Problemas Resueltos de Magnetismo

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  • EJERCICIOS RESUELTOS DE

    MAGNETISMO

  • ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

    2

    1. Considere el alambre ABCDA que muestra la figura,

    por el cual circula una corriente de I[A] en la

    direccin indicada suponga que BC Y DA son arcos de

    circunferencia .subtendido por el ngulo [rad], tales

    que OA =OD =R [m] y OB =OC =2R [m]. calcule la

    induccin magntica B que produce en el centro o.

    Para las secciones de alambre DC y AB se logra

    apreciar que no existe induccin magntica con respecto al centro o debido a

    que este se encuentra en la misma direccin del eje del alambre

    Campo magntico para los arcos de circunferencia.

    B=

    4

    2

    B=

    4[1

    2

    2

    42]

    B=

    4[1

    2

    1

    42 2]

    0

    0

    B=

    4[(

    1

    1

    2) ]

    B=

    4[1

    (1

    1

    2) ]

    B=

    8

    2. Por un largo conductor, cuya seccin tiene la

    forma de un semianillo delgado de radio R[m],

    circula una corriente de intensidad I [A]

    entrando a la hoja. Por otro un largo conductor

    rectilneo, ubicado sobre su eje, circular otra

    corriente de la misma intensidad, pero en

    sentido opuesto (ver en la figura). Calcule la

    magnitud y direccin de la fuerza por unidad de longitud entre ellos.

    Se logra observar que en cada punto del semicrculo existe un componente en x de la

    fuerza que tiene una contraparte que lo anula, por tanto si calculamos la componente

    en y obtendremos la fuerza total por unidad de longitud sabiendo que el conductor

  • ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

    3

    semicircular es siempre paralelo a el central dL ll B LA fuerza de una infinitesimal

    lnea sobre el conductor semicrculo de longitud L es:

    df =I..B.ds

    =I.B.ds

    =

    2

    2

    =2

    2

    0

    =2

    2

    3. La curva cerrada simtrica que muestra la figura, se

    construye a partir de 2 circunferencia concntricas de

    radios R[m] y 2R[m],por ella se hace circular una

    corriente estacionaria de intensidad I [A], en el

    sentido que se seala. Encuentre la magnitud y

    direccin de la induccin magntica que produce en

    el centro o.

    Para solucionar este ejercicio bastar con interpretar

    correctamente la grfica facilitada.

    Gracias a la misma, observamos que solo debemos hallar la contribucin de los arcos

    de circunferencia de las circunferencias concntricas ya que los segmentos de recta

    que los unen no tienen contribucin en el centro o.

    B=

    4

    2

    B=

    4[4

    2

    (2)2+ 4

    ()2

    2

    ]

    0

    B=4

    4[

    2 + ]

    40

    B=

    [

    2+

    2 ]

    B=

    [

    2

    2]como

    4

    B=

    [4

    81

    8]

    B=3

    8

  • ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

    4

    4. El conductor de la figura, formado por 2

    partes rectilneas paralelas semi- infinitas y

    una semicircular de radio R[m], transporta

    una corriente de intensidad I [A] en la

    direccin indicada encuentre la magnitud y

    direccin del campo magntico que produce en el centro o.

    B=

    4

    2

    B=

    4[3

    r12]-

    2

    r22

    3

    r32

    Ahora como:

    r22 = 2 + 2 SI = arctan (

    )

    X=R cot cuando x =

    2

    dx= 2 cuando x = arctan (1

    2)

    Entonces

    r22 = 2(2 + 1) = 22

    Luego:

    B=

    4[

    4

    2

    22

    (1

    2)

    2

    ]3

    20

    B=

    4[3

    2+

    2

    (1

    2)]

    B=

    4[3

    2+25

    5 ]

    5. Una corriente de intensidad I [A] circula por el

    conductor de la figura, formado por una parte

    rectilnea de longitud 2 R[m], de la

    circunferencia de R[m] y por otra parte

  • ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

    5

    rectilnea semi infinita. Calcule la magnitud y direccin de la induccin magntica

    que produce en el centro O.

    Inicialmente descartamos la induccin de campo magnetico para la seccin semi

    infinita por encontrarse en la misma direccin del eje de referencia, asi como la

    componente y del campo para la recta de longitud 2R

    B=

    4

    2

    La induccin magntica del segmento semi esfrico es opuesto a ds

    B=

    4[1 1

    2+

    2 2

    22

    |1 = ^ =

    B=4

    4[

    2+

    222

    0]

    3

    40

    B=

    4[15+45

    10]

    B=

    40[15 + 45]

    6. El alambre que muestra la figura, por el cual

    circula una corriente de intensidad I [A], est

    formada por un segmento rectilneo de longitud

    R[m], dos de longitud 2R[m] y dos cuartos de

    circunferencias de radio R[m] y 2R[m]. calcule la

    induccin magntica B que produce en el centro

    O.

    El campo magntico total esta dado por la sumatoria de cada una de las

    contribuciones de los alambres en el centro o.

    B=

    4

    2

    B=

    4[1 1

    12

    2 2

    22+

    3 3

    32+

    4 4

    42]

    Como

    1 1 y1 = 2

  • ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

    6

    2 2 y2 =

    32 = 2 + 2

    Adems

    X=R cot dx=2

    Luego:

    32=2 + 2 = 2(2 + 1)

    32 = 2

    Tambin

    Si = arctan (

    )

    Si x = (/2)

    Si x arctan(1/2)

    32 = 2 + (2)2

    Adems:

    X=2R cot ( )

    X=-2R cot () =2R2

    Luego:

    42 =222 + (2)2=(2)2 (cot + 1)

    42 =422

    Tambien si:

    tan ( ) =2

    = arctan (2

    )

    = arctan (2

    )

  • ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

    7

    six = /2

    = /2

    si x

    = /2 = (3

    4)

    B=

    4[

    2

    22

    2+

    2

    22

    (1

    2)

    2

    0

    20

    +2

    22

    3

    4

    2

    ]

    B=

    4[1

    2 +

    2

    1

    2

    20

    20

    -cos2

    3

    4 ]

    B=

    4[

    4

    2+25

    5+2

    2]

    B=

    4[25

    5+2

    2

    4]

    B=

    4[85 + 52 5]

    7. Considere el conductor ABDEFA que muestra

    la figura, donde DE=FA=L[m]. Son dos lados del

    cuadrado ADEF; AB y CD son partes de sus diagonales

    tales que AB=CD=AO/2; BC y EF son arcos de

    circunferencias con centro en O. por el circula una

    corriente de intensidad I [A] en la forma indicada. A)

    calcule la induccin magntica que produce en el

    centro O. B) encuentre la magnitud y direccin de la

    fuerza que ejerce sobre un electrn que pasa por O con

    rapidez vs [m/s] en direccin OE.

    Los segmentos AB y CD no contribuyen en el campo magntico total.

    Este ltimo esta dado por la sumatoria de las contribuciones de los campos de los

    segmentos AF, DE y los arcos de circunferencia BC, FE

  • ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

    8

    =2

    2 = =

    2

    4

    || =

    4| |

    2

    || =

    4 [

    | 2|

    22+

    | 2|

    22+

    | 3|

    32+

    | 4|

    42 ]

    || =

    4[

    22 +

    2

    4

    2

    2

    +

    2

    4

    (2

    4)2

    4

    0

    +

    2 +2

    4

    2

    2

    +

    22

    2

    (2

    2)2

    /2

    0

    En la primera integral

    X =

    2cot = = arctan(

    2) ;

    si x= /2 => /4 y si x = -l/2

    dx =

    2 2

    En la tercera integral

    =

    2cot

    si x= /2 => /4 y si x = -l/2

  • ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

    9

    =

    22

    || =

    4 [

    22

    224 2

    +4

    2 /2

    0

    /4

    0

    2

    22

    2242

    + 2/2/4

    0

    /2

    0

    || =

    4 [ 4 ()]0

    4 + 42 (

    2) + 4[]|0

    4 + 22 [

    2]]

    || =

    4 [22 + 2 + 42]

    || =

    4 [3 + 4]

    B) |F| = |q| |vxB|

    |F| = |q| |v| B => |F| =20||||

    4 [3 + 2]

    En direccin Fo por el signo negativo de la carga del electrn

    8. A lo largo del circuito que muestra la figura circula una

    corriente de intensidad I [A] en el sentido indicado se

    sabe que AB=EA= 2L [m],BC=DE=2L [m],EA ,DE

    ,BC ,OC . calcule la induccion magntica

    que produce en el centro o del arco de circunferencia

    de radio L [m].

    El campo magnetico total esta dado por la sumatoria de

    los segmentos de recta DE,EA,AB,BC, y por el arco de

    circunferencia CD, la magnitud de estos se halla por la formula B=

    4

    2

    Hallando distancias

  • ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

    10

    B=

    4

    2

    B

    41 1

    12

    2 2

    22+

    3 3

    32+

    4 4

    42+

    5 2

    52

    B=

    4[

    2+2+ 2

    2+2

    0+ 2

    2+2+

    2+2

    0

    0+

    2

    2

    20

    ]

    0

    Debido a que

    , , ,

    B=4

    4[6

    2+2+1

    2

    2

    20

    ]

    0

    Si x= l cot dx=-1csc2d =arctan (

    )

    Si x =

    2

    Si x =

    4

    B=

    4[6

    cs2d

    2cs2+1

    (

    2)]

    4

    2

    B=

    4[

    2+ 6()

    2

    2]

    B=

    4[

    2+62

    2]

    B=

    8[+62]

    9. A lo largo del circuito ABCDEA que muestra la figura circula una corriente de

    intensidad I [A] en sentido, indicado. Se sabe que AB=EA= 2L [m],BC=