ejecicios resueltos geometria
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14
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDADPg. 1
PGINA 270EJERCICIOS DE LA UNIDAD reas y permetros de figuras sencillas Halla el rea y el permetro de las figuras coloreadas de los siguientes ejercicios:
1
a)3m
b)3m 1,8 m 6m 4m
a) S P
3m 3m 4 3m a)3 dm
9 m2 12 m
b) S P b)6 cm
6 m 1,8 m 5,4 m2 2 3 4 6 13 m
2
10
,8
cm
9 cm
a) S P
32 dm2 2 3 dm a)6 cm 6 cm
28,26 dm2 18,84 dm
b) S
9 cm 6 cm 2
27 cm2
P 6 cm 9 cm 10,8 cm 25,8 cm b)
3
7,2 cm 10 cm
17 m 30 m
a) S P
B 2 6 a)
b 6
h 10
10 2 7,2
6
6
48 cm2
b) S P b)
30 m 17 m (17 2) m
510 m2 (30 2) m 94 m
29,2 cm
4
26 cm
13,8 dam
18 da
40 cm
m
23,9 cm
23 dam
a) S P
D d 2
40 26 2
520 cm2
b) S P
23 13,8 2 18 23
158,7 dam2 18 59 dam
23,9 4 cm
95,6 cm
Unidad 14. Mediciones: Longitudes y reas
14
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDADPg. 2
27,8 m 74 m
32 m
a) S P
74 2 74
42 42
4m
5
a)
42 m
b)
27,8
1 612,4 m2 180 m
b) S P
P a 2 5 4
2,8 m
(5 4) 2,8 2 20 m
28 m2
(32 2)
6
a)2,5 km 5 km 3 km
b)5c m
a) S P
5 2,5 (2 5)
12,5 km2 (2 3) 16 km
b) S P
r 2 52 39,25 cm2 2 2 2r 2r 5 10 25,7 cm 2
7
a)cm
b)6 cm 5m 4m 7m7, 2
15,3 m 12 m
a) S P b) S P
P a (8 6) 7,2 2 2 6 8 48 cm
172,8 cm2
15,3 7 4 44,6 m2 2 5 15,3 12 7 39,3 m
8
a)
10 cm
b)m
10 m
7,9
6 cm
7,
1
m
5 3, m
a) S P
R2 2R
r2 2r
102 32
62
64
200,96 cm2
100,48 cm
Unidad 14. Mediciones: Longitudes y reas
14
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDADPg. 3
b) S P
SCUADRADO PCUADRADO
SROMBO PROMBO
100 10 4
14,2 7 2 7,9 4
50,3 m2 71,6 m
9
a)120
b)6m
6m
15 m
a) S P b) S
r2 360 2r 360 6 5,2 2 a)
152 120 360 2r
235,5 m2 30 61,4 m
2 15 120 360 6 3
15,6 m; P
18 m
8 dam
10
b)
5,2 m 6m
17
dam
8m
5m
15 dam
a) S P b) S
R2 2 2R 2 15 8 2
r2 2r 2
64 2 2 (R
25
39 2 8 17 5 15
61,23 m2 6 13 6 46,82 m
r) 8
60 dam2; P
40 dam
Medir y calcular En cada una de las siguientes figuras toma las medidas que creas necesarias y calcula su superficie y su permetro.
11
a)
b)
Unidad 14. Mediciones: Longitudes y reas
14
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDADPg. 4
a)2,4 cm
b)1,2 cm
S P
2,4 2,4 4 2,4
5,76 cm2 9,6 cm
S P
1,22 2 1,2
4,52 cm2 7,54 cm
12
a)
b)
a)2 cm
b)
2 cm 2 cm
2,4 cm
3,5 cm
S P
2,4 2 2 2,4
4,8 cm2 2 2 8,8 cm
S P
3,5 2 2 2 4
3,5 cm2 8 cm
13
a)
b)
a)2,3 cm
1,6 cm
2 cm
2,7 cm
S P
(2,7 2,7
1,6) 2 2 3 1,6
4,3 cm2 2 9,3 cm
Unidad 14. Mediciones: Longitudes y reas
14
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDADPg. 5
b)120 1,2 cm 1,8 cm
S P
( 1,82
0,62) 120 360
3,01 cm2 2 1,2 7,42 cm
(2 1,8
2 0,6) 120 360
14
a)
b)
a)1,8 cm
3 cm
1,760
cm
1,6
1,5 cmcm
1,8 cm
3,2 cm
S
ATRINGULO 1,8 3 2 8,07 cm2
ATRAPECIO (3,2
ASECTOR 1,82 60 360 2,7 3,675 1,6956
1,7) 1,5 2
P b)
1,8
3
1,6
3,2
2 1,8 60 360
9,6
1,884
11,481 cm
2,2 cm 1,5 cm 1,6 cm
S
2,2 1,5
3,3 cm2; P
2,2 2
1,6 2
7,6 cm
Unidad 14. Mediciones: Longitudes y reas
14
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDADPg. 6
PGINA 271Calcular el elemento que falta En cada una de las siguientes figuras coloreadas halla su rea y su permetro. Para ello tendrs que calcular el valor de algn elemento (lado, diagonal, apotema, ngulo, ). Si no es exacto, halla una cifra decimal.
15
a)8 cm 15 cm
b)5m
13 m
8 cm
a)
b)15 cm 5m
13 m
l S P
82 8 15 2 15
152
17 cm
c S P
132 12 5 2 12 5
52
12 m
60 cm2 17 40 cm
30 m2 13 30 m
8
16
a)10 cm
b)30 m22 cm40 m
10 cm
a)
2
m 2cb
b)30a 40 m20 m
m
b S P
222
102
19,6 cm
a S P
302
202
22,4 m 448 m2
10 19,6 10 2
196 cm2 59,2 cm
40 22,4 2 30 30
19,6 2
40
100 m
Unidad 14. Mediciones: Longitudes y reas
14
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDADPg. 7
17
a)da m 18
b)20 m26 m
a)da 18 m d am
ll9 da m
9
2
9
2
12,7 dam
S P
12,72 4 12,7
161,3 dam2 50,8 dam
En este ejercicio hemos de tener en cuenta que l 9 2 y, por tanto, S (9 2)2 162 pero no se puede poner a los alumnos de este nivel.
NOTA:
9
l
b)
2
0m26 m
D 2 D S P
202
132
15,2 m
30,4 m 395,2 m2
D
30,4 26 2 4 20
80 m
18
a)4m
b)3 m
a)1204m
b)3 m
R
S P
360 : 3
120 16,7 m2 16,4 m
R S P
32 4,22
32
4,2 m 32 2 3 27,1 m2 45,2 m
42 120 360 4 4
2 4 120 360
2 4,2
Unidad 14. Mediciones: Longitudes y reas
14
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDADPg. 8
1928 m 32 m 24 m 47 m 39 m 34 m
8 18 28 m 39 m
32 m 24 m 47 m
34 m
S P
28 32 28 32
8 18 24
47 34 47 34
2 638 m2 39 18 40 262 m
20
a)8 cm5 cm
b)
2 cm
13 c m14 cm
a)8 cm5 cm
b)b
2 cm
a
13 c
m
12 cm 14 cm
b S P
82 5 6,2 5 2
52
6,2 cm
a S P
132 12 5 2 5 2
122 2 5 13
5 cm 40 cm2 14 34 cm
31 cm2 6,2 2 22,4 cm
Unidad 14. Mediciones: Longitudes y reas
14
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDADPg. 9
21A
B
C
D
AB CD 41 m BC 53 m AD 71 m AD BC 18 m AE 9 m
B a A E a
C
aD
412 (71 41
92
40 m 2 480 m2 71 206 m
S P
53) 40 2 41 53
22O
A
OBB
13,6 cm 16 cm
AB
A
aa O 8 cm B
13,62
82
11 cm
S
80 11 = 440 cm2 2
P = 16 5 = 80 cm
23
N P
MN NP
6 dm 4 dm 3,6 dm
M
Q
PQ
N2,4
aa P
42 (6 6
2,42
3,2 dm 15,4 dm2 3,2 16,8 dm
SM Q
3,6) 3,2 2 4 3,6
P
Unidad 14. Mediciones: Longitudes y reas
14
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDADPg. 10
24P
Q
R
S
PQ = QR = RS = SP = 6,5 cm PR = 12 cm d 2 S 6,52 5 12 2 62 2,5 cm d 6,5 4 5 cm 26 cm
Q d P S
R
30 cm2; P
25
B
A 60 AB 10 m
A
a5 aB
52 8,7 m 10 8,7 43,5 m2 ATRINGULO 2 102 60 ASECTOR 52,3 m2 360 A ASECTOR ATRINGULO 8,8 m2
102
A
P = 10 + 2 10 60 = 20,5 m 360
26
B
D
AB AC BC 8 cm 1 BD DE BE 2C
A
E
BE BD DC S P
82 42 6,9 6,9 3,45 DE 2 3,452 42 5,3 8 6,9 8 3,45 27,6 2 2 2 8 2 5,3 26,6 cm
13,8
13,8 cm2
Unidad 14. Mediciones: Longitudes y reas
14
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDADPg. 11
Problemas
27
Un hexgono regular est inscrito en una circunferencia de 6 cm de radio. Halla el rea del recinto comprendido entre ambas figuras.
El lado del hexgono regular es igual al radio de su circunferencia circunscrita.
a6 cm a 3
62
32
5,2 cm
62 113,04 cm2 36 5,2 SHEXGONO 93,6 cm2 2 S SCRCULO SHEXGONO 19,44 cm2 SCRCULO
28
Para cubrir un patio rectangular, se han usado 175 baldosas de 20 dm2 cada una. Cuntas baldosas cuadradas de 50 cm de lado sern necesarias para cubrir el patio, idntico, de la casa vecina? El rea del patio es 175 20 3 500 dm2 2 500 cm2 25 dm2 140 baldosas. El rea de la baldosa cuadrada es 50 50 Por tanto, se necesitarn 3 500 : 25
29
El rea de un rombo es 24 cm2. Una de sus diagonales mide 8 cm. Halla su permetro. 8 d 48 d 6 cm 24 l d 2 8 l 42 32 5 cm 20 cm.8 cm
Por tanto, el permetro es 4 5
30
Sabiendo que el lado del cuadrado mide 30 cm, calcula el radio del crculo inscrito y el radio del crculo circunscrito. Calcula el rea de la zona coloreada.
R r
El radio de la circunferencia inscrita es la mitad del lado del cuadrado, es decir, r 15 cm.
Unidad 14. Mediciones: Longitudes y reas
14
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDADPg. 12
15 15 R
El radio de la circunferencia circunscrita es: R 152 152 21,2 cm 152 704,7 cm2
El rea pedida es: A
AC. CIRCUNSCRITA
AC. INSCRITA
21,22
31
Un cuadrado de 1 m de lado se divide en cuadraditos de 1 mm de lado. Qu longitud se obtendra si colocramos en fila todos esos cuadraditos? 1 mm 0,001 m. As, en el cuadrado de 1 m de lado hay: 1 m2 : 1 mm2 1 m2 : (0,001)2 m2 1 000 000 de cuadraditos de 1 mm de lado Colocados en fila alcanzan una longitud de: 1 000 000 1 mm 1 000 000 mm 1 000 m 1 km
32
Es regular este octgono? Calcula su rea y su permetro.
1 cm
1 cm
No es regular, porque los lados oblicuos son distintos a los otros cuatro. Miden: l 12 12 2 1 1 cm2. 2 4 1 2 7 cm21 l 1
El rea de cada tringulo es
1 cm
As, el rea del polgono es: 5 Su permetro es: 4 4 2
1 cm
9,66 cm
33
Una habitacin cuadrada tiene una superficie de 25 m2. Hemos de embaldosarla con losetas cuadradas de 20 cm de lado (se llaman losetas de 20 20). Cuntas losetas se necesitan? La superficie de una loseta de 20 20 es: 20 20 400 cm2 0,04 m2
Por tanto, necesitaremos 25 : 0,004
625 losetas.
Unidad 14. Mediciones: Longitudes y reas
14
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDADPg. 13
34
Calcula la superficie de la zona coloreada. El rea pedida es: S 52
4
2
3
2
5 (5 2
4
3)
5 cm
4 cm
3 cm
20 cm
2
35
El rea del cuadriltero azul es la mitad que la del rectngulo grande, pues el rea de cada tringulo azul es la mitad que la del rectangulito que lo contiene.
36cubo.6 cm
Calcula las dimensiones y la superficie de las siguientes secciones de un6 cm l
3 cm
l S
32
32
4,24 cm 25,44 cm2 6,7 cm
3 cm 6 cm
Por tanto, es un rectngulo de 4,24 6, cuya rea es: 4,24 6 32 62
6 cm l'
l' 6,7 6
6c
3 cm
m
Por tanto, es un rectngulo de 6,7 6, cuya rea es: 40,2 cm2
37
Los lados de un tringulo miden: a 6 cm, b 7 cm y c 8 cm. La altura correspondiente al lado a mide ha 6,8 cm. Calcula la longitud de las otras dos alturas. Haz el dibujo con precisin, toma medidas y comprueba la solucin obtenida.
a = 6 cm hb hc c = 8 cm6,8 cm
b = 7 cm
Unidad 14. Mediciones: Longitudes y reas
15 m
La figura azul no es un rombo, pero tiene las diagonales perpendiculares. Justifica que tambin puedes calcuD d . lar su rea mediante la frmula: 2
8m
14
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDADPg. 14
El rea del tringulo es Por tanto:
6 6,8 2
20,4 cm2
20,4 20,4
7 hb hb 2 8 hc hc 2
40,8 7 40,8 8
5,8 cm 5,1 cm
38
Halla la superficie de cada una de las piezas de este tangram. Despus, smalas y comprueba que equivalen al rea del cuadrado que forman todas juntas:
S
12 6 2
12 cm 12 cm
36 cm2
S
6 3
18 cm2
S
6 6 2
18 cm2
Unidad 14. Mediciones: Longitudes y reas
14
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDADPg. 15
S
6 3 2
9 cm2
S
6 6 2
18 cm2
S
12 6 2
36 cm2
S
6 3 2
9 cm2
S
S
S 12 12
S
S
S
S
36 18 18 9 18 36 9 144 cm2
STOTAL
144 cm2
PGINA 273PROBLEMAS DE ESTRATEGIA Las reas o permetros que se piden a continuacin son, todos ellos, mucho ms sencillos de lo que parecen. Se encuentran con algo de imaginacin y muy pocos clculos.
39 Todos los arcos con los que se ha trazado esta figura son iguales, pertenecen a circunferencias de radio 6 m. Calcula su rea.
18 m
12 m
Por tanto, S
12 18
216 m2
Unidad 14. Mediciones: Longitudes y reas
14
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDADPg. 16
40 Halla el rea de este dibujo de un jarro.Todos los arcos estn hechos con un radio, r 8 cm.
16 cm
16 cm
Observando la igualdad de las superficies marcadas con S 162 256 cm2
,
,
:
41 Halla el rea y el permetro de toda la figura.
4c
60
m
Con esta figura podemos formar la siguiente:
4 cm 60
As, queda claro que el rea es: 42 50,24 cm2
Los seis arcos completan una circunferencia. Por tanto, el permetro de la figura es: 2 4 2 4 33,2 cm
Unidad 14. Mediciones: Longitudes y reas
14
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDADPg. 17
42 Halla la superficie de cada loseta de este embaldosado.50 cm
40 cm
El rea del rectngulo rojo es 40 5050 cm
2 000 cm2
Dentro del rectngulo hay ocho losetas. Por tanto, el rea de cada una de ellas es: 2 000 250 cm2 8
43 La base de este rectngulo mide 20 cm ms que laaltura. Su permetro es de 100 cm. Calcula el rea del cuadriltero coloreado. El rea de cada uno de los dos tringulos blancos es la cuarta parte del rea del tringulo. Por tanto, el rea del cuadriltero coloreado es la mitad de la del rectngulo.b = 20 + a
40 cm
a
a
b = 20 + a
40
4a
100 a
15 cm b
35 cm
Unidad 14. Mediciones: Longitudes y reas
14
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDADPg. 18
rea del rectngulo
15 35
525 cm2 262,5 cm2
rea del cuadriltero coloreado
525 2
44 Cul de los tres tringulos tiene mayor rea (azul, naranja o verde)? Justificala respuesta.
Todos tienen la misma base y la misma altura. Por tanto, tienen igual rea.
45C
C
C
A y B son puntos fijos. El punto C puede estar situado en cualquier lugar de la circunferencia. Dnde lo pondrs si quieres que el rea del tringulo ABC sea la mayor posible?
A
B
C C C C
La altura tiene que ser la mayor posible. Por tanto, el vrtice hay que situarlo en el punto de la circunferencia ms lejano a la cuerda. Est situado en la mediatriz del segmento AB.
A
B
46 El permetro del cuadrado rojo interior es de 32 cm. Cules el permetro del cuadrado negro exterior?l5 l3l2
l4
l1
l5 es cuatro veces l1. Por tanto el permetro del cuadrado exterior es cuatro veces el del cuadrado interior, es decir, 128 cm.
Unidad 14. Mediciones: Longitudes y reas
14
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDADPg. 19
47 Halla el rea de la parte coloreada sabiendo que el dimetro de la circunferencia grande es de 6 cm.
SZONA SOMBREADA
32
7 12
(9
7)
6,28 cm2
Unidad 14. Mediciones: Longitudes y reas