(3)geometria espacial iii

GEOMETRIA ESPACIAL – III Celso do Rosário Brasil Gonçalves

1

(50) O raio da base, a altura e a geratriz de um cone reto formam, nessa ordem, uma

progressão aritmética. Determine esses elementos, sabendo que o volume do cone é 144π

cm³.

Solução

(51) Um semicone reto tem altura igual ao raio e o volume é 576π cm³. Calcule a área

lateral do semicone.

Solução

(52) A geratriz de um cone de revolução mede 25 cm e a diagonal menor do hexágono

regular inscrito na base do cone mede 7√ Determine a área total e o volume do cone.


2

Solução

(53) Um sólido é formado pela superposição de cone sobre um cilindro de raio da base r.

Sendo a altura do sólido o triplo do raio r e a área lateral do sólido o quíntuplo da área da

base do cilindro, calcule o volume do sólido em função de r.

Solução

(54) Determine a medida do raio da base e da geratriz de um cone, sendo h a medida de sua

altura e π m² sua área total.


3

Solução

(55) Calcule o volume de um cone de revolução, conhecendo a área total S e a altura h.

Solução

(56) Calcule o volume V de um cone de revolução em função de sua área lateral A e de sua

área total S.

Solução


4

(57) Determine o volume de um cone de revolução, conhecendo o raio da base r e sua área

total S.

Solução

(58) Quanto de deve aumentar a altura e diminuir o raio da base de um cone de revolução

para que seu volume permaneça constante?

Solução


5

(59) Um sólido é formado por dois cones retos de volumes iguais, tendo como base comum

um círculo de 6 cm de raio. A área do sólido é igual à superfície de uma esfera de raio 6 cm.

Determine a relação entre os volumes do sólido e da esfera.

Solução

(60) Supondo a Terra esférica e o metro a décima milionésima parte do quarto do

meridiano, determine a superfície da terra em km².


6

Solução

(61) Determine a razão entre as áreas de um cubo e uma esfera, sabendo que seus volumes

são iguais.

Solução

(62) Calcule em cm³ o volume de uma esfera, sabendo que o diâmetro perpendicular a um

círculo menor de 10 cm de raio é dividido por esse círculo em dois segmentos de razão 2/5.

Solução


7

(63) Fabricou-se uma caldeira de tal maneira que as bases de dois hemisférios coincidissem

com as bases de um cilindro. Sendo o diâmetro do cilindro os 3/5 de sua altura e a

superfície da caldeira equivalente a uma esfera de raio R, determine a relação entre o

volume da caldeira e o volume da esfera de raio R.

Solução

(64) Um observador (O), do ponto mais alto de um farol, vê a linha do horizonte (L) a uma

distância d. Sejam h e R a altura do farol e o raio da Terra, respectivamente.

(a) Como R é muito maior que h, pode-se admitir que 2R + h = 2R. Assim, prove, usando a

aproximação indicada que d = √ .

(b) O raio de Terra tem, aproximadamente, 6.300 km. Usando a fórmula do item a, calcule a

distância (d) do horizonte, quando o observador está a uma altura h = 35 m.


8

Solução

(65) Determine o volume de um tronco de pirâmide de 279√ cm² de superfície total,

sendo as bases hexágonos regulares de 9 cm e 3 cm de lado, respectivamente.

Solução


9

(66) Qual é o volume de um tronco de pirâmide regular hexagonal, de aresta lateral 5 m,

cujas áreas das bases medem, respectivamente, 54√ m² e 6√ m²?

Solução


10

(67) O apótema de uma pirâmide triangular regular mede 39 cm e o apótema da base, 15

cm. Calcule a área total e o volume do tronco que se obtém cortando a pirâmide, a 24 cm do

vértice, por um plano paralelo à base.

Solução

(68) Dadas as medidas B, B’, h das áreas da base e da altura, respectivamente, de um

tronco de pirâmide, determine a altura da pirâmide da qual se obteve o tronco.

Solução


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(69) Dados os lados “a” e “b” das bases quadradas de um tronco de pirâmide, determine a

altura do tronco, considerado regular, de modo que a área lateral seja igual à soma das

áreas das bases.

Solução

(70) O volume de um tronco de pirâmide hexagonal regular de bases paralelas é igual a 40

m³. Sua altura mede 3 m e a área da base maior mede 20 m². Calcule a relação que existe

entre os lados dos hexágonos das bases.


12

Solução

(71) Determine a área lateral de um tronco de pirâmide triangular, sendo 4 dm o lado da

base menor e sabendo que uma aresta lateral forma um ângulo de 60° com um lado da base

maior, dado o apótema do tronco igual a 1 dm.

Solução

(72) Determine a área total de um tronco de pirâmide regular, sendo as bases paralelas

hexagonais, em que o lado da maior base mede 10 cm e a altura do tronco é igual ao

apótema de maior base, sabendo ainda que as faces laterais do tronco formam com a base

maior um ângulo diedro de 60°.


13

Solução

(73) O volume de um tronco de pirâmide regular é 109 dm³; as bases são triângulos

equiláteros de 5 dm e de 7 dm de lado. Calcule a altura.

Solução

(74) A aresta lateral de um tronco de pirâmide triangular regular mede 4 m e forma um

ângulo de 60° com a base maior. O raio do círculo circunscrito à maior base mede 4 m.

Encontre o volume do tronco de pirâmide.


14

Solução

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