FORMULARIO (MAT022) I) Propriedades da Transformada de...
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FORMUL ´ ARIO (MAT022) Prof. Ricardo Medina I) Propriedades da Transformada de Laplace Seja F (s)= L f (t) = R ∞ 0 e -st f (t)dt, onde sε C. 1. Linearidade: L α 1 f 1 (t)+ α 2 f 2 (t) = α 1 L f 1 (t) + α 2 L f 2 (t) ; α 1 ,α 2 ε C, no dom´ ınio de convergˆ encia comum de L f 1 (t) e L f 2 (t) . 2. Escalonamento: L f (at) = 1 a F (s/a) ,aε R + , onde s/a pertence ao dom´ ınio de convergˆ encia de F (s). 3. Deslocamento: L θ(t - t 0 )f (t - t 0 ) = e -st0 F (s) ,t 0 ε R + . 4. Modula¸ c˜ ao: L e s0t f (t) = F (s - s 0 ) ,s 0 ε C , onde (s - s 0 ) pertence ao dom´ ınio de convergˆ encia de F (s). 5. Derivada: Se fεC [0, +∞) e lim t→+∞ f (t)e -st = 0, L f 0 (t) = sF (s) - f (0) . 6. n-´ esima derivada: Se fεC n-1 [0, +∞) e lim t→+∞ f (k) (t)e -st =0 (k =0, 1,...,n - 1), L f (n) (t) = s n F (s) - s n-1 f (0) - s n-2 f 0 (0) - ... - sf (n-2) (0) - f (n-1) (0) . 7. n-´ esima derivada da transformada de Laplace: L t n f (t) =(-1) n F (n) (s) . –1–
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FORMULARIO (MAT022)
Prof. Ricardo Medina
I) Propriedades da Transformada de Laplace
Seja F (s) = L[f(t)
]=∫∞0e−stf(t)dt, onde s ε C.
1. Linearidade:
L[α1f1(t) + α2f2(t)
]= α1L
[f1(t)
]+ α2L
[f2(t)
]; α1, α2 ε C,
no domınio de convergencia comum de L[f1(t)
]e L[f2(t)
].
2. Escalonamento:
L[f(at)
]=
1
aF (s/a) , a ε R+ ,
onde s/a pertence ao domınio de convergencia de F (s).
3. Deslocamento:
L[θ(t− t0)f(t− t0)
]= e−st0F (s) , t0 ε R+ .
4. Modulacao:
L[es0tf(t)
]= F (s− s0) , s0 ε C ,
onde (s− s0) pertence ao domınio de convergencia de F (s).
5. Derivada: Se f ε C[0,+∞) e limt→+∞ f(t)e−st = 0,
L[f ′(t)
]= sF (s)− f(0) .
6. n-esima derivada:
Se f ε Cn−1[0,+∞) e limt→+∞ f (k)(t)e−st = 0 (k = 0, 1, . . . , n− 1),
L[f (n)(t)
]= snF (s)− sn−1f(0)− sn−2f ′(0)− . . .− sf (n−2)(0)− f (n−1)(0) .
7. n-esima derivada da transformada de Laplace:
L[tnf(t)
]= (−1)nF (n)(s) .
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8. Integral:
L[∫ t
0
f(u)du
]=
1
sF (s) .
9. Convolucao:
L[f1(t) ∗ f2(t)
]= L
[f1(t)
].L[f2(t)
],
onde
f1(t) ∗ f2(t) =
∫ t
0
f1(t− u)f2(u)du .
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II) Tabela de Transformadas de Laplace
f(t) F (s) = L[f(t)
]1 1/s , Re(s) > 0
es0t, s0 ε C 1/(s− s0) , Re(s) > Re(s0)
tn (n = 0, 1, 2, . . .) n!/sn+1 , Re(s) > 0
tnes0t (s0 ε C;n = 0, 1, 2, . . .) n!/(s− s0)n+1 , Re(s) > Re(s0)
cos(αt), α ε R s/(s2 + α2) , Re(s) > 0
sen(αt), α ε R α/(s2 + α2) , Re(s) > 0
δ(t− t0) , t0 ε R+ e−t0s , s ε C
III) Series de Fourier
Sf,[a,b](x) =a02
+
∞∑n=1
{an cos
( 2πn
b− ax)
+ bn sen( 2πn
b− ax) }
.
an =2
b− a
∫ b
a
f(x) cos( 2πn
b− ax)dx
bn =2
b− a
∫ b
a
f(x) sen( 2πn
b− ax)dx
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