, aos quais se perguntou, antes e depois da campanha, se consumiam o produto em causa, encontram-se resumidas no quadro seguinte: Depois da campanha No Antes da campanha Sim No 5 33 Sim 12 20

Ter existido uma mudana significativa no consumo do produto em causa (=0.05) ?

Resoluo no SPSS Input:

- Nonparametric tests > -

23

Output:NPar Tests McNemar Test CrosstabsAntes & Depois Depois Antes 0 1 0 33 5Test Statisticsb Antes & Depois 70 ,004a

1 20 12

N Exact Sig. (2-tailed) b. McNemar Test

a. Binomial distribution used.

Sendo p = 0.004 < = 0.05 rejeitamos H0 e conclumos que houve uma mudana significativa do consumo aps a campanha publicitria.

24