GEOMETRIA

PLA

NA

TRIÂ

NGULOS E

QUADRILÁTE

ROS

PR

OF E

SS

OR

A J

UL I A

NA

SC

HI V

AN

I

TIPOS DE TRIÂNGULOS

Teorema do ângulo externo

e

+ + = 180

e + = 180

+ + = e +

+ = e

ÁREA DO TRIÂNGULO

E QUANDO NÃO SE TEM

BASE NEM ALTURA?????

ÁREA DO TRIÂNGULO EM FUNÇÃO DOS LADOS E DO SENO

a b

c

hα

sen α = h / a => h = a ∙ sen α

β

sen β = h / b => h = b ∙ sen β

A = c ∙ a ∙ sen α 2

A = c ∙ b ∙ sen β 2

ÁREA DO TRIÂNGULO EM FUNÇÃO DOS LADOS E DO SENO

a b

c

hα

sen α = h / a => h = a ∙ sen α

β

sen β = h / b => h = b ∙ sen β

A = c ∙ a ∙ sen α 2

A = c ∙ b ∙ sen β 2

ÁREA DO TRIÂNGULO EM FUNÇÃO DOS LADOS E DO SENO

a b

c

hα

sen α = h / a => h = a ∙ sen α

β

sen β = h / b => h = b ∙ sen β

A = c ∙ a ∙ sen α 2

A = c ∙ b ∙ sen β 2

ÁREA DO TRIÂNGULO EM FUNÇÃO DOS LADOS E DO SENO

a b

c

hα

sen α = h / a => h = a ∙ sen α

β

sen β = h / b => h = b ∙ sen β

A = c ∙ a ∙ sen α 2

A = c ∙ b ∙ sen β 2

ÁREA DO TRIÂNGULO EM FUNÇÃO DOS LADOS E DO SENO

a b

c

hα

sen α = h / a => h = a ∙ sen α

β

sen β = h / b => h = b ∙ sen β

A = c ∙ a ∙ sen α 2

A = c ∙ b ∙ sen β 2

ÁREA DO TRIÂNGULO EM FUNÇÃO DOS LADOS E DO SENO

a b

c

hα

sen α = h / a => h = a ∙ sen α

β

sen β = h / b => h = b ∙ sen β

A = c ∙ a ∙ sen α 2

A = c ∙ b ∙ sen β 2

ÁREA DO TRIÂNGULO EM FUNÇÃO DOS LADOS E DO SENO

a b

c

A = a ∙ b ∙ sen ab 2 ab

TEOREMA DE HEIRÃO, HERON OU HERÃO

Ver vídeos com a demonstração

TEOREMA DE HEIRÃO, HERON OU HERÃO

P = 9 + 7 + 14 2

= 30 2

= 15

A² = 15(15 – 9)(15 – 7)(15 – 14)

A² = 15 ∙ 6 ∙ 8 ∙ 1

A² = 720

A = √720 ≈ 26,8 cm²

ÁREA DO TRIÂNGULO EM FUNÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA INSCRITA

ab

c

r

rr

A = ar + br + cr 2 2 2

=> A = ar + br + cr 2

=> A = r (a + b + c) 2

A = p r

ÁREA DO TRIÂNGULO EM FUNÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA CIRCUNSCRITA

r

a

c

b

A

C

B

Pela lei dos senos: a sen A

b sen B

c sen C

= = = 2R

a = sen A ∙ 2Rb = sen B ∙ 2Rc = sen C ∙ 2R

Pela área do triângulo em função dos senos:

A = a ∙ b ∙ sen ab 2 Substituindo (1) em (2):

A = sen A ∙ 2R ∙ sen B ∙ 2R ∙ sen C 2

= 4R² ∙ sen A ∙ sen B ∙ sen C 2

=> sen A = a/ 2R=> sen B = b/ 2R=> sen C = c/ 2R

A = 4R² ∙ a/2R ∙ b/2R ∙ c/2R 2

= 4R² ∙ abc/8R³ 2

= abc/2R 2

= abc 4R

ÁREA DO TRIÂNGULO EM FUNÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA CIRCUNSCRITA

EXERCÍCIO

Marque a alternativa que representa a área da região do plano limitada pelo triângulo equilátero, com lados medindo a, e pela circunferência inscrita nesse triângulo. A parte escura da figura abaixo ilustra essa região.

A ( ) a²(2√3 – π)/12

B ( ) a²(3√3 – π)/12

C ( ) a³(3√2 – π)/12

D ( ) a³(2√2 – π)/12

Toda paralela a um lado de um triângulo e que intercepta os outros dois lados em pontos distintos determina, sobre esses

lados, segmentos proporcionais.

BC//PQ Se

QCAQ

PBAP

DESIGUALDADE TRIÂNGULAR

Em todo triângulo a medida de um lado qualquer é sempre menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que a diferença absoluta entre eles:

a

b

c|b – c| < a < b + c|a – b| < c < a + b|a – c | < b < a + c

DESIGUALDADE TRIÂNGULARExemplo: Determine os possíveis valores de x para que forme um triângulo.

a = 2x + 1b = 1c = 4

|4 – 1| < 2x + 1 < 4 + 1

3 < 2x + 1 < 5

2 < 2x < 4

1 < x < 2

BARICENTRO DO TRIÂNGULO

P

N M

C

BA

G

O baricentro de um triângulo divide cada mediana na razão 2:1 no sentido do vértice para o lado.

AG = 2GMBG = 2GNCG = 2GP

O ponto G é o ponto de equilíbrio do triângulo.

EXERCÍCIO BÁSICO Um desenhista pretende construir cinco triângulos cujos lados devem ter as medidas seguintes. I) 10 cm; 8 cm; 6 cm.II) 9 cm; 15 cm; 12 cm.III) 12 cm; 15 cm; 12 cm.IV) 9 cm; 8 cm; 4 cm.V) 10 cm; 10 cm; 21 cm. Podemos afirmar que o desenhista obteve triângulo nos casos.a) I, II, III e IV.b) I, II, IV e V.c) I, II e IV.d) I, II, e V.e) Em nenhum caso pode se formar triângulo.

V

VV

F

V

QUADRILÁTEROS

É todo polígono que possui apenas quatro lados.

D

C

B

AA

B

C

D

Quadrilátero convexo Quadrilátero côncavo

Em todo quadrilátero convexo temos: d = 2, soma dos ângulos internos e soma dos ângulos externos igual a 360 graus.

TRAPÉZIOSSão quadriláteros que possuem dois lados paralelos denominados bases.

B

C

D

A

AC // BD ABCD é trapézio.

B

b

TRAPÉZIOS

B

bB

b

TRAPÉZIOS

B + b

b + B

TRAPÉZIOS

Trapézios Isósceles É todo trapézio que possui dois lados não paralelos congruentes entre si.

a a

b b

a + b = 180º

As diagonais do trapézio isósceles são congruentes

Trapézio Escaleno É todo trapézio que possui dois lados não paralelos com medidas diferentes entre si.

Trapézio Retângulo É todo trapézio escaleno que possui um dos lados não paralelos perpendiculares às bases.

Todo trapézio retângulo é trapézio escaleno.a + b = 180º

b

a

PARALELOGRAMOS É todo quadrilátero que possui os lados opostos paralelos entre si.

D C

BA

Nos paralelogramos valem as seguintes propriedades

A diagonal de um paralelogramo o divide em dois triângulos congruentes.

Os lados opostos são congruentes.

Os ângulos opostos são congruentes.

Diagonais se cortam em seus respectivos pontos médios.

Nota: Todo paralelogramo é um trapézio, pois tem dois lados paralelos.

PARALELOGRAMOS

D C

BA

b

b

PARALELOGRAMOS

b

b

É todo paralelogramo que possui os lados congruentes entre si. (equilátero).

D

C

B

A

Nos losangos, além das propriedades dos paralelogramos, valem as seguintes propriedades:

As diagonais são bissetrizes e perpendiculares.

I I I

I I I

Todo losango é um paralelogramo e, portanto, também é um trapézio.

LOSANGOS

LOSANGOS

É todo paralelogramo que possui os ângulos congruentes entre si. (eqüiângulo)

Nos retângulos, além das propriedades dos paralelogramos, valem as seguintes propriedades:

As diagonais são congruentes e os quatro ângulos são retos.

Todo retângulo é um paralelogramo e, portanto, também é um trapézio.

BA

D C

RETÂNGULOS

RETÂNGULOS

5 quadrados preenchem a base

3 quadrados preenchem

a altura

5 * 3 = 15 quadrados preenchem o retângulo

É todo paralelogramo que possui os ângulos congruentes (é retângulo) e possui todos os lados congruentes (é losango)

No quadrado, valem todas as propriedades dos retângulos, e todas as propriedades do losango.

Todo quadrado é retângulo e losango e, portanto, também é paralelogramo e trapézio.

_ _

__

QUADRADOS

QUADRADOS

TRAPEZÓIDES

Todo quadrilátero que não for trapézio será trapezóide.

são quadriláteros que não apresentam paralelismo entre os lados. C

B

A D

quadriláteros

trapézios

paralelogramos

LosRet Q

BASES MÉDIAS

ΔABC ≈ ΔAMN =>

x

x y

y

2x

x= 2

Razão de Semelhança

BASE MÉDIA DO TRIÂNGULO

2y

y

A

M N

B C

B2

Bm =

B

Bm

B + b

Base média – É o segmento de reta que liga os pontos médios dos lados não paralelos do trapézio.

D C

BA

A medida da base média é igual à semi-soma das medidas das bases.

VN

DN = NA e CV = VB NV é base média.

2

b

B

BASE MÉDIA DO TRAPÉZIO

Bm =

BASE MÉDIA DO TRAPÉZIO

Inicialmente, prolonguemos AM até encontrar DC no ponto E.

É fácil ver que ∆ABM ≡ ∆CME (ALA) ⇒ AB = CE.

Portanto, MN é base média do triângulo ADE.

BASE MÉDIA DO TRAPÉZIO

DE2

MN = DC + CE2

DC + AB2

B + b2

= = =

Sabendo que x é a medida da base maior, y é a medida da base menor, 5,5 cm é a medida da base média de um trapézio e que x - y = 5 cm, determine as medidas de x e y.

x

y

5,5

Teorema de Tales

Um feixe de retas paralelas determina, sobre duas transversais, segmentos proporcionais.

'C'B'B'A

BCAB

(Saresp–SP) No desenho abaixo estão representados os terrenos I, II e III.

Quantos metros de comprimento deverá ter o muro que o proprietário do terreno II construirá para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas?

(Fuvest–SP) A sombra de um poste vertical, projetada pelo sol sobre um chão plano, mede 12 m. Nesse mesmo instante, a sombra, de um bastão vertical de 1 m de altura mede 0,6 m. Qual a altura do poste?

REFERÊNCIAS

http://www.rpm.org.br/5e/docs/mc11.pdf

http://www.google.com.br/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=12&ved=0CHgQFjAL&url=http%3A%2F%2Fwww.colegiounimax.com.br%2FImagens%2FBiblioteca%2FCKFinder%2F4%2FDownloads%2FGeometria%2520Plana%2520-%2520Quadril%25C3%25A1teros%2520e%2520Base%2520M%25C3%25A9dia.ppt&ei=3GaNUOGRMIHv0gGXqoGQBQ&usg=AFQjCNHL-94DpkZYrQ4-RfklXw6YbCj7Ow&sig2=Mo8jSJ98tf9OrMJFDRoQHg

http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/formula-heron.htm