Autovalores y Autovectores Ejercicio Resueltos

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4. Autovaloresyautovectores4.1 EjerciciosresueltosEjercicio4.1Realizarladescomposici ondeSchurdelamatrizA =___1 0 10 1 11 0 1___Soluci on:ElpolinomiocaractersticodelamatrizAesp() = det(I A) = 1 0 10 1 11 0 + 1= 32= 2( 1)porloquelosautovaloresdeAson1simpley0doble.Para = 1elautovectorasociadovienedadoporlasoluci ondelsistema(A I)v= 0___0 0 10 0 11 0 2___v=___000___=v=___010___ParaampliarhastaunabaseortonormaldeR3podemosutilizarlosvectoresdelabasecanonicaparaobtenerlamatrizdepasoP=___0 1 01 0 00 0 1___,porloqueP1AP= PTAP=___1 0 10 1 10 1 1___5354AlgebraNumericaLasubmatriz_1 11 1_tienecomoautovaloresel 0dobleyunautovec-tor asociadoael es el vector (1 1)Tquepuedeser ampliadohastaunabase ortogonal de R2con el vector (1 1)Tpor lo que una base ortonor-mal deR2es leconstituidapor ambos vectores normalizados y, por tantoQ =___1 0 0012120 1212___obteniendosequeQTPTAPQ = UTAU=___1 22220 0 20 0 0___queesunaformadeSchurdelamatrizAconU= PQ =___012121 0 00 1212___Ejercicio4.2ComprobarquelamatrizU=_0.6 0.80.8 0.6_esunitaria(or-togonal) yobtener, basandoseenella, unamatriznormal Aquetengaporautovalores 2 y 3i. Calcular la conmutatriz de A y comprobar que sus compo-nenteshermticasconmutan.Soluci on:UU= UTU=_0.6 0.80.8 0.6__0.6 0.80.8 0.6_=_1 00 1_= IPortanto,lamatrizesunitaria.Si Adebe ser normal yha de tener los autovalores 2 y3i, tiene que serdiagonalizableunitariamentey, lamatrizdiagonal tendraalos autovaloresensudiagonal.UAU= D =_2 00 3i_= A = UDU4.1. EJERCICIOSRESUELTOS 55Podemosutilizarcualquiermatrizunitaria,porejemplo,ladelenunciadodelejercicio.A =_0.6 0.80.8 0.6__2 00 3i__0.6 0.80.8 0.6_=_0.72 + 1.92i 0.96 + 1.44i0.96 + 1.44i 1.28 + 1.08i_.Hallemos,por ultimo,laconmutatrizdelamatrizA.C(A) = AAAA = 2i(H2H1H1H2)H1=12(A+A) =_0.72 0.960.96 1.28_H2=12i(AA) =_1.92 1.441.44 1.08_H1H2=_0 00 0_= H2H1=_0 00 0_= = H1H2= H2H1Portanto,C(A) = .Ejercicio4.3Probar, basandose en el teorema de Gerschgorin, que la matriz:A =_____9 1 2 10 8 1 11 0 7 01 0 0 1_____tiene,almenos,dosautovaloresreales.Soluci on:LoscrculosdeGerschgorinporlasson:a11= 9 r1= 1 + 2 + 1 = 4a22= 8 r2= 1 + 1 = 2a33= 7 r3= 1a44= 1 r4= 11 7 9

&%'$ElcrculoC4(1, 1)esdisjuntoconlosdemas:56AlgebraNumerica|a44a11| = 8 > r4 + r1|a44a22| = 7 > r4 + r2|a44a33| = 6 > r4 + r3Portanto, enel hayunautovalor1ylosotrostresseencuentranenC1 C2 C3.El autovalor 1 debe ser real ya que, si fuese complejo, su conjugado 1 tambienseraautovalordelamatriz1ydeberaperteneceraC4cosaquenosucede,puesenC4s oloexisteunautovalor.En conclusion: la matriz tiene, al menos, un autovalor real 1con 0 1 2.LostresautovaloresrestantesnopuedensercomplejosyaqueP()esunaecuaci onpolin omicadegradocuatroconcoecientesreales, porloquedebeexistir, al menos, otrarazreal deP() y, por tanto, lamatrizAtiene, almenos,dosautovaloresreales.Ejercicio4.4DadalamatrizA =_2 + 3i 1 + 2i1 + 2i 2 + 3i_sepide:a) Comprobarqueesnormalsincalcularlamatrizconmutatriz.b) Calcularsusautovaloresapartirdelosdesuscomponenteshermticas.c) Comprobarqueestosautovaloresest aneneldominiodeGerschgorin.Soluci on:a) H1=12(A + A) =_2 11 2_H2=12i(A A) =_3 22 3_H1H2=_8 77 8_H2H1=_8 77 8_=H1H2=H2H1=Aesnormal.b) Calculemos,enprimerlugarlosautovaloresyautovectoresdesuscom-ponenteshermticasH1yH2.1En una matriz real,P() tiene coecientes reales y, por tanto, sus races o son reales oson complejas conjugadas.4.1. EJERCICIOSRESUELTOS 57ComponenteH1P() = 2 11 2= 24 + 3 = ( 1)( 3) =11= 1 y 12= 3Losautovectoresvienedadosporlassolucionesdelossistemas:Para11= 1 =(I H1)x = 0_1 11 1__x1x2_=_00_ x1 +x2= 0 u11=_11_Para12= 3 =(3I H1)x = 0_1 11 1__x1x2_=_00_ x1x2= 0 u12=_11_ComponenteH2LosautovectoressonlosmismosquelosdeH1.Susautovaloresvienendadospor21=uT11H2u11uT11u11= 1 22=uT12H2u12uT12u12= 5LamatrizAtiene, por tanto, los autovectores v1=(1, 1)Tyv2=(1, 1)Tasociados,respectivamente,alosautovalores1= 1 + i y 2=3 + 5i.c) DominiodeGerschgorin.a11= 2 + 3i r1= |1 + 2i| =5a22= 2 + 3i r1= |1 + 2i| =5___= C1 C2 C(2 + 3i,5).d(1, 2 + 3i) = |(1 + i) (2 + 3i)| =5d(2, 2 + 3i) = |(3 + 5i) (2 + 3i)| =5___=Ambosseencuentranenlafronteradeldominio.Ejercicio4.5DadalamatrizA =___6 2 52 2 35 3 6___sepide:58AlgebraNumericaa) Utilizar el metododelapotenciasimpleparaaproximar suautovalordominantepartiendodelvectorz0=_1 1 1_Tb) Hacer uso del metodo de la potencia inversa para, partiendo de z0, apro-ximarelautovalorminimantedelamatrizA.c) Sabiendoqueunaaproximaciondel tercerautovalordelamatrizAes1.5, aproximarlohaciendousodel metodode lapotenciainversacondesplazamiento.Soluci on:a) Escalandolos vectores znpor sucoordenadademayor valor absoluto(renombradoscomown)yhaciendozn+1= Awnobtenemos:z1 =___13.00007.000014.0000___ z2 =___11.57145.857112.1429___ z3 =___11.68245.870612.2118___ z4 =___11.70135.874812.2254___z5 =___11.70395.875312.2273___ z6 =___11.70425.875412.2275___ z7 =___11.70425.875412.2275___porloque1 zT7 Az7zT7 z7 12.22753579693696b) Escalandolosvectoreszn(renombradoscomown)yresolviendolossis-temasAzn+1= wn:z1 =___0.50001.50001.0000___ z2 =___1.66674.33333.6667___ z3 =___1.88464.73084.0769___ z4 =___1.91064.77244.1220___z5 =___1.91404.77774.1278___ z6 =___1.91444.77844.1285___ z7 =___1.91454.77854.1286___ z8 =___1.91454.77854.1287___z9 =___1.91454.77854.1287___porloque3 zT9 Az9zT9 z9 0.209270633258374.1. EJERCICIOSRESUELTOS 59c) Escalandolosvectoreszn(renombradoscomown)yresolviendolossis-temas(A 1.5 I)zn+1= wn:z1=___3.14292.57142.0000___ z2=___15.870113.84428.5455___ z3=___15.849913.74668.5663___ z4=___15.823313.72728.5501___z5=___15.824413.72808.5508___ z6=___15.824413.72798.5508___ z7=___15.824413.72798.5508___porloque2 zT7 Az7zT7 z7 1.56319356980456Ejercicio4.6DadalamatrizA =_1 + i 2 + i2 i 1 + i_sepide:a) Comprobar quees normal yquev1=_i1_es unautovector desuprimeracomponentehermticaH1asociadoalautovalor1= 0.b) Calcularel otroautovalor(yunautovectorasociado)delamatrizH1aplicandoelmetododelapotenciasimple.c) Considereselamatrizreal ysimetricaS=_x yy x_. Probarquelatransformaci on de Jacobi QtSQ con Q =_cos sen sen cos _y = /4nosanulaloselementosextradiagonales.d) TransformarelproblemadelcalculodelosautovaloresdelamatrizH2(segunda componente hermtica de la matriz A) al del c alculo de los au-tovalores de una matriz Csimetrica real y comprobar que son sucientesdostransformacionesdeJacobi Q1yQ2, del tipodelasdel apartadoanterior, paradiagonalizardichamatrizCyobtenerlosautovaloresdeH2.e) Obtener,apartirdelascolumnasdelamatrizQ=Q1Q2,losautovec-toresdelamatrizH2. Cu alessonlosautovaloresdelamatrizA?60AlgebraNumericaSoluci on:a)AA =_1 i 2 + i2 i 1 i__1 + i 2 + i2 i 1 + i_=_7 6i6i 7_AA=_1 + i 2 + i2 i 1 + i__1 i 2 + i2 i 1 i_=_7 6i6i 7____=AA = AA,porloquelamatrizesnormal.H1=A +A

2=_1 ii 1_y H2=A A

2i=_1 2i2i 1_H1_ i1_=_1 ii 1__ i1_=_00_= 0 _ i1_loquepruebaque1= 0esunaautovalordeH1asociadoalautovectorv1=_ i1_.b) Partiendo,porejemplo,dez0=_11_obtenemosw0= z0z1= H1w0=_1 + i1 i_= w1=z11 i=_i1_z2= H1w1=_2i2_= w2=z22=_i1_.Hemosobtenidoquew2=w1,porloquev2=_i1_esunautovectordeH1asociadoalautovalor2=v2H1v2v2 v2= 2c) QTSQ=__ y(cos2 sen2)y(cos2 sen2) __por loque, para = /4,seanulanloselementosextradiagonales.4.1. EJERCICIOSRESUELTOS 61d) HacemosM=real(H2)=_1 00 1_yN=imag(H2)=_0 22 0_paraconstruirlamatrizsimetricayrealC=_M NN M_=_____1 0 0 20 1 2 00 2 1 02 0 0 1_____LastransformacionesquedebemosrealizarsonQ1=_____2/20 02/20 1 0 00 0 1 02/20 02/2_____y Q2=_____1 0 0 002/22/200 2/22/200 0 0 1_____Esdecir, latransformaci onQ=Q1Q2=_____2/20 02/202/22/200 2/22/202/20 02/2_____yobtenemosQTCQ =_____3 0 0 00 1 0 00 0 3 00 0 0 1_____porloquelosautovaloresdeH2son-1y3.e) Las columnas de Q son los autovectores de Casociados, respectivamente,a los autovalores 3, 1, 3 y -1, por lo que los autovectores de Casociadosa 1son_____0110_____y_____1001_____,quenosdenenelautovector_ i1_delamatrizH2asociadoalautovalor-1.Demaneraan aloga,losautovectoresdeCasociadosa3son_____1001_____y62AlgebraNumerica_____0110_____, quenosdenenelautovector_i1_delamatrizH2asociadoalautovalor3.LosautovaloresdeAson,vistotodoloanterior, iy2 + 3i,asociados,respectivamente,alosautovectores_ i1_y_i1_.Ejercicio4.7Justicatodastusrespuestas.a) Seconsideraelprocesoiteradoxn+1= (xn) = xn1 +2exn.a.1) Se puede garantizar que, partiendo de cualquier n umero realx0 [0.5, 1],elprocesoconverger aaunpuntojo?a.2) Encasodeconverger,cualeselpuntojodelasucesi on?a.3) Utilizalaguraadjuntaparajusticar, geometricamente, lacon-vergenciadelprocesoparacualquiervalorinicialx0 [0.5, 1].a.4) Sielprocesoxn+1= (xn)vericaque |

(x)| < 0.1enelintervalo[0.5, 1] cual de los dos procesos anteriores tendr a una convergenciam asr apida?b) SeconsideralamatrizA =___01/21/31/401/51/6 0___b.1) Alavistadelos crculos deGerschgorin, converger ael procesoxn+1=Axnparacualquiervalorde [0,1/2] ycualquiervectorinicialx0?4.1. EJERCICIOSRESUELTOS 63b.2) Probarquesi [0,1/2],Anopuedetenerelautovalor1.b.3) Cualeselvectorx(puntojo)lmitedelasucesi on(xn)delpro-cesoanterior?b.4) Para =1/2,los autovalores de A son 0.6130 y 0.3065 0.0352 i.Sepuedecalcularelautovalorrealaplicandoelmetododelapo-tenciasimple?Si no se realiza ning un tipo de escalado de los vectores y trabajamosconunordenadorquecualquiern umeromenorque1010lohacecero(toleranciadel ordenador), queocurriraconel vectorxNsihacemosunexcesivon umeroNdeiteraciones?Ocurriralomismohaciendoesen umeroNdeiteraciones esca-landolosvectores?Por que es una buena estrategia escalar por la coordenada de ma-yormodulodelosvectoresqueseobtienen?Soluci on:a) a.1) Tenemos un metodo de la forma xn+1= (xn) con (x) = x1+2ex.

(x) = 1 2ex.Dadoque

(x) =2exessiemprepositiva, sabemosque

(x) escrecientepasandode

(0.5) = 0.2131a

(1) = 0.2642esdecir|

(x)| 0.2642 < 1porloquelafuncionescontractivayel metodoesconvergenteaunpuntojo.a.2) Aplicando lmites, y llamando limxn= x, se obtiene x = x1+2exdedonde2ex= 1 =ex= 2 =x = ln 2a.3) Bastaver el comportamientode laredque se formaal ir de lagr acaalarecta,delarectaalagracayassucesivamente.64AlgebraNumericaa.4) Teniendoencu