Geometria Plana Revisão Geral Fuvest...

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Geometria Plana – Revisão Geral Fuvest – Unesp – Unicamp

1. (Fuvest 2009) Na figura, B, C e D são pontos distintos da circunferência de centro O, e o

ponto A é exterior a ela. Além disso,

(1) A, B, C, e A, O, D, são colineares;

(2) AB = OB;

(3) CÔD mede α radianos.

Nessas condições, a medida de AB̂ O, em radianos, é igual a:

a) π - (α/4) b) π - (α/2) c) π - (2α/3) d) π - (3α/4) e) π - (3α/2) 2. (Unicamp 2003) Os pontos A e B estão, ambos, localizados na superfície terrestre a 60

° de

latitude norte; o ponto A está a 15°45' de longitude leste e o ponto B a 56

°15' de longitude

oeste.

a) Dado que o raio da Terra, considerada perfeitamente esférica, mede 6.400 km qual é o raio

do paralelo de 60°?

b) Qual é a menor distância entre os pontos A e B, medida ao longo do paralelo de 60°? [Use

22/7 como aproximação para ð]

3. (Unicamp 2014) O perímetro de um triângulo retângulo é igual a 6,0 m e as medidas dos lados estão em progressão aritmética (PA). A área desse triângulo é igual a a) 3,0 m

2.

b) 2,0 m2.

c) 1,5 m2.

d) 3,5 m2.

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4. (Fuvest 2014) O triângulo AOB é isósceles, com OA OB, e ABCD é um quadrado.

Sendo θ a medida do ângulo ˆAOB, pode-se garantir que a área do quadrado é maior do que a

área do triângulo se

Dados os valores aproximados: tg 14 0,2493 , tg 15 0,2679

tg 20 0,3640 , tg 28 0,5317

a) 14 28θ b) 15 60θ c) 20 90θ d) 25 120θ e) 30 150θ 5. (Fuvest 2014) Uma das piscinas do Centro de Práticas Esportivas da USP tem o formato de

três hexágonos regulares congruentes, justapostos, de modo que cada par de hexágonos tem um lado em comum, conforme representado na figura abaixo. A distância entre lados paralelos de cada hexágono é de 25 metros.

Assinale a alternativa que mais se aproxima da área da piscina. a) 1.600 m

2

b) 1.800 m2

c) 2.000 m2

d) 2.200 m2

e) 2.400 m2

6. (Unicamp 2013) O segmento AB é o diâmetro de um semicírculo e a base de um triângulo

isósceles ABC, conforme a figura abaixo.

Denotando as áreas das regiões semicircular e triangular, respectivamente, por S φ e T ,φ

podemos afirmar que a razão S T ,φ φ quando 2φ π radianos, é

a) 2.π b) 2 .π c) .π d) 4.π


7. (Fuvest 2013)

Percorre-se o paralelogramo ABCD em sentido anti-horário. A partir de cada vértice atingido ao longo do percurso, prolonga-se o lado recém-percorrido, construindo-se um segmento de mesmo comprimento que esse lado. As extremidades dos prolongamentos são denotadas por

A’, B’, C’ e D’, de modo que os novos segmentos sejam, então, AA’, BB’, CC’ e DD’. Dado

que AB 4 e que a distância de D à reta determinada por A e B é 3, calcule a área do a) paralelogramo ABCD; b) triângulo BB’C’; c) quadrilátero A’B’C’D’. 8. (Unesp 2010) O papelão utilizado na fabricação de caixas reforçadas é composto de três folhas de papel, coladas uma nas outras, sendo que as duas folhas das faces são “lisas” e a folha que se intercala entre elas é “sanfonada”, conforme mostrado na figura.

O fabricante desse papelão compra o papel em bobinas, de comprimento variável. Supondo que a folha “sanfonada” descreva uma curva composta por uma sequência de semicircunferências, com concavidades alternadas e de raio externo (RExt) de 1,5 mm, determine qual deve ser a quantidade de papel da bobina que gerará a folha “sanfonada”, com precisão de centímetros, para que, no processo de fabricação do papelão, esta se esgote no mesmo instante das outras duas bobinas de 102 m de comprimento de papel, que produzirão as faces “lisas”. Dado: π ≈ 3,14. a) 160 m e 07 cm. b) 160 m e 14 cm. c) 160 m e 21 cm. d) 160 m e 28 cm. e) 160 m e 35 cm. 9. (Unesp 2008) O planeta Terra descreve seu movimento de translação em uma órbita

aproximadamente circular em torno do Sol. Considerando o dia terrestre com 24 horas, o ano

com 365 dias e a distância da Terra ao Sol aproximadamente 150.380 × 103 km, determine a

velocidade média, em quilômetros por hora, com que a Terra gira em torno do Sol. Use a

aproximação π = 3.


10. (Fuvest 2001) Numa circunferência, c1 é o comprimento do arco de 6

π radianos e c2 é o

comprimento da secante determinada por este arco, como ilustrado na figura a seguir. Então, a

razão 1

2

c

cé igual a

6

πmultiplicado por:

a) 2 b) (1 2 3) c) (2 3) d) (2 2 3) e) (3 3)

11. (Fuvest 2014) Considere o triângulo equilátero 0 0A OBΔ de lado 7cm.

a) Sendo 1A o ponto médio do segmento 0 0A B , e B1 o ponto simétrico de 1A em relação à

reta determinada por O e 0B , determine o comprimento de 1OB .

b) Repetindo a construção do item a), tomando agora como ponto de partida o triângulo

1 1A OB ,Δ pode‐se obter o triângulo 2 2A OBΔ tal que 2A é o ponto médio do segmento 1 1A B ,

e 2B o ponto simétrico de 2A em relação à reta determinada por O e 1B . Repetindo mais

uma vez o procedimento, obtém‐se o triângulo 3 3A OB .Δ Assim, sucessivamente, pode‐se

construir uma sequência de triângulos n nA OBΔ tais que, para todo nn 1, A é o ponto médio

de n 1 n 1A B , e nB , o ponto simétrico de nA em relação à reta determinada por O e n 1B ,

conforme figura abaixo.

Denotando por na , para n 1, o comprimento do segmento n 1 nA A , verifique que

1 2 3a ,a ,a , ... é uma progressão geométrica. Determine sua razão.

c) Determine, em função de n, uma expressão para o comprimento da linha poligonal

0 1 2 nA A A ...A ,n 1.

O ponto P’ é simétrico ao ponto P em relação à reta r se o segmento PP' é

perpendicular à reta r e a interseção de PP' e r é o ponto médio de PP'.


12. (Unesp 1997) No cubo ABCDEFGH, sugerido pela figura a seguir, considere o ponto

médio, M, da aresta AE.

Se N é o ponto em que o plano determinado por H, M e B corta a aresta CG, prove que:

a) HMBN é um paralelogramo;

b) os lados de HMBN têm mesma medida.

13. (Fuvest 2004) Três cidades A, B e C situam-se ao longo de uma estrada reta; B situa-se

entre A e C e a distância de B a C é igual a dois terços da distância de A a B. Um encontro foi

marcado por 3 moradores, um de cada cidade, em um ponto P da estrada, localizado entre as

cidades B e C e à distância de 210 km de A. Sabendo-se que P está 20 km mais próximo de C

do que de B, determinar a distância que o morador de B deverá percorrer até o ponto de

encontro.

14. (Fuvest 1998) As retas t e s são paralelas. A medida do ângulo x, em graus, é

a) 30 b) 40 c) 50 d) 60 e) 70 15. (Fuvest 1996) Na figura adiante, as retas r e s são paralelas, o ângulo 1 mede 45

° e o

ângulo 2 mede 55°. A medida, em graus, do ângulo 3 é:

a) 50 b) 55 c) 60 d) 80 e) 100


16. (Unesp 2012) Um artesão foi contratado para ornamentar os vitrais de uma igreja em fase

final de construção. Para realizar o serviço, ele precisa de pedaços triangulares de vidro, os quais serão cortados a partir de um vidro pentagonal, com ou sem defeito, que possui n bolhas de ar (n = 0, 1, 2…). Sabendo que não há 3 bolhas de ar alinhadas entre si, nem 2 delas alinhadas com algum vértice do pentágono, e nem 1 delas alinhada com dois vértices do pentágono, o artesão, para evitar bolhas de ar em seu projeto, cortou os pedaços de vidro triangulares com vértices coincidindo ou com uma bolha de ar, ou com um dos vértices do pentágono.

Nessas condições, determine a lei de formação do número máximo de triângulos (T) possíveis de serem cortados pelo artesão, em função do número (n) de bolhas de ar contidas no vidro utilizado. 17. (Unesp 2001) O número de diagonais de um polígono convexo de x lados é dado por

N(x)=(x2-3x)/2. Se o polígono possui 9 diagonais, seu número de lados é

a) 10. b) 9. c) 8. d) 7. e) 6. 18. (Fuvest 2000) Na figura adiante, ABCDE é um pentágono regular. A medida, em graus, do

ângulo á é:

a) 32

°

b) 34°

c) 36°

d) 38°

e) 40°

19. (Fuvest 2005) A soma das distâncias de um ponto interior de um triângulo equilátero aos

seus lados é 9. Assim, a medida do lado do triângulo é

a) 5 3

b) 6 3

c) 7 3

d) 8 3

e) 9 3


20. (Unicamp 2004) Um triângulo equilátero tem o mesmo perímetro que um hexágono regular

cujo lado mede 1,5 cm. Calcule:

a) O comprimento de cada lado do triângulo.

b) A razão entre as áreas do hexágono e do triângulo.

21. (Unesp 2013) Um aluno precisa localizar o centro de uma moeda circular e, para tanto,

dispõe apenas de um lápis, de uma folha de papel, de uma régua não graduada, de um compasso e da moeda.

Nessas condições, o número mínimo de pontos distintos necessários de serem marcados na circunferência descrita pela moeda para localizar seu centro é a) 3. b) 2. c) 4. d) 1. e) 5. 22. (Unicamp 1991) Três canos de forma cilíndrica e de mesmo raio r, dispostos como indica a

figura adiante, devem ser colocados dentro de outro cano cilíndrico de raio R, de modo a

ficarem presos sem folga. Expresse o valor de R em termos de r para que isso seja possível.

23. (Fuvest 2011) As circunferências C1 e C2 estão centradas em O1 e O2, têm raios r1 = 3 e r2

= 12, respectivamente, e tangenciam-se externamente. Uma reta t é tangente a C1 no ponto P1,

tangente a C2 no ponto P2 e intercepta a reta 1 2O O no ponto Q. Sendo assim, determine

a) o comprimento P1P2; b) a área do quadrilátero O1O2 P2P1; c) a área do triângulo QO2P2.


24. (Unesp 2008) Uma certa propriedade rural tem o formato de um trapézio como na figura.

As bases WZ e XY do trapézio medem 9,4 km e 5,7 km, respectivamente, e o lado YZ margeia

um rio.

Se o ângulo X YZ é o dobro do ângulo X WZ, a medida, em km, do lado YZ que fica à margem

do rio é:

a) 7,5. b) 5,7. c) 4,7. d) 4,3. e) 3,7. 25. (Fuvest 2001) Na figura a seguir, os quadrados ABCD e EFGH têm, ambos, lado a e

centro O. Se EP = 1, então a é:

a)

2

2 1

b) 2

( 3 1)

c) 2

2

d) 2

e) 2

( 2 1)


26. (Fuvest 2000) Um trapézio retângulo tem bases 5 e 2 e altura 4. O perímetro desse

trapézio é:

a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17

27. (Fuvest 2010) No triangulo ABC da figura, a mediana AM , relativa ao lado BC , e

perpendicular ao lado AB . Sabe-se também que BC = 4 e AM = 1. Se á e a medida do angulo

A B̂ C, determine

a) sen á.

b) o comprimento AC.

c) a altura do triangulo ABC relativa ao lado AB .

d) a área do triangulo AMC.

28. (Fuvest 2001) Na figura a seguir, tem-se que AD=AE, CD=CF e BA=BC. Se o ângulo EDF

mede 80°, então o ângulo ABC mede:

a) 20

°

b) 30°

c) 50°

d) 60°

e) 90°


29. (Unicamp 2014) Considere um hexágono, como o exibido na figura abaixo, com cinco

lados com comprimento de 1cm e um lado com comprimento de xcm.

a) Encontre o valor de x. b) Mostre que a medida do ângulo α é inferior a 150°.

30. (Fuvest 2013) São dados, no plano cartesiano, o ponto P de coordenadas (3,6) e a

circunferência C de equação 22

x 1 y 2 1. Uma reta t passa por P e é tangente a C em

um ponto Q. Então a distância de P a Q é

a) 15

b) 17

c) 18

d) 19

e) 20 31. (Unicamp 2013) Em um aparelho experimental, um feixe laser emitido no ponto P reflete

internamente três vezes e chega ao ponto Q, percorrendo o trajeto PFGHQ. Na figura abaixo, considere que o comprimento do segmento PB é de 6 cm, o do lado AB é de 3 cm, o polígono ABPQ é um retângulo e os ângulos de incidência e reflexão são congruentes, como se indica em cada ponto da reflexão interna. Qual é a distância total percorrida pelo feixe luminoso no trajeto PFGHQ?

a) 12 cm. b) 15 cm. c) 16 cm. d) 18 cm.


32. (Unesp 2013) A figura, fora de escala, representa o terreno plano onde foi construída uma

casa.

Sabe-se do quadrilátero ABEF que:

• Seus ângulos ˆABE e ˆAFE são retos.

• AF mede 9 m e BE mede 13 m.

• o lado EF é 2 m maior que o lado AB .

Nessas condições, quais são as medidas, em metros, dos lados AB e EF? 33. (Unicamp 2012) A planta de um cômodo que tem 2,7 m de altura é mostrada abaixo.

a) Por norma, em cômodos residenciais com área superior a 6 m², deve-se instalar uma

tomada para cada 5 m ou fração (de 5 m) de perímetro de parede, incluindo a largura da porta. Determine o número mínimo de tomadas do cômodo representado ao lado e o espaçamento entre as tomadas, supondo que elas serão distribuídas uniformemente pelo perímetro do cômodo.

b) Um eletricista deseja instalar um fio para conectar uma lâmpada, localizada no centro do teto do cômodo, ao interruptor, situado a 1,0 m do chão, e a 1,0 m do canto do cômodo, como está indicado na figura. Supondo que o fio subirá verticalmente pela parede, e desprezando a espessura da parede e do teto, determine o comprimento mínimo de fio necessário para conectar o interruptor à lâmpada.


34. (Unesp 2012) No futebol, um dos gols mais bonitos e raros de se ver é o chamado gol

olímpico, marcado como resultado da cobrança direta de um escanteio.

Suponha que neste tipo de gol: 1. A projeção da trajetória da bola descreva um arco de circunferência no plano do gramado; 2. A distância (d) entre o ponto da cobrança do escanteio e o ponto do campo em que a bola

entra no gol seja 40 m;

3. A distância máxima (h) da projeção da trajetória da bola à linha de fundo do campo seja 1m.

Determine o raio da circunferência (R), em metros, do arco descrito pela trajetória da bola, com uma casa decimal de aproximação.

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Um carpinteiro foi contratado para construir uma cerca formada por ripas de madeira. As figuras abaixo apresentam uma vista parcial da cerca, bem como os detalhes das ligações entre as ripas, nos quais os parafusos são representados por círculos brancos. Note que cada ripa está presa à cerca por dois parafusos em cada extremidade.

35. (Unicamp 2012) Para construir uma cerca com 300 m de comprimento, são necessários a) 1201,5 m de ripas. b) 1425,0 m de ripas. c) 2403,0 m de ripas. d) 712,5 m de ripas.


36. (Unesp 2014) Em um plano horizontal encontram-se representadas uma circunferência e

as cordas AC e BD. Nas condições apresentadas na figura, determine o valor de x.

37. (Unicamp 2010) Um artesão precisa recortar um retângulo de couro com 10 cm x 2,5 cm.

Os dois retalhos de couro disponíveis para a obtenção dessa tira são mostrados nas figuras a

seguir.

a) O retalho semicircular pode ser usado para a obtenção da tira? Justifique.

b) O retalho triangular pode ser usado para a obtenção da tira? Justifique.

38. (Fuvest 2014) Uma circunferência de raio 3 cm está inscrita no triângulo isósceles ABC, no

qual AB AC. A altura relativa ao lado BC mede 8 cm. O comprimento de BC é, portanto,

igual a a) 24 cm b) 13 cm c) 12 cm d) 9 cm e) 7 cm 39. (Unesp 2013) Uma semicircunferência de centro O e raio r está inscrita em um setor

circular de centro C e raio R, conforme a figura.

O ponto D é de tangência de BC com a semicircunferência. Se AB s, demonstre que

R s R r r s.


40. (Fuvest 2013) Um teleférico transporta turistas entre os picos A e B de dois morros. A altitude do pico A é de 500 m, a altitude do pico B é de 800 m e a distância entre as retas verticais que passam por A e B é de 900 m. Na figura, T representa o teleférico em um

momento de sua ascensão e x e y representam, respectivamente, os deslocamentos horizontal e vertical do teleférico, em metros, até este momento.

a) Qual é o deslocamento horizontal do teleférico quando o seu deslocamento vertical é igual a

20 m? b) Se o teleférico se desloca com velocidade constante de 1,5 m/s, quanto tempo o teleférico

gasta para ir do pico A ao pico B?


Gabarito: Resposta da questão 1: [C]

ÂBD x

ˆˆCOB é isósceles de base BC, logo OBC=OCB = - x

- xˆÂBO é isósceles de base AO, logo OAB=BOA = 2

No triângulo AOB:

- x - x + (ângulo externo)

2

2 = 2 2x x

3x 3 2

3 2x

3

2x

3

Δ π

πΔ

πα π

α π π

π α

π α

απ

Portanto, ÂBO 2 /3π α

Resposta da questão 2:

a) 3200 km

b) 28160/7 km



[C]

Sejam x, x r e x 2r as medidas, em metros, dos lados do triângulo, com x, r 0.

Aplicando o Teorema de Pitágoras, encontramos x 3r. Logo, os lados do triângulo medem

3r, 4r e 5r.

Sabendo que o perímetro do triângulo mede 6,0 m, vem 1

3r 4r 5r 6 r .2

Portanto, a área do triângulo é igual a

223r 4r 1

6 1,5 m .2 2

Resposta da questão 4: [E]

Considere a figura, em que M é o ponto médio do lado AB.

Do triângulo retângulo OMB, obtemos BM AB

tgMOB MO .MO 2tg

2

θ

Sem perda de generalidade, suponhamos que AB 1. Assim,

AB MO 1(AOB) .

24 tg

2

θ

A área do quadrado ABCD é maior do que a área do triângulo AOB se

2 1(ABCD) (AOB) 1

4 tg2

1tg 0,25.

2 4

θ

θ

Logo, como tg15 0,2679 0,25 e 0 180 ,θ vem que 30 180 .θ Note que

]30 ,150 [ ]30 ,180 [.



[A] Seja a medida, em metros, dos lados dos hexágonos que constituem a piscina. Sabendo que a distância entre lados paralelos de um hexágono regular é igual ao dobro do apótema do hexágono, obtemos

25 325 tg30 m.

3

Desse modo, a área da piscina é dada por

22

2

3 3 9 25 33 3

2 2 3

18753

2

1.623,8 m

e, portanto, 21.600 m é o valor que mais se aproxima da área da piscina.

Resposta da questão 6: [A]

Sejam 2 90 ,φ π R o raio do semicírculo e x o lado do triângulo isósceles.

22 2 2 2

22 2

22 2

x x 2R x 2.R

1R

S( ) R R21T( ) x 2Rx x2

ππ

φ π π

φ



a) A = 4 3 = 12.

b) No triângulo ADE, 3

sen .x

θ

Logo, a área do triângulo BB’C será dada por:

1 1 3A 2x 4 sen 2x 4 12.

2 2 xθ

c) Considerando que 3

sen sen(180 ) .x

θ θ

S(A’B’C’D’) = S(A’DD’) + S(AA’B’) + S(BB’C’) + S(C’C’D’) + S(ABCD)

S(A’B’C’D’) = 1 1 1 1

.2x.4.sen( ) .2.4x.sen(180 ) .2x.4.sen( ) .2.4x.sen(180 ) 122 2 2 2

θ θ θ θ

S(A’B’C’D’) = 12 + 12 + 12 + 12 + 12

S(A’B’C’D’) = 60

Resposta da questão 8: [B]

Número de semicircunferências = 102 m, dividido por 0,003 m (diâmetro) = 34.000 ou 17.000 circunferências. Total de papelão = 17.000 . 0,003 . 3,14 = 160,14 m = 160 m e 14 cm.



Aproximadamente, 103.000 km/h. Resposta da questão 10:

[C] Resposta da questão 11:

a) Como 0 1 1OB A B , 1 2 2 1A A A B e 2OA é comum aos triângulos 1 2OA A e 1 2OB A ,

segue-se que os triângulos 1 2OA A e 1 2OB A são congruentes por LAL. Além disso,

1 0 1 2OA B OA A 90 e 1 0 2A B A 60 implicam em 1 1OA B 60 . Portanto, o triângulo

1 1OA B é equilátero. Desse modo, o resultado pedido corresponde à altura do triângulo

0 0A OB , ou seja, 7 3

cm.2

b) Raciocinando de forma inteiramente análoga ao item (a), concluímos que

n 1n

OA 3OA ,

2

com n 1.

Daí, como n 1n n 1 n

OAa A A ,

2

temos

n

n 1

n n 1

OAa 32 ,a 2OA

2

para todo n 1 e, portanto, 1 2 3a , a , a , é uma progressão geométrica de primeiro termo

17

a cm2

e razão 3

.2

c) O comprimento da poligonal 0 1 2 nA A A A , com n 1, corresponde à soma dos n primeiros

termos da progressão geométrica 1 2 3a , a , a , , ou seja,

n

n3

127 3

7(2 3) 1 cm.2 23

12



a)

Sendo α o plano definido por HMBN, tem-se:

α ⋂ pl (ADHE) = HM

α ⋂ pl (BCGF) = BN

pl (ADHE) // pl (BCGF), portanto, HM // BN (I)

α ⋂ pl (ABFE) = MB

α ⋂ pl (DCGH) = HN

pl ( ABFE) // pl (DCGH), portanto MB // NH (II)

De (I) e (II) vem que HMBN é um paralelogramo.

b)

AM ≈ EM

AB ≈ EH

BAM ≈ HEM (ângulos retos)

⇔ (L.A.L.) portanto, ∆ABM ≈ ∆ EHM ⇔ BM ≈ HM (III)

No paralelogramo HMBN, tem-se:

HM ≈ BN e BM ≈ NH (IV)

De (III) e (IV) pode-se concluir que:

HM ≈ MB ≈ BN ≈ NH



60 km Resposta da questão 14:

[E] Resposta da questão 15:

[E] Resposta da questão 16:

Soma dos ângulos internos de um pentágono: 180 5 2 540

Ao redor de cada bolha temos 360° Seja T o número de triângulos e n o número de bolhas, temos a seguinte relação:

T 180 n 360 540 :180

T 2n 3

T 2n 3

Resposta da questão 17: [E] Resposta da questão 18: [C] Resposta da questão 19: [B] Resposta da questão 20:

a) 3 cm

b) 3/2 Resposta da questão 21: [A] Marcando três pontos na circunferência, determinamos os vértices de um triângulo inscrito na mesma. O centro da moeda é o circuncentro do triângulo obtido. Resposta da questão 22:

R = r 2 3 3

3



a) x2 + 9

2 = 15

2 x = 12

b) 9.12

A 12.3 902

c) y 3

3x 12 y 4y 12 12

Logo, A = 12.(12 4)

962

Resposta da questão 24: [E] Resposta da questão 25: [E] Resposta da questão 26: [D] Resposta da questão 27:

a) )60 30(2

1sen :ABM

o eNo

o

b) 3 31AB : 222

ABABMNo

cos.3.4.234222 AC

72

3..3.4.234

222 ACAC

c) 24

sen30 :BHC o

hh

No

d) ooo

CMA 12060180ˆ


A = 2

32.1.

2

1120.2.1.

2

1osen =

2

3

Respostas: 3

a) 30 b) 7 c) 2 d)2


[A] Resposta da questão 29:

a) Considere a figura.

Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos ABC, ACD, ADE e AEF, vem

2 2 2 2 2AC AB BC 1 1 2,

2 2 2 2AD AC CD 2 1 3,

2 2 2 2AE AD DE 3 1 4

e

2 2 2 2 2AF AE EF x 4 1

x 5 cm.

b) É imediato que BAC 45 .

Do triângulo ACD, temos

CD 1tgCAD CAD arctg 45 .

2AC

Do triângulo ADE, vem

DE 1tgDAE DAE arctg 30 .

3AD

Do triângulo AEF, segue


EF 1tgEAF EAF arctg 30 .

4AE

Portanto, tem-se

BAC CAD DAE EAF

45 45 30 30

150 .

α

Resposta da questão 30: [D]

A circunferência C tem centro no ponto A(1, 2) e raio igual a 1. Logo, de acordo com as

informações, considere a figura abaixo.

Como PQ PQ' e AQ AQ' 1, vem

2 2 2PA (3 1) (6 2) 20

e, portanto,

2 2 2 2PQ PA AQ PQ 20 1

PQ 19 u.c.

Resposta da questão 31: [B]


o

o

22 2

2 2 2

HPQ FQP(L.A.A ) HP FQ K e PF HQ

3BHG AFG(L.A.A ) AG BG e HG = GF

2

36 K2AGF~ QPF K 4

3 K

3 5No GBH : GH 2 GH

2 2

No HPQ: HQ 4 3 HQ 5

Δ Δ

Δ Δ

Δ Δ

Δ

Δ

Logo, a distância total percorrida pelo feixe luminoso no trajeto PFGHQ é PF + FG + GH + HQ = 5 + 5/2 + 5/2 + 5 = 15 cm. Resposta da questão 32:

Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos AFE e ABE, obtemos

2 2 2AE 9 (AB 2) e

2 2 2AE AB 13 .

Logo,

2 281 AB 4 AB 4 AB 169 AB 21m.

Portanto, AB 21m e EF 23 m.


a) Perímetro do quarto = 10,8 m = 2,5 m + 0,8 m.

3 tomadas espaçadas a cada 10,8

3,6m.3

b) Na figura tem-se x

2 = 1,2

2 + 0,5

2.

x = 1,69.

x = 1,3 m.

Logo, o comprimento do fio será:

1,3 m + (2,7 – 1) = 3 m.



Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo assinalado, temos: R

2 = (R – 1)

2 + 20

2

R2 = R

2 – 2 R + 01 + 400

2 R = 401 R = 200,5 m. Resposta da questão 35:

[A]

Calculando a medida x da barra diagonal, temos:

2 2 2

2

x 2 1,5

x 6,25

x 2,5 m

Para construir 300 m de cerca utilizaremos 150 partes, como a da figura mais uma ripa vertical. 150.(2 m + 2 m + 1,5 m + 2,5 m) + 1,5 m = 105,1 m de ripa. Resposta da questão 36: Utilizando a relação entre as cordas, temos:

2 2

2

2x (x 3) x (3x 1)

2x 6x 3x x

x 7x 0

Resolvendo a equação temos: x = 0 (não convém) ou x 7 .



a) No semicírculo

1165222

xx (maior que 3)

Logo o retalho semicircular poderá ser usado para a obtenção da tira.

b) no triângulo.

25,216

10

6

6

x

x(menor que 2,5)

Logo o retalho triangular não poderá ser usado para a obtenção da tira.

Resposta da questão 38: [C]

Considere a figura, em que H é o pé da perpendicular baixada de A sobre BC, e D é o ponto

em que o lado AC tangencia a circunferência de centro em O.

Como OH OD 3cm e AH 8cm, segue que AO 5cm. Logo, AD 4cm. Além disso, os

triângulos AHC e ADO são semelhantes por AA e, assim,

AD DO 4 3

8AH HC HC

HC 6cm.

Portanto, como H é o ponto médio de BC, segue-se que BC 12cm.



Considere a figura.

Os triângulos retângulos ODC e BAC são semelhantes. Logo,

OC OD R r r

R sBC BA

R s r s R r

R s R r r s.

c.q.d. Resposta da questão 40:

a) x 20

ATD ~ ABC : x 60 m.900 300

Δ Δ

b) 2 2

AB 300 900 300 10

Sendo t o tempo para o televérico ir de A até B, temos:

300 10 1,5.t t 200 10.

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