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Introdução à Geometria Diferencial Sintética e Seus Modelos - Aula 5 Prof. Jean Cerqueira Berni & Prof. Hugo Luiz Mariano

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Fatos sobre a categoria dos Anéis C∞

I C∞Rng é uma “variedade de álgebras”

⇒ HSP;I U : C∞Rng→ Sets cria colimites dirigidos;I X conjunto ⇒ L(X ) = (C∞ (RX ),ΦX )

X λ //

f ##

U(L(X ))

f̄��

U(B,Ψ)

I Anel de “polinômios C∞”, A{X} := A⊗∞ L(X )

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Fatos sobre a categoria dos Anéis C∞

I C∞Rng é uma “variedade de álgebras” ⇒ HSP;

I U : C∞Rng→ Sets cria colimites dirigidos;I X conjunto ⇒ L(X ) = (C∞ (RX ),ΦX )

X λ //

f ##

U(L(X ))

f̄��

U(B,Ψ)

I Anel de “polinômios C∞”, A{X} := A⊗∞ L(X )

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Fatos sobre a categoria dos Anéis C∞

I C∞Rng é uma “variedade de álgebras” ⇒ HSP;I U : C∞Rng→ Sets cria colimites dirigidos;

I X conjunto ⇒ L(X ) = (C∞ (RX ),ΦX )

X λ //

f ##

U(L(X ))

f̄��

U(B,Ψ)

I Anel de “polinômios C∞”, A{X} := A⊗∞ L(X )

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Fatos sobre a categoria dos Anéis C∞

I C∞Rng é uma “variedade de álgebras” ⇒ HSP;I U : C∞Rng→ Sets cria colimites dirigidos;I X conjunto ⇒ L(X ) = (C∞ (RX ),ΦX )

X λ //

f ##

U(L(X ))

f̄��

U(B,Ψ)

I Anel de “polinômios C∞”, A{X} := A⊗∞ L(X )

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Fatos sobre a categoria dos Anéis C∞

I C∞Rng é uma “variedade de álgebras” ⇒ HSP;I U : C∞Rng→ Sets cria colimites dirigidos;I X conjunto ⇒ L(X ) = (C∞ (RX ),ΦX )

X λ //

f ##

U(L(X ))

f̄��

U(B,Ψ)

I Anel de “polinômios C∞”, A{X} := A⊗∞ L(X )

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Anéis C∞ enquanto Teoria de Lawvere

I Tese de Doutorado de Lawvere, 1963;

I Abordagem categorial da Álgebra Universal;I Teoria algébrica Categoria com produtos finitos e com

um modelo genérico da teoria;

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Anéis C∞ enquanto Teoria de Lawvere

I Tese de Doutorado de Lawvere, 1963;I Abordagem categorial da Álgebra Universal;

I Teoria algébrica Categoria com produtos finitos e comum modelo genérico da teoria;

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Anéis C∞ enquanto Teoria de Lawvere

I Tese de Doutorado de Lawvere, 1963;I Abordagem categorial da Álgebra Universal;I Teoria algébrica Categoria com produtos finitos e com

um modelo genérico da teoria;

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Teoria Algébrica

I Categoria T com:

I Obj (T ) = {T 0,T 1, · · · ,T n, · · · }I T n = T × · · · × TI Um modelo de T é um funtor que preserva produtos finitos:

F : T → Sets

I Um homomorfismo de T −modelos é uma transformaçãonatural;

I ModT categoria dos T −modelos;

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Teoria Algébrica

I Categoria T com:I Obj (T ) = {T 0,T 1, · · · ,T n, · · · }

I T n = T × · · · × TI Um modelo de T é um funtor que preserva produtos finitos:

F : T → Sets

I Um homomorfismo de T −modelos é uma transformaçãonatural;

I ModT categoria dos T −modelos;

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Teoria Algébrica

I Categoria T com:I Obj (T ) = {T 0,T 1, · · · ,T n, · · · }I T n = T × · · · × T

I Um modelo de T é um funtor que preserva produtos finitos:

F : T → Sets

I Um homomorfismo de T −modelos é uma transformaçãonatural;

I ModT categoria dos T −modelos;

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Teoria Algébrica

I Categoria T com:I Obj (T ) = {T 0,T 1, · · · ,T n, · · · }I T n = T × · · · × TI Um modelo de T é um funtor que preserva produtos finitos:

F : T → Sets

I Um homomorfismo de T −modelos é uma transformaçãonatural;

I ModT categoria dos T −modelos;

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Teoria Algébrica

I Categoria T com:I Obj (T ) = {T 0,T 1, · · · ,T n, · · · }I T n = T × · · · × TI Um modelo de T é um funtor que preserva produtos finitos:

F : T → Sets

I Um homomorfismo de T −modelos é uma transformaçãonatural;

I ModT categoria dos T −modelos;

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Teoria Algébrica

I Categoria T com:I Obj (T ) = {T 0,T 1, · · · ,T n, · · · }I T n = T × · · · × TI Um modelo de T é um funtor que preserva produtos finitos:

F : T → Sets

I Um homomorfismo de T −modelos é uma transformaçãonatural;

I ModT categoria dos T −modelos;

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Teoria Algébrica

I Categoria T com:I Obj (T ) = {T 0,T 1, · · · ,T n, · · · }I T n = T × · · · × TI Um modelo de T é um funtor que preserva produtos finitos:

F : T → Sets

I Um homomorfismo de T −modelos é uma transformaçãonatural;

I ModT categoria dos T −modelos;

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Teoria Algébrica

I F ,G ∈ Obj (ModT )

I α : F ⇒ G morfismo;I O seguinte diagrama comuta:

F (T n) αTn //

∼=��

G(T n)∼=��

F (T 1)n(αT1 )n

// G(T 1)n

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Teoria Algébrica

I F ,G ∈ Obj (ModT )I α : F ⇒ G morfismo;

I O seguinte diagrama comuta:

F (T n) αTn //

∼=��

G(T n)∼=��

F (T 1)n(αT1 )n

// G(T 1)n

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Teoria Algébrica

I F ,G ∈ Obj (ModT )I α : F ⇒ G morfismo;I O seguinte diagrama comuta:

F (T n) αTn //

∼=��

G(T n)∼=��

F (T 1)n(αT1 )n

// G(T 1)n

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Fatos sobre Modelos de Teorias Algébricas

I ModT ↪→ SetsT plena;

I ModT é fechada por limites;I ModT é fechada por colimites dirigidos;I ModT é completa;

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Fatos sobre Modelos de Teorias Algébricas

I ModT ↪→ SetsT plena;I ModT é fechada por limites;

I ModT é fechada por colimites dirigidos;I ModT é completa;

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Fatos sobre Modelos de Teorias Algébricas

I ModT ↪→ SetsT plena;I ModT é fechada por limites;I ModT é fechada por colimites dirigidos;

I ModT é completa;

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Fatos sobre Modelos de Teorias Algébricas

I ModT ↪→ SetsT plena;I ModT é fechada por limites;I ModT é fechada por colimites dirigidos;I ModT é completa;

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A Teoria Algébrica das R−Álgebras

I Categoria Pol com:

I Obj(Pol) = {Rn|n ∈ N}I HomPol (Rm,Rn) = {p : Rm → Rn|p é função polinomial}I Uma R−álgebra (em Sets) é um funtor que preserva

produtos finitos:

A : Pol→ Sets

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A Teoria Algébrica das R−Álgebras

I Categoria Pol com:I Obj(Pol) = {Rn|n ∈ N}

I HomPol (Rm,Rn) = {p : Rm → Rn|p é função polinomial}I Uma R−álgebra (em Sets) é um funtor que preserva

produtos finitos:

A : Pol→ Sets

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A Teoria Algébrica das R−Álgebras

I Categoria Pol com:I Obj(Pol) = {Rn|n ∈ N}I HomPol (Rm,Rn) = {p : Rm → Rn|p é função polinomial}

I Uma R−álgebra (em Sets) é um funtor que preservaprodutos finitos:

A : Pol→ Sets

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A Teoria Algébrica das R−Álgebras

I Categoria Pol com:I Obj(Pol) = {Rn|n ∈ N}I HomPol (Rm,Rn) = {p : Rm → Rn|p é função polinomial}I Uma R−álgebra (em Sets) é um funtor que preserva

produtos finitos:

A : Pol→ Sets

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A Teoria Algébrica dos Anéis C∞

I Categoria C∞ com:I Obj (C∞) = {R,R2, · · · ,Rn, · · · }

I HomC∞ (Rm,Rn) = C∞ (Rm,Rn)I Um anel C∞ (em Sets) é um funtor que preserva produtos

finitos:

A : C∞ → Sets

I Um anel C∞ em um topos E é um funtor que preservaprodutos finitos:

A : C∞ → E

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A Teoria Algébrica dos Anéis C∞

I Categoria C∞ com:I Obj (C∞) = {R,R2, · · · ,Rn, · · · }I HomC∞ (Rm,Rn) = C∞ (Rm,Rn)

I Um anel C∞ (em Sets) é um funtor que preserva produtosfinitos:

A : C∞ → Sets

I Um anel C∞ em um topos E é um funtor que preservaprodutos finitos:

A : C∞ → E

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A Teoria Algébrica dos Anéis C∞

I Categoria C∞ com:I Obj (C∞) = {R,R2, · · · ,Rn, · · · }I HomC∞ (Rm,Rn) = C∞ (Rm,Rn)I Um anel C∞ (em Sets) é um funtor que preserva produtos

finitos:

A : C∞ → Sets

I Um anel C∞ em um topos E é um funtor que preservaprodutos finitos:

A : C∞ → E

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A Teoria Algébrica dos Anéis C∞

I Categoria C∞ com:I Obj (C∞) = {R,R2, · · · ,Rn, · · · }I HomC∞ (Rm,Rn) = C∞ (Rm,Rn)I Um anel C∞ (em Sets) é um funtor que preserva produtos

finitos:

A : C∞ → Sets

I Um anel C∞ em um topos E é um funtor que preservaprodutos finitos:

A : C∞ → E

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A Teoria Algébrica dos Anéis C∞

I Categoria C∞ com:I Obj (C∞) = {R,R2, · · · ,Rn, · · · }I HomC∞ (Rm,Rn) = C∞ (Rm,Rn)I Um anel C∞ (em Sets) é um funtor que preserva produtos

finitos:

A : C∞ → Sets

I Um anel C∞ em um topos E é um funtor que preservaprodutos finitos:

A : C∞ → E

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A Teoria Algébrica dos Anéis C∞

I Categoria C∞ com:I Obj (C∞) = {R,R2, · · · ,Rn, · · · }I HomC∞ (Rm,Rn) = C∞ (Rm,Rn)I Um anel C∞ (em Sets) é um funtor que preserva produtos

finitos:

A : C∞ → Sets

I Um anel C∞ em um topos E é um funtor que preservaprodutos finitos:

A : C∞ → E

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Esboçando Anéis C∞

Definição:I Um esboço é uma 4-upla S = (G ,D,P, I), onde:

I G é um grafo orientado pequeno;I D é um conjunto (ou classe) de diagramas pequenos

(não-comutativos) sobre G ;I P é um conjunto (ou classe) de cones (não-comutativos)

sobre G e I é um conjunto (ou classe) de co-cones(não-comutativos) sobre G .

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Esboçando Anéis C∞

Definição:I Um esboço é uma 4-upla S = (G ,D,P, I), onde:

I G é um grafo orientado pequeno;

I D é um conjunto (ou classe) de diagramas pequenos(não-comutativos) sobre G ;

I P é um conjunto (ou classe) de cones (não-comutativos)sobre G e I é um conjunto (ou classe) de co-cones(não-comutativos) sobre G .

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Esboçando Anéis C∞

Definição:I Um esboço é uma 4-upla S = (G ,D,P, I), onde:

I G é um grafo orientado pequeno;I D é um conjunto (ou classe) de diagramas pequenos

(não-comutativos) sobre G ;

I P é um conjunto (ou classe) de cones (não-comutativos)sobre G e I é um conjunto (ou classe) de co-cones(não-comutativos) sobre G .

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Esboçando Anéis C∞

Definição:I Um esboço é uma 4-upla S = (G ,D,P, I), onde:

I G é um grafo orientado pequeno;I D é um conjunto (ou classe) de diagramas pequenos

(não-comutativos) sobre G ;I P é um conjunto (ou classe) de cones (não-comutativos)

sobre G e I é um conjunto (ou classe) de co-cones(não-comutativos) sobre G .

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Esboçando Anéis C∞

I Um morfismo de esboços h : S → S ′ é um morfismo entreos grafos orientados subjacentes que preserva todas estasestruturas.

I S é um esboço geométrico se P é um conjunto de conessobre G com bases finitas.I C categoria pequena sk(C) = (|C|,DC ,PC , IC)I |C| é o grafo subjacente;I DC é a classe de todos os diagramas comutativos pequenos

sobre CI PC é a classe de todos os cones-limite pequenos sobre CI IC é a classe de todos os co-cones colimites pequenos sobre C

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Esboçando Anéis C∞

I Um morfismo de esboços h : S → S ′ é um morfismo entreos grafos orientados subjacentes que preserva todas estasestruturas.

I S é um esboço geométrico se P é um conjunto de conessobre G com bases finitas.I C categoria pequena sk(C) = (|C|,DC ,PC , IC)

I |C| é o grafo subjacente;I DC é a classe de todos os diagramas comutativos pequenos

sobre CI PC é a classe de todos os cones-limite pequenos sobre CI IC é a classe de todos os co-cones colimites pequenos sobre C

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Esboçando Anéis C∞

I Um morfismo de esboços h : S → S ′ é um morfismo entreos grafos orientados subjacentes que preserva todas estasestruturas.

I S é um esboço geométrico se P é um conjunto de conessobre G com bases finitas.I C categoria pequena sk(C) = (|C|,DC ,PC , IC)I |C| é o grafo subjacente;

I DC é a classe de todos os diagramas comutativos pequenossobre C

I PC é a classe de todos os cones-limite pequenos sobre CI IC é a classe de todos os co-cones colimites pequenos sobre C

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Esboçando Anéis C∞

I Um morfismo de esboços h : S → S ′ é um morfismo entreos grafos orientados subjacentes que preserva todas estasestruturas.

I S é um esboço geométrico se P é um conjunto de conessobre G com bases finitas.I C categoria pequena sk(C) = (|C|,DC ,PC , IC)I |C| é o grafo subjacente;I DC é a classe de todos os diagramas comutativos pequenos

sobre C

I PC é a classe de todos os cones-limite pequenos sobre CI IC é a classe de todos os co-cones colimites pequenos sobre C

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Esboçando Anéis C∞

I Um morfismo de esboços h : S → S ′ é um morfismo entreos grafos orientados subjacentes que preserva todas estasestruturas.

I S é um esboço geométrico se P é um conjunto de conessobre G com bases finitas.I C categoria pequena sk(C) = (|C|,DC ,PC , IC)I |C| é o grafo subjacente;I DC é a classe de todos os diagramas comutativos pequenos

sobre CI PC é a classe de todos os cones-limite pequenos sobre C

I IC é a classe de todos os co-cones colimites pequenos sobre C

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Esboçando Anéis C∞

I Um morfismo de esboços h : S → S ′ é um morfismo entreos grafos orientados subjacentes que preserva todas estasestruturas.

I S é um esboço geométrico se P é um conjunto de conessobre G com bases finitas.I C categoria pequena sk(C) = (|C|,DC ,PC , IC)I |C| é o grafo subjacente;I DC é a classe de todos os diagramas comutativos pequenos

sobre CI PC é a classe de todos os cones-limite pequenos sobre CI IC é a classe de todos os co-cones colimites pequenos sobre C

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Esboçando Anéis C∞

Esboço da Teoria dos Anéis C∞

I SC∞−Rng = (G,D,P,∅);

I G tem como conjunto (enumerável) de seus vértices ossímbolosVert (G) = {|Rn||n ∈ N} = {|R0|, |R1|, |R2|, · · · , |Rn|, · · · }

I Arestas:

E : Vert (G)× Vert (G) → Arestas (G)(|Rm|, |Rn|) 7→ |C∞(Rm,Rn)|

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Esboçando Anéis C∞

Esboço da Teoria dos Anéis C∞

I SC∞−Rng = (G,D,P,∅);I G tem como conjunto (enumerável) de seus vértices os

símbolosVert (G) = {|Rn||n ∈ N} = {|R0|, |R1|, |R2|, · · · , |Rn|, · · · }

I Arestas:

E : Vert (G)× Vert (G) → Arestas (G)(|Rm|, |Rn|) 7→ |C∞(Rm,Rn)|

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Esboçando Anéis C∞

Esboço da Teoria dos Anéis C∞

I SC∞−Rng = (G,D,P,∅);I G tem como conjunto (enumerável) de seus vértices os

símbolosVert (G) = {|Rn||n ∈ N} = {|R0|, |R1|, |R2|, · · · , |Rn|, · · · }

I Arestas:

E : Vert (G)× Vert (G) → Arestas (G)(|Rm|, |Rn|) 7→ |C∞(Rm,Rn)|

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Esboçando Anéis C∞

Esboço da Teoria dos Anéis C∞

I Elementos de D: f ∈ C∞(Rn), g1, · · · , gn ∈ C∞(Rk) taisque h = f ◦ (g1, · · · , gn) :

|Rk |

|h|''

(|g1|,··· ,|gk |) // |Rn|

|f |��|R1|

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Esboçando Anéis C∞

Esboço da Teoria dos Anéis C∞

I Elementos de P: n ∈ N,m1, · · · ,mk ∈ N tais quen = m1 + · · · ,mk , temos em P o cone:

|Rn||pn

m1 |

vv

|pnmk |

((|Rm1 | · · · |Rmk |

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O que é um anel C∞ em uma categoria comprodutos finitos?

I modelo de um esboço S em uma categoria C f : S → sk(C)

I Categoria Mod(S, C);I objeto-anel C∞ em C:

A : SC∞Rng → sk(C)

I C∞Rng (C) é uma categoria denominada “a categoria dosobjetos anel C∞ em C”.

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O que é um anel C∞ em uma categoria comprodutos finitos?

I modelo de um esboço S em uma categoria C f : S → sk(C)

I Categoria Mod(S, C);

I objeto-anel C∞ em C:

A : SC∞Rng → sk(C)

I C∞Rng (C) é uma categoria denominada “a categoria dosobjetos anel C∞ em C”.

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O que é um anel C∞ em uma categoria comprodutos finitos?

I modelo de um esboço S em uma categoria C f : S → sk(C)

I Categoria Mod(S, C);I objeto-anel C∞ em C:

A : SC∞Rng → sk(C)

I C∞Rng (C) é uma categoria denominada “a categoria dosobjetos anel C∞ em C”.

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O que é um anel C∞ em uma categoria comprodutos finitos?

I modelo de um esboço S em uma categoria C f : S → sk(C)

I Categoria Mod(S, C);I objeto-anel C∞ em C:

A : SC∞Rng → sk(C)

I C∞Rng (C) é uma categoria denominada “a categoria dosobjetos anel C∞ em C”.

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O que é um anel C∞ em uma categoria comprodutos finitos?

I modelo de um esboço S em uma categoria C f : S → sk(C)

I Categoria Mod(S, C);I objeto-anel C∞ em C:

A : SC∞Rng → sk(C)

I C∞Rng (C) é uma categoria denominada “a categoria dosobjetos anel C∞ em C”.

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I A : SC∞−Rng → sk(C)

I A(|R|) ∈ Obj (C) tem estrutura C∞:

Ψ :⋃

n∈N C∞(Rn,R) →⋃

n∈N HomC(A(|R|)n,A(|R|))f 7→ A(|f |) : A(|R|)n → A(|R|)

I (A(|R|),Ψ) é um anel C∞.

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I A : SC∞−Rng → sk(C)I A(|R|) ∈ Obj (C) tem estrutura C∞:

Ψ :⋃

n∈N C∞(Rn,R) →⋃

n∈N HomC(A(|R|)n,A(|R|))f 7→ A(|f |) : A(|R|)n → A(|R|)

I (A(|R|),Ψ) é um anel C∞.

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I A : SC∞−Rng → sk(C)I A(|R|) ∈ Obj (C) tem estrutura C∞:

Ψ :⋃

n∈N C∞(Rn,R) →⋃

n∈N HomC(A(|R|)n,A(|R|))f 7→ A(|f |) : A(|R|)n → A(|R|)

I (A(|R|),Ψ) é um anel C∞.

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I A : SC∞−Rng → sk(C)I A(|R|) ∈ Obj (C) tem estrutura C∞:

Ψ :⋃

n∈N C∞(Rn,R) →⋃

n∈N HomC(A(|R|)n,A(|R|))f 7→ A(|f |) : A(|R|)n → A(|R|)

I (A(|R|),Ψ) é um anel C∞.

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Anel C∞ Finitamente Apresentado

I Um anel da forma( C∞(Rm)〈f1, · · · , fn〉

,Φm

)

I (A,Φ) isomorfo a um anel C∞ finitamente apresentado é umanel C∞ finitamente apresentável;

I C∞Rngf.p. categoria dos anéis C∞ finitamente apresentados.

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Anel C∞ Finitamente Apresentado

I Um anel da forma( C∞(Rm)〈f1, · · · , fn〉

,Φm

)I (A,Φ) isomorfo a um anel C∞ finitamente apresentado é um

anel C∞ finitamente apresentável;

I C∞Rngf.p. categoria dos anéis C∞ finitamente apresentados.

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Anel C∞ Finitamente Apresentado

I Um anel da forma( C∞(Rm)〈f1, · · · , fn〉

,Φm

)I (A,Φ) isomorfo a um anel C∞ finitamente apresentado é um

anel C∞ finitamente apresentável;I C∞Rngf.p. categoria dos anéis C∞ finitamente apresentados.

16/45

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Funtor Exato à Esquerda

Definição : Um funtor:

F : C → D

é exato à esquerda sse F preserva todos os limites finitos.

F(

lim−→i∈I

Ci

)= lim−→

i∈IF (Ci ) F

(lim←−i∈I

Ci

)= lim←−

i∈IF (Ci )

Lex (C,D) categoria de todos os funtores exatos à esquerda de Cem D.

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Funtor Exato à Esquerda

Definição : Um funtor:

F : C → D

é exato à esquerda sse F preserva todos os limites finitos.

F(

lim−→i∈I

Ci

)= lim−→

i∈IF (Ci ) F

(lim←−i∈I

Ci

)= lim←−

i∈IF (Ci )

Lex (C,D) categoria de todos os funtores exatos à esquerda de Cem D.

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Teoria Funtorial

Definição : T é uma teoria funtorial se:

I Existir CT com limites pequenos;I F topos de Grothendieck ⇒I ModF (T ) naturalmente equivalente a:

I Lex(CT , E)plena↪→ Funct(CT ,F)

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Teoria Funtorial

Definição : T é uma teoria funtorial se:I Existir CT com limites pequenos;

I F topos de Grothendieck ⇒I ModF (T ) naturalmente equivalente a:

I Lex(CT , E)plena↪→ Funct(CT ,F)

18/45

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Teoria Funtorial

Definição : T é uma teoria funtorial se:I Existir CT com limites pequenos;I F topos de Grothendieck ⇒

I ModF (T ) naturalmente equivalente a:

I Lex(CT , E)plena↪→ Funct(CT ,F)

18/45

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Teoria Funtorial

Definição : T é uma teoria funtorial se:I Existir CT com limites pequenos;I F topos de Grothendieck ⇒I ModF (T ) naturalmente equivalente a:

I Lex(CT , E)plena↪→ Funct(CT ,F)

18/45

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Teoria Funtorial

Definição : T é uma teoria funtorial se:I Existir CT com limites pequenos;I F topos de Grothendieck ⇒I ModF (T ) naturalmente equivalente a:

I Lex(CT , E)plena↪→ Funct(CT ,F)

18/45

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Morfismos Geométricos

I F , E toposes;

I Um morfismo geométrico f : F → E é um par de funtores:

F E

`

f∗

f ∗

I f∗ : F → E parte imagem direta de f ;I f ∗ : E → F parte imagem inversa;I f ∗ exato à esquerda.

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Morfismos Geométricos

I F , E toposes;I Um morfismo geométrico f : F → E é um par de funtores:

F E

`

f∗

f ∗

I f∗ : F → E parte imagem direta de f ;I f ∗ : E → F parte imagem inversa;I f ∗ exato à esquerda.

19/45

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Morfismos Geométricos

I F , E toposes;I Um morfismo geométrico f : F → E é um par de funtores:

F E

`

f∗

f ∗

I f∗ : F → E parte imagem direta de f ;

I f ∗ : E → F parte imagem inversa;I f ∗ exato à esquerda.

19/45

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Morfismos Geométricos

I F , E toposes;I Um morfismo geométrico f : F → E é um par de funtores:

F E

`

f∗

f ∗

I f∗ : F → E parte imagem direta de f ;I f ∗ : E → F parte imagem inversa;

I f ∗ exato à esquerda.

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Morfismos Geométricos

I F , E toposes;I Um morfismo geométrico f : F → E é um par de funtores:

F E

`

f∗

f ∗

I f∗ : F → E parte imagem direta de f ;I f ∗ : E → F parte imagem inversa;I f ∗ exato à esquerda.

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Topos Classificante de Uma Teoria Funtorial

Seja T uma teoria algébrica. T admite um topos classificante(E [T ],M) quando existirem:(i) um topos de Grothendieck, E [T ];

(ii) um modelo M : CT → E [T ];I Para qualquer F ,

φF : Geom (F , E [T ]) → Lex (CT ,F)f = (f ∗, f∗) 7→ M ◦ f ∗ : CT → F

é uma equivalência de categorias.

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Topos Classificante de Uma Teoria Funtorial

Seja T uma teoria algébrica. T admite um topos classificante(E [T ],M) quando existirem:(i) um topos de Grothendieck, E [T ];(ii) um modelo M : CT → E [T ];

I Para qualquer F ,

φF : Geom (F , E [T ]) → Lex (CT ,F)f = (f ∗, f∗) 7→ M ◦ f ∗ : CT → F

é uma equivalência de categorias.

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Topos Classificante de Uma Teoria Funtorial

Seja T uma teoria algébrica. T admite um topos classificante(E [T ],M) quando existirem:(i) um topos de Grothendieck, E [T ];(ii) um modelo M : CT → E [T ];I Para qualquer F ,

φF : Geom (F , E [T ]) → Lex (CT ,F)f = (f ∗, f∗) 7→ M ◦ f ∗ : CT → F

é uma equivalência de categorias.

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Topos Classificante da Teoria dos Anéis C∞

O topos de pré-feixes, SetsC∞Rngop

f.p. , munido do funtor esqueci-mento R : C∞Rngop

f.p. → Sets classifica a teoria dos anéis C∞:

Geom (E ,SetsC∞Rngfp) → C∞Rng (E)f 7→ f ∗(R)

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Topos Classificante da Teoria dos Anéis C∞

O topos de pré-feixes, SetsC∞Rngop

f.p. , munido do funtor esqueci-mento R : C∞Rngop

f.p. → Sets classifica a teoria dos anéis C∞:

Geom (E ,SetsC∞Rngfp) → C∞Rng (E)f 7→ f ∗(R)

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Anel C∞ Local em um Topos de Grothendieck

I R é anel local sse:

I (∀a ∈ R)((a ∈ Inv (R)) ∨ (1− a ∈ Inv (R)))I (∀a ∈ R)((∃b ∈ R)(a · b = 1) ∨ (∃b ∈ R)((1− a) · b = 1))I Em um topos de Grothendieck, E , R é anel local em E sse a

reunião dos subobjetos (representados por):I {a ∈ R | (∃b ∈ R)(a · b = 1)}� RI {a ∈ R | (∃b ∈ R)((1− a) · b = 1)}� R

totaliza R.

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Anel C∞ Local em um Topos de Grothendieck

I R é anel local sse:I (∀a ∈ R)((a ∈ Inv (R)) ∨ (1− a ∈ Inv (R)))

I (∀a ∈ R)((∃b ∈ R)(a · b = 1) ∨ (∃b ∈ R)((1− a) · b = 1))I Em um topos de Grothendieck, E , R é anel local em E sse a

reunião dos subobjetos (representados por):I {a ∈ R | (∃b ∈ R)(a · b = 1)}� RI {a ∈ R | (∃b ∈ R)((1− a) · b = 1)}� R

totaliza R.

22/45

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Anel C∞ Local em um Topos de Grothendieck

I R é anel local sse:I (∀a ∈ R)((a ∈ Inv (R)) ∨ (1− a ∈ Inv (R)))I (∀a ∈ R)((∃b ∈ R)(a · b = 1) ∨ (∃b ∈ R)((1− a) · b = 1))

I Em um topos de Grothendieck, E , R é anel local em E sse areunião dos subobjetos (representados por):I {a ∈ R | (∃b ∈ R)(a · b = 1)}� RI {a ∈ R | (∃b ∈ R)((1− a) · b = 1)}� R

totaliza R.

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Anel C∞ Local em um Topos de Grothendieck

I R é anel local sse:I (∀a ∈ R)((a ∈ Inv (R)) ∨ (1− a ∈ Inv (R)))I (∀a ∈ R)((∃b ∈ R)(a · b = 1) ∨ (∃b ∈ R)((1− a) · b = 1))I Em um topos de Grothendieck, E , R é anel local em E sse a

reunião dos subobjetos (representados por):

I {a ∈ R | (∃b ∈ R)(a · b = 1)}� RI {a ∈ R | (∃b ∈ R)((1− a) · b = 1)}� R

totaliza R.

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Anel C∞ Local em um Topos de Grothendieck

I R é anel local sse:I (∀a ∈ R)((a ∈ Inv (R)) ∨ (1− a ∈ Inv (R)))I (∀a ∈ R)((∃b ∈ R)(a · b = 1) ∨ (∃b ∈ R)((1− a) · b = 1))I Em um topos de Grothendieck, E , R é anel local em E sse a

reunião dos subobjetos (representados por):I {a ∈ R | (∃b ∈ R)(a · b = 1)}� R

I {a ∈ R | (∃b ∈ R)((1− a) · b = 1)}� Rtotaliza R.

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Anel C∞ Local em um Topos de Grothendieck

I R é anel local sse:I (∀a ∈ R)((a ∈ Inv (R)) ∨ (1− a ∈ Inv (R)))I (∀a ∈ R)((∃b ∈ R)(a · b = 1) ∨ (∃b ∈ R)((1− a) · b = 1))I Em um topos de Grothendieck, E , R é anel local em E sse a

reunião dos subobjetos (representados por):I {a ∈ R | (∃b ∈ R)(a · b = 1)}� RI {a ∈ R | (∃b ∈ R)((1− a) · b = 1)}� R

totaliza R.

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Anel C∞ Local em um Topos de Grothendieck

I R é anel local sse:I (∀a ∈ R)((a ∈ Inv (R)) ∨ (1− a ∈ Inv (R)))I (∀a ∈ R)((∃b ∈ R)(a · b = 1) ∨ (∃b ∈ R)((1− a) · b = 1))I Em um topos de Grothendieck, E , R é anel local em E sse a

reunião dos subobjetos (representados por):I {a ∈ R | (∃b ∈ R)(a · b = 1)}� RI {a ∈ R | (∃b ∈ R)((1− a) · b = 1)}� R

totaliza R.

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Anel C∞ Local em um Topos de Grothendieck

I E um topos de Grothendieck;

I C∞LocRng (E)I Topos classificante para a teoria dos anéis C∞ locais = ?

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Anel C∞ Local em um Topos de Grothendieck

I E um topos de Grothendieck;I C∞LocRng (E)

I Topos classificante para a teoria dos anéis C∞ locais = ?

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Anel C∞ Local em um Topos de Grothendieck

I E um topos de Grothendieck;I C∞LocRng (E)I Topos classificante para a teoria dos anéis C∞ locais = ?

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Tópicos de Álgebra Comutativa Suave

Anel de Frações C∞

I A anel C∞, a ∈ A;

I “melhor” anel C∞ onde uma cópia de a é invertível;I A{a−1} e ηA : A→ A{a−1} morfismo de anéis C∞ tais que:

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Tópicos de Álgebra Comutativa Suave

Anel de Frações C∞

I A anel C∞, a ∈ A;I “melhor” anel C∞ onde uma cópia de a é invertível;

I A{a−1} e ηA : A→ A{a−1} morfismo de anéis C∞ tais que:

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Tópicos de Álgebra Comutativa Suave

Anel de Frações C∞

I A anel C∞, a ∈ A;I “melhor” anel C∞ onde uma cópia de a é invertível;I A{a−1} e ηA : A→ A{a−1} morfismo de anéis C∞ tais que:

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Tópicos de Álgebra Comutativa Suave

Anel de Frações C∞

I f : A→ B tal que f (a) ∈ B× ⇒ ∃!f̄ : A{a−1} → B tal que:I f̄ ◦ ηa = f , ou seja,

A ηa //

f##

A{a−1}

f̄��

B

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Tópicos de Álgebra Comutativa Suave

Anel de Frações C∞

I f : A→ B tal que f (a) ∈ B× ⇒ ∃!f̄ : A{a−1} → B tal que:I f̄ ◦ ηa = f , ou seja,

A ηa //

f##

A{a−1}

f̄��

B

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Tópicos de Álgebra Comutativa Suave

Anel de Frações C∞ com respeito a um conjunto:I f : A→ B tal que (∀a ∈ S)(f (a) ∈ B×) ⇒∃!f̄ : A{S−1} → B tal que:

I f̄ ◦ ηS = f , ou seja,

A ηS //

f##

A{S−1}

f̄��

B

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Tópicos de Álgebra Comutativa Suave

Anel de Frações C∞ com respeito a um conjunto:I f : A→ B tal que (∀a ∈ S)(f (a) ∈ B×) ⇒∃!f̄ : A{S−1} → B tal que:

I f̄ ◦ ηS = f , ou seja,

A ηS //

f##

A{S−1}

f̄��

B

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Tópicos de Álgebra Comutativa Suave

Exemplo:

I (C∞(Rn),Φn), f ∈ C∞(Rn)I Coz (f ) = {x ∈ Rn | f (x) 6= 0} = U ⊂ Rn aberto;I (C∞ (U),ΦU)I

ρU : C∞(Rn) → C∞(U)f 7→ f �U

I (C∞(U), C∞(Rn) ρU→ C∞(U)) é o anel C∞ de frações deC∞(Rn) com respeito a f .

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Tópicos de Álgebra Comutativa Suave

Exemplo:I (C∞(Rn),Φn), f ∈ C∞(Rn)

I Coz (f ) = {x ∈ Rn | f (x) 6= 0} = U ⊂ Rn aberto;I (C∞ (U),ΦU)I

ρU : C∞(Rn) → C∞(U)f 7→ f �U

I (C∞(U), C∞(Rn) ρU→ C∞(U)) é o anel C∞ de frações deC∞(Rn) com respeito a f .

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Tópicos de Álgebra Comutativa Suave

Exemplo:I (C∞(Rn),Φn), f ∈ C∞(Rn)I Coz (f ) = {x ∈ Rn | f (x) 6= 0} = U ⊂ Rn aberto;

I (C∞ (U),ΦU)I

ρU : C∞(Rn) → C∞(U)f 7→ f �U

I (C∞(U), C∞(Rn) ρU→ C∞(U)) é o anel C∞ de frações deC∞(Rn) com respeito a f .

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Tópicos de Álgebra Comutativa Suave

Exemplo:I (C∞(Rn),Φn), f ∈ C∞(Rn)I Coz (f ) = {x ∈ Rn | f (x) 6= 0} = U ⊂ Rn aberto;I (C∞ (U),ΦU)

IρU : C∞(Rn) → C∞(U)

f 7→ f �U

I (C∞(U), C∞(Rn) ρU→ C∞(U)) é o anel C∞ de frações deC∞(Rn) com respeito a f .

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Tópicos de Álgebra Comutativa Suave

Exemplo:I (C∞(Rn),Φn), f ∈ C∞(Rn)I Coz (f ) = {x ∈ Rn | f (x) 6= 0} = U ⊂ Rn aberto;I (C∞ (U),ΦU)I

ρU : C∞(Rn) → C∞(U)f 7→ f �U

I (C∞(U), C∞(Rn) ρU→ C∞(U)) é o anel C∞ de frações deC∞(Rn) com respeito a f .

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Tópicos de Álgebra Comutativa Suave

Exemplo:I (C∞(Rn),Φn), f ∈ C∞(Rn)I Coz (f ) = {x ∈ Rn | f (x) 6= 0} = U ⊂ Rn aberto;I (C∞ (U),ΦU)I

ρU : C∞(Rn) → C∞(U)f 7→ f �U

I (C∞(U), C∞(Rn) ρU→ C∞(U)) é o anel C∞ de frações deC∞(Rn) com respeito a f .

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Tópicos de Álgebra Comutativa Suave

Exemplo:I U ⊆ Rn;

I SU = {g ∈ C∞(Rn)|U ⊆ Ug} ⊆ C∞(Rn)I ηSU : C∞(Rn)→ C∞(Rn){SU

−1}I

∼= ρ : C∞(Rn) → C∞(U)h 7→ h �U

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Tópicos de Álgebra Comutativa Suave

Exemplo:I U ⊆ Rn;I SU = {g ∈ C∞(Rn)|U ⊆ Ug} ⊆ C∞(Rn)

I ηSU : C∞(Rn)→ C∞(Rn){SU−1}

I

∼= ρ : C∞(Rn) → C∞(U)h 7→ h �U

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Tópicos de Álgebra Comutativa Suave

Exemplo:I U ⊆ Rn;I SU = {g ∈ C∞(Rn)|U ⊆ Ug} ⊆ C∞(Rn)I ηSU : C∞(Rn)→ C∞(Rn){SU

−1}

I

∼= ρ : C∞(Rn) → C∞(U)h 7→ h �U

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Tópicos de Álgebra Comutativa Suave

Exemplo:I U ⊆ Rn;I SU = {g ∈ C∞(Rn)|U ⊆ Ug} ⊆ C∞(Rn)I ηSU : C∞(Rn)→ C∞(Rn){SU

−1}I

∼= ρ : C∞(Rn) → C∞(U)h 7→ h �U

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Tópicos de Álgebra Comutativa Suave

UgU

Uh

SU = {g ∈ C∞(R) | U ⊆ Ug}

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Tópicos de Álgebra Comutativa Suave

I Frequentemente denotaremos (A,Φ) por A;

I Em geral, A, a ∈ A 6⇒ (A{a−1}, ηa : A→ A{a−1}) anellocal.

I A = C∞ (R), f ∈ C∞(Rn), f 6≡ 0I Uf = Coz (f ) = R \ Z (f )I Para todo x ∈ Uf ,

mx = {g ∈ C∞(Uf )|g(x) = 0}

é ideal maximal de C∞ (R).

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Tópicos de Álgebra Comutativa Suave

I Frequentemente denotaremos (A,Φ) por A;I Em geral, A, a ∈ A 6⇒ (A{a−1}, ηa : A→ A{a−1}) anel

local.

I A = C∞ (R), f ∈ C∞(Rn), f 6≡ 0I Uf = Coz (f ) = R \ Z (f )I Para todo x ∈ Uf ,

mx = {g ∈ C∞(Uf )|g(x) = 0}

é ideal maximal de C∞ (R).

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Tópicos de Álgebra Comutativa Suave

I Frequentemente denotaremos (A,Φ) por A;I Em geral, A, a ∈ A 6⇒ (A{a−1}, ηa : A→ A{a−1}) anel

local.I A = C∞ (R), f ∈ C∞(Rn), f 6≡ 0

I Uf = Coz (f ) = R \ Z (f )I Para todo x ∈ Uf ,

mx = {g ∈ C∞(Uf )|g(x) = 0}

é ideal maximal de C∞ (R).

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Tópicos de Álgebra Comutativa Suave

I Frequentemente denotaremos (A,Φ) por A;I Em geral, A, a ∈ A 6⇒ (A{a−1}, ηa : A→ A{a−1}) anel

local.I A = C∞ (R), f ∈ C∞(Rn), f 6≡ 0I Uf = Coz (f ) = R \ Z (f )

I Para todo x ∈ Uf ,

mx = {g ∈ C∞(Uf )|g(x) = 0}

é ideal maximal de C∞ (R).

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Tópicos de Álgebra Comutativa Suave

I Frequentemente denotaremos (A,Φ) por A;I Em geral, A, a ∈ A 6⇒ (A{a−1}, ηa : A→ A{a−1}) anel

local.I A = C∞ (R), f ∈ C∞(Rn), f 6≡ 0I Uf = Coz (f ) = R \ Z (f )I Para todo x ∈ Uf ,

mx = {g ∈ C∞(Uf )|g(x) = 0}

é ideal maximal de C∞ (R).

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Tópicos de Álgebra Comutativa Suave

Saturação C∞

I A anel C∞, S ⊆ A;

I S∞−sat = {a ∈ A | ηS(a) ∈ (A{S−1})×}I Exemplo: f ∈ C∞(Rn) tal que U = Uf , temos

SUf = {f }∞−sat.

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Tópicos de Álgebra Comutativa Suave

Saturação C∞

I A anel C∞, S ⊆ A;I S∞−sat = {a ∈ A | ηS(a) ∈ (A{S−1})×}

I Exemplo: f ∈ C∞(Rn) tal que U = Uf , temosSUf = {f }∞−sat.

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Tópicos de Álgebra Comutativa Suave

Saturação C∞

I A anel C∞, S ⊆ A;I S∞−sat = {a ∈ A | ηS(a) ∈ (A{S−1})×}I Exemplo: f ∈ C∞(Rn) tal que U = Uf , temos

SUf = {f }∞−sat.

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Tópicos de Álgebra Comutativa Suave

I Álgebra Comutativa: I √

I = {x ∈ R|(∃n ∈ N)(xn ∈ I)}

I Álgebra Comutativa � (p primo ⇒ √p = p);

I Álgebra Comutativa Suave 6� (p primo ⇒ √p = p);

I Álgebra Comutativa Suave: p ⊆ A primo 6⇒ Ap anel C∞local.

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Tópicos de Álgebra Comutativa Suave

I Álgebra Comutativa: I √

I = {x ∈ R|(∃n ∈ N)(xn ∈ I)}I Álgebra Comutativa � (p primo ⇒ √

p = p);

I Álgebra Comutativa Suave 6� (p primo ⇒ √p = p);

I Álgebra Comutativa Suave: p ⊆ A primo 6⇒ Ap anel C∞local.

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Tópicos de Álgebra Comutativa Suave

I Álgebra Comutativa: I √

I = {x ∈ R|(∃n ∈ N)(xn ∈ I)}I Álgebra Comutativa � (p primo ⇒ √

p = p);I Álgebra Comutativa Suave 6� (p primo ⇒ √

p = p);

I Álgebra Comutativa Suave: p ⊆ A primo 6⇒ Ap anel C∞local.

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Tópicos de Álgebra Comutativa Suave

I Álgebra Comutativa: I √

I = {x ∈ R|(∃n ∈ N)(xn ∈ I)}I Álgebra Comutativa � (p primo ⇒ √

p = p);I Álgebra Comutativa Suave 6� (p primo ⇒ √

p = p);I Álgebra Comutativa Suave: p ⊆ A primo 6⇒ Ap anel C∞

local.

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Tópicos de Álgebra Comutativa Suave

Como definir radical de um ideal C∞ de modo que Ap sejalocal?

I Álgebra Comutativa: R ∈ Obj (CRing)

√I =

{x ∈ R |

(RI

)[(x + I)−1] ∼= 0

}

I Álgebra Comutativa Suave: A ∈ Obj (C∞Rng)

∞√I :={

a ∈ A|(A

I

){(a + I)−1} ∼= 0

}

I Notação: I∞A = {I ⊆ A | ∞√

I = I}

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Tópicos de Álgebra Comutativa Suave

Como definir radical de um ideal C∞ de modo que Ap sejalocal?I Álgebra Comutativa: R ∈ Obj (CRing)

√I =

{x ∈ R |

(RI

)[(x + I)−1] ∼= 0

}

I Álgebra Comutativa Suave: A ∈ Obj (C∞Rng)

∞√I :={

a ∈ A|(A

I

){(a + I)−1} ∼= 0

}

I Notação: I∞A = {I ⊆ A | ∞√

I = I}

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Tópicos de Álgebra Comutativa Suave

Como definir radical de um ideal C∞ de modo que Ap sejalocal?I Álgebra Comutativa: R ∈ Obj (CRing)

√I =

{x ∈ R |

(RI

)[(x + I)−1] ∼= 0

}

I Álgebra Comutativa Suave: A ∈ Obj (C∞Rng)

∞√I :={

a ∈ A|(A

I

){(a + I)−1} ∼= 0

}

I Notação: I∞A = {I ⊆ A | ∞√

I = I}

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Tópicos de Álgebra Comutativa Suave

Como definir radical de um ideal C∞ de modo que Ap sejalocal?I Álgebra Comutativa: R ∈ Obj (CRing)

√I =

{x ∈ R |

(RI

)[(x + I)−1] ∼= 0

}

I Álgebra Comutativa Suave: A ∈ Obj (C∞Rng)

∞√I :={

a ∈ A|(A

I

){(a + I)−1} ∼= 0

}

I Notação: I∞A = {I ⊆ A | ∞√

I = I}

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Tópicos de Álgebra Comutativa Suave

I Álgebra Comutativa: R ∈ Obj (CRing)

Spec (R) = {p ⊆ R | p é ideal primo}

I Álgebra Comutativa Suave: A ∈ Obj (C∞Rng)

Spec∞ (A) = {p ⊆ A | (p é ideal primo)&( ∞√p = p)}

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Tópicos de Álgebra Comutativa Suave

I Álgebra Comutativa: R ∈ Obj (CRing)

Spec (R) = {p ⊆ R | p é ideal primo}

I Álgebra Comutativa Suave: A ∈ Obj (C∞Rng)

Spec∞ (A) = {p ⊆ A | (p é ideal primo)&( ∞√p = p)}

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Tópicos de Álgebra Comutativa Suave

Topologia de Zariski no EspectroI Álgebra Comutativa: Em Spec (R), definimos:

I a ∈ R D∞(a) = {p ∈ Spec (R) | a /∈ p}I a ⊆ A ideal qualquer, Z∞ (a) := {p ∈ Spec (R)|p ⊇ a}

IZar := {Spec (R) \ Z∞ (p)|p ∈ I(R)}

I (Spec (R),Zar) espectro de Zariski.

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Tópicos de Álgebra Comutativa Suave

Topologia de Zariski no EspectroI Álgebra Comutativa: Em Spec (R), definimos:

I a ∈ R D∞(a) = {p ∈ Spec (R) | a /∈ p}

I a ⊆ A ideal qualquer, Z∞ (a) := {p ∈ Spec (R)|p ⊇ a}I

Zar := {Spec (R) \ Z∞ (p)|p ∈ I(R)}

I (Spec (R),Zar) espectro de Zariski.

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Tópicos de Álgebra Comutativa Suave

Topologia de Zariski no EspectroI Álgebra Comutativa: Em Spec (R), definimos:

I a ∈ R D∞(a) = {p ∈ Spec (R) | a /∈ p}I a ⊆ A ideal qualquer, Z∞ (a) := {p ∈ Spec (R)|p ⊇ a}

IZar := {Spec (R) \ Z∞ (p)|p ∈ I(R)}

I (Spec (R),Zar) espectro de Zariski.

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Tópicos de Álgebra Comutativa Suave

Topologia de Zariski no EspectroI Álgebra Comutativa: Em Spec (R), definimos:

I a ∈ R D∞(a) = {p ∈ Spec (R) | a /∈ p}I a ⊆ A ideal qualquer, Z∞ (a) := {p ∈ Spec (R)|p ⊇ a}

IZar := {Spec (R) \ Z∞ (p)|p ∈ I(R)}

I (Spec (R),Zar) espectro de Zariski.

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Tópicos de Álgebra Comutativa Suave

Topologia de Zariski no EspectroI Álgebra Comutativa: Em Spec (R), definimos:

I a ∈ R D∞(a) = {p ∈ Spec (R) | a /∈ p}I a ⊆ A ideal qualquer, Z∞ (a) := {p ∈ Spec (R)|p ⊇ a}

IZar := {Spec (R) \ Z∞ (p)|p ∈ I(R)}

I (Spec (R),Zar) espectro de Zariski.

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Tópicos de Álgebra Comutativa Suave

Topologia de Zariski SuaveI Álgebra Comutativa Suave: Em Spec∞ (A), definimos:

I a ∈ A D∞(a) = {p ∈ Spec∞ (A) | a /∈ p}I Z∞ (a) := {p ∈ Spec∞ (A)|p ⊇ a}

IZar∞ := {Spec∞ (A) \ Z∞ (p)|p ∈ I∞A }

I (Spec∞ (A),Zar∞) espectro de Zariski suave.I 1A ∈ 〈{a1, · · · , an}〉 ⇐⇒ Spec∞ (A) =

⋃ni=1 D∞(ai );

I Spec∞ (A) é um espaço topológico espectral;

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Tópicos de Álgebra Comutativa Suave

Topologia de Zariski SuaveI Álgebra Comutativa Suave: Em Spec∞ (A), definimos:

I a ∈ A D∞(a) = {p ∈ Spec∞ (A) | a /∈ p}

I Z∞ (a) := {p ∈ Spec∞ (A)|p ⊇ a}I

Zar∞ := {Spec∞ (A) \ Z∞ (p)|p ∈ I∞A }

I (Spec∞ (A),Zar∞) espectro de Zariski suave.I 1A ∈ 〈{a1, · · · , an}〉 ⇐⇒ Spec∞ (A) =

⋃ni=1 D∞(ai );

I Spec∞ (A) é um espaço topológico espectral;

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Tópicos de Álgebra Comutativa Suave

Topologia de Zariski SuaveI Álgebra Comutativa Suave: Em Spec∞ (A), definimos:

I a ∈ A D∞(a) = {p ∈ Spec∞ (A) | a /∈ p}I Z∞ (a) := {p ∈ Spec∞ (A)|p ⊇ a}

IZar∞ := {Spec∞ (A) \ Z∞ (p)|p ∈ I∞A }

I (Spec∞ (A),Zar∞) espectro de Zariski suave.I 1A ∈ 〈{a1, · · · , an}〉 ⇐⇒ Spec∞ (A) =

⋃ni=1 D∞(ai );

I Spec∞ (A) é um espaço topológico espectral;

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Tópicos de Álgebra Comutativa Suave

Topologia de Zariski SuaveI Álgebra Comutativa Suave: Em Spec∞ (A), definimos:

I a ∈ A D∞(a) = {p ∈ Spec∞ (A) | a /∈ p}I Z∞ (a) := {p ∈ Spec∞ (A)|p ⊇ a}

IZar∞ := {Spec∞ (A) \ Z∞ (p)|p ∈ I∞A }

I (Spec∞ (A),Zar∞) espectro de Zariski suave.I 1A ∈ 〈{a1, · · · , an}〉 ⇐⇒ Spec∞ (A) =

⋃ni=1 D∞(ai );

I Spec∞ (A) é um espaço topológico espectral;

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Tópicos de Álgebra Comutativa Suave

Topologia de Zariski SuaveI Álgebra Comutativa Suave: Em Spec∞ (A), definimos:

I a ∈ A D∞(a) = {p ∈ Spec∞ (A) | a /∈ p}I Z∞ (a) := {p ∈ Spec∞ (A)|p ⊇ a}

IZar∞ := {Spec∞ (A) \ Z∞ (p)|p ∈ I∞A }

I (Spec∞ (A),Zar∞) espectro de Zariski suave.

I 1A ∈ 〈{a1, · · · , an}〉 ⇐⇒ Spec∞ (A) =⋃n

i=1 D∞(ai );I Spec∞ (A) é um espaço topológico espectral;

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Tópicos de Álgebra Comutativa Suave

Topologia de Zariski SuaveI Álgebra Comutativa Suave: Em Spec∞ (A), definimos:

I a ∈ A D∞(a) = {p ∈ Spec∞ (A) | a /∈ p}I Z∞ (a) := {p ∈ Spec∞ (A)|p ⊇ a}

IZar∞ := {Spec∞ (A) \ Z∞ (p)|p ∈ I∞A }

I (Spec∞ (A),Zar∞) espectro de Zariski suave.I 1A ∈ 〈{a1, · · · , an}〉 ⇐⇒ Spec∞ (A) =

⋃ni=1 D∞(ai );

I Spec∞ (A) é um espaço topológico espectral;

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Tópicos de Álgebra Comutativa Suave

Topologia de Zariski SuaveI Álgebra Comutativa Suave: Em Spec∞ (A), definimos:

I a ∈ A D∞(a) = {p ∈ Spec∞ (A) | a /∈ p}I Z∞ (a) := {p ∈ Spec∞ (A)|p ⊇ a}

IZar∞ := {Spec∞ (A) \ Z∞ (p)|p ∈ I∞A }

I (Spec∞ (A),Zar∞) espectro de Zariski suave.I 1A ∈ 〈{a1, · · · , an}〉 ⇐⇒ Spec∞ (A) =

⋃ni=1 D∞(ai );

I Spec∞ (A) é um espaço topológico espectral;

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Tópicos de Álgebra Comutativa Suave

Spec∞ : C∞Rng → Top( A h // B ) 7→ ( Spec∞ (B) h∗ // Spec∞ (A) )

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Pré-Topologia de Grothendieck

I n ∈ N, (a1, · · · , an) ∈ A× · · · × A tais que〈{a1, a2, · · · , an}〉 = A

I {ki : A→ Bi | i ∈ {1, · · · , n}} tal que:I ∀i ∈ {1, · · · , n}, ki (ai ) ∈ Bi

×

I ki (a) = 0 ⇒ ∃si ∈ {ai}∞−sat tal que a · si = 0;I ∀b ∈ Bi existem c ∈ {ai}∞−sat e d ∈ A tais que

b · ki (c) = ki (d)coCov (A)

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Pré-Topologia de Grothendieck

I n ∈ N, (a1, · · · , an) ∈ A× · · · × A tais que〈{a1, a2, · · · , an}〉 = A

I {ki : A→ Bi | i ∈ {1, · · · , n}} tal que:

I ∀i ∈ {1, · · · , n}, ki (ai ) ∈ Bi×

I ki (a) = 0 ⇒ ∃si ∈ {ai}∞−sat tal que a · si = 0;I ∀b ∈ Bi existem c ∈ {ai}∞−sat e d ∈ A tais que

b · ki (c) = ki (d)coCov (A)

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Pré-Topologia de Grothendieck

I n ∈ N, (a1, · · · , an) ∈ A× · · · × A tais que〈{a1, a2, · · · , an}〉 = A

I {ki : A→ Bi | i ∈ {1, · · · , n}} tal que:I ∀i ∈ {1, · · · , n}, ki (ai ) ∈ Bi

×

I ki (a) = 0 ⇒ ∃si ∈ {ai}∞−sat tal que a · si = 0;I ∀b ∈ Bi existem c ∈ {ai}∞−sat e d ∈ A tais que

b · ki (c) = ki (d)coCov (A)

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Pré-Topologia de Grothendieck

I n ∈ N, (a1, · · · , an) ∈ A× · · · × A tais que〈{a1, a2, · · · , an}〉 = A

I {ki : A→ Bi | i ∈ {1, · · · , n}} tal que:I ∀i ∈ {1, · · · , n}, ki (ai ) ∈ Bi

×

I ki (a) = 0 ⇒ ∃si ∈ {ai}∞−sat tal que a · si = 0;

I ∀b ∈ Bi existem c ∈ {ai}∞−sat e d ∈ A tais queb · ki (c) = ki (d)

coCov (A)

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Pré-Topologia de Grothendieck

I n ∈ N, (a1, · · · , an) ∈ A× · · · × A tais que〈{a1, a2, · · · , an}〉 = A

I {ki : A→ Bi | i ∈ {1, · · · , n}} tal que:I ∀i ∈ {1, · · · , n}, ki (ai ) ∈ Bi

×

I ki (a) = 0 ⇒ ∃si ∈ {ai}∞−sat tal que a · si = 0;I ∀b ∈ Bi existem c ∈ {ai}∞−sat e d ∈ A tais que

b · ki (c) = ki (d)coCov (A)

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Construindo o Topos de Zariski Suave - APré-Topologia de Grothendieck

Note-se que se ki : A → Bi satisfaz os itens (i), (ii) e (iii) acima,então tem-se:

(Bi , ki : A→ B) ∼= (A{ai−1}, ηai : A→ A{ai

−1}).

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A Menos de Isomorfismos...

〈{a1, · · · , an}〉 = AKS

Prp 3.9

��⋃ni=1 D∞(ai ) = Spec∞(A)

A{a1−1}

A{a2−1}

A

ηa1

>>

ηa277

ηan

''

...

A{an−1}

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Construindo o Topos de Zariski Suave - APré-Topologia de Grothendieck

Dado um anel C∞ finitamente apresentado, uma família recobri-dora para A em C∞Rngop

fp é dada por:

Cov (A) = {f op : B → A|(f : A→ B) ∈ coCov (A)}

Cov é uma pré-topologia em C∞Rngopfp . (ver Proposição 3.10

de [1]).

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Construindo o Topos de Zariski Suave - APré-Topologia de Grothendieck

Dado um anel C∞ finitamente apresentado, uma família recobri-dora para A em C∞Rngop

fp é dada por:

Cov (A) = {f op : B → A|(f : A→ B) ∈ coCov (A)}

Cov é uma pré-topologia em C∞Rngopfp . (ver Proposição 3.10

de [1]).

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Construindo o Topos de Zariski Suave - A Topologiade Grothendieck

Tem-se que

JCov : Obj (C∞Rngfp)→ ℘(℘(Mor (C∞Rngfp)))

JCov (A) :=

= {←−S ⊆

⋃B∈Obj (C∞Rngfp)

HomC∞Rngfp (B,A)|S ∈ Cov (A)}

I (C∞Rngopfp , JCov) sítio pequeno;

I JCov subcanônica;I O : C∞Rngfp → Sets (esquecimento) feixe estrutural do

topos;

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Construindo o Topos de Zariski Suave - A Topologiade Grothendieck

Tem-se que

JCov : Obj (C∞Rngfp)→ ℘(℘(Mor (C∞Rngfp)))

JCov (A) :=

= {←−S ⊆

⋃B∈Obj (C∞Rngfp)

HomC∞Rngfp (B,A)|S ∈ Cov (A)}

I (C∞Rngopfp , JCov) sítio pequeno;

I JCov subcanônica;I O : C∞Rngfp → Sets (esquecimento) feixe estrutural do

topos;

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Construindo o Topos de Zariski Suave - A Topologiade Grothendieck

Tem-se que

JCov : Obj (C∞Rngfp)→ ℘(℘(Mor (C∞Rngfp)))

JCov (A) :=

= {←−S ⊆

⋃B∈Obj (C∞Rngfp)

HomC∞Rngfp (B,A)|S ∈ Cov (A)}

I (C∞Rngopfp , JCov) sítio pequeno;

I JCov subcanônica;I O : C∞Rngfp → Sets (esquecimento) feixe estrutural do

topos;

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O Topos Classificante da Teoria dos Anéis C∞ Locais

Teorema 3.16 (de [1]): Z∞ = Sh (C∞Rngopfp , JCov), munido do

feixe O é o topos classificante da teoria dos anéis C∞ locais:

Geom (E ,Z∞) ' C∞LocRng (E)

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O Topos Classificante da Teoria dos Anéis C∞ Locais

Teorema 3.16 (de [1]): Z∞ = Sh (C∞Rngopfp , JCov), munido do

feixe O é o topos classificante da teoria dos anéis C∞ locais:

Geom (E ,Z∞) ' C∞LocRng (E)

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ReferênciasPrincipais referências utilizadas

[1] Adámek, J., Rosický,J., Vitale, E.M., Algebraic Theories - ACategorical Introduction to General Algebra, Cambridge UniversityPress, 2011.

[2] Berni, J.C., Mariano, H.L. Classifying Toposes for Some Theoriesof C∞−Rings, South American Journal of Logic, v. 4, n.2, pp. 313- 350, 2018. Disponível em http://www.sa-logic.org/sajl-v4-i2/04-Berni-Mariano-SAJL.pdf

[3] Berni, J.C., Mariano, H.L. Topics on Smooth CommutativeAlgebra, disponível emhttps://arxiv.org/pdf/1904.02725.pdf

[4] MacLane, S., Moerdijk, I. Sheaves in Geometry and Logic, SpringerVerlag, 1992.

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