Autovalores y Autovectores Ejercicio Resueltos

32
4. Autovalores y autovectores 4.1 Ejercicios resueltos Ejercicio 4.1 Realizar la descomposici´ on de Schur de la matriz A = 1 0 1 0 1 1 -1 0 -1 Soluci´ on: El polinomio caracter´ ıstico de la matriz A es p(λ) = det(λI - A)= λ - 1 0 -1 0 λ - 1 -1 1 0 λ +1 = λ 3 - λ 2 = λ 2 (λ - 1) por lo que los autovalores de A son 1 simple y 0 doble. Para λ = 1 el autovector asociado viene dado por la soluci´ on del sistema (A - I )v =0 ⇐⇒ 0 0 1 0 0 1 -1 0 -2 v = 0 0 0 = v = 0 1 0 Para ampliar hasta una base ortonormal de R 3 podemos utilizar los vectores de la base can´onica para obtener la matriz de paso P = 0 1 0 1 0 0 0 0 1 , por lo que P -1 AP = P T AP = 1 0 1 0 1 1 0 -1 -1 53

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4. Autovalores y autovectores

4.1 Ejercicios resueltos

Ejercicio 4.1 Realizar la descomposicion de Schur de la matriz

A =

1 0 1

0 1 1

−1 0 −1

Solucion: El polinomio caracterıstico de la matriz A es

p(λ) = det(λI − A) =

∣∣∣∣∣∣∣λ− 1 0 −1

0 λ− 1 −1

1 0 λ+ 1

∣∣∣∣∣∣∣ = λ3 − λ2 = λ2(λ− 1)

por lo que los autovalores de A son 1 simple y 0 doble.

Para λ = 1 el autovector asociado viene dado por la solucion del sistema

(A− I)v = 0 ⇐⇒

0 0 1

0 0 1

−1 0 −2

v =

0

0

0

=⇒ v =

0

1

0

Para ampliar hasta una base ortonormal de R3 podemos utilizar los vectores

de la base canonica para obtener la matriz de paso P =

0 1 0

1 0 0

0 0 1

, por lo

que

P−1AP = P TAP =

1 0 1

0 1 1

0 −1 −1

53

Page 2: Autovalores y Autovectores Ejercicio Resueltos

54 Algebra Numerica

La submatriz

(1 1

−1 −1

)tiene como autovalores el 0 doble y un autovec-

tor asociado a el es el vector (1 − 1)T que puede ser ampliado hasta una

base ortogonal de R2 con el vector (1 1)T por lo que una base ortonor-

mal de R2 es le constituida por ambos vectores normalizados y, por tanto

Q =

1 0 0

0 1√2

1√2

0 − 1√2

1√2

obteniendose que

QTP TAPQ = UTAU =

1 −√

22

√2

2

0 0 2

0 0 0

que es una forma de Schur de la matriz A con

U = PQ =

0 1√2

1√2

1 0 0

0 − 1√2

1√2

Ejercicio 4.2 Comprobar que la matriz U =

(0.6 0.8

−0.8 0.6

)es unitaria (or-

togonal) y obtener, basandose en ella, una matriz normal A que tenga por

autovalores 2 y 3i. Calcular la conmutatriz de A y comprobar que sus compo-

nentes hermıticas conmutan.

Solucion:

U∗U = UTU =

(0.6 −0.8

0.8 0.6

)(0.6 0.8

−0.8 0.6

)=

(1 0

0 1

)= I

Por tanto, la matriz es unitaria.

Si A debe ser normal y ha de tener los autovalores 2 y 3i, tiene que ser

diagonalizable unitariamente y, la matriz diagonal tendra a los autovalores

en su diagonal.

U∗AU = D =

(2 0

0 3i

)=⇒ A = UDU∗

Page 3: Autovalores y Autovectores Ejercicio Resueltos

4.1. EJERCICIOS RESUELTOS 55

Podemos utilizar cualquier matriz unitaria, por ejemplo, la del enunciado del

ejercicio.

A =

(0.6 −0.8

0.8 0.6

)(2 0

0 3i

)(0.6 0.8

−0.8 0.6

)

=

(0.72 + 1.92i −0.96 + 1.44i

−0.96 + 1.44i 1.28 + 1.08i

).

Hallemos, por ultimo, la conmutatriz de la matriz A.

C(A) = AA∗ − A∗A = 2i(H2H1 −H1H2)

H1 =1

2(A+A∗) =

(0.72 −0.96

−0.96 1.28

)H2 =

1

2i(A−A∗) =

(1.92 1.44

1.44 1.08

)

H1H2 =

(0 0

0 0

)= Θ H2H1 =

(0 0

0 0

)= Θ =⇒ H1H2 = H2H1

Por tanto, C(A) = Θ.

Ejercicio 4.3 Probar, basandose en el teorema de Gerschgorin, que la matriz:

A =

9 1 −2 1

0 8 1 1

−1 0 7 0

1 0 0 1

tiene, al menos, dos autovalores reales.

Solucion:

Los cırculos de Gerschgorin por filas son:

a11 = 9 r1 = 1 + 2 + 1 = 4

a22 = 8 r2 = 1 + 1 = 2

a33 = 7 r3 = 1

a44 = 1 r4 = 1

1 7 9���� ����&%'$

El cırculo C4(1, 1) es disjunto con los demas:

Page 4: Autovalores y Autovectores Ejercicio Resueltos

56 Algebra Numerica

|a44 − a11| = 8 > r4 + r1

|a44 − a22| = 7 > r4 + r2

|a44 − a33| = 6 > r4 + r3

Por tanto, en el hay un autovalor λ1 y los otros tres se encuentran en C1 ∪C2 ∪ C3.

El autovalor λ1 debe ser real ya que, si fuese complejo, su conjugado λ1 tambien

serıa autovalor de la matriz1 y deberıa pertenecer a C4 cosa que no sucede,

pues en C4 solo existe un autovalor.

En conclusion: la matriz tiene, al menos, un autovalor real λ1 con 0 ≤ λ1 ≤ 2.

Los tres autovalores restantes no pueden ser complejos ya que P (λ) es una

ecuacion polinomica de grado cuatro con coeficientes reales, por lo que debe

existir, al menos, otra raız real de P (λ) y, por tanto, la matriz A tiene, al

menos, dos autovalores reales.

Ejercicio 4.4 Dada la matriz A =

(2 + 3i 1 + 2i

1 + 2i 2 + 3i

)se pide:

a) Comprobar que es normal sin calcular la matriz conmutatriz.

b) Calcular sus autovalores a partir de los de sus componentes hermıticas.

c) Comprobar que estos autovalores estan en el dominio de Gerschgorin.

Solucion:

a) H1 =1

2(A+ A∗) =

(2 1

1 2

)H2 =

1

2i(A− A∗) =

(3 2

2 3

)

H1H2 =

(8 7

7 8

)H2H1 =

(8 7

7 8

)=⇒ H1H2 = H2H1 =⇒

A es normal.

b) Calculemos, en primer lugar los autovalores y autovectores de sus com-

ponentes hermıticas H1 y H2.

1En una matriz real, P (λ) tiene coeficientes reales y, por tanto, sus raıces o son reales oson complejas conjugadas.

Page 5: Autovalores y Autovectores Ejercicio Resueltos

4.1. EJERCICIOS RESUELTOS 57

• Componente H1

P (λ) =

∣∣∣∣∣ λ− 2 −1

−1 λ− 2

∣∣∣∣∣ = λ2 − 4λ+ 3 = (λ− 1)(λ− 3) =⇒

λ11 = 1 y λ12 = 3

Los autovectores viene dados por las soluciones de los sistemas:

– Para λ11 = 1 =⇒ (I −H1)x = 0(−1 −1

−1 −1

)(x1

x2

)=

(0

0

)⇒ x1 + x2 = 0⇒ u11 =

(1

−1

)– Para λ12 = 3 =⇒ (3I −H1)x = 0(

1 −1

−1 1

)(x1

x2

)=

(0

0

)⇒ x1 − x2 = 0⇒ u12 =

(1

1

)• Componente H2

Los autovectores son los mismos que los de H1.

Sus autovalores vienen dados por

λ21 =uT

11H2u11

uT11u11

= 1 λ22 =uT

12H2u12

uT12u12

= 5

La matriz A tiene, por tanto, los autovectores v1 = (1,−1)T y v2 =

(1, 1)T asociados, respectivamente, a los autovalores λ1 = 1 + i y λ2 =

3 + 5i.

c) Dominio de Gerschgorin.

a11 = 2 + 3i r1 = |1 + 2i| =√

5

a22 = 2 + 3i r1 = |1 + 2i| =√

5

=⇒ C1 ∪ C2 ≡ C(2 + 3i,√

5).

d(λ1, 2 + 3i) = |(1 + i)− (2 + 3i)| =√

5

d(λ2, 2 + 3i) = |(3 + 5i)− (2 + 3i)| =√

5

=⇒

Ambos se encuentran en la frontera del dominio.

Ejercicio 4.5 Dada la matriz A =

6 2 5

2 2 3

5 3 6

se pide:

Page 6: Autovalores y Autovectores Ejercicio Resueltos

58 Algebra Numerica

a) Utilizar el metodo de la potencia simple para aproximar su autovalor

dominante partiendo del vector z0 =(

1 1 1)T

b) Hacer uso del metodo de la potencia inversa para, partiendo de z0, apro-

ximar el autovalor minimante de la matriz A.

c) Sabiendo que una aproximacion del tercer autovalor de la matriz A es

1.5, aproximarlo haciendo uso del metodo de la potencia inversa con

desplazamiento.

Solucion:

a) Escalando los vectores zn por su coordenada de mayor valor absoluto

(renombrados como wn) y haciendo zn+1 = Awn obtenemos:

z1 =

13.00007.0000

14.0000

z2 =

11.57145.8571

12.1429

z3 =

11.68245.8706

12.2118

z4 =

11.70135.8748

12.2254

z5 =

11.70395.8753

12.2273

z6 =

11.70425.8754

12.2275

z7 =

11.70425.8754

12.2275

por lo que

λ1 'zT7 Az7

zT7 z7

' 12.22753579693696

b) Escalando los vectores zn (renombrados como wn) y resolviendo los sis-temas Azn+1 = wn:

z1 =

0.50001.5000−1.0000

z2 =

1.66674.3333−3.6667

z3 =

1.88464.7308−4.0769

z4 =

1.91064.7724−4.1220

z5 =

1.91404.7777−4.1278

z6 =

1.91444.7784−4.1285

z7 =

1.91454.7785−4.1286

z8 =

1.91454.7785−4.1287

z9 =

1.91454.7785−4.1287

por lo que

λ3 'zT9 Az9

zT9 z9

' 0.20927063325837

Page 7: Autovalores y Autovectores Ejercicio Resueltos

4.1. EJERCICIOS RESUELTOS 59

c) Escalando los vectores zn (renombrados como wn) y resolviendo los sis-

temas (A− 1.5 I)zn+1 = wn:

z1 =

−3.14292.57142.0000

z2 =

−15.870113.84428.5455

z3 =

−15.849913.74668.5663

z4 =

−15.823313.72728.5501

z5 =

−15.824413.72808.5508

z6 =

−15.824413.72798.5508

z7 =

−15.824413.72798.5508

por lo que

λ2 'zT7 Az7

zT7 z7

' 1.56319356980456

Ejercicio 4.6 Dada la matriz A =

(1 + i −2 + i

2− i 1 + i

)se pide:

a) Comprobar que es normal y que v1 =

(−i

1

)es un autovector de su

primera componente hermıtica H1 asociado al autovalor λ1 = 0.

b) Calcular el otro autovalor (y un autovector asociado) de la matriz H1

aplicando el metodo de la potencia simple.

c) Considerese la matriz real y simetrica S =

(x y

y x

). Probar que la

transformacion de Jacobi QtSQ con Q =

(cosα senα

− senα cosα

)y α = π/4

nos anula los elementos extradiagonales.

d) Transformar el problema del calculo de los autovalores de la matriz H2

(segunda componente hermıtica de la matriz A) al del calculo de los au-

tovalores de una matriz C simetrica real y comprobar que son suficientes

dos transformaciones de Jacobi Q1 y Q2, del tipo de las del apartado

anterior, para diagonalizar dicha matriz C y obtener los autovalores de

H2.

e) Obtener, a partir de las columnas de la matriz Q = Q1Q2, los autovec-

tores de la matriz H2. ¿Cuales son los autovalores de la matriz A?

Page 8: Autovalores y Autovectores Ejercicio Resueltos

60 Algebra Numerica

Solucion:

a)A∗A =

(1− i 2 + i

−2− i 1− i

)(1 + i −2 + i

2− i 1 + i

)=

(7 6i

−6i 7

)

AA∗ =

(1 + i −2 + i

2− i 1 + i

)(1− i 2 + i

−2− i 1− i

)=

(7 6i

−6i 7

) =⇒

A∗A = AA∗, por lo que la matriz es normal.

H1 =A+ A′

2=

(1 i

−i 1

)y H2 =

A− A′

2i=

(1 2i

−2i 1

)

H1

(−i

1

)=

(1 i

−i 1

)(−i

1

)=

(0

0

)= 0 ·

(−i

1

)lo que prueba que λ1 = 0 es una autovalor de H1 asociado al autovector

v1 =

(−i

1

).

b) Partiendo, por ejemplo, de z0 =

(1

1

)obtenemos w0 = z0

z1 = H1w0 =

(1 + i

1− i

)=⇒ w1 =

z1

1− i=

(i

1

)

z2 = H1w1 =

(2i

2

)=⇒ w2 =

z2

2=

(i

1

).

Hemos obtenido que w2 = w1, por lo que v2 =

(i

1

)es un autovector

de H1 asociado al autovalor

λ2 =v∗2H1v2

v2 ∗ v2

= 2

c) QTSQ =

∗ y(cos2 α− sen2 α)

y(cos2 α− sen2 α) ∗

por lo que, para

α = π/4, se anulan los elementos extradiagonales.

Page 9: Autovalores y Autovectores Ejercicio Resueltos

4.1. EJERCICIOS RESUELTOS 61

d) Hacemos M = real(H2) =

(1 0

0 1

)y N = imag(H2) =

(0 2

−2 0

)para construir la matriz simetrica y real

C =

(M −NN M

)=

1 0 0 −2

0 1 2 0

0 2 1 0

−2 0 0 1

Las transformaciones que debemos realizar son

Q1 =

2/2 0 0√

2/2

0 1 0 0

0 0 1 0

−√2/2 0 0

√2/2

y Q2 =

1 0 0 0

0√

2/2√

2/2 0

0 −√2/2

√2/2 0

0 0 0 1

Es decir, la transformacion Q = Q1Q2 =

2/2 0 0√

2/2

0√

2/2√

2/2 0

0 −√2/2

√2/2 0

−√2/2 0 0

√2/2

y obtenemos QTCQ =

3 0 0 0

0 −1 0 0

0 0 3 0

0 0 0 −1

por lo que los autovalores

de H2 son -1 y 3.

e) Las columnas de Q son los autovectores de C asociados, respectivamente,

a los autovalores 3,−1, 3 y -1, por lo que los autovectores de C asociados

a −1 son

0

1

−1

0

y

1

0

0

1

, que nos definen el autovector

(−i

1

)de

la matriz H2 asociado al autovalor -1.

De manera analoga, los autovectores de C asociados a 3 son

1

0

0

−1

y

Page 10: Autovalores y Autovectores Ejercicio Resueltos

62 Algebra Numerica

0

1

1

0

, que nos definen el autovector

(i

1

)de la matriz H2 asociado

al autovalor 3.

Los autovalores de A son, visto todo lo anterior, −i y 2 + 3i, asociados,

respectivamente, a los autovectores

(−i

1

)y

(i

1

).

Ejercicio 4.7 Justifica todas tus respuestas.

a) Se considera el proceso iterado xn+1 = ϕ(xn) = xn − 1 +2

exn.

a.1) ¿Se puede garantizar que, partiendo de cualquier numero real

x0 ∈ [0.5, 1], el proceso convergera a un punto fijo?

a.2) En caso de converger, ¿cual es el punto fijo de la sucesion?

a.3) Utiliza la figura adjunta para justificar, geometricamente, la con-

vergencia del proceso para cualquier valor inicial x0 ∈ [0.5, 1].

a.4) Si el proceso xn+1 = φ(xn) verifica que |φ′(x)| < 0.1 en el intervalo

[0.5, 1] ¿cual de los dos procesos anteriores tendra una convergencia

mas rapida?

b) Se considera la matriz A =

0 1/2 1/31/4 0 1/51/6 α 0

b.1) A la vista de los cırculos de Gerschgorin, ¿convergera el proceso

xn+1 = Axn para cualquier valor de α ∈ [0, 1/2] y cualquier vector

inicial x0?

Page 11: Autovalores y Autovectores Ejercicio Resueltos

4.1. EJERCICIOS RESUELTOS 63

b.2) Probar que si α ∈ [0, 1/2], A no puede tener el autovalor 1.

b.3) ¿Cual es el vector x (punto fijo) lımite de la sucesion (xn) del pro-

ceso anterior?

b.4) Para α = 1/2, los autovalores de A son 0.6130 y −0.3065± 0.0352 i.

¿Se puede calcular el autovalor real aplicando el metodo de la po-

tencia simple?

Si no se realiza ningun tipo de escalado de los vectores y trabajamos

con un ordenador que cualquier numero menor que 10−10 lo hace

cero (tolerancia del ordenador), ¿que ocurrirıa con el vector xN si

hacemos un excesivo numero N de iteraciones?

¿Ocurrirıa lo mismo haciendo ese numero N de iteraciones esca-

lando los vectores?

¿Por que es una buena estrategia escalar por la coordenada de ma-

yor modulo de los vectores que se obtienen?

Solucion:

a) a.1) Tenemos un metodo de la forma xn+1 = ϕ(xn) con ϕ(x) = x−1+2

ex.

ϕ′(x) = 1− 2

ex.

Dado que ϕ′′(x) =2

exes siempre positiva, sabemos que ϕ′(x) es

creciente pasando de ϕ′(0.5) = −0.2131 a ϕ′(1) = 0.2642 es decir

|ϕ′(x)| ≤ 0.2642 < 1

por lo que la funcion es contractiva y el metodo es convergente a

un punto fijo.

a.2) Aplicando lımites, y llamando limxn = x, se obtiene x = x−1+2

ex

de donde

2

ex= 1 =⇒ ex = 2 =⇒ x = ln 2

a.3) Basta ver el comportamiento de la red que se forma al ir de la

grafica a la recta, de la recta a la grafica y ası sucesivamente.

Page 12: Autovalores y Autovectores Ejercicio Resueltos

64 Algebra Numerica

a.4) Teniendo en cuenta que ϕ′(ln 2) = 0 es decir, que la tangente en

dicho punto es horizontal, el metodo tiene una convergencia de se-

gundo orden.

Si φ′(ln 2) 6= 0 el proceso xn+1 = φ(xn) tendra una convergencia

de primer orden y sera mas lento, y solo sera mas rapida su con-

vergencia si φ′(ln 2) = 0 y ademas es |φ′′(x)| < |ϕ′′(x)| en dicho

intervalo.

b) b.1) Para que el metodo sea convergente ha de ser el radio espectral de

la matriz A menor que 1.

Los cırculos de Gerschgorin de la matriz A vienen dados por

C1 : centro en el origen y radio1

2+

1

3=

5

6

C2 : centro en el origen y radio1

4+

1

5=

9

20

C2 : centro en el origen y radio α +1

6

Como el radio del tercer cırculo puede oscilar en el intervalo

[0 + 1/6, 1/2 + 1/6] = [1/6, 2/3]

los dos ultimos estan incluidos dentro del primero, por lo que el

modulo de cualquiera de sus autovalores es menor que 5/6 < 1, es

decir, el radio espectral de la matriz A es ρ(A) < 1 y, por tanto, el

metodo es convergente.

b.2) Dado que, a la vista de los cırculos de Gerschgorin, los autovalores

tienen modulos menores o iguales a 5/6 < 1, la matriz A no puede

tener el autovalor 1.

b.3) El metodo nos dice que si x es el vector al que converge, se verifica

que

x = Ax ⇐⇒ Ax = 1 · x

Page 13: Autovalores y Autovectores Ejercicio Resueltos

4.2. EJERCICIOS PROPUESTOS 65

por lo que si converge a un vector x 6= 0 resultarıa que dicho vector

serıa un autovector de la matriz A asociado al autovalor 1 y, dado

que 1 no es autovalor de la matriz, el metodo no puede converger

a ningun vector no nulo, por lo que lim xn = 0 es decir, el metodo

converge al vector nulo.

b.4) Al ser |0.6130| > | − 0.3065 ± 0.0352 i|, el autovalor real es domi-

nante y, por tanto, podemos aproximarlo mediante el metodo de la

potencia simple.

Al aplicar el metodo de la potencia simple (sin escalar los vectores),

es evidente que convergera al vector nulo, por lo que si hacemos

un numero excesivo de iteraciones podrıa el ordenador ir anulando

todas sus coordenadas, obtener en dicha iteracion el vector nulo y

no permitir el calculo del autovalor.

Si escalamos los vectores evitamos que converja al vector nulo, por

lo que lo hara a un vector que tiene la direccion del autovector

asociado al autovalor dominante y podremos calcular este ultimo.

Al escalar por la coordenada de mayor valor absoluto el proceso per-

mite calcular el autovalor y la sucesion de vectores que obtenemos

tendra siempre su mayor coordenada igual a 1.

4.2 Ejercicios propuestos

Ejercicio 4.8 Realizar la descomposicion de Schur de la matriz

A =

−6 9 3

−2 3 1

−4 6 2

.

Sol :

0 0 −7√

14√5

0 0 − 17√5

0 0 −1

con U =1√70

14 6 2√

5

0 5 −3√

5

2√

14 −3 −√

5

.

Ejercicio 4.9 Dada la matriz A =

a 1 1

1 a 1

1 1 a

donde a es un numero com-

plejo cualquiera, se pide:

Page 14: Autovalores y Autovectores Ejercicio Resueltos

66 Algebra Numerica

a) Obtener su polinomio caracterıstico.

Sol : P (λ) = λ3 − 3aλ2 + 3(a2 − 1)λ− (a3 − 3a+ 2).

b) Probar que tiene por autovalores: λ = a− 1 doble y λ = a+ 2 simple.

c) Calcular los autovectores y comprobar que no dependen de a.

Sol : v1 = (1, 0,−1)T , v2 = (0, 1,−1)T , v3 = (1, 1, 1)T .

Ejercicio 4.10 Dada la matriz A =

2− i 0 −2 + 4i

0 4− 5i 2− 4i

−2 + 4i 2− 4i 3− 3i

, se pide:

a) Probar que es normal.

b) Obtener su primera componente hermıtica H1 y calcular el polinomio

caracterıstico de dicha componente.

Sol : H1 =

2 0 −2

0 4 2

−2 2 3

, P (λ) = λ3 − 9λ2 + 18λ.

c) Calcular los autovalores y los autovectores de H1.

Sol :

λ1 = 0 v1 = (2,−1, 2)T

λ2 = 3 v2 = (2, 2,−1)T

λ3 = 6 v3 = (−1, 2, 2)T

.

d) Teniendo en cuenta que estos autovectores tambien lo son de la matriz

H2 (segunda componente hermıtica), calcular sus autovalores.

Sol : µ1 = 3, µ2 = −3, µ3 = −9.

e) Obtener, a partir de los resultados anteriores, los autovalores y autovec-

tores de A, ası como la matriz de paso unitaria U tal que U∗AU = D.

Sol :

λ1 = 3i v1 = (2,−1, 2)T

λ2 = 3− 3i v2 = (2, 2,−1)T

λ3 = 6− 9i v3 = (−1, 2, 2)T

U =

2/3 2/3 −1/3

−1/3 2/3 2/32/3 −1/3 2/3

.

Ejercicio 4.11 Dada la matriz A =

(2 1

1 0

)se pide:

Page 15: Autovalores y Autovectores Ejercicio Resueltos

4.2. EJERCICIOS PROPUESTOS 67

a) Calcular su polinomio caracterıstico por el metodo interpolatorio.

Sol : λ2 − 2λ− 1.

b) Tomar una aproximacion, con dos cifras decimales exactas, del mayor de

los autovalores y afinarla con el cociente de Rayleigh.

Sol : λ = 1 +√

2 ' 2.41 =⇒ λ ' 2.41421.

Ejercicio 4.12 Dada la matriz A =

1 2 3

2 2 3

3 3 3

a) Hallar sus autovalores mediante el algoritmo QR.

Sol : Se obtienen con MatLab 7.5165, −1.1776, −0.3389.

b) Hallar el autovalor de mayor valor absoluto, por el metodo de la potencia,

partiendo del vector (10, 11, 1)

Sol : 7.51653848519179, ‖E‖ ≤ 6.280369834735101 · 10−15.

Ejercicio 4.13 Sea λ = α + iβ, α, β ∈ R, autovalor de la matriz

A =

(2i −2

2 2i

).

a) Utilizar el teorema de Gerschgorin para probar que el unico autovalor

real de la matriz A solo puede ser λ = 0.

b) Probar que A∗ = −A y deducir, a partir de ello, que A es una matriz

normal. ¿Puede no ser diagonalizable una matriz compleja que verifique

esa relacion?

Sol : No. Siempre es diagonalizable.

c) Utilizar la descomposicion hermıtica de la matriz, A = H1 + iH2, para

deducir que la parte real de los autovalores de A tiene que ser α = 0.

Sol : Basta observar que H1 es la matriz nula.

d) Hallar el autovalor dominante de la componente hermıtica H2 aplicando

el metodo de la potencia. ¿Quien es el autovalor dominante de A?

Page 16: Autovalores y Autovectores Ejercicio Resueltos

68 Algebra Numerica

Sugerencia: Iniciar el metodo con el vector v1 = (1, 0)T .

Sol : 4i en ambos casos.

e) Si se perturba la matriz A en la matriz

A+ δA =

((2− 10−3) i −2

2 (2 + 10−2) i

),

hallar la norma euclıdea de la matriz δA. ¿Puedes encontrar una cota

del error E = |µ− λ|, transmitido al autovalor dominante?

Indicacion: |µ− λ| ≤ ‖P‖ ‖P−1‖ ‖δA‖, siendo P−1AP diagonal.

Sol : ‖δA‖ = 10−2, |λ− µ| ≤ 10−2.

Ejercicio 4.14

a) Probar que las raıces del polinomio P (λ) = a + bλ + cλ2 + λ3 son los

autovalores de la matriz A(p) =

0 1 0

0 0 1

−a −b −c

.

Sol : P (λ) es el polinomio caracterıstico de A(p).

b) Si el metodo de la potencia simple aplicado a la matriz A(p) converge a

un vector v, ¿que relacion tiene v con las raıces del polinomio P (λ)?

Sol : La raız de mayor modulo de P (λ) viene dada porvTA(p)v

vTv.

c) Si el algoritmo QR aplicado a la matriz A(p) converge a una matriz

triangular T , ¿que relacion tiene T con las raıces del polinomio P (λ)?

Sol : Sus elementos diagonales son las raıces del polinomio.

d) Si se puede obtener la factorizacion LU de la matriz PA(p), siendo P

una matriz de permutacion, ¿quienes tienen que ser P,L y U?

Sol : P =

0 0 1

1 0 0

0 0 1

, L = I y U =

−a −b −c0 1 0

0 0 1

.

Ejercicio 4.15 Sean el polinomio p(x) = x3+2x2−2x−4 y su correspondiente

matriz A = A(p), definido en el ejercicio 4.14

Page 17: Autovalores y Autovectores Ejercicio Resueltos

4.2. EJERCICIOS PROPUESTOS 69

a) Utilizar una sucesion de Sturm para probar que el polinomio p(x) tiene

sus raıces reales y que solo una de ellas, que denotaremos α, es positiva.

Sol : α ∈ [1, 2].

b) Utilizar el metodo de Newton para obtener una aproximacion de la raız

α, garantizando 5 cifras decimales exactas.

Sol : α = 1.41421, ε ≤ 8.481 · 10−9.

c) Obtener la pseudosolucion, β, del sistema (A2v)x = A3v, determinando

la norma del error, para v = (1, 1, 1)T . ¿Deberıa ser β una aproximacion

de α?

Sol : β = −1.71428, ‖E‖ ≤ 14.6385. A2vx = A3v ⇐⇒ Av = xv β

hubiese sido una aproximacion de α si v lo hubiese sido del autovector

asociado a α.

d) Obtener la matriz de Householder que transforma el vector a = (0, 0, 4)T

en el vector b = (4, 0, 0)T . ¿Se podıa haber predicho el resultado?

Sol : H =

0 0 1

0 1 0

1 0 0

y se podrıa haber predicho.

e) Obtener la factorizacion QR de la matriz A, utilizando el metodo de

Householder. (Sugerencia: ¡el apartado anterior!)

Sol : Q = H, R =

4 2 −2

0 1 0

0 0 1

.

f) Dar el primer paso del algoritmo QR aplicado a la matriz A. Indicar

como podrıa el metodo de Gram-Schmidt utilizarse para los sucesivos

pasos del algoritmo y si esto serıa una buena decision para obtener las

raıces del polinomio p(x).

Sol : A1 =

−2 4 2

0 0 1

1 0 0

. Gram-Schmidt no es una buena opcion.

Ejercicio 4.16

Page 18: Autovalores y Autovectores Ejercicio Resueltos

70 Algebra Numerica

a) ¿Que pasos se dan para calcular los autovalores de una matriz cuadrada

A mediante el algoritmo QR? y ¿que forma tiene la matriz a la que

converge el algoritmo en los siguientes casos?

a.1) Si todos sus autovalores tienen distinto modulo.

a.2) Si existen autovalores de igual modulo.

b) El polinomio caracterıstico de la matriz A =

−4 2 −4 3

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

es

el polinomio del Ejercicio 1.11 P (x) = λ4+4λ3−2λ2+4λ−3. Calculando

sus autovalores mediante el algoritmo QR el proceso converge a la matriz

−4.64575131106459 4.07664693269566 1.32820441231845 −2.21143157264058

0 −0.24888977635522 −0.86635866374600 0.589880790501080 1.22575806673700 0.24888977635522 0.038489788258900 0 0 0.64575131106459

Calcular, a partir de dicha matriz, las raıces del polinomio (autovalores

de A).

Sol : −4.64575131106459, 0.64575131106459, i,−i.

c) Al aplicar el metodo de la potencia y comenzando el proceso con el vec-

tor x =

1

1

1

1

se obtiene en la cuarta iteracion el vector

1

−0.2152

0.0463

−0.0100

.

Determinar una aproximacion de la raız de mayor valor absoluto del po-

linomio P (x) (autovalor correspondiente) utilizando el cociente de Ray-

leigh.

Sol : −4.64565808596372.

Ejercicio 4.17 Sean las matrices A, An y B definidas como:

A =

0 1 0

0 0 1

3 1 0

, An =

1.671 0.242 2.164

0.00 −0.50 1.47

0.00 −0.81 −1.16

y B =

0 1 0

0 0 1

3 1 0.1

.

Page 19: Autovalores y Autovectores Ejercicio Resueltos

4.2. EJERCICIOS PROPUESTOS 71

a) Aplicando el algoritmo QR real a la matriz A se obtiene (iterando sufi-

cientemente), como aproximacion “aceptable” del metodo, la matriz An.

¿Por que las matrices A y An deben tener los mismos autovalores?

Hallar las aproximaciones de los autovalores de la matriz A que se ob-

tienen de An.

Sol : 1.671, −0.83 + 1.04 i, −0.83− 1.04 i.

b) Tomando v0 aleatoriamente, ¿se debe esperar convergencia o divergencia

en el metodo de la potencia aplicado a la matriz A?

Empezar en v0 = (1, 1, 1)T y determinar los tres primeros vectores v1,

v2 y v3 que proporciona el metodo. Hallar la mejor aproximacion del

autovalor dominante de A, en norma ‖ ‖2, que se obtiene con v3.

Sol : Se espera convergencia. v1 = (0.25, 0.25, 1)T , v2 = (0.25, 1, 1)T ,

v3 = (0.5714, 0.5714, 1)T y una aproximacion del autovalor dominante es

1.9259.

c) Estudiar si A es una matriz normal. Si se perturba A en la matriz

B = A+ δA, hallar la medida de la perturbacion ‖δA‖2.

¿Se podrıa asegurar que los autovalores dominantes de las matrices A y

B difieren, a lo mas, en 0.1?

Sol : No es normal. ‖δA‖2 = 0.1. No se puede asegurar.

Ejercicio 4.18 Sean A =

1 1 2

0 1 1

1 −1 ε

con 0 < ε ≤ 1, b =

0

−1

2

y

J =

0 −1 −2

0 0 −1

−1 1 0

.

a) Obtener la factorizacion A = LU . Utilizar la factorizacion obtenida para

resolver el sistema Ax = b.

Sol : L =

1 0 0

0 1 0

1 −2 1

, U =

1 1 2

0 1 1

0 0 ε

, x = (1,−1, 0)T .

Page 20: Autovalores y Autovectores Ejercicio Resueltos

72 Algebra Numerica

b) Hallar el numero de condicion κ∞(A) de la matriz A para la norma ‖ ‖∞.

Razonar si el resultado del apartado anterior, obtenido con aritmetica

de ordenador, podrıa ser considerado fiable para ε proximo a cero.

Sol : κ∞(A) = 8 +16

ε. No, mientras mas pequeno sea ε, peor condicio-

nada.

c) Para ε = 1, comprobar que J es la matriz de la iteracion xn+1 = J ·xn + c que se obtiene al aplicar el metodo de Jacobi al sistema Ax = b.

Determinar c y, empezando en x1 = (1, 0, 0)T , hallar el vector x3.

Sol : x3 = (−1,−2, 1)T .

d) Hallar la aproximacion λ3 del autovalor dominante λ de la matriz J

utilizando el metodo de la potencia, con v0 = (1, 0, 0)T , y el cociente de

Rayleigh para determinar λ3 con el valor obtenido para v3.

Sabiendo que λ3 tiene una cota de error estimada en e < 0.5. ¿Es

suficiente dicha aproximacion para analizar la convergencia de la sucesion

(xn) del metodo de Jacobi?

Sol : λ3 = −1.5. Jacobi no converge.

e) Para ε = 0, hallar la solucion en mınimos cuadrados del sistema A′x = b

que se obtiene al suprimir la primera columna de A, utilizando las ecua-

ciones normales. Determinar el error y justificar el resultado obtenido.

Sol : x = (−2, 1)T , ‖E‖ = 0 pues se trata de un sistema compatible

determinado

f) Analizar si es posible encontrar la matriz H de Householder que trans-

forma la segunda columna de A′ en el vector b. En caso afirmativo, ¿es

normal la matriz H resultante?

Sol : Es posible encontrarla y ademas es normal.

Ejercicio 4.19 Considerese la matriz A =

3 0 −1

1 −2 2

−1 −1 8

.

a) Hacer uso de los cırculos de Gerschgorin para estudiar el numero de

autovalores reales que posee.

Page 21: Autovalores y Autovectores Ejercicio Resueltos

4.2. EJERCICIOS PROPUESTOS 73

Obtener su polinomio caracterıstico P (λ) y un intervalo de amplitud 1

que contenga a su autovalor dominante.

Sol : Los tres son reales. P (λ) = λ3 − 9λ2 + 3λ+ 39. [8, 9].

b) Comprobar que la formula de Newton-Raphson asociada a dicho polino-

mio es

λn+1 = ϕ(λn) =2λ3

n − 9λ2n − 39

3λ2n − 18λn + 3

.

Sabiendo que la grafica de la funcion y = ϕ′(λ) en el intervalo [8, 9]

viene dada por la figura adjunta, ¿podemos garantizar la convergencia

del metodo de Newton partiendo de cualquier punto λ0 ∈ [8, 9]?

Nota: ϕ(λ) es la funcion que aparece en la formula de Newton-Raphson.

Sol : Si, ϕ(x) es contractiva.

c) Si tomamos λ0 = 8 ¿con que error se obtiene la aproximacion λ1?

Sol : ε1 ≤ 1.1323 · 10−4.

d) ¿Existe algun vector v0 para el que podamos garantizar la convergencia

del metodo de la potencia simple aplicado a la matriz A? ¿Que aproxi-

macion se obtiene para el autovalor dominante aplicando el cociente de

Rayleigh al vector v1 si partimos de v0 = (1 0 0)T ?

Sol : Cualquiera no nulo. λ1 = 3.7272.

e) Aplicando el metodo QR para el calculo de los autovalores de A, con

una aritmetica de ordenador con una precision de cuatro decimales, el

metodo se estabiliza en la matriz An en la que hemos omitido dos de sus

elementos x e y

An =

8.0195 −0.5134 2.7121

0 2.7493 1.5431

0 x y

Page 22: Autovalores y Autovectores Ejercicio Resueltos

74 Algebra Numerica

¿Puede ser nulo el elemento x?, ¿se pueden determinar los elementos

que faltan sin necesidad de volver a aplicar el algoritmo QR? ¿Sabrıas

decir cual es la aproximacion obtenida para los otros dos autovalores de

la matriz A?

Solucion: x = 0, y = −1.7461, λ2 = 2.7493, λ3 = −1.7461.

Ejercicio 4.20 Se considera la matriz A =

0 1 0

0 0 1

−0.25 −0.125 1

.

a) Demostrar que las raıces del polinomio P (x) = 2+x−8x2+8x3 coinciden

con los autovalores de A. Acotar y separar las raıces de P (x), indicando

cuantas raıces reales y complejas tiene. Comparar los resultados con la

informacion que se desprende del estudio de los cırculos de Gerschgorin.

Sol : La ecuacion caracterıstica es P (x)/8 = 0 ⇐⇒ P (x) = 0. Solo una

real en (−1, 0). Gerschgorin no mejora la informacion.

b) Determinar un intervalo de amplitud 0.5 con un extremo entero que

contenga a la raız negativa de P (x). Razonar si se verifican en dicho in-

tervalo las condiciones de Fourier. Aproximar por el metodo de Newton-

Raphson dicha raız con 2 cifras decimales exactas.

Sol : En [−0.5, 0] se verifican las condiciones de Fourier. x = −0.38.

c) Tomando como vector inicial z0 = (0, 1, 0)T , realizar dos iteraciones del

metodo de la potencia inversa. Por medio del cociente de Rayleigh aso-

ciado al vector hallado, determinar una aproximacion del autovalor de A

correspondiente. ¿Que relacion existe entre este valor y la aproximacion

hallada en el apartado anterior? ¿Puede haber autovalores de la matriz

A en el cırculo de centro 0 y radio 14? Razonar las respuestas.

Sol : λ = −0.3768. No existen autovalores en dicho cırculo.

d) Al aplicar el algoritmo QR a la matriz A se obtiene como salida la matriz

T = Q∗AQ, para cierta matriz unitaria Q. ¿Puede ser T una matriz

triangular superior? Justificar la respuesta.

Sol : T no puede ser triangular.

Ejercicio 4.21

Page 23: Autovalores y Autovectores Ejercicio Resueltos

4.2. EJERCICIOS PROPUESTOS 75

a) Utilizar el metodo interpolatorio para determinar el polinomio carac-

terıstico P (λ) de la matriz

A =

2 −1 0

0 −2 1

1 0 5

Sol : P (λ) = λ3 − 5λ2 − 4λ+ 21.

b) A la vista de los cırculos de Gerschgorin, ¿se puede garantizar que el

algoritmo QR aplicado a la matriz A convergera a una matriz triangular

con sus autovalores en la diagonal? ¿Se puede garantizar la convergencia

del metodo de la potencia simple si comenzamos a iterar con el vector

v = (1 1 1)T ?

Sol : Gerschgorin no nos garantiza una triangular pero sı la convergencia

del metodo de la potencia simple.

c) Haciendo uso de los cırculos de Gerschgorin, determinar cuantos auto-

valores reales posee y calcular un intervalo de amplitud 1 y extremos

enteros que contenga al autovalor dominante.

Sol : Los tres son reales y el dominante se encuentra en (4, 5).

d) Comprobar que, en dicho intervalo, se verifican las hipotesis de Fou-

rier para la convergencia del metodo de Newton. ¿En que extremo de-

berıamos comenzar a iterar?

Sol : x0 = 5

e) Tomando x0 = 5 y aplicando el metodo de Newton, ¿con cuantas cifras

exactas se obtiene x1?

Sol : Dos cifras decimales exactas.

Ejercicio 4.22 Dado el polinomio P (x) = x3 − 3x2 + 3x+ 5

a) Probar, mediante una sucesion de Sturm, que solo tiene una raız real

y determinar α ∈ Z para que dicha raız este contenida en el intervalo

[α, α + 1].

Sol : α = −1.

Page 24: Autovalores y Autovectores Ejercicio Resueltos

76 Algebra Numerica

b) Comprobar, mediante las condiciones de Fourier, que el metodo de New-

ton converge tomando como valor inicial x = α.

c) Si tomamos como aproximacion de la raız el valor x = −0.50 ¿se tiene

garantizada alguna cifra decimal exacta?

Sol : No.

d) Utilizar el metodo interpolatorio para comprobar que el polinomio carac-

terıstico de la matriz A =

3 −3 −5

1 0 0

0 1 0

es el polinomio P (x) dado.

e) Para resolver el sistema (A + 0.5 · I3)x = (1,−1, 1)T observamos que

resulta mas comodo llevar la primera ecuacion al ultimo lugar, es decir,

multiplicar el sistema por la matriz P =

0 1 0

0 0 1

1 0 0

. ¿Se altera de

esta forma el condicionamiento del sistema? Comprueba que la solucion

es el vector x = 121

(−50, 58,−74)T .

Sol : No se altera el condicionamiento por ser P ortogonal.

f) Tomando −0.50 como una primera aproximacion de su autovalor real,

partiendo del vector z0 = (1,−1, 1)T y trabajando solo con dos cifras de-

cimales, realizar una iteracion del metodo de la potencia inversa con des-

plazamiento para calcular, mediante el cociente de Rayleigh, una nueva

aproximacion de dicho autovalor. ¿Se puede garantizar ahora alguna ci-

fra decimal exacta?

Sol : λ = −0.83. La primera cifra decimal es exacta.

Ejercicio 4.23 Sean A,B y C las matrices definidas por

A =

(−1− i 3− 3i

−3 + 3i −1− i

)B =

1√2

(1 i

i 1

)C =

(2 + 2i 0

0 −4− 4i

)

a) Probar que A∗ = −iA y que B∗ = B−1. ¿Es normal la matriz BCB∗?

Sol : BCB∗ es normal.

b) Comprobar que se verifica la igualdad A = BCB∗. Hallar los autovalores

y autovectores de las componentes hermıticas de la matriz A.

Page 25: Autovalores y Autovectores Ejercicio Resueltos

4.2. EJERCICIOS PROPUESTOS 77

Sol : H1 = H2. Autovalores 2 y -4. Autovectores (1, i)T y (i, 1)T .

c) Probar que si una matriz M verifica la propiedad M∗ = −iM , entonces

es normal y sus autovalores son de la forma α+ iα, con α ∈ R. ¿Puede

la matriz M tener unicamente autovalores reales?

Indicacion: De M = QDQ∗, deducir D∗ = −iD.

Sol : M tendra todos sus autovalores reales solo si es la matriz nula.

d) Se perturba la matriz A en A+δA, de modo que ||δA||2 ≤ 10−6. Razonar

si los autovalores de A + δA, obtenidos con MatLab, pueden ser muy

diferentes de los de la matriz A. ¿Sucederıa lo mismo para una matriz

M , con M∗ = −iM y dimension elevada?

Sol : No, |µ− λ| ≤ 10−6 y no depende de la dimension de M .

e) Hallar la aproximacion del autovalor dominante de A que se obtiene con

un paso del metodo de la potencia, partiendo de q0 = (1, 0)T , y utilizando

el cociente de Rayleigh.

Explicar como se aplicarıa el algoritmo QR para obtener aproximaciones

de los autovalores y autovectores de la matriz A. ¿Cual serıa la forma

de Schur de A?

Sol : −2.8− 2.8 i. T es diagonal.

Ejercicio 4.24 En R4 se considera el vector a = (1,−1, 1,−1)T .

a) Determinar el valor que debe tomar β ∈ R − {0} para que la matriz

Q = I − βaaT verifique la igualdad Q2 = I. Probar que, entonces, Q es

una matriz normal.

Sol : β = 1/2.

b) Utilizar las ecuaciones normales para obtener la solucion en mınimos

cuadrados del sistema superdeterminado S1 ≡ Ax = −a, donde x =

(x, y)T y la matriz de coeficientes A = [a1 a2] esta formada por las dos

primeras columnas a1, a2 de la matriz B = 2I − aaT .

¿Esta mal condicionada la matriz ATA para la norma || ||∞?

Sol : (1/2,−1/2)T . No puede estar mejor condicionada, ‖ATA‖∞ = 1.

Page 26: Autovalores y Autovectores Ejercicio Resueltos

78 Algebra Numerica

c) Hallar la matriz H de Householder que transforma el vector a2, definido

en el apartado anterior, en un vector de la forma r = (0, σ, 0, 0)T , con

σ > 0.

Partir del sistema S2 ≡ HAx = −Ha, para evaluar el error en el sistema

S1 del apartado anterior utilizando, en caso necesario, transformaciones

unitarias. Justificar que los sistemas S1 y S2 tienen la misma pseudoso-

lucion y el mismo error.

Sol : H = Q (primer apartado). ‖E‖ =√

2. Al tratarse de transforma-

ciones unitarias los dos sistemas son equivalentes.

d) Para calcular un autovector de la matriz H del apartado anterior, aplicar

el metodo de la potencia simple partiendo del vector x = (1, 2, 3, 4)T .

¿Por que no funciona el metodo en este caso?

Describir como se aplica el algoritmo QR a la matriz H. En este caso,

¿por que no converge a la forma de Schur de H?

Indicacion: ¿Cual es la factorizacion QR de cualquier matriz ortogonal?

Sol : H no tiene un autovalor dominante. Sus autovalores son 1, 1, 1,−1

todos de igual modulo. La sucesion resultante es x,Hx, x,Hx, . . . que

solo es convergente si se parte de un autovalor asociado al autovalor 1.

El algoritmo QR no converge a la forma de Schur (una diagonal) ya que

la sucesion que se obtiene es constante igual a H.

e) Probar queHa = −a y que si v es ortogonal al vector a, entoncesHv = v.

En virtud de esto, encontrar razonadamente los autovalores de H y un

autovector v1 asociado al autovalor negativo.

Si {v1} se completara a una base {v1, v2, v3, v4} formada por autovectores

de H, ¿como se podrıa ortonormalizar dicha base de una forma compu-

tacionalmente estable?

Sol : -1 simple con autovector a y 1 triple. Se deberıa ortonormalizar

mediante transformaciones unitarias (ortogonales).

Ejercicio 4.25

a) Calcular el polinomio caracterıstico de la matriz A =

0 3 0

3 28 4

0 4 5

mediante el metodo interpolatorio. ¿Puede no ser real alguno de sus

Page 27: Autovalores y Autovectores Ejercicio Resueltos

4.2. EJERCICIOS PROPUESTOS 79

autovalores?

Sol : P (λ) = λ3 − 33λ2 + 115λ+ 45. No, ya que A simetrica.

b) Haciendo uso de los cırculos de Gerschgorin, estudiar si resultara conver-

gente el metodo de la potencia simple aplicado a la matriz A partiendo

de un vector arbitrario z0.

Sol : Convergera por existir un autovalor dominante.

c) Realizar la factorizacion QR de la matriz A mediante transformaciones

de Householder. (Dar las matrices Q y R).

Sol : Q =

0 0.6 0.8

1 0 0

0 0.8 −0.6

R =

3 28 4

0 5 4

0 0 −3

.

d) Utilizar la factorizacion anterior para resolver el sistema Ax = b con

b = (−3, 6, 1)T .

Sol : x = (10,−1, 1)T .

e) Comenzando por el vector z0 = (−3, 6, 1)T calcular el vector z2 del

metodo de la potencia inversa (al ser solo dos pasos no merece la pena

escalar el vector, es decir, dividir en cada paso por su norma infinito) y

aproximar el autovalor de menor valor absoluto de la matriz A mediante

el cociente de Rayleigh.

Sol : z2 = (−28.1555, 3.3333,−2.4666)T , λ ' −0.3548

f) Teniendo en cuenta que el autovalor de menor valor absoluto es negativo,

determinar, haciendo uso del polinomio caracterıstico, una cota del error

de la aproximacion obtenida en el apartado anterior.

Sol : ε ≤ 4.8 · 10−5.

Ejercicio 4.26 Se considera el polinomio P (x) = x3 + 3x2 + 3ax + a con

a ∈ R.

a) Hacer uso de una sucesion de Sturm para determinar, en funcion del

parametro “ a”, el numero de raıces reales de dicho polinomio ası como

su multiplicidad.

Page 28: Autovalores y Autovectores Ejercicio Resueltos

80 Algebra Numerica

Sol :

a < 0 =⇒ tres raıces reales.

a = 0 =⇒ una real doble (0) y una real simple (-3).

0 < a < 1 =⇒ una real simple y dos complejas conjugadas.

a = 1 =⇒ una real triple (-1).

a > 1 =⇒ una real simple y dos complejas conjugadas.

b) Para a = 3, determinar un intervalo adecuado en el que se encuentre

la raız real del polinomio y en el que se verifiquen las condiciones de

Fourier para garantizar la convergencia del metodo de Newton. ¿Que

valor debemos dar inicialmente a x para comenzar a iterar?

Sol : [−0.5, 0], x0 = 0.

c) Realizar dos iteraciones del metodo de Newton y determinar una cota

del error.

Sol : x2 = −0.3737373737, ε2 ≤ 4.739279 · 10−4.

d) Teniendo en cuenta que la matriz A =

−3 −9 −3

1 0 0

0 1 0

tiene, como

polinomio caracterıstico, el polinomio P (x) cuando a = 3, ¿podemos

garantizar la convergencia del metodo de la potencia simple? ¿y del de

la potencia inversa?

Sol : La potencia simple no (los autovalores complejos tienen modulo

mayor que el real), pero el de la potencia inversa sı.

e) ¿Convergera a una matriz triangular superior el algoritmo QR aplicando

aritmetica real a la matriz A?

Sol : No, lo hara a una triangular por bloque con un bloque de orden 2

(las dos raıces complejas conjugadas).

Ejercicio 4.27 Se considera la matriz A =

4 5 3

3 5 1

0 2 3

.

a) Realizar la factorizacion QR (dar las matrices Q y R) de la matriz A:

a.1) Mediante rotaciones o giros

a.2) Mediante reflexiones

Page 29: Autovalores y Autovectores Ejercicio Resueltos

4.2. EJERCICIOS PROPUESTOS 81

Sol : Q =1

25

20 15 0

−3√

5 4√

5 10√

5

6√

5 −8√

5 5√

5

R =

5 7 3

06√

5√

5

0 0√

5

.

b) Determinar su polinomio caracterıstico por el metodo interpolatorio.

Sol : P (λ) = λ3 − 12λ2 + 30λ− 25.

c) Probar, mediante una sucesion de Sturm, que A solo tiene un autovalor

real y que se encuentra en el intervalo [8,9].

d) Sabiendo que el producto de los autovalores de una matriz coincide con

su determinante, probar que A posee un autovalor dominante.

e) Partiendo del vector z0 = (1, 1, 1)T realizar dos iteraciones del metodo

de la potencia simple (trabajar con 2 cifras decimales) y utilizar z2 para

aproximar el autovalor real de la matriz A.

Solucion: λ ' 8.95.

f) ¿Se ha obtenido, en el apartado anterior, la aproximacion del autovalor

real con un error menor que 10−2?

Sol : ε ≤ 0.04 < 10−1 por lo que solo se dispone de un decimal exacto.

Ejercicio 4.28 Sea la matriz A =

2 −2 0

2 3 ω

1 0 2

a) Para ω = −3, se pide:

a.1) Utilizar los cırculos de Gerschgorin por filas para probar que A

carece de autovalores mayores que 10. De la observacion de dichos

cırculos, ¿puede deducirse que A tiene un autovalor de maximo

modulo?

Sol : No puede garantizarse la existencia de un autovalor dominante.

a.2) Demostrar que el metodo de Gauss-Seidel aplicado al sistema

Ax = (1, 34, 0)T es convergente empezando con cualquier vector

x0 ∈ R3. Hacer dos iteraciones de dicho metodo partiendo del

vector x0 = (−12, 5

4, 1

3)T y hallar la norma del error.

Sol : Es convergente por ser ρ(L1) < 1. x2 = (−1/12,−41/72, 1/24)T ,

‖E‖ = 2.987241.

Page 30: Autovalores y Autovectores Ejercicio Resueltos

82 Algebra Numerica

b) Para ω = 0, se pide:

b.1) Partiendo del vector z0 = (1, 1, 1)T , aplicar el metodo de la potencia

inversa a la matriz A haciendo dos iteraciones y usar el cociente de

Rayleigh para aproximar el autovalor de menor modulo de A.

Sol : λ = 2.5.

b.2) Siendo F =

1 0

0 −1

0 −1

y B=AF , hallar la pseudosolucion del sis-

tema Bx=

2

7

4

resolviendo el sistema formado por las ecuaciones

normales usando el metodo de Cholesky. Calcular la norma del

error.

Sol : Las ecuaciones normales son

(9 −4

−4 17

)x =

(22

−25

).

Para la facrorizacion de Cholesky R =

(4 −4/3

0√

137/3

). La pseu-

dosolucion es (2,−1)T y el error ‖E‖ = 0.

Ejercicio 4.29 Consideremos la matriz A =

4

9+

4

9i

2

9i

2

9

5

9+

5

9i

. Se pide:

a) Hallar las componentes hermıticas de la matriz A y probar que esta es

normal.

Sol : H1 = H2 =

(49

19

+ 19i

19− 1

9i 5

9

).

b) A partir de H1, construir una matriz S real y simetrica, de dimension el

doble de la de H1, de forma que a partir de los autovalores y autovectores

de S se deduzcan los de H1.

Sol :

4/9 1/9 0 −1/91/9 5/9 1/9 0

0 1/9 4/9 1/9

−1/9 0 1/9 5/9

Page 31: Autovalores y Autovectores Ejercicio Resueltos

4.2. EJERCICIOS PROPUESTOS 83

c) Usando MATLAB se tiene que el polinomio caracterıstico de la matriz

S es

P (λ) = λ4 − 2λ3 +13

9λ2 − 4

9λ+

4

81

Sin realizar ningun calculo ¿podrıas garantizar que P (λ) es el cuadrado

de un polinomio de segundo grado?.

Sol : Sı. Las raıces de P (λ) son los autovalores de H1 pero todos dupli-

cados.

d) Reducir la multiplicidad de las raıces de P (λ) y encontrar una sucesion

de Sturm para el polinomio reducido Q(λ).

Sol : Q(λ) = λ2 − λ+ 2/9. g0(λ) = Q(λ), g1(λ) = 2λ− 1 y g2(λ) = 1.

e) Haciendo uso de la sucesion de Sturm, separar las raıces de Q(λ).

Sol : [0, 1/2] y [1/2, 1].

f) Encontrar un intervalo que contenga a la menor de las raıces de Q(λ)

y en el que se pueda garantizar la convergencia del metodo Newton.

Determina las raıces exactas de Q(λ).

Sol : [0, 0.4]. Las raıces son 1/3 y 2/3.

g) En virtud de los resultados anteriores, calcular los autovalores y auto-

vectores de la matriz A.

Sol : Autovalores λ1 = 1/3 + 1/3 i y λ2 = 2/3 + 2/3 i. Autovectores

v1 = (1 + i,−1)T y v2 = (1 + i, 2)T respectivamente.

Ejercicio 4.30 Se considera la matriz A =

1 −1 1

−1 2 1

1 2 2

a) Calcular su polinomio caracterıstico por el metodo interpolatorio.

Sol : P (λ) = λ3 − 5λ2 + 4λ+ 5.

b) Separar sus raıces mediante una sucesion de Sturm.

Sol : [−1, 0], [2, 3] y [3, 4].

Page 32: Autovalores y Autovectores Ejercicio Resueltos

84 Algebra Numerica

c) ¿Convergera el metodo de la potencia simple comenzando por el vector

x0 = (1, 1, 1)T ? Justifica la respuesta.

Sol : Si por tener un autovalor dominante.

d) Realiza dos iteraciones del metodo de la potencia simple comenzando por

el vector x0 = (1, 5, 8)T y aproxima el autovalor dominante mediante el

cociente de Rayleigh.

Sol : λ ' 3.38685028129986.

e) Realiza dos iteraciones del metodo de la potencia inversa comenzando

por el vector x0 = (6, 5,−6)T . ¿De quien es una aproximacion x2?

Sol : x1 = (−10,−7, 9)T , x2 = (15, 11,−14)T . Es una aproximacion del

autovector asociado al autovalor de menor valor absoluto.