Produtos Internos em Espacos Vetoriais - UFJF ... de um Vetor Propriedades Seja V um espaco vetorial

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  • Produtos Internos em Espacos Vetoriais

    Definicao

    Seja V um espaco vetorial. Um produto interno em V e uma funcao

    , : V V R

    que satisfaz

    P1) u, v = v, u para todos u, v V;

    P2) u, v + w = u, v+ u,w para todos u, v, w V;P3) u, v = u, v para todos u, v V e todo R;P4) u, u > 0 para todo u V e u, u = 0 se, e somente se, u = 0.

    () Espacos com Produto Interno 1 / 11

  • Produtos Internos em Espacos Vetoriais

    Definicao

    Seja V um espaco vetorial. Um produto interno em V e uma funcao

    , : V V R

    que satisfaz

    P1) u, v = v, u para todos u, v V;P2) u, v + w = u, v+ u,w para todos u, v, w V;

    P3) u, v = u, v para todos u, v V e todo R;P4) u, u > 0 para todo u V e u, u = 0 se, e somente se, u = 0.

    () Espacos com Produto Interno 1 / 11

  • Produtos Internos em Espacos Vetoriais

    Definicao

    Seja V um espaco vetorial. Um produto interno em V e uma funcao

    , : V V R

    que satisfaz

    P1) u, v = v, u para todos u, v V;P2) u, v + w = u, v+ u,w para todos u, v, w V;P3) u, v = u, v para todos u, v V e todo R;

    P4) u, u > 0 para todo u V e u, u = 0 se, e somente se, u = 0.

    () Espacos com Produto Interno 1 / 11

  • Produtos Internos em Espacos Vetoriais

    Definicao

    Seja V um espaco vetorial. Um produto interno em V e uma funcao

    , : V V R

    que satisfaz

    P1) u, v = v, u para todos u, v V;P2) u, v + w = u, v+ u,w para todos u, v, w V;P3) u, v = u, v para todos u, v V e todo R;P4) u, u > 0 para todo u V e u, u = 0 se, e somente se, u = 0.

    () Espacos com Produto Interno 1 / 11

  • Produtos Internos em Espacos Vetoriais

    Exemplo 1: Produto Interno Usual em R2

    (a, b), (c, d) = ac+ bd e um produto interno em R2.Facilmente generalizado para Rn.

    Exemplo 2

    (a, b), (c, d) = ac+ 8bd+ 2ad+ 2bc e um produto interno em R2.

    Exemplo 3

    (x1, y1), (x2, y2) = x1x2 y1y2 nao e um produto interno em R2.

    () Espacos com Produto Interno 2 / 11

  • Produtos Internos em Espacos Vetoriais

    Exemplo 1: Produto Interno Usual em R2

    (a, b), (c, d) = ac+ bd e um produto interno em R2.Facilmente generalizado para Rn.

    Exemplo 2

    (a, b), (c, d) = ac+ 8bd+ 2ad+ 2bc e um produto interno em R2.

    Exemplo 3

    (x1, y1), (x2, y2) = x1x2 y1y2 nao e um produto interno em R2.

    () Espacos com Produto Interno 2 / 11

  • Produtos Internos em Espacos Vetoriais

    Exemplo 1: Produto Interno Usual em R2

    (a, b), (c, d) = ac+ bd e um produto interno em R2.Facilmente generalizado para Rn.

    Exemplo 2

    (a, b), (c, d) = ac+ 8bd+ 2ad+ 2bc e um produto interno em R2.

    Exemplo 3

    (x1, y1), (x2, y2) = x1x2 y1y2 nao e um produto interno em R2.

    () Espacos com Produto Interno 2 / 11

  • Produtos Internos em Espacos Vetoriais

    Exemplo 4: Espaco de funcoes contnuas em [a, b]

    Sejam a < b numeros reais e V = {f : [a, b] R ; f e contnua}. Afuncao , : V V R definida por

    f, g = baf(x)g(x) dx

    e um produto interno em V.

    () Espacos com Produto Interno 3 / 11

  • Espacos Vetoriais Euclidianos

    Definicao

    Um espaco vetorial euclidiano e um espaco vetorial de dimensao finita,munido de um produto interno.

    () Espacos com Produto Interno 4 / 11

  • Norma de um Vetor

    Definicao

    Seja V um espaco vetorial com produto interno , . Dado v Vdefine-se a norma de v, indicada por |v|, por

    |v| =v, v.

    Observacoes

    Se |v| = 1, o vetor v e dito um vetor unitario. Dizemos, tambemque v esta normalizado.

    Todo vetor v nao nulo pode ser normalizado. Basta fazer

    u =v

    |v|.

    () Espacos com Produto Interno 5 / 11

  • Norma de um Vetor

    Definicao

    Seja V um espaco vetorial com produto interno , . Dado v Vdefine-se a norma de v, indicada por |v|, por

    |v| =v, v.

    Observacoes

    Se |v| = 1, o vetor v e dito um vetor unitario. Dizemos, tambemque v esta normalizado.

    Todo vetor v nao nulo pode ser normalizado. Basta fazer

    u =v

    |v|.

    () Espacos com Produto Interno 5 / 11

  • Norma de um Vetor

    Definicao

    Seja V um espaco vetorial com produto interno , . Dado v Vdefine-se a norma de v, indicada por |v|, por

    |v| =v, v.

    Observacoes

    Se |v| = 1, o vetor v e dito um vetor unitario. Dizemos, tambemque v esta normalizado.

    Todo vetor v nao nulo pode ser normalizado. Basta fazer

    u =v

    |v|.

    () Espacos com Produto Interno 5 / 11

  • Norma de um Vetor

    Propriedades

    Seja V um espaco vetorial com produto interno , . Sao validas asseguintes propriedades:

    P1) |v| > 0 para todo v V . Alem disto, |v| = 0 se, e so se, v = 0.P2) |v| = || |v| para todo real e todo v V .P3) Desigualdade de Cauchy-Schwarz: |u, v| 6 |u| |v| para todosu, v V .P4) Desigualdade Triangular: |u+ v| 6 |u|+ |v| para todosu, v V .

    () Espacos com Produto Interno 6 / 11

  • Norma de um Vetor

    Propriedades

    Seja V um espaco vetorial com produto interno , . Sao validas asseguintes propriedades:

    P1) |v| > 0 para todo v V . Alem disto, |v| = 0 se, e so se, v = 0.

    P2) |v| = || |v| para todo real e todo v V .P3) Desigualdade de Cauchy-Schwarz: |u, v| 6 |u| |v| para todosu, v V .P4) Desigualdade Triangular: |u+ v| 6 |u|+ |v| para todosu, v V .

    () Espacos com Produto Interno 6 / 11

  • Norma de um Vetor

    Propriedades

    Seja V um espaco vetorial com produto interno , . Sao validas asseguintes propriedades:

    P1) |v| > 0 para todo v V . Alem disto, |v| = 0 se, e so se, v = 0.P2) |v| = || |v| para todo real e todo v V .

    P3) Desigualdade de Cauchy-Schwarz: |u, v| 6 |u| |v| para todosu, v V .P4) Desigualdade Triangular: |u+ v| 6 |u|+ |v| para todosu, v V .

    () Espacos com Produto Interno 6 / 11

  • Norma de um Vetor

    Propriedades

    Seja V um espaco vetorial com produto interno , . Sao validas asseguintes propriedades:

    P1) |v| > 0 para todo v V . Alem disto, |v| = 0 se, e so se, v = 0.P2) |v| = || |v| para todo real e todo v V .P3) Desigualdade de Cauchy-Schwarz: |u, v| 6 |u| |v| para todosu, v V .

    P4) Desigualdade Triangular: |u+ v| 6 |u|+ |v| para todosu, v V .

    () Espacos com Produto Interno 6 / 11

  • Norma de um Vetor

    Propriedades

    Seja V um espaco vetorial com produto interno , . Sao validas asseguintes propriedades:

    P1) |v| > 0 para todo v V . Alem disto, |v| = 0 se, e so se, v = 0.P2) |v| = || |v| para todo real e todo v V .P3) Desigualdade de Cauchy-Schwarz: |u, v| 6 |u| |v| para todosu, v V .P4) Desigualdade Triangular: |u+ v| 6 |u|+ |v| para todosu, v V .

    () Espacos com Produto Interno 6 / 11

  • Angulo entre Dois Vetores

    Se u e v sao vetores nao nulos, a desigualdade de Cauchy-Schwarzfornece as seguintes equivalencias:

    |u, v| 6 |u| |v| |u, v||u| |v|

    6 1 u, v|u| |v|

    6 1 1 6 u, v

    |u| |v|6 1

    Esta ultimas desigualdades nos permitem garantir que existe umnumero real , 0 6 6 tal que

    cos =u, v|u| |v|

    .

    () Espacos com Produto Interno 7 / 11

  • Angulo entre Dois Vetores

    Definicao

    Sejam u e v dois vetores nao nulos de um espaco vetorial com produtointerno , . Definimos o angulo entre estes vetores como o numero real, 0 6 6 tal que

    cos =u, v|u| |v|

    .

    () Espacos com Produto Interno 8 / 11

  • Angulo entre Dois Vetores

    Exemplo 1

    Seja V = R2 munido do produto interno usual. Entao, o angulo entreos vetores u = (1, 0) e v = (1, 1) e /4.

    Exemplo 2

    Seja V = R2 munido do produto interno dado por(x1, y1), (x2, y2) = x1x2 + 2y1y2 x1y2 x2y1. Entao, o angulo entre os vetores u = (1, 0) e v = (1, 1) satisfaz

    cos =u, v|u| |v|

    = 0.

    Logo, = /2.

    () Espacos com Produto Interno 9 / 11

  • Angulo entre Dois Vetores

    Exemplo 1

    Seja V = R2 munido do produto interno usual. Entao, o angulo entreos vetores u = (1, 0) e v = (1, 1) e /4.

    Exemplo 2

    Seja V = R2 munido do produto interno dado por(x1, y1), (x2, y2) = x1x2 + 2y1y2 x1y2 x2y1. Entao, o angulo entre os vetores u = (1, 0) e v = (1, 1) satisfaz

    cos =u, v|u| |v|

    = 0.

    Logo, = /2.

    () Espacos com Produto Interno 9 / 11

  • Angulo entre Dois Vetores

    Exemplo 3

    Seja V o espaco das funcoes contnuas no intervalo [0, ] com o produtointerno usual. Consideremo os vetores f(x) = cos(x) e g(x) = sen (x)deste espaco. Temos

    f(x), g(x) = 0

    cos(x) sen (x) dx =sen2(x)

    2

    ]0

    = 0.

    Logo, o angulo entre estes dois vetores e = /2.

    () Espacos com Produto Interno 10 / 11

  • Angulo entre Dois Vetores

    -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

    x

    sin(x)cos(x)

    cos(x)*sin(x)

    () Espacos com Produto Interno 11 / 11