Produtos Internos em Espa˘cos Vetoriais - UFJF ... de um Vetor Propriedades Seja V um espa˘co...

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Produtos Internos em Espa¸cos Vetoriais Defini¸c˜ ao Seja V um espa¸co vetorial. Um produto interno em V ´ e uma fun¸c˜ ao h, i : V × V R que satisfaz P1) hu, vi = hv,ui para todos u, v V; () Espa¸cos com Produto Interno 1 / 11

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Produtos Internos em Espacos Vetoriais

Definicao

Seja V um espaco vetorial. Um produto interno em V e uma funcao

〈, 〉 : V× V→ R

que satisfaz

P1) 〈u, v〉 = 〈v, u〉 para todos u, v ∈ V;

P2) 〈u, v + w〉 = 〈u, v〉+ 〈u,w〉 para todos u, v, w ∈ V;

P3) 〈αu, v〉 = α 〈u, v〉 para todos u, v ∈ V e todo α ∈ R;

P4) 〈u, u〉 > 0 para todo u ∈ V e 〈u, u〉 = 0 se, e somente se, u = 0.

() Espacos com Produto Interno 1 / 11

Produtos Internos em Espacos Vetoriais

Definicao

Seja V um espaco vetorial. Um produto interno em V e uma funcao

〈, 〉 : V× V→ R

que satisfaz

P1) 〈u, v〉 = 〈v, u〉 para todos u, v ∈ V;

P2) 〈u, v + w〉 = 〈u, v〉+ 〈u,w〉 para todos u, v, w ∈ V;

P3) 〈αu, v〉 = α 〈u, v〉 para todos u, v ∈ V e todo α ∈ R;

P4) 〈u, u〉 > 0 para todo u ∈ V e 〈u, u〉 = 0 se, e somente se, u = 0.

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Produtos Internos em Espacos Vetoriais

Definicao

Seja V um espaco vetorial. Um produto interno em V e uma funcao

〈, 〉 : V× V→ R

que satisfaz

P1) 〈u, v〉 = 〈v, u〉 para todos u, v ∈ V;

P2) 〈u, v + w〉 = 〈u, v〉+ 〈u,w〉 para todos u, v, w ∈ V;

P3) 〈αu, v〉 = α 〈u, v〉 para todos u, v ∈ V e todo α ∈ R;

P4) 〈u, u〉 > 0 para todo u ∈ V e 〈u, u〉 = 0 se, e somente se, u = 0.

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Produtos Internos em Espacos Vetoriais

Definicao

Seja V um espaco vetorial. Um produto interno em V e uma funcao

〈, 〉 : V× V→ R

que satisfaz

P1) 〈u, v〉 = 〈v, u〉 para todos u, v ∈ V;

P2) 〈u, v + w〉 = 〈u, v〉+ 〈u,w〉 para todos u, v, w ∈ V;

P3) 〈αu, v〉 = α 〈u, v〉 para todos u, v ∈ V e todo α ∈ R;

P4) 〈u, u〉 > 0 para todo u ∈ V e 〈u, u〉 = 0 se, e somente se, u = 0.

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Produtos Internos em Espacos Vetoriais

Exemplo 1: Produto Interno Usual em R2

〈(a, b), (c, d)〉 = ac+ bd e um produto interno em R2.Facilmente generalizado para Rn.

Exemplo 2

〈(a, b), (c, d)〉 = ac+ 8bd+ 2ad+ 2bc e um produto interno em R2.

Exemplo 3

〈(x1, y1), (x2, y2)〉 = x1x2 − y1y2 nao e um produto interno em R2.

() Espacos com Produto Interno 2 / 11

Produtos Internos em Espacos Vetoriais

Exemplo 1: Produto Interno Usual em R2

〈(a, b), (c, d)〉 = ac+ bd e um produto interno em R2.Facilmente generalizado para Rn.

Exemplo 2

〈(a, b), (c, d)〉 = ac+ 8bd+ 2ad+ 2bc e um produto interno em R2.

Exemplo 3

〈(x1, y1), (x2, y2)〉 = x1x2 − y1y2 nao e um produto interno em R2.

() Espacos com Produto Interno 2 / 11

Produtos Internos em Espacos Vetoriais

Exemplo 1: Produto Interno Usual em R2

〈(a, b), (c, d)〉 = ac+ bd e um produto interno em R2.Facilmente generalizado para Rn.

Exemplo 2

〈(a, b), (c, d)〉 = ac+ 8bd+ 2ad+ 2bc e um produto interno em R2.

Exemplo 3

〈(x1, y1), (x2, y2)〉 = x1x2 − y1y2 nao e um produto interno em R2.

() Espacos com Produto Interno 2 / 11

Produtos Internos em Espacos Vetoriais

Exemplo 4: Espaco de funcoes contınuas em [a, b]

Sejam a < b numeros reais e V = {f : [a, b]→ R ; f e contınua}. Afuncao 〈, 〉 : V × V → R definida por

〈f, g〉 =

∫ b

af(x)g(x) dx

e um produto interno em V.

() Espacos com Produto Interno 3 / 11

Espacos Vetoriais Euclidianos

Definicao

Um espaco vetorial euclidiano e um espaco vetorial de dimensao finita,munido de um produto interno.

() Espacos com Produto Interno 4 / 11

Norma de um Vetor

Definicao

Seja V um espaco vetorial com produto interno 〈, 〉. Dado v ∈ Vdefine-se a norma de v, indicada por |v|, por

|v| =√〈v, v〉.

Observacoes

Se |v| = 1, o vetor v e dito um vetor unitario. Dizemos, tambemque v esta normalizado.

Todo vetor v nao nulo pode ser normalizado. Basta fazer

u =v

|v|.

() Espacos com Produto Interno 5 / 11

Norma de um Vetor

Definicao

Seja V um espaco vetorial com produto interno 〈, 〉. Dado v ∈ Vdefine-se a norma de v, indicada por |v|, por

|v| =√〈v, v〉.

Observacoes

Se |v| = 1, o vetor v e dito um vetor unitario. Dizemos, tambemque v esta normalizado.

Todo vetor v nao nulo pode ser normalizado. Basta fazer

u =v

|v|.

() Espacos com Produto Interno 5 / 11

Norma de um Vetor

Definicao

Seja V um espaco vetorial com produto interno 〈, 〉. Dado v ∈ Vdefine-se a norma de v, indicada por |v|, por

|v| =√〈v, v〉.

Observacoes

Se |v| = 1, o vetor v e dito um vetor unitario. Dizemos, tambemque v esta normalizado.

Todo vetor v nao nulo pode ser normalizado. Basta fazer

u =v

|v|.

() Espacos com Produto Interno 5 / 11

Norma de um Vetor

Propriedades

Seja V um espaco vetorial com produto interno 〈, 〉. Sao validas asseguintes propriedades:

P1) |v| > 0 para todo v ∈ V . Alem disto, |v| = 0 se, e so se, v = 0.

P2) |αv| = |α| |v| para todo α real e todo v ∈ V .

P3) Desigualdade de Cauchy-Schwarz: |〈u, v〉| 6 |u| |v| para todosu, v ∈ V .

P4) Desigualdade Triangular: |u+ v| 6 |u|+ |v| para todosu, v ∈ V .

() Espacos com Produto Interno 6 / 11

Norma de um Vetor

Propriedades

Seja V um espaco vetorial com produto interno 〈, 〉. Sao validas asseguintes propriedades:

P1) |v| > 0 para todo v ∈ V . Alem disto, |v| = 0 se, e so se, v = 0.

P2) |αv| = |α| |v| para todo α real e todo v ∈ V .

P3) Desigualdade de Cauchy-Schwarz: |〈u, v〉| 6 |u| |v| para todosu, v ∈ V .

P4) Desigualdade Triangular: |u+ v| 6 |u|+ |v| para todosu, v ∈ V .

() Espacos com Produto Interno 6 / 11

Norma de um Vetor

Propriedades

Seja V um espaco vetorial com produto interno 〈, 〉. Sao validas asseguintes propriedades:

P1) |v| > 0 para todo v ∈ V . Alem disto, |v| = 0 se, e so se, v = 0.

P2) |αv| = |α| |v| para todo α real e todo v ∈ V .

P3) Desigualdade de Cauchy-Schwarz: |〈u, v〉| 6 |u| |v| para todosu, v ∈ V .

P4) Desigualdade Triangular: |u+ v| 6 |u|+ |v| para todosu, v ∈ V .

() Espacos com Produto Interno 6 / 11

Norma de um Vetor

Propriedades

Seja V um espaco vetorial com produto interno 〈, 〉. Sao validas asseguintes propriedades:

P1) |v| > 0 para todo v ∈ V . Alem disto, |v| = 0 se, e so se, v = 0.

P2) |αv| = |α| |v| para todo α real e todo v ∈ V .

P3) Desigualdade de Cauchy-Schwarz: |〈u, v〉| 6 |u| |v| para todosu, v ∈ V .

P4) Desigualdade Triangular: |u+ v| 6 |u|+ |v| para todosu, v ∈ V .

() Espacos com Produto Interno 6 / 11

Norma de um Vetor

Propriedades

Seja V um espaco vetorial com produto interno 〈, 〉. Sao validas asseguintes propriedades:

P1) |v| > 0 para todo v ∈ V . Alem disto, |v| = 0 se, e so se, v = 0.

P2) |αv| = |α| |v| para todo α real e todo v ∈ V .

P3) Desigualdade de Cauchy-Schwarz: |〈u, v〉| 6 |u| |v| para todosu, v ∈ V .

P4) Desigualdade Triangular: |u+ v| 6 |u|+ |v| para todosu, v ∈ V .

() Espacos com Produto Interno 6 / 11

Angulo entre Dois Vetores

Se u e v sao vetores nao nulos, a desigualdade de Cauchy-Schwarzfornece as seguintes equivalencias:

|〈u, v〉| 6 |u| |v| ⇔ |〈u, v〉||u| |v|

6 1⇔∣∣∣∣ 〈u, v〉|u| |v|

∣∣∣∣ 6 1⇔

⇔ −1 6〈u, v〉|u| |v|

6 1

Esta ultimas desigualdades nos permitem garantir que existe umnumero real θ, 0 6 θ 6 π tal que

cos θ =〈u, v〉|u| |v|

.

() Espacos com Produto Interno 7 / 11

Angulo entre Dois Vetores

Definicao

Sejam u e v dois vetores nao nulos de um espaco vetorial com produtointerno 〈, 〉. Definimos o angulo entre estes vetores como o numero realθ, 0 6 θ 6 π tal que

cos θ =〈u, v〉|u| |v|

.

() Espacos com Produto Interno 8 / 11

Angulo entre Dois Vetores

Exemplo 1

Seja V = R2 munido do produto interno usual. Entao, o angulo θ entreos vetores u = (1, 0) e v = (1, 1) e π/4.

Exemplo 2

Seja V = R2 munido do produto interno dado por〈(x1, y1), (x2, y2)〉 = x1x2 + 2y1y2 − x1y2 − x2y1. Entao, o angulo θentre os vetores u = (1, 0) e v = (1, 1) satisfaz

cos θ =〈u, v〉|u| |v|

= 0.

Logo, θ = π/2.

() Espacos com Produto Interno 9 / 11

Angulo entre Dois Vetores

Exemplo 1

Seja V = R2 munido do produto interno usual. Entao, o angulo θ entreos vetores u = (1, 0) e v = (1, 1) e π/4.

Exemplo 2

Seja V = R2 munido do produto interno dado por〈(x1, y1), (x2, y2)〉 = x1x2 + 2y1y2 − x1y2 − x2y1. Entao, o angulo θentre os vetores u = (1, 0) e v = (1, 1) satisfaz

cos θ =〈u, v〉|u| |v|

= 0.

Logo, θ = π/2.

() Espacos com Produto Interno 9 / 11

Angulo entre Dois Vetores

Exemplo 3

Seja V o espaco das funcoes contınuas no intervalo [0, π] com o produtointerno usual. Consideremo os vetores f(x) = cos(x) e g(x) = sen (x)deste espaco. Temos

〈f(x), g(x)〉 =

∫ π

0cos(x) sen (x) dx =

sen2(x)

2

]π0

= 0.

Logo, o angulo entre estes dois vetores e θ = π/2.

() Espacos com Produto Interno 10 / 11

Angulo entre Dois Vetores

-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x

sin(x)cos(x)

cos(x)*sin(x)

() Espacos com Produto Interno 11 / 11