GEOMETRIA TRILCE.pdf

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Central: 619-8100TRILCEColegios

Problemas resueltos

En el gráfico: L1. 1//L2//L3; L4//L5. Calcular "x".

4β80º

L3

L2

L1

L5L4

x

β

θθ

Resolución:

4β 50º

B

E

F

80º

L3

L2

L1

L5L4

x

β

θθ

L1//L2 : 2θº+80º=180º ⇒ θ=50º

L2//L3 : mBEBF=50º

L4//L5 : 5β=2θ

5β=100º ⇒ βº=20º

∆EBF : 50º+x=4βº 50º+x=4(20º) \x=30º.

En el gráfico mostrado, calcule: a+b.2.

α 2α

30º2θ

θβ

γγ

β

a

b

Resolución:

α 2α

2θ30º θ

β

γγ

β

a a 25ºb

b

Enel∆ABC :3α+3θ=150º : α+θ=50º Por Prop.

mBEBF=2

α θ+ = º2

50 =25º

∆FNG :25º+a+b=180º \ a+b=155º.

En el gráfico mostrado, calcule "x".3.

B2B

nºnº

xx

m m

θ

θ

Resolución:

B2BB

B

A

m mS

T

2B

nºnº

xx θθ

θ C

m

2x

m

90º+x2

Piden: "x"

Por propiedad de bisectrices interior y exterior: mBABC=4B ∆BTS:Prop.Bisectrizinterioryexterior mBBTS=2x. ∆ABC: Prop. Bisectrices interiores

mBATB=90º+ x2

.

90º+ x2

+2x=180º

\x=36º.

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En el gráfico, 1. a // b , αº + θº=160º y el ángulo PQS es recto, calcule el valor de "β".

P

Q

aαº

βº

θº bS

a) 35º b) 40º c) 50º d) 55º e) 80º

En el gráfico, calcule "x"2. :

xºαº βº

7βº

8θºθº φº 8φº

7αº

a) 140º b) 110º c) 100º d) 160º e) 120º

En el gráfico, 3. αº=24º. Calcule el valor de "θº".

θºθº θº

θºαº

a) 28° b) 36º c) 39º d) 42º e) 52º

Tenemos 4. m // n , el ángulo AOB es recto.Calcule el valor de "α".

mA

BO

αº

αº

αºn

a) 12º b) 15º c) 30º d) 45º e) 60º

Problemas para clase

En un triángulo ABC, se ubica en4. AB y BC los puntos "P" y "Q", respectivamente. mBBAQ=30º,mBQAC=50º,mBPCA=60ºyAB=BC.CalculemBQPC.

Resolución:

a

a

a

60º

a

a30º20º

20º80º

50º

50º

60º40º

40º

40º x

A

E

P

Q

B

C

Piden: "x" SetrazaCE tal que mBECA=20º ∆EQC:equilátero. ∆EPQ:isósceles: 40+x=70º \x=30º.

Según el gráfico, calcule 5. α+β+θ, si AN=AT,BM=BR y CS=CP.

MB

R

S

PCA

β

θα

NT

Resolución:M

B

R

S

PCA

aa2a

b 2b

2c

c

c

β

θ

b

α

NT

Piden : α+β+θ ∆ABC : 2a+2b+2c=180º a+b+c=90º

∆TRS : a+α+β+b+θ+c=360º

90ºa+b+c+α+β+θ=360º

\ α+β+θ=270º.

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Si: 5. m // n , calcule el valor de "x".

160º

160º

xº

2xº

m

nx+40º

xº+10º

a) 5° b) 10º c) 15º d) 20º e) 30º

En el gráfico: 6. a // b ; m // n y α=66º, calcule "x".a

m

n

αº

3xº

βº

φºφº

βº

b

a) 66º b) 60º c) 33º d) 15º e) 11º

Si: 7. L1// L2, calcule el valor de "x".

φº φº 64º

2xºαº

αº

L1

L2

a) 40º b) 36º c) 32º d) 16º e) 8º

Si:BA=AD=DC,calcule:m8. BBCD.

5αº

3αº

αº

A C

DB

a) 12º b) 10º c) 15º d) 18º e) 16º

En el gráfico mostrado, calcule "xº", si: 9. β=50º.

αº

αº

βº

βº

βº

xº

a) 90º b) 100º c) 120º d) 130º e) 150º

Si : 10. a // b ,calcule:xº+yº+zº.

αº αº

αº

αº

a

b

xºzºyº

a) 120º b) 135º c) 150º d) 165º e) 180º

Si: 11. L1// L2// L3 ; αº+βº=200º. Calcule el valor delánguloABC.

L1

L2

L3

A

Bβº

αºaº

bºbº

aº

C

a) 60° b) 70º c) 80º d) 90º e) 100º

Si : 12. L1// L2 ; b° - a°=70°. Hallar "xº"

aº

xº

bº

L1

L2

a) 50º b) 60º c) 70º d) 75º e) 90º

Si:13. a // b , AB// EF, α=22º y θ=144º, calcule el valor de "x°".

θºαº

xº

A

a b

B

E

F

a) 54º b) 58º c) 78º d) 122º e) 128º

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Geometría

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En el gráfico mostrado, calcule la medida del 1. ánguloABC.

aºaº

120º 40ºA

B

C D

a) 20º b) 60º c) 30º d) 40º e) 50º

En el gráfico mostrado, calcule: y - x.2.

80º 60ºx y

a a

a) 20º b) 10º c) 60º d) 30º e) 25º

En el gráfico mostrado, hallar el valor de "xº".3.

dº dº

cºcº

xº

bºbº aº

aº80º

a) 20º b) 15º c) 35º d) 10º e) 25º

Los lados de un triángulo miden 8, "x" y "3x", 4. calcule el valor entero de "x".

a) 1µ b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

EnuntriánguloABC,AB=55. µ, BC=9µ. Calcule la diferencia entre el máximo y el mínimo valor enteroquepuedetomarAC.

a) 9µ b) 7 c) 6 d) 8 e) 5

EnuntriánguloABC,setrazanlascevianas6. BE y BD, donde "E" ∈ADy m EBD

3B =m DBC

2B =mBABE=xº,AB=ADy

BC=EC, calcule "xº".

a) 10º b) 12º c) 15º d) 18º e) 20º

En el gráfico mostrado, calcule "xº".7.

4aº 4bºaº bº

x

a) 120º b) 118º c) 144º d) 132º e) 126º

En el gráfico mostrado, calcular "xº".8.

aº 2aº

2bº bºbº

xº

a) 120º b) 150º c) 144º d) 135º e) 105º

Tarea domiciliaria

En la figura 14. L1// L2, si: mº+nº+qº=135º, calcule: (αº+θº)

48º

mº nº qº86º

αº θº

L1

L2

a) 93º b) 97º c) 100º d) 107º e) 108º

En el gráfico: 15. L1// L2. Calcule el valor de "x°".

xº

2αº

2θº

θºαº

αº

L1

L2

a) 30º b) 37º c) 40º d) 45º e) 60º

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Enun triángulorectánguloABC, rectoen"B",9. se traza la cevianaCM. Si CM=12µ, MB=2x y AC=3x+6, calcule los valores enteros quepuede tomar "x".

a) 2,3,4,5,6 b) 2,3,4 c) 3,4,5 d) 4,5,6 e) 3,4

DadoeltriánguloobtusánguloABC,obtusoen10. "C",AC=6cmyBC=4cm.Calcular lasumadelmáximoymínimovalorenterodeAB.

a) 13 cm b) 14 cm c) 17 cm d) 12 cm e) 16 cm

Dada la región triangular ABC cuyo perímetro es11. iguala10m.(endicharegióndeubicaelpunto"P").CalcularPA+PC,sabiendoquedichasumaesenteroyqueademásACtomasumáximovalorentero.

a) 6,5 m b) 5,5 c) 4 d) 5 e) 6

EnuntriánguloisóscelesABCcuyabasees12. AC, se ubican los puntos "P" en AB y "Q" en BC de modo que: mBPAQ=20º,mBACP=50ºymBPCQ=30º. Calcule la mBPQA.

a) 30º b) 28º c) 29º d) 31º e) 32º

Los lados de un triángulo isóscelesmiden 513. µ y 12µ. Calcule el perímetro de la región deltriángulo.

a) 22µ b) 25 c) 24 d) 29 e) 30

Delgráficomostrado,calcule"xº".14.

100º

xº

xº

a) 120º b) 130º c) 135º d) 110º e) 145º

En el gráfico, halla el valor de "15. θº".

2θº 2θº

2θºθº

2θº

a) 10º b) 15º c) 18º d) 20º e) 25º

Cuál es el máximo valor entero de la longitud 16. de un lado de un triángulo, si el perímetro de su regiónesiguala40µ.

a) 20µ b) 21 c) 22 d) 19 e) 18

EnuntriánguloABC,enlosladosAByACse17. ubican los puntos "D" y "E" respectivamente,DE=EC=BC. La medida del ángulo BAC esiguala25ºyladelánguloADEesiguala35º.CalcularlamedidadeánguloABC.

a) 68º b) 85º c) 99º d) 70º e) 92º

En el gráfico, 18. L1// L2 yelánguloAOBesrecto.Luego, el suplemento del complemento de "αº" es:

αº

2αº

B

O

A

L2

L1

a) 30º b) 45º c) 60º d) 90º e) 120º

Calcular "x" si 19. L1// L2 y el triángulo ABC esequilátero.

7θ

x

θ

A

C

B

L2

L1

a) 100º b) 130º c) 120º d) 140º e) 110º

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Problemas resueltos

EnuntriánguloABC,setrazalamediana1. BM, si mBBAC=106ºymBBCA=23º.Calcule:mBBMA.

Resolución:

37º

3m

4m

6m5m

5mA M

ST

B

C5m

6m14º106º

x 23º

Sea : TA=AC ∆BST : NOT37ºy53º ∆BSC : NOT14ºy76º

:BTCM : Trapecioisósceles •BM//TC

` xº=37º.

EnuntriánguloABC,setrazalamediana2. BM, luegosetrazaAH⊥ BM (H ∈ BM). BH=2(HM). Calcule mBCBM. (mBABH=45º)Resolución:

452m

2m

2m

m

m

H

x

C

S

A

B

M

Piden "x" Se prolonga BM y luego CS ⊥ BM ∆AHM≅∆MSC HM=MS,AH=SC ∆BSC: NOT y

253

2127

` j

` X= 2

53

EnuntriánguloABC,setrazalaceviana3. BN, tal que BN=AC, mBBAC=100º, mBBCN=30º.Calcule mBNBC.

Resolución:

x

100º

50º

80º

80º

20º30º

N

B

A

T

C

SeprolongaBAtalqueTC=BT ∆BNCT:Prop.delcuadriláteronoconvexomBTBN=40º. \x=10º.

En un triángulo isósceles ABC (BC=AC), se4. trazalacevianaBL,talquemBBCA=2mBCBL. Calcule mBBCA,(AB=LC).

Resolución:B

A90º-α 2α

2α

30H L

E

S

S

SN

α

α

α

C

Piden: 2α SetrazaLE tal que mBLCE=2α SetrazaBH ⊥ AC,∆ABH≅ ∆BEN • BN=NL=BH(∆HBL:NOT30ºy60º) 30=α+2α α=10 \ 2α=20º.

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Delgráfico,calcule"x".1.

x x

θθ

αα

a) 12° b) 18º c) 24º d) 36º e) 60º

Calcule "xº"2. :B

A C

80º

xºαα θ

θ

a) 140° b) 130º c) 120º d) 110º e) 125º

En el gráfico, calcule el valor de "xº".3.

3xº

α

α

θ θ

4xº

a) 18º b) 16º c) 19º d) 12º e) 20º

EnuntriánguloABC,m4. BA-mBC=18º. Calcule lamedidadelángulo formadopor labisectrizinterior del BBylamediatrizdeAC.

a) 16º b) 24º c) 18º d) 12º e) 9º

En un triángulo ABC, m5. BA=2(mBC), la bisectriz interior BD prolongada intersecta en "E"a labisectrizexteriordelBC.Si:DE=8µ. Calcule CE.

a) 4µ b) 7 c) 8 d) 6 e) 10

EnuntriánguloABC,sobrelaprolongacióndel6. lado CB se ubica el punto "Q", tal que la medida delsuplementodelánguloAQCeseldobledelamedidadelánguloACB.CalculeQB. Si:AQ=9yBC=7.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

SobreelladoACdeuntriánguloABC,seubica7. elpunto"E",de talmaneraque:EB=AB=10,BC=16 y mBC=30°.CalculeEA.

a) 16 b) 15 c) 14 d) 13 e) 12

En la figura, calcule "8. α".

A

B

C

FαE

15º45º

a) 30º b) 24º c) 20º d) 18º e) 15º


En un triángulo rectángulo ABC recto en5. "B" (AB=BC), se ubica un punto interior "P"PA=AB,mBBCP=135º. Calcule mBBCP.

Resolución:B

A

135º

45º

I

H

P

α

a

a

a

a

θ

θθ

C

x

Piden: "x" SetrazaAH ⊥ BP BH=HP=α •∆ABH≅ ∆BIC(ALA)IC=BH

•∆BCI:NOT( º2

37 y º2

143 ) •θ= º2

37

•x+ º2

37 =45º

\ x= º2

53 .

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Geometría

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En la figura, calcule "9. θ".

A

B

C

M135º

8ºθ

a) 30º b) 31º c) 33º d) 35º e) 37º

Enelgráfico,calcule:"xº".AB=BC.10.

A

B

C

21º63º

30º

xº

a) 15º b) 20º c) 25º d) 30º e) 45º

En el gráfico 11. 2AB=2BC. Calcule: "α", si: AM=MB.

B

A

M

135º

αC

a) 15º b) 37/2º c) 12º d) 45/2º e) 8º

Enelgráfico,AM=MB,calcule"x".12. B

A

M

135º

Cx

53º/2

a) 10º b) 8º c) 12º d) 18º e) 16º

En un triángulo ABC, "M" punto medio de13. AC. Si: mBA=14º, mBC=25º/2, calcule la mBABM.

a) 75º b) 82º c) 90º d) 100º e) 105º

Enelgrafico,PB=PC,AB=BC,calcule"xº".14. B

A C

P

75º

xº

a) 14º b) 15º c) 37º/2 d) 53/2º e) 30º

EnuntriánguloABC,"P"puntomediode15. AC. Si la mBA=53º,mBC=23º, calcule la mBCBP.

a) 28º b) 30º c) 36º d) 37º e) 53º/2

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Tarea domiciliaria

Dosladosdeuntriánguloisóscelesmiden51. µ y 12µ. Calcular su perímetro.

a) 22µ b) 25 c) 27 d) 29 e) 31

Calcular "2. θ",si:AE=EF=FP=PB.

140º

3θ

2θAE

F

P

B

C

a) 10º b) 18º c) 15º d) 20º e) 24º

Calcular "x".3.

β

θ θ

β

xº 27º

a) 9º b) 18º c) 27º d) 15º e) 28º

Si 4. BC // ED, m - n=16º. Calcular "α".AD=DE.

A

B

C D

E

2xºxº

mºnº

αº

a) 16º b) 18º c) 22º d) 14º e) 26º

Calcular "5. θ" si los ángulos ACE y BFD sonsuplementarios.

A

B CD

EF

3θ

3θ

2θ

θ

a) 10º b) 12º c) 15º d) 18º e) 20º

Calcular el valor de "x", si: a+b=220º y 6. CN=NM.

θθ

x

b

a

M

N

C

a) 110º b) 120º c) 140º d) 150º e) 135º

EnuntriánguloABC,setieneque6AB=5ACy7. mBA=7º.CalculelamBC.

a) 37º b) 45º c) 30º d) 53º e) 60º

Segúnelgráfico,calcular"2x",siAB=AC.8. B

A C80º 70º

x θ

θ

a) 60º b) 40º c) 10º d) 20º e) 50º

EnuntriángulorectánguloABC,rectoen"B",9. setrazalacevianainteriorCM, de tal manera que mBBCM=39º.Calcule"AM".Si:BC=9,6y mBA=37º.

a) 6,4º b) 5º c) 4,8º d) 4º e) 3,2º

Según el gráfico, calcular: m+n.10.

θαα θ

40º 20ºm n

a) 220º b) 210º c) 145º d) 200º e) 250º

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Según el gráfico, calcular (x+y).11.

A40º

x

C

y

yy-α

α

B

a) 200º b) 210º c) 220º d) 280º e) 245º

Calcular el valor de "x". 12. si: 2mBABD+mBBCA=130º.

α α

60º2θºA D

R

C

B

x3θº

a) 40º b) 50º c) 30º d) 45º e) 35º

Calcular"x",siAD=DC=BC.13.

xº

35º 60º

B

A C

D

a) 85º b) 80 c) 65 d) 95 e) 75

CalcularBC,si:AB+AD=4.14.

αº

2θ θ

αº

A

B

CD

a) 3º b) 5º c) 7º d) 9º e) 4º

Calcular "x", del gráfico mostrado.15.

θβ

βθ

80º

x+m

mx

a) 8º b) 10º c) 12º d) 13º e) 15º

En la figura mostrada, calcular "xº" 16.

A

B

C

x

45º 30º

D

a) 10º b) 20º c) 30º d) 40º e) 25º

Sobre el lado 17. BCdeuntriánguloABC,seubicaelpunto"D", talquelamBADCes iguala lasemisumadelosángulosinterioresde"A"y"B".CalcularBD,siademás:AC=12µ y BC=16µ.

a) 14µ b) 10 c) 8 d) 4 e) 6

SetieneuntriánguloobtusánguloABC,obtuso18. en "C", de modo que mC! - mA!=32º. Calcular lamedida del ángulo que forman la bisectrizexterior BE y la altura BH.

a) 64º b) 68 c) 70 d) 72 e) 74

Enun triánguloABC lam19. BA=30ºmBC=7º, BC=10.Calcule:AC.

a) 12µ b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

EnuntriánguloABCsetrazalabisectrizinterior20. BD.SimBA-mBC=20º. Hallar mBBDC.

a) 100º b) 90 c) 105 d) 110 e) 120

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Problemas resueltos

En la figura, los triángulos ABC y CPQ son1. equiláteros. Calcule: mBBQP.

A

B

C

Q

P

Resolución:

a

A

B

C

Q

Pb

60º

α

θθ

x

60º

a

Se pide: "x" θ+α=60º ∆PQC : equilátero ∆APC≅ ∆BCQ(L.A.L.) mBBQC=90º x+60º=90º x=30º

DadountriánguloABC,rectoen"B",enlacualla2. ceviana interior es BR, tal que mBBAC=2mBABRyAB=RC.CalculemBBCA.

Resolución:

a

A

B

E

CRx

2θ2θ

90º-θ

90º-θ

θ

θ

b

b

a

Piden "x" Setraza RE tal que: mBREB=90-θ ∆ABR≅∆REC(L.A.L.) 2θ=x ∆ABC: 2θ+2θ=90º 2θ=45º ` X=45º.

EnelgráficoAB=BC=2,AR=1.CalculeBT.3.

A

R

T

B C

45º

Resolución:

x

A

R

T

B C F

45º

2

4

2 1

1θ

θβ

β

Se pide: "x" SeprolongaACtalquemBTFC=90º ∆RAC≅ ∆CTF(A.L.A.) • CF=1,TF=4 ∆BTF(NOT53y37) x=5

DelgráficoAB=EC.Calcule"x".4.

A B

C

E

x

20º 20º

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Geometría

Quinto UNI14

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Si CD=CA, AB=21. µ y BC=5µ. Calcule la distanciade"D"aL

AB

C

D

L

a) 5µ b) 3 c) 6 d) 7 e) 8

En el gráfico, los triángulos ABC y BED son2. equiláteros.CalculelamedidadelánguloEDC.Si: mBAEB=108º.

A

B

C

D

E

a) 60º b) 30º c) 48º d) 45º e) 53º

En el gráfico, el triángulo ABC es equilátero.3. AB=ayAT=b.Calcular:BL.

A

B

60º

T

L

C

a) b b) a.b c) a-b d) b

2 e) a b

2+

En el gráfico: AB=ED, AE=CD y CE=6.4. Calcular: BC.

A

B

C

DE60º 60º

a) 6º b) 6 2 c) 6 2 d) 12 e) 9


Resolución:

a

a

M

A B

C

Ea

a

40º

40º

x

40º

30º 30º

20º 20º

Piden: "x" Seconstruyeel∆ABMequilátero ∆AME≅ ∆EBM(L.A.L.) ∆MBE≅ ∆EBC(L.A.L.) \ x=30º.

EnuntriánguloABC,obtusoen"B",setrazala5. mediana AM, mBBAM=30º,mBBCA=2mBMAC.Calcule mBMAC.

Resolución:

A

B

T

M

C

30ºx

ll

l

E

S x

2x 2x

30º+3x

x

Piden: "x" SetrazaME tal que mBMEC=2x SetrazaMT =AB ∆BTM≅ ∆SME mBBTM = x 30º+3x+x+90º=180º ` X=15º.

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Quinto UNI16

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En el gráfico, calcule "xº".5.

A

B

C

D

Pxº

24º

42º

48º

24º

a) 30º b) 36º c) 42º d) 46º e) 48º

Engráfico:AE=MF,6. AE // MNyMN=AF.Halle "fº" .

A

E

M

N

F

70º

φº

a) 20º b) 30º c) 40º d) 25º e) 35º

En la siguiente figura, calcule la m7. BDCE. Si:BD=DEylamBADE=100º.

A

B

C

D

E

αα

a) 40º b) 30º c) 10º d) 20º e) 25º

En un triángulo equilátero ABC, en su región8. interior se ubica un punto "P" , si: m ABP

4B = m CAP

5B = m BCP

6B .

Calcule mBABP.

a) 24º b) 24º c) 30º d) 37º e) 45º

En la siguiente figura, calcule m9. BCDA. siAB=BC=CD.

A

B

C

D5x7x

10x

a) 50º b) 10º c) 40º d) 70º e) 100º

En la siguiente figura, calculeMPsi:AD=16,10. BM=MC y mBBAD=mBPDC.

A

B

CD

M

P

a) 16 b) 12 c) 6 d) 4 e) 8

En el gráfico, calcule "11. αº"AP=BC.

A

B

CH

2αº3αº 5α

P

a) 5º b) 7º c) 9º d) 10º e) 15º

Enun∆ABCsetrazalaceviana12. BD, tal que: AB ≅ CDy"D"estáenelladoAC.Además,mBABD=60ºymBBAC=20º.CalculelamBBCA.

a) 15º b) 30º c) 25º d) 22º30' e) 20º

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Geometría

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Tarea domiciliaria

En el gráfico, AB=CD. Hallar la medida del1. ánguloformadoporlasrectasAByCD.

A

B C

Dθθ

a) 60º b) 45º c) 30º d) 40º e) 15º

En el gráfico, los triángulos ABC y LCD son2. congruentes. Hallar la medida del ángulo formadoporlasrectasAByLD.

B

L

AC

D

a) 90º b) 100º c) 120º d) 150º e) 135º

Si:AB=CD.Calcule"3. α":

A

B

DC

α

2α90 - α

a) 10º b) 12º c) 16º d) 8º e) 18º

En cierto triángulo PQT4. , se traza de cevianainterior QM, de tal manera que: QM=PT y mMTSQ=4(mMQSP). Hallar: mMQSP, si: mQPSM=7(mMQSP).

a) 18º b) 16º c) 12º d) 10º e) 9º

Enun triánguloABC, se traza la ceviana interior5. BM, de modo que: mMBSC=2 (mMBSA)y mMCSB=2 (mMBSC). Calcular mMBSA,siBM=AC.

a) 15º b) 18º c) 20º d) 24º e) 10º

Si m13. BBCD=30º,AB=BCyBD=AD.Calcular "θº".

A

B

C

D

4θº

θº

a) 12º b) 15º c) 10º d) 18º e) 20º

Dado un triángulo equilátero ABC, en14. AC y en la región exterior relativa a BC se ubican lospuntos"D"y"E", respectivamente, talqueAD=EC,AE=BCymBBAE=40º.CalculelamBBDE.

a) 30º b) 45º c) 40º d) 50º e) 60º

Delgráfico,BM=AC.Calcule15. "θ".

A

B

C

M

2θ

90º-θθ

a) 20º b) 30º c) 60º d) 10º e) 40º

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Sobre el lado 6. AC de un triángulo ABC, seconstruye exteriormente el triángulo isóscelesAEC,(AE=EC)detalmaneraquemAESB=3mACSB y mCASB=2mECSA.CalcularmEASC, si ECSA=mACSB.

a) 10º b) 12º c) 15º d) 18º e) 24º

En un triángulo ABC, obtuso en "B", se traza7. la ceviana interior BM, de tal manera que: MC=AB.Además,sesabequemAS=12º y mCS=18º. Calcular mMBSA.

a) 9º b) 12º c) 15º d) 18º e) 24º

Se tiene un triángulo escaleno ABC.8. Exteriormente se construyen los triángulos equiláterosBADyBEC.Hallar lamedidadelángulo formado por CD y AE .

a) 135º b) 120º c) 125º d) 115º e) 130º

CalculeAD.Si:AB=99. µyCD=12µ.

A

B

C

DE

90º- αº

2αº2αº 2αº

a) 18µ b) 15 c) 22 d) 21 e) 20

EnuntriánguloABC,sobre10. AC y BC se ubican los puntos"D"y"E",respectivamente.Si:AB=DC,mBBAC=mBBDE=32º,mBDBE=74º. Calcule la mBABD.

a) 32º b) 36º c) 40º d) 42º e) 48º

EnuntriánguloABC,sobre11. AC se ubica un punto "P", sea "Q" un punto exterior relativo al lado AC,si:AB=BP,AQ=PC,mBBAC=2xº, mBCAQ=5xº, mBBQC=mBBCQ. Calcule "xº".

a) 8º b) 10º c) 12º d) 15º e) 20º

SiAB=BC,AH=312. µ y HC=8µ. Halle la distancia de "B" a L

A

B

C

H

L

a) 4,5µ b) 6,5 c) 5,5 d) 5 e) 6

En el gráfico, calcule: "13. θº",si:AB=CDyBC = AD .

A

B

C

D

3θ2θ45º

a) 7º b) 8º c) 9º d) 12º e) 15º

EnuntriánguloescalenoABC,sobresuslados14. exteriores se grafican los triángulos isóscelesABMyCBN.MC=12.Calcule lamedida delsegmento AN.

a) 6 b) 6 2 c) 6 3 d) 8 e) 12

En el gráfico, las regiones sombreadas son 15. congruentes.Si:BM=3yAC=11,calculeAB.

A

B

C

M

H

a) 4 2 b) 7 2 c) 5 2 d) 5 e) 10

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Geometría

Quinto UNI18

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Calcule "x", si los triángulos ABR y PBC son16. equiláteros.

A

B

C

R

P x

a) 30º b) 35º c) 45º d) 53º e) 60º

En el gráfico, calcular "x"17.

10º

40º

40º

80º

x

a) 10º b) 12º c) 15º d) 18º e) 20º

Enlafigura:AB=FC,calcular"18. αº".

A

B

CF

2αα

α

a) 15º b) 18º c) 22º30' d) 30º e) 36º

Enlafigura,AP=BC,calcule"xº".19.

A

B

CP

70º

40º

xº

a) 20º b) 10º c) 15º d) 30º e) 40º

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Quinto UNI20

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Problemas resueltos

Delgráfico,calcule:AC.Si:PB=4.1.

A

B

C

P

α

α

α

Resolución:

A

B

C

P4

α

α

α

α

M

T

x

Se prolonga CP ⇒ TP=PC Setrazapor"P"MP // AC ⇒ MP:basemediadel∆ATC ∆MPB:isósceles:MP=4 \x=8

EnelgráficoAB=BC=2. ED2

. Calcule "x".

A

B

E

C4θ

x θD

Resolución:

A

B

E

C2θ

2θ

2θ

x θ

θ

DS

S

m m

mk

k

k

T

m

m

SeaED=2n Se prolonga CP ⇒ TP=PC ⇒ Pordato:AB=BC=m T.mediana:CS=SE=SD=m ∆BSC≅ ∆TSD:SC=TC ⇒∆ACT:NOT30ºy60º \x=30º

Segúnelgráfico,AB=CD.3. L1 y L2 son mediatrices de AC y BD, respectivamente. Calcule

αθ

L1

L2

B

A

C

Dα

θ

Resolución:

////

m

L1

L2

B

A

C

Dαα

θθ

m

β

M

Se pide:

αθ

T.mediatriz:AM=MC,MB=MD ∆ABM≅ ∆CMD(L.L.L.) ⇒ 2α+β=2θ+β α=θ \

αθ =1

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Geometría

Quinto UNI20

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En la figura, calcule BC, si: HM=6.1.

A

B

C

H

M

αα

a) 9 b) 12 c) 15 d) 18 e) 24

Enun triánguloABClamedidadel2. BABCesigual a 128°. Las mediatrices de AB y BC cortan a AC en los puntos "R" y "S", respectivamente. Luego, la suma de las medidas de los ángulos ABRySBCes:

a) 40º b) 48º c) 50º d) 52º e) 64º

En un triángulo ABC (AB<BC), se ubica "P"3. sobre AB y "Q" sobre BC, tal que : PB=QC. Las mediatrices de PQ y BC se intersectan en "F", Si: mBB=48º, calcule la mBFCQ.

a) 20º b) 24º c) 30º d) 36º e) 48º

CalculeQP.AM=MP,BP=PC.4.

A

B

C

Q

PM

α

α18

a) 36 b) 24 c) 18 d) 12 e) 9

En la siguiente figura, calcule "5. α".

30º 20º

70º10º α

a) 9º b) 10º c) 15º d) 22,5º e) 30º


Enelgráficomostrado,AD=BC.Calcule"x".4.

3x2x

xxA

B

D

C

Resolución:

2x2xx

x

x

x

A

B

C

120-2x

DT

m

3x2x

4x

x

xm

SetrazaDS tal que mBDSC=2x ∆ASD≅ ∆BDC(L.A.L.) ∆ATD≅ ∆ADS ABDT:propiedadcuadriláteronoconvexo ⇒mBABD=120-2x \ x=10º.

En el gráfico mostrado, calcule: "x".5.

x

30 1010

A

B

C

M T

Resolución:

50º

40º

40º

40º

30ºH

F

x

10º10º

m

m

m

m

A

B

C

M T

G

∆AFG:NOT(30ºy60º) AF=2m,FG=m T.bisectriz:FG=FR ∆ MHF ≅ ∆FRT(A.L.A.) ⇒ MF=FT \x=20º

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Quinto UNI22

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Geometría

Quinto UNI22

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Enelgráfico,calculeHM.AM=MC.AB=12y6. BC=18.

A

B

C

H

M

θ θ

a) 3 b) 3,5 c) 4 d) 5 e) 6

EnuntriánguloABC,setrazalamediana7. BM. Si:AB=8µ y BC=12µ, calcule el máximo valor entero de BM.

a) 8µ b) 11 c) 9 d) 10 e) 12

EnuntriánguloABC,setrazalamediana8. BM. Si: AB=50µ, BC=14µ, BM=24µ, calcule la mBABM.

a) 37º/2 b) 24 c) 30 d) 32 e) 16

EnuntriánguloisóscelesABC(AB=BC)seubica9. elpunto"P"enelinterior,AP=AB, mBABC=2(mBBAP) y mBPCB=2(mBPAC).Calcule: mBAPC.

a) 100º b) 110º c) 120º d) 130º e) 140º

Delafigura,calcule:MN.Si:QM=7.10. Q

M

RNPθ

θ

2αα

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

Enlafiguramostrada,AC=CD. 11. Calcule : "θº".

A D

BC

2θ

θ

3θ4θ

a) 10º b) 12º c) 15º d) 18º e) 20º

En el gráfico: EL=2(FB). Calcule la m12. BFBC.

A

B

C

F

E L

αº

3αº

15ºαº

a) 30º b) 40º c) 50º d) 53º e) 60º

En el gráfico : 13. AH2=AB=HC.Calculela

mBABD.

A

B

C

D

H

a) 37º/2 b) 45º/2 c) 53º/2 d) 30º e) 38º

Según el gráfico, calcule "x".14.

A

B

C

D

80º

40º

30º

70º

x

a) 40º b) 50º c) 30º d) 45º e) 60º

Segúnelgráfico,calcule"x",siAM=MC.15.

A

B

CM

90º-2x

x45º

a) 18º b) 20º c) 37º/2 d) 53º/2 e) 15º

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Quinto UNI22

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Geometría

Quinto UNI22

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Tarea domiciliaria

Sobre el lado BC de un triángulo ABC, se1. construye exteriormente el triángulo BEC, de tal manera que mBEBC=90º, mBE!A=14º, mEA!C=30ºyAE=2EB.CalcularmBC!E, siAC!B=74º

a) 30º b) 37º c) 45º d) 53º e) 60º

Hallar PH, si: BH=362. µ.

A C

B

PM

H

a) 18µ b) 15 c) 12 d) 9 e) 6

Enun triánguloABC, se traza la altura3. BH y la mediana BM; de tal manera que: mBABH=mBHBM=mBMBC. Calcule mBHBM.

a) 30º b) 37º c) 45º d) 53º e) 60º

Enun triángulorectánguloABC4. , recto en "B", sobre la hipotenusa ACseubicaunpunto"D"talqueelánguloABDmide24º.Sielángulo"C"mide38ºyBD=5.CalculeAC.

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

Enlafigura,calcule"x",si:AP=PByPC=2AB.5.

A

B

CP

x

a) 15º b) 18º c) 20º d) 24º e) 10º

Enla figura:AM=MB,MO=OCy6. MN // OA. CalculeMN,si:OA=21µ.

A

B

C

M

N

O

a) 10µ b) 7 c) 10,5 d) 9 e) 14

Enlafigura,calcule"x",siMN=NC,AM=CBy7. mBANC=120º.

A

B

C

M

Nxº

a) 53º b) 60º c) 63º30' d) 75º e) 80º

EnuntriánguloABC,setrazalamediana8. BM. AB=7µ y BC=9µ. Calcule el mayor valor entero de BM.

a) 6µ b) 7 c) 8 d) 5 e) 4

EnuntriángulorectánguloABC,rectoen"B",se9. trazalacevianaCEyenlostriángulosABCyAECsetrazanlasalturasBD y EF, respectivamente. Si BC=5µ, EF=3µ y la mBBAC=2(mBBCE), calcule:BD.

a) 1µ b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Enun triángulorectánguloABC, rectoen"B",10. sobre la hipotenusa ACseubicaunpunto"D"talqueelánguloABDmide24º.Sielángulo"C"mide38ºyBD=8,hallarAC.

a) 6 b) 7 c) 16 d) 9 e) 10

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Quinto UNI24

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Enlafigura,hallar"x".SiHC=4AH.11.

A

B

H Cφ

2φ

x

a) 62º b) 60º c) 53º d) 45º e) 37º

En la figura, hallar "12. θ".Si:AM=BMyCM=BC/2.

θ2θ

A

B

C

M

a) 32º b) 37º c) 36º d) 24º e) 18º

EnuntriángulorectánguloABC,laaltura13. BH y labisectrizinteriorAD se cortan en "P". Luego, por "P" se traza una paralela al lado AC quecorta a BCen"N".CalcularNC,si:BD=6cm.

a) 2cm b) 3 c) 4 d) 6 e) 5

En la figura, hallar BC si MH=9cm.14.

α

αA

B

CH

M

a) 9cm b) 12 c) 15 d) 18 e) 24

Enun triánguloacutánguloABC,se trazan las15. alturas BQ y CP. Calcular mBPMQ, siendo "M" punto medio de BC y mBA=50º.

a) 80º b) 70º c) 60º d) 40º e) 50º

En un triángulo ABC, se traza la altura BH16. de tal manera que mBHBC=2(mBHBA) y8(AH)=3(HC).CalcularmBC.

a) 37º b) 30º c) 24º d) 16º e) 15º

Enlafiguramostrada,hallar"x",siAM=MC.17.

A

B

CH M

x

70º

a) 20º b) 45º c) 50º d) 40º e) 25º

Enlafiguramostrada,AM=MC.Calcular"18. α".

45º2α α

B

A CM

a) 10º b) 15º c) 20º d) 5º e) 18º

En un triángulo ABC: m19. BABC=62º; sobreAB y BC se ubican los puntos "P" y "Q", respectivamente. Tal que BP=QC y las mediatrices de BC y PQsecortanen"O".HallarmBOBC.

a) 30º b) 31º c) 28º d) 26º30' e) 24

EnuntriánguloobtusánguloABC,obtusoen"A",20. mBB=2(mBC), se levanta AP perpendicular a AC("P"enBC).Calcule:PC,si:AB=6µ.

a) 3µ b) 6 c) 9 d) 12 e) 15

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Quinto UNI24

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Central: 619-8100

Problemas resueltosSe tiene un polígono equiángulo tal que el 1. número de diagonales más el doble del número de lados es 36. Calcule la medida del ángulo interior de dicho polígono.

Resolución:

Dato:Ndiag+2n=36

( )n n2

3- +2n = 36

⇒ n=8.

•BInterior = ( )nn180 2-

= ( )8

180 6 =135º.

BInterior =135º.

Enelgráfico,ABCDEFesunpolígonoequiángulo,2. LesmediatrizdeCD, y BT=6.CalculeTN.

A

B C

D

EF

T

N

θ θ

L

Resolución:

A

B C

D

EF

T

N

θθ=60º

60º 6 x

x

120º

120ºα

α

S

BInterior = ( )6

180 6 2- =120º

⇒ θ=60º T.mediatriz:CT=TD ∆STC≅ ∆TDN(A.L.A.) ⇒ ST=x ∆BTS: NOT(30ºy60º) \ =3 3 .

Si el número de diagonales aumenta en 18 en un 3. polígono regular, su ángulo central disminuye en 20º. Calcule el número de lados.

Resolución:

Lados Diag B central

Polig 1 n ( )n n2

3-n

360

Polig 2 m ( )m m2

3-m

360

Dato: ( )n n2

3- + 18= ( )m m2

3-

n360 - 20 =

m360

Despejandoyoperando:

\ n=6

Se tieneunoctógonoequiánguloABCDEFGH4. tal que AB=1, CD=2, BC= 2 y DE=2 2 . Calcule mBDEA.

Resolución:

2 2

2 5

45º

45º37º/2

53º/2

135º

135º

53º/22

5

253

x

A

B

C D

E

F

GH

S T

1

1

1 2 2

2

Piden "x"

B interior : 180 ( )8

8 2- =135º

∆SCA(NOT º2

53 y º2

127 )

∆CTE(NOT º2

53 y º2

127 )

∆ACE(NOT º2

53 y º2

127 )

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x=2

53 + 2

37

\ x=45º.

Según el gráfico, calcular "x" si los polígonos 5. ABCDE...yMCNP...sonequiángulos,ademásel número de lados del segundo es mínimo.

A

B C

D

N

PM

3θ 2θx

Resolución:

A

B C N

PM

3θ 2θx

m lados

n lados

Calcule el número de vértices de un polígono 1. cuyo número de diagonales es el triple del número de lados.

a) 10 b) 11 c) 12 d) 9 e) 8

Si: ABCDEF es un hexágono regular, calcule2. "x".

A

B

C D

E

Fxº

5xº

a) 8° b) 10º c) 15º d) 20º e) 21º

Si a un polígono se le aumentan cuatro lados, 3. entonces la suma de las medidas de sus ángulos internos se duplica. Calcule el número de vértices del polígono :

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

Marcarlaproposicióncorrecta: 4. •Elcírculoesunconjuntoconvexo. •Lasrectasparalelassonunconjuntoconvexo.•Todoánguloesconjuntonoconvexo. •Todopolígonoesunconjuntoconvexo.

a) VFFF b) FVVV c) FVFV d) VFVF e) VFVV

Alaumentarentreselnúmerodeladosdeun5. polígono, el número de diagonales se duplica. Calcule la suma de las medidas de los ángulos internos de dicho polígono.

a) 720º b) 900º c) 1080º d) 1440º e) 1260º


Piden "x"

Dato:3θ=n

360

⇒ θ=n

120

⇒ n (mínimo) Si: n=3 ⇒ θ=40º n=4 ⇒ θ=30º

⇒ 2θ= ºm

360 ⇒ 80= ºm

360

m: no existe

⇒ 2θ = ºm

360 ⇒ 60= ºm

360

m= 6 (existe)

⇒ 3θ+x+2θ=180º 90º+x+60º=180º \ x=30º.

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Geometría

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Indicarelvalorverdaderodecadaproposición:6. •Todopolígonotieneángulosexteriores.•Siunpolígonopresentaángulosinternosde igual medida será polígono regular. •Todopolígonoesunconjuntoconvexo.•Todopolígonoesnoconvexo. •Siatodaregiónpoligonalseleextraeunadiagonal,elconjuntoresultanteseráno

convexo.

a) FVFFF b) FFVVV c) FFFFV d) FFVVF e) FFFFF

Si de cuatro vértices consecutivos de un 7. polígono convexo se trazan 25 diagonales,¿cuántas diagonales tiene en total el polígono?

a) 27 b) 35 c) 44 d) 54 e) 45

EnundecágonoregularABCDEFG... 8. Calcular "x".

x=m ADEm ADCBB +

m CEFm DECBB

a) 71 b)

212 c)

179

d) 2110 e)

235

Indicar verdadero o falso, según corresponda: 9. •Lasemirrectaesunconjuntoconvexo. •Unaregióntriangularcuyosvérticessehanomitido,esaúnunaregiónconvexa. •Dosrectasparalelasalserintersectadaspor una recta secante determinan cuatro regiones convexas y dos no convexas en el plano.

a) VFV b) VVF c) VVV d) VFF e) FFV

Exteriormente y sobre los lados 10. AB y BC, de un triángulo ABC equilátero, se construyenel hexágono regular ABMNLT y el cuadradoBCQP. Calcule la medida del menor ángulo que forman las prolongaciones de MT y PA.

a) 10º b) 15º c) 25º d) 30º e) 20º

Al disminuir 5º, la medida de cada ángulo11. interno de un polígono equiángulo resulta otro polígono cuyo número de lados es 3/4 del número de lados del polígono original. Calcule la medida del ángulo externo del polígono original.

a) 10º b) 15º c) 18º d) 30º e) 24º

SegraficaeloctógonoequiánguloABCDEFGHy12. se prolonga el lado GF hasta "M" (M={GF∩DE}), demodoque:EM=DE= CD

2 2= BC

2. Calcule

mBEBM.

a) 16º b) 8º c) 4º d) 32º e) 15º

Calcule el número de diagonales del polígono 13. regularABCDEFGH....

A

B

C

D E

F

G

H

α2α

a) 27 b) 35 c) 44 d) 54 e) 65

Darelvalordeverdadde: 14. •Unaregióntriangularenlacualsehanomi- tidodosdesusvértices,esunaregióncon- vexa. •Ladiferenciadedosconjuntosnoconvexospuedeserunconjuntoconvexo. •Todopolígonoesunconjuntonoconvexo.

a) VVV b) VVF c) FVV d) FFV e) VFF

EnunpentágonoregularABCDE,seconsidera15. elpuntointerior"P",talque:PD=DEy mBPAB=42º.CalculemBPDE.

a) 60º b) 50º c) 30º d) 45º e) 75º

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Tarea domiciliaria

Desde tres vértices consecutivos de un1. polígono se trazan 14 diagonales. Calcularcuántasdiagonalesentotalsepuedentrazarenel polígono.

a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 40

En un pentágono regular ABCDE, las2. diagonales AC y BE se intersecan en "F", de modo que: EF= 5. Calcular la medida del lado del pentágono.

a) 5 b) 5 2 c) 2 3 d) 5 3 e) 2 5

Si a un polígono se le aumentara 3 lados, su 3. número de diagonales aumentará en 15. Hallar el número de vértices del polígono.

a) 4 b) 5 c) 8 d) 12 e) 18

La diferencia del número de diagonales de cierto 4. polígono y el número de ángulos rectos a que equivale la suma de las medidas de sus ángulos interiores es 8. Entonces, el polígono tiene:

a) 4 vértices b) 5 c) 8 d) 12 e) 18

La medida de los ángulos interiores de 2 5. polígonos convexos regulares difieren en 20º y las medidas de los ángulos exteriores suman 100º. ¿Cuántas diagonales tiene el polígono de mayor número de lados?

a) 27 b) 18 c) 32 d) 40 e) 52

En un polígono convexo de "n" lados, calcular 6. la suma de las medidas de los ángulos formados al prolongar los lados del polígono.

a) 180º n b) 360º n c) 90º (n-2) d) 180º (n-4) e) 360º (n-2)

UnoctógonoequiánguloABCDEFGHtienepor7. lados GH=4µ, AH=4 2 µ, AB=3µ. Hallar GB.

a) 12µ b) 113 c) 120 d) 13 e) 15

Desde5vérticesconsecutivosdeunpolígono8. se trazan 59 diagonales.Hallar el número dediagonales de dicho polígono.

a) 16 b) 100 c) 104 d) 150 e) 130

SetieneunpolígonoregularABCDEF...,de"n"9. lados donde mACD% =135. Hallar el número total de diagonales

a) 30 b) 45 c) 54 d) 84 e) 104

El lado de un polígono equilátero mide 6 cm 10. y el número que expresa su cantidad total de diagonales equivale al perímetro del polígono. ¿Cuántos lados tiene el polígono?

a) 10 b) 12 c) 15 d) 18 e) 20

Al disminuir en 2 el número de lados de un11. polígono convexo, se obtendrá otro polígono con 15 diagonales menos. Hallar el número de lados original.

a) 10 b) 12 c) 15 d) 18 e) 20

EnunpolígonoregularABCDEF...de"n"lados,12. las diagonales AD y BF se intersecan en el punto "P".Hallar"n"sielánguloAPBmide27º.

a) 18 b) 20 c) 12 d) 15 e) 16

La diferencia de los ángulos exteriores de dos 13. polígonos regulares es 9º. Si uno de ellos tiene dos lados más que el otro, hallar el número de lados del polígono que tiene menor ángulo exterior.

a) 8 b) 6 c) 10 d) 12 e) 15

Si la diferencia entre los ángulos exteriores 14. de dos polígonos regulares es 18º. ¿Cuál es la diferencia entre las medidas de sus ángulos centrales?

a) 12º b) 15º c) 18º d) 20º e) 36º

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Geometría

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En un polígono convexo, el número de 15. diagonales es igual a cuatro veces el número de vértices. Hallar el número de lados.

a) 13 b) 12 c) 10 d) 11 e) 9

En cierto polígono de "n" lados, desde (n-7) 16. vérticesconsecutivossetrazan(7n+4)diagonales.Hallar "n".

a) 24 b) 23 c) 21 d) 19 e) 17

Deunodelosvérticesdeunpolígonoconvexo17. sepuedentrazar(a+3)diagonales.¿Acuántosángulos rectos equivale la suma de los ángulos internos de dicho polígono?

a) 2(a+3) b) 3(a-3) c) a+3 d) 2(a+4) e)

23 (a+5)

Si se disminuye en dos el número de lados de un 18. polígono, el número de diagonales disminuye en 19. Hallar el número de diagonales media, trazadasdesdeunpuntomediodeunladodedicho polígono.

a) 11 b) 13 c) 15 d) 16 e) 18

En cierto polígono de "n" lados, desde (n-7) 19. vérticesconsecutivossetrazan"2n"diagonales.Hallar el máximo número de diagonales media de dicho polígono.

a) 55 b) 50 c) 48 d) 45 e) 42

La diferencia de las medidas de los ángulos 20. internos de dos polígonos regulares es 6º. Si la diferencia de sus lados es 16, hallar el número de lados de uno de ellos.

a) 15 b) 24 c) 30 d) 18 e) 36

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Problemas resueltos

Segúnelgráfico,ABCDesunparalelogramo.Si1. CM=MD,calcule"θ".

40º

θ

θ

A

B C

D

M

Resolución:

40º

40º θ

θ

A

B C

D

M

2θ

a

a

a

a F

S

Se prolonga BM ∆BMC≅∆MDF ⇒ mBMFD=θ. ⇒∆SDF:isósceles \ θ=50

EnuntrapeciorectánguloABCD,rectoen"C"y2. "D",seubicaelpuntomedio"M"deAC y el punto "T"enlaprolongacióndeCB. Tal que mBTBA=80ºy3(BC)=2(AD).CalculemBABM.

Resolución:

a

a80º 80º

x80º

2m

3mA

B C

D

m mE

M

H T

Piden "x": AH = EC Tal que: EH=HB=m ∆EAC:BM es la base media ⇒ EA // BM, mBMBC=80º \ x=20º.

En el gráfico,ABCDes un rectángulo.Calcule3. DC si la distancia de "F" a BCes4yAE=20.

A

B C

D

θθ

F

E

Resolución:

A

B C

D

θ θ

2θE

FS

44

x 20

20

20

N

Piden: "x" PorelT.bisectriz:SF=FE AS=AE=20 FN=SB=4 x+4=20 \ x=16.

En un trapecio ABCD (4. BC // AD), se ubicael punto medio "M" de CD, tal que BM es perpendicular a AB, mBCBA=120º,AB=8yBC=4.CalculeAD.

Resolución:

A

B C

D

8

30º

30º

4

T

4

4

M

a

a

8

x

SetrazalabasemediaMT

∆BTM:(NOT30ºy60º)⇒ TM=8

T. base media: 8= x2

4 +

\ x=12.

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Enelgráfico,ABCDesuncuadrado,BCNMes5. unromboide,DM=2MB.Calcule"x".

xA

B C

D

NM

En un romboide ABCD, se traza1. BP y DQ perpendiculares a AC,talque:AB=PQymBABP=53º.Calcule:mBACB.

a) 22º b) 16º c) 8º d) º

237 e) º

253

Enelgráfico,ABCDesunrectángulo.AR=102. µ, CD=8µ. Calcule : PQ.

A

B C

D

P

QR

θ

2θ

a) 1µ b) 2 c) 2,5 d) 3 e) 4

Enelgráfico,ABCDesunrombo."O"3. centro, BM=MOyCH=12u.Calcule:AM.

A

B C

DE

M

H

45º

O

a) 9 2 µ b) 8 2 c) 9 d) 5 2 e) 4

Enelgráfico,ABCDesunrectángulo.4. Además:PD=6cm,AL=3cm.Calcule:LC.

A

B C

D

LP

θ

θ

a) 7 cm b) 8 c) 10 d) 9 e) 11

SetieneunromboABCD.Setrazalamediatriz5. de BC que intersecta a ACen"G",seprolongaDG que intersecta a BC en "F", tal que: mBCFG=2(mBACD).Calcule:mBFAG.

a) 16º b) 18º c) 36º d) 72º e) 24º

SeaABCDuntrapezoide,talque:6. ACesbisectrizdelánguloBAD.SeaDF una perpendicular de AC, tal que: mBFBC=4mBDCFy mBABC=90º.CalculelamBFCD.

a) 15º b) 18º c) 20º d) 24º e) 32º

Enelgráfico,ABCDesunromboide.Calcule:7. "xº".

A

B C

D

O

90º+xº

xº

53º/2

a) 10º b) 12º c) 15º d) 18º15' e) 20º


Resolución:

n

2n

3n

xA

B C

D

NM

37/2

n

SetrazaBD=AC=3n

BD // CN: mBACN=90º

∆ACN(NOT2

37 y 2

143 )

\ x= º2

53 .

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Geometría

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En el gráfico, BCEF 8. rombo("O" centro del rombo).AO=CH.Calcule"xº".Si:CD=BC.

A

B C

DF E H

O

10º

xº

θ θ

a) 30º b) 40º c) 50º d) 60º e) 70º

EnelcuadriláteroABCD;9. FB, CD y ED miden 18; 24 y 16 unidades, respectivamente. Si: FM=MEyBN=NC.CalculeMN.

A

B

C

DE

F

M

N

37º 53º

a) 15µ b) 16 c) 17 d) 18 e) 20

En el gráfico, calcular "10. θº",si:BC=AD.

A C

B

D

2θº

2θº

3θºθº

a) 10º b) 12º c) 15º d) 18º e) 20º

En un trapecio ABCD (11. BC // AD), mBA=28º,mBD=76ºyAB=32u.Calcule la longituddelsegmento que une los puntos medios de AC y BD.

a) 32µ b) 24 c) 18 d) 16 e) 12

En un paralelogramo ABCD, las mediatrices12. de AB y BC se cortan en "P", un punto que pertenece a AD, si: mBD=112º. AB<BC.Calcule la mBPCD.

a) 12º b) 15º c) 18º d) 20º e) 24º

En el gráfico mostrado: 213. α+θ=90º, 2β+γ=90º, AD=4,AB=AE,CD=ED.Calculeladistanciadel punto medio de BC a AD.

A

BC

D

E

θα β

γ

a) 4 b) 3 c) 2 d) 6 e) 8

EnunromboideABCD,sobre14. AB se ubica un punto"M"yelpuntomedio"N"delladoBC. Si: mBNMD=90ºyMN=MD,calculelamBBMN.

a) º2

37 b) º2

53 c) 30º

d) 36º e) º2

45

Del gráfico,ABCDyMNPQ son cuadrados y15. "M" centro del cuadrilátero. Calcule "x".

A

B C

D

M

N

P

Q

36º

x

a) 36º b) 54º c) 48º d) 72º e) 45º

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Tarea domiciliaria

EneltrapezoideABCD,secumpleque: 1. mBA-mBB=11º; mBA-mBC=13º, mBA-mBD=16º.¿Cuántomideelángulo"A"?

a) 80º b) 90º c) 120º d) 100º e) 115º

Calcule PQ, si: 2. BC // CD, AB=7u, BC=8u,CD=11µyAD=20µ.

A

B C

DM N

P Q

αα θ

θ

a) 6µ b) 4 c) 5 d) 3 e) 7

EnuntrapezoideABCD:m3. BB=120º, mBC=100º. Calcule la medida del ángulo que formanlasbisectricesinterioresde"A"y"D".

a) 100º b) 120º c) 115º d) 110º e) 105º

Dado el cuadrilátero ABCD, tal que las4. diagonalesAC=myBD=n.Luegosetomanlospuntos medios "P", "Q", "R" y "S" de los lados AB, BC, CDyAD,respectivamente.Luego,elperímetro de PQRS, es:

a) 2(m+n) b) 23 (m+n) c) m+n

d) m n2+ e)

32 (m+n)

Se tiene un cuadrado ABCD cuyo lado mide5. 24µ. "F" es punto medio de BC, los segmentos DF y ACsecortanen"G".CalculeOG("O"escentro del cuadrado).

a) 2 b) 2 2 c) 4 2 d) 6 2 e) 8 2

Eneltrapecioisóscelesdondeunodelosángulos6. mide 45º y uno de los lados no paralelos mide 6µ, calcule el segmento que une los puntos medios de las diagonales.

a) 6µ b) 3 c) 3 2 d) 6 2 e) 4

El perímetro de un rombo es 247. µ y uno de los ángulos interiores mide 120º. Calcular la distancia que hay entre dos lados opuestos.

a) 2 3 b) 3 3 c) 2 6 d) 6 e) 3 2

En un romboide ABCD, la base8. AD mide el doble de la altura BH. mBBDA=30º.Calculela mBBCD.

a) 45º b) 95º c) 60º d) 85º e) 75º

EneltrapezoideABCD:9. AC = BD;AC=16µ y BD=12µ. Calcule "x".

A

B

C

D

x

a) 7µ b) 10 c) 14 d) 13 e) 20

EnuntrapecioisóscelesABCDdebases10. AD y BC, calcule: mBABC.Si:2(AB)=2(BC)=AD.

a) 100º b) 90º c) 110º d) 120º e) 135º

HallarelperímetrodelromboideABCD,donde11. las bisectrices interiores de "B" y "C" se cortan enunpuntodeADyademás:AB=3,5.

a) 31,5 b) 24,5 c) 17,5 d) 28 e) 21

ABCDesunparalelogramo.Calcule:(12. ABEF )-1

A

B C

DH

F

E2θ

θ

a) 31 b)

91 c)

21

d) 32 e) 1

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Sea ABCD un trapecio (13. BC // AD) en el cual secumpleque:AD=36+BCy mBB+mBC=270º. Calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de las bases.

a) 14 b) 17 c) 15 d) 18 e) 20

ABCDesuncuadradoyARDesun triángulo14. equilátero interior al cuadrado. Hallar la mBRCB.

a) 15º b) 20º c) 30º d) 18º e) 10º

Se tiene un trapecio isósceles ABCD, donde15. BCyADsonlasbases.SiACeseldobledelamediana, calcule el menor ángulo formado por ACyBD.

a) 15º b) 30º c) 37º d) 45º e) 60º

Enelgráficomostrado,ABCDesuncuadrado.16. CH=3µ y PH=4µ. CalculeAH.

A

B

C

D

H

P

a) 7µ b) 9 c) 11 d) 13 e) 14

Si los ángulos adyacentes de la base mayor 17. de un trapecio son complementarios. Dichasbases miden 4µ y 10µ. Calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de la base.

a) 2 b) 3 c) 2,5 d) 4,5 e) 4

Se tiene un rombo ABCD y se construye18. exteriormente el cuadrado CDEF. Calcule la mBAEC,simBBAD=42º.

a) 67º b) 58º c) 62º d) 47º e) 69º

Calcule"x",si:AD=DCyeltriánguloAEDes19. equilátero.

A

B

C

D

E

37º23º

xº

a) 35º b) 45º c) 30º d) 60º e) 75º

DadoelcuadradoABCD,seubicaenelpunto20. "F", en diagonal AC, de manera que mBAFB=10mBCDF,calculemBCDF.

a) 22,5º b) 15º c) 10º d) 9º e) 5º

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Central: 619-8100

Problemas para claseEn el gráfico: 1. AB ≅ BC ≅ AC y aº+bº=140º. Calcule la mBFCB.

A

B

CF

θ

θ

bº

aº

a) 10º b) 15º c) 20º d) 30º e) 40º

En el gráfico mostrado, calcule xº +yº.2.

2αº

αº

20º 2θº

θº

yº

xº

a) 240º b) 260º c) 270º d) 320º e) 340º

EnuntriánguloABC,m3. BA=2

53 y mBB=45º.

Calcule"AB",siBC+AC=8( 2 + 5 )

a) 16( 2 + 5 ) b) 24 c) 4(2+ 5 ) d) 4( 2 +5) e) 16

En la figura, AB=BC. CalculeQC, si AQ=8,4. PC=2.

Q

A

BC

P

α

α

θθ

a) 6 b) 5 c) 3 d) 4 e) 7

Enlafigura,calcule"x",si:MC=2AB.5.

A

B

C

M

x

2x

a) 22,5º b) 30 c) 15 d) 12 e) 9

EnuntriánguloABC,sobre6. AC y BC se ubican los puntos"D"y"E",respectivamente.SiAB=DC,mBBAC=mBBDE=32º,mBDBE=74º,calculela mBABD.

a) 32º b) 36º c) 40º d) 42º e) 48º

Enun triánguloABCse traza lamedianaBM.7. AB=50µ, BC=28µ y BM=25µ. Calcular la mBABM.

a) 16º b) 37º/2 c) 53º/2 d) 30º e) 32º

EnuntriánguloABC,sobre8. AB y BC se ubican los puntos "M" y "N", respectivamente, talqueBM=NC, lasmediatricesdeMN y BC se intersecan en "P". Si mBABC=56º,calcularlamBPCB.

a) 56º b) 42º c) 40º d) 30º e) 28º

Calcule el número de lados de un polígono 9. cuyo número de diagonales excede al número de vértices en 18.

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

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Geometría

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Si a un polígono se le aumenta cuatro lados, 10. entonces la suma de las medidas de sus ángulos se duplica. Calcule el número de vértices del polígono.

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

Enun trapezoideABCD, lasbisectricesde los11. ángulos ABC y BCD se intersectan en "P". Si mBBAD=mBCDA,CD-AB=3,BC=15ymBBPC=45º, calcule la mBABC.

a) 120º b) 127º c) 135º d) 143º e) 150º

Del gráfico, ABCD y CPQR son cuadrados,12. calcular "x".

A

BC

D

R

Q

P

15º

x

a) 18º30' b) 22º30' c) 26º30' d) 30º e) 31º

Delgráfico,calcularDP,siABCDyAPQRson13. cuadrados.AB=4yBR=6.

A

B

C

D

P Q

R

a) 9 b) 8 c) 10 d) 15 e) 7,5

EnuntrapecioABCD(14. BC // AD) se cumple que 2CD=5ABymBD=23º.CalcularmBABC.

a) 104º b) 143º c) 135º d) 127º e) 120º

Enelgráfico,ABCDesuncuadrado,BQ=915. µ y DR=6µ. Calcular la medida de PS.

A

B C

D

P Q

R S

a) 12µ b) 15 c) 13 d) 18 e) 16

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Quinto UNI36

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Geometría

Quinto UNI36

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Tarea domiciliaria

Calcule la medida del ángulo interno de un 1. polígono equiángulo de 35 diagonales.

a) 120º b) 135º c) 144º d) 160º e) 150º

Calcule la suma de las medidas de los ángulos 2. internos de un polígono de 44 diagonales .

a) 1260º b) 1080º c) 900º d) 1440º e) 1620º

Enlasiguiente figura,calculeAC,siMD=4y3. CM=ME.

A

B

C

M

DE

45º

a) 8 b) 4 c) 6 d) 12 e) 18

En un triángulo equilátero ABC, se traza la4. ceviana exterior BR, luego se ubica un punto "P" exterior y relativo al lado BC de tal manera queBP=8,AB//PC.CalculeBR,siAR=PC.

a) 16 b) 12 c) 6 d) 4 e) 8

Los lados de un triángulo miden (5. α+2), (α+3) y 8. Calcular el menor valor entero primo que puede tomar "α" para que el triángulo exista.

a) 13 b) 7 c) 5 d) 11 e) 2

En la siguiente figura, calcule "x", si AC=5 y6. PQ=1.

A

B

C

Q

P

xx

a) 37º/2º b) 45º/2 c) 30º d) 15º e) 53º/2

En la figura mostrada, (BC // AD), BC=57. µ y AD=9µ. Hallar BH.

A

B C

D

H

2θ

θ

3θ

a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e) 6

ExteriormenteauntriánguloABC,seconstruyen8. loscuadradosABDE,ACFGyelparalelogramoAEHG. Además, ED=6µ y AH=10µ. Calcule BC.

a) 8µ b) 9 c) 10 d) 12 e) 16

Enlafiguramostrada,siAM=MD, 9. mBBCD=mBCAD y AC+3AB=64, calcularMN.

A

B

CD

M

N

a) 13µ b) 14 c) 15 d) 16 e) 18

En el trapezoide donde las diagonales al10. cortarse forman un ángulo de 120º y una de las diagonales mide 8µ, calcule la suma de las diagonales del rombo que se forma al unir los puntos medios de los lados consecutivos del trapezoide.

a) 4( 3 +1) b) 8( 3 +1) c) 2( 3 +1) d) 6( 2 +1) e) 8( 6 +1)

SetieneuntrapecioABCD(BC//AD)donde11. mBA=40º y mBD=70º. Hallar el segmentoque une los puntos medios de sus diagonales, siendoademás:AB=8µ.

a) 2µ b) 4 c) 3 d) 6 e) 5

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Quinto UNI38

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Quinto UNI38

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En u12. n hexágono equiángulo ABCDEF, AF=a,CD=b,DE=c.CalculeAB.

a) a+b - c b) b+c - a c) a+c - c

d) a b c2

+ + e) 2a+b - c

EnunparalelogramoABCD,AB<BC,setrazan13. lasbisectricesinterioresBEyCFquesecruzanpor "P". Calcule el segmento que uno los puntos mediosdeBEyCF,siAF=4µ.

a) 3µ b) 4 c) 5 d) 6 e) 2,5

Lasmediatrices de los lados AD y CD de un14. paralelogramoABCDseintersectanenunpunto"M" que pertenece a BC. CalculeBMAB, si mBB=110º.

a) 40º b) 50º c) 45º d) 35º e) 30º

En la figura, calcular "15. α".

5α

2α

2α 2α

40º

a) 18º b) 20º c) 22º d) 23 e) 25º

En la figura mostrada, 16. hallar"x",siAB=BC.

B C

2x

2xx

A

a) 10º b) 12º c) 15º d) 18º30' e) 18º

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Quinto UNI38

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Problemas resueltos

En el gráfico, m1. AB!=40º y mCD!=70º. Calcule mPQ!.

b b

A

B

C

D

P Q

aa

Resolución:

A

B

C

D

P Q

b b

aa

β+35º β+20ºSγ

x

70º

40º

2β

Piden "x" Sea mBC!=2β. jABCD: 2a+2b+2β+55=360º

a+b+β= º2

305

∆BSC: a+b+γ=180º

γ - β= º2

55

γ= º2

55 +β

B interior: γ= x2

2β +

º2

55 +β= x2

2β +

\ x=55º.

En el gráfico mostrado, "T" es punto de tangencia. 2. Calcule"x"enfunciónde"θ".

T

θ x

Resolución:

T

θ x

2θ

B C2xA

360º- (2θ+2x)

Piden "x"

B exterior : 90= º ( )x2

360 2 2 2+θ θ- -

180º=360º - 2θ - 2x - 2θ 2x=180º - 4θ \ x=90º - 2θ.

ABCDesuncuadrado,calcule3. TFBF .

T

B C

A D

F

Resolución:

T

B C

A D

F2

53º2

53º

53º

53º

a a

2a

O

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Geometría

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Piden: TFBF

VBAO≅ VOCD:⇒AO=OD

VBOA:NOT( º2

53 y º2

127 )

B central : mBC!=53º

B exterior : mBBTC= 53º2

\ TFBF =

21.

Si "T", "Q" y "R" son puntos de tangencia, 4. calcule"x"enfunciónde"θ" y "α".

θQ x

TR

α

Resolución:

θQ x

TR

αx - θ

180 - x

Prop: B exterior : mQR=180º - x

Prop: B exterior : m TR =180º - θ

⇒ mTQ =x - θ

B exterior : α= ( º )x x2180θ- - -

2α=2x - θ - 180º

\ x= º2

2 180+ +α θ .

En la figura m5. FG=αº, Calcule: θºαº

.

B

C

M

L

G

F

E

θº

Resolución:

α/2B

C

M

L

G

F

E

θ

β

β

β

α

SetrazaME :BCME: inscrito

B inscrito: mBLGE=β

⇒ BC // GL

mBCBL=mBFLG

2α =θ

\ αθ =

21 .

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Quinto UNI40

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Geometría

Quinto UNI40

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Delgráficomostrado,calcule(bº+aº).1.

aº

bº

40º

a) 100º b) 150º c) 160º d) 180º e) 200º

En el gráfico mostrado: m2. AB!+mBBC!=280º. Calcule: mPN!.

A

B

C

P

N

a) 40º b) 50º c) 60º d) 70º e) 80º

En el gráfico, "B", "C" y "D" son puntos de3. tangencia y la mDEC!=70º. Calcule la mBPAC.

A

B

C

DP

E

a) 28º b) 30º c) 32º d) 35º e) 78º

En el gráfico, "C" es un punto de tangencia. 4. Calcule "xº".

xº

A B

C

a) 120º b) 60º c) 90º d) 80º e) 100º

En el gráfico mostrado, calcule: m5. AB!.

A

B

a) 22,5º b) 30º c) 60º d) 120º e) 90º

Delgráficomostrado,calcule:"xº". 6. ("T" y "Q": puntos de tangencia). mBTAC=mBTBD.

A

B

C

D Q

T

xº

a) 70º b) 36º c) 45º d) 60º e) 75º

En una circunferencia de diámetro 7. AB, se ubican los puntos "P" y "Q", tal que: mAP!=90º y AQ intersecta a PB en "M", luego en AB se ubica el punto "L", tal que: mBAQL=45ºyAM=2(LB).Calcule : mBPAM.

a) 19º b) 18º c) 14º d) 16º e) 15º

Delgráfico,calcule:"xº".8.

xº

140º - a

120º+a

a) 70º b) 80º c) 40º d) 50º e) 45º


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Quinto UNI42

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Delgráfico,calcule:"xº".9.

xº20º

a) 20º b) 30º c) 40º d) 50º e) 70º

Enelgráficomostrado,"A","B"y"C"sonpuntos10. de tangencia. Calcule : xº+yº.

A B

C

xº yº40

a) 160º b) 150º c) 180º d) 140º e) 170º

Enelgráficomostrado:AB=AP=r.Calcule:11. mAC!.("A":puntodetangencia).

A

BC

P

r

a) 10º b) 20º c) 30º d) 25º e) 35º

Delgráfico,calcule"x".12.

θ

θθ

αα

xº

a) 35º b) 45º c) 60º d) 53º e) 90º

Si"A","B","C"y"D"sonpuntosdetangencia.13. mAB!=120º y mAE!=110º. Calcule "x".

A

BCDE

xº

a) 50º b) 40º c) 30º d) 25º e) 20º

En el gráfico, si: m14. BQ!+mQD!=100º, calcular "xº". ("A", "B", "Q" y "D" son puntos detangencia).

A

B

CD

QO

EP

x

a) 95º b) 100º c) 105º d) 110º e) 115º

En el gráfico, "T" es punto de tangencia. Calcule 15. "x".

O

100º

xT

10º

a) 20º b) 10º c) 15º d) 40º e) 35º

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Quinto UNI42

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Geometría

Quinto UNI42

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Tarea domiciliaria

Según el gráfico: m1. BC=60º. Calcule el valor de "xº"

A B

C

D

E 100º

xº

a) 60º b) 70º c) 80º d) 90º e) 100º

Según el gráfico, calcule la m2. BN,si:ABCTesunparalelogramoyCT=CD.("T"espuntodetangencia).

A

B C

D

N

T

70º

a) 70º b) 50º c) 60º d) 80º e) 65º

Si: m3. AB=80º, mCD=40º y mMN=50º. Calcule el valor de "xº".

xº

A

B

C

D

M

N

a) 30º b) 35º c) 50º d) 55º e) 45º

Calcule "xº".4.

100º

xº

a) 110º b) 55º c) 70º d) 65º e) 80º

En el gráfico mostrado, calcule "5. αº",si:PA=ABy además: 2(mBQ)=3m(QC).

AB

C

P

Q

αº

a) 15º b) 50º c) 40º d) 30º e) 25º

Delgráfico,calcule"xº".6.

A

B

C

2xº

xº

a) 15º b) 20º c) 22º30' d) 30º e) 36º

Se tiene una circunferencia en la cual se ubican 7. los puntos consecutivos "A", "B", "C", "D","E" y "F", de manera que mBFAB=150º y mBBCD=90º.CalculelamBFED.

a) 100º b) 125º c) 120º d) 130º e) 110º

Calcule "8. θ".

2θ

3θ

a) 37º b) 58º c) 45º d) 30º e) 27º

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Quinto UNI44

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Calcule el valor de "xº", en función de "9. α" y "β".

αº βº xº

a) 2

α β- b) α - β c) β - α

d) 2

β α- e) 2

β α+

En una semicircunferencia de diámetro 10. AB y centro"O"seubicaelpunto"M",demodoque:mAM=m MB . Se traza el cuadrado MNLP. (NenAM ) y "L" en AO. Calcule la mBOMN.

a) 60º b) 75º c) 71º30' d) 63º30' e) 67º30'

Calcular: 11. mBABO.

20º

A BC

D

O

a) 60º b) 50º c) 80º d) 70º e) 75º

SiABCDesuntrapecioisósceles 12. (BC // AD). BC=CE, BE=CD,("E" y "D" sonpuntos de tangencia). Calcule la mBEBC.

A

B C

D

E

a) 10º b) 15º c) 20º d) 25º e) 30º

Delgráfico,calcule"xº",siendo:"A","B"y"C"13. puntos de tangencia.

A

B

C

20º

xº40º

a) 10º b) 20º c) 30º d) 40º e) 60º

En el gráfico mostrado, 14. θ+β=160º. Calcule: mBBAC.

A

BC

β θ

a) 10º b) 20º c) 15º d) 25º e) 30º

En el gráfico mostrado, "T" y "B" son puntos de 15. tangencia. Si: MTN=50º, calcule: m TL .

L

T

B

N70º

a) 100º b) 80º c) 120º d) 130º e) 150º

En el gráfico mostrado: 16. β+γ - (θ+φ)=30º. Calcule "xº".

xº

β

θ

γ

φ

a) 160º b) 165º c) 175º d) 145º e) 150º

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Quinto UNI44

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Geometría

Quinto UNI44

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En el gráfico mostrado, si: m17. BAEB+mAB2

=90º. Calcule "θº".

A BC

E

θ

a) 60º b) 80º c) 75º d) 30º e) 82º

Enelgráficomostrado,"H"y"G"sonpuntosde18. tangencia. Calcule m EF , si mAB=20º.

A

B G

H

F

E

80º

a) 60º b) 90º c) 100º d) 80º e) 30º

SiOFEMesuncuadrado,calculem19. AE .A

EF

MO

a) 53º b) 37º c) 37º/2 d) 53º/2 e) 30º

Según el gráfico, calcule la m20. PB, si "T" es punto de tangencia.

A B

M N

T P 70º

a) 40º b) 80º c) 70º d) 60º e) 45º

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Quinto UNI46

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Problemas resueltos

Delgráfico,calculelam1. MN,siendo"N","T"y"P" puntos de tangencia. TB=4 y R=5.

T

B

N

AM

S

P

R

Resolución:

T

B

N

AM

S

P

R=5

5

5 53º

37º

4

4O

I

xx

53ºO1

Piden "x" OT ⊥ TA VOIP: NOT53ºy37º ⇒ mBBPA=37º ON1 ⊥ BA : x+53º=90º \ x=37.

Según la figura, calcule "x", si m2. PL =2x. ("T", "P"y"D"sonpuntosdetangencia).

x

D

T

P B

L

Resolución:

2x

2x

x

xx

D

T

P B

L

r

r

O

Piden: "x" SetrazaDT, PO. VOTD≅ VDPO ⇒ mBTDO=mBODP=x x+2x=90º \ xº =30º.

En el gráfico, calcule "x", si: aº - bº=65 (3. AT // NL).

a

bº

A

T

L

N

x

Resolución:

aº

bº

A2bº

2bº

bº

T

L

N

x

aº

aº

R

T

SM

Piden: "x" jMRTS: inscrito AT // NL :mAN=m TL =2bº B exterior: bº+90º=a+x 90≡=

65aº - bº +x

\ x=25º.

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Geometría

Quinto UNI46

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Se tiene un rectánguloABCD. En4. BC se ubica el punto "E" tal que el cuadrilátero ABED seacircunscriptible a una circunferencia de radio "2" yalacircunferenciainscritaeneltriángulo.ECDtiene la longitud de su radio igual a 1. Calcule mBEAD.

Resolución:

A

B C

c

D

E ba

a+b

1

2

x

2

2

37

4 4

Piden: "x" T.PITHOT: 4+c=2a+b...(1)T.PONCELET: c+2=b+4...(2) restando (1) y (2) 2=2a - 4 ⇒ a=3 V BAE(NOT53ºy37º) \ x=53º.

Se tiene un triángulo rectángulo en el cual la 1. diferencia entre el semiperímetro y la hipotenusa es igual a 12µ. Calcule la longitud del radio de la circunferencia inscrita en dicho triángulo.

a) 9µ b) 10 c) 12 d) 15 e) 18

Enelgráfico,calculeBD,si:R=62. µ y r=4µ.

A

B

C

D

E

Rr

a) 8µ b) 12 c) 10 d) 14 e) 9

Enelgráfico,AB=103. µ,AD=18µ, y CP=20µ. Calcule: r1+r2+r3+r4.

A

B C

D

P

Q

r1

r2

r3r4

a) 6µ b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

Unacircunferenciaestangenteatresladosde4. un romboide cuyas alturas miden 8µ y 10µ. Calcule la longitud de la cuerda determinada en la circunferencia por el cuarto lado.

a) 6µ b) 12 c) 9 d) 10 e) 8


En el gráfico "Q", "M", "L", "S" y "T" son puntos de 5. tangencia.AQLSesuntrapecio.Calcule:m LS .

A

Q

M

T S

L

Resolución:

A

Q

M

T S

L αα α

2α

2α2αO

O1

x

Piden "x" OT ⊥ AS, ON1 ⊥ AS 2α+α=90º ⇒α=30º B central: x=2α \ x=60º.

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Geometría

Quinto UNI48

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En el gráfico, BE=DP y los perímetros de los5. triángulos ABC y ADE miden 40µ y 24µ, respectivamente. Calcule TC.

A

B

C

P

DE

T

F

a) 4µ b) 5 c) 6 d) 8 e) 9

En el gráfico, BO=46. 2 µ, AH=4µ, HD=5µ, CD=7µ. Calcule BC.

A

B

C

DO

H

a) 4µ b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

Los puntos indicados son de tangencia, siendo 7. BP=6µ y TM=2µ. Calcule "R".

A

B

C

D

E

K F T M

Q

P

R

N G

a) 4µ b) 5 c) 2 3 d) 8 e) 3 3

El radio de una circunferencia y el perímetro 8. de un triángulo rectángulo circunscrito a dicha circunferencia miden 3 y 50 cm, respectivamente. Entonces, el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo rectángulo mide:

a) 44 cm b) 22 c) 11 d) 12 e) 13

En el gráfico, AC=29. µ y BC=6 2 µ. Calcule x+y.

A

B

C

O

x

y

a) ( 2 +1)µ b) (2 2 -1) c) (3 2 -1) d) 2 e) 3

En el gráfico, calcule el radio de la circunferencia 10. menor.

12

4

a) 0,5µ b) 0,6 c) 0,8 d) 1 e) 1,2

Del gráfico, calcule la altura del triángulo11. equiláteroABC.

r

r

A

B

C

a) 4r b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

Enelgráfico,"O"escentrodelcuadradoABCD,12. BE // AFyR+r=8,calculeOG.

A

B

C

D

E

F G

R

rO

a) 4 b) 8 c) 16 d) 4 2 e) 8 2

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Geometría

Quinto UNI48

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Tarea domiciliaria

Unacuerda1. EF de 16µ de longitud, dista 6µ del centro de la circunferencia. Calcule el diámetro de dicha circunferencia.

a) 5µ b) 9 c) 10 d) 15 e) 20

GrafiquealtriánguloABCyalacircunferencia2. ex-inscrita relativa a BC, que determina el puntodetangencia"Q"enlaprolongacióndeAC.SielperímetrodelaregióndeltriánguloABC es de 42µ, calcule la longitud de la diagonal del cuadrado cuyo lado es AQ.

a) 24 2 µ b) 21 2 c) 21 d) 32 e) 40

Los lados mayores de un triángulo rectángulo 3. miden 24µ y 26µ. Calcule el diámetro de la circunferencia inscrita.

a) 4µ b) 6 c) 7 d) 8 e) 10

En un triángulo rectángulo, calcule la longitud 4. de su inradio, donde sus catetos miden 15µ y 20µ.

a) 2µ b) 4 c) 5 d) 8 e) 10

En un triángulo rectángulo ABC, los catetos5. AB y BC suman 34µ, la hipotenusa mide 26µ y"O"eselcentrodelacircunferenciainscrita.CalculeBO.

a) 2 2 µ b) 3 5 c) 3 6 d) 4 2 e) 4 3

EnelgráficosemuestraalcuadriláteroABCD,6. donde BC=10µ y AB=CD+AD. Calcule lasuma de los inradios de los triángulos ABC yADC.

A

B

C

D

a) 10µ b) 20 c) 15u d) 5 e) 7,5

Por un punto "P" exterior a una semicircun-7. ferencia de diámetro ABsetrazanlastangentesPQ y PR, tal que PQ // AR. Si mBBAR=20º,calcule la mBQPR.

a) 70º b) 80º c) 90º d) 100º e) 110º

En el gráfico, "I" es el incentro del triángulo 13. ABC, BN=2AB, 3(HA)=4(RQ)=6(CT)=6(TR),"T","L","J","D","Q","M"y"N"sonpuntosdetangencia. Calcule

HCAH .

A

BJ

S

IL

M

N

D

O

H C T R Q

a) 1/4 b) 3/5 c) 4/7 d) 2/7 e) 3/4

En el gráfico, AB+BC=10,AR+RS=16. ("L",14. "P" y "Q" son puntos de tangencia). Calcule el inradiodeltriánguloARS.

2θ θA

B

R

P

L

C Q S

a) 2 b) 3 c) 3,5 d) 1,5 e) 6

EnuntrapeciorectánguloABCD,rectoen"A"y15. "B",setrazaunasemicircunferenciadecentro"O"y diámetro AE en AD,estangenteen"N"y"M"a BC y CD, respectivamente. LO interseca a la semicircunferencia de "P"("L" en BN).SiLN=MD,LP=BL=1yAD=9,calculelamBLOD.

a) 127º b) 130 c) 135 d) 140 e) 14

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En una semicircunferencia de diámetro 8. AB y centro "O" se ubican los puntos "D" y "C" (D∈ AC).SetrazaCH ⊥ OB (H ∈ OB). Calcule la mBDCH,siDB=2(CH)ymAD=40º.

a) 70º b) 40º c) 75º d) 80º e) 60º

InteriormenteauncuadradoABCDsetrazauna9. semicircunferenciacondiámetroADypor"B"setrazaunatangenteaella.Calculelamedidadel ángulo formado por dicha tangente con BM, siendo "M" punto medio de CD.

a) 8º b) 10º c) 10º30' d) 7º30' e) 9º

Delgráfico,"A","B","P"y"Q"sonpuntosde10. tangencia. Calcule "xº".

A B

PQ3xº

xº

a) 30º b) 22º30' c) 36º d) 45º e) N.A.

Delgráfico,m11. BPRQ=140º. Calcule "xº".

A B

CQ

P R

xº

a) 40º b) 50º c) 70º d) 60º e) 35º

Las circunferencias ex-inscritas a los catetos 12. de un triángulo tienen radios que miden 6µ y 8u. Calcule la longitud de la hipotenusa del triángulo.

a) 10µ b) 12 c) 14 d) 18 e) 25

SetieneuncuadriláteroABCDcircunscritoauna13. circunferencia, tal que: CD=5µ, mBA=37º ymBB=90º. Si AD+BC=21µ. Calcule la medida del radio de la circunferencia.

a) 1µ b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

En el gráfico, BL+BQ=1014. µ. Calcule: R+r.

A

B

C

L

Q

R

r

a) 6µ b) 8 c) 10 d) 14 e) 12

Enun trapecio rectánguloABCD, rectoen"A"y15. "B", tomando como diámetro AB se construye una circunferencia que es tangente a CD en "M". CalculeCD,sielradiodelacircunferenciamide6µyelperímetrodelaregióndeltrapecioes38µ.

a) 8µ b) 11 c) 13 d) 15 e) 19

Las circunferencias inscrita y ex-inscrita a un 16. triánguloABCdeterminansobreelladoAClospuntos "P" y "Q", respectivamente. BC-AB=(5 3 - 6)µ. Calcule PQ.

a) (10 3 - 2)µ b) 3 c) (5 3 - 6) d) 5 3 e) (5 3 - 3)

Si : p - a=517. µ. Calcule "x" ("p" es semiperímetro delaregióndeltriánguloABC).

A

B C

D

Ox

a

a) 2,5µ b) 5 c) 7 d) 10 e) 8

Enelgráfico,"M","N","P"y"Q"sonpuntosde18. tangencia y ABCD es un cuadrado. Calcule lamBCPO.

A

CB

D

M

N O

P

Q

a) 37º b) 53º c) 30º d) 60º e) 45º

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Geometría

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En el gráfico mostrado: AD=BC, AB=PC y19. AC=a.CalculeAP.

A

B

C

D

P

r

a) a+r b) 2(a+r) c) a - 2r d) a - 3r e) 2/3 (a+3r)

Si r20. 1=3µ y r2=5µ, calcule BC.

A

B C

D

Or1

r2

a) 6µ b) 10 c) 4 d) 7 e) 8

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Problemas resueltos

Enelgráfico,"I"eselincentrodel∆ABC,"I"es1. punto de tangencia. Calcule "x".

A O E

B

C

I

x

θ

Resolución:

θ/2

A

B

C

I

x

x

θ

θ/2

θ/2

O E

Piden "x" PorpropiedadD:mBAIC=90º+θ/2 Bsemi-inscrito m IE =θ AI:bisectriz:⇒ mBBAI=θ/2 \ x=90º - θ.

Enun triángulorectánguloABC, rectoen"B",2. de incentro "I" y excentro "E" relativo a BC. Si:AI=IE,calculemBACB.

Resolución:

x

K

K E

A

B

C

L

K

137º/2K

137º/2

I45º

135º

45º

Por propiedad del excentro: mBAEC=45ºPor propiedad del incentro: mBAIC=135º

VALC:NOT y2

372

143` j

⇒ mBLAC=2

37

\x=53º.

EnuntriánguloABC,dosdesusmedianasson3. perpendiculares y miden "a" y "b". Calcule la longitud de la tercera mediana.

Resolución:

A

B

C

P

N

M

3x

32a

32x

32b

3x

3x

Ga/3

b/3

Piden:CD=x SeaAM=ayNM=b

Porprop.AG= a32

T. de Pitágoras: VAGB

x32 2

` j = b3

2 2

c m + a32 2

` j

x34 2

= b3

4 2

+ c34 2

\ x= b c2 2+ .

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Geometría

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En el gráfico mostrado, "H" es el ortocentro y 4. "O" el circuncentro del ∆ABC, calcular: "γ", si: θ+α=38º.

A

B

C

HO

θ

γ

α

Resolución:

A

B

C

HO

θα+φ

γ

α

φ

φ

φ

Por prop. del ortocentro y circuncentro mBHCA=mBOCB=φ mBBAH=mBHCB=φ α+θ +φ = φ + γ ⇒ α+θ=γ \ x=38º.

Dar el valor de verdad de las siguientes1. proposiciones : •Elcircuncentrodeuntriánguloequidistade sus vértices. •Elortocentrodeuntriánguloequidistade los lados de dicho triángulo. •Eneltriánguloequiláteroelbaricentro,el ortocentro, el circuncentro y el incentro son el mismo punto.

a) VFF b) VFV c) FVF d) VVV e) FFV

EnuntriánguloacutánguloABC, 2. mBB - mBC=40º.Siendo"I"elincentroy"O"el circuncentro de dicho triángulo, calcule la mBIAO.

a) 10º b) 15º c) 25º d) 30º e) 20º

Dadoel triánguloABCescaleno,m3. BB=120º, si su incentro es "I" y su excentro relativo a BC es "E". Calcule IE, si: IC=3µ.

a) 3 µ b) 6 c) 4,5 d) 2 3 e) 3 3

La suma de las medidas de dos ángulos exteriores 4. de un triángulo es 270º. Si el lado mayor mide 36µ, calcule la distancia del ortocentro al baricentro de dicho triángulo.

a) 15µ b) 12 c) 9 d) 18 e) 6

Calcule : "xº"5.

αº

xº

120º

βº

βºαº

a) 22,5º b) 26,5º c) 30º d) 37º e) 40º


Delgráfico,calcule:"x".BC=MC.5.

3x3x

2xx

M

A

B

C

Resolución:

3x3x

M

B

xx

β ββ

2xxA C

D

SetrazalabisectrizCD BisectrizdelBBCM. ∆BDC≅ ∆MDC:mBBDC=mBCDM M:incentrodel∆ADC ⇒ B=60º ⇒ 6x+2β+2x=180º 8x=60º

\x= º2

15 .

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Geometría

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DadountriángulorectánguloABC,setrazala6. altura BH, siendo "I1" e "I2" los incentros de lostriángulosABHyHBC.SetrazaBM ⊥ I , I 1 2 . Calcule:

BHBM .(M ∈ I1I2)

a) 3 b) 32

c) 2

d) 22 e)

42

Del gráfco,7. "I1" e "I2" son los incentros de los triángulosABHyHBC.Calcule:"xº", si: mBA=50º.

A

B

CH

xº

I1I2

a) 75º b) 80º c) 85º d) 90º e) 60º

EnuntriángulorectánguloABC(rectoen"B"),de8. incentro "I" y circuncentro "M", la mBAIM=90º.Calcule la mBAIB.

a) 90º b) 115º c) 120º d) 112,5º e) 108,5º

Grafique al triángulo ABC de incentro "I". En9. AC se marca "E" y con diámetro ECsetrazalasemicircunferencia tangente en "I" a AI. Calcule la mBBAI,sabiendoqueelBABCmide70°.

a) 40º b) 20º c) 30º d) 70º e) 25º

Grafique al cuadrilátero convexo ABCD, de10. modo que: mBABD=70°,mBDBC=55°, mBADB=mBBDC=60°. Calcule la medidadel menor ángulo que forman las diagonales del cuadriláteroABC.

a) 85º b) 95º c) 25º d) 75º e) 90º

Calcule "11. θ", si: "I" es incentro y "H" es ortocentro deltriánguloABC.

A

B

C

H

I

θ

θ

a) 10º b) 15º c) 18º d) 24º e) 32º

En un triángulo acutángulo ABC; m12. BB=20º, "O" es el circuncentro, las mediatrices deOA y OC intersecan a AB y BC en "F" y "L", respectivamente. Calcule : mBFOL.

a) 20º b) 30º c) 40º d) 60º e) 80º

EnuncuadriláteroABCD; 13. mBBAC=mBCAD=8º,mBBCA=13º, mBACD=69º. Calcule la medida del mayorángulo formado por las diagonales.

a) 150º b) 145º c) 146º d) 148º e) 158º

Del gráfico, "O" es circuncentro del triángulo14. APCyOB=CB.Calcule"x".

A

B

C

O

10º

20º

x x

P

a) 10º b) 12º c) 15º d) 9º e) 8º

Enelgráfico,"I"y"O"sonincentroyortocentro15. del triángulo ABC, respectivamente. Calcule"x".

A

B

C

I

Ox

a) 30º b) 36º c) 37º d) 45º e) 53º

En un triángulo ABC, con diámetro AC, se16. traza una semicircunferencia que contiene albaricentro"G"delaregiónABC. Si:AG=2 5 µ y mAG=53º, Calcule BC.

a) 5 17 µ b) 2 85 c) 4 34 d) 2 34 e) 34

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Geometría

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Tarea domiciliaria

Dado un triángulo, ¿cuántos puntos existen1. en el plano que equidisten de las rectas que contienen a sus lados?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Infinitos

En un triángulo ABC de baricentro "G",2. siendo:BG=AC.CalculelamBAGC.

a) 90º b) 45º c) 60º d) 75º e) 120º

Calcule la distancia del baricentro al ortocentro 3. de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 12µ.

a) 2µ b) 3 c) 4 d) 6 e) 8

En un triángulo acutángulo ABC, se traza la4. ceviana interior BP, siendo "K" circuncentro del triánguloABPy"O"circuncentrodeltriánguloPBC. Calcule la mBKPO,siendoademás:mBABC=70º.

a) 40º b) 50º c) 60º d) 70º e) 110º

En un triángulo ABC de circuncentro "K" y5. excentro relativo a BC "E". Calcule la mBA,siendo: mBBKC=2(mBBEC).

a) 30º b) 60º c) 45º d) 90º e) 75º

En el gráfico, "G" es baricentro del triángulo6. ABC,si:DC=4µ.Calcule:AM.

A

B

C

D

G

R

M

a) 4µ b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

EnunparalelogramoABCD,lamediana7. AM del triánguloABC,intersectaen"F"aBD. Si: BD=12µ. Calcule BF.

a) 2µ b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

Se tiene un cuadrado ABCD, en8. BD y en la prolongacióndeDA se ubican los puntos "E" y "F",respectivamente,demodoqueBEFGseaunrectángulo y AB∩ EF={P}. Si: mBBGE=20º,calcule la mBPDA.

a) 100º b) 25º c) 20º d) 30º e) 10º


A

B

C

10º10º x20º

20º

a) 10º b) 15º c) 20º d) 30º e) 25º


A

B

C

D

66º

xº

68º56º

48º

a) 44º b) 84º c) 72º d) 80º e) 78º

Según el gráfico, calcule el valor de "11. θ". "E" es excentrodeltriánguloABC.

A

B

C

E

O

θ

a) 18º b) 15º c) 30º d) 45º e) 60º

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Quinto UNI56

TRILCEColegios

EnunromboideABCD,seubicaelpunto"E"en12. AD,"C"eselexcentrodeltriánguloABDymBBEA=80º.CalculelamBABE.

a) 20º b) 30º c) 40º d) 50º e) 60º

EnuncuadriláteroABCD,calculelam13. BADB,si:mBBAC=40º, mBBCA=24º, mBDBC=52º,mBBDC=80º.

a) 40º b) 50º c) 60º d) 25º e) 30º

EnuntriánguloABCdecircuncentro"O"setraza14. la ceviana interior BL, de modo que: BC=LC, mBABL=20ºy"O"∈ BL. Calcule la mBLBC.

a) 20º b) 45º c) 55º d) 60º e) 65º

En el gráfico, "C", "D" y "E" son puntos de15. tangencia. ¿Qué punto notable es "P" para el triánguloABO?

A

B

C

DF

EP

O

a) Baricentro b) Incentro c) Ortocentro d) Circuncentro e) Unpuntocualquiera

EnuntriánguloABC,lam16. BABC=53º,setrazanlas alturas AD y CF. Si el circunradio de dicho triánguloes25cm,calculeDF.

a) 16 cm b) 18 c) 24 d) 20 e) 15

SetieneuntriánguloABC,endonde"H"esel17. ortocentro,"O"elcircuncentro;si: mBAHC=2(mAOC).CalculelamBABC.

a) 36º b) 40º c) 50º d) 45º e) 39º

Sobre los lados 18. AB, BC y AC de un triángulo acutángulo ABC, se construyen exteriormentelos cuadrados con centros "M", "N" y "P",respectivamente; BP y CMseintersectanen"O".¿Qué punto notable es "O" para el triánguloMNP?

a) Circuncentro b) Incentro c) Baricentro d) Ortocentroe) N.A.

EnuntriángulorectánguloABCrectoen"B",la19. mBBAC=53ºyAC=10µ. Calcule el exradio relativoalahipotenusadeltriánguloABC.

a) 10µ b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

Calcule "x", si: "H"y "O" sonelortocentroy20. circuncentrodel∆ABC.

θº θº 20º

A

B

Cx

H O

a) 70º b) 60º c) 50º d) 80º e) 40º

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Central: 619-8100

Problemas resueltos

En un triángulo ABC, acutángulo, de ortocentro 1. "O", la recta de Euler corta en el punto "F" al AC. Calcule: mBFDC, si AF=2FC=2OB ("D" es circuncentro).

Resolución:

A

B

C45º 37º/2

x

2k

3k KE F4k 2k

K

O

D

Por el dato: AF=4k FC=2k OB=2k Por propiedad del ortocentro y circuncentro DE=k AE=EC=3k

x+ º2

37 =45º

\ x= º2

53 .

En un triángulo ABC, la recta de Euler es paralela 2. a AC mBBAC=α, mBACB=β. Calcule: tgα . tgβ

Resolución:

αa a

A

B

C

O

2a

β

H

m+n m n

Q

VABQ: tgα=m n

a2

3+

VBQC: tgβ=na3

tgα tgβ=3 m n n

a2

3 2

+^ h; E (1)

VBQC: ∼ VAQH

an =

m na

23+

⇒ (2m+n)=3a2

⇒ N m n

a23 2

+^ h=1 (2)

De (1) y (2)

\tgα tgβ=3.

En un triángulo ABC, la m3. BABC=x. Si la recta de Euler corta a los lados AB y BC en "F" y "G", respectivamente, y el cuadrilátero AHOC es inscriptible, calcule x (H: ortocentro y O: circuncentro).

Resolución:

HO

F

G

A

B

C

x

Piden: x Sea H: ortocentro y O: circuncentro : AHOC: inscriptible mBAHC=mBAOC por propiedad mBAMC=180º - x mBAOC=2x 180º - x=2x \ x=60º.

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Geometría

Ciclo UNI58

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En un triángulo ABC, de circuncentro "O", ¿qué 1. punto notable es "O" de su triángulo mediano?

a) Baricentro b) Excentro c) Incentro d) Ortocentro e) Circuncentro

Dé el valor de verdad de las siguientes 2. proposiciones:

•Entodotriángulosedeterminasutriángulo pedal.

•Eneltriánguloacutángulo,elincentroesel ortocentro de su triángulo pedal.

•SilarectadeEulerpasaporunvérticedel triángulo, dicho triángulo debe tener por lo menos dos lados de igual longitud.

a) VVF b) FFV c) FVF c) FVV e) VFF

En un triángulo ABC, m3. BABC=120º (AB<BC), la recta de Euler corta a los lados BC y AC en los puntos "M" y "N", respectivamente. Calcule la mBNMC.

a) 40º b) 50º c) 60º d) 80º e) 90º

En un triángulo escaleno ABC, la recta de Euler corta 4. a los lados AB y BC en "M" y "N", respectivamente. Si mBB=60º y BN=4µ, calcule: MN.

a) 8 b) 12 c) 8 3 d) 4 3 e) 4

En el gráfico, "H" y "O" son el ortocentro y 5. circuncentro del triángulo ABC y BO // QP. Calcule "xº".

A

B

CO

P

QH

x

a) 53º b) 37º c) 45º d) 36º e) 60º

En el gráfico, calcule "6. θº", si "L" es la recta de Euler.

2θº

θº

L

a) 53º b) 45º c) 37º d) 75º e) 60º


Se tiene el triángulo ABC de ortocentro "H". "M" 4. y "R" son puntos medios de AB y BC. Si BM=8, calcule la distancia del circuncentro del triángulo medianode∆ABChaciaMR.

Resolución:

A

B

C

HO O1

α4

8

N

M Rx

Piden: x Por propiedad O1N= BH

2

⇒ O1N=4 (O1:circuncentrodel∆ABC) O1:ortocentrodel∆MNR \ x=2.

Si la medida de un ángulo del ∆ABC es 40º,5. calcule un ángulo de su triángulo tangencial.

Resolución:

A

B

C

PM

x

2x

40ºQ

∆MPQ:triángulotangencialdel∆ABC Inscrito mPQ=2x 2x+40º=180º \ x=70º.

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Geometría

Ciclo UNI58

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Geometría

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Central: 619-8100

En el gráfico: "H" es el ortocentro del triángulo 7.

ABC, "O" es el circuncentro y OBHB =

56 . Calcule

la suma de los ángulos HCO y OBC.

A

B

C

H

O

a) 30º b) 37º c) 45º d) 53º e) 60º

Sea ABC un triángulo acutángulo de ortocentro 8. "H" y circuncentro "O". Si OB=HB, calcule la mBABC.

a) 30º b) 45º c) 53º d) 60º e) 75º

Dado el triángulo acutángulo ABC, el 9. BA mide 80° y sea E1E2E3 su respectivo triángulo excentral (E1 relativo a AB y E2 relativo a BC). Calcule la suma de los ángulos E2E1E3 y E1E3E2.

a) 50º b) 60º c) 100º d) 120º e) 130º

En un triángulo ABC, se trazan las alturas 10. AM, BH y CN; desde "M" se trazan las perpendiculares MP y MQ a los lados AB y AC, respectivamente. Si PQ = 12, calcule el perímetro del triángulo órtico MHN.

a) 8µ b) 12 c) 16 d) 20 e) 24

¿Qué punto notable es el vértice de un ángulo 11. obtuso de un triángulo obtusángulo para su respectivo triángulo pedal?

a) Baricentro b) Circuncentro c) Incentro d) Ortocentro e) Punto de Gergonne

Se tiene el triángulo ABC, de ortocentro "H" y 12. circuncentro "O". Se ubica "M" y "N" en AC tal que MHON es un cuadraro. Calcule

ACBH .

a) 1/3 b) 1/4 c) 2/3 d) 1/2 e) 4/5

Se tiene un triángulo ABC, inscrito en una 13. circunferencia de centro "O". Se traza el diámetro AD, si "H" es el ortocentro del triángulo. Calcule la distancia de "O" al lado AB, sabiendo que el perímetro del cuadrilátero HBDC es 30 y la distancia de "O" al lado AC es 4µ.

a) 2µ b) 3 c) 4 d) 3,5 e) 7,5

En un triángulo acutángulo ABC de ortocentro 14. "H", la recta de Euler interseca a los lados AB y BC en los puntos "P" y "Q", respectivamente, tal que: PB=BQ. Calcule la distancia de "P" a BC. Si: AH+HC=18.

a) 9 b) 10 c) 6 d) 4,5 e) 3

Dado el triángulo acutángulo ABC, se traza la 15. altura BH, y las perpendiculares HP y HQ a los lados AB y BC, respectivamente. Demuestre que el semiperímetro del triángulo órtico pedal es igual a la longitud del segmento PQ.

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Geometría

Ciclo UNI60

www.trilce.edu.pe61


Tarea domiciliaria

En un triángulo ABC de circuncentro "O" y 1. ortocentro "H", AC=24µ y OB=13µ. Calcule BH.

a) 5µ b) 7 c) 8 d) 10 e) 12

En un cuadrilátero ABCD inscrito a una 2. circunferencia; los puntos "F" y "G" son ortocentros de los triángulos ABD y ACD. Calcule FG, si BC=4µ.

a) 1µ b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

En un triángulo acutángulo ABC: AC=4(BH). 3. Calcule la mBABC, si "H" es ortocentro del triángulo ABC.

a) 45º b) 60º c) 63º30' d) 76º e) 75º

En un triángulo acutángulo ABC de ortocentro 4. "H", se cumple que: BH=10µ y AC=24µ. Calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de BH y AC.

a) 12,5µ b) 13 c) 12 d) 15 e) 14

En un triángulo acutángulo ABC de ortocentro 5. "H" y circuncentro "K", calcule la mBABC, siendo: BH=BK.

a) 30º b) 37º c) 83º d) 60º e) 72º

Analice las siguientes proposiciones: 6. •Elortocentro,baricentroycircuncentro,en ese orden, pertenecen a la recta de Euler.

•Enuntriánguloobtusángulo,elortocentrose encuentra en el vértice del ángulo obtuso.

•Enuntriángulo,elortocentropuedecoincidir con uno de los excentros de su triángulo pedal.

a) FVF b) FFF c) VFV d) FFV e) VFF

En un triángulo ABC, m7. BABC=60º. Calcule la medida del menor ángulo determinado por BC y la recta que contiene al ortocentro y al circuncentro de dicho triángulo.

a) 25º b) 45º c) 55º d) 60º e) 30º

En un triángulo acutángulo ABC de ortocentro 8. "H" y circuncentro "O", la recta de Euler intersecta a AC en "F", de modo que: AF=2(FC)=2(HB). Calcule la mBHOC.

a) 118º b) 130º c) 118º30' d) 126º30' e) 135º

Analice las siguientes proposiciones : 9. •Elcircuncentrodeuntriángulocoincidecon el ortocentro de su triángulo mediano. •Elortocentrodeuntriángulocoincide siempre con el incentro de su triángulo órtico. •Elvérticedeuntriángulopuedecoincidir con el incentro de su triángulo pedal.

a) VFV b) VVV c) FFV d) FVV e) VFF

En un triángulo acutángulo ABC, la distancia del 10. ortocentro H a B es 4µ, la distancia del punto medio de HO a AC es 5µ ("O" es el circuncentro del triángulo ABC); en dicho triángulo se traza la altura AM, si mBBHM=37º, calcule AC.

a) 18µ b) 20 c) 19 d) 21 e) 22

Del gráfico, calcule "xº".11.

A

B C

D

20º

30º

xº

60º

40º

a) 18º b) 15º c) 80º d) 45º e) 60º

En un triángulo ABC, m12. BABC=120º. Calcule la medida del mayor ángulo formado por la recta de Euler y el lado BC.

a) 130º b) 145º c) 160º d) 175º e) 120º

Calcule la medida de un ángulo interior de un 13. triángulo, si se sabe que es igual a la medida del ángulo interior opuesto de su triángulo tangencial.

a) 30º b) 45º c) 36º d) 60º e) 54º

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Geometría

Ciclo UNI60

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Geometría

www.trilce.edu.pe61

Central: 619-8100

En un triángulo rectángulo ABC, recto en 14. "B", se traza la altura BH. "M" y "N" son los incentros de los triángulos ABH y HBC. Se traza la perpendicular BR a MN. Si mBBAC=50º, calcule la BRBH.(RE MN)

a) 5º b) 10º c) 15º d) 20º e) 25º

Grafique el triángulo acutángulo ABC de 15. circuncentro "O". Si la mBA=70º, calcule la mBOBC.

a) 18º b) 20º c) 15º d) 37º e) 35º

En un triángulo acutángulo ABC, se trazan las 16. alturas, cortándose en "O". Si la distancia entre los circuncentros de los triángulos ABC y AOC es 8µ, calcule: OB.

a) 4µ b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

En un triángulo ABC, se sabe que: 17. mBAHC=mBAKC. Calcule la mBAIC, siendo: "H", "K" e "I" el ortocentro, circuncentro e incentro, respectivamente.

a) 100º b) 80º c) 60º d) 120º e) 135º

En un triángulo obtusángulo, la distancia 18. del ortocentro al baricentro mide (a+b) y la distancia del circuncentro al ortocentro mide (2a). Calcule (b/a).

a) 1/2 b) 3/5 c) 2/3 d) 1/3 e) 1

Calcule la distancia del circuncentro de un 19. triángulo acutángulo ABC hacia la altura BF, sabiendo que su circunradio mide 12µ y mBA - mBC=30º.

a) 4µ b) 6 c) 8 d) 9 e) 10

En el gráfico mostrado, 20. QR // PS. Calcule "αº".

P

Q R

S

4αº

4αº

αº

2αº

a) 15º b) 18º c) 5º d) 10º e) 12º

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Ciclo UNI62

TRILCEColegios

ÁritméticaGeometría

www.trilce.edu.pe63

Central: 619-8100

Problemas resueltos

Del gráfico, MNPQ es un cuadrado 1. AB // NP y MP=4(PB). Calcule

QCRQ

A

B

C

M

R Q

N

P

Resolución:A

B

C

M

R Q

N

P

D

2m 2m45º 45º

x x

Piden yx

MP=4 m, PB=PB=m Complementando la semicircunferencia "D",

"M" y "B" son colinelaes porque mDA=90º mBDBC=90º :RMBC: T. THALES

yx =

mm

32[[ \ x=

yx =

32 .

En el gráfico mostrado 2. AB // HD, AH=4. Calcule RP.

A

B

CH

D

P

M

R

αα

Resolución:

A

B

CH

D

P

M

R

α

α

α

a

a2

2

4

x

DH // AB DCBD =

HCAH

Aplicando T. Ceva. (AM)(BD)(HC)=(AH)(DC)(BM) ⇒ AM=MB DH // AB ⇒ HR=RD T. Mediana relativa a la hipotenusa \x=2.

En el gráfico mostrado, MN=6, PC=8. Calcule AC.3.

A

B

CM N P

Resolución:

A

B

CM N P

c

a

b

2c

6 8e=4n

x

Piden: "x"

T. Thales ba = e

8 ⇒ e=8

ba =

e 86+

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www.trilce.edu.pe63

Central: 619-8100


Grafique al triángulo ABC, de modo que: AB=9 dm, 1. BC=12 dm y AC=14 dm. Trace la bisectriz interior BI y la mediana BM. Calcule el valor de MI.

a) 0,5 dm b) 1 c) 2 d) 2,5 e) 3

Sea ABC un triángulo cuyo lado 2. AC mida 8 dm. Trace la mediana AF y la ceviana CE, de modo que la prolongación de EF corte a la prolongación de AC en "H". Calcule el valor de HC, si AE=6 dm y EB=4 dm.

a) 10 dm b) 12 c) 14 d) 16 e) 18

Sea ABC un triángulo, 3. AI una bisectriz interior, y trace IF paralela a AC (F∈FB). Si FB=4 dm y FI=5 dm, calcule el valor de AC.

a) 10,20 dm b) 11,25 c) 12,25 d) 13,25 e) 14,25

Dado el triángulo ABC, marque "H" en 4. AB, "E" y "F" en BC, de modo que: F∈EC, HE // AF, HF // AC, EB=7 dm y EF=9 dm. Calcule CF.

a) 18,23 dm b) 19,75 c) 20,57 d) 21,22 e) 23

T. Thales: 6

12 =c

a b+ ⇒ 2c=a+b

T. Thales: cc

23 = x

18

\ x=27º.

En el gráfico, ME=3, EC=5. Calcule BE. 4.

M

rA

B

θθ

θE

C

Resolución:

M

r x

3-x

rA

B

E

C

θ

5

4

Piden: "x" AM=AL ⇒ mAM=mAL ⇒BInscrito: mBACL=θ V MEC: NOT 53º y 37º ⇒ MC=4 T. Bisectriz interna

45 =

xx

3 -

\ x=35 .

En el gráfico, BM=MC. 5. LMAL =

35 . Calcule

LNBL .

α α

A

B

M

CN

L

Resolución:

α α

A

B

M

CN

L

3m

3k

5k 3m

y

5n

5m

6n

Piden: yx

T. Bisectriz interna AB=5 m BM=3 m T. Bisectriz interna AB=5 n NC=6 n ∆BNC:T.Menelao⇒ MC=4 3m[ x 5n[=3m[ y 11n[

\ yx =

511

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Ciclo UNI64

TRILCEColegios

Geometría

Ciclo UNI64

www.trilce.edu.pe65


En un triángulo ABC, los ángulos BAC y ACB miden 5. 73° y 39°, en ese orden. Calcule la distancia del incentro al vértice "B", en función de los lados.

a) a b ca b b+ +

+^ h b) a b cb c b+ +

+^ h c) a b ca c c+ +

+^ h

d) a b ca c a+ +

+^ h e) a b ca b a+ +

+^ h

En un triángulo ABC, AB=36. µ, BC=12µ. Calcule la medida de la bisectriz interior, si mBB=120º.

a) 2µ b) 2,4 c) 4 d) 5 e) 6

Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en B; 7. si en AB se ubican los puntos "P" y "Q", tal que : mBACP=mBPCQ=mBQCB; AP=a y PQ=b. Calcule QB.

a) b

a a b2+^ h b)

ba a b2 +^ h c)

ab (a+b)

d) ab (2a+b) e)

ab a b

2+^ h

En el gráfico, L8. 1//L2//L3//L4. Calcule: x+y+z+w.

5

3z

y 4y

3y+1 4z+16

3z+yx2 - 1 w2+5w

L1

L2

L3

L4

a) 10 b) 12 c) 13 d) 15 e) 20

En un triángulo ABC, se traza la bisectriz exterior 9. BT, "T" en la prolongación de AC. Si BT=10 y las alturas AH y CR del triángulo ABC miden 8 y 4, respectivamente, calcule mBTBC.

a) 37º b) 53 c) 45 d) 60 e) 75

Grafique la semicircunferencia de diámetro 10. AB y en la prolongación de AB marque "P". Luego trace la secante PSQ, las cuerdas AS y QB que se cortan en "E". La perpendicular trazada a AB por "E", corta a SQ en "F", si : QF=5 dm y SF=2 dm. Calcule SP.

a) 3 dm b) 4 c) 4,66 d) 5,44 e) 6,66

Grafique al pentágono ABCDE de modo que 11. ABDE sea un cuadrado y que el ángulo ECD mida 45°. Las diagonales AC y CE cortan a BD en los puntos "P" y "Q", respectivamente. Si BP y QD miden 5 dm y 12 dm, en ese orden, calcule el valor de PD.

a) 12 dm b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

En el gráfico : EF = 3 , FG = 1. Calcule GH, si 12. "T" es punto de tangencia.

E F G H

T

a) 1 b) 2 c) 3 d) 0,5 e) 2,5

Se tiene un triángulo ABC inscrito en una 13. circunferencia; se trazan las cevianas interiores AM y AN, paralelas a las tangentes trazadas a la circunferencia por "B" y "C", si AB=K y AC=P. Calcule: BM / NC.

a) PK

2

2

b) KP

2

2

c) KP

d) PK e)

PK2

En el gráfico, AB=CD=3 y BM=2. Calcule MD.14.

A

B C

D

α+θθ

αa+b

b

a

M

a) 1 b) 2 c) 3 d) 2 e) 3

En el gráfico, 15. BC // AD. Calcule PD, si MP=6 y AN=2(NC).

A

B C

D

M

N

P

a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 e) 18

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Ciclo UNI64

TRILCEColegios

Geometría

Ciclo UNI64

www.trilce.edu.pe65


Tarea domiciliaria

Dado un triángulo ABC, se traza la bisectriz 1. BF (F en AC) y luego se traza la ceviana AM (M en BC), la cual intersecta en su punto medio a BF. Si BM=4µ y CM=12µ, calcule AB.

a) 4µ b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

En un triángulo ABC, si m2. BB=120º, AB=5µ y BC=15µ. Se traza la bisectriz interior BE. Calcule BE.

a) 11/4 b) 17/8 c) 15/4 d) 17/4 e) 19/6

En el gráfico, calcule "xº".3.

6

x9

12

α α

a) 10µ b) 7 c) 4 d) 6 e) 8

En el gráfico mostrado, si los radios de 4. las semicircunferencias miden 3µ y 4µ, respectivamente, calcule TD. (T: punto de tangencia).

A B

D

T

a) 3 b) 2,8 c) 3,6 d) 4 e) 2,4

En el gráfico mostrado, I 5. → incentro del triángulo ABC. Además: AB=5µ; BC=7µ; AC=6µ y EM // BD. Calcule AM.

A

B

CD

EI

M

a) 13/12 b) 15/11 c) 15/17 d) 15/13 e) 13/7

Del gráfico, BP = 5(AP) , BQ = 3(QC); AM=MD 6. y NC=20µ. Calcule DN.

A

B

C

PM

D

N

Q

a) 8µ b) 9 c) 10 d) 12 e) 15

Del gráfico, AH=77. µ y HB=2µ. Calcule BC.

AH B

C

a) 2,8µ b) 3,6 c) 4,8 d) 4 e) 5

Del gráfico, calcule "IG", siendo I: incentro, G: 8. baricentro y BI=6µ. (AM = MC).

A

B

C

IG

M

θθ

a) 1,5µ b) 2 c) 2,5 d) 3 e) 4

Del gráfico, L9. 1//L2, L3//L4. Calcule la relación entre AB y PQ, siendo (BC)(CD)=36µ2

(QR)(RS)=12µ2.

A

B

C

D

P

Q

R

S

L1

L2

L3

L4

a) 2µ b) 2 c) 3 d) 3 e) 5

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Ciclo UNI66

TRILCEColegios

En un triángulo ABC; m10. BABC=120º, AB=4µ y BC=6µ. Calcule la longitud del segmento bisectriz interior, trazada desde el vértice "B".

a) 5µ b) 4,2 c) 2,4 d) 2,8 e) 2

En un cuadrilátero ABCD, las prolongaciones 11. de BC y AD se intersecan en E. Calcule DE, si AB=3µ; CD=2µ y AD=4µ. Además: mBABC=mBBCD.

a) 13µ/3 b) 4/3 c) 5/3 d) 16/3 e) 8/3

En un triángulo ABC, se traza la bisectriz 12. exterior del ángulo de vértice "B" que interseca a la prolongación de AC en "F". Luego, se ubica el punto "D" en AB, tal que: DF corta a BC en "E". Si AD=2µ, BD=4µ y BE=3µ, calcule EC.

a) 0,5µ b) 1 c) 1,5 d) 2 e) 2,5

En un paralelogramo ABCD, en la prolongación 13. de AB se ubica el punto "E", ED intersecta a BC y AC en "M" y "N", respectivamente. Calcule ED, si MN=9µ y ND=15µ.

a) 20µ b) 16 c) 40 d) 25 e) 31

En un triángulo ABC, por el punto medio de 14. AB se traza una recta perpendicular a la bisectriz interna BD; dicha recta intersecta a BC en "Q". Calcule QC, si AB=6µ, AD=5µ y DC=QC.

a) 6µ b) 5 c) 10 d) 15 e) 11

En un triángulo ABC (AB=BC), la bisectriz 15. interior AF intersecta a la altura BH en "E". Si AE=6µ, EF=4µ y BE=12µ, calcule HE.

a) 3µ b) 4 c) 5 d) 3,5 e) 4,5

En el gráfico mostrado, calcule AB, si 16. EB // AF, CD=a, BC=b (D: punto de tangencia).

A

B

C

DE

F

a) ab (a - b) b)

a bab+

c) ab (a+b)

d) ab a b+ e) ab

En la figura, calcule CD, si BD=7, AB=BC, 17. PB=4PH.

A

B

C

D

H

P

αα

a) 2,5 b) 3,5 c) 3 d) 2,8 e) 3,8

En la circunferencia de centro "O", calcule AB, 18. si BC=3, AH=HC=CD.

A H C D

BO

a) 5 b) 8 c) 6 d) 9 e) 7

En la figura, calcule "x", si AB=1 y BC=3.19.

A B C

45º

45º

x

a) 37º b) 53º c) 45º d) 15º e) 8º

En el gráfico, calcule FC, si BF=8 y AM=MC.20.

A

B

CM

F

αα

a) 16 b) 8 c) 12 d) 14 e) 10

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Ciclo UNI66

TRILCEColegios

www.trilce.edu.pe67

Central: 619-8100

Problemas resueltos

En el gráfico: "P" y "Q" son puntos de tangencia, 1. calcule PT, si AM=9, BN=16.

A PO B

N

T

M

Q

Resolución:

α

A PO

B

N

T

M

Q

αα15

x

2016

90º90º

9

n

n

Piden x Por Pro.: mAT=mTB V ANQ ∼ V QNB: n

16=

n9 ⇒ n=12

Por Prop. l= .15 2015 20

+2 ⇒ l=

760 2

∆AQP∼∆QTB

l x15+

= l20

\x=14

125 2 .

En el gráfico mostrado AM=a, BM=b. Calcule: TQ.2.

ααA

B

C

M

T

Q

Resolución:

α

α

αA

B

C

M

T

Qθ

a

b

b x

θ

θ

Piden: x mBQBC=mBQAC ∆ABM∼∆BTQ

xb =

ba

\x=ab2

.

Se tiene un triángulo ABC inscrito en una 3. circunferencia: AB=6, BC=8, AC=7. Por "B" se traza la tangente a dicha circunferencia que interseca a la prolongación de CA en "P". Calcule: PA.

Resolución:

A

B

CP

α3k

6

7

8

α

4kx

Piden: x ∆APB∼∆PBC

PCPB =

43

Por Prop.

(3k)2=4k(4k - 7) ⇒ k=4 \ x=9.

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Geometría

Ciclo UNI68

www.trilce.edu.pe69


En el gráfico: 3(AB)=2(EB). DE=18. Calcule AC 4. (BC=BD).

A

B

C DE

θ

θ

Resolución:

A

B

C DE

θ

θα

α

a a

x

3k

18

2k

e

Piden: x Del dato AB=2k EB=3k Por Prop. (2k)2=l . x (3k)2 = l . 18 ⇒ x

94

18=

\ x=8.


En un pentágono ABCDE, se sabe que: 1. mBCDE=mBCBE=mBCAE=90°, BC=CD=20 dm, AC=50 dm y BD ∩ AC={Q}. Calcule el valor de QC.a) 4 dm b) 6 c) 8 d) 12 e) 14

En una circunferencia de centro "O" se encuentra 2. inscrito un triángulo ABC. Sea "P" punto medio de AB y trace desde "P" perpendiculares a los radios OB y OA que cortan en "M" y "N" a los lados BC y AC, respectivamente. Si: (PM)(NP)=162 dm2. Calcule AB.

a) 9 dm b) 9 2 c) 18 2 d) 18 e) 18 3

A, B y C son puntos de tangencia. Si los radios 3. miden "a" y "b", calcule la distancia de "C" a la tangente común AB.

A

B

CO1 O2

ab

a) ab b) 2 ab c) a b

ab2+

d) a b2 2+ e) a b

ab+

En un triángulo rectángulo ABC, donde "I" es 5. incentro, si (AI)(IC)=400. AC=40. Calcule BI.

αα

a

45º 45º

45

b

2x 2

2x 2

2

2b

135

A

B

C

T

40M

I

x

Piden: x Del dato AB=400 Por Prop. del incentro mBAIC=90º+ º

290 =135º

IN= x2

2

VAIM ∼ VACT

b

x

22

22

[

[ = a40

⇒ bx = a

40

x= ab40

=40

400

\ x=10.

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Geometría

Ciclo UNI68

www.trilce.edu.pe69


Geometría

www.trilce.edu.pe69

Central: 619-8100

En la figura: R=12, OA=10 y OB=14,4. Calcule 4. "r" ("P" punto de tangencia).

A

B

POR

r

a) 5 b) 8 c) 6 d) 7,2 e) 4,8

En un triángulo rectángulo ABC, donde "I" es 5. incentro, si (AI)(IC)=400 dm2 y la hipotenusa AC=40 dm, calcule BI.

a) 20 dm b) 15 c) 10 d) 5 e) 12

En el gráfico: DC=8 y ED=4. Calcule AE. 6. (L1 // L2 // L3)

A

B

CDE

FG

l1 l2

l3

a) 24 b) 16 c) 12 d) 12,5 e) 8,5

En la figura mostrada, calcule FH, si BN=1 y 7. AM=4. (A y F: punto de tangencia).

A

M N

F

H

B

a) 2µ b) 2,4 c) 4 d) 5 e) 6

En el gráfico, BM=MN y ABCD es un cuadrado. 8. Calcule "x".

A

B C

D

M N

x

a) 8º b) 15º c) 37°/2 d) 53°/2 e) 30º

En el gráfico, EFGH es un paralelogramo y 9. (FH)(EF)=9(MN). Calcule EH.

E

F N G

H

M

αα

a) 4 b) 18 c) 4,5 d) 9 e) 5

En la figura: RS=10, ES=5, VE=3. Calcule ST.10. R

S

TV

E

β

β+θ

θθ

a) 2 b) 2,5 c) 4 d) 6 e) 8

En el gráfico R=6 dm, r=4 dm, si "A", "P", "Q", 11. "C", son puntos de tangencia. Calcule el inradio del triángulo ABC.

A

B

C

P

rQ

R

a) 4 b) 3 c) 2,5 d) 2,4 e) 2

Según el gráfico, calcule "R", si TQ=QP=4, 12. AE=10.

A BP

QR

ET

a) 4 b) 6 c) 7 d) 8 e) 5

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Geometría

Ciclo UNI70

www.trilce.edu.pe71


Tarea domiciliaria

Sea ABCD un trapecio cuya base menor 1. BC mide 3 dm. Las diagonales e cortan en "O" y se cumple que 5(BO)=2(DO). Calcule AD.

a) 6,7 dm b) 7 c) 7,5 d) 8 e) 8,5

Grafique el trapecio rectángulo ABCD 2. (mBB=mBC=90º) cuyas diagonales se cortan en "O". Si AB y CD miden 4 dm y 6 dm, en ese orden, calcule la distancia de "O" hasta BC.

a) 1,6 dm b) 2,4 c) 3,6 d) 4,2 e) 5

En el gráfico mostrado, calcule: 3.

m DCE m DECm ACB m ABCB BB B

++

10

12

14

5

6 7

A

B

C

D E

a) 1/2 b) 1 c) 2 d) 3/2 e) 4/3

Grafique dos circunferencias tangentes exteriores 4. de radios 5 dm y 4 dm. Luego se trazan las rectas tangentes comunes exteriores que se cortan en "P". Calcule la mayor distancia de "P" a la circunferencia mayor.

a) 40 dm b) 42 c) 50 d) 56 e) 60

Grafique al rectángulo ABCD y trace 5. DH perpendicular a AC, y QH perpendicular a AD. Calcule DH, si HQ=4 dm y AB=25 dm.

a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18

En el gráfico: PQ=6 dm, QM=2 dm y R=5 dm. 6. Calcule la mayor flecha correspondiente a la cuerda AB.

P

Q M

AN BO

R

a) 1,6 dm b) 2,8 c) 7,1 d) 8,4 e) 9,6

En la figura, AT=2(TB), m13. DE=mET, si BC=2, BT=6 y DF=3. Calcule AE (T: punto de tangencia).

A

B

C

D

E

FT

a) 8 b) 6 c) 3 2 d) 4 e) 2 2

En el gráfico 14. ( )

( ) ( )BN

EB BT =3, si "M" y "N" son puntos

de tangencia. Calcule BM.

A

B

E

M N

T

θ θ θ

a) 1,5 b) 2 c) 3 d) 4,5 e) 6

En el gráfico, ABCD es un paralelogramo. 15. AB=BD, (EB)(JC)=16 y BJ=2. Calcule EC.

A

B C

D

E

R

J

a) 4 b) 8 2 c) 32 d) 8 e) 16

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Geometría

Ciclo UNI70

www.trilce.edu.pe71


Geometría

www.trilce.edu.pe71

Central: 619-8100

Grafique el cuadrado ABCD de 30 dm de lado.7. En AB, marque los puntos "M" y "N" de modo que: AM=MN=NB=10 dm. AC y DM se cortan en "Q". DB y NC se cortan en "P". Calcule PQ.

a) 15 dm b) 15 c) 17,2 d) 17,5 e) 20

En un paralelogramo ABCD (AB<BC), sobre 8. BD se ubican los puntos "P" y "Q", "P" en BQ. Si las distancias de "P" y "Q" a los lados AB y BC, respectivamente, están en la relación de 5 y 6, y CD=9, calcule BC. (BP=PQ=QD).

a) 12 b) 14 c) 15 d) 18 e) 10

Un trapecio ABCD está inscrito en una 9. circunferencia, la base menor BC mide 18 dm, AB=12 dm. Por "C" se traza una tangente a la circunferencia que con la prolongación de AD se corta en Q. Calcule DQ.

a) 8 dm b) 7 c) 6 d) 9 e) 10

En un triángulo ABC, donde: AB=910. µ, BC=10µ, y AC=8µ, se traza una recta paralela al lado AB que interseca a BC y AC en "P" y "Q", respectivamente; además, contiene al incentro del triángulo. Calcule PQ.

a) 7µ b) 4,5 c) 5 d) 6 e) 8

En el gráfico, 2(AC)=3(CD). Calcule 11. DEAB

A

B

C

D

E

θº

θº

a) 32 b)

43 c)

34

d) 23 e)

35

En el gráfico mostrado, AMPC es un 12. paralelogramo. Calcule PQ, si MN=3µ y NP=5µ.

A

B

C

M N P Qαα

a) 2,4µ b) 3 c) 3,2 d) 3,6 e) 4,8

En el gráfico, PE=813. µ, BC=10µ y CD=16µ. Calcule PF. (B y D: puntos de tangencia).

PC

B

D

F

A

E

a) 5µ b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

En la circunferencia de centro "O", calcule PQ, 14. si AP=5 y AB=6.

A

B

C

Q

HO

P

a) 1 b) 2,2 c) 2 d) 2,3 e) 1

En la figura, calcule BC, si "O" es cincuncentro del 15. triángulo ABC. Si: BN=NC, AM=5 y MC=4.

A

B

C

O

M

N

a) 3 2 b) 2 3 c) 6 2 d) 2 6 e) 5

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Geometría

Ciclo UNI72

www.trilce.edu.pe73


Ciclo UNI72

www.trilce.edu.pe73


En la semicircunferencia, calcule PQ, si AT=8, 16. BQ=9 y AB=12 (O es centro).

A O B

T QP

a) 6 b) 8 c) 7 d) 3 e) 4

En la figura, calcule ME, si BC=16, AB=12 y 17. AM=MC.

A

B

CM

E

a) 6 b) 8 c) 7 d) 15/2 e) 4

En la figura, calcule x si AB=BC=CD.18.

A

B

C

D

Eα

α

x

a) 37º b) 60º c) 30º d) 45º e) 53º

En la siguiente figura, calcule AD, si AB=6, 19. DE=3, AD=CE+1.

A

B

CD

E

a) 3 b) 6 c) 3 d) 4 e) 5

En la siguiente figura, calcule AD, si AB=6, 20. DE=3, AD=CE+1.

A

B

C D

P R

xx

a) 30º b) 37º c) 53º d) 45º e) 60º

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Geometría

Ciclo UNI72

www.trilce.edu.pe73


Ciclo UNI72

www.trilce.edu.pe73


Problemas resueltos

En el gráfico: calcule m1. LE!. AB es igual al diámetro de la circunferencia (B: punto de tangencia). ALEF: cuadrado.

B

AL

E F

Resolución:B

45º

2rAL

E F

m

m xr

r

r

S (2r) m2 2-

Piden x AB = 2r T. tangente: (2r)2=( ( ) m25 2 2- +m)m ⇒ m= 2 r ∆ STL: NOT 45º y 45º B inscrito \x=90º.

En la figura, "D" es punto de tangencia. AD y 2. NQ son diámetros. AB=4, NM=2 y PQ=3. Calcule BC.

DN

A

BC

P

Q

M

Resolución:

DN

A

BC

P

Q

M

x

4

3

x+2x+4

x+1

2

Piden: x T. cuerdas: x(x+4)=(x+2)(x+1) \x=3.

Si A, B, C y D son puntos de tangencia, PQ=QF, 3. calcule:

FDPB

B P D

CQ

A

F

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Geometría

Ciclo UNI74

www.trilce.edu.pe75


Resolución:B P D

y2θ

2θ

m

mC

θ

θ

Q

A

F

x

Por prop. circunferencias tangentes exteriores :ACQF: inscriptible T. Tangente: x2=(AP)(CP) T. Tangente: y2=2m.m :ACQF: T. secante (AP)(CP)=2m.m ⇒ x=y \

yx =1.

En el gráfico, calcule: 4. APAC , si AB=BC (P: punto de

tangencia). A

B

CP

Resolución:A

P

B

C

E

F

L

nm

m

mBAEF=mBCBF:: Inscrito ⇒ :LFCB: inscriptible T. Secante: 2m.m=(AF)(AL) T. Tangente: n2=(AF)(AL) ⇒2m2=n2

\ nm2 = 2 .

5. En el gráfico, T es punto de tangencia. EB=3, AB=9. AB // DN. Calcule ET.

E

B

A M D

N

T

Resolución:

E

B

A M D

N

T

P

// //

3

9

θ

θ θ

x

: MPND: Inscrito : ABPM: Inscriptible T. Secante: 12.3=(ME)(PE) T. Tangente: x2=(ME)(PE) ⇒ x2 = 12.3 \ x = 6

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Geometría

Ciclo UNI74

www.trilce.edu.pe75


Geometría

www.trilce.edu.pe75

Central: 619-8100


En la figura, AH = 5 y HB = 10. Calcule "PH"1. .

P

C

AH

B

a) 4 2 b) 3/2 2 c) 2

5 2 d) 2/5 2 e) 2 3

Enlafigura,calcule"AB".2.

12

AB

a) 2 2 b) 3 c) 6 d) 2 e) 9

En la figura, AB = 2; CD = 4 y EF = 5. Calcule 3. "OT". (P: punto de tangencia).

P

A

BEC F

D

OT

a) 2 b) 2,5 c) 3 d) 1,5 e) 3

En la figura, calcule "PT". Si AT = 64. µ y TB = 2µ. (P y T: puntos de tangencia)

AT

B

P

a) 2 3 µ b) 4 c) 3 2 d) 5 e) 3

Se tiene un trapecio isósceles, una de sus 5. diagonales mide 2 79 unidades y el producto de las longitudes de sus bases es igual a 216 u2. Calcular la longitud de uno de los lados laterales.

a) 79 b) 12 c) 6 2 d) 10 e) 4 5

En la figura, ET = 40 y EF = 58. Calcule "FP". 6. (P y T: puntos de tangencia).

T

E

FP

a) 40 b) 42 c) 44 d) 46 e) 48

Desde un punto "P" exterior a una circunferencia 7. se trazan las secantes PAB y PCD; de tal manera que: PA=CD, AB=3 y PC=4. Calcule: AP.

a) 3 +1 b) 4 c) 5 +1

d) 5 e) 2

65 1+

En la figura: AP = 5, PB =3 y OP= 8. 3 . Calcule "r". A

B

P

O

E

r

a) 4,2 b) 2 2 c) 4,4 d) 3 2 e) 2 3

9. En la figura, AT = a y BP = b. Calcule "AB" en función de "a" y "b". (P y T: puntos de tangencia).

A B

P

T

a) ab b) a b

ab2+

c) a b2 2+

d) a+b e) a ab b2 2+-

10. En la figura : AH =10, HB = 24 y PH = 30. Calcule: OH.

A B

O

H

P

a) 8 b) 3 5 c) 6 d) 170 e) 9

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Geometría

Ciclo UNI76

www.trilce.edu.pe77


Tarea domiciliaria

Sobre el arco AB de una circunferencia circunscrita 1. a un cuadrado ABCD, se ubica el punto "P", tal que : PB + PD = 8u. Calcule PC.

a) 2 u b) 2 2 c) 4 d) 4 2 e) 8

De la figura : PC=3u; CD=5u y AP=4u. 2. Calcule AB.

PQ

I

AB

C

D

a) 2 u b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

Del gráfico: CM=MD. Calcule BE, si el lado del 3. cuadrado ABCD mide "a".

A

B C

D

E

M

a) a 5 b) a 3 c) 5a5

d) a3

3 e) a2

2

Calcule PT, si BC=24. µ y AB=1µ. (T y B son puntos de tangencia).

A

B

C

P

T

a) 4µ b) 2 c) 1 d) 1,2 e) 3

11. Sea ABCD un romboide cuyas diagonales AC y BD miden 20 dm y 16 dm, en ese orden. La circunferencia circunscrita al triángulo ABD es secante a BC y tangente en CD en "D". Calcule CD.

a) 3 2 dm b) 4 3 c) 6 d) 6 2 e) 2 7

12. En una semicircunferencia de diámetro AB y centro "O", se traza el radio OC⊥AB y la cuerda AD, de modo que: AD∩OC={E}. El radio de la circunferencia que contiene a los puntos "C", "D" y "E" mide 2 . Calcule "DE", si AB=8.

a) 53 6 b)

56 5 c) 3 3

d) 4 2 e) 5 7

13. En la figura, "P" es punto de tangencia. AB=1, BC=6 y DC=5. Calcule (PB)2+(PC)2.

A B

CDP

O

a) 11 b) 35 c) 46 d) 38 e) 52

14. En el gráfico mostrado: CD=4 y DE=1. Calcule "BC" (O y O1 son centros).

A B

DC

E

O O1

a) 7 b) 5 c) 2 d) 21 e) 35

15. Grafique un cuadrado ABCD cuyo lado mida 15 dm. Sea "C" una circunferencia de centro "D" y radio igual a 15 dm. BM corta a "C" en "E", siendo "M" punto medio de CD. Calcule el valor de EB.

a) 3 2 dm b) 3 5 c) 6 3 d) 6 2 e) 5

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Geometría

Ciclo UNI76

www.trilce.edu.pe77


Geometría

www.trilce.edu.pe77

Central: 619-8100

Del gráfico: AM=MC, calcule BQ, siendo: AP=4u, 5. PB=5u y QC=3u (M es punto de tangencia)

A

B

CM

PQ

a) 8u b) 9 c) 7 d) 10 e) 12

Dado un romboide ABCD, cuyas diagonales son 6. AC=8u y DB=10u, la circunferencia que pasa por "B", "C" y "D" corta a la prolongación de la diagonal CA en "E". Calcule AE.

a) 1,75 u b) 2,75 c) 2 d) 2,25 e) 1,25

Del gráfico: AB=AC, PQ=1u. Calcule BT. (T es 7. punto de tangencia).

A

B

C

QP

T

a) 1u b) 1,5 c) 2 d) 2 e) 2 2

Calcule PM, si ABCD: cuadrado.(BM=MC).8.

2 5

A

BP

M C

D

a) 0,5 u b) 1 c) 1,5 d) 2 e) 5

Del gráfico: 3BC=6CD=2DE y AB=6u. Calcule 9. AE.

AB C D

E

a) 10 u b) 12 c) 14

d) 16 e) 18

Del gráfico, calcule AT, siendo: AB=10. 5 u (A y T son puntos de tangencia).

A

B R2R

T

a) 2,5 u b) 2 5 c) 5 d) 7,5 e) 10

Del gráfico: AO=OB=15u, calcule PQ. (Q y T 11. son puntos de tangencia).

A

B PO

TQ

a) 3 7 b) 5 7 c) 5 3 d) 3 3 e) 7 5

Del gráfico, calcule PT, si 12. PR // CD, PQ=3µ y QR=9µ. (T: punto de tangencia).

A

B

C

D

Q

R

PT

a) 4 µ b) 5 c) 6 d) 3 3 e) 6 3

Desde un punto "F" exterior a una circunferencia 13. se trazan las tangentes FA, FB y la secante FCD que interseca a AB en el punto "G", si GC=2µ y FC=3µ. Calcule GD.

a) 8µ b) 12 c) 10 d 6 e) 14

En un triángulo ABC; AB=914. µ, AC=12µ, siendo "M" punto medio de AC. La circunferencia que pasa por los puntos "B", "C" y "M" corta a AB en "N". Calcule BN.

a) 0,5 µ c) 1 c) 2 d) 3 e) 2,5

En una circunferencia de diámetro 15. AB y centro "O", se traza una circunferencia con diámetro AO. Se traza la cuerda CD tangente a la circunferencia menor en "E". Si: CE=4u; CD=16u, calcule AE.

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TRILCEColegios

Ciclo UNI78

TRILCEColegios

Ciclo UNI78

www.trilce.edu.pe79


a) 5 2 b) 4 2 c) 5 3 d) 6 3 e) 4 3

Siendo "P" y "J" puntos de tangencia, calcule EJ, 16. si además:

AJ1 +

LJ1 =

51

A L E J

P

a) 2,5u b) 7,5 c) 5 d) 10 e) 12,5

Calcule MN, si PQ=SN, QS=117. µ y SR=3µ (P y Q son puntos de tangencia).

R

S

N

QMP

a) ( 2 +2)µ b) ( 3 +1) c) ( 2 -1) d) ( 2 +1) e) ( 5 +1)

En el gráfico: AB=BC=CD. Calcule AD, si 18. R=9µ y r=7µ.

AB C D

ORr

a) 4 b) 8 c) 12 d) 9 e) 15

En un cuadrilátero ABCD inscrito a una 19. circunferencia AC∩BD={P}, calcule

PDBP ,

siendo: AB=3u, BC=4u, CD=5u y AD=6u.

a) 53 b)

52 c)

117

d) 1 e) 2

En la circunferencia clacule "x", si "T" es punto 20. de tangencia.

APTP =

34 .

x

B O A P

T

a) 54º b) 45º c) 37º d) 60º e) 23º

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Ciclo UNI78

TRILCEColegios

Ciclo UNI78

www.trilce.edu.pe79


Problemas resueltos

Se tiene un trapecio ABCD inscrito en una 1. circunferencia AD // BC, BC=AB=2, AC=3. Calcule el radio de dicha circunferencia.

Resolución:

A

B C

DR

h

2

22

Piden R

T. Pitágoras: 22=h2+23 2

` j

⇒ h=27

∆ T. Lados: 2.2=h.2.R

2.2=27 .2R

\R=7

4 7 .

En el gráfico: BM=5, MQ=8. Calcule PQ.2.

A

P

F

M

B

Q

Resolución:

A

P

F

M

B

Q

Sx

m

n

3

5θ

θ

Por RMTR: X2=mn ∆AQB~∆QSM

n3 = m

8 ⇒ mn=24

⇒ X2=24

\x2=2 6 .

En el gráfico calcule "R". Si "P" es punto de 3. tangencia, BO=a, HO=b.

A

B

P

H O

R

Resolución:

a

A

B

P

H O

RR

bR

n

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Geometría

Ciclo UNI80

www.trilce.edu.pe81


Piden R

:Por RMTR a nR2=

:Por RMTR R nb2=

a b R2 3=

÷

\ R= a b23 .

Se tiene el triángulo rectángulo ABC, recto en 4. "B", se traza la altura BH y la ceviana interior AD. AD=DC=HC=1. Calcule BC.

Resolución:

1

a1

1

A

B

H

R

D

C

x

J

2a

Piden x Por las RMTR: x2=2a.1 ∆BHC~∆DJC x

1=

a1 ⇒ a=

x1

Remplazando x2=2 1x` j.1

\ X= 23 .

En un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", se 1. traza la altura BH; de tal manera que: HC=2 y AB=4 5 . Calcule BH.

a) 3 2 b) 3 c) 6 2 d) 4 e) 2 6

Enlafigura,AT=10yTC=24.Calcule"r".2. A

T

B C

r

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

En la figura, EM=8, MC=25 y AB=18. Calcule 3. PD.

B M C

E P

A D

a) 2 21 b) 12 c) 2 29 d) 11 e) 3 5


5. En el gráfico se muestra un cuadrado ABCD. "T" es punto de tangencia. Calcule "x".

A

B C

D

T

x

Resolución:

A

B C

D

x

O aa

37º

T

4a

3a

R

R=4a

Por el teorema de las circunferencias tangentes R=2 .R a ⇒ R=4a ∆ABO:NOT37ºy53º B Central: mBT!=37º \ X= 37

2o

.

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Geometría

Ciclo UNI80

www.trilce.edu.pe81


Geometría

www.trilce.edu.pe81

Central: 619-8100

En la figura, AH=30, HC=28 y m4. BABC=135º. Calcule BH.

A

B

CH

a) 20 b) 18 c) 16 d) 14 e) 12

En cada figura, calcule PD. ("P": punto de tangencia).5.

A

B C

D

P2

a) 2 b) 2 2 2- c) 3

d) 22

1+ e) 2( 2 -1)

En la figura, calcule "6. θ".

θ

a) 53º b) 57º30' c) 60º d) 63º30' e) 64º

En la figura, calcule: (a7. 2+b2+c2).

a

c

b3

5

7

A

B

CM

N

I

P

a) 111 b) 99 c) 92 d) 88 e) 83

En el gráfico, "M" y "N" son puntos de tangencia, 8. AN=29µ, BM=20µ. Calcule AB.

O

A

B

N

M

a) 18µ b) 20 c) 21 d) 24 e) 25

Se tiene un triángulo rectángulo ABC 9. (mBB=90º). Se traza la altura BH, luego HP ⊥ AB y HQ ⊥ BC ("P" en AB y "Q" en BC). Calcule AC, si AP=2 y CQ=16.

a) 5 3 b) 15 c) 10 2 d) 10 5 e) 18

Dado un cuadrado ABCD, se traza por "B" una 10. recta que intersecta a CD en "E" y a la prolongación de AD en "F". Si

( )BE1

2+

( )BF1

2=0,25; calcule la

longitud del lado de dicho cuadrado.

a) 2,5 b) 2 c) 5 d) 4 e) 5

En el gráfico, calcule BH, siendo "P" y "Q"11. puntos de tangencia.

3

1

A

B

Q

C

HP

a) 1 b) 1,5 c) 2,5 d) 3 e) 2 2

Enelgráfico,AB=BC,AC=412. 2 m. Calcule CF.

A

B

C

H

F

a) 2 b) 4 c) 2 2 d) 3 2 e) 6

Sea "A" un punto exterior a una circunferencia, 13. desde el cual se trazan la secante diametral ABC y la tangente AD. Luego trace las perpendiculares BE y CF a la tangente AD. Calcule EA, si: EB=4 dm y CF=9 dm.

a) 12/5 dm b) 13/6 c) 38/5 d) 48/5 e) 48/7

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Geometría

Ciclo UNI82

www.trilce.edu.pe83


Tarea domiciliaria

Del gráfico AB=PQ=8u, calcule "R" ("T" es 1. punto de tangencia)

A

B C

D

T

R

P Q

a) 4u b) 5 c) 5,5 d) 6u e) 6,5

Un arco de una circunferencia tiene una 2. cuerda de 20u y una flecha de 2u. ¿Cuánto mide el radio de la circunferencia?

a) 18u b) 20 c) 24 d) 26 e) 22

Del gráfico:(AT)3. 2+(TB)2=32u2, calcule "R". (T: punto de tangencia).

A

R

BC T

a) 2u b) 2 2 c) 4 d) 4 2 e) 6 2

Calcule la altura de un trapecio cuyas diagonales 4. son perpendiculares, siendo su mediana igual a 12,5u y el producto de sus diagonales es 300u2.

a) 8u b) 9 c) 12 d) 15 e) 18

Del gráfico, 5. AB y CD son diámetros. Calcule "BH", siendo AC=8u, CH=2u y BD=12u.

AC H B D

P

a) 2,5u b) 3 c) 3,5 d) 4 e) 6

Calcule la suma de las longitudes de los catetos 6. de un triángulo rectángulo, si la hipotenusa mide 5u y su altura relativa mide 2u.

a) 4 2 u b) 3 2 c) 3 5 d) 5 3 e) 2

El gráfico ABCD es un cuadrado. Calcule "xº".7.

x

A

B C

D

a) 18º b) 22º30' c) 23º d) 30º e) 20º

Dadas dos circunferencias de radios 2 u y 5 u; y 8. la distancia entre sus centros mide 9u. Calcule la longitud del segmento tangente común exterior a las dos circunferencias.

a) 6u b) 7 c) 8 d) 6 2 e) 8 2

GrafiqueuntriángulorectánguloABC(m14. BB=90º) y a su circunferencia inscrita de centro "O". Esta circunferencia determina los puntos de tangencia "P" en AC, "Q" en BC, respectivamente, y la prolongación de BO corta a PQ en "F". Calcule el valor de OF, si la diferencia de AB y el diámetro de la circunferencia es de 2 2 dm.

a) 1 dm b) 2 c) 3 d) 2 e) 2 2

En el gráfico: AB=c, BC=a, AC=b, CH=h,15. AH=m y HB=n. Diga qué relacion no es la correcta:

A

C

BH

a) hc =

ab +

ba b) a2m=b2n

c) abh=cmn d) hc

2=

m1 +

n1

e) b

am +a

bn =1

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Geometría

Ciclo UNI82

www.trilce.edu.pe83


Geometría

www.trilce.edu.pe83

Central: 619-8100

Del gráfico, QH=2(PQ) y BH=4u. Calcule BC.9. P

Q

AH B C

a) 4u b) 4,5 c) 5 d) 6 e) 8

Del gráfico, calcule AQ, siendo AO=OB y 10. AP=4u.

A

P

O

Q

S R B

a) 4 2 b) 4 3 c) 5 d) 6 e) 8

Del gráfico, calcule "R", si ABCD es un cuadrado.11. AP=2u y PD=23u.

A

B C

DP

R

a) 15u b) 17 c) 18 d) 20 e) 25

Si ABCD es un cuadrado de 32u de lado, 12. calcule: "x".

x

r r

A

B C

D

a) 8u b) 8,5 c) 9 d) 10 e) 12

Sobre una semicircunferencia de diámetro 13. AB se ubica el punto "P", luego se traza PH perpendicular a AB, siendo AH=5u y PB=6u. Calcule el radio de la semicircunferencia.

a) 4u b) 4,5 c) 5 d) 5,5 e) 6

Del gráfico, calcule PQ, siendo DQ=3u y 14. CQ=12u.

A B

C

D

P

Q

a) 6u b) 4 c) 5 d) 6,5 e) 7,5

Del gráfico, AO=OB. Calcule la relación de 15. "R" y "r".

A

O B

r

R

a) 2 b) 3/2 c) 5/2 d) 5/3 e) 1/4

Del punto medio del cateto de un triángulo 16. rectángulo se traza una perpendicular a la hipotenusa, dividiendo a esta en dos segmentos que miden 3u y 5u. Calcule la longitud de los catetos.

a) 4u y 4 3 b) 2 3 y 2u c) 5u y 6u d) 4u y 5u e) 8 3 u y 8u

En un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", 17. se traza la altura BH, tal que 9(AH)=4(HC) y AB=4u. Calcule BC.

a) 9u b) 6 c) 8 d) 4 e) 5

En el gráfico mostrado, m18. AM!+mNB!=90º, EL=7u y LM=2u. Calcule AB.

A B

EL

M N

O

a) 7u b) 5 c) 3 2 d) 6 e) 3

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TRILCEColegios

Ciclo UNI84

TRILCEColegios

Ciclo UNI84

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En un triángulo rectángulo ABC, m19. BB=90º, se traza la mediana CM. Calcule la distancia del punto "A" a la mediana CM. Si MC=18u y AB=12u.

a) 4 2 b) 3 2 c) 2 d) 2 2 e) 3

E20. n un triángulo ABC se traza la altura BH. Calcule la longitud del segmento que une el incentro del triángulo BHC con el punto "A". BH=3u, AH=2u y HC=4u.

a) u2

10 b) 10 c) 2 10

d) 2 5 e) 3 5

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Ciclo UNI84

TRILCEColegios

Ciclo UNI84

www.trilce.edu.pe85


En el gráfico, (AB)(CD) = 6. Calcule FC.1. mFD = m DI

BC

DF

A I

a) 6 b) 3 c) 6 d) 3 e) 2 6

En el gráfico, calcule TH, si ABCD es un2. cuadrado. PA=4 y DQ=9.

A

B C

DHP Q

R

T

a) 111/25 b) 114/25 c) 104/25 d) 102/25 e) 109/25

En un triángulo ABC de incentro "I", se traza la 3. bisectriz interior BE que, prolongada, corta a la circunferencia circunscrita en "D". Si BI=6 m y ED=1 m. Calcule IE.

a) 1 m b) 1,5 c) 2 d) 2,5 e) 3

Grafique el triángulo rectángulo ABC (m4. BB=90º), con AB=8 dm. En BC se marca "F", de modo que la distancia FH a la hipotenusa AC mide 5 dm. Si, además, HC mide 6 dm, calcule el valor de BC.

a) 8,6 dm b) 9,1 c) 9,6 d) 10,2 e) 10,6

En la figura: AB=9 m, BC=7 m y AC=8 m. Si 5. MN // AC, calcule MN.

A

B

C

M N

a) 2 m b) 8/3 c) 3 d) 10/3 e) 7/2

En una circunferencia de diámetro 6. AB, se traza una cuerda CD en una de las semicircunferencias, se trazan CM y DN perpendiculares a AB y la perpendicular BS a la prolongación de CD. Calcule BS, si BM=6 y NB=2.

a) 2 b) 2 2 c) 2 3 d) 2 5 e) 2 6

En un triángulo ABC, en su región interior 7. se ubica un punto "P", se trazan PQ y PT perpendiculares a AB y BC, respectivamente, si PB.AC=48u2. QT=6u. Calcule la medida del circunradio del triángulo ABC.

a) 3 u b) 4 c) 5 d) 6 e) 8

Del gráfico, calcule "r" si R=4, r8. 1=2.

r1

r

R

a) 1 b) 2/3 c) 3/2 d) 2 e) 1/2


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Geometría

Ciclo UNI86

www.trilce.edu.pe87


Enelgráfico:9. BC // AD, AM=3, BM=4 y CM=5. Calcule DM.

A

B C

DM O

a) 3 2 b) 4 2 c) 5 d) 6 e) 8 2

Enelgráfico,calculeCR,si(PD).(AH)=6410. .A

BC

D

R

H P

a) 6 b) 6,5 c) 7 d) 8 e) 12

Calcule, si MP11. 2+MC2, si EC=4 2 . "O", centro de la circunferencia y semicircunferencia.

T

M

P O C

E

a) 25 b) 32 c) 30 d) 24 e) 64

Calcule AM, si PB=3AQ=3.12.

A Q

M

O B

P

a) 10 b) 5 c) 2 10

d) 210 e)

25

Delgráfico:AB=13,BC=20yAC=21.Calcule13. BS.

A

B

CS

16º

a) 13 b) 15 c) 17 d) 20 e) 5 3

Grafiqueal trapecioABCD, cuyasbases14. BC y AD miden 4 dm y 8 dm respectivamente. Sea EF el segmento que une los puntos medios de las diagonales y "H" el punto de corte de AB y CD. Si la altura del trapecio mide 6 dm, calcule la distancia de "H" hacia EF.

a) 4 dm b) 6 c) 8 d) 9 e) 12

La secante trazada por el vértice "A" de un 15. cuadrado ABCD corta a BC en "M" y a la prolongación de DC en "N". Siendo:

AM1

2 +

AN1

2 =

361

Calcule la logitud del lado del cuadrado.

a) 6 b) 3 c) 12 d) 4,5 e) 9

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Geometría

Ciclo UNI86

www.trilce.edu.pe87


Geometría

www.trilce.edu.pe87

Central: 619-8100

Tarea domiciliaria

Calcule el radio de la circunferencia inscrita en 1. un rombo cuyas diagonales miden 8 cm y 6 cm, respectivamente.

a) 1,8 b) 2,6 c) 2 d) 2,4 e) 2,5

Calcule el radio de cuadrante AOB, si 2. AM=2 y BN=4.

A

BO

N

M

a) 11 b) 10 c) 9 d) 15 e) 12

De la figura mostrada, halle AB, si PQ=3, PT=9 3. y AB // QT.

A

B

Q

TO

P

a) 4 4 b) 2 3 c) 3 10 d) 4 5 e) 6

Calcule el radio de la circunferencia menor, si 4. AD=8 y BC=2.

A

D

C

BO

a) 2 b) 3 c) 0,5 d) 1 e) 5 1

2-^ h

Se tiene el triángulo rectángulo ABC, recto en 5. "B", se traza la altura BH, de tal manera que AH=1 y HC=3. Calcule el perímetro de la región triangular ABC.

a) 9 b) 10 c) 5( 3 +2) d) 2(3+ 3 ) e) 8 3

Los tres lados de un triángulo miden 9, 16 y 6. 17 metros, respectivamente. Al disminuirles en "x", el triángulo sería rectángulo. Calcule "x".

a) 4 b) 7 c) 2 d) 1,5 e) 1

En el triángulo rectángulo ABC, recto en "C", 7. se traza la altura CH, desde "H" se trazan las perpendiculares HM y HN a los catetos AC y BC, respectivamente ("M" en AC y "N" en BC), de tal manera que AM=X, BN=Y, AB=Z y CH=h. Indique la relación correcta.

a) h2=X2+Y2+Z2

b) Z2=h2+Y2+Z2

c) hZ = 4XY d) h2=Z(X+Y)e) h3=XYZ

Calcule la mediana relativa a la hipotenusa de 8. un triángulo rectángulo, si las medianas relativas a los catetos miden 6 y 8 cm.

a) 5 b) 5 c) 10 d) 2 5 e) 15

Se tiene un cuadrante AOB de radio "R". 9. Considerando como diámetro el radio OA, se traza una semicircunferencia interiormente. Halle el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo mixtilíneo AOB.

a) R/2 b) R c) R/3 d) R/4 e) R/5

Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en 10. "B", se traza la altura BH de tal manera que AH=4 y HC=5. Calcule el perímetro de dicho triángulo.

a) 9 b) 10 c) 2(3+ 3 ) d) 3(5+ 5 ) e) 8 3

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Ciclo UNI88

TRILCEColegios


www.trilce.edu.pe89

Central: 619-8100

Problemas resueltos

En un triángulo ABC, AB=5, BC=6 y AC=7. La 1. circunferencia inscrita es tangente a AB y BC en "M" y "N", respectivamente. Calcule MN.

Resolución:

A

B

MN

x

C

5

7

6

Piden "x" Por propiedad: BM=p∆ABC - 7 BM=9 - 7 BM=2 Ley de cosenos 72=52+62 - 2(5)(6) Cos θ ⇒ Cosθ=

51

x2=22+22 - 2(2)(2) Cos θ x2=8 - 8.

51

\x=452 .

En un triángulo ABC, de baricentro "G", calcule: 2. AG2+BG2+CG2, si AB2+BC2+AC2=48.

Resolución:

/

/

~ ~

22

2x

2y

y

x z

a

b

cG

A

B

C

Piden x2+y2+z2

Dato a2+b2+c2 =48

Por Prop.: a b c

y x z2

32

32

32 2

2 2 2

2

+ +

+ +c ` `m j j =43

Remplazando: ( )y x z

4849 2 2 2

+ +=

43

\x2 + y2 + z2=16.

En el gráfico, AP=PQ, (BQ)3. 2+(GQ)2=65u2 y (CQ)2+(QF)2=17u2. Calcule AQ.

AB

C D

F G

P

Q

Resolución:

AB

C D

F G

P

Q

m t

m

d

a

b

c

Piden 2m Dato: c2+d2=65, a2+b2=17 T. Marlen >ABCD: a2+(2m)2=c2+t2 +

>PFGD:17 4 65

+m m

b t m d2 2

2 2 2 2

+ = += +

3m2=48 ⇒ m=4 \ 2m=8.

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www.trilce.edu.pe89

Central: 619-8100

Dado el triángulo ABC: BC=a y AC=b, se 1. ubican los puntos "M" y "N" de manera que: AM=MN=NB. Calcule: CM2+CN2+4MN2. ("M" y "N" en AB).

a) (a2+b2) b) (a+b)2 c) a2+b2 d) (a - b)2 e) ab

Se tienen dos circunferencias secantes de radios 2. 21u y 36u, y la distancia entre sus centros es 30u. Calcule la distancia de uno de sus puntos de intersección a la tangente común mas cercana.

a) 3,2u b) 4,2 c) 2,8 d) 3,6 e) 3,8

En el gráfico, m3. BABD=45º, AD=7u y DC=1u. Calcule BD.

A

B

CDO

a) 3u b) 4 c) 2 d) 7/5 e) 1

En una circunferencia de centro "O", diámetro 4. AB, se trazan las cuerdas CD y DE de manera que: CD∩AO={M}, DE∩OB={N}, CM=6 5; MD=10 5 u, DN=25u y NE=7u. Calcule ON2 - OM2.

a) 81 u2 b) 100 c) 120 d) 125 e) 130

Determine la razón entre dos lados consecutivos 5. de un paralelogramo que tiene un ángulo cuya medida es 60º, sabiendo que la razon entre los cuadrados de sus diagonales es igual a 19/7.

a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4 d) 4/5 e) 2/5

En un cuadrilátero ABCD, 6. mBABC=90º. Luego se traza DO∩AC ("O" ∈ AC), tal que: AO=OC, también BH ⊥ OC (H ∈ a OC). Si AD=4m, BH=3m, calcule DH.

a) 5 m b) 7 c) 6 d) 10 e) 2 5


En el gráfico, calcule "a", si R=12 y r=6.4.

r

a

R

Resolución:

a

R

12 6+a9.5

9 918

6

12

T. Mediana (12+a)2+(6+a)2=2(9 - a)2+

218 2

\ a=2.

5. En un trapecio ABCD, BC // AD, BC=12, AD=23, AC=25, BD=29. Calcule la altura del trapecio.

Resolución:

A

B C

D

h

23

2929

13

25

13L

Piden h Se traza CL // BD T.Heron∆ACL(p∆ACL=45) ∆ABO:NOT37ºy53º h= . . .

362 45 20 16 9

h=181 . 3.4.5.3.2

\ X=20

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Ciclo UNI90

TRILCEColegios

Geometría

Ciclo UNI90

www.trilce.edu.pe91


t

Según el gráfico, calcule DE, si CD=5BC=5; 7. AE=3u y "O": centro.

A BC

O

E D

a) 2 11 b) 2 14 c) 14 d) 2 7 e) 3 7

En un triángulo ABC, la mediatriz de 8. AC intersecta a BC y la bisectriz exterior del ángulo "B", en los puntos "P" y "Q" respectivamente. Si AQ intersecta a BC en "E", calcule AE, si, AB=6 cm, PC=2EP=8 cm.

a) 6 cm b) 4 3 c) 2 6 d) 3 3 e) 7

En la región interior del triángulo ABC, se ubica el 9. punto "P" de modo que (PA)2+(PB)2+(PC)2=328. Calcule la distancia de "P" al baricentro de dicho triángulo, si (AB)2+(CB)2+(AC)2=840.

a) 2 2 b) 3 c) 2 3 d) 4 e) 6

Enlafigura,calcule"r".10.

r

5

3

a) 2 b) 120/49 c) 5 d) 33/15 e) 6

Enlafigura,calculeEP.11.

E

P8

a) 6 b) 2 2 c) 5 d) 4 2 e) 4

Enelgráfico,AB=12dmyBC=5dm.Calcule12. PQ.

P

QA

B

C

a) 35 13 b)

32 29 c)

615 13

d) 1315 26 e)

1320 11

Segúnlafigura,AB=4.Calcule"r".13.

A O B

r

a) 6 b) 3 c) 2

d) 36 e) 6

2

Calcule AM, si PB=3(AQ)=6.14.

A Q

M

O B

P

a) 10 b) 5 c) 2 10 d) 10 2 e) 5 2

Segúnlafigura,calculeEB,si15. α+θ =90º y (BC)(AB) - (AE)(DE)=25.

A

D

E

B

Cα

θ

a) 2 2 b) 5 c) 4 2 d) 5 3 e) 2 6

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Ciclo UNI90

TRILCEColegios

Geometría

Ciclo UNI90

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Tarea domiciliaria

Las bases de un trapecio miden 2u y 6u. Calcule la 1. longitud del segmento que une los puntos medios de las bases, siendo los lados los laterales 3u y 4u.

a) 8 u b) ,8 5 c) 3 d) ,7 5 e) 7

Dado un rectángulo ABCD, fuera de él se 2. ubica el punto "P", tal que : AP = 4u, BP=3u y PD=5u. Calcule PC.

a) 4 u b) 3 2 c) 4 2 d) 3,45 e) 5

En un triángulo, sus medianas miden 9u, 12u 3. y 15u. Calcule la longitud del menor lado del triángulo.

a) 9 u b) 8 c) 10 d) 12 e) 13

En un rombo ABCD, sobre 4. BC se ubica el punto medio "M". Siendo : AM=9 y DM=13 u. Calcule el lado del rombo.

a) 11,5 u b) 11 c) 10 d) 12 e) 10,5

Del gráfico : AC5. 2+BC2=37 u2 y PC=3u. Calcule OM. (PM=MC).

A B

C M

P

O

a) 5 u b) 7 c) 4 5 d) 2 7 e) 2 5

Dado un triángulo ABC, se traza la bisectriz 6. interior AD y la mediana AM, tal que: AD=DM. Calcule BC, siendo : (AB)(AC)=16 u2.

a 4 u b) 6 c) 8 d) 4 2 e) 8 2

En un triángulo acutángulo ABC se traza una 7. paralela por "B" al lado AC; la bisectriz interior del ángulo "A" corta a dicha paralela en "E". Calcule AE, si AB = 5u, BC =4 2 u y AC = 7u.

a) 5 5 b) 6 5 c) 8 3 d) 4 5 e) 9 3

En un triángulo acutángulo ABC, se traza la 8. altura AN. Calcule: (BN)(NC). Si AN=4u y AB2+AC2 - BC2=6u2.

a) 10 u2 b) 12 c) 13 d) 9 e) 14

En un cuadrilátero ABCD, se tiene que: 9. AB2+CD2=120u2, BC2+AD2=140u2, AC=5u. Luego se trazan las perpendiculares BM y DN relativas a AC. Calcule MN.

a) 1 u b) 1,5 c) 2 d) 2 e) 3

En un triángulo acutángulo ABC, considerando 10. como diámetro el lado AC, se traza una semicircunferencia que intersecta al lado AB en el punto "E" y a BC en el punto "F". Si: AB . AE+BC . FC=18 u2, calcule AC.

a) 3u b) 3 2 c) 6 d) 2 6 e) 4,5

Se tienen dos circunferencias concéntricas de 11. radios "r" y "R" (r<R) y centro "O". Calcule:

BE ECAF FD

2 2

2 2++

A B CD

E

F

O

a) R r

Rr+

b) R2+r2 c) 1

d) 1,5 e) rR

Calcule el perímetro de la región del triángulo 12. cuyos lados son proporcionales a los números 13u, 37u y 40u. Sabiendo, además, que la longitud de su menor altura es 24 u.

a) 120u b) 360 c) 180 d) 240 e) 540

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Ciclo UNI92

TRILCEColegios

En el gráfico, ABCD es un cuadrado y 13. BE2 - BC2= AE(AE+10). Calcule la distancia de D a DH.

A

B

C

D

EH

a) 2u b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

En el gráfico, 14. AC es diámetro; AB . BD=27 u2 y CH=5 3 u. Calcule BC.

θº θº

A

B

CDE

H

a) 5 3 u b) 4 3 c) 3 2 d) 6 2 e) 6 3

Siendo: "P", "Q" y "T" puntos de tangencia, 15. calcule:

OTAP .

A

AO

PQ

T

a) 2 b) 3 c) 1 d) 6 e) 2

En un trapecio ABCD (16. BC // AD), cuya base media mide 2u, calcule DM, siendo "M" el punto medio de AB, y CD2 - 2MC2=2u2.

a) 1 u b) 2 c) 3 d) 4 e) 2,5

En el trapecio escaleno ABCD (17. BC // AD), se cumple: AB2+CD2=16u2 y BC.AD=5u2. Calcule: AC2+BD2.

a) 3u2 b) 4 c) 13 d) 26 e) 12

En un triángulo ABC, de baricentro "G" y 18. circuncentro "O", si AB2+BC2+AC2=54u2 y R= 10 u (R es el circunradio), calcule OG.

a) 1u b) 2 c) 3 d 4 e) 5

Los lados de un triángulo miden 13u, 14u y 15u. 19. Calcule la altura relativa al lado intermedio.

a) 9 u b) 10 c) 12 d) 11 e) 5

Los lados de un triángulo miden 10u, 17u y 20. 21u. Calcule la altura menor.

a) 4 u b) 5 c) 8 d) 9 e) 3

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Ciclo UNI92

TRILCEColegios

www.trilce.edu.pe93

Central: 619-8100

Problemas resueltos

En la figura mostrada se cumple 1. AD=DC=BC=6. Calcule BD.

A

B

C

α

7α

2αD

Resolución:

A

B

C

α 2αD

7α

Por propiedad: 7α=120º - α α=15º ⇒ ∆BDC:T.Elementaldeldodecágono

\x=6 2 3- .

En el gráfico, calcule AM en función de "R".2.

θθ

RA

M

Resolución:

θθ

RA

M45º/2

45º/2

x

137º/2

135º

Piden x

Por Prop.: 2θ=45º

θ: º2

45 ⇒ mAM!=135º

⇒ AM=2ap8

x=2 R2

2 2+ .

\x=R 2 2+ .

Un triángulo ABC está inscrito en una 3. circunferencia BC=2 10 2 5+ , mBC!=144º. Calcule el radio de la circunferencia.

Resolución:

18º

18º

144º

R

RO

A

B

C

10 2 5+

10 2 52 +

Piden R BL=ap12 10 2 5+ = R

410 2 5+

\ R=4.

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Geometría

Ciclo UNI94

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En el gráfico, calcule PN, si R= 1. 2 3+ . ("P" y "Q" son puntos de tangencia).

R

P

QN

R

a) 1 b) 2 3- c) 1,5 d) 2 e) 4/3

En un nonágono regular ABCDEFGHI, calcule 2. AF, si AB + AC = 6 m.

a) 2 b) 3 c) 6 d) 2 2 e) 4

En el gráfico, calcule DB, si m3. BC!= 55º; r= 10 2 5+ m.

r

A

B

C

D

O

a) 5 m b) 2 5 c) 3 5 d) 4 5 e) 10

En el gráfico, la m4. BABM = 18º; AB =410 2 5- . Calcule : MN.

θθ

M

N

B

A C

a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 4 e) 2


En el gráfico mostrado, 4. EMAE =

2 22 2+

-, calcule

mMC!.

E

A

B

C

M

O T

Resolución:

a(2

2 +

)

a( 22 - )

a( 22 - )E

A

B

C

M

O T

45/2

90

x

45

Piden X ∆BEM(NOT45ºy45º)⇒ BE=a 2 2- ∆ABE:AE=ap8

mBBAE= º2

45 ⇒ mBM!=45º

\ x=45º.

Si en una misma circunferencia se inscriben 5. polígonos regulares de l5, l6 y l10; de lados l5=m, l6=k, calcule l10.

Resolución:

Por propiedad: 152=l102+l6

2

m2=l102+k2

\l10= m k2 2- .

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Geometría

Ciclo UNI94

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Geometría

www.trilce.edu.pe95

Central: 619-8100

Calcule el perímetro de un heptágono regular 5. ABCDEFG, si:

AC1 +

AD1 =

61

a) 12 b) 18 c) 21 d) 42 e) 49

En el gráfico, calcule AD, si: 6. AB = BC = CD = 2 3+ m.

A

B

C

α

6α

2αD

a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 2,5 e) 2

En un polígono regular de 13 lados: 7. V1V2V3... V13, si V1V4=a y V1V5=b. Calcule: V4V10.

a) a b+ b) 2 ( )b a b+ c) a b2 2

+ d) ( )a a b+ e) ab

En un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", 8. interiormente se ubica un punto "P", tal que: mBBAC = 52º; mBACP = 2º. Además: PB = 5 y AC = 10 2 5+ . Calcule: mBPBC.

a) 12º b) 16º c) 18º d) 20º e) 30º

En una circunferencia, se traza la cuerda 9. CD y el diámetro AB los cuales se intersecan en "P", tal que: mCAD!=144º. Calcule el radio de dicha circunferencia, si las distancias de "A" y "B" a CD son 1 y 5 m, respectivamente.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 21 e)

23

En un dodecágono regular: ABCDEFGHIJKL, 10. AG ∩ DI={P}. Calcule: AP, si AB= 6 .

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

En un cuadrilátero ABCD inscriptible, m11. BBAC=60º, mBBCA=15º y el circunradio del cuadrilátero es "R". Calcule AC.

a) R( 2 2 3- - )

b) R( 2 2 3+ - )

c) R 2 3+d) R( 3 2 3- + )e) R( 2 2 3+ + )

En un heptágono regular ABCDEFG, se cumple 12. que: (FC)2+4(EG)2=(2+BE)2. Calcule la longitud de su lado.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

En el gráfico, calcule el lado del cuadrado 13. inscrito en el sector circular, si R = 1

30º

A

BR

O

a) 13

5 3+ b) 13

8 2 3+

c) 3

5 3- d) 13

5 2 3-

e) 13

5 2 3+

En la figura mostrada, PQCD es un cuadrado, 14. mAC!=18º, CE= 5 +1. Calcule FR.

Q

F

P

R

C

EDB O

A

a) 1.5 3 b) 2 c) 1

d) 2 e) 52

3+

En un triángulo ABC se tiene que : m15. BA=75º, mBB=45º, AC=2 2 m. Calcule la longitud del segmento que une los pies de las alturas trazadas desde los vértices "A" y "C".

a) 43 b) 1 c)

45

d) 23 e) 2

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Geometría

Ciclo UNI96

www.trilce.edu.pe97


Tarea domiciliaria

Calcule el apotema del octógono regular, cuyo 1. perímetro es igual a 32 2 2- u.

a) 4u b) 2 2+ c) 2 d) 2 2 2+ e) 4 2 2-

En la figura : 2. AC y BD son los lados que corresponden a polígonos regulares de 4 y 3 lados, respectivamente. Calcule "φ".

φ

A

B

C

D

E

a) 24º b) 20º c) 18º d) 15º e) 12º

Calcule el lado del decágono regular cuyo 3. apotema mide: 2 5 5+

a) 2( 5 +1)u b) 8 c) 2( 5 - 1) d) 12 e) 2/3( 5 - 1)

En la figura, AB=4. 4 2 2- u, BC= 5 5- u y R= 2 u. Calcule "n".

A

B

R

C

θ

nθ

a) 2 u b) 54 c) 6

d) 23 e) 4

Calcule el lado del dodecágono regular, si el 5. producto de su lado con el apotema es igual a dos unidades.

a) 4u b) 2 2 c) 8 d) 2 2 3- e) 2 3+

En la figura, R= 6. 2 u. Calcule AB.

18ºA

B

R

a) 5 10+ /2 b) 5 10+ c) 5 5+ d) 2( 5 - 1) e) 2( 2 +2)

Se tiene un triángulo obtusángulo ABC, obtuso 7. en "B", de tal manera que : mBC=15º, AB=2 4 2 3- u y AC=4u. Calcule mBB.

a) 120º b) 130º c) 135º d) 142º e) 150º

En un octógono regular ABCDEFGH, inscrito en 8. una circunferencia, sobre el arco BC se ubica el punto "P", de tal manera que: PA=a y PG=b. Calcule PE.

a) a b2+ b) 2b - a c) ab2

d) b a2 - e) a b2 2+

Calcule el apotema de un polígono regular de 9. tres lados, si el perímetro de su región es igual a 18u.

a) 4u b) 2 2 c) 3 d) 3 e) 6

En la figura, 10. AC y BD son lados que corresponden a polígonos regulares de 5 y 3 lados, respectivamente. Calcule "x".

A B

x

CD

a) 18º b) 15º c) 12º d) 9º e) 6º

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Geometría

Ciclo UNI96

www.trilce.edu.pe97


Geometría

www.trilce.edu.pe97

Central: 619-8100

Calcule el perímetro de la región del pentágono 11. regular cuyo apotema mide dos unidades.

a) 5( 5 - 1) 10 2 5- u

b) 5( 5 +1) 2

c) 10( 5 - 1) 10 2 5-

d) 5( 5 - 1) 5 5+

e) 10( 5 +1) 5 1-

En la figura, 12. AB y BC miden 8 u y 12u, respectivamente. Calcule: (α - φ), si R=2u.

φα

A

B

C

R

a) 5º b) 8º c) 12º d) 15º e) 10º

El perímetro de la región de un octógono regular 13. es igual a 32 unidades. Calcule el apotema de dicho polígono.

a) ( 2 +2)u b) 2(1+ 2 ) c) 4 2 d) 8( 2 - 1) e) 3 3

En la figura, 14. α= 135º y R = 2u. Calcule AB.

AB

R

α

a) 2 2 b) 4 2 2+ c) 2 2 2- d) 3 2 e) 2 2 1+^ h

En un triángulo obtusángulo ABC, obtuso 15. en "A"; se sabe que: mBS=18º; AC=10u y BC=(5+5 5 )u. Calcule mBA.

a) 105° b) 115° c) 120° d) 135° e) 150°

En la figura : AB=16. 2 u, AD=2u y CD= 6 u. Calcule BC, si R2=2u2.

A

B C

D

R

a) 3 u b) 2 2 c) 2 d) 3 e) 5

En un triángulo acutángulo ABC, se trazan las alturas 17. AM y CN, de tal manera que: mBNCM=30º. Calcule MN, si AC=8u.

a) 4( 5 -1)u b) 2 2 c) 2( 5 +1) d) 4 e) 10 2 5-

En la figura : BC=4. Calcule AB.18.

A

B

C36º

a)2u b)2 2 c)25

10 2 5-

d) 10 2 55

5 1- -^ h e) 2( 5 - 1)

Se tiene el trapecio isósceles ABCD, 19. AD // BC, de modo que: AC=AD y mBCAD=36º. Calcule BC, si BD=( 5 +1)u.

a) 5 - 1u b) 4 c) 52

1+ d) 2 e) 5

20. Calcule la razón entre los perímetros de un hexágono regular y un octógono regular inscritos en una misma circunferencia.

a) 3/8 b) 4/3 c) 3/4 d) 3/4 2 2- e) 2 2-

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Ciclo UNI98

TRILCEColegios


www.trilce.edu.pe99

Central: 619-8100

Problemas resueltos

En la figura, ABCD es un cuadrado: AB=3; r=1. 1. Calcule el área de la región triangular PAQ.

A

BC Q

P r

Resolución:

A

B C Q

P1

3 2

22

22

22

PidenA∆PAQ AC⊥PQ

A∆APQ=22 ×

27 2

\x=3,5.

En la figura, AP=PC, PQRS es un cuadrado y 2. BQ=3. Calcule el área de la región PQBR.

A

Q

B

R

P S C

Resolución:

3

∼ ∼

A

S

Q

M M

N N

B

R

P SC

m m

Como QR // AC ∆QPS≅ ∆QBR(ALA) ⇒ SP=3 N+M= .

23 3

A SOMB=2(S L+ )=2 x 29

\A SOMB=9

Según el gráfico, "B" y "C" son puntos de 3. tangencia, mAB!=37º y el área de la región OPQC=10. Calcule el área de la región triangular BPQ.

A

B

P Q

O C

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www.trilce.edu.pe99

Central: 619-8100

Resolución:A

B

P

37º

Q

O C

37º

37º53º/2

53º/22l

l

l

2l

BQ=QC

∆BQO(NOT2

53 º y 2

127 º) QC=l, OC=2l

>OPBQ: inscriptible

mBBQP=37º

∆PBQ= .l l22 Sen 37º

=l2.Sen 37º

=5 × 53

\ A∆PBQ=5

Calcule el área de una región triangular en la cual 4. las longitudes de las medianas son 6, 9 y 12.

Resolución: Piden 6M

M M

M 4

4

M

G

3 M

M

M

6

62

2

8

a

/

/

A

B

C

T

E

SeaGbaricentrode∆ABC ∆BGE≅ ∆ETC 2m= . . .9 5 3 1 2M= 3 5 × 3 \ 6M=9 5

En el gráfico, calcule "x". (BC=2AB. AM=MC)5.

x 3

A

B

CM

Resolución:

2aa

x 3

A

B

CM

Piden "x" ⇒A∆ABM=A∆MBC

ax2

= .a2

2 3

\x=6www.

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Ciclo UNI100

TRILCEColegios

Geometría

Ciclo UNI100

www.trilce.edu.pe101


En el gráfico, calcule el área de la región 1. sombreada, si BF = 5u y AC = 12 u.

A

B

CH

F

a) 60 u2 b) 45 c) 40 d) 30 e) 15

ABCD es un cuadrado, "Q" es punto de 2. tangencia. Si BQ = 9 dm, calcule el área de la región triangular BFE.

A

B C

Q

E

DF

a) 81 dm2 b) 81/9 c) 27/2 d) 81/2 e) N.A.

Calcule el área de la región triangular ABC, si 3. R.AB=12 cm2 y mBPAB=mTQ!. (T: punto de tangencia).

A

B

C

RQ

TP

a) 6 cm2 b) 8 c) 10 d) 12 e) 24

Calcule el área de la región sombreada en el 4. semicírculo mostrado, si AP=PC, BP=2 m, PD=4 m.

A

B

C

D

P

a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8

Calcule el área de una región triangular, si su 5. inradio mide 2 dm y los segmentos determinados por la circunferencia inscrita sobre un lado miden 3 dm y 5 dm.

a) 120/11 dm b) 240/11 c) 20 d) 21 e) 42

En un triángulo rectángulo, la suma de los 6. ex-radios relativos a los catetos es 13 m y el inradio es 1 m. Calcule el área de dicha región triangular.

a) 11 m2 b) 12 c) 14 d) 15 e) 16

En la figura mostrada, calcule el área de la región 7. sombreada PBS, si el rectángulo se encuentra inscrito en el triángulo ABC, además: AP=4, PS=13 y SC=9.

A

B

CP

Q R

S

a) 65 b) 78 c) 91 d) 104 e) 156

En el gráfico, QM=6u. Calcule el área de la región 8. sombreada. (TM=MB).

O Q B N

MT

A

a) 8 2 u2 b) 9 2 c) 12 2 d) 16 2 e) 18 2

En el gráfico, calcule el área de la región 9. sombreada, si Rr=8u2 y mBOPQ=45º.

O

PR

Qr

O1O2

a) 6u2 b) 4 c) 8 d) 12 e) 16


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Ciclo UNI100

TRILCEColegios

Geometría

Ciclo UNI100



En la figura, halle las relaciones de las áreas de 10. las regiones triangulares AOP y OO1Q.

AO

P

Q

B

O1

a) 1:3 b) 1:4 c) 1:2 d) 1:1 e) 1:5

"P", "Q", "R" son puntos de tangencia, PB=m, 11. AP=n. Calcule el área de la región triangular ABC.

A

B

CR

P Q

60º

a) mn b) mn2

c) mn 3 d) mn

23 e) mn

33

En el gráfico mostrado, calcule el área de la12. región sombreada, si AL=5 y LQ=4. ("O" → centro).

θθA B

Q

P

L

O

a) 2

15 3 b) 2

15 5 c) 4

15 7

d) 4

15 5 e) 4

15 3

Enlafigura:[(CT)-R]R=16m13. 2. Calcule S1+2S2,

siendo "F", "N" y "T" puntos de tangencia.

S2

S1

AT

C

BF

N

a) 10m2 b) 12 c) 16 d) 8 e) 20

En una circunferencia de diámetro AB se 14. inscriben los triángulos isósceles AMC(AM=MC) y CBN(CN=NB), tal que "C" pertenece al diámetro y "M", "N", al arco AB. Si AC=2BC=4, calcule la relación de las superficies triangulares AMC y CNB.

a) 1:2 b) 3:7 c) :5 2 d) 4 :10 5 e) :2 6

En un triángulo rectángulo ABC, recto en 15. "B", se traza la bisectriz interior BD, la cual al prolongarse corta a la circunferencia circunscrita en el punto "M". Calcule el área de la región triangular ABC, si BD=4 m y DM=6 m.

a) 26 m2 b) 25 c) 18 d) 24 e) 20

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Ciclo UNI102

TRILCEColegios

Geometría

Ciclo UNI102



Tarea domiciliaria

Los lados de un triángulo ABC miden 2u; 3u y 1. 4u. Calcule el área de la región del triángulo y los valores del inradio y circunradio.

a) 4

3 5 u, 615 u,

158 15 u

b) 415 u,

615 u,

815 u

c) 3 5 u, 15u, 2 15u

d) 4

3 15 u, 315 u, 8 15u

e) N.A.

En la figura se tiene un cuadrado de lado igual 2. a 2u. Si "M" y "N" son puntos medios, calcule el área de la región del triángulo sombreado.Además, "T" es punto de tangencia.

A

B C

D

M

N

T

a) 1u2 b) 3/2 c) 2 d) 7/4 e) 5/3

En un triángulo rectángulo, la bisectriz interior 3. del ángulo recto determina sobre la hipotenusa dos segmentos parciales, cuyas longitudes son de 3u y 5u. Calcule el área de la región del triángulo rectángulo mencionado.

a) 17480 u2 b)

17240 c) 15

d) 16 e) 34477

Sobre los lados de un triángulo ABC, se 4. construyen exteriormente 3 cuadrados de áreas 18u2 ; 20u2 y 26u2, respectivamente. Calcule el área de la región del triángulo ABC.

a) 9 u2 b) 10 c) 26

d) 226 e) 2 26

En un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", se 5. construye exteriormente el cuadrado ACDE. Si AB=4u y BC=6u, calcule el área de la región del triángulo ABD.

a) 20 u2 b) 18 c) 30 d) 40 e) 24

Se tiene un triángulo ABC, donde: AB=40u, 6. BC=14u y AC=30u. Calcule el radio de la circunferencia que tiene su centro en la prolongación de AC y que es tangente de BC y la prolongación de AB.

a) 12u2 b) 15 c) 13

168

d) 17168 e) 30

Se tiene un hexágono equiángulo ABCDEF, 7. tal que : AB=3u, BC=4u, CD=2u y DE=6u. Calcule el área de la región hexagonal mencionada.

a) 16 3 b) 18 3 c) 67 34

d) 4

69 3 e) 4

65 3

En el gráfico, ABCD es un cuadrado de lado 8. 20u. Calcule el área de la región sombreada, siendo "T" punto de tangencia.

A

B C

D

T

a) 40 u2 b) 80 c) 100

d) 120 e) 150

En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 20u. 9. Calcule el área de la región del triángulo BEF, siendo "E" y "F" puntos de tangencia de las semicircunferencias.

A

B C

D

T

F

E

a) 48 u2 b) 50 c) 56 d) 60 e) 80

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Ciclo UNI102

TRILCEColegios

Geometría

Ciclo UNI102



En un triángulo acutángulo ABC, las distancias 10. desde los vértices "A", "B" y "C" a los lados del triángulo órtico miden 2, 3 y 6, respectivamente. Calcule el área de la región del triángulo ABC.

a) 6 u2 b) 18 c) 24 d) 30 e) 36

En un triángulo de hipotenusa 20 u y en el que 11. un cateto es el triple del otro, calcule el área de su región.

a) 120 u2 b) 60 c) 80

d) 100 e) 200

En un triángulo ABC, se traza la mediana 12. AQ. Sean "M" y "N" puntos medios de AQ y AB, respectivamente. Calcule el área de la región triangular MNB, si el triángulo ABC tiene como área de su región 80 u2.

a) 10 u2 b) 8 c) 9 d) 5 e) 20

En un triángulo ABC se traza la ceviana 13. BR y sobre ella se marca el punto "Q", de modo que:

QRBQ =

23 y RC=AR. Calcule:

SS

ABC

AQR

a) 2/15 b) 1/20 c) 3/20 d) 3/16 e) 1/5

En un triángulo ABC se trazan las medianas 14. AN y BM que se cortan en "G". Calcule el área de la región triangular MGN, si el área de la región triangular ABC es 12 u2.

a) 2 u2 b) 3 c) 4 d) 1 e) 6

Se tiene un triángulo ABC, se traza la mediana 15. BM y la ceviana AN, las cuales se cortan en "P" y BN=2(NC). Calcule el área de la región del triángulo APM, sabiendo que el área de la región del triángulo ABC es 100 u2.

a) 8 u2 b) 12 c) 20 d) 10 e) 15

Se tiene un triángulo ABC, en el cual: AB=15u, 16. BC=14u y AC=13u. La prolongación de la mediana AM interseca a la bisectriz exterior del ángulo "B" en el punto "E". Calcule el área del triángulo BME.

a) 42 u2 b) 45 c) 46 d) 49 e) 147/4

En un triángulo ABC, se trazan las cevianas 17. BM y CN, las cuales se cortan en "H". Calcule el área de la región triangular ABC, si las áreas de las regiones BHN, BHC y HMC son 6u2, 12u2 y 8u2, respectivamente.

a) 30 u2 b) 36 c) 42 d) 50 e) 45

En un triángulo ABC, sobre el lado AC se toman 18. los puntos "E" y "F", tal que EF=3u. Si AB=13u, BC=15u y AC=14u, calcule el área de la región triangular EBF.

a) 36 u2 b) 18 c) 32 d) 24 e) 16

En la figura, calcule el área de la región 19. sombreada. (AB=6u y EC=3u).

x

2x

B

A D

C

E

a) 18 u2 b) 9 c) 4,5 d) 15 e) 12

Se tiene una circunferencia de diámetro 20. AB, centro "O" y radio OC. Sea AE una cuerda que mide 10u (E ε AC! y mBAOC=90º). Calcule el área de la región triangular AQB, siendo "Q" la intersección de AC y EH. (EH ⊥ AO).

a) 25 u2 b) 100 c) 50 d) 30 e) 75

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Ciclo UNI104

TRILCEColegios



Central: 619-8100

Problemas resueltos

En el gráfico se muestran tres cuadrados. Si el 1. área del cuadrado mayor es 100 m2, calcule el área de la region sombreada (O: centro).

O

Resolución:

a

aa+b

bb

b

A B

CD

O

/

/

X

Piden "x", región sombreada x= A ABCD

24

x= 2( )a b a b a b

2

+ + ++c ^m h

x= 2(2 2 )a b a b

2

++^ h

x= ( )a b2

2+ .

pero, por dato, (a+b)2=100

\X=50.

En el gráfico, (AP)(BD)+16=(AB)2. 2+PL2. Calcule el área de la región paralelográmica ABCD.

45º

A

B C

D

P Q

L

Resolución:

45º

45º

45ºA

B C

D

P Q

L

θS

a

a

m

n45º

m

.a a n m16 2 2+ = + (DATO) piden A 4 ABCD ∆ALP≅∆ADB ⇒ AD=m, AP=BD a2=n2+m2 - 2nm Cos 45º a2=n2+m2 - nm 2 (2) DE (1) y (2) a2+16=n2+m2

n2+m2=a2+nm 2 16=nm 2 ⇒ mn=8 2 \A 4 ABCD= nm Sen 45º= 2 × 2 =3 .

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Central: 619-8100

ABCD es un paralelogramo. Calcule la relación 3. entre el área de la región sombreada y el área del 4 ABCD (BM=MC).

A

B C

D

M

Resolución:

A

B C

D

MS

SS

2S2S

3S

ON

P

Porprop.:A∆MNC= A ABCD12

4

Sea A4=12 S ⇒A∆MNC=S

Porprop.A∆MDC A ABCD4

4 =3S

Porprop.A∆BOC A ABCD4

4 =3S

\ A ABCD

Asomb4

=SS

124 =

31.

Calcule el área de la región sombreada, si 4. AB=20. (T es punto de tangencia). (TL=LC) ABCD: cuadrado.

A

B C

D

T

L

Resolución:

A

B C

D

T

L

53º

10

1037º

53º

253º

20

2020

10 10

∆OCD:Not( º2

53 ) y ( º2

127 )

mBTCD=53º A reg. sombreada= .

210 20

=100 × 53

\ A reg. sombreada=60.

En el gráfico, calcule el área de la región 5. sombreada (TM=AM). "T" es un punto de tangencia. BC=a y CA=b.

B C A

M

T

Resolución:

BC

A

M

T2

a 2b+

( )a b b+

a/2a b

//

S

O

Tangente: (AT)2=(a+b)b por prop.: S= A BOTA

24

Sa b

a b b2

2a 2b

=+ +

+

+`

^j

h

S= ( )a b4

3 4+ ( )a b b+

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Ciclo UNI106

TRILCEColegios

Geometría

Ciclo UNI106




En la figura, calcule el área de la región 1. paralelográmica EBFN. AE=4u, AB=BC=10 u, FC=9 u.

A

B

C

E F

N

a) 23 u2 b) 56 c) 23,2 2 d) 42,88 e)

25144

Según la figura, "T" es punto de tangencia y "O" 2. es centro. Calcule el área de la región rectangular ABCD, HD=6u, H ε TE!.

A

B C

HT

O D E

a) 9 u2 b) 12 c) 20 d) 36 e) 48

El exradio relativo a 3. BC de un triángulo ABC, mide 4u. Calcule el área de dicha región triangular, si los segmentos determinados por la circunferencia exinscrita sobre el lado BC miden 1u y 2u.

a) 154

u2 b) 135

c) 712

d) 5

16 e) 6

En un triángulo ABC se trazan las medianas AN 4. y BM que se cortan en "G". Calcule el área de la región triangular MGN, si el área de la región triangular ABC es 36 u2.

a) 2 u2 b) 3 c) 4 d) 1 e) 6

Calcule el área de la región sombreada, si el área 5. de la región del cuadrado ABCD es 90 u2. ("P" y "Q" son puntos medios).

A

B C

D

Q

P

a) 13 u2 b) 26 c) 30 d) 39 e) 52

E6. n la figuramostrada,ABCDesun cuadrado.Si AB=2 5 u, calcule el área de la región cuadrangular sombreada.

A

B C

DM

Q

P

a) 1 u2 b) 2 c) 3 d) 5 e) 5

Según la figura, "P", "Q" y "T" son puntos 7. de tangencia. Calcule el área de la región rectangular ABCD; MN contiene los centros de las circunferencias de AM=8u, AT=2u.

A

B

C

Q

D

M

P

T

N

a) 24 u2 b) 30 c) 36 d) 20 e) 40

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Ciclo UNI106

TRILCEColegios

Geometría

Ciclo UNI106



En la figura, "T" es punto de tangencia. Calcule el 8. área de la región limitada por el paralelogramo ABCD y CT=6.

A

B

53º

C

D

T

a) 12 u2 b) 18 c) 12 2 d) 24 e) 27

Calcule el área de la región paralelográmica 9. ABCD, en BC se ubica el punto "P" y en CD, el punto medio "M", m<ADP=90º, m<APB=mzMPD, PD=3u y PC=1u.

a) 12u2 b) 18 c) 12 2 d) 24 e) 27

Enelgráfico,A=9u10. 2, B=10 u2, C=12 u2; D= 15 u2. Calcule el área de la región sombreada.

A

D

C

B

a) 3 u2 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8

Enlafigura,ABCDesunrectángulo,yeláreade11. su región es 48 m2. Calcule el área de la región sombreada ("M" y "N" son puntos medios).

A

B C

D

M

N

a) 6 m2 b) 4 c) 5 d) 8 e) 3

El área de la región del paralelogramo ABCD es 12. 120 u2. Calcule el área de la región sombreada ("M" y "N" son puntos medios).

A

B C

D

N

M

a) 30 u2 b) 27,5 c) 25 d) 22,5 e) 20,5

Del gráfico, calcule el área de la región triangular 13. ABC, si S1=9 u2.

//

//S1

a) 36 u2 b) 42 c) 48 d) 60 e) 64

Dado un triángulo ABC, cuya región tiene 14. un área de 18 m2, se traza la altura BH, si la mediatriz de AC intersecta a BC en "N". Calcule el área de la región cuadrangular ABNH.

a) 6 m2 b) 8 c) 9 d) 10 e) 12

Calcule la diferencia de las áreas de las regiones 15. sombreadas, si el lado del cuadrado ABCD mide 8 u. (CM=MD).

A

B C

D

M

a) 8 u2 b) 12 c) 15 d) 16 e) 20

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Ciclo UNI108

TRILCEColegios

Geometría

Ciclo UNI108



Tarea domiciliaria

Calcule el área de la región del rectángulo de 98 1. m de perímetro y 41 m de diagonal.

a) 720 m2 b) 360 c) 540 d) 640 e) 480

Calcule el área de la región de un trapezoide 2. simétrico, si sus diagonales miden 14 u y 24 u.

a) 124 u2 b) 84 c) 168 d) 172 e) 147

Calcule la altura de un trapecio de bases 5 u y 13 u, 3. si es equivalente a un cuadrado de lado 6 u.

a) 2u b) 4 c) 6 d) 3 e) 9

Si A, B y C son cuadrados, calcule la relación 4. entre las áreas de sus regiones.

A

B

C

a) A = B + C

b) A2=B2+C2

c) A2=B2+C2 - BC

d) A = B + C

e) A=B+C - 2 BC

Calcule el área de la región del trapecio ABCD, 5. si CQ=1u y QD=9 u.

/

A

B C

D

Q

R

a) 24 u2 b) 48 c) 36 d) 32 e) 40

AFEG es un rectángulo. Si AF=8 u y FE=12 u, 6. calcule el área de la región sombreada.

A

F E

G

a) 16 u2 b) 24 c) 48 d) 32 e) 34

Calcule el área de la región sombreada, si el área 7. de la región del paralelogramo ABCD es "S". Los puntos "P", "Q" y "R" son puntos medios.

A

B C

D

P

Q

R

a) S/6 b) S/12 c) S/24 d) 3S/8 e) S/48

Si ABCD es un paralelogramo, calcule "Sx", si 8. S1=7 u2; S2=5 u2 y S3=3 u2.

S1

S2

S3

SxA

B C

D

a) 10 u2 b) 12 c) 15 d) 20 e) 7,5

En la figura mostrada: AE=2(ED). Además, 9. S∆AQD=6 u. Calcule el área de la región del paralelogramo ABCD.

A

B C

DE

Q

a) 28 u2 b) 30 c) 34 d) 36 e) 27

Las bases de un trapecio miden 4 u y 10 u; las 10. diagonales miden 13 u y 15 u. Calcule el área de la región del trapecio.

a) 48 u2 b) 62 c) 84 d) 63 e) 80

El gráfico mostrado, ABC, es un romboide. "M" 11. y "N" son puntos medios de AB y CD. Halle la diferencia de áreas de las regiones sombreadas.

A B

CD

M

N

P

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 10

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Ciclo UNI108

TRILCEColegios

Geometría

Ciclo UNI108



Del gráfico, "B" y "C" son puntos de tangencia. 12. Si AB=4 dm y CD=9 dm, calcule el área de la región cuadrilátera ABCD.

A

BC

D

E

a) 37 dm2 b) 50 c) 56 d) 57 e) 67

ABCD es un paralelogramo. 13. HE // AB, S∆ALB=18 y S∆HLE=8. Calcule S∆DEC.

A

B C

DH

L

E

a) 20 b) 10 c) 12 d) 15 e) 25

En el gráfico, si ABCD es un cuadrado, calcule: 14. S1/S2.

S1

S2

A

B C

D

M

N

a) 21 b)

31 c)

32

d) 1 e) 2

ABCD es un cuadrilátero, calcule el área de la 15.

región sombreada. (AN=CM=MD=4)

A

B C

DN

M

a) 32/15 b) 16/15 C) 17/15 d) 32/17 e) 18/13

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Ciclo UNI110

TRILCEColegios


Central: 619-8100

Problemas resueltos

1. Calcule el área de la región sombreada, AB=8.

A M O B

Resolución:

A

L

M

N4

45º45º

O B

45º

45/2

45/2

2 2

2 24 4

2 2

Piden: Área sombreada

* LMN: Isósceles m LMN=45º

* Á reg somb.=45º (2 2)2

360º - (2 2)2 sen45º

2

= - 2

2. Calcule el área de la región sombreada (T: Pun-to de tangencia), si: R=2.

TR

Resolución:

Piden: Á. reg. somb.

TR=2

R B

2

15º

O

2

2C2

S

* Por propiedad: MTS=60º

m STB=30º

RTS: Isósceles

MTS=90º

* Á. reg. somb. =A OCS - A OCS

= 90 22

360 - 2.2

2 = - 2

3. En el gráfico, calcule el área de la región som-breada si las circunferencias y el círculo son tangentes R=3 y r=2. (M, P y Q: puntos de tan-gencia).

R

M P Q

r

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Geometría


Central: 619-8100

Resolución: Piden A

3

M P Q

2r

Por propiedad: 1r

= 13

+ 12

r2=36(( 3 - 2)2)2

A =36 (5 - 2 6)2

4. Calcule el área de la región sombreada, si: AC=3; BC=4, CD=8

A

B

C

D

Solución:

A

L

B

C

6

3

8

R

4

D

* T. Cuerdas: 3 x 8=4(CL)

CL=6

* Por teorema de Faure:

32+42+82+62=4R2 R=5 52

* A.somb=M5 5

2

2

- 11×42

=125M4

- 22

5. En el gráfico mostrado, calcule el área de la re-gión sombreada. T, P y Q: Puntos de tangencia. PL=4LT, R=6.

TL

Q

P

R

Solución:

TLK

14º

Q

4K

P28º124º

6152º

76º

Piden: Á. reg. somb.

* TLP: (NOT 14º y 76º)

mPQ=152º, m QAP=28º

*Á. reg. somb.= 124º (6)2

360º

... Á. reg. somb.= 625

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Geometría

Ciclo UNI112



Geometría

Ciclo UNI112



1. En el gráfico muestra un cuarto de círculo y un semicírculo. AM=MO=2 3. Calcular el área de la región sombreada.

A

M

O B

N

a) 5 -6 3 b) 5 +6 3 c) 4 - 3 d) 4 + 3 e) 10 +3 3

2. Calcule el área de la región sombreada, si R=8'cm; r=2 cm.

R R

r

a) 20(3 -2) cm2 b) 10( -2) cm2

c) 20( -1) cm2 d) 10(2 -2) cm2

e) 10(3 -2) cm2

3. Calcule el área de la faja circular cuyas bases son el lado del hexágono regular y del triángu-lo equilátero inscrito en una misma circunfe-rencia, además el radio de la circunferencia es R= 6 .

a) /3 cm2 b) /2 c) d) /4 e) / 6

4. Calcule "Sx", si: S1+S2=25 2

Sx S1

S2

a) 30 2 b) 50 2 c) 25 2 d) 20 2 e) 35 2

5. Calcule el área sombreada donde los lados del cuadrado ABCD son diámetros de los semicír-culos AB=6 cm.

B C

A D

a) (15 - 6 3) cm3 b) (15 - 18 3) c) (6 - 15 3) d) (6 +15 3) e) (5 - 6 3)

6. Indique qué relación es la correcta:

A

C

rB

D

E

a) A+B+C=D+E b) E - D=A+B+C

c) A+B+D=E+C d) B+D=A+C+E

e) A+E=B+C+D

7. En la figura mostrada, se pide S4, si los triángu-los ABC, AFG y FHC son equiláteros:

S1+S3=16 cm2 y S2=4 cm2

A C

GB

H

R

FS1

S2

S3

S4

a) 20 cm2 b) 24 c) 10 d) 12 e) 14

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Geometría

Ciclo UNI112



Geometría

Ciclo UNI112



8. En el gráfico: B+C+D=12 2. Calcule: "A"

C

D

B

A

a) 12 2 b) 9 c) 6 d) 15 e) 18

9. En el gráfico, calcule el área de la región "x", si el área de la región S=4 2. (P: punto de tangen-cia).

x

P

S

a) 3 +2 b) 3 +4 c) +3 d) - 1 e) 3 +1

10. Del gráfico, calcule: S1+S2 - S3, si: AM=MD. (ABCD: cuadrado)

3

B

S1

S2

S3A

C

DM

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

11. En el gráfico, calcule el área de la región som-breada, si el lado del cuadrado ABCD es de 20'm y =3,14.

B

A

C

D

a) 96 m2 b) 110 c) 112 d) 114 e) 118

12. Según el gráfico, calcule el área del círculo sombreado, si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 3( 3+2) cm (P y Q son puntos de tangen-cia).

B Q

P

A

C

D

a) 6 b) 4 c) d) 9 e) 25

13. En el gráfico: AB es diámetro. Si: S1, S2 y S3 re-presentan las áreas de las regiones sombreadas, ¿qué relación existe entre S1, S2 y S3? T: punto de tangencia.

A

B

TS1S2

S3

a) 2S3=S2+S1 b) S3 - S2=S1 c) S1.S2=S1 d) S2+S3=2S1 e) 2S1+S2=S3

14. En el gráfico: A+C=B; y=18 2. Calcule "x".

A

B C

y

x

a) 18 2 b) 16 2 c) 12 2 d) 9 2 e) 6 2

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Geometría

Ciclo UNI114



Geometría

Ciclo UNI114



3. En el gráfico, calcule: S2 - S1, si el lado del cua-drado ABCD es 4 .

S1

B

S2

A

C

D

O

a) (3 - 8) 2 b) 2(3 - 8) 2 c) (6 - 8) 2 d) (6 +8) 2 e) 2(6 - 8) 2

4. En el gráfico se pide el área de la región som-breada, si: OA=OB,R=2 3 y m AOB=30º.

O P B

A

30ºR

a) (10 - 3) 2 b) (12 - 6 3) 2 c) (15 - 6 3) 2 d) (5 - 6 3) 2

e) ( - 3 3) 2

5. Dados los círculos de centros A y B, calcule el área de la región sombreada. (A: punto de tangencia).

R R

BA

1. En el gráfico se muestra dos circunferencias concéntricas de centro "O", AB es una cuerda de la circunferencia mayor y tangente a la cir-cunferencia menor. Calcule el área de la corona circular formada. Si: AB=2m.

A B

O

a) 2 m2 b) 3 m2 c) 34

m2 d) 4 m2 e) m2

2. Si: ABC es un triángulo equilátero de lado 2 3 . Calcule el área del círculo.

A C

B

a) 2 2 b) 3 2 c) 4 2 d) 2 e)

2 2

15. Calcule "S3", si: S1=16 m2, S2=9 m2 (P y Q: puntos de tangencia).

PQ

S2S1

S3

a) 12 m2 b) 24 c) 48 d) 36 e) 52

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Geometría

Ciclo UNI114



Geometría

Ciclo UNI114



a) R2

2

2 - 1 2 b) R2 ( - 1) 2

c) R2

2 ( - 1) 2 d) R2 ( - 2) 2

e) R2 (2 - 2) 2

6. Calcule el área de la región sombreada, si: AOB es un cuadrante de radio 4 .

mCD=50º y mDB=20º

A

BO P Q

D

C

a) 10p3

2 b) 10p9

2 c) 20p3

2

d) 20p9

2 e) 5p3

2

7. Si el área de un sector circular es numéricamen-te igual a la longitud de su arco correspondien-te. Calcule la longitud del radio del sector.

a) 5 b) 2 c) 3 d) 4 e) 1

8. Calcule el área de la región sombreada, si: AO=OB y FG=4 (G: punto de tangencia)

A

O2

O1O B

G

F

a) 25( +2) 2 b) 25( - 2) 2

c) 252

( +2) 2 d) 252

( - 2) 2

e) 8 2

9. En la figura, calcule el área de la región som-breada BD= 6, siendo: O y D centros

A

C D

O

R

B

a) R2 32

2 b) R2 34

2

c) R2 62

2 d) ( R2 - R2 2) 2

e) ( R2 - R2 3) 2

10. Calcule el área de un círculo cuyo diámetro mide 10 .

a) 100 2 b) 50 2 c) 25 2 d) 16 2 e) 10 2

11. En el gráfico, ABC es un triángulo equilátero de lado "2a". Además: AC y BC son diámetros. Cal-cule el área de la región sombreada.

CA

B

a) a2( - 3) 2 b) a2( - 3) 2

c) a2

2( + 3) 2 d) a2

4( + 3) 2

e) 8 2

12. A y E son centros de los arcos BC y BF, res-pectivamente. Estos arcos suman 3 . Si además: AC=3a. Calcule el área de la región sombrea-da.

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Ciclo UNI116



Ciclo UNI116



A

E

B

FC

a) a2

2

90 - Sen2 b) a2

4

60 - Sen

c) a2

2

90 - Sen4 d) a2

2

30 - Sen2

e) a2

8

10.-.9Sen2

13. A es centro de los arcos concéntricos CTQ y BP, ambos suman º. Si: AB=BC=CD y DT=2 5 , calcule el área de la región som-breada. (T: punto de tangencia)

P

T

B

A

QC

D

a) p30

2 b) p15

2 c) p60

2

d) p90

2 e) 8 2

14. En el gráfico: O y O1 son centros. Si: EF=4 y BC=5 , calcule el área de la región sombrea-da.

E

F

BOO1 C

a) 299p 2 b) 39

13p 2 c) 17

7p 2

d) 193p 2 e)

24245p 2

15. En el gráfico mostrado, se sabe que "O" es cen-tro, "P" y "Q" son puntos de tangencia, HA=2 y HO=3 . Calcule el área de la región sombrea-da.

A

BO

H

P

Q

a) 265p - 432256

2 b) 265p - 423265

2

c) 224p - 243266

2 d) 432p - 624624

2

e) 2p 2

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Ciclo UNI116



Ciclo UNI116



1. En el gráfico: ABCD y DEFG son cuadrados, si el área de la región triangular BCE es 18 m2, calcule el área de la región DEAF.

B

E

FA

C D

G

a) 9 m2 b) 9 2 m2 c) 9 3 m2 d) 12 m2 e) 18 m2

2. En el gráfico: AP=PB, AM=MC y DM=ME y BF=FD. Si el área de la región SFD es 9 2. Cal-cule el área de la región MEC.

A

P

BF

D

ES

M C

a) 12 2 b) 15 2 c) 18 2 d) 27 2 e) 36 2

3. Calcule la medida del menor ángulo de un trián-gulo que tiene por ex-radios cuyas longitudes son 2; 3 y 6 m, respectivamente.

a) 37º b) 30º c) 45º d) 53º e) 60º

4. En un triángulo ABC inscrito en una circunfe-rencia sus sagitas miden 1 m, 2 m, 5 m. Calcule el área de la región ABC.

a) 12 m2 b) 16 m2 c) 20 m2 d) 22 m2 e) 24 m2

5. Calcule el área de la región paralelográmica ABCD, con diámetros en DC se traza interior-mente una semicircunferencia que pasa por el centro del paralelogramo e intersecta a BC en P. BP=2 y PC=8

a) 15 2 b) 20 2 c) 30 2 d) 45 m2 e) 60 m2

6. Calcule el área de la región rombal ABCD, en AD se ubica el punto E, BE intersecta a AC en P m BPC=45º, PC=a y AP=b.

a) a2+b2

2 b) a2 - b2

2 c) ab

2

d) 2ab e) a2- b2

7. En una región rombal ABCD cuya área se desea conocer, con centro en B y radio BC se traza un arco de circunferencia que intersecta a la pro-longación de AD en P. PD=1 y BC=5

a) 10 2 b) 15 2 c) 20 2 d) 25 2 e) 30 2

8. En el gráfico: 5AB=10BC=10AD=2DE. Si: S1=27 m2, calcule: S2.

A

B D

EC

S1

S2

a) 9 m2 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3

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Geometría

Ciclo UNI118



Geometría

Ciclo UNI118



9. Del gráfico, calcule el área de la región triangu-lar ABC, donde: BD=8 m.

B

A D

r r

C

a) 72 m2 b) 64 m2 c) 48 m2 d) 40 m2 e) 32 m2

10. Si: BC//AD, AM=BC y el área de la región ABCD es 40 2. Calcule el área de la región sombreada.

B

A DM

a

a

b b

C

a) 1403

b) 1453

c) 160

3

d) 1409

e) 170

3

11. Calcule el área de la región sombreada PQR, si el área de "X", "Y" y "Z" suman 20 m2. Además: AD=2DC, CF=2FB, BE=2AE

B

F

A

Ex

y

zD

P

Q

R

C

a) 10 m2 b) 20 m2 c) 15 m2 d) 30 m2 e) 25 m2

12. De la figura: B, P y T puntos de tangencia. Calcu-le el área de la región (BTP). Si: S1 . S2=100 m4

T

B CA

P

S2S1

a) 5 m2 b) 6 m2 c) 8 m2 d) 10 m2 e) 12 m2

13. En el gráfico: x=7 dm2 y w=12=dm2. Calcule el valor de "y".

B

AD

C

y

xw

a) 12 dm2 b) 13 dm2 c) 14 dm2 d) 15 dm2 e) 16 dm2

14. Calcule el área de la región triangular máxima inscrita en una circunferencia de radio a.

a) 3a2 b) a2 c) a2 22

d) 3a2 34 e) 3

2 3a2

15. El área de la región paralelográmica ABCD es 80 (AM=MD, BN=NC, CP=PD). Calcule el área de la región sombreada.

A

B N C

P

DM

a) 1 b) 4 c) 3 d) 2 e) 6

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Geometría

Ciclo UNI118



Geometría

Ciclo UNI118



1. El lado AC de un triángulo ABC mide 10 u. Cal-cule la longitud del segmento PQ//AC, tal que las áreas de las regiones del triángulo PBQ y el trapecio APQC se encuentren en la relación de 2 a 3.

a) 5 b) 2 5 c) 10

d) 2 10 e) 5

2. Las bases de un trapecio miden 1 y 3 . calcu-le la longitud del segmento paralelo a las bases que determina dos trapecios parciales equiva-lentes.

a) 5 b) 10 c) 52

d) 102

e) 2

3. En un triángulo ABC se toma un punto interior y por él se trazan paralelas a los lados que de-terminan 6 regiones: 3 paralelogramos y 3 trián-gulos teniendo estos últimos 4 2, 9 2 y 16 2 de área. Si el lado AC mide 12 , la altura relativa a dicho lado valdrá:

a) 12 b) 13 c) 13,5 d) 10 e) 12,5

4. Grafique al triángulo ABC con AB=d y m A= . La mediatriz de AC corta a BR en su punto medio ("R" AC). Calcule el área de la región triangular BRC. (BR: ceviana interior).

a) d2

2 sena b) d2

3 sen3a c) d2

4 sen2a

d) d2

2 sen2a e) d2

3 sen2a

5. En la figura, calcule el área de la región triangu-lar EBF. AE=4 , AB=BC=10 , FC=9 .

B

E F

A C

N

a) 3 2 b) 5 2 c) 3,2 2 d) 2,88 2 e) 4 2

6. En un cuadrado ABCD, sobre CD se toma el punto L, por A y D se trazan perpendiculares a BL y a su prolongación; AH y DP, respectiva-mente. Si: AH=3 y DP=1 . Calcule el área de la región triangular APD.

a) 1,5 2 b) 2 2 c) 1 2 d) 3 2 e) 2,5 2

7. Calcule el área de la región de un triángulo, cu-yos lados miden 13 , 14 y 15 .

a) 21 2 b) 42 2 c) 84 2 d) 88 2 e) 100 2

8. El exradio relativo a BC de un triángulo ABC, mide 4. Calcule el área de dicha región trian-gular. Si los segmentos determinados por la cir-cunferencia ex-inscrita sobre el lado BC mide 1 y 2 .

a) 154

2 b) 135

2 c) 127

2

d) 165

2 e) 6 2

9. Calcule el área de la región de un triángulo rec-tángulo, sabiendo que los exradios relativos a la hipotenusa y a un cateto miden 6 y 4 , respec-tivamente.

a) 2,4 2 b) 3,2 2 c) 3,6 2 d) 4,2 2 e) 4,8 2

10. En la figura mostrada, ABCD es un cuadrado, si: AB=2 5 , calcule el área de la región triangu-lar PQD.

B

M

Q

P

A

C

D

a) 1 2 b) 2 2 c) 3 2 d) 5 2 e) 5 2

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Geometría

Ciclo UNI120



Geometría

Ciclo UNI120



11. Calcule el área de la región sombreada, si: AO=OB=BC=r. (T: punto de tangencia)

BO CA

r

a) r2 33

- 6

2 b) r2 23 3 -

3 2

c) r2 32

- 6

2 d) r2 32

- 6

2

e) N.A.

12. Si: AO=OB=2 , calcule el área de la región sombreada.

A B

45º

O

a) ( - 2) 2 b) (2 - 3) 2 c) (2 - 1) 2 d) (4 - 3) 2 e) (2 +2) 2

13. En un triángulo ABC, recto en B, se traza la bi-sectriz interior BD y por "D" se levanta DE per-pendicular a AC ("E" en BC). Calcular el área del triángulo AED, si: AE=1 m.

a) 0,25 m2 b) 0,5 m2 c) 1 m2 d) 1,25 m2 e) 1,5 m2

14. Calcule el área de la región sombreada, AB=16. (M, N, P, Q: puntos medios).

B

P

A

CD

N

G

Q

a) 136 m2 b) 196 m2 c) 220 m2 d) 256 m2 e) 266 m2

15. Si el área de un círculo se duplica al aumentar su radio en ( 2 - 1). Calcule la longitud del ra-dio original.

a) 12

b) 35

c) 1

d) 2 e) 3

16. En el gráfico, el triángulo ABD es equilátero y AC=10 . Calcule el área de la región sombrea-da.

D

B

CAº

º

a) 10 3 2 b) 20 3 2 c) 25 3 2 d) 30 3 2 e) 40 3 2

17. En una circunferencia se encuentra inscrito el triángulo ABC, en el cual el producto de la me-dida de sus tres lados es 48 m3 y el producto de las medidas de sus tres alturas es 36 m3. Calcule el radio de la circunferencia.

a) 1 m b) 2 m c) 3 m d) 4m e) 6 m

18. A, B y C son puntos de tangencia. Si: AB.BQ.BC.BP=36 dm4, calcule el área de la región triangular ABC. (A y C: puntos de tangencia).

P

Q

B

A C


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Geometría

Ciclo UNI120



Geometría

Ciclo UNI120



19. Se muestra la circunferencia de centro "O" ins-crita en el cuadrado ABCD. Calcule el área de la región sombreada.

A

B 4 D

C

O 5

a) 4+5

b) 4+3

c) 3 - 2

d) 4 - 2

e) 4 - 2

20. Calcule la razón de las áreas de las regiones triangular y cuadrilátera regulares inscritas en la misma circunferencia.

a) 3 32 b) 3 3

8 c) 3 58

d) 3 34 e) 3

8

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Ciclo UNI122

TRILCEColegios


Central: 619-8100

1. Se tiene el triángulo equilátero ABC y ACD ubi-cados en planos perpendiculares. Calcule el án-gulo formado por AB y CD.

Solución:

Piden: m AB y CD

B

E

F

C

DI

l

l

l

l l

AM

x

4l

2l 2l

3

Sea: AB=4

* Se traza ME // AB, MI // CD

* FAI: Ley de los cosenos

FI= 7

* T. Pitágoras: EI2=( 3)2+( 10)2

EI= 7

* MEI: Ley de los cosenos

* ( 10 )2= 2+(2 )2 - 2 . 2 . cosx

... x=arc cos - 54

2. Se tiene a un triángulo rectángulo ABC, recto en B, por A se levanta una perpendicular al plano que contiene al triángulo, tal que: AL=AB=BC. Calcule el ángulo formado por AC BL .

Solución:

Piden: AC BL

B

L

CA

aa a

Se construye al cubo de arista "a"

B

L x I

CA

aa a

a 2

a 2 a 2

* LI // AC

* Piden: m AC BL=x

* LB=BI=LI=a 2

... x=60º

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Geometría


Central: 619-8100

3. En el gráfico ABCD es un cuadrado; ABNM un rectángulo ubicados en planos perpendiculares. Calcule la mínima distancia entre AB y RT, si MF=4, FN=12, BR=RC.

M

T

NF

A

BR C

D

Solución:

M

T

4

4

8 812

12

71

NF

h

A

B R C

D

x

B

* Por propiedad h2=4,12 h=4 3

* AB proyectado Q es B

* TB proyectado Q es T'R

d(AB TR)=x

* T'BR: RMTR

4 3 . 8=4 7 . x

... x= 8 217

4. Se tiene un cuadrado ABCD de centro O, un semicírculo de diámetro OC es perpendicular al plano del cuadrado se traza la tangente AP a la semicircunferencia, AB= 2, calcule el área e la región APB.

A

LE

1

B

P

C

OO

D

232

223

Solución:

* RMTR . 12

2= 3

2(ED) ED= 1

6

AE= 43

* Por teorema de las tres perpendiculares

* T. Pitágoras: (PL)2= 2 33

2+ 2

3

2

PL= 103

* A. ABP=2

.2310

= 53

5. Un cuadrado y un semicírculo de diámetro AB determinan un ángulo diedro cuya medida se pide calcular, siendo M punto medio del arco AB y el triángulo DMC es equilátero.

Solución:M

2r

2r

r

rr

A

B

L

C

D

r

Piden:

Sea: AB=2r

* MDC: equilátero: ML=r 3

* MOL: Triángulo notable de 30º y 60º

... =60º

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Geometría

Ciclo UNI124



Geometría

Ciclo UNI124



1. Un plano queda determinado unívocamente por:

1. Tres puntos no colineales.

2. El movimiento de una recta que se desplaza paralelamente así misma.

3. Dos rectas paralelas.

4. Una recta que se mueve pasando siempre por un punto fijo.

De estas afirmaciones, son ciertas:

a) 1 y 2 b) 1 y 3 c) 2 y 3 d) 2 y 4 e) 3 y 4

2. Calcule el máximo número de planos que de-terminan 8 rectas paralelas y 6 puntos en el es-pacio.

a) 48 b) 72 c) 84 d) 96 e) 106

3. Tres planos paralelos determinan sobre una rec-ta secante L1 los segmentos AE y EB y sobre otra L2, secante los segmentos CF y FD. Si: AB=8'm, CD=12'm y FD - EB=1'm, calcule "CF".

a) 4 m b) 7 m c) 5 m d) 1 m e) 9 m

4. Indicar si es falso o verdadero, según correspon-da:

• Siuna rectaesparalelasaunplano,enton-ces dicha recta será paralela a todas las rectas contenidas en dicho plano. .....................(__)

• Siunconjuntoderectassonparalelas,necesa-riamente dichas rectas son coplanares. ...(__)

• Siunarectaesperpendicularaotrastresda-das, las rectas dadas necesariamente tienen que estar en un mismo plano que contenga a la perpendicular. ...................................(__)

a) FVV b) FVF c) VFF d) FFF e) VVF

5. En el gráfico, PB es perpendicular al plano R. AH=2 , HC=8 , PB=3 . Calcule el área de la región APC.

HA

B

R

C

P

a) 20 2 b) 21 2 c) 22 2 d) 25 2 e) 26 2

6. En el gráfico, BF es perpendicular al plano del cuadrado ABCD. Si: AB=BF=BC=a y "M" es punto medio de CD, calcule el área de la región sombreada.

DA

B

F

C

M

a) a2 22

b) a2 24

c) a2

4

d) 3a2

8 e) a2 3

4

7. En el gráfico, m RHS=30º; OH=5, PH=5 3. Calcule el área de la región PSR.

P

H O

S

R

a) 25 b) 25 62

c) 26 3

d) 25 3 e) 28

8. Sean y dos rectas alabeadas que forman un ángulo de medida igual a 60º. En se marcan los puntos "A" y "B", en se marcan los puntos "P" y "Q" de modo que: AP sea la mínima dis-tancia entre ellas y AB=PQ=2(PA). Calcule la relación de QB y AP.

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

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Geometría

Ciclo UNI124



Geometría

Ciclo UNI124



9. y son dos rectas alabeadas que forman

37º. En se marcan A y B, en se marcan E

y F de modo que: AE es la mínima distancia

entre ellas, m BFE=90º y EA3

= AB5

. Calcule

el ángulo que forman AE y BF.

a) 15º b) 30º c) 37º d) 45º e) 53º

10. Se tienen los segmentos alabeados AB y CD or-togonales: AB=4 y CD=6. Calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de ACy BD.

a) 3 b) 4 c) 13 d) 11 e) 15

11. En el gráfico, el plano "R" es paralelo al plano "S"; AM=MB y "G" es baricentro del triángulo ABC. Calcule: PG/GQ.

M N

A

B

S

B

P

CQ

G

a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 1 e) 1/6

12. Si una recta es perpendicular a dos rectas:

a) Estas rectas son paralelas entre sí.

b) Estas rectas se cortan.

c) Todo plano paralelo a una de las dos rectas será perpendicular a la primera recta.

d) Todo plano perpendicular a una de las dos rectas será también perpendicular a la otra de las dos rectas.

e) Ninguna de las afirmaciones anteriores com-pleta correctamente a la proporción inicial.

13. Dado un triángulo ABC: AB=15; BC=8 y AC=17. Por el incentro "I" se eleva ID, perpen-dicular al plano ABC, siendo: ID= 247. Calcu-le la medida del ángulo DAB.

a) 37º b) 53º c) 60º d) 45º e) 75º

14. Desde un punto A exterior a un punto se traza una perpendicular AB a dicho plano y dos obli-cuas AC y AD (B, C y D sobre un plano); por B se traza BR AC y BQ AD. Calcular RC. Si: AR=6; AQ=5 y QD=4.

a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 2,5 e) 3

15. Se considera un punto "P" exterior y no copla-nar a un rectángulo ABCD. Si: PA=3; PB=4; PC=5. Calcular PD.

a) 2 b) 2 2 c) 3 2 d) 4 2 e) 6

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Geometría

Ciclo UNI126



Geometría

Ciclo UNI126



1. Indique si es verdadero (V) o falso (F), en cada una de las siguientes proposiciones:

I. Dos rectas paralelas a un mismo plano, son rectas paralelas.

II. Dos planos paralelos a una misma recta son planos paralelos.

III. Dos rectas paralelas son paralelas a un pla-no; el plano determinado por las paralelas es paralelo al plano dado.

a) VVF b) VFV c) VVV d) FFV e) FFF

2. Calcular el máximo número de planos que de-terminan 8 rectas paralelas y 6 puntos en el es-pacio.

a) 48 b) 72 c) 84 d) 96 e) 106

3. Se tiene una circunferencia de diámetro AB contenida en un plano. Por "A" se levanta una perpendicular al plano en la cual se toma un punto "F". En la circunferencia se toma un pun-to "C", tal que: FC=9 y BC=4 . Calcule FB.

a) 97 b) 9 c) 10 d) 93 e) 15

4. Desde un punto "O" exterior a un plano "P" se trazan las oblicuas OA, OB y OC que forman ángulos de 45º, 60º y 30º, respectivamente, con dicho plano, de modo que: A, B y C perte-necen al plano "P". Calcule: OC

OB, si: OA=6 .

a) 2 b) 2 c) 3 d) 3 e) 1,5

5. Se tiene un cuadrado ABCD de 4 de lado y un triángulo equilátero AFC perpendicular al cua-drado. Se toman los puntos medios H de BC, P de AD y Q de FH. Calcule PQ.

a) 15 b) 5 c) 4 d) 5 e) 7

6. Se tiene los segmentos alabeados y ortogonales AB=4 y CD=6 . Calcule la longitud del seg-mento que une los puntos medios de AC y BD.

a) 3 b) 4 c) 13 d) 11 e) 10

7. En un plano "P" se tiene el triángulo ABC cuyo ángulo A mide 60º. Se tiene un punto "R" fuera del plano "P". Si las distancias desde "R" al pun-to "A" es igual a 25 u, de "R" al lado AC igual a 20 u y de "R" al lado AB igual a 7 u. Calcule la distancia desde "R" al plano "P".

a) 5 b) 6 c) 37 d) 39 e) 37

8. las proyecciones de un segmento EF sobre un plano "P" y sobre una recta "L" perpendiculares a dicho plano miden 35 y 12 , respectivamen-te. Calcule EF.

a) 47 b) 44 c) 41 d) 39 e) 37

9. Tres planos paralelos intersectan en A, B y C a una recta L1 y en E, F y G a otra recta L2, en ese orden, de tal manera que: AC=24 , EG=36 y FG - BC=3 . Calcule AB

a) 12 b) 15 c) 16 d) 18 e) 20

10. Por los vértices A y C de un triángulo equilátero ABC se levantan las perpendiculares AE y CFal plano de dicho triángulo, de tal manera que: AE=5 y CF=AB=10 . Calcule el área de la región triangular EBF.

a) 65 2 b) 25 6 2 c) 72 2 d) 32 3 2 e) 80 2

11. y son dos rectas alabeadas que forman un ángulo de 53º. En se ubican los puntos A y B, en se ubican los puntos C y D; de tal manera que: AB=12 , AC=30 y CD=20 . Calcule la distancia entre los puntos B y D, si la longitud del segmento AC es la mínima distancia entre dichas rectas alabeadas.

a) 10 10 b) 40 c) 12 6 d) 34 e) 18 3

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Geometría

Ciclo UNI126



Geometría

Ciclo UNI126



12. Por el vértice B de un triángulo equilátero ABC se

levanta la perpendicular BP al plano del triángulo,

de tal manera que: BP=3 33 y AC=12' . Si

"M" es el punto medio de AC. Calcule la medi-

da del ángulo con que se cruzan los segmentos

BC y PM.

a) 60º b) 47º30' c) 53º d) 63º30' e) 90º

13. Por el incentro "I" de un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se levanta la perpendicular IP al plano del triángulo, de tal manera que: IP=25' , AC=61' y BC=11' . Calcule la dis-tancia de P a la hipotenusa AC.

a) 26 b) 5 26 c) 29 d) 10 15 e) 31

14. Se tienen las rectas alabeadas L1 y L2 que se cruzan formando un ángulo " ". En se ubi-can los puntos A y B, en se ubican los puntos E y F en es e orden, de tal manera que el seg-mento AE es la mínima distancia entre dichas rectas y EF BF. Calcule " ", si: 4(AB)=5(EF).

a) 60º b) 53º c) 45º d) 37º e) 30º

15. Se tienen los segmentos alabeados AB y CD que se cruzan formando un ángulo recto, AB=16 y CD=30 . Calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de AC y BD.

a) 15 b) 17 c) 18 d) 20 e) 22

16. Se tiene los planos perpendiculares ABCD y ABEF. Se ubica el punto "N" sobre el plano ABEF y el punto "M" se ubica sobre el plano ABCD, de modo que el segmento MN forma án-gulos de 30º y 45º con los planos ABEF y ABCD respectivamente. Calcule la distancia entre los segmentos alabeados AB y MN, si: MN=12' .

a) 4 b) 2 3 c) 6 d) 2 6 e) 40

17. Calcule el máximo número de planos que deter-minan 6 puntos en el espacio.

a) 10 b) 15 c) 20 d) 30 e) 40

18. En el plano Q se traza el triángulo ABC y exte-rior a dicho plano se ubica el punto E. Luego, se ubican los puntos medios M y N de AE y BC, respectivamente, de modo que:

EB8

=MN3

=AC10

Calcule la medida del ángulo entre EB y AC.

a) 60º b) 37º c) 90º d) 40º e) 45º

19. Los rectángulos ABCD y ABEF están ubica-dos en planos perpendiculares, AD=24' y BE=10' . Calcule la distancia entre los cen-tros e dichos rectángulos.

a) 9 b) 13 c) 15 d) 16 e) 12

20. En el plano Q se traza al cuadrante AOB. Lue-go por "O" se traza OP perpendicular a dicho plano, de modo que: m APB=53º. Calcule la medida del diedro determinado por la región APB y el plano Q.

a) 30º b) 60º c) 45º d) 75º e) 15º

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Ciclo UNI128

TRILCEColegios


Central: 619-8100

1. Si las distancias de un punto interior a las caras y a la arista de un diedro miden 4 y 4 2 y 8, entonces la medida del diedro es:

Solución:

A

EB

4 2

FL

C

Q

8

4

30º

45º

Piden: m P - AC - Q

EBL: NOT (30º y 60º)

LBF: NOT (45º y 45º)

... m P - AC - Q=75º

2. Un cuadrado ABCD y un triángulo equilátero ABF están contenidos en planos que forman un ángulo diedro de 120º, sea M el punto medio de FB y N punto medio de CD. Si: AB=8, cal-cule "MN".

Solución:

A

B4 34 5

F

C

D

N

m4

4

4

x

H 8

8

M

120º

FHN: ley de cosenos

m2=(4 3)2+82 - 2(4 3)(8) cos120º

m=2 28+8 3 ..........(1)

FBN: cálculo de la mediana

m2+(4 5)2=2x2+82

2 ..........(2)

Reemplazando (1) en (2)

... x=4 5+ 3

3. En un triedro O-ABC, los diedros OB y OC mi-den 164º, calcule la medida del diedro OA, si la medida es menor a 150º y es entero.

Solución:

B164º

C

Ox

A

164º

Usando el triedro polar:

P

N

R

M

180 - x

16

16

* Por propiedad:

m MPN=180 - x

m NPR=16º

m MPR=16º

* Por propiedad:

180 - x < 16+16

148<x

* Por dato: x<150º

... x entero=149º

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Geometría


Central: 619-8100

4. Se tiene un triedro isósceles O-ABC. Las caras miden: m AOB=m AOC=45º, m BOC=60º y OA=16. Hallar la longitud de la proyección de OA sobre la cara BOC.

Solución:

BT

C

M

45º30º

30ºO x

A

16

45º 60º

8 2

OM: proyección de OA sobre COB

OAT: NOT(45º y 45º) OT=8 2

OMT: NOT(30º y 60º)

... x=16 63

1. Se tiene un triedro trirectángulo O-ABC, se traza OH perpendicular a la sección plana ABC. Cal-cule el área de la cara BOC, si las áreas de las caras ABC y BHC miden 20 y 10 cm2, respecti-vamente.

a) 10 2 cm2 b) 5 cm2 c) 5 2 cm2 d) 15 2 cm2 e) 10 cm2

2. En el plano P, se tiene el triángulo ABC, cuyo ángulo A mide 60º. Se tiene un punto S fuera del plano P. Si las distancias, de S al punto A es igual a 25 cm, de S al lado AC igual a 20 cm, y de S al lado AB igual a 7 cm. Calcule la distan-cia de S al plano P.

a) 37 cm b) 39 c) 38 d) 6 e) 31

3. Dado un triángulo rectángulo AOB isósceles, siendo AO=OB= 6 m, en el vértice O se eleva una perpendicular el plano AOB y se toma un punto M sobre esta perpendicular, uniendo M

5. Se tiene un triángulo ABC recto en B, contenido en un plano Q, se ubica E un punto exterior a dicho plano tal que EA=EB=EC, si la distancia de E al plano Q es 40 y AB=14. Calcule la me-dida del ángulo diedro (BC).

Solución:

Piden: x

B

E

CO

QM

14

x14

40

A

Por dato: AE=BE=EC

O es el circuncentro del ABC

AO=OC

T. Tres perpendiculares

EM BC

... x=ArcTg 207

con los vértices A y B. Calcule el valor de OM para que el diedro AB mida 60º.

a) 3 m b) 1 c) 2 d) 4 e) 5

4. En un triángulo ABC, recto en B, los lados mi-den AB=6 y BC=8. Por el vértice B, se traza BF perpendicular al plano ABC tal que BF=4,8. Calcule la medida del ángulo diedro que for-man los planos ABC y AFC.

a) 15º b) 30º c) 45º d) 75º e) 90º

5. Un triángulo se encuentra en un plano que for-ma un ángulo de 45º con otro plano P. Si la proyección del triángulo sobre el plano P tiene 20 cm2 de área, encontrar en cm2 el área del triángulo del espacio.

a) 29 2 b) 18 2 c) 24 2 d) 24 e) 30

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Geometría

Ciclo UNI130



Geometría

Ciclo UNI130



6. Calcule el máximo valor entero de una cara de un triedro si las otras dos miden 100º y 120º.

a) 100º b) 112º c) 139º d) 140º e) 141º

7. En un triedro trirectángulo O-ABC se sabe que: OA=1 cm; OB=2 cm y OC=3 cm. Calcule la distancia de "O" a la sección plana ABC.

a) 5/7 b) 6/7 c) 1 d) 4/7 e) 5/8

8. En la figura, hay un triedro cuyas caras son mu-tuamente ortogonales y la longitud de sus aris-tas es: PA=PB=PC=6 m. Calcule el área de la región triangular ABC.

A C

P

B

a) 18 2 m2 b) 18 3 m2 c) 16 3 m2 d) 16 2 m2 e) 12 3 m2

9. Se tiene un tiedro O-ABC, en el cual la cara BOC=90º y las caras AOB y AOC mide 60º cada una. Calcular la medida del ángulo que forma OA y su cara BOC.

a) 30º b) 60º c) ArcTan 23

d) 45º e) ArcTan 2

3

10. Se tiene un tiedro cuyas caras miden 60º, 60º y 53º. Calcular la distancia de un punto de la arista común de las caras iguales a la cara des-igual, sabiendo que dicho punto dista del vérti-ce 4'm.

a) 13 m b) 11 c) 14 d) 8 e) 17

11. Sea ABC un triángulo isósceles (AB=BC=5 y AC=6). Se levanta BQ perpendicular al plano de dicho triángulo, de modo que BQ=AC. Cal-cular la medida del diedro quer forman los pla-nos ABC y AQC.

a) 30º b) 45º c) 37º d) ArcTg 3

2 e) ArcTg 4

5

12. Dados los planos secantes P y Q, en P está con-tenido el triángulo ABC y en Q su proyección, el triángulo A1B1C1. Si: BC= , m ACB=90º, m BAC=30º y m A1B1C1 =45º, calcular el coseno del ángulo diedro formado por los planos secantes P y Q.

a) 3/2 b) 2/2 c) 3/3 d) 6/4 e) 1/2

13. En la figura, AB está contenido en el plano P, AB=2 5, y A'B' es su proyección ortogonal en el plano Q la cual forma un ángulo de 30º con la arista CD. M es punto medio de AB y se en-cuentra una distancia de 2 2 de la arista. Calcu-le la distancia de B al plano Q.

AA'

B

B'C

P

Q

D

45º

a) 4 b) 3 c) 5 d) 6 e) 5

14. Dado un triedro S-ABC, si SC forma con la bi-sectriz de la cara opuesta un ángulo igual a la mitad de dicha cara, calcule el diedro C, si: die-dro A+diedro B=120º.

a) 90º b) 45º c) 135º d) 60º e) 120º

15. Sea O-ABC un triedro donde:___________ m AOB=m AOC=60º y m BOC=74º. Calcule la medida del diedro OB

a) ArcCos 34

b) ArcCos 62

c) ArcCos 35

d) ArcCos 23

e) ArcCos 24

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Geometría

Ciclo UNI130



Geometría

Ciclo UNI130



1. Las caras de un ángulo diedro son cortados en los puntos M y N por una recta; siendo A la proyección ortogonal de estos puntos sobre la arista, la mitad del ángulo diedro es igual a la semidiferencia de los ángulo ANM, AMN, y si estos últimos están en la relación de 3 a 1. ¿Cuál es el valor del ángulo diedro?

a) 30º b) 40º c) 50º d) 60º e) 70º

2. Se tiene un diedro de 90º, formado por las caras "P" y "Q" una secante a dichas caras intersecta a "P" y "Q" en A y B respectivamente. Calcule la mínima distancia entre AB y la arista de dicho diedro, sabiendo que AB forma con "P" un án-gulo de 37º/2 y AB forma con "Q" un ángulo de 53º/2. Además: AB= 10 m.

a) 62

m b) 6 c) 73

d) 2 6 e) 63

3. Los planos que contienen a los rectángulo ABCD y BCEF forman un ángulo diedro recto, tal que: BC=8 y BF=6, entonces la longitud del segmento que une los puntos medios de FD y AB es:

a) 4 b) 4,5 c) 5 d) 5,5 e) 6

4. En un triedro trirectángulo O-ABC se sabe que: OA=3 cm; OB=5 cm y OC=4 cm. Hallar la distancia de "O" a la sección plana ABC.

a) 57

b) 67

c) 60 769769

d) 67

51 e) 58

462

5. La recta I de intersección de dos planos x e y, perpendiculares entre sí, es paralela a una recta R del plano "x" y una recta S del plano "y"; si la distancia entre I y R es de 16 cm y la distancia entre I y S es de 12 cm, ¿cuál es la distancia en-tre R y S?

a) 14 cm b) 25 c) 4 28 d) 10 3 e) 20

6. Se tiene un triángulo rectángulo isósceles AOB (AO=OB= 2). Por "O" se levanta la perpen-dicular OF al plano del triángulo. Hallar "OF", para que el diedro AB mida 30º.

a) 13

b) 3 c) 3 3

d) 33 e) 3

2

7. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, AB=6' y BC=8, por "B" se levanta la perpendicular BE al plano del triángulo rectángulo ABC, tal que el ángulo diedro que forman ABC y AEC sea igual a 45º. Hallar "BE".

a) 4,8 2 b) 2,4 3 c) 2,4 2 d) 4,8 e) 2,4

8. La figura muestra dos cuadrados que forman un diedro que mide 45º. Si el lado mide 6 dm, ha-llar la distancia entre sus centros.

A D

CB

Q

R

a) 6( 2+ 3) dm b) 6 2 - 2 c) 3 2 - 2 d) 2( 2 - 1) e) N.A.

9. Se tiene un rectángulo ABC: AB=12; BC=16. Por el vértice "B" se levanta la perpendicular BF al plano de ABC. Si: BF=9,6, calcular la medi-da del ángulo diedro que forman ABC y AFC.

a) 30º b) 60º c) 37º d) 53º e) 45º

10. Un ángulo diedro es de 114º. Calcular la me-dida del ángulo formado por las semirectas perpendiculares a sus caras trazadas desde un punto cualquiera del plano bisector del diedro.

a) 114º b) 46º c) 66º d) 60º e) 90º

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Ciclo UNI132



Ciclo UNI132



11. En el triángulo rectángulo ABC los catetos AB y BC miden 15 y 20 m respectivamente. Por "B" se levanta BP perpendicular al plano del trián-gulo, luego se une "P" con "A" y "C". Calcular la medida del diedro AC, si: BP=16 m.

a) 53º b) 30º c) 60º d) 37º e) 45º

12. La siguiente figura representa un libro cerrado donde "M" y "N" indican las esquinas de la tapa. Si se supone un punto "P" entre "M" y "N", pero fijo en el libro, ¿qué ángulo debe girar la tapa para que MNP sea un triángulo equilátero?

2a

N

M

a

a) 60º b) 90º c) 120º d) 150º e) 80º

13. Sea ABC un triángulo equilátero de 18' de lado cuyo ortocentro es "M". Si en "M" se levanta una perpendicular MD= 27, hallar el ángulo diedro formado por el triángulo ADC y ABC.

a) 60º b) 75º c) 90º d) 45º e) 30º

14. Por el vértice "B" de un triángulo equilátero ABC se levanta la perpendicular BE al plano del triángulo. Hallar el ángulo diedro que forman los planos ABC y AEC, si: BC=6, BE=3 3

a) 30º b) 15º c) 60º d) 45º e) 37º

15. En el gráfico, "C" es la proyección de "C" sobre el plano "P". Si el área de la región ABC es igual a 40 m2 y el ángulo diedro que forman ABC y "P" mide 60º, hallar el área de ABC.

A

BC'

C

P

a) 100 3 m2 b) 20 3 c) 40 3 d) 20 e) 30

16. Por el circuncentro "K" del triángulo PQR se levanta la perpendicular KE. Calcular "EP+EQ+ER", siendo: RE=m (KE al plano del triángulo).

a) 3m b) 4m c) m2

3 d) 2m 3 e) m 3

17. En el interior de un ángulo diedro se ubica un punto "P" que dista 6 y 5 cm de las caras y 10'cm de la arista. Calcular la medida de dicho ángulo diedro.

a) 45º b) 60º c) 67º d) 53º e) 97º

18. Un ángulo diedro mide 60º, ¿a qué distancia de la arista se encuentra un punto "P" si se halla a 20 de cada cara?

a) 20 b) 30 c) 40 d) 60 e) 40 3

19. Dos caras de un triedro miden 115º y 125º. De-terminar entre qué valores puede variar la terce-ra cara.

a) 30º y 150º b) 40º y 150º c) 60º y 200º d) 50º y 200º e) 10º y 200º

20. Dos caras de un triedro miden 120º y 130º res-pectivamente, la tercera cara puede medir:

a) 10º b) 20º c) 110º d) 120º e) 130º

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Ciclo UNI132



Ciclo UNI132



1. En un poliedro, la razón entre el número de aristas y el número de caras es 5/3. Hallar el número de caras, si el número de vértices es mayor que 6 y menor que 10.

Solución:

* Por dato: AC

= 53

A=5nC=3n

* T. Euler: C+V=A+R

3n+V=5n+2

V=2n+2

Pero: 6 < V < 10

6 < 2n+2 < 10

4 < 2n ; 2n < 8

2 < n n < 4

n=3

... C=(3n)=9

2. Se tiene al cubo ABCD-EFGH, calcule el volu-men del sólido, si la distancia entre FH y DM es 2 6

3 (M: punto medio de CG).

Solución:

A

C

D

B

O

O1

M

a

a

2a

a 2 a 2

a 2

E

G

C

F

* La proyección FH y DM sobre AEGC es O yO1M respectivamente.

A C

I

O

O1

M

a

a

2a

a 2

a 2

a 3

a 2E G

32 6

* O1OI OCM

2 6

3

a 2 = a 32a

a=1

GC=2

... Vcubo=23=8

3. En un tetraedro regular O-ABC la longitud de su arista es a, la altura OH intersecta al plano BMC en el punto P, siendo M punto medio de OA. Calcule: OP

Solución:

Piden "x"

A

C

B

a

O

M

N3

a 33

a 3

x

P

a2

a2

a2

H

* H: Baricentro del ABC

* ON=AN MN AO

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Geometría

Ciclo UNI134



Geometría

Ciclo UNI134



* T. Pitágoras: MN= a 2a

* MOP AMN

xa 32

=

a2

a 22

... x= 64

a

4. Calcule el ángulo entre AB y CD si se presenta al icosaedro regular.

C

D

A

B

Solución:

Piden: m AB CD

C

M

P

x

Q

D

A

B

* Por teoría:

ABMPQ: Pentágono regular

* CD // BM

x=m AB CD

... x=108º

5. Calcule el volumen del octaedro V-ABCD-E, AM=MV, DF=FC, MF= 3

A

M

V

B

C

F

D

E

Solución:

Piden: V. oct. reg.

A

M

a

a

a

2a

a

V

B

C

F

D

E

2

a 33

a 5

Cálculo de la mediana AFV:

(a 3)2+(a 5)2=2( 3)2+(2a)22

6a2=6

a=1

* V. oct. reg.=23 23

... V. oct. reg.=8 23

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Geometría

Ciclo UNI134



Geometría

Ciclo UNI134



1. En un poliedro de seis caras y doce aristas, cal-cule la suma de los ángulos que las aristas for-man en los vértices.

a) 2 880º b) 1 300º c) 2 160º d) 1 400º e) 220º

2. Un poliedro que tiene 12 vértices y 21 aristas está formado por "2p" triángulos, "c" cuadrilá-teros y "p" pentágonos, todos convexos. Enton-ces, "p" y "c" son, respectivamente:

a) 1 y 8 b) 3 y 2 c) 2 y 5 d) 3 y 4 e) 4 y 1

3. Encontrar el área de la sección hecha en un te-traedro regular de 10 cm de arista, por un plano de simetría que pasa por una de las aristas.

a) 20 3 cm2 b) 25 3 c) 50 2 d) 20 2 e) 25 2

4. Si se divide un octaedro regular de 800 cm2 de superficie en dos pentaedros, mediante un pla-no que pasa por cuatro de sus aristas, ¿cuál es la superficie total de un pentaedro?

a) 500 cm2 b) 23,6 c) 400 d) 530 e) 630,8

5. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa?

a) En todo triedro, pueden existir 2 caras iguales.

b) En todo triedro, pueden existir 3 caras iguales.

c) En todo poliedro, la suma de los diedros es me-nor que 6 rectos y mayor que 2 rectos.

d) En un tetraedro, la suma de los diedros es me-nor que 12 rectos y mayor que 4 rectos.

e) La suma de las caras de un dodecaedro regular, es 6480º.

6. En un hexaedro regular ABCD-EFGH de aristas laterales AE, BF, CG y DH, los puntos M y N son puntos medios de las aristas EH y HG. El punto "T" es el centro de la cara BCGF, si la aris-ta del hexaedro mide L unidades (u). Calcule el área de la sección determinada en el interior del hexaedro por el plano que pasa por los puntos M, N y T.

A

T

D

B

H

N

ME

G

C

F

a) 7L2 68

2 b) 7L2 618

c) 7L2 69

d) 7L2 616

e) 7L2 612

7. En un tetraedro OABC, se cumple que los ángu-los COB=60º, AOB=45º, AOC=45º. Enton-ces, el valor del ángulo diedro corresponde a la arista OA vale:

a) 45º b) 60º c) 75º d) 90º e) 120º

8. Se tiene un cubo de arista "a", calcule el área de la región del triángulo PQR, si P es centro (Q y R son puntos medios de las aristas).

R

P

Q

a) a2 36

b) a2 314

c) a2 38

d) a2 318

e) a2 316

9. Se tiene un tetraedro regular de arista "a". Hallar el volumen del tetraedro regular que se forma al unir los baricentros de las caras.

a) a3 227

b) a3 281

c) a3 2162

d) a3 2216

e) a3 2324

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Geometría

Ciclo UNI136



Geometría

Ciclo UNI136



10. La longitud del segmento que une los puntos medios de dos aristas opuestas de un tetraedro regular es de 2 cm. ¿Cuál es la longitud de la arista?

a) 1 cm b) 2 c) 3 d) 2 e)

11. Se tiene un cubo ABCD-EFGH y un punto in-terior "P". Si: (PA)2+(PC)2 - (PB)2=a2, calcule PD.

a) a b) 2a c) a2

d) 3a

2 e) 3a

12. Dar el valor de verdad de las siguientes proposi-ciones:

• En los vértices de todo poliedro regular seforman ángulos diedros.

• Elicosaedroregulartiene100diagonales.

• Enundodecaedrohay20vértices.

• Las diagonales de un octaedro regular sonperpendiculares.

a) FVFV b) VVVV c) FFFV d) VFVF e) FFFF

13. En el gráfico, se muestra un dodecaedro regular; siendo: P, Q, M y N puntos medios de las aristas respectivas. Calcule la medida del ángulo entre PQ y MN.

Q

M

P

N

a) 18º b) 36º c) 54º d) 72º e) 45º

14. En un tetraedro P-ABC trirectángulo en P, PA=PB=PC=3 2. Calcule la diagonal de cubo inscrito en el tetraedro, donde uno de los ángu-lo sólidos del cubo es P.

a) 3 B) 6 c) 4 d) 2 3 e) 6

15. En un octaedro regular, la distancia de un vérti-ce al baricentro de la cara opuesta a dicho vér-tice mide 2 3 unidades. Calcule el área de la sección diagonal ubicada en dicho octaedro.

a) 12 2 b) 6 6 c) 16 d) 8 3 3) 18

1. ¿Cuántas diagonales tiene aquel poliedro con-vexo que está limitado por 6 regiones cuadran-gulares y 8 regiones triangulares.

a) 38 b) 36 c) 34 d) 32 e) 30

2. ¿Cuál es el área de la proyección de una cara de un tetraedro regular sobre otra cara cualquiera, si la arista del tetraedro mide 2 3 m?

a) 43

m2 b) 3 c) 32

d) 2 e) 2 3

3. Calcule el área total de un hexaedro regular, sa-biendo que la distancia de uno de los vértices al centro de una cara opuesta es de 2 3 m.

a) 40 m2 b) 45 c) 64 d) 16 e) 20

4. Se tiene un poliedro convexo formado por 2 re-giones triangulares y 3 regiones cuadrangulares. Calcular el número de arista de dicho poliedro.

a) 12 b) 10 c) 9 d) 8 e) 6

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Geometría

Ciclo UNI136



Geometría

Ciclo UNI136



5. ¿Cuántas diagonales tiene aquel poliedro con-vexo formado por 2 regiones exagonales y 6 re-giones cuadrangulares?

a) 24 b) 22 c) 20 d) 18 e) 16

6. Un poliedro convexo está limitado por x regio-nes triangulares, z regiones cuadrangulares y 3 regiones exagonales, además el número de vér-tices y el número de arista son 15 y 25 respecti-vamente. calcular (2x - z)

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

7. Calcular el volumen de un tetraedro regular, cuya altura mide 2 6 unidades.

a) 24 2 3 b) 18 3 c) 20 2 d) 18 2 e) 12 6

8. La distancia de un vértice a la diagonal de un exaedro regular mide 2 . Calcular el volumen de dicho exaedro.

a) 8 3 b) 3 3 3 c) 2 2 3

d) 4 3 e) 2 6 3

9. La diagonal de un octaedro regular mide 6 . Calcular el volumen de dicho octaedro.

a) 6 3 b) 6 3 c) 6 2 3 d) 9 3 e) 3 3 3

10. Se tiene un tetraedro regular P-ABC, la dis-tancia de P al centro de la circunferencia ex-inscrita al triángulo ABC relativa al lado AB es igual a 6 6 . Calcule la altura del sólido.

a) 36 6 b) 120 c) 54 6 d) 8 3 e) 60 6

11. Sobre la arista EF del exaedro regular ABCD-EFGH se ubica el punto medio M; de tal manera que la distancia entre las rectas alabeadas EG y CM es igual a 2 unidades. Calcular el volumen de dicho exaedro.

a) 180 3 b) 216 c) 196 d) 204 e) 224

12. En un exaedro regular ABCD-EFGH; P es el cen-tro de la cara ABCD y M es el punto medio de la arista BF. Calcular la medida del ángulo diedro que determinan los planos EPF y MCD.

a) 30º b) 37º c) 45º d) 60º e) 90º

13. Calcular la razón entre las áreas totales de un cubo y un octaedro que tiene como vértices los centros de las caras del cubo.

a) 33

b) 22

c) 66

d) 2 3 e) 3 2

14. Cuatro esferas de radio 3 , son tangente entre sí formando una pila triangular (es decir, una de ellas está sobre las otras tres). Calcular la altura de la pila.

a) 2 6 b) 3( 3+1) c) 3 6 d) 2 3( 2+ 3) e) 6 2

15. ¿En qué relación se encuentran los volúmenes de un octaedro regular y el de su poliedro con-jugado?

a) 5/3 b) 11/5 c) 2

d) 62 e) 9/2

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Ciclo UNI138

TRILCEColegios


Central: 619-8100

1. Determinar el volumen de un prisma regular triangular, tal que las diagonales de dos caras laterales de cruzan ortogonalmente y cuya lon-gitud de estas es 2 6 .

Solución: Piden Vprisma

A

B

D

N

M2

2 4

O

2 3

2 22 6

* OM // AB m MOD=90º

* MOD: MD=2 3

* ADN: Equilátero

MN=AM=2

* VPrisma=ABase x h

* VPrisma=42 3

4 . 2 2

... VPrisma=8 6 3

2. Calcule el volumen de un cilindro recto cir-cunscrito a un octaedro regular cuya arista mide 4 además dos vértices opuestos están ubicados en los centros de las bases del cilindro.

Solución:

Piden VCilindro

M

O

O1

N

4

2 2

4 24 22 2 2 2

OO1=4 2

MN=4 2 r=2 2

VCilindro= (2 2)2 . 4 2

... VCilindro=32 2 3

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Geometría


Central: 619-8100

3. En un prisma hexagonal regular ABCDEF-GHIJKL, el plano que pasa por las aristas DE y GH forman diedros de 45º con las bases y la sección determinada tiene área de 6 6. Calcule el volumen del prisma.

Solución:

Piden: VPrisma

D

aa

aA

45º

2 3

B C

F E

JG

H I

L K

a6

a 3

a 6 . a=6 6 a= 6

VPrisma= a2 34

. 6×a 3

=( 6)2 34

. 6 . 6 . 3

=27 6 3

4. Según el gráfico se muestra a un cilindro de re-volución. Si el área de la región sombreada es M. Calcule el área de la superficie lateral.

Solución:

g

g

r r

SS

S

S

M

45=2g . 2r

S=gr

M2

=gr

ALateral Cilindro=2 rg

ALateral Cilindro=2 M2

ALateral Cilindro=M

5. Se tiene un prisma regular triangular ABC-DEF. Si "O" es el centro de la base DEF m<BOC=53º, calcule la razón de las áreas lateral y total de:

Solución:

AM

D

E

F

C

B

2K 3 2K 3

K 3

K 3

O2K

2K

53º

K 15

K 11

53º2

53º2

Piden: ALAT

EOF: Elemental

Si: OF=2K EF=2K 3

OMC: NOT 532

1272y OC=K 15

AL=6K 3 . K 11

AT=6K2 33+(2K 3)24

3×2

... ALAT

= 1111+1

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Geometría

Ciclo UNI140



Geometría

Ciclo UNI140



1. La base de un prisma recto es un rombo, cuya área es igual a S. las áreas de las secciones dia-gonales son iguales a S1 y S2. Calcule el volu-men del paralelepípedo.

a) S.S1.S22

b) S.S1.S24

c) S.S1.S23

d) S.S1.S25

e) S.S1.S26

2. En un paralelepípedo rectangular las diagonales de las caras miden 34, 58 y 74 cm. El volu-men del paralelepípedo, en m3 será:

a) 10,5 . 0-8 b) 1,05 . 10-6 c) 1,05 . 10-4 d) 1,05 . 10-2 e) 1,05 . 102

3. En un prisma triangular regular, se inscribe un cilindro. ¿Qué relación existe entre las áreas la-terales de estos dos cuerpos?

a) 33

b) 2 33

c) 2 3

d) 3 3 e) 3

4. Se tiene un tetraedro regular ABCD cuya arista mida "a" y tal que sus vértices se encuentran sobre la su-perficie de un cilindro recto que tiene por generatriz la arista AB. Calcule el volumen del cilindro.

a) 4 a3

25 b) 3 a3

16 c) 5 a3

28

d) 9 a3

32 e) 7 a3

40

5. El área de una de las caras de un prisma oblicuo triangular es de 24 2 y la arista opuesta dista de dicha cara en 10 unidades. Calcule el volumen de dicho prisma.

a) 180 3 b) 164 3 c) 144 3 d) 132 3 e) 120 3

6. Se tiene un prisma recto triangular ABC-DEF inscrito en un cilindro equilátero, de modo que: AB=6 3; BC=6 y AC=12. Calcule la longitud de menor recorrido sobre la superficie lateral de cilindro para ir de B a un punto de la genera-triz AD y luego hacia F.

a) 6 4+5 2 b) 12 c) 3 12+5 2

d) 2 36+25 2 e) 15

7. Calcule el volumen de un prisma triangular re-gular circunscrito a una esfera de 6 unidades de diámetro.

a) 162 3 3 b) 180 3 c) 120 3 d) 190 3 e) 172 3

8. En la base de un cilindro de revolución se ins-cribe un hexágono regular ABCDEF, luego se trazan las generatrices AI, BM, DN y EO. Calcu-le la razón de los volúmenes del cilindro y del sólido ABDE-LMNO.

a) p b) 2

c) 6p

d) 3

e) 5p

9. En las bases de un cilindro se trazan dos cuer-das (una en cada base), las cuales determinan una región rectangular de área 60 cm2. Calcule el volumen de dicho cilindro, si la proyección de dicha sección sobre una base, es una región cuadrada inscrita en ella; además, dicha base y la región rectangular determina un diedro que mide 53º.

a) 144 cm3 b) 288 cm3 c) 44 cm3 d) 104 cm3 e) 96 cm3

10. Se tiene un cilindro de revolución cuya altura es 6, el radio de su base es 4; se traza un plano paralelo a su generatriz de cilindro y pasa por el punto medio del radio de su base perpendicular al radio. Calcule el volumen de la porción me-nor determinada en el cilindro.

a) 8(4 - 3 3) b) 4(2 - 3) c) 4(4 - 3) d) 6(3 - 3) e) 8(4 +3 3)

11. La diagonal de un paralelepípedo rectangular mide "d" y forma un ángulo que mide 30º con la cara lateral. El plano que pasa por esta diago-nal y la arista que la intersecta forma un ángulo que mide 60º con la misma cara lateral. Calcule el volumen del paralelepípedo.

a) d3 36

b) d3 312

c) d3 212 d) d3( 3+ 3)

12

e) d3( 3 - 1)9

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Geometría

Ciclo UNI140



Geometría

Ciclo UNI140



12. Dado el prisma recto ABCD-EFGH, si el área de la región ABGH es S1, y de la región EFGH es S2 y la distancia de AB y HG es "a". Calcule el volumen de dicho prisma.

a) S1S2

a S1S2 b) 2S22 - S1

2

c) S1S2

2S12 - S2

2 d) S1S2

a 2S12 - S2

2

e) S1S2

S1

13. En un prisma regular ABC - A'B'C', cuya arista básica mide "a", se ubican los puntos medios "M" y "N" de AB y BC respectivamente. Calcule el volumen del prisma, si: C'M y A'N determi-nan un ángulo que mide 60º.

a) 8 2 a3 b) 8 3 c) 38

2

d) 38

3 e) 43

3

14. Según el gráfico se tiene un cilindro de revolu-ción, si el área de la región BSA es 9 2 y el área de la región CSP es 4 2, calcule el área de la superficie lateral del cilindro.

A

B

CR

S

P

a) 30 2 b) 15 2 c) 25 2 d) 35 2 e) 32 2

1. Calcule el volumen de un paralelepípedo rec-tángulo, sabiendo que las longitudes de sus tres dimensiones se hallan en progresión aritmética y que ellas suman 18 . Su área total es 208 2.

a) 192 3 b) 196 c) 182 d) 186 e) 184

2. Un cilindro cuya altura es igual al diámetro de la base tiene un área total de 12 2. Calcule su volumen.

a) 32 3 b) 16 3 c) 8 2 3 d) 4 2 3 e) 12 3

3. Calcule el área total y el volumen de un prisma hexagonal regular en el cual el desarrollo de su superficie lateral es una región cuadrada de pe-rímetro 48.

a) 12+ 3; 36 3 b) 12(1+ 3); 72 3 c) 12(12+ 3); 72 3 d) 12(1+ 3); 36 3 e) N.A.

4. Un cilindro recto está circunscrito a una esfera de radio igual a 10 cm. Calcule el volumen del cilindro.

a) 200 cm3 b) 1 800 c) 2 000 d) 4 000 e) 2 100

5. En un prisma triangular regular se inscribe un ci-lindro recto. ¿Qué relación existe entre las áreas laterales de estos dos sólidos?

a) 2 3 b) 3 3 c) 4 3

d) 3 32 e) 3

6. El desarrollo lateral de un cilindro recto es un rectángulo cuya diagonal mide 13 cm, si la ge-neratriz mide 5 cm. Calcule el área lateral del cilindro.

a) 70 cm2 b) 60 cm2 c) 50 cm2 d) 90 cm2 e) 80 cm2

7. Calcule el volumen del paralelepípedo rectan-gular cuyas dimensiones de su altura, largo y ancho miden: 3 , 4 y 5 .

a) 20 3 b) 30 3 c) 40 3 d) 60 3 e) 72 3

8. La base de un prisma recto es la base de un te-traedro regular de 2 6 u de altura y el área late-ral del prisma es igual al área total del tetraedro. Calcule el volumen del prisma.

a) 48 6 3 b) 54 c) 27 6 d) 54 6 e) 48

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Ciclo UNI142



Ciclo UNI142



9. Un cilindro contiene agua hasta la mitad de su capacidad, se suelta un trozo metálico y el nivel de agua sube 3,5 y el radio de la base mide 4 . Calcule el volumen del pedazo.

a) 28 3 b) 112 3 c) 56 3 d) 35 3 e) 48 3

10. AB y CD son generatrices opuestas de un cilin-dro recto, O es punto medio de BC, siendo E punto de CD, tal que: m OEA=90º; CE=8 y ED=9 . Calcule el área total del cilindro. (O: centro de una base).

a) 106 2 b) 53 c) 276 d) 53 e) 72

11. Calcule el área lateral de un prisma oblicuo cuya sección recta es un hexágono regular de 24 3 2 de área; la altura del prisma es 3 3 y las aristas laterales forman 60º con la base.

a) 146 2 b) 144 c) 144 3 d) 72 3 e) 72

12. El desarrollo de un prisma recto regular de 12 aristas es un cuadrado de 576 2 de área. Calcu-le el volumen del sólido.

a) 864 3 b) 846 c) 756 d) 648 e) 765

13. El desarrollo de la superficie lateral de un cilin-dro recto es un cuadrado de área S. Calcule el volumen del cilindro.

a) S S2 b) S S

3 c) S S4

d) S S5 e) S S

6

14. Calcule el volumen de un rectoedro, si las diagonales de las caras miden: 34 , 74 y 58 .

a) 210 3 b) 105 3 c) 35 3 d) 166 3 e) 332 3

15. Calcule el volumen de un prisma triangular re-gular, la altura del prisma mide 6 y el lado de la base mide 2 .

a) 4 3 3 b) 6 3 c) 12 3 d) 15 3 e) 18 3

16. Calcule el volumen de un prisma oblicuo trian-gular, si el área de una cara lateral es 5 2 y la distancia de la arista opuesta a esta es 10 .

a) 36 3 b) 50 3 c) 100 3 d) 25 3 e) 48 3

17. Calcule el volumen de un cilindro recto, si su generatriz mide 4 y el radio de la base mide 3 .

a) 18 3 b) 24 c) 30 d) 36 e) 48

18. En un prisma regular de volumen igual a 180' 3 y altura 5' , las caras de un ángulo triedro de uno de sus vértices suman 270º. Calcule el área total del sólido.

a) 150 2 b) 180 c) 200 d) 192 e) 170

19. Un tanque cilíndrico de ácido tendido hori-zontalmente tiene una longitud de 10' y un diámetro interior de 6 . El ácido que contiene determina una superficie rectangular de 40 2. Calcule la profundidad del ácido.

a) (3+ 5) b) 6 c) (5+ 3) d) 4 e) 12

20. En un prisma recta triangular, una arista de la base mide 24 y una arista lateral mide 8 . Cal-cule el volumen del prisma, sabiendo que el segmento que une los puntos medios de las dia-gonales que se cruzan de dos caras contiguas y perpendiculares mide 13 .

a) 960 3 b) 312 c) 624 d) 690 e) 300

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Ciclo UNI142



Ciclo UNI142



1. Dos segmentos MN y PQ se cruzan de termi-nando ángulo de 60º; MP MN y MP PQ, MP=20 ; MN=16 ; PQ=24 . Calcular "NQ".

a) 2 53 b) 3 53 c) 4 53 d) 5 53 e) 6 53

2. En el gráfico mostrado, las rectas y son ala-beadas. Si: PQ=NQ y MN es perpendicular co-mún entre dichas rectas, calcular "xº".

L1P

QN

xº

M

L2

a) 45º b) 30º c) 60º d) 37º e) 53º

3. Un plano intersecta a las aristas de un triedro de vértice "O" en los puntos A, B y C de modo que:

m AOB=m COB=60º, m AOC=m ABC=90º. Calcule "OB", si: OA+OC=10 m.

a) 5 b) 6 c) 8 d) 10 e) 4

4. En el ángulo triedro O-ABC las caras bº=cº=45º. Si OA forma con el plano de la cara BOC un ángulo cuya tangente es 2

2. Calcular la medida

de la cara BOC.

a) 60º b) 30º c) 45º d) ArcTg(2) e) ArcTg

5. Se tiene un tetraedro regular B-ACD, se toma el punto medio "M" de la altura BH del trapecio. Si MA="K", calcule el volumen del tetraedro.

a) K3

8 b) K3

6 c) K3

3

d) 2K3

5 e) 3K3

8

6. Calcular el volumen de un cubo si se sabe que el triángulo formado al prolongar las rectas de unen los puntos medios de sus aristas consecu-tivas (de tal manera que 3 puntos no pertenecen a la misma cara) tienen un área de 72 3 m2.

a) 512 b) 343 c) 216 d) 729 e) 100

7. Dado un tetraedro regular ABCD; "M" es pun-to medio de BC y "Q" es punto medio de AM. Calcule el ángulo que forman BC y DQ.

a) 22º30' b) 20º c) 39º d) 45º e) 90º

8. En un hexaedro regular cuya arista mide "a" uni-dades, calcule la distancia entre dos diagonales de dos caras adyacentes, sabiendo que estas diagonales no son coplanares.

a) a3 b)

a2 c)

2a5

d) 2a3 e)

2a3

9. En el gráfico, la arista del tetraedro regular es igual a 4 33 m; P y Q son puntos medios de las aristas AD y BD respectivamente. Si RC=3BR, calcular la longitud del segmento que es inter-sección de las regiones AQR y BPC.

A

B

R

C

DP

Q

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Geometría

Ciclo UNI144



Geometría

Ciclo UNI144



a) 10 m b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

10. En un hexaedro regular ABCD-EFGH, de arista "a", se traza AM y DN perpendiculares a BH (M y N en BH). Calcule en función de "a", el área de la región triangular MGN.

a) a2 22 b) a2 6

2 c) a2 26

d) a2 3 e) 3a2

11. Sea "A" el área lateral de un cilindro recto y "R" el radio de su base, si "V" es el volumen del sólido. Relacionar A, R y V.

a) VA . R

= 23

b) VA . R

= 45

c) VA . R

= 12

d) VA . R

= 14

e) VA . R

= 37

12. En el cilindro oblicuo de base circular cuyo ra-dio es de 5 cm, calcular el volumen del cilin-dro.

O

M

60º

a) 130 2 cm3 b) 115 3 c) 110 2 d) 120 2 e) 125 3

13. Calcular el volumen del cilindro oblicuo que se muestra en la figura, cuya sección recta es un círculo. O1 y O2 son centros de las elipses.

O2P=8

O1P=6

O2

O1

P

a) 214,4 3 b) 220,5 c) 225,6 d) 230,4 e) 242

14. Un octaedro de volumen 4/3 m3 está inscrito en un cilindro de revolución, de modo que dos vértices opuestos del octaedro son los centros de las bases de dicho cilindro. calcule la longitud de la menor trayectoria para ir de un extremo a otro extremo de una generatriz recorriendo la superficie lateral del cilindro.

a) 2 1+ 2 m b) 3 2 - 1 m c) 4 1+ 2 m

d) 2 2+2 m e)

15. En la figura se muestran dos prismas rectos congruentes AB=A'B'=3 ; BF=B'F'=2 ; BC=B'C'=5 . Calcular EE'.

C' B'

F'

E'H'

D'

GC

A'

HP

E

A B

F

a) 10 b) 2 10 c) 3 10 d) 3 5 e) 5 10

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Geometría

Ciclo UNI144



Geometría

Ciclo UNI144



1. En un tetraedro regular A-BCD es una de sus aristas se ubica un punto que dista 2 y 4 de dos caras. Calcule la longitud de la arista.

a) 5 b) 2 5 c) 6 d) 2 6 e) 3 6

2. Calcule el volumen de un tetraedro regular cuya arista mide 3 2 .

a) 6 3 b) 9 c) 12 d) 27 e) 8

3. En un octaedro regular, la distancia entre los centros de gravedad de dos caras opuestas que tienen un vértice común es "a". Calcule el área de la superficie del octaedro.

a) 33

a2 b) 2 33 a2 c) 9 3 a2

d) 9 35 a2 e) 9

2 3 a2

4. En un hexaedro regular (cubo) ABCD-EFGH, "O" es centro de ABCD y M punto medio de CG. Calcule la medida del ángulo formado por OH y EM .

a) 30º b) 60º c) ArcCos 69

d) ArcCos 6

3 e) 40º

5. ¿En qué porcentaje debe aumentar la altura de un cilindro, sabiendo que el radio de su base disminuye 50%, para que ambos sólidos (final e inicial) tengan el mismo volumen?

a) 100% b) 200% c) 300% d) 400% e) 500%

6. El radio de la sección recta de un cilindro obli-cuo mide 2 3 m. La generatriz está inclinada 60º respecto a la base y la longitud de la altu-ra es el doble del diámetro de la sección recta. Calcular el volumen del cilindro.

a) 184 m2 b) 192 m2 c) 176 m2 d) 196 m2 e) 204 m2

7. Se tiene un cilindro cuyo radio de la base mide 4 cm y altura 8 está lleno de agua hasta un nivel superior 3 cm. Calcular la medida del ángulo

que debe girar el cilindro con respecto a la ver-tical para que el agua esté a punto de derramar-se.

a) 30º b) 45º c) 60º d) 53º e) 37º

8. ¿En qué razón se encuentran las áreas de la su-perficie lateral de un cilindro y de la región que resulta de proyectar al cilindro en un plano pa-ralelo a su eje?

a) b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

9. El desarrollo de la superficie lateral de un pris-ma regular triangular tiene por diagonal 34 y por altura 16 . Calcular el área total del pris-ma.

a) 10(5 3+48) 2 b) 12(32+6 3) 2

c) 596 2 d) 25( 3+3) 2

e) 624 2

10. Se tiene un triángulo rectángulo isósceles AOB(AO=OB= 2 ). Por "O" se levanta una perpendicular OF al plano del triángulo. Calcu-le OF para que el diedro AB mida 30º.

a) 32

b) 2 33

c) 33

d) 3 e) 3 3

11. Se tiene un triángulo rectángulo isósceles ABC, recto en B, por el punto medio M de AB se le-vanta MP perpendicular al plano del triángulo ABC. Si el plano APC forma un diedro de 60º con el plano del triángulo ABC, calcule: PM, si: AC=12 .

a) 6 b) 3 2 c) 3 3 d) 4 2 e) 4 3

12. Por el vértice B de un triángulo ABC se le-vanta la perpendicular BH al plano ABC, tal que: BH=4,2 . Calcule la media del ángulo diedro formado por ABC y ACH. Si: AB=14 , BC=30 y AC=40 .

a) 22º30' b) 26º30' c) 30º d) 45º e) 37º

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Ciclo UNI146



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13. Se tiene un ángulo diedro que mide 60º forma-do por los triángulos rectángulos ABC y AFC, tal que: AB=AF=30 y BC=FC=40 . Calcule la distancia entre los baricentros de sus caras.

a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 9

14. ¿Cuántos vértices tiene un dodecaedro regular?

a) 12 b) 20 c) 30 d) 32 e) 40

15. Se tiene un triángulo ABC cuya área de su re-gión es igual a 100 m2. Calcule el área de la proyección de dicho triángulo sobre un plano que contiene al lado AB, si el ángulo diedro for-mado por el triángulo y el plano mide 37º.

a) 60 m2 b) 80 c) 70 d) 50 e) 90

16. Se tiene un cubo ABCD-EFGH cuya arista mide "a". Calcule la mínima distancia entre BD y CH.

a) a 3 b) a 32

c) a 33

d) a 63

e) a 5

17. ¿Cuántas aristas tiene un icosaedro regular?

a) 20 b) 12 c) 30 d) 32 e) 40

18. Se tiene un ángulo triedro, dos caras miden 45º y el diedro entre ellas es recto. Calcule la medi-da de la otra cara.

a) 30º b) 45º c) 75º d) 90º e) 60º

19. Desde un ángulo triedro equilátero donde sus caras miden 60º cada uno. ¿Cuánto mide uno de sus ángulos diedros?

a) ArcCos 13

b) ArcCos 55

c) ArcCos 23

d) ArcCos 54

e) 60º

20. La altura del tetraedro regular mide 6 . Calcu-le la longitud de su arista.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

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Ciclo UNI146



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1. Se muestra a un tronco de cilindro circular recto circunscrito a una esfera de radio R. Calcular el volumen del tronco de cilindro.

45º

R

Solución:

45º

45º

RR

RR

R 2

Piden: Vtcilind

Vtcilind= R2 . eje

= R2(R+R 2)

= R3(1+ 2)

2. Calcule el volumen de un tronco de cilindro circular si su dos bases pertenecen a planos perpendiculares y una de ellas forma 15º con la generatriz mayor. Si las generatrices mayor y menor miden a y b, calcule el volumen del sólido.

Solución:

Piden: Vsol

RrM N

a

b

15º

15º

NOT 15º y 75º: NR= b4

, MR= a4

MN=2r=a - b4

Vsólido= r2 a+b2

= (a - b)8

a+b2

= (a - b)2(a+b)128

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Geometría

Ciclo UNI148



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3. En el gráfico mostrado, calcule la relación de volúmenes del tronco de prisma cuadrangular regular y del prisma cuadrangular regular y del tronco de cilindro circular recto inscrito en él.

Solución:

R R

R

e

Piden: VT prismaVT cilindro

VTprisma regularVTronco cilindro

= (2R)2×eR2 . e

... VT prismaVT cilindro

= 4

4. En una cuña cilíndrica cuya base mayor forma 30º con la generatriz mayor y el radio de la base es 4. Se inscribe un tronco de prisma regular triangular, una de sus aristas laterales coincide con la generatriz mayor. Calcule el volumen del tronco de prisma.

Solución:

Piden V t.prisma

MOC

AN2 2 4 B

IT

Q

D 6

30º

30º

C

2 32 3

2 3

6 3

2 3

4 3

AMB: Equilátero, MB=4 3

CN=NO=2

CDN: (NOT 30º y 60º) DN=2 3

DCI: (NOT 30º y 60º) CI=6 3

VT prisma=Bx(h1+h2+h3)

3

VT prisma=

(4 3)2 34 (2 3+2 3+8 3)3

VT prisma=12 3 . 12 3

VT prisma=432

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Geometría

Ciclo UNI148



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5. Se muestra al cubo ABCD-EFGH (AM=ME). Calcule la razón de volúmenes de cubo y del tronco de prisma MFD-AB.

M

A D

C

GF

E

B

H

1. Un cilindro contiene las tres cuartas partes de su volumen con agua. Si se inclina como se mues-tra en la figura, ¿cuánto debe medir " " para que el agua no se derrame?

R

2R

º

a) 37º b) 53º c) 15º d) 45º e) 37º/2

2. Sea ABC-FED un tronco de prisma triangular recto, donde la base recta es el triángulo rectán-gulo isósceles ABC de hipotenusa AC=3 3. La otra base FED es un triángulo equilátero y cuya cara lateral es un rectángulo cuya altura es una arista lateral y mide 6 dm. Calcule el volumen de dicho tronco.

a) 33,6 dm3 b) 41,5 c) 30,6 d) 32,23 e) 45,7

3. ABCD-AEFD es un tronco de prisma recto, don-de la base recta ABCD es un trapecio isósceles cuyas bases BC y AD miden 10 dm y 20 dm,

en ese orden. Si AB mide 13 dm y las bases for-man un diedro de 60º, calcule el área de la base AEFD.

a) 460 dm2 b) 260 c) 360 d) 480 e) 370

4. El lado de un cuadrado ABCD mide 2 dm; se levantan las perpendiculares AE y CF al plano del cuadrado ABCD. Si: AE=6 dm y CF=9 dm, calcule el volumen del sólido de la base ABCD, aristas laterales AE y CF. (EF es un arista de la parte superior del sólido).

a) 5 dm3 b) 10 c) 12 d) 8 e) 9

5. El gráfico muestra a un tronco de cilindro recto, donde el área de la sección ABCD es 18 dm2 y la distancia de "O" a DC es de 3,6 dm. Calcule el volumen del tronco de cilindro recto.

A

D

B

C

O

Solución:

M

A D

C

GF

E

B

SS

2aa

a

H

Vtronco=S a+2a+03

Vcubo=2S . 2a

... VcuboVtronco

=4

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Geometría

Ciclo UNI150



Geometría

Ciclo UNI150



a) 14 dm3 b) 24 c) 9 d) 18 e) 21

6. Sea ABC-PQR un prisma triangular regular cuya arista básica mide 6 dm. Se traza un plano se-cante que pasa por PB y corta a RC en E. Si: EC=4 dm y ER=6 dm, calcular el volumen del sólido ABC-PBE.

a) 72,74 dm2 b) 62,83 c) 83,72 d) 74,45 e) 62,8

7. Se tiene un tronco de prisma oblicuo triangular, cuya sección recta es un triángulo equilátero de lado igual a 6 unidades de longitud y la distan-cia entre los baricentros de las bases es igual a 16 unidades. Calcule el área lateral de dicho tronco.

a) 90(2+ 2) 2 b) 224 c) 90( 2+ 6) d) 120(1+ 3) e) 288

8. Se tiene un tronco de cilindro recto en el que su área lateral es numéricamente igual al duplo de su volumen. Si la diferencia entre sus generatri-ces mayor y menor es 2 , calcule el área de la base elíptica.

a) 1+ 2 b) 2 2 c) 4+ 2

2

d) 2 2 - 1 e) 5

9. Sobre las aristas AD, BE y CF de un prisma recto ABC-DEF se ubican los puntos P, Q y R, res-pectivamente, de tal manera que: AP=3PD, BQ=EQ y FR=2CR. Calcule el volumen del tronco de prisma ABC-PQR, si el volumen del prisma ABC-DEF es igual a "V".

a) V2

b) 3V5

c) V3

d) 19V36

e) 11V24

10. Se tiene el tronco de prisma recto PQR-EFG, de modo que la base superior EFG es un triángulo equilátero de lado 10; RG=6 3 y FG // QR. Cal-cule el volumen de dicho tronco, si la medida del ángulo diedro formado por las bases es de 37º.

a) 380 2 3 b) 450 c) 420 d) 320 2 e) 360 3

11. En el gráfico se muestra un cilindro de revolu-ción de 80 dm3 de volumen. Calcule el volu-men del tronco del cilindro recto.

a) 45 dm3 b) 15 c) 60 d) 50 e) 30

12. En el gráfico: CD=6, AB=3, BO=OC y la m AOD=90º. Calcule el volumen del tronco.

B O

D

C

A

a) 36 b) 40 c) 81 d) 54 e) 42

13. El lado de un triángulo equilátero ABC mide 34 . Por A y B se levantan las perpendiculares AE=2 y BF=6, al plano ABC. Calcule el volumen del sólido ABCEF.

a) 2 3 b) 3 c) 2 d) 3 2 e) 4

14. La sección recta de un prisma triangular oblicuo es un triángulo rectángulo de lados menores iguales a 6 dm y 8 dm. Si el segmento que une los baricentros de la base mide 16 dm, calcular el volumen del tronco.

a) 384 dm4 b) 294 c) 364 d) 483 e) 438

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Geometría

Ciclo UNI150



Geometría

Ciclo UNI150



1. Se tiene un tronco de prisma recto triangular, tomando como base a los triángulos medianos de las bases se obtiene un nuevo tronco. Deter-minar la relación de volúmenes entre los dos troncos mencionados.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2. Las bases de un prisma recto son los paralelo-gramos ABCD y EFGH. En la arista DH se ubica el punto medio M; en la arista AE se ubica el punto P, tal que el volumen del sólido PBM-EFH es los 2

5 del volumen del prisma dado. Cal-

cule: APPE

a) 14

b) 35

c) 29

d) 19

e) 25

3. Un tronco de prisma recto ABCD-EFGH, la base EFGH es un rectángulo, tal que: BF=CG=2AE=4HG=4a y el área de la base EFGH es la octava parte del área de la superficie lateral. Calcule el volumen del sólido.

a) 6 a3 b) 8 a3 c) 9 a3 d) 12 a3 e) 15 a3

4. Se tiene un recipiente cilíndrico conteniendo agua hasta sus 2/3 partes. ¿Cuánto mide el ángu-lo que debe inclinarse el recipiente para que el agua empiece a caer, sabiendo que la altura del recipiente es el triple del diámetro de la base?

a) 30º b) 45º c) 53º/2 d) 37º/2 e) 60º

5. En la figura se muestra un tronco de cilindro de revolución, donde: AC=3 , BD=5 y AB=4 . Calcular: PC2+PD2.

A

P

D

B

C

a) 25 2 c) 30 c) 40 d) 50 e) 60

15. En el gráfico mostrado, es un tronco de cilindro oblicuo cuyas bases elípticas están en planos perpendiculares. Si: AB2 - CD2=48 2, calcular el área lateral del sólido.

A

D

B

C

15º

a) 6 2 b) 8 c) 4 d) 6 e) 8

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Geometría

Ciclo UNI152



Geometría

Ciclo UNI152



6. Calcule el volumen de un prisma de 2 m de altura, si su base es la región triangular formada al unir los puntos medios de los lados de un triángulo cuya área de su región es 36 m2.

a) 16 m3 b) 18 c) 20 d) 24 e) 12

7. Calcule el volumen de la cuña cilíndrica ABC circunscrita a la esfera de radio "r", sabiendo que el triángulo ABC es equilátero.

A

B

C

a) 9 r3 b) 94

3 r3 c) 3 r3 3

d) r3 e) 3 r3

8. Calcule el volumen de un prisma cuadrangular regular si el desarrollo de su superficie lateral es una región cuadrada cuyo lado es de la longitud "K".

a) K3

16 b) K3

12 c) K3

13

d) K3

15 e) K3

17

9. Calcule el volumen de un tronco de prisma recto triangular, cuyas aristas laterales mi-den 5 , 6 y 7 y el área de la base recta es de 24 2.

a) 180 3 b) 172 c) 164 d) 144 e) 136

10. Las aristas laterales de un tronco de prisma recto triangular miden 9 , 12 y 15 , Calcule el volu-men del tronco, cuyas bases forman un ángulo diedro que mide 53º y el área de la base supe-rior oblicuas es de 120 2.

a) 924 3 b) 900 c) 898 d) 888 e) 864

11. La base ABC de un tronco de prisma rectangu-lar triangular ABC-DEF, es un triángulo equilá-tero de 24 de perímetro. Calcule el volumen del sólido A - DEF, si: AD=12 , BE=15 y CF=18 .

a) 64 3 3 b) 72 c) 60 3 d) 84 e) 48 6

12. Se tiene un tronco de prisma triangular cuya sección recta tiene 160 2 de área y la longitud del segmento que una los baricentros de las ba-ses es de 18 . Calcule el volumen del tronco.

a) 3 200 3 b) 2 880 c) 2 800 d) 2 760 e) 2 480

13. Dado prisma triangular regular ABC-DEF. Si: CF=3(BC), BD= 10 . Calcule el volumen del prisma.

a) 2 3 3 b) 2 2 3 c) 34

3 3

d) 34

3 e) 34

2 3

14. Calcule el área lateral de un tronco de cilindro circular recto circunscrito a una esfera de radio "r", cuyas bases forman un ángulo diedro que mide 60º.

a) 3 r2 b) 4 r2 c) 5 r2 d) 6 r2 e) 7 r2

15. Un prisma recto tiene por base un cuadrilátero inscrito que se descompone por una de sus dia-gonales en un triángulo equilátero de lado igual a 12 cm y otro isósceles. Si la altura es 10 cm. Calcule el volumen.

a) 480 3 cm3 b) 420 3 c) 360 2 d) 240 2 e) 250 3

16. El desarrollo lateral de un cilindro recto es un rectángulo cuya diagonal mide 17 cm. Si la ge-neratriz mide 15 cm, calcule el área lateral del cilindro.

a) 80 cm2 b) 50 c) 60 d) 70 e) 120

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Geometría

Ciclo UNI152



Geometría

Ciclo UNI152



17. En un tronco de cilindro circular recto sus bases forman un ángulo diedro cuya medida es 60º, además la suma de las áreas de las bases es S y la generatriz menor tiene medida nula. Calcule el radio de la base circular.

a) R=S

b) R=S2 c) R=

S3

d) R=S5 e) R=

S7

18. Calcule el volumen de un tronco de prisma rec-to cuya base es un cuadrado de lado 4 y tres de sus aristas laterales perpendiculares al cuadrado miden 3 , 4 y 6 .

a) 72 3 b) 76 c) 81 d) 69 e) 80

19. Calcule el área lateral de un tronco de cilindro recto circunscrito a una esfera, sabiendo que sus generatrices mínima y máxima miden 2 y 5 .

a) 12 2 b) 10 c) 14 d) 15 e) 18

20. Un prisma regular triangular es tal que su aris-ta de la base es un tercio de la arista lateral. Además el área lateral es de 81 cm2. Calcule el volumen del sólido.

a) 81 3 cm3 b) 812 3 c) 91

4 3

d) 814 3 e) 81

3 5

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Ciclo UNI154

TRILCEColegios


Central: 619-8100

1. Las caras laterales de una pirámide triangular V-ABC forman un ángulo diedro cuya medida con la base es de 45º. Si AB=13, BC=14 y AC=15, calcule el volumen de la pirámide.

Solución:

45º

15

A

I4

V

B

B

M

13

45º

14

Piden: Vpirámide V-ABC

* I=Incentro del ABC

IM=Inradio del ABC

* A ABC=P ABC ×(IM)

21×8×6×7=21 . IM

84=21.IM IM=4

* VIM(NOT 45º y 45º)

h=4

* Vpirámide V-ABC =84×43

=112

2. El área lateral de una pirámide regular cuadran-gular es 128. Si el radio de la circunferencia cir-cunscrita a la base es 2 2, calcule el volumen de la pirámide.

Solución:

Piden Vpirámide

B

2 22

h

A

ap

42 22 2

Del dato

* 128=Pbase x ap

128=8 . ap ap=16

* T. Pitágoras

ap2=22+h2

162 - 22=h2 h=6 7

Vpirámide=42×6 3

3 ... Vpirámide=32 3

3. Calcule la razón de volúmenes entre los sólidos mostrados.

Solución:

Piden: VcilVcono

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Geometría


Central: 619-8100

R R L

2g

g

r r

MO

P

R

N

* Por prop. de la semejanza

2r=2R . R3R

r= R3

* OPM PTL NMLN

= 21

* VcilVcono

= R2 3gR2

2. g

... VcilVcono

=27

4. Calcular el volumen de un cono de revolución en el cual el desarrollo de su superficie lateral es una semicircunferencia de 12 de radio.

Solución:

Pide: Vcono

12

Desarrollo=2 rg

=2 r12

r=6

12

6 3

6

Vc=M62 . 6 3

3 ... Vcono=72 3

T5. En el cono circular recto mostrado, calcule la

relación entre el área lateral y total del sólido, si: mAB=120º.

53º

B

V

A

Solución:

r N2r

B

V

A120º

53º2

r 3

r 152r 3

r 3

53º2

* Piden: ALAT

* AB=2r 3

AVB: Isósceles; VN=25 3

VNB: NOT 532

x 1272

VB=5 15

* AL= rg

AT= r(g+r)

ALAT

=g

g+r= r 15

r 15+2r

... ALAT

= 1515+2

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Geometría

Ciclo UNI156



Geometría

Ciclo UNI156



1. Se tiene una pirámide V-ABCD tal que ABCD es un paralelogramo cuyas diagonales miden AC=10 y BD=8. Calcule el valor de:

E=(VA)2+(VC)2 - (VB)2 - (VD)2

a) 24 b) 20 c) 28 d) 16 e) 18

2. Calcule el volumen de un cono de revolución en el cual el desarrollo de su superficie lateral se muestra.

R=8 m

a) 4 3 m3 b) 83 15 m3 c) 2 2 m3

d) 20 m3 e) 4,8 m3

3. Calcule la medida del ángulo del desarrollo que se obtiene, al desarrollar la superficie la-teral del cono menor, si tiene una generatriz paralela a la generatriz mayor, h= 15; R=1.

h

R

a) 120º b) 75º c) 180º d) 50º e) 90º

4. En una pirámide hexagonal regular, su altura mide 18 y la arista de la base mide 12. Calcule a qué distancia del vértice se debe trazar un plano paralelo a la base para que la sección resultante tenga un área de 72 3.

a) 3 3 b) 4 3 c) 5 3 d) 6 3 e) 7 3

5. ¿A qué distancia del vértice de una pirámide cuya altura mide 8 cm, se debe trazar un plano paralelo a la base para que se determine dos sólidos equivalentes?

a) 2 3 cm b) 3 33 c) 4 43 d) 5 e) 6,5

6. La figura muestra a un cilindro oblicuo de 60'cm3 de capacidad, inscrito en el cono rec-to de revolución. Calcule el volumen de dicho cono.

a) 120 cm3 b) 80 c) 160 d) 150 e) 140

7. En una pirámide cuadrangular regular, la arista lateral forma 37º con el plano base. Calcule el valor del ángulo diedro que forma la cara lateral con la base.

a) ArcTan 43

b) ArcTan3 22

c) ArcTan3 24

d) ArcTan3 23

e) ArcTan 34

8. En una pirámide S-ABC, la base ABC y la cara SBC son triángulos equiláteros. Si: AS=4 y BC=6, calcule el volumen de la pirámide S-ABC.

a) 4 23 b) 2 26 c) 3 23 d) 26 e) 5 26

9. En la figura, calcular la altura del cono, si el cono de vértice "P" y la cuña cilíndrica recta son equivalentes. Además: 3AP=5PB, la altura del cilindro es 17 m.

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Geometría

Ciclo UNI156



Geometría

Ciclo UNI156



P

A

B

a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 14

10. Sobre las aristas laterales PA, PB y PC de una pirámide triangular P-ABC, se ubican los puntos L, M y N respectivamente, de tal manera que: AL=LP, PM=2MB y PN=3NC. Calcule el vo-lumen del sólido ABC-LMN, si el volumen de la pirámide P-ABC es 100 3.

a) 10 3 b) 48 c) 54 d) 64 e) 75

11. En una pirámide triangular regular O-ABC trirectangular en "O", el volumen es 3

23, cal-

cule la distancia del centro de la base a la arista lateral.

a) 23

b) 32

c) 62

d) 63

e) 52

12. Se tiene un cubo de 2 dm de arista y una esfera inscrita en él. En su vértice "A" del cubo y a una distancia "x" de él se señalan los puntos P, Q y R en las aristas que confluyen en "A". Determi-ne el volumen de la pirámide APQR, si el plano PQR es tangente a la esfera.

a) 148 b) 3( 3- 1)3

c) 2 3 - 14 d) 3( 3 - 1)3

2

e) 2( 3 - 1)32

13. Dado un cono de revolución, calcular el volu-men del cono cuya base es una sección perpen-dicular a OB y OM=MB.

6

6

BA

O

=

=

R=6

M

a) 12 2 b) 16 6 c) 365

3

d) 18 6 e) 24 3

14. Por el incentro del triángulo ABC cuyos lados miden 5 m, 6 m y 7 m, se traza la perpendicular al plano de dicho triángulo. Si IO=2 2, calcule la suma de las áreas de las caras laterales de la pirámide O-ABC.

a) 144 b) 14 6 c) 12 6 d) 6 6 e) 18 6

15. En el gráfico se muestra un cilindro de revolu-ción de 18 m3 de volumen, si: AB=BC, calcular el volumen del cono que tiene como base la región elíptica.

C

A

B

a) 1 m3 b) 2 c) 2,5 d) 3 e) 4

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Geometría

Ciclo UNI158



Geometría

Ciclo UNI158



1. Un semicírculo de radio "R" es el desarrollo la-teral de un cono de revolución. Calcule el volu-men del cono.

a) R3

12 6 b) R3

12 c) R3

8 2

d) R3

24 3 e) R3

12

2. Una pirámide tiene 31 vértices. Calcule el nú-mero de aristas del sólido.

a) 30 b) 60 c) 90 d) 50 e) 100

3. El radio de la base de un cono es de 15 dm y su área lateral es de 375 2. Calcule la distancia del centro de la base a la generatriz del cono.

a) 12 b) 8 c) 10 d) 14 e) 16

4. Un triángulo equilátero tiene como lado 6 y gira alrededor de uno de los lados un ángulo de 360º. Calcule el volumen del sólido engendra-do.

a) 45 3 b) 54 c) 34 d) 52 e) 28

5. Una pirámide recta de base cuadrada tiene una altura de 1,2 y la arista lateral mide 1,3 . ¿Cuán-to mide el área de la proyección de una cara lateral sobre la base de la pirámide?

a) 0,5 2 b) 0,42 2 c) 0,125 2 d) 0,125 2 e) 1,56 2

6. La generatriz de un cono circular recto mide "y", la altura "h", si: y2 - h2=3k2. Calcule el vo-lumen de dicho cono.

a) k2h b) 3

k2h c) kh2

d) k2h3 e) k2h2

7. Calcule el volumen de una pirámide, cuya área de su base es 12 2 y su altura mide 4 .

a) 9 3 b) 12 c) 16 d) 20 e) 24

8. En un cono circular recto la media armónica en-tre su altura y el diámetro es de 12 . Calcule el volumen de un cilindro recto circular inscrito, si su altura y su diámetro son congruentes.

a) 54 3 b) 64 3 c) 48 3 d) 27 3 e) 45 3

9. Un cono y un cilindro circular recto cuya ge-neratriz mide 4 dm, comparten la misma base de radio igual a 3 dm la otra base del cilindro es secante al cono. Si ambos sólidos son equi-valentes, calcule el volumen de la porción del cono interior al cilindro.

a) 965

dm3 b) 763

dm3 c) 25 dm3

d) 133

dm3 e) 9118

dm3

10. Sea V-ABCD una pirámide cuadrangular regular, donde el área del círculo inscrito en el triángulo VAB es 9

4 m2 y la m AVB=74º, calcular el

volumen de la pirámide V-ABCD.

a) 7 6 m3 b) 6 6 c) 12 7

d) 12 5 e) 245 7

11. B es punto medio de una generatriz del cilindro y OB OB. Calcule la relación de volúmenes del cilindro y del cono de vértice "O".

O

A

B

a) 34 b)

57 c)

913

d) 8

15 e) 85

12. En una pirámide pentagonal regular el área total es de 30 2 y el área lateral es 20 2. Calcule el valor del ángulo diedro que forman la cara late-ral con el plano de la base.

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Geometría

Ciclo UNI158



Geometría

Ciclo UNI158



a) 45º b) 60º c) 30º d) 53º e) 75º

13. Sea O el vértice de un cono de altura OH. La mediatriz de la generatriz OA, corta a OH en N, sea M punto medio de OA. Se sabe que: MN=3 y OH=7 . Calcule el área lateral del cono.

a) 42 2 b) 10,5 2 c) 20 2 d) 21 2 e) 36 2

14. Calcule el volumen de un cono recto, si su altu-ra mide 8 y el radio de la base mide 3 .

a) 18 3 b) 24 3 c) 30 3 d) 36 3 e) 40 3

15. El área total de su cono de revolución es 10 2 y su generatriz mide 3 . Aquí se inscribe una esfera y se desea calcular el volumen de un cono cuyo vértice es el centro de la esfera y la base es la base del cono original.

a) 815 5 3 b) 8

17 6 3 c) 815 3 3

d) 158 6 3 e) 8

15 51 3

16. El volumen del cono recto es de 80 3. Calcule el volumen del cilindro oblicuo inscrito en el cono de revolución.

a) 45 3 b) 60 3 c) 35 3 d) 30 3 e) 40 3

17. Calcule la longitud del apotema de una pirámi-de cuadrangular regular, si el lado de la base mide 6 y la altura de la pirámide mide 4 .

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 8

18. Un cono de revolución tiene como generatriz 10 dm y como radio 2 dm. Calcule el valor del ángulo central del desarrollo lateral de dicho cono recto.

a) 36º b) 72º c) 60º d) 45º e) 120º

19. El volumen de un cono de revolución es 36 dm3. El triángulo ABC equilátero e inscrito en la base del cono. A su vez el triángulo ABC está cir-cunscrito a un círculo que es la base de un ci-lindro circular recto inscrito en el cono. Calcule el volumen del cilindro.

a) 17,8 dm3 b) 10,5 dm3 c) 13,5 dm3 d) 8,5 dm3 e) 24 dm3

20. El desarrollo lateral de un cono de cúspide O, es el sector circular AOB de 120º. "O1" es el centro del círculo congruente a la base de dicho cono. Calcule la mAQ.

A

O BQO1

a) 120º b) 90º c) 45º d) 75º e) 53º

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Ciclo UNI160

TRILCEColegios


Central: 619-8100

1. Calcule el volumen de un tronco cilíndrico oblicuo, conociendo que la sección recta es un círculo y forma con la base mayor un die-dro de 45º; además, el área de la base mayor es de 60 dm2 y las generatrices máxima y mí-nima miden 10 dm y 4 dm en ese orden.

a) 240 6dm3 b) 160 3dm3 c) 210 2dm3 d) 190 3dm3 e) 222 2dm3

2. Calcule el volumen de un tronco de cilindro recto circunscrito a una esfera de radio 2. El diá-metro de la base mide 6 y la generatriz mínima del tronco es nula.

a) 60 b) 45 c) 12 d) 36 e) 40

3. En un tronco de cilindro circular recto, la ge-neratriz mínima es nula y las bases forman un diedro de ángulo rectilíneo igual a 60º. calcule el volumen del sólido, si la suma de las áreas de las bases es 48 dm2.

a) 695,32 dm3 b) 965,23 dm3 c) 895,32 dm3 d) 348,23 dm3 e) 665,32 dm3

4. En un tronco de cilindro circular recto, se en-cuentra inscrita una esfera de radio igual a 6 dm. El eje mayor de la elipse forma un ángulo de 37º con la generatriz máxima. Determine el volumen de dicho tronco.


5. Un tronco de cilindro oblicuo tiene como sec-ción recta a un círculo de 8 dm de perímetro. Las generatrices máxima y mínima miden 14'dm y 4 dm, en ese orden. Calcule la relación entre el volumen y la generatriz mayor del tronco.

a) 727

dm2 b) 625

dm2 c) 278

dm2

d) 475

dm2 e) 736

dm2

6. Grafique al triángulo ABC, de modo que AB=6 dm, BC=8 dm y AC=10 dm. Perpendicular-mente a su plano se levanta AE, BF y CH que miden 2 dm, 8 dm y 4 dm en ese orden. Calcule el volumen del sólido ABC-EFH.


7. En un tronco de cilindro circular recto, las gene-ratrices máxima y mínima miden 10 dm y 4'dm en ese orden. Si el diámetro de la base circular es congruente al eje del sólido, calcule el área lateral del sólido.


8. En un tronco de prisma recto (cuya sección es un triángulo), se inscribe una pirámide cuya base es la misma del tronco y cuyo vértice es el punto de intersección de las medianas de la otra base. Calcule la relación de volúmenes de estos sólidos.

a) 19 b)

13 c)

12

d) 29 e)

23

9. Los volúmenes que genera un triángulo rectán-gulo cuando gira alrededor de sus catetos son de 3 dm3 y 4 dm3. Calcule el volumen que ge-nera el triángulo cuando gira alrededor de la hi-potenusa.

a) 5 dm3 b) 2,2 dm3 c) 2,5 dm3 d) 2,3 dm3 e) 2,4 dm3

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Geometría


Central: 619-8100

10. En un cono de revolución, se inscribe dos esfe-ras de radios 2 dm y 6 dm. Calcule el volumen del cono.


11. Calcule el volumen de un cono recto de altura 3m, sabiendo que el plano que pasa por el vérti-ce determina en la base una cuerda que subtien-de un arco de 120º y que la sección determina-da por dicho plano es un triángulo rectángulo.

a) 9 m3 b) 12 m3 c) 18 m3 d) 24 m3 e) 36 m3

12. Sea F-ABCD una pirámide donde las aristas la-terales son congruentes y miden 5 6 dm. AB y BC miden 8 dm y 6 dm en ese orden. Calcule el volumen del sólido, sabiendo además que la base es un rectángulo.

a) 80/3 dm3 b) 40 dm3 c) 80 dm3 d) 90 dm3 e) 8 5 dm3

1. ¿En qué porcentaje debe aumentar la altura de un cilindro, sabiendo que el radio de su base disminuye 50% para que ambos sólidos (final e inicial) tengan el mismo volumen?

a) 100% b) 200% c) 300% d) 400% e) 500%

2. El radio de la sección recta de un cilindro obli-cuo mide 2 3 m. La generatriz está inclinada 60º respecto a la base y la longitud de la altu-ra es el doble del diámetro de la sección recta. Calcular el volumen del cilindro.

a) 184 m3 b) 192 m3 c) 176 m3 d) 196 m3 e) 204 m3

3. Se tiene un cilindro cuyo radio de la base mide 4 cm y está lleno de agua hasta un nivel supe-rior 3 cm. Calcular la medida del ángulo que debe girar el cilindro con respecto a la vertical para que el agua esté a punto de derramarse.

a) 30º b) 45º c) 60º d) 53º e) 37º

13. Una cuerda del círculo base de un cono circular recto de 8 m de altura, mide 16 m. La distancia de la cuerda al centro del círculo de la base es de 4 m. Calcule el área lateral del cono.

a) 12 m2 b) 48 5 m2 c) 96 m2 d) 96 5 m2 e) 48 m2

14. La altura de un cono recto se divide en tres seg-mentos congruentes por dos puntos, por dichos puntos se trazan planos paralelos a las bases. Calcule el volumen de la parte mayor, si el vo-lumen del cono es de 27 m3.

a) 5 m3 b) 9 m3 c) 19 m3 d) 21 m3 e) 24 m3

15. La altura y el diámetro e la base de un cono recto miden 18 y 24 unidades respectivamente. En el cono, se inscribe un cilindro recto cuya área total es 260 2. Calcule el volumen del cono parcial cuya base es la base superior del cilindro.

a) 500 3 b) 480 3 c) 440 3 d) 420 3 e) 400 3

4. ¿En qué razón se encuentran las áreas de la su-perficie lateral de un cilindro y de la región que resulta de proyectar al cilindro en un plano pa-ralelo a su eje?

a) b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

5. En una tetraedro regular de arista "a", se inscri-be un cilindro de revolución con una de sus ba-ses en una cara y la otra tangente a las demás caras. Si el radio de las base del cilindro es "r". Calcular el área de su superficie lateral.

a) 2 2 a 36 r b) 3 3 a 3

6 r

c) 4 2 a 36

- r d) 2 2 a 36

- r

e) 2 r 2 a 33

- r

6. Las dimensiones de un ortoedro se encuentran en la relación de 1:2:3 y la longitud de la dia-gonal es igual a 2 7 . calcular el volumen de dicho ortoedro.

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Ciclo UNI162



Ciclo UNI162



a) 12 3 b) 6 6 3 c) 8 3 3 d) 16 3 e) 12 2 3

7. El desarrollo de la superficie lateral de un pris-ma regular triangular tiene por diagonal 34 , y por altura 16 . Calcular el área total del pris-ma.

a) 10(5 3+48) 2 b) 12(32+6 3) 2 c) 596 2 d) 25( 3+3) 2 e) 624 2

8. Calcular el área de la base de un prisma triangu-

lar regular de volumen igual a 98

4 3. Además

se sabe que el ángulo formado por las diagona-

les de dos caras que parten del mismo vértice es

de 45º.

a) 34

2 b) 33

2 c) 32

2

d) 3 2 e) 6 2

9. La longitud de la altura de un prisma triangu-lar oblicuo es igual al duplo de la longitud del diámetro de la circunferencia circunscrita a su base. Calcular el volumen del prisma, si el pro-ducto de las longitudes de las tres aristas de la base es igual a "S".

a) S b) S/2 c) S/3 d) 2S/3 e) 3S/5

10. Calcular el volumen de un prisma oblicuo, cuya sección recta es un triángulo circunscrito a un círculo de 8 unidades de radio y el área lateral del prisma es de 72 2.

a) 66 3 b) 144 3 c) 288 3

d) 156 3 e) 72 3

11. Calcular el volumen de una pirámide cuadran-gular regular, cuyo apotema mide 2 3 y sus caras laterales forman diedros con la base que miden 60º.

a) 6 6 3 b) 12 3 c) 96 3 d) 15 3 e) 18 3

12. La base de una pirámide regular es un triángulo equilátero circunscrito a una circunferencia de 4 de radio. Calcular el volumen de la pirámi-de; si el área lateral es el doble del área de la base.

a) 192 3 b) 120 3 3 c) 180 3 d) 150 2 3 e) 172 3

13. En una pirámide cuadrangular regular, la me-dida del ángulo diedro determinado por una cara lateral y la base es de 60º. Calcular el volumen del cubo que tenga por diagonal una arista lateral, si la arista básica de la pirámide mide 2 15 .

a) 25 3 b) 25 5 3 c) 75 3 d) 50 5 3 e) 125 3

14. Calcular el volumen de una pirámide P-ABC; si las caras laterales están inclinadas en 37º res-pecto a la base ABC, además las aristas básicas AB; BC y AC miden 26; 30 y 28 respectiva-mente.

a) 672 3 b) 324 6 3 c) 696 3 d) 400 3 3 e) 724 3

15. Se dan dos esferas tangentes exteriormente y cuyos radios miden 2 y 6 respectivamente. Calcular el volumen del cono recto circunscrito a ambas esferas de modo que las esferas se en-cuentren una sobre otra.

a) 648 3 b) 664 3 c) 672 3 d) 688 3 e) 724 3

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Ciclo UNI162



Ciclo UNI162



1. Calcule el volumen del tronco de cono. MA=VM, VN=NB, VP=PC. VD=4 3, AD=8.

C

P

E

V

M

N

B

A D

O

Solución:

C

P

E

V

M

N

B

A

4

2

4

D

O

2 3

2 3

4 2

8

2

Piden: Vtronco

* VD=VC=4 3

* VO=4

* T. Puntos medios: ME=AD2

* Vtronco= 43

(22+42+2.4)

... Vtronco=1123

2. Se tiene al tronco de pirámide regular cuadran-gular ABCD-EFGH, FG=2, AD=8 y el apotema de dicho tronco es 5. Calcule su volumen.

Solución:

Piden Vtronco

C

F

E

hH

G

B

A

2

8 D

O

O2

ap=5

1

1

3

4

4

* O1 y O2: Centros de las bases

h=4

* Vtronco= 43

(22+82+ 22×82 )

Vtronco= 43

(84)

Vtronco=112

3. Calcule la razón de volúmenes del cono y del tronco de cono circular recto.

2r

r

Solución:

Piden: VconoVt.cono

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Geometría

Ciclo UNI164



Geometría

Ciclo UNI164



2rO2

O1

M

Nl

2r

O rr

a

3l

* Por propiedad

a= r . 2rr+2r

= 2r3

* OMO2 O1O2N

OO2=3lO1O2=3l

r2rB

OO2

2=

Vcono= a2

B× 3l ..........(1)

Vt.cono= 3

3l (r2+(2r)2+r.2r)

Vt.cono= l . 7r2 ..........(2)

De (1) y (2): VconoVt.cono

= 463

4. Calcule el valor de x, si la sección sombreada es paralela a la base del cono y determina dos sólidos de áreas laterales iguales.

2

x 6

Solución:

22

x

3xx 10

2 10

10(2 - x)

372

6

Por dato: A.L.cono=A.L. tronco cono

x . x = x 10 = (x+2) 10(2 - x)

x2=x2 - x2

... x= 2

5. Calcule el volumen del tronco de pirámide cua-drangular regular. La semicircunferencia está inscrita en PMNQ. MN=4, PQ=10.

C

F

E HNM

G

B

A D

QP

Solución:

En la región PMNQ (trapecio isósceles)

2

22

2

3

RR

NM

QP5

10

R

4

52 - R2

* T. Pitágoras (2+ 42.102 )2=R2+32

... R=4

... Vtronco= 43

(42+102+ 42.102 )

= 43

(156)

Vtronco=208

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Geometría

Ciclo UNI164



Geometría

Ciclo UNI164



1. En el gráfico se tiene un tronco de cilindro de revolución, las regiones ABC y BDC están con-tenidas en planos perpendiculares, tal que sus áreas están en la razón de 2 a 1 respectiva-mente. Si: AB=AC y el área de la proyección ortogonal de la región ABC en la base inferior es 8 2, calcular el volumen del tronco del ci-lindro.

A

D

B

C

a) 10 2 b) 20 c) 20 2 d) 5 17 e) 17 2

2. Según el gráfico, se tiene un tronco de cono de revolución y un cilindro de revolución. Si: AB=2(BC), calcule la razón de volúmenes del tronco de cono y el cilindro.

A

B

C

a) 7 30

40 b) 2 15 c) 3 15

d) 7 2 e) 12 2

3. El octaedro regular mostrado está inscrito en el tronco de cono de revolución. Si la longitud de la arista del octaedro es 4 2 y el área de la su-perficie lateral del tronco de como es 32 5 , calcule el volumen del tronco.

a) 208 b) 4163

m3 c) 208 2

d) 104 3 e) 104 5

4. Calcule el volumen de un tronco de cono circu-lar recto, si se pueden inscribir en él dos esferas de radios 1 m y 3 m.

a) 7829

m3 b) 7569

m3 c) 7459

m3

d) 7289

m3 e) 7409

m3

5. En un tronco de cono, cuya generatriz es 10 y la medida del ángulo entre dicha generatriz y el plano de la base es 37º, está inscrita una esfera. Calcule el volumen del tronco de cono.

a) 180 m3 b) 182 m3 c) 192 m3 d) 184 m3 e) 193 m3

6. En un tronco de pirámide triangular regular, la arista lateral se encuentra inclinada 45º respec-to de la base mayor. Calcule la relación entre el apotema del tronco y su altura.

a) 32

b) 62

c) 54

d) 52

e) 2 33

7. En un tronco de cono circular de bases parale-las, los radios de sus bases miden 5'dm y 2'dm. Si el área lateral es de 35 dm2, calcule el ángu-lo central del desarrollo lateral.

a) 57

rad b) 43

rad c) 23

rad

d) 2

rad e) 65

rad

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Geometría

Ciclo UNI166



Geometría

Ciclo UNI166



8. Calcule el volumen de un tronco de cilindro circular recto, en el cual se inscribe una esfera, además la generatriz mayor y menor miden 4 y 1 .

a) 1,4 3 b) 1,6 3 c) 1,8 3 d) 2,2 3 e) 2,4 3

9. En la figura, se tiene un tronco de cono circular recto (QB: generatriz). Si: AB=BC, R=10 cm, QO=QB. VQ-ABC=400 cm3, calcule el volu-men del tronco.

Q

A

B

C

R O

a) 800 cm3 b) 700 c) 900 d) 850 e) 750

10. En un tronco de pirámide cuadrangular regular, todas sus caras laterales son circunscriptibles. Si los inradios de las bases miden "a" y "b", calcu-le el área lateral del tronco.

a) (a+b) ab b) 2(a+b) ab c) 4 ab(a+b) d) 8 ab(a+b) e) 16(a+b) ab

11. En la figura, se tiene un tronco de cilindro obli-cuo cuyas bases están en planos perpendicula-res. Si: MN2 - PQ2=32. Calcule el área lateral de sólido.

M

15º

Q

P

N

a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 32

12. En el gráfico se muestra un tronco de cono rec-to. Calcular el área lateral.

A

a) ASen b) 2 A

Sen c) 2 ACos

d) 2 ATg e) 4 A

Sen

13. Una pirámide cuadrangular regular tiene como arista básica 5 dm y es cortado mediante un pla-no paralelo a la base a 6 dm de su vértice. Si la sección que se determina es de 4 dm2 de área, calcule el volumen de tronco de pirámide que se determina.

a) 117 dm3 b) 107 c) 137 d) 127 e) 147

14. El desarrollo de un tronco de conos el área de un trapecio circular que tiene por radios 4 y 10 , además 180º de ángulo central. calcule el valor de la altura del tronco del cono.

a) 2 3 b) 3 3 c) 6 d) 2 6 e) 4 3

15. Las bases de un tronco de pirámide de bases paralelas son polígonos de áreas "S1" y "S2". Calcule el área de la base media.

a) S1+ S22

2 b) [ S1+ S2]2

c) S1 - S22 d) S1 - S2

23

e) S1+ S2

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Geometría

Ciclo UNI166



Geometría

Ciclo UNI166



1. La fórmula que expresa el volumen de un tron-co de pirámide cuyas áreas de las bases miden A y B y además la altura mide "h" es:

a) h2 (A+B+ A2+B2 )

b) h3 (A2+B2+ A+B )

c) h2 ( A2+B2 + A.B )

d) h3 (A+B+ A.B )

e) 23 h(A+B+ 2AB )

2. El área total de un tronco de cono circular recto de generatriz "g" radio mayor "R" y radio menor "r" es:

a) (R+r)g

b) 2 (R2+r2+Rr)g

c) (Rg+rg+R2+r2)

d) (Rg+rg+Rr)

e) N.A.

3. Un tronco de pirámide tiene como áreas de sus bases 4 dm y 16 dm. Si el volumen del sólido es de 84 dm3. Hallar la altura del tronco.

a) 6 dm b) 9 c) 12 d) 8 e) 10

4. Una pirámide de 9'dm de altura es cortada a 4'dm de su vértice mediante un plano paralelo a su base. Hallar la relación de volúmenes de los sólidos determinados.

a) 64729

b) 46665

c) 64665

d) 64656

e) 64656

5. En una pirámide triangular regular, el lado de la

base es a la arista lateral como 105

. Calcule la

medida del ángulo diedro en la arista lateral.

a) ArcCos 1335

b) ArcCos 156

c) ArcCos 49

d) ArcCos 1735

e) ArcSen 1735

6. Un tronco de un cono de revolución tiene una de sus bases igual a la cuarta parte de la otra. Hallar qué fracción del volumen total resulta ser el volumen de un cono cuyo vértice es el centro de la base mayor y cuya base es la base menor del tronco.

a) 14

b) 18

c) 7

d) 17

e) 13

7. Calcular el volumen de un tronco de cono de revolución, sabiendo que la diferencia de cubos de sus radios es 81 y que la generatriz es 10 veces la altura.

a) 9 b) 15 c) 20 d) 12 e) 8

8. La suma de los radios de las bases de un tronco de cono es de 4 dm, la altura mide 4 dm y la generatriz forma un ángulo de 60º con la base. Hallar el área total del tronco.

a) 163

(1+ 3) dm2 b) 323

(1+ 3) dm2

c) 643

(1+ 3) dm2 d) 323

( 3 - 1) dm2

e) 163

(1 - 3) dm2

9. En un tronco de pirámide cuadrangular regular, las bases distan 23 m, la arista básica menor mide 2m y las caras laterales están inclinadas con respecto a la base de un ángulo diedro cuya medida es 60º. Calcular el área de la superficie total.

a) 104 m2 b) 206 c) 401 d) 106 e) 102

10. La base de una pirámide triangular regular está inscrita en una circunferencia cuyo radio miden 2 cm, el área de la superficie lateral de dicha pi-rámide es el doble del área de la base. Calcular el volumen de la pirámide.

a) 8 cm3 b) 5 c) 2 d) 3 e) 4

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Ciclo UNI168

TRILCEColegios


Central: 619-8100

1. Calcule el área de la superficie esférica menor si está inscrita en el cono equilátero de altura 27.

27

Solución:

27

30º 30º

R=3r

3r

2rr r

R

* NOT30º y 60º: 2R=3r+R

R=3r

* 27=9r r=3

... Vsup esf=4 (3)2=36

2. Calcule el área de la base del casquete esférico mostrado, sabiendo que el área de dicho cas-quete es 2m2. EL radio de la esfera es 1 .

R

Solución:

Rh

1

Dato: Acasquet=2

2 1 ×h=2

h= 1

Acasque=Asemicircunferencia esférica

Acasquete=2 1 2

=2

3. En el gráfico mostrado, si la relación entre el área de los círculos menores y mayores es de 1 a 2, además ABCD-EFGH es un paralelepípedo recto, calcule el área de la semi superficie esfé-rica. GC= 3

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Geometría


Central: 619-8100

E

F

G

C

B

A

D

O

H

M

Solución:r

2E

F

R

G

C

B

P

A

D

O

H

M

3

r

Acírculo menorAcírculo mayor

= 12

r2

R2= 12

R= 2r =45º

r 2= 6 r= 3

Asemi supesf=2 ( 3)2

... Asemi superesf=6

4. Se tienen tres superficies esféricas congruentes de radio 3, tangentes exteriormente dos a dos y tangente a un plano. ¿Cuánto mide el área de la superficie esférica tangentes a las tres mencio-nadas y cuyo centro está en el plano?

Solución:

Ubicaremos los centros de las superficies esféri-cas y la unión de estas es la suma de radios.

2 3

O2

O1 H

O3

33 3

33

33 3

33

3r r

O1O2O3: Equilátero

H: Ortocentro del O1O2O3

HO3= 3

* T. Pitágoras

(3+r)2=(2 32+32) r= 21 - 3

... Asup esf=4 (r 21 - 3)2

5. Calcule el área de la superficie esférica inscri-ta en un cotaedro regular de diagonal igual a 4 6.

Solución:

M

OC

A

a

V

B G

2 3

43D

N

4

r 2

2 6

2 6

Piden: Asupesf

G: baricentro de AVDC

VM=4 6

a 2=4 6 a=4 3

VON: RMTR

2 6 . 2 3=6 . r

r=2 2

... Asup esf=4 (2 2)2

=32

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Geometría

Ciclo UNI170



Geometría

Ciclo UNI170



1. Según la gráfica: 4(AM)=3(MD); O es centro de la esfera. Calcular la razón de las áreas de los casquetes esféricos S1 y S2.

A

B

C

M D

S2

S1

O

R

a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 4/3 e) 3/4

2. Una esfera es cortada por un plano en dos cas-quetes cuyas superficies están en la relación de 4 a 5; la cuerda del arco generador del casquete menor es de 60 m. Calcular la longitud del ra-dio de la esfera.

a) 15 m b) 30 c) 36 d) 45 e) 48

3. Calcule el radio de la esfera circunscrita al oc-taedro regular de arista "l".

a) l 22 b) l 2

3 c) l 24

d) l 25 e) l 2

6

4. ¿Cuántas veces es mayor la distancia desde un punto luminoso hasta el centro de una esfera, que el radio de esta, si el área de la parte ilumi-nada de la esfera es dos veces menor que esta sombra?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

5. En el cilindro está inscrita una esfera y un cono. Calcular el área del casquete esférico mayor que determina la intersección del cono con la esfera.

R

a) 45

R2 b) 85

R2 c) 125

R2

d) 165

R2 e) 185

R2

6. Calcule el área de la superficie esférica de una esfera inscrita en un cono equilátero de 648 3

de volumen.

a) 184 2 b) 178 2 c) 164 2 d) 158 2 e) 144 2

7. Calcule el área de la superficie generada al gi-rar el cuadrado ABCD alrededor de . Además: º=60º( // DN)

Aa

360º

30º

B

D C

N L

a) 4a2 ( 3+1) b) 4a2 ( 6+1) c) 8a2 ( 3+1) d) 2a2 ( 6+1) e) 2a2 ( 3+1)

8. En la figura mostrada AOB es un sector circular de 30º. Determinar la razón de las áreas de las superficies generadas por los arcos AB y BC al girar en torno al eje OB.

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Geometría

Ciclo UNI170



Geometría

Ciclo UNI170



20º eje

O

A C

B

a) 1/3 b) 2/5 c) 1/4 d) 3/10 e) 2/3

9. Calcule el área de la superficie esférica ins-crita a un cono de revolución de radio 3 y altura 4 .

a) 8 2 b) 9 2 c) 12 2 d) 7 2 e) 6 2

10. Del gráfico, calcule el área generada por AB cuando gira alrededor de "L".

A

3 1

B

L

a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 e) 13

11. Calcule el área de la superficie esférica, de una esfera inscrita en un tetraedro regular de 18 2 2 de volumen.

a) 6 2 2 b) 2 6 2 c) 3 3 2 d) 6 2 e) 6 2

12. Calcule el área de la superficie esférica ins-crita a un cono de revolución de radio 3 y altura 4 .

a) 8 2 b) 9 2 c) 12 2 d) 7 2 e) 6 2

13. Calcule la relación entre las áreas totales entre un cilindro equilátero y la esfera circunscrita al cilindro.

a) 2/3 b) 3/4 c) 4/5 d) 5/6 e) 6/7

14. Siendo "L" el eje de giro, calcule el área de la superficie generada por AB, si el ángulo de giro es 120º y AO=OB=3u.

R

L

BO

A

a) 4 2 b) 6 2 c) 8 2 d) 10 2 e) 3 2 2

15. Calcule el radio de la esfera inscrita en un cono equilátero de altura 9.

a) 3 b) 2 c) 1 d) 4 e) 5

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Ciclo UNI172



Ciclo UNI172



1. La línea AB gira alrededor del eje "I", determi-nando una superficie de revolución cuya área es igual a 216 cm2. Si la longitud de dicha lí-nea es el triple de la distancia de su centro de gravedad al eje "I". Hallar dicha longitud.

A

B

I

a) 6 b) 36 c) 9 d) 20 e) 18

2. Si la arista de un cubo mide 2 , luego la super-ficie de la esfera circunscrita al cubo será:

a) 12 b) 16 c) 9 d) 8 e) 20

3. ¿Cuál es la longitud del radio de una esfera en la cual el área de un huso de 45º es 2 2?

a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 2,5 e) N.A.

4. Calcule el volumen de una esfera cuyo diáme-tro mide 6 .

a) 8 3 b) 27 3 c) 49 3 d) 64 3 e) 36 3

5. Calcule el área de una esfera inscrita en un ci-lindro recto cuya generatriz mide 6 .

a) 36 2 b) 40 2 c) 45 2 d) 49 2 e) 81 2

6. Calcular el área de una esfera sabiendo que las áreas de los círculos menores paralelos distan-tes 3 y situados a un mismo lado del centro tienen valores de 2 y 16 2.

a) 68 2 b) 85 2 c) 48 2 d) 38 2 e) 58 2

7. Determinar la superficie de una esfera inscrita a un cubo que a su vez está inscrita a una esfera cuya superficie es 18 2.

a) 10,4 2 b) 12 c) 6 d) 9 e) 8,48

8. Calcule el área de la superficie esférica cuyo ra-dio mide 5 .

a) 100 2 b) 120 2 c) 121 2 d) 169 2 e) 196 2

9. Calcular el volumen de la cuña esférica si el área del huso esférico de 30º es de 108 .

a) 438 b) 564 c) 600 d) 648 e) 800

10. Calcule la superficie de una esfera, sabiendo que el área total del cono equilátero circunscri-to a ella es 81 2.

a) 36 2 b) 25 2 c) 49 2 d) 40,5 2 e) N.A.

11. En la misma esfera de radio "R" se tiene una zona esférica equivalente a un huso esférico. Calcular el ángulo central del huso esférico si la altura de la zona es "R/3".

a) 30º b) 60º c) 45º d) 90º e) 36º

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Ciclo UNI172



Ciclo UNI172



1. En un cono equilátero se inscribe una esfera. Calcule el volumen de dicha esfera si el área total del cono es 12 .

Solución: Piden Vesf

30º30º

r 3

2r 3P Q

Or r

M

r

Atotal cono= r 3 (2r 3+r 3)

12 = 2 . 9

12=r2 . 9 r= 43

Vesf=43

43

2=32 3

27

2. Se tiene un paralelepípedo ABCD-EFGH recto circunscrito a una semi-esfera (el círculo máxi-mo está inscrito e la cara ABCD). Si la longitud de la tangente trazada por A a la esfera es m, calcule el volumen de dicha esfera.

Solución:

2 2

E

F G

C

BA

T

O

BR

R

R

H

m

* AC=2R 2 AO=R 2

* ATO: NOT 45º m=R

... Vsemi esf=23

m3

3. Del gráfico mostrado, calcule el volumen del sólido que se genera cuando la región sombrea-da gira 360º entorno de .

6

2

Solución:

Piden: Vsol gen

6

22

1

3

3CG

360

M P

* Sea MP mediana

MP

CG: Baricentro del ABP

* T. Pappus

Vsol gen=2 Ax

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Geometría

Ciclo UNI174



Geometría

Ciclo UNI174



=2 ×26.22

... Vsol gen=24

4. El gráfico representa a una bola de helado y un barquillo cónico. Si la bola de helado se derrite, llena el barquillo. Calcule: x2(8 - x).

2

x

Solución:

Vesfera=Vbarquillo

2

2

r

xg

48

23= r2x3

4 . 8=r2 . x ..........(1)

RMTR: 122= 1

r2+ 1x2

r2= 4x2

x2 - 4

Reemplazando en (1)

4x2

x2 - 432=

8x2 - 32=x3

8x2 - x3=32

... x2(8 - x)=32

5. Se tiene una cuña esférica de volumen 6 y su ángulo diedro formado por dos semicírculos es 60º. Calcule el área total de la cuña.

Solución:

60º

R

Piden ATcuña

Vcuña=R3

270

6p=60 R3

270 R=3

Acuña = 32+ 32+Ahuso

=18 +60 32

90

Acuña =24

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Geometría

Ciclo UNI174



Geometría

Ciclo UNI174



1. Si el volumen de un cono de revolución equi-látero es "V", calcule el volumen de la esfera inscrita.

a) 4V9

b) 3V7

c) 2V5

d) 3V5

e) 3V8

2. Determine la distancia del centro de gravedad de un cuarto de círculo AOB hacia OB, siendo: AO=OB=6 .

a) 4 b) 6 c) 8 d) 4,5 e) 6,5

3. Calcule el volumen generado por la región sombreada al girar 360º sobre AC, si ABC es un triángulo equilátero de lado 5 .

A B

C

M

a) 187564

b) 197516

c) 147564

d) 187534

e) 197524

4. Según el gráfico, calcule la razón de volúmenes de los conos.

R

r

r

a) 2564

b) 1625

c) 64125

d) 564

e) 825

5. Calcule el volumen generado por la región som-breada al girar 360º alrededor de "L".

RL

3R

a) 4837

2R3 b) 7837

2R3 c) 5237

2R3

d) 4827

2R3 e) 52 2R3

6. Calcule la relación de volúmenes que hay entre los sólidos generados cuando el trapecio (región gira 360º alrededor de AC y CD.

A

D

4

8

B

C60º

a) 36 b) 7 3

2 c) 5 312

d) 3 32 e) 7

196

7. Del gráfico, calcule la relación de volúmenes que genera al rotar 360º el área de la región sombreada sobre los ejes "y", "x".

y

4

R R

B

x

a) 2 b) 3 c) 4

d) 6 e) 8

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Geometría

Ciclo UNI176



Geometría

Ciclo UNI176



8. Calcule la altura del cilindro de revolución del volumen máximo inscrito a la cuarta parte de una esfera de radio 6 3.

a) 4 b) 2 c) 3 d) 6 e) 8

9. Calcule el volumen del sólido generado por la región sombreada al girar 360º alrededor del eje. Si: AE=5 dm, FB=3 dm y EF=2 dm.

F

EA

B

a) 1065

dm3 b) 1063

dm3 c) 1083

dm3

d) 2165

dm3 e) 2063

dm3

10. Calcule el volumen de la esfera inscrita en un octavo de esfera, cuyo radio mide 2( 3+1) .

R

R

a) 16 b) 32 c) 163

d) 323 e)

163

11. La arista de un tetraedro regular mide 2 m. Calcular el volumen de la esfera tangente a las caras laterales del tetraedro en los vértices de la base.

a) 13 b)

23 c) 1

d) 43 e)

53

12. Se tiene un tetraedro ABCD, en donde el volu-men es 100 3; el área total es 130 2 y el área de la cara ABC es 15 2. Calcule el volumen de la esfera ex-inscrita relativa a la cara ABC.

a) 32 3 b) 25 3 c) 283

3 d) 36 3 e) 64 3

13. Calcular el volumen del sólido generado al rotar la figura sombreada alrededor de la recta "L".

3 6

3 6

L

30º 30º30º 30º

a) (9+4 ) b) (7+3 ) c) (3+ ) d) 9 (18+5 ) e) 7 (15+4 )

14. En el gráfico, ABCD es un cuadrado. Si: AB=8 y B es punto de tangencia, calcule el volumen del sólido generado por la región sombreada al girar 360º alrededor de .

A

L

O

D

C

360º

B53º

a) 250 b) 255 c) 260 d) 280 e) 290

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Geometría

Ciclo UNI176



Geometría

Ciclo UNI176



1. El círculo máximo de una esfera tiene como área 36 cm2. Hallar el volumen de la esfera.

a) 386 cm2 b) 288 c) 188 d) 278 e) 268

2. Un cilindro tiene como volumen 30 dm3. Hallar el volumen de la esfera inscrita en el cilindro.

a) 20 dm3 b) 18 c) 22

d) 307 e) 15

3. El cuadrado ABCD al girar una revolución alre-dedor del eje "L", genera un sólido de 4 6 cm3 de volumen. Calcular el perímetro del cuadra-do.

L

B

C

A15º

D

a) 2 b) 6 c) 10 d) 8 e) 5

4. Calcule el volumen de una esfera cuyo radio mide 3 .

a) 18 3 b) 27 3 c) 64 3 d) 36 e) 40 3

15. En el gráfico, O y O1 son los centros de los cua-drantes. Calcule el volumen del sólido generado por la región sombreada al girar 360º alrededor de L. Además: R= 3 .

B

RO1 O

A360ºL

C

2R

R 3

a) b) c) d) e)

5. ABCD es un cuadrado de lado "L". Hallar el vo-lumen del sólido generado al rotar ABCD alre-dedor del eje ( =15º)

EjeB C

A D

a) L3

3 5 b) L3

6 2 c) L3

2 6

d) L3

4 6 e) L3

8

6. Un triángulo equilátero de lado "b" cm, gira al-rededor de uno de sus lados. Hallar el volumen del sólido generado.

a) 2

b3 b) 8

b3 c) 4

b3

d) 3

b3 2 e) 6

b3

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Ciclo UNI178



Ciclo UNI178



7. El círculo de radio "R", gira alrededor del eje "I", calcule el volumen del sólido generado (T: punto de tangencia).

l

T

a) 2R2 b) 2 R4 c) 2R3 d) 2 2R3 e) 2 R3

8. En la figura mostrada, la región rectangular al girar alrededor del eje(1) genera un sólido cuyo volumen es V1 y al girar alrededor del eje(2) genera un sólido cuyo volumen es V2. Calcule: V1/V2.

Eje (2)

3a

a

Eje (1)

a) 2:3 b) 3:1 c() 1:9 d) 1:3 e) 4:9

9. Se tiene una cuña esférica de 36 3 y 45º de ángulo diedro. Calcule el radio de dicha cuña.

a) 4 b) 9 c) 6 d) 8 e) 3

10. En un cilindro circular recto, se inscribe una es-fera y un cono circular recto. La razón entre los volumen del cilindro, la esfera y el cono es:

a) 1:2:3 b) 2:1:3 c) 3:1:2 d) 3:2:1 e) N.A.

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Ciclo UNI178



Ciclo UNI178



1. Calcule el volumen de un prisma cuadrangular regular, si la diagonal del desarrollo de la super-ficie lateral mide 37 unidades y la arista lateral de dicho prisma mide 35 unidades.

a) 275 3 b) 290 c) 300 d) 315 e) 324

2. Las tres dimensiones de un rectoedro están en progresión aritmética y suman 45 unidades. Calcule el volumen, si su área total es igual a 1'332' 2.

a) 3 600 3 b) 3 524 3 c) 3 484 3 d) 3 360 3 e) 3 240 3

3. Sobre la arista AD de un tronco de prisma obli-cuo ABC-DEF se ubica el punto P, de tal mane-ra que PD=15. Calcule el volumen del sólido PDEF, si el área de la sección recta de dicho tronco es igual a 60 2.

a) 120 3 b) 180 3 c) 240 3 d) 250 3 e) 300 3

4. En un cilindro de revolución de altura 5, se pue-de inscribir un paralelepípedo rectangular cuya superficie lateral es 280, si uno de los lados mide 12. Calcule el área lateral del cilindro.

a) 50 p b) 100 p c) 150 p d) 200 p e) 220 p

5. Un octaedro de volumen 4/3 m3 está inscrito en un cilindro de revolución, de modo que dos vértices opuestos del octaedro son los centros de las bases de dicho cilindro. Calcule la longitud de la menor trayectoria para ir de un extremo a otro extremo de una generatriz recorriendo la superficie lateral del cilindro.

a) 2 1+ 2 b) 3 2 - 1 c) 4 1+ 2 d) 4 2 - 1 e)

6. Se tiene un cilindro de revolución, un plano no paralelo a las bases lo corta de tal manera que forma un ángulo de 45º con las bases y las ge-neratrices máxima y mínima están en la relación de dos a uno. Si el radio de la base del cilindro es 1, calcule el volumen del tronco de cilindro.

a) 3p/2 3 b) 5p/2 c) 3p d) 4p e) 7p/2

7. En un cono recto de revolución, el punto medio de una generatriz dista de la base 6 dm. Si el radio es de 4 dm, calcule la capacidad de dicho cono.

a) 32p dm3 b) pdm3 c) 46p dm3 d) 54p dm3 e) 60p dm3

8. Se tiene una pirámide cuadrangular regular en la cual una arista lateral y la altura forman un ángulo cuya medida es 30º. Calcule la medida del ángulo diedro que forma el plano de la base y un plano perpendicular a una arista lateral.

a) 45º b) 53º c) ArcCtg 3 d) ArcTg 5 e) 30º

9. Se tienen dos conos rectos congruentes tangen-tes por sus generatrices y cuyos vértices coin-ciden. Si sus alturas son "h" y el radio de bases es "r", entonces el área de la región triangular cuyos vértices son los centros de las bases y el vértice común de los conos es:

a) 2hr b) r hr c) r r2+h2

d) rh3

r2+h2 e) rh3

r2 - h2

10. Calcule el volumen de una pirámide de base triangular en la que dos de sus caras son triángu-

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Geometría

Ciclo UNI180



Geometría

Ciclo UNI180



lo equiláteros cuyo lado mide L y las otras dos son triángulos rectángulos isósceles.

a) L3 212

b) L3 210

c) L3 28

d) L3 512

e) L3 58

11. Calcule el volumen de un tronco de pirámide circunscrito a una esfera, cuyas bases son regio-nes cuadradas y una cara lateral es perpendicu-lar a las bases. Además, la suma y el producto de las longitudes de dos aristas básicas diferen-tes es igual a "S" y a "P" respectivamente.

a) P2

(S2+P) b) P2

(S2+P) c) P2

(S2+P)

d) P2

(S2+P) e) P2

(S2+P)

12. Dado un tronco de cono de revolución de bases circulantes de radios 1u y 4u, luego, tomando como bases a estos círculos se construyen co-nos rectos cuyos vértices son los centros de las bases. Calcule la relación entre los volúmenes del sólido formado por la intersección de los co-nos y del tronco de cono inicial.

a) 16/275 b) 12/325 c) 16/525 d) 12/525 e) 16/325

13. Dadas dos esferas concéntricas, se traza un plano secante a la esfera mayor y tangente a la esfera menor, determinando un círculo de 16p 2 de área. Calcule el área del casquete menor formando en la esfera mayor, sabien-do que la superficie de la esfera menores es 36p 2.

a) 10p 2 b) 12p 2 c) 15p 2 d) 20p 2 e) 24p 2

14. Dos esferas de 1 y 3 de radio reposan tan-gentes entre sí, en una superficie cóncava de 7de radio. Calcule el área de la región triangular cuyo vértice son los centros de las dos esferas y la superficie esférica.

a) 4 2 b) 3 7 2 c) 7 3 2 d) 7 2 2 e) 3 2 2

15. Calcule el área de la zona esférica de dos bases cuyos radios de base miden 6 y 8 unidades y se encuentran a uno y otro lado del centro de la

esfera que contiene a dicha zona. Además, se sabe que la altura es de 14 unidades de longi-tud.

a) 140p 2 b) 120 2p 2 c) 148p 2 d) 100 3p 2 e) 280p 2

16. Dadas tres esferas de radio R, tangentes exterior-mente dos a dos y apoyados a un plano, calcule el radio de la esfera tangente a las tres esferas y al plano.

a) R/2 b) R/4 c) R/3 d) 2R/5 e) R/6

17. El área de una esfera es de 400p dm2.Dicha esfera es tangente a todos los lados de un rom-bo. La distancia del centro de la esfera al plano del rombo es de 4 dm. Calcule el área de dicho rombo, si la longitud de su lado es de "L" dm.

a) 12L2 cm2 b) 2 21L c) 8L2 d) 8 2L2 e) 4 21L

18. Dado un octaedro regular de volumen 9 2 3, calcule el área de la superficie esférica inscrita al octaedro.

a) 3p 2 b) 4p 2 c) 5p 2 d) 6p 2 e) 9p 2

19. Una superficie esférica es dividida por dos pla-nos en dos casquetes y una zona. Calcule la al-tura de la zona, si el área de la zona es los 3/5 de la suma de las áreas de la zona es los 3/5 de la suma de las áreas de los casquetes y el radio de la superficie esférica es 8R.

a) 4R b) 6R c) 3R d) 5R e) 2R

20. Calcule el área de una esfera, sabiendo que las áreas de dos círculos menores paralelos distan-tes 3 y situados a un mismo lado del centro, tienen áreas de p 2 y 16p 2.

a) 34p 2 b) 48p 2 c) 68p 2 d) 72p 2 e) 48p 2

21. Calcule el volumen de la esfera inscrita en un cilindro equilátero de 54p 3 de volumen.

a) 45p 3 b) 48p 3 c) 54p 3 d) 60p 3 e) 36p 3

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Geometría

Ciclo UNI180



Geometría

Ciclo UNI180



22. Calcule el volumen de un segmento esférico de una base, si su altura es 1 y el área de su cas-quete mide 2p 2.

a) 45p 3 b) 2

3p 3 c) 6

13p 3

d) 513

p 3 e) 213

p 3

23. En la figura, el volumen del cono es 18p cm3. Calcule el volumen de la semiesfera.

rr

a) 36p cm3 b) 42p cm3 c) 72p cm3 d) 120p cm3 e) 144p cm3

24. En la figura, AB//OT, AB=R 3, el volumen de la esfera es 32 3p. Calcule el volumen del cono equilátero. (T es punto de tangencia).

T

H

R

A B Q

O

a) 18 3p b) 3 3p c) 9 3p d) 12 3p e) 15 3p

25. El cuadrado ABCD, al girar alrededor del eje, ge-nera un sólido de 4p 6 m3 de volumen ( =15º). Calcule el perímetro del cuadrado.

Eje

B

C

A

D

a) 5 b) 6 c) 12 d) 8 e) 4

26. El volumen de un segmento esférico es 203p 3

y su altura es 1 . Calcule el radio de la base ma-yor conociendo que la diferencia entre el radio mayor y el menor es 1 .

a) 2 b) 4 c) 3 d) 2,5 e) 5

27. Calcule el volumen del sólido generado por la región sombreada al girar alrededor de la recta "L", si: EF=8 y OE

AB= 2

3

L

B

C

E

F

A

D

O

a) 144p(4 - p) 3 b) 72p(4 - p) c) 64p (5 - p) d) 132(5 - p) e) 132p(4 - p)

28. Un alambre se enrolla de modo que forma una esfera. Si la elección del alambre es de p m2 y el radio de esfera formado es de 10 cm. Calcule la longitud del alambre, si el porcentaje de vacíos de la esfera es del 10%.

a) 1,2 km b) 3 c) 1 d) 1,6 e) 2,4

29. La distancia del punto medio de AB a la recta "l" de giro es de "x" dm. Si: AB y BC miden 8 dm y 6 dm, calcule el área de la superficie que genera

la diagonal ABC (BC//l ).

A

C

B

l

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Ciclo UNI182

TRILCEColegios

a) 20xp dm2 b) 60xp dm2 c) 40xp dm2 d) 50xp dm2 e) 45xp dm2

30. Se tiene un cono equilátero en el cual está ins-crita una semiesfera, cuyo círculo máximo está contenido en la base del cono. Calcule la razón de volúmenes de los sólidos determinados en la semiesfera, por el plano que pasa por los pun-tos de tangencia entre la superficie esférica y la superficie cónica.

a) 3/5 b) 5/6 c) 3/8 d) 5/9 e) 5/11

31. Calcule el volumen de un tronco de pirámide regular, de base hexagonal, circunscrito a una esfera, sabiendo que las aristas básicas miden 4 y 9 m.

a) 1 097 m3 b) 1 297 m3 c) 1 197 m3 d) 2 197 m3 e) 2 097 m3

32. Según el gráfico, siendo: AB=5 y (AP)2+ (PB)2 =12. Calcule el volumen del sólido generado por la región sombreada al girar 360º en torno a la recta AB.

C

A

P

B

a) 5 b) 12 c) 10 d) 9 e) 25

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