Produtos Internos em Espa˘cos Vetoriais - UFJF ... de um Vetor Propriedades Seja V um espa˘co...
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Produtos Internos em Espacos Vetoriais
Definicao
Seja V um espaco vetorial. Um produto interno em V e uma funcao
〈, 〉 : V× V→ R
que satisfaz
P1) 〈u, v〉 = 〈v, u〉 para todos u, v ∈ V;
P2) 〈u, v + w〉 = 〈u, v〉+ 〈u,w〉 para todos u, v, w ∈ V;
P3) 〈αu, v〉 = α 〈u, v〉 para todos u, v ∈ V e todo α ∈ R;
P4) 〈u, u〉 > 0 para todo u ∈ V e 〈u, u〉 = 0 se, e somente se, u = 0.
() Espacos com Produto Interno 1 / 11
Produtos Internos em Espacos Vetoriais
Definicao
Seja V um espaco vetorial. Um produto interno em V e uma funcao
〈, 〉 : V× V→ R
que satisfaz
P1) 〈u, v〉 = 〈v, u〉 para todos u, v ∈ V;
P2) 〈u, v + w〉 = 〈u, v〉+ 〈u,w〉 para todos u, v, w ∈ V;
P3) 〈αu, v〉 = α 〈u, v〉 para todos u, v ∈ V e todo α ∈ R;
P4) 〈u, u〉 > 0 para todo u ∈ V e 〈u, u〉 = 0 se, e somente se, u = 0.
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Produtos Internos em Espacos Vetoriais
Definicao
Seja V um espaco vetorial. Um produto interno em V e uma funcao
〈, 〉 : V× V→ R
que satisfaz
P1) 〈u, v〉 = 〈v, u〉 para todos u, v ∈ V;
P2) 〈u, v + w〉 = 〈u, v〉+ 〈u,w〉 para todos u, v, w ∈ V;
P3) 〈αu, v〉 = α 〈u, v〉 para todos u, v ∈ V e todo α ∈ R;
P4) 〈u, u〉 > 0 para todo u ∈ V e 〈u, u〉 = 0 se, e somente se, u = 0.
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Produtos Internos em Espacos Vetoriais
Definicao
Seja V um espaco vetorial. Um produto interno em V e uma funcao
〈, 〉 : V× V→ R
que satisfaz
P1) 〈u, v〉 = 〈v, u〉 para todos u, v ∈ V;
P2) 〈u, v + w〉 = 〈u, v〉+ 〈u,w〉 para todos u, v, w ∈ V;
P3) 〈αu, v〉 = α 〈u, v〉 para todos u, v ∈ V e todo α ∈ R;
P4) 〈u, u〉 > 0 para todo u ∈ V e 〈u, u〉 = 0 se, e somente se, u = 0.
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Produtos Internos em Espacos Vetoriais
Exemplo 1: Produto Interno Usual em R2
〈(a, b), (c, d)〉 = ac+ bd e um produto interno em R2.Facilmente generalizado para Rn.
Exemplo 2
〈(a, b), (c, d)〉 = ac+ 8bd+ 2ad+ 2bc e um produto interno em R2.
Exemplo 3
〈(x1, y1), (x2, y2)〉 = x1x2 − y1y2 nao e um produto interno em R2.
() Espacos com Produto Interno 2 / 11
Produtos Internos em Espacos Vetoriais
Exemplo 1: Produto Interno Usual em R2
〈(a, b), (c, d)〉 = ac+ bd e um produto interno em R2.Facilmente generalizado para Rn.
Exemplo 2
〈(a, b), (c, d)〉 = ac+ 8bd+ 2ad+ 2bc e um produto interno em R2.
Exemplo 3
〈(x1, y1), (x2, y2)〉 = x1x2 − y1y2 nao e um produto interno em R2.
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Produtos Internos em Espacos Vetoriais
Exemplo 1: Produto Interno Usual em R2
〈(a, b), (c, d)〉 = ac+ bd e um produto interno em R2.Facilmente generalizado para Rn.
Exemplo 2
〈(a, b), (c, d)〉 = ac+ 8bd+ 2ad+ 2bc e um produto interno em R2.
Exemplo 3
〈(x1, y1), (x2, y2)〉 = x1x2 − y1y2 nao e um produto interno em R2.
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Produtos Internos em Espacos Vetoriais
Exemplo 4: Espaco de funcoes contınuas em [a, b]
Sejam a < b numeros reais e V = {f : [a, b]→ R ; f e contınua}. Afuncao 〈, 〉 : V × V → R definida por
〈f, g〉 =
∫ b
af(x)g(x) dx
e um produto interno em V.
() Espacos com Produto Interno 3 / 11
Espacos Vetoriais Euclidianos
Definicao
Um espaco vetorial euclidiano e um espaco vetorial de dimensao finita,munido de um produto interno.
() Espacos com Produto Interno 4 / 11
Norma de um Vetor
Definicao
Seja V um espaco vetorial com produto interno 〈, 〉. Dado v ∈ Vdefine-se a norma de v, indicada por |v|, por
|v| =√〈v, v〉.
Observacoes
Se |v| = 1, o vetor v e dito um vetor unitario. Dizemos, tambemque v esta normalizado.
Todo vetor v nao nulo pode ser normalizado. Basta fazer
u =v
|v|.
() Espacos com Produto Interno 5 / 11
Norma de um Vetor
Definicao
Seja V um espaco vetorial com produto interno 〈, 〉. Dado v ∈ Vdefine-se a norma de v, indicada por |v|, por
|v| =√〈v, v〉.
Observacoes
Se |v| = 1, o vetor v e dito um vetor unitario. Dizemos, tambemque v esta normalizado.
Todo vetor v nao nulo pode ser normalizado. Basta fazer
u =v
|v|.
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Norma de um Vetor
Definicao
Seja V um espaco vetorial com produto interno 〈, 〉. Dado v ∈ Vdefine-se a norma de v, indicada por |v|, por
|v| =√〈v, v〉.
Observacoes
Se |v| = 1, o vetor v e dito um vetor unitario. Dizemos, tambemque v esta normalizado.
Todo vetor v nao nulo pode ser normalizado. Basta fazer
u =v
|v|.
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Norma de um Vetor
Propriedades
Seja V um espaco vetorial com produto interno 〈, 〉. Sao validas asseguintes propriedades:
P1) |v| > 0 para todo v ∈ V . Alem disto, |v| = 0 se, e so se, v = 0.
P2) |αv| = |α| |v| para todo α real e todo v ∈ V .
P3) Desigualdade de Cauchy-Schwarz: |〈u, v〉| 6 |u| |v| para todosu, v ∈ V .
P4) Desigualdade Triangular: |u+ v| 6 |u|+ |v| para todosu, v ∈ V .
() Espacos com Produto Interno 6 / 11
Norma de um Vetor
Propriedades
Seja V um espaco vetorial com produto interno 〈, 〉. Sao validas asseguintes propriedades:
P1) |v| > 0 para todo v ∈ V . Alem disto, |v| = 0 se, e so se, v = 0.
P2) |αv| = |α| |v| para todo α real e todo v ∈ V .
P3) Desigualdade de Cauchy-Schwarz: |〈u, v〉| 6 |u| |v| para todosu, v ∈ V .
P4) Desigualdade Triangular: |u+ v| 6 |u|+ |v| para todosu, v ∈ V .
() Espacos com Produto Interno 6 / 11
Norma de um Vetor
Propriedades
Seja V um espaco vetorial com produto interno 〈, 〉. Sao validas asseguintes propriedades:
P1) |v| > 0 para todo v ∈ V . Alem disto, |v| = 0 se, e so se, v = 0.
P2) |αv| = |α| |v| para todo α real e todo v ∈ V .
P3) Desigualdade de Cauchy-Schwarz: |〈u, v〉| 6 |u| |v| para todosu, v ∈ V .
P4) Desigualdade Triangular: |u+ v| 6 |u|+ |v| para todosu, v ∈ V .
() Espacos com Produto Interno 6 / 11
Norma de um Vetor
Propriedades
Seja V um espaco vetorial com produto interno 〈, 〉. Sao validas asseguintes propriedades:
P1) |v| > 0 para todo v ∈ V . Alem disto, |v| = 0 se, e so se, v = 0.
P2) |αv| = |α| |v| para todo α real e todo v ∈ V .
P3) Desigualdade de Cauchy-Schwarz: |〈u, v〉| 6 |u| |v| para todosu, v ∈ V .
P4) Desigualdade Triangular: |u+ v| 6 |u|+ |v| para todosu, v ∈ V .
() Espacos com Produto Interno 6 / 11
Norma de um Vetor
Propriedades
Seja V um espaco vetorial com produto interno 〈, 〉. Sao validas asseguintes propriedades:
P1) |v| > 0 para todo v ∈ V . Alem disto, |v| = 0 se, e so se, v = 0.
P2) |αv| = |α| |v| para todo α real e todo v ∈ V .
P3) Desigualdade de Cauchy-Schwarz: |〈u, v〉| 6 |u| |v| para todosu, v ∈ V .
P4) Desigualdade Triangular: |u+ v| 6 |u|+ |v| para todosu, v ∈ V .
() Espacos com Produto Interno 6 / 11
Angulo entre Dois Vetores
Se u e v sao vetores nao nulos, a desigualdade de Cauchy-Schwarzfornece as seguintes equivalencias:
|〈u, v〉| 6 |u| |v| ⇔ |〈u, v〉||u| |v|
6 1⇔∣∣∣∣ 〈u, v〉|u| |v|
∣∣∣∣ 6 1⇔
⇔ −1 6〈u, v〉|u| |v|
6 1
Esta ultimas desigualdades nos permitem garantir que existe umnumero real θ, 0 6 θ 6 π tal que
cos θ =〈u, v〉|u| |v|
.
() Espacos com Produto Interno 7 / 11
Angulo entre Dois Vetores
Definicao
Sejam u e v dois vetores nao nulos de um espaco vetorial com produtointerno 〈, 〉. Definimos o angulo entre estes vetores como o numero realθ, 0 6 θ 6 π tal que
cos θ =〈u, v〉|u| |v|
.
() Espacos com Produto Interno 8 / 11
Angulo entre Dois Vetores
Exemplo 1
Seja V = R2 munido do produto interno usual. Entao, o angulo θ entreos vetores u = (1, 0) e v = (1, 1) e π/4.
Exemplo 2
Seja V = R2 munido do produto interno dado por〈(x1, y1), (x2, y2)〉 = x1x2 + 2y1y2 − x1y2 − x2y1. Entao, o angulo θentre os vetores u = (1, 0) e v = (1, 1) satisfaz
cos θ =〈u, v〉|u| |v|
= 0.
Logo, θ = π/2.
() Espacos com Produto Interno 9 / 11
Angulo entre Dois Vetores
Exemplo 1
Seja V = R2 munido do produto interno usual. Entao, o angulo θ entreos vetores u = (1, 0) e v = (1, 1) e π/4.
Exemplo 2
Seja V = R2 munido do produto interno dado por〈(x1, y1), (x2, y2)〉 = x1x2 + 2y1y2 − x1y2 − x2y1. Entao, o angulo θentre os vetores u = (1, 0) e v = (1, 1) satisfaz
cos θ =〈u, v〉|u| |v|
= 0.
Logo, θ = π/2.
() Espacos com Produto Interno 9 / 11
Angulo entre Dois Vetores
Exemplo 3
Seja V o espaco das funcoes contınuas no intervalo [0, π] com o produtointerno usual. Consideremo os vetores f(x) = cos(x) e g(x) = sen (x)deste espaco. Temos
〈f(x), g(x)〉 =
∫ π
0cos(x) sen (x) dx =
sen2(x)
2
]π0
= 0.
Logo, o angulo entre estes dois vetores e θ = π/2.
() Espacos com Produto Interno 10 / 11